广西钦州市大寺中学2026年春季学期高二年级第三周考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 广西钦州市大寺中学2026年春季学期高二年级第三周考试数学试卷（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 50.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-26 00:00:00 | ||
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文档简介
广西钦州市大寺中学 2026 年春季学期高二年级第三周考试 数学试卷
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 四答非选择题时, 将答案 写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 将 这 10 个数平均分成甲、乙两组,若乙组的第 75 百分位数恰为甲组的中位数的 2 倍, 则不同的分组个数为( )
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
2. 从整数 中任取三个不同的数. 则这三个数构成公比大于 1 的等比数列的概率为( )
A. B. C. D.
3. 每个正整数都可以唯一表示成以下形式: , 其中 且 为该正整数的 “长度”,例如 . 若正整数 的 “长度”为 1,则这样的 的个数为( )
A. B. C. D.
4. 某社区组织文化活动，现有书法艺术展示、传统戏曲表演、民间手工艺制作、古典诗词朗诵、 现代音乐赏析这 5 个文化活动项目.社区安排 6 名志愿者负责这 5 个项目的活动组织, 若每个项目的活动都至少有 1 名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中 1 个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为( )
A. 1500 B. 1800 C. 2100 D. 2400
5. 有 20 个零件, 其中 16 个一等品, 4 个二等品, 若从这 20 个零件中任意取 3 个, 那么至少有 1 个一等品的不同取法是( )
A. 560 B. 2735 C. 1136 D. 480
6. 临泉田家炳实验中学第一党支部拟选 5 名党员到 A、B、C 三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有( )种
A. 60 B. 90 C. 150 D. 240
7. 将 6 名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加,学生 不安排到甲地且与学生 不安排到同一个地方,则不同的安排方案的种数为 ( )
A. 392 B. 390 C. 262 D. 260
8. 在《红楼梦》中，史湘云邀众姐妹和贾宝玉一起作诗. 共编写了十首不同的咏菊诗，假设分配贾宝玉作《访菊》《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》、《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉、史湘云、探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有( )
A. 150 种 B. 360 种 C. 450 种 D. 800 种
二、多选题(共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 下列选项中正确的是( )
A. 运动员每次射击击中目标的概率为 0.7 ，则在 11 次射击中，最有可能击中的次数是 8 次
B. 将 2 个 个 个 排成一排,则共有 120 种排法
C. 某学校拟派 5 名教师去甲、乙、丙这 3 所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校， 每个学校至少要派遣 1 名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有 100 种
D. 360 的正因数有 24 个
11. 下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
第 II 卷 (非选择题)
三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知集合 ，从 的非空子集中随机选一个集合，设事件 表示“抽到的集合中所有元素之和为偶数”，则 _____.
13. 某不透明的袋子中装有标号为 的 12 个球 (除标号外,其他均相同),现从袋子中任取 3 个球,记 为取出的 3 个球的标号之和被 3 除的余数,则 _____.
14. 箱中有连续编号 1 到 15 的小球, 现从箱中一次随机取出 5 个球, 若已知取出的 5 个球的编号中位数为 9 , 则这 5 个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于 9 的概率为_____.
四、解答题(共 5 小题，共 77 分)
15. 计算 ;
16. (1)求 的值；
(2)解关于 的不等式: .
17. 平面上有 9 个点, 其中有 4 个点共线, 除此外无 3 点共线.
(1)经过这 9 个点, 可确定多少条直线
(2)以这 9 个点为顶点，可以确定多少个三角形？
(3)以这 9 个点为顶点, 可以确定多少个四边形
18. 现有 6 本不同的书, 分给甲乙丙三人.按以下要求, 各有几种分法 (用数字作答) (1)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本；
(2)一人得 1 本，一人得 1 本，一人得 4 本；
(3)平均分给甲、乙、丙三人；
(4)一人得 1 本，一人 2 本，另外一人 3 本.
