广西壮族自治区柳州市柳江中学2026届高三下学期综合测试（三）数学试题（含答案）

2026 届高三下学期数学综合测试 (三)
总分: 150 分
一、单选题(共8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有 一项符合)
1. 已知全集 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 复数 的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3. 样本数据2,8,14,16,20的第 60 百分位数是( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 18
4. 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，以下说法正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
6. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 为抛物线上一点，作 于点 ，若 为等边三角形,则 点的横坐标为 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知数列 为等差数列,其前 项和分别为 ,且满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
8. 若定义在 上的函数 满足 是奇函数, ,则 ( )
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
二、多选题(共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 下列关于函数. 的说法正确的是 ( )
A. 为奇函数 B. 是 图象的一条对称轴
C. 为周期函数,且最小正周期为
D. 的值域为
10. 已知 ,则( )
A. B.
C. D.
11. 已知双曲线 的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ， ， 点 在 的右支上,直线 与 交于另一点 的中点为 为坐标原点,则下列说法错误的是( )
A. 存在点 ，使得直线 的斜率为 2
B. 存在点 ,使得
C. 存在点 ,使得
D. 存在点 ,使得点 的横坐标为
三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 若向量 满足 ,且 ,则 在 方向上的投影向量的坐标为_____.
13. 已知圆台的上、下底面半径分别为 ,母线长为 ,若圆台的侧面积为 ,则该圆台的体积为_____.
14. 有 个编号分别为 的盒子,第 1 个盒子中有 2 个白球 1 个黑球,其余盒子中均为 1 个白球 1 个黑球, 现从第 1 个盒子中任取一球放入第 2 个盒子, 再从第 2 个盒子中任取一球放入第 3 个盒子，以此类推，则从第 2 个盒子中取到白球的概率是_____，从第 个盒子中取到白球的概率是_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或者演算步骤)
15. 在 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求A的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围.
16. 截至 2025 年底, 我国新能源汽车保有量达到 4397 万辆, 占汽车总产量的 12%. 某城市研究小组调查了 300 名汽车驾驶员对新能源汽车和燃油汽车的偏好程度，将调查结果整理成如下列联表.现统计得出样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的 50%，女性驾驶员的样本占样本总数的 ，偏好燃油汽车的男性驾驶员的样本有 120 人.
偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计
男性驾驶员 120
女性驾驶员
合计 300
(1)请根据已知条件将上述列联表补充完整，并依据小概率值 的独立性检验，分析对燃油汽车和新能源汽车的偏好是否与驾驶员性别有关联. 如果有关联，解释它们之间如何影响.
(2)现从女性驾驶员中按对燃油汽车和新能源汽车的偏好用分层抽样法抽取 8 人做进一步访谈, 然后从这 8 人中随机抽取 3 人填写调查问卷, 记抽取的 3 人中偏好新能源汽车的人数为 ,求 的分布列及数学期望.
参考公式及数据: .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17. 如图①所示，四边形 是直角梯形， ， ，且
为线段 的中点. 现沿着 将 折起,使 点到达 点,如图②所示；连接 、 ，其中 为线段 的中点.
图①
图②
(1)求证: ；
(2)若二面角 的大小为 ，则在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 若存在，求三棱锥 的体积；若不存在，请说明理由.
18. 设函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 有两个零点 ,且 .
① 求实数 的取值范围；
②证明: .
19. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 均为椭圆 上的动点.
(i) 若直线 、直线 分别过 的左右焦点,记直线 的斜率分别为 , ,当 成等差数列时,求点 的坐标;
(ii) 若 的重心是坐标原点 ,证明: 的面积是定值.
1. B
根据集合的基本运算进行求解.
因为 ,
所以 或 ,
所以 ,
故选: B
2. A
应用复数的除法化简复数, 再根据共轭复数的概念写出对应共轭复数即可.
由 ,其共轭复数为 .
