广西桂林市国龙外国语学校2026届高三下学期3月月考数学试卷（含解析）

广西桂林市国龙外国语学校 2026 年 3 月高三月考 数学试卷
一、选择题(每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.)
1. 已知 ,则角 是( )
A. 第一、二象限角 B. 第二、三象限角
C. 第二、四象限角 D. 第三、四象限角
2. 若复数 ，它的共轭复数为 ，则 ( )
A. 2 B. C. 1 D.
3. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知双曲线 的两条渐近线均与圆 相切,则双曲线 的离心率为( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知命题 ,命题 ,则命题 是命题 的( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 若正整数 满足 ,其中 ,则 的值为 ( )
A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027
7. 已知随机变量 均服从两点分布,且 ,若 , 则
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,将 图象上点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),再将所得图象向右平移 个单位长度,得到函数 的图象. 若 ,总存在唯一实数 ,使得 ,则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.)
9. 已知函数 ，则()
A. 存在唯一的极值点
B. 存在唯一的零点
C. 直线 与 的图象相切
D. 若 ,则
10. 已知数列 满足 ,则( )
A. 数列 是等差数列 B.
C. 数列 的前 项和 D. 数列 是递减数列
11. 已知双曲线 的其中一条渐近线方程为 ,且过点 . 点 为该双曲线右支上一点,点 分别为该双曲线左右焦点. 则下列说法正确的是
( )
A. 当 时, 的面积为
B. 存在过点 的直线与双曲线 相交于 两点,且点 为 的中点
C. 的内切圆与 轴切于点 ,则
D. 过点 分别作两条渐近线的垂线,垂足为 ,则两垂足距离最短为
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.)
12. 已知点 在抛物线 上， 为坐标原点，则 _____；
13. 已知定义在 上的函数 满足 ,对任意的实数 ,且 , ,则不等式 的解集为_____.
14. 已知球 的半径为 2,圆锥 的底面圆周在球 的球面上， 是圆 的一条弦，且二面角 为 ,则当三棱锥 的体积最大时,圆锥 的侧面积为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.
15. 在锐角 中，角 的对边分别是 ，向量 ， ,且 .
(1) 求 ；
(2)若 ， ，求 面积的最大值；
16. 如图，在四棱锥 中， ， 平面 ， , , , 分别为棱 , 的中点.
(1)若点 满足 ，求证:直线 与直线 共面；
(2)求二面角 的大小.
17. 已知椭圆 的离心率为 ，上下顶点分别为 ，且 .过点 的直线与椭圆 相交于不同的两点 (不与点 重合).
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与直线 相交于点 ,求证: 三点共线.
18. 已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调增区间；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值；
(3)当 时，函数 恰有两个不同的零点 ，且 ，求证: .
19. 羽毛球比赛中, 首局比赛由裁判员采用抛球的方法决定谁先发球, 在每回合争夺中, 赢方得 1 分且获得发球权. 每一局中, 获胜规则如下: ①率先得到 21 分的一方赢得该局比赛;
②如果双方得分出现 20:20, 需要领先对方 2 分才算该局获胜; ③如果双方得分出现
29:29, 先取得 30 分的一方该局获胜. 现甲、乙两名运动员进行对抗赛, 在每回合争夺中, 若甲发球时,甲得分的概率为 ; 乙发球时,甲得分的概率为 .
(I) 若 ,记“甲以 赢一局”的概率为 ,试比较 与 的大小;
(II) 根据对以往甲、乙两名运动员的比赛进行数据分析,得到如下 列联表部分数据. 若不考虑其它因素对比赛的影响,并以表中两人发球时甲得分的频率作为 的值.
甲得分 乙得分 总计
甲发球 50 100
乙发球 60 90
总计 190
①完成 2×2 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”？
②已知在某局比赛中，双方战成 27:27，且轮到乙发球，记双方再战 回合此局比赛结束， 求 的分布列与期望.
参考公式: ,其中 .
临界值表供参考:
0.15 0.10 0.05 0.010 0.001
2.072 2.706 3.841 6.635 10.828
1. B
由已知 ,
若 ,则 是第一、二象限角; 若 ,则 是第三、四象限角.
若 ,则 是第一、三象限角; 若 ,则 是第二、四象限角.
因为 ,所以 与 异号,
情况一: 且 ,此时 是第二象限角,
情况二: 且 ,此时 是第三象限角,
综上,角 是第二、三象限角.
2. C
根据复数的除法可得 ,即可得 ,根据复数的乘法即可求得答案.
由题意知复数 ,则 ,
则 .
3. D
,又因为 , 所以 .
4. B
【解析】先得到双曲线 的渐近线,然后根据渐近线与圆相切,利用点到直线的距离等于半径,得到 和 的关系,求出离心率,得到答案.