19. 六盘水是贵州省地级市，因夏季平均气温 被中国气象学会授予“中国凉都”称号. 2025 年暑假期间, 来凉都六盘水旅游的人数达到新高, 为了解游客对六盘水旅游项目的熟悉程度, 某校学生开展社会实践活动, 采用问卷的形式随机对来六盘水旅游的 100 名游客进行了有关六盘水旅游知识的调查. 为了方便统计分析, 调查问卷满分 20 分, 得分情况制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这 100 名游客调查问卷中得分的中位数；
(3)该校学生采用分层抽样的方法从评分在 和 的两组中共抽取 5 人，再从 5 人中随机抽取 2 人进行交流,求抽取的 2 人评分分别在 和 内各 1 人的概率.
1. A
根据百分位数与中位数的定义, 结合组合原理求解即可.
甲、乙两组各 5 个数, 各按从小到大排列, 甲组的中位数是甲组的第 3 个数, 设为 ,乙组的第 75 百分位数是乙组的第 4 个数,设为 .
由题意， ，故 或 ，
当 时， ，该分组个数为 (在1,2,3中选 2 个数，5，6，7 中选 1 个数,9,10 中选 1 个数,与 组成甲组),
当 时, ,则甲组的中位数为 3,甲组必须包含 1 和 2; 乙组的第 75 百分位数为 6, 乙组必须有 3 个小于 6 的数,由于1,2,3均在甲组,乙组只有 2 个小于 6 的数 ,故此情况不成立.
综上, 不同的分组个数为 18 .
故选: A.
2. A
先计算从 10 个数中任取 3 个的总组合数, 再枚举公比大于 1 的等比数列个数, 最后用古典概型公式计算概率即可.
根据题意,从整数 中任取三个不同的数,有 种组合,而其中公比大于 1 的等比数列有 ,
共 4 种,所以 .
故选: A.
3. C
由题意可得 ,设 ,而 ,再结合组合计数问题求解.
依题意, ,设 ,而 , 则从 这 11 个整数中任取 3 个不同的数,按照从小到大的顺序安排给 , 所以满足条件的 的个数为 .
故选:
4.
根据题意分组分配, 结合排列组合知识计算即可求解.
先将 6 名志愿者分成 5 组,从 6 人中选 2 人一组,其余 4 人各一组,共有 种分法,
再将这 5 组全排列,对应 5 个项目,有 种排法,
所以不同的分配方法种数为 种.
故选: B.
5. C
方法一:运用分类加法计数原理, 结合组合的定义进行求解即可.
方法二: 运用间接法, 结合组合的定义进行求解即可.
方法一: 将 “至少有 1 个一等品” 的不同取法分三类: “恰有 1 个一等品”, “恰有 2 个一等品”, “恰有 3 个一等品”.
由分类加法计数原理,得不同取法有 (种).
方法二:考虑其对立事件“3 个都是二等品”，用间接法，得至少有 1 个一等品的不同取法有 (种),
故选: C
6. C
先把 5 名党员分成 3 组, 再将这 3 组分配到 3 个社区.
将 5 人分成 3 组，每组至少 1 人，有两种分法,
从 5 人中选 3 人作为一组,剩下 2 人各为一组,有 种,
从 5 人中选 2 人作为一组,再从剩下 3 人中选 2 人,最后 1 人一组,有 种,
所以总的分组方法有 种.
将分好的 3 组,全排列分配到 三个社区: 种,
所以每个社区至少有一名党员,则不同的安排方法共有 种.
故选: C.
7. D
分学生 独自 1 人去乙地或丙地、学生 与学生 外的 1 人成一队去乙地或丙地、 学生 与学生 外的 2 人成一队去乙地或丙地、学生 与学生 外的 3 人成一队去乙地或
丙地这四种情况讨论求解即可.
学生 独自 1 人去乙地或丙地,则不同的安排方案的种数为
学生 与学生 外的 1 人成一队去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为
学生 与学生 外的 2 人成一队去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为
学生 与学生 外的 3 人成一队去乙地或丙地,则不同的安排方案的种数为 ; 综上,符合题意的安排方案共有 种.
故选: D.
8. C
结合两类计数原理,将 6 首诗按1,2,3和2,2,2两种情况求解即可.
第一类,将 6 首诗按1,2,3的数量分给 3 人，有 种;
第二类,将 6 首诗按2,2,2的数量分给 3 人,有 种,
所以不同的分工方案共有 种.
故选: C.
9. ACD
根据排列数和组合数的公式和性质进行计算即可.
A 选项: ,两边相等,故 选项正确;
B 选项: ,
,不成立, B 选项错误
C 选项: ,取 ,
因为 ,移项得: 成立, 选项正确;
D 选项: ,
由二项式定理: ,取 成立, 选项正确;
故选: ACD
10. ACD
对 ,列不等式组法即可求解; 对 ,利用排列公式即可求解; 对 分丙校派遣 1 人和丙校派遣 2 人讨论即可; 对 ,利用组合公式即可求解.
对于 ,运动员在 11 次射击中,击中的次数为 ,则 ,
设击中 次的概率最大,则 ,
解得: ,因此最有可能击中的次数是 8,故 正确;
将2个 个 个 排成一排,共有 种排法,故 错误;
若丙校派遣 1 人，则甲校可以派遣 1 或 2 或 3 人，派遣方案有 种；
若丙校派遣 2 人，则甲校必须派遣 2 人，派遣方案有 种；
所以满足条件的不同的派遣方案有 种,故 正确;
又 ;
其正因数为 ,
故正因数个数有 (个),故 正确.
故选: ACD.
11. BCD
利用排列数公式, 组合数公式一一判断即可.
,故 错误;
,故 B 正确;
,故 C 正确;
因为 ,且
所以 ,故 正确.
故选: BCD
12.
集合 的非空子集有 个,元素和为偶数的子集个数为 个, 所以 .
13.
将 按除以 3 的余数分为三类,每类各 4 个球:
余数为 ,余数为 ,余数为 ,
从 12 个球中任取 3 个,总的样本点个数为: ,
计算符合 (和被 3 除余 0 ) 的取法,分两类情况:
情况 1: 三个球余数相同,取法共: ,
情况 2: 三个球余数各不相同,取法共: ,
符合条件的总取法: ,
故 .
14.
枚举法列出所有情况进行计算.
设取出的 5 个球编号从小到大排列为 ,
由已知中位数为 9 即 ,则 需从 中选取, 需从 中选取,
故基本事件总数为 .
若满足最大编号与最小编号之差为 9,设 ,则 .
由 知 ,
由 即 知 ,且 即 ,故 ,
此时 的选法总数为 ,
求和得符合条件的事件数为 ,
故所求概率为 .
15. 0
根据排列数和组合数计算公式可得答案.
原式 .
16. (1)280；(2)
(1)利用排列数和组合数的公式计算；(2)利用组合数运算求解.
(1) ;
(2)由题意可得 ，解得 ，且 ，
由 ,可得 ,解得 ,
又因为 ,所以 ,故不等式的解集为 .
17. (1)31
(2)80
(3)105
(1)直接法按共线点的选取情况分类, 结合分类加法计数原理计算; 间接法先求 9 个点无限制确定直线的总组合数, 再减去 4 个共线点多算的直线数, 两种方法均可得到结果;
(2)直接法按从 4 个共线点中选取 2 个、1 个、0 个点的情况分类，分别结合另 5 个点的选取计算有效三角形数；间接法先求 9 个点中任取 3 点的总组合数，再减去 4 个共线点中取 3 点的组合数。
(3)直接法按从 4 个共线点中选取 0 个、1 个、2 个点的情况分类，结合另 5 个点的选取计算有效四边形数; 间接法先求 9 个点中任取 4 点的总组合数, 再减去 4 个共线点中取 3 个、 4 个点的组合数。
(1) 解: 法一: (直接法),共线的 4 点记为 .
第一类: 确定 1 条直线;
第二类: 以外的 5 个点可确定 条直线;
第三类: 从 中任取 1 点,其余 5 点中任取 1 点可确定 条直线.
根据分类加法计数原理,共有不同直线 (条).
法二: (间接法):
可确定直线 (条).
(2)解:法一:(直接法)，共线的 4 点记为 .