双曲线 的渐近线为
因为两条渐近线均与圆 相切,
所以点 到直线 的距离等于半径
即 ,
又因为
整理得到 ,
故双曲线 的离心率为 .
故选: B.
【点睛】本题考查求双曲线渐近线, 根据直线与圆相切求参数关系, 求双曲线的离心率, 属于简单题.
5. D
将分式不等式转化为一元二次不等式求解, 再根据集合之间的包含关系判断.
等价于 ,得 ;
因为 和 之间无包含关系,故命题 是命题 的既不充分也不必要条件.
6. C
由题意可得 ,利用二项式定理可得其展开式,进而化为 形式,即得答案.
对照 得 .
7.
利用全概率公式,由 的值,得到 的值,再由条件概率计算公式即可.
由于 服从两点分布,且 ,
因此 .
由全概率公式得 ,
即 ,
所以 , 由条件概率计算公式得 .
故选: D
8.
由函数图象平移及伸缩变换得到 ,由 ,结合函数图象即可求解.
将 图象上点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变),再将所得图象向右平移 个单位长度,
可得: ,
当 ,可得 ,
则 ,
因为存在唯一实数 ,使得 ,
即 是 的子集,且 唯一,
由 图像可知,
所以实数 的取值范围为 ,
故选: B
9. BD
求出 ,令 ,根据 的单调性得 可判断 ; 结合 在 上单调性及 可判断 ; 令 求出切点坐标可得切线方程可判断 ; 根据 在 上单调递增得 ,令 ,求出 可判断 .
由题意得函数的定义域为 ,
对于 ,令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 ,即 ,
所以 在 上单调递增,所以 没有极值点,故 错误;
对于 ,因为 在 上单调递增, ,所以 存在唯一零点 1,
故 B 正确;
对于 ,令 ,则 ,即切点为 ,
所以切线方程为 ,即 ,故 错误;
对于 ,因为 在 上单调递增, ,所以 ,
可得 ,所以 ,
令 ,则 ,
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,所以 .
故选: BD.
10. AC
根据等差数列的定义即可判断 A; 根据等差数列的通项公式即可判断 B; 根据等差数列的前 项和公式即可判断 ; 根据等差数列的单调性即可判断 .
对于 ,由 ,可得 ,
所以数列 是以 为首项, 为公差的等差数列,故 正确;
对于 ,由 知 ,所以 ,故 错误;
对于 ,由数列 是以 为首项, 为公差的等差数列,
知 ,故 正确;
对于 ,因为 ,所以数列 是递增数列,故 错误.
11. ACD
先求出双曲线的标准方程, 再围绕双曲线的几何性质和相关定理, 逐一分析四个选项:
选项 A: 先利用双曲线定义得到 ,再结合余弦定理求出 的值, 最后用三角形面积公式 计算面积;
选项 B: 先用点差法求出直线斜率, 再写出直线方程并联立双曲线方程, 最后通过判别式 判断直线与双曲线无交点;
选项 C: 先利用切线长相等的性质,再结合双曲线定义 ,最后推导出
选项 D: 先写出点到渐近线的距离公式, 再结合双曲线方程化简, 得到距离乘积为定值, 最后利用余弦定理和不等式求出最短距离.
由 ,即 ,所以双曲线 的方程为 ,
所以 ,所以焦点为 .
对于 : 当 时,
由 ,所以 ,
所以 ,故 A 正确;
对于 : 设 ,
则 ,所以
又 为线段 的中点,所以 ,
所以 ,故 的直线方程为 ,
直线与曲线方程联立 ,则 ,
因为 ,此方程无解,所以不存在符合条件的直线,故 错误;
对于 : 设 的内切圆为圆 ,与 相切于
则 .
又因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,故 正确;
对于 : 设 ,不妨设点 在渐近线 上,
则 ,且 ,
由余弦定理,
因为 ,所以 (当 时取等号),即 . 故 正确.
故选: ACD.
12.
因为点 在抛物线 上,故 ,
故 .
13.
设 ,即可判断 的单调性,不等式 等价于 ,结合函数的单调性即可得出答案.
设 ,因为对任意的实数 且 , 所以 ,即 ,
所以 在 上是减函数,因为 ,所以 ,
不等式 ,
所以 ,解得 ,即不等式 的解集为 .
故答案为:
14.
设圆锥 的底面半径为 ,取 的中点 ,则 ,利用 求出 的范围，则三棱锥 的体积 ，再利用导数求出最值可得答案.
设圆锥 的底面半径为 ,球 的半径 .
如图,取 的中点 ,连接 ,
则 ,
则 是二面角 的平面角. ,
则 ,
所以 ,由 得 ,
则三棱锥 的体积
令 ,
令 ,则 (负根舍去),
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
则当三棱锥 的体积最大时, ,
则 ，此时，圆锥 的侧面积 .