第一类: 从 中取 2 个点,可得 个三角形;
第二类: 从 中取 1 个点,可得 个三角形;
第三类: 从其余 5 个点中任取 3 点,可得 个三角形. 共有 (个) 三角形.
法二: (间接法):
可确定三角形 (个).
(3)解:法一:(直接法)，共线的 4 点记为 .
分三类:第一类，从 5 个不共线点中取 4 个点，有 个；
第二类,从 5 个不共线点中取 3 个点和 4 个共线点中取 1 个点,有 个;
第三类,从 5 个不共线点中取 2 个点和 4 个共线点中取 2 个点,有 个。
故共有四边形 (个)。
法二: (间接法):
可确定四边形 (个).
18. (1)30
(2)90
(3)90
(4)360
(1)根据排列组合的分组和分配进行求解即可.
(2)在(1)的基础上根据排列组合的分组和分配对甲、乙、丙三人进行分类求解即可.
(3)根据排列组合的分组和分配进行求解即可.
(4)根据排列组合的分组和分配先把书分三堆，再分给三个人进行求解即可.
(1)(1)甲、乙、丙依次选书，得 ;
(2)在(1)的基础上，得 4 本书的可以是甲、乙、丙三人的任何一个，共 ；
(3)甲、乙、丙依次选书，得 ;
(4)先把书分三堆，再分给三个人: .
19. (1)
(2)10.75
(3)
(1) 根据频率之和为 1 列式计算即可求解;
(2)根据中位数的计算公式列式计算即可求解；
(3)根据分层抽样确定抽取人数，再利用古典概率计算公式计算即可求解.
(1) ,所以 .
(2)因为 ， ， 所以中位数在 8 和 12 之间,
设中位数是 ,所以 ,可得 ;
(3)采用分层抽样的方法从评分在 和 的两组中共抽取 5 人，
则在 抽取 2 人，在 抽取 3 人，
设事件 为“抽取的 2 人评分分别在 和 内各 1 人”,
则 ,
故抽取的 2 人评分分别在 和 内各 1 人的概率为 .
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 四答非选择题时, 将答案 写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 将 这 10 个数平均分成甲、乙两组,若乙组的第 75 百分位数恰为甲组的中位数的 2 倍, 则不同的分组个数为( )
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
2. 从整数 中任取三个不同的数. 则这三个数构成公比大于 1 的等比数列的概率为( )
A. B. C. D.
3. 每个正整数都可以唯一表示成以下形式: , 其中 且 为该正整数的 “长度”,例如 . 若正整数 的 “长度”为 1,则这样的 的个数为( )
A. B. C. D.
4. 某社区组织文化活动，现有书法艺术展示、传统戏曲表演、民间手工艺制作、古典诗词朗诵、 现代音乐赏析这 5 个文化活动项目.社区安排 6 名志愿者负责这 5 个项目的活动组织, 若每个项目的活动都至少有 1 名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中 1 个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为( )
A. 1500 B. 1800 C. 2100 D. 2400
5. 有 20 个零件, 其中 16 个一等品, 4 个二等品, 若从这 20 个零件中任意取 3 个, 那么至少有 1 个一等品的不同取法是( )
A. 560 B. 2735 C. 1136 D. 480
6. 临泉田家炳实验中学第一党支部拟选 5 名党员到 A、B、C 三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有( )种
A. 60 B. 90 C. 150 D. 240
7. 将 6 名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加,学生 不安排到甲地且与学生 不安排到同一个地方,则不同的安排方案的种数为 ( )
A. 392 B. 390 C. 262 D. 260
8. 在《红楼梦》中，史湘云邀众姐妹和贾宝玉一起作诗. 共编写了十首不同的咏菊诗，假设分配贾宝玉作《访菊》《种菊》两首，薛宝钗作《忆菊》、《画菊》两首，剩下六首诗分别由林黛玉、史湘云、探春三人创作，且每人至少创作一首，至多创作三首，则不同的分工方案共有( )
A. 150 种 B. 360 种 C. 450 种 D. 800 种
二、多选题(共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 下列选项中正确的是( )
A. 运动员每次射击击中目标的概率为 0.7 ，则在 11 次射击中，最有可能击中的次数是 8 次
B. 将 2 个 个 个 排成一排,则共有 120 种排法
C. 某学校拟派 5 名教师去甲、乙、丙这 3 所不同的学校参观学习，每名教师只去一所学校， 每个学校至少要派遣 1 名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有 100 种
D. 360 的正因数有 24 个
11. 下列等式恒成立的是( )
A. B.
C. D.
第 II 卷 (非选择题)
三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知集合 ，从 的非空子集中随机选一个集合，设事件 表示“抽到的集合中所有元素之和为偶数”，则 _____.
13. 某不透明的袋子中装有标号为 的 12 个球 (除标号外,其他均相同),现从袋子中任取 3 个球,记 为取出的 3 个球的标号之和被 3 除的余数,则 _____.
14. 箱中有连续编号 1 到 15 的小球, 现从箱中一次随机取出 5 个球, 若已知取出的 5 个球的编号中位数为 9 , 则这 5 个球中的最大编号与最小编号之差恰好等于 9 的概率为_____.
四、解答题(共 5 小题，共 77 分)
15. 计算 ;
16. (1)求 的值；
(2)解关于 的不等式: .
17. 平面上有 9 个点, 其中有 4 个点共线, 除此外无 3 点共线.
(1)经过这 9 个点, 可确定多少条直线
(2)以这 9 个点为顶点，可以确定多少个三角形？
(3)以这 9 个点为顶点, 可以确定多少个四边形
18. 现有 6 本不同的书, 分给甲乙丙三人.按以下要求, 各有几种分法 (用数字作答) (1)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本；
(2)一人得 1 本，一人得 1 本，一人得 4 本；
(3)平均分给甲、乙、丙三人；
(4)一人得 1 本，一人 2 本，另外一人 3 本.
19. 六盘水是贵州省地级市，因夏季平均气温 被中国气象学会授予“中国凉都”称号. 2025 年暑假期间, 来凉都六盘水旅游的人数达到新高, 为了解游客对六盘水旅游项目的熟悉程度, 某校学生开展社会实践活动, 采用问卷的形式随机对来六盘水旅游的 100 名游客进行了有关六盘水旅游知识的调查. 为了方便统计分析, 调查问卷满分 20 分, 得分情况制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求 的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这 100 名游客调查问卷中得分的中位数；
(3)该校学生采用分层抽样的方法从评分在 和 的两组中共抽取 5 人，再从 5 人中随机抽取 2 人进行交流,求抽取的 2 人评分分别在 和 内各 1 人的概率.
1. A
根据百分位数与中位数的定义, 结合组合原理求解即可.
甲、乙两组各 5 个数, 各按从小到大排列, 甲组的中位数是甲组的第 3 个数, 设为 ,乙组的第 75 百分位数是乙组的第 4 个数,设为 .
由题意， ，故 或 ，
当 时， ，该分组个数为 (在1,2,3中选 2 个数，5，6，7 中选 1 个数,9,10 中选 1 个数,与 组成甲组),
当 时, ,则甲组的中位数为 3,甲组必须包含 1 和 2; 乙组的第 75 百分位数为 6, 乙组必须有 3 个小于 6 的数,由于1,2,3均在甲组,乙组只有 2 个小于 6 的数 ,故此情况不成立.
综上, 不同的分组个数为 18 .
故选: A.
2. A
先计算从 10 个数中任取 3 个的总组合数, 再枚举公比大于 1 的等比数列个数, 最后用古典概型公式计算概率即可.
根据题意,从整数 中任取三个不同的数,有 种组合,而其中公比大于 1 的等比数列有 ,
共 4 种,所以 .
故选: A.
3. C
由题意可得 ,设 ,而 ,再结合组合计数问题求解.
依题意, ,设 ,而 , 则从 这 11 个整数中任取 3 个不同的数,按照从小到大的顺序安排给 , 所以满足条件的 的个数为 .
故选:
4.
根据题意分组分配, 结合排列组合知识计算即可求解.