故答案为: .
15. (1)
(2)
(1) 根据向量垂直的坐标形式可得 ,利用正弦定理边化角再结合三角变换公式可得 ;
(2)根据向量的线性运算可得 ，从而可得 ，由基本不等式可求 的最大值,从而可求面积的最大值.
(1)因为 ，所以 ，即 ，
由正弦定理得 ,
所以 .
因为 ,所以 ,
所以 ,而 为三角形内角,故 ,所以 .
因为 ,所以 .
(2)因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ,
因为 ,且 ,
所以 ,
当且仅当 时,等号成立,
则 的面积 ，即 面积的最大值为 .
16.
(1) 建立空间直角坐标系, 根据空间向量共面的充要条件即可证明四点共面;
(2)分别求出平面 与平面 的法向量，根据面面夹角公式求解即可.
( 1 )因为 平面 ， ， 平面 ，所以 ， . 因为底面 为直角梯形, ,
所以以 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
因为 ,
所以 ,
因为 ,所以 四点共面,
所以直线 与直线 共面.
(2)
设 是平面 的一个法向量,则 令 ,则 ,得 ,
设 是平面 的一个法向量,则
令 ,则 ,得 ,
设平面 与平面 的夹角为 ，
因为 ,
由图可知,二面角 为钝二面角,
所以二面角 的大小为 .
17.
(1) 根据椭圆的离心率为 和 ,由 求解;
(2)设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，由直线 的方程为 ,令 ,得到 ,再结合韦达定理,判断 即可.
(1) 解: 根据题意,
解得 .
所以椭圆 的方程为: .
(2)
(2)由(1)知， ， .
根据题意,直线 的斜率一定存在,设直线 的方程为 .
由 ,得 .
根据题意, 恒成立,设 .
则 .
直线 的方程为 ,
令 ,得 ,所以 .
因为 ,
则直线 的斜率分别为 ,
又 ,
,
.
所以 ,
所以 三点共线.
18.
(1) 先求出 ,再利用导数求出 的单调增区间;
(2)先利用分离参数法得到 对 恒成立. 令 , 求导得到 ,再令 ,判断出 ,使 ,得到 在 上单调递增,在 上单调递减,求出 ,得到 . 由 ,求出整数 的最小值;
(3)用分析法证明:当 时，把题意转化为只需证 . 先整理化简得到 ,只需证 . 令 ,构造函数 ,利用导数证明出 . 即证.
(1) 当 时, ,所以 ,
则 ,定义域为 .
令 ,解得: .
所以 的单调增区间为 .
(2)依题意 对 恒成立，等价于 对 恒成立.
令 ,则
令 在 上是增函数,
所以 ,使 即
对 ,所以 在 上单调递增;
对 ,所以 在 上单调递减.
所以 .
所以 .
又 ,所以整数 的最小值 2
(3)当 时，由(2)知 在 上单调递增，在 上单调递减且 时, 时, ;
依题意存在 使得
已知 可得
要证 成立,只需证
因为 是 的零点,所以 ,
两式相减得:
即
只需证
又因为 只需证
即证
令 则 ,所以 ,
所以 在 增函数,所以 即 .
即 成立.
所以原不等式得证.
19. (I) 根据题意可得前 个回合里,甲赢下 20 个回合,输掉 个回合,且最后一个回合必需获胜,从而得到 ,计算出 和 ,做商比较,得到答案;
(II) ①根据题意,填写好列联表,计算出 ,做出判断; ②由列联表得到 和 的值, 得到 可取的值,分别计算其概率,写出分布列,计算出期望.
(I) 甲以 获胜,则在这 个回合的争夺中,前 个回合里, 甲赢下 20 个回合,输掉 个回合,且最后一个回合必需获胜
(II) ①由甲发球的总计和乙得分，得到甲得分的数值为 , 由乙发球的总计和甲得分,得到乙得分的数值为 ,
从而得到甲得分总计为 ,乙得分的总计为 , 所以 列联表如下:
甲得分 乙得分 总计
甲发球 50 50 100
乙发球 60 30 90
总计 110 80 190
， 有 95%的把握认为“比赛得分与接、发球有关”
②由 列联表知 ,
此局比赛结束, 比分可能是 29:27, 30:28, 30:29,
若比分为 29:27,则甲获胜概率为 ,乙获胜概率为 ,
,
若比分为 30:28 , 则甲获胜的情况可能为: 甲乙甲甲, 乙甲甲甲,
其概率 ,
乙获胜的情况可能为:甲乙乙乙，乙甲乙乙，
其概率 ,
,
若比分为 ,则 ,
的分布列为
2 4 5
4 9 13 54 17 54