先将 6 名志愿者分成 5 组,从 6 人中选 2 人一组,其余 4 人各一组,共有 种分法,
再将这 5 组全排列,对应 5 个项目,有 种排法,
所以不同的分配方法种数为 种.
故选: B.
5. C
方法一:运用分类加法计数原理, 结合组合的定义进行求解即可.
方法二: 运用间接法, 结合组合的定义进行求解即可.
方法一: 将 “至少有 1 个一等品” 的不同取法分三类: “恰有 1 个一等品”, “恰有 2 个一等品”, “恰有 3 个一等品”.
由分类加法计数原理,得不同取法有 (种).
方法二:考虑其对立事件“3 个都是二等品”，用间接法，得至少有 1 个一等品的不同取法有 (种),
故选: C
6. C
先把 5 名党员分成 3 组, 再将这 3 组分配到 3 个社区.
将 5 人分成 3 组，每组至少 1 人，有两种分法,
从 5 人中选 3 人作为一组,剩下 2 人各为一组,有 种,
从 5 人中选 2 人作为一组,再从剩下 3 人中选 2 人,最后 1 人一组,有 种,
所以总的分组方法有 种.
将分好的 3 组,全排列分配到 三个社区: 种,
所以每个社区至少有一名党员,则不同的安排方法共有 种.
故选: C.
7. D
分学生 独自 1 人去乙地或丙地、学生 与学生 外的 1 人成一队去乙地或丙地、 学生 与学生 外的 2 人成一队去乙地或丙地、学生 与学生 外的 3 人成一队去乙地或
丙地这四种情况讨论求解即可.
学生 独自 1 人去乙地或丙地,则不同的安排方案的种数为
学生 与学生 外的 1 人成一队去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为
学生 与学生 外的 2 人成一队去乙地或丙地，则不同的安排方案的种数为
学生 与学生 外的 3 人成一队去乙地或丙地,则不同的安排方案的种数为 ; 综上,符合题意的安排方案共有 种.
故选: D.
8. C
结合两类计数原理,将 6 首诗按1,2,3和2,2,2两种情况求解即可.
第一类,将 6 首诗按1,2,3的数量分给 3 人，有 种;
第二类,将 6 首诗按2,2,2的数量分给 3 人,有 种,
所以不同的分工方案共有 种.
故选: C.
9. ACD
根据排列数和组合数的公式和性质进行计算即可.
A 选项: ,两边相等,故 选项正确;
B 选项: ,
,不成立, B 选项错误
C 选项: ,取 ,
因为 ,移项得: 成立, 选项正确;
D 选项: ,
由二项式定理: ,取 成立, 选项正确;
故选: ACD
10. ACD
对 ,列不等式组法即可求解; 对 ,利用排列公式即可求解; 对 分丙校派遣 1 人和丙校派遣 2 人讨论即可; 对 ,利用组合公式即可求解.
对于 ,运动员在 11 次射击中,击中的次数为 ,则 ,
设击中 次的概率最大,则 ,
解得: ,因此最有可能击中的次数是 8,故 正确;
将2个 个 个 排成一排,共有 种排法,故 错误;
若丙校派遣 1 人，则甲校可以派遣 1 或 2 或 3 人，派遣方案有 种；
若丙校派遣 2 人，则甲校必须派遣 2 人，派遣方案有 种；
所以满足条件的不同的派遣方案有 种,故 正确;
又 ;
其正因数为 ,
故正因数个数有 (个),故 正确.
故选: ACD.
11. BCD
利用排列数公式, 组合数公式一一判断即可.
,故 错误;
,故 B 正确;
,故 C 正确;
因为 ,且
所以 ,故 正确.
故选: BCD
12.
集合 的非空子集有 个,元素和为偶数的子集个数为 个, 所以 .
13.
将 按除以 3 的余数分为三类,每类各 4 个球:
余数为 ,余数为 ,余数为 ,
从 12 个球中任取 3 个,总的样本点个数为: ,
计算符合 (和被 3 除余 0 ) 的取法,分两类情况:
情况 1: 三个球余数相同,取法共: ,
情况 2: 三个球余数各不相同,取法共: ,
符合条件的总取法: ,
故 .
14.
枚举法列出所有情况进行计算.
设取出的 5 个球编号从小到大排列为 ,
由已知中位数为 9 即 ,则 需从 中选取, 需从 中选取,
故基本事件总数为 .
若满足最大编号与最小编号之差为 9,设 ,则 .
由 知 ,
由 即 知 ,且 即 ,故 ,
此时 的选法总数为 ,
求和得符合条件的事件数为 ,
故所求概率为 .
15. 0
根据排列数和组合数计算公式可得答案.
原式 .
16. (1)280；(2)
(1)利用排列数和组合数的公式计算；(2)利用组合数运算求解.
(1) ;
(2)由题意可得 ，解得 ，且 ，
由 ,可得 ,解得 ,
又因为 ,所以 ,故不等式的解集为 .
17. (1)31
(2)80
(3)105
(1)直接法按共线点的选取情况分类, 结合分类加法计数原理计算; 间接法先求 9 个点无限制确定直线的总组合数, 再减去 4 个共线点多算的直线数, 两种方法均可得到结果;
(2)直接法按从 4 个共线点中选取 2 个、1 个、0 个点的情况分类，分别结合另 5 个点的选取计算有效三角形数；间接法先求 9 个点中任取 3 点的总组合数，再减去 4 个共线点中取 3 点的组合数。
(3)直接法按从 4 个共线点中选取 0 个、1 个、2 个点的情况分类，结合另 5 个点的选取计算有效四边形数; 间接法先求 9 个点中任取 4 点的总组合数, 再减去 4 个共线点中取 3 个、 4 个点的组合数。
(1) 解: 法一: (直接法),共线的 4 点记为 .
第一类: 确定 1 条直线;
第二类: 以外的 5 个点可确定 条直线;
第三类: 从 中任取 1 点,其余 5 点中任取 1 点可确定 条直线.
根据分类加法计数原理,共有不同直线 (条).
法二: (间接法):
可确定直线 (条).
(2)解:法一:(直接法)，共线的 4 点记为 .
第一类: 从 中取 2 个点,可得 个三角形;
第二类: 从 中取 1 个点,可得 个三角形;
第三类: 从其余 5 个点中任取 3 点,可得 个三角形. 共有 (个) 三角形.
法二: (间接法):
可确定三角形 (个).
(3)解:法一:(直接法)，共线的 4 点记为 .
分三类:第一类，从 5 个不共线点中取 4 个点，有 个；
第二类,从 5 个不共线点中取 3 个点和 4 个共线点中取 1 个点,有 个;
第三类,从 5 个不共线点中取 2 个点和 4 个共线点中取 2 个点,有 个。
故共有四边形 (个)。
法二: (间接法):
可确定四边形 (个).
18. (1)30
(2)90
(3)90
(4)360
(1)根据排列组合的分组和分配进行求解即可.
(2)在(1)的基础上根据排列组合的分组和分配对甲、乙、丙三人进行分类求解即可.
(3)根据排列组合的分组和分配进行求解即可.
(4)根据排列组合的分组和分配先把书分三堆，再分给三个人进行求解即可.
(1)(1)甲、乙、丙依次选书，得 ;
(2)在(1)的基础上，得 4 本书的可以是甲、乙、丙三人的任何一个，共 ；
(3)甲、乙、丙依次选书，得 ;
(4)先把书分三堆，再分给三个人: .
19. (1)
(2)10.75
(3)
(1) 根据频率之和为 1 列式计算即可求解;
(2)根据中位数的计算公式列式计算即可求解；
(3)根据分层抽样确定抽取人数，再利用古典概率计算公式计算即可求解.
(1) ,所以 .
(2)因为 ， ， 所以中位数在 8 和 12 之间,
设中位数是 ,所以 ,可得 ;
(3)采用分层抽样的方法从评分在 和 的两组中共抽取 5 人，
则在 抽取 2 人，在 抽取 3 人，
设事件 为“抽取的 2 人评分分别在 和 内各 1 人”,
则 ,
故抽取的 2 人评分分别在 和 内各 1 人的概率为 .
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