故选: A
3. B
根据百分位数计算公式计算即可.
因为 ,所以这组数据的第 60 百分位数是 .
故选: B
4. B
若 ,则 ,又 ,所以 或 ,则
所以当 时,“ ” 推不出 “ ”;
若 ,则 ,可得 ,则 ,
所以当 时,“ ” 可以推出 .
综上,“ ” 是 “ ” 的必要不充分条件.
5. D
对于 ,若 ,则 或 或 与 相交,故 错误;
对于 ,若 ,则 或 或 与 相交,故 错误;
对于 ,若 ,则 或 或 与 相交不垂直或 与 垂直,故
C 错误;
对于 ,若 ,则 ,又因为 ,则 ,故 正确.
6. C
利用抛物线的标准方程先确定 坐标,结合定义与正三角形的性质计算即可.
由抛物线的定义可知 ,且 ,过 作 , 可知 为 的中点，
则 ,即 ,所以 点的横坐标为 3 .
故选:
7.
利用等差数列前 项和公式及等差数列性质将 转化为 ,再利用 求出 的值即可.
等差数列前 项和 ,
所以 ,
由等差数列性质知 ,
所以 .
又 ,
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
令等差数列 的公差为 ,等差数列 的公差为 ,
则 ①， ②， ③，
由②得, ,由③得, ,
代入①中，整理得， ，所以 ，故 .
故选: C.
8. A
由 是奇函数可得 关于 中心对称,结合 , 利用赋值法计算可得 ,即可得该函数周期,再利用 ,则可计算出 为 1 到 6 时的 的值,即可得解.
由 是奇函数,则 ,故 关于 中心对称,
由 ,令 ,则 ,即 ,
由 ,令 ,则 ,
故 ,则 ,
故 ,即有 ,故 以 4 为周期,
由 ,则 ,
则
.
9. AD
利用奇偶性定义判断 ,利用函数对称性与周期性的定义判断 ; 利用导数判断 D.
对于 ,
为奇函数,故 正确.
对于 ,
不是 图象的一条对称轴,故 错误;
对于 不是 的周期,故 错误,
对于 ,
令 ,即 ,解得 或 ,
当 时, ,
当 时, ,故函数极值为
的值域为 ,故 正确.
10. AD
结合赋值法、导数运算以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
由 ,
令 得 , A 选项正确.
令 得 , B 选项错误.
二项式 展开式的通项公式为 ,
由此可知 是负数, 为正数,
所以令 得 ,
即 选项错误
由 ,
两边求导得 ,
令 得 ,所以 选项正确.
故选: AD
11. ABD
对于 ,找到渐近线斜率即可判断; 对于 ,利用 上 ,求出 点的横坐标, 然后结合条件检验即可判断；对于 ，将 转化成两点间距离公式，求出 点的横坐标在符合题目范围内即可判断; 对于 ,利用点差法得 ,进而判断出不存在点 使得等式成立.
设点 ,
由题知离心率 ,解得 ,
故有 ,双曲线 的渐近线为 ,
对于 选项，如果存在点 ，使得直线 的斜率为 2 ，
直线 与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故 A 错误；
对于 选项: ，若 ，即 ，
可得 ,即: (①),
而 位于双曲线右支上,其中 ,
故有: ,即: (2),
联立①②两个等式可得: ， ，又 ，此时
,由选项 A 可知不合题意,故 B 选项错误;
对于 选项: 由 ,即: ,化简得: ,由点
在 的右支上可知: ,故存在点 ,使得 ,故 选项正确;
对于 选项: 设 ,
而 ,带入化简得: ,而 ,
故 ,可知不存在这样的点 使等式成立,
故不存在点 ,使得点 的横坐标为 ,故 选项错误.
下面为证明: ,
的中点为 ,根据中点坐标公式可知 ,故 , ,故 ,
而 两点均位于双曲线上,故: (③)
(④)，用③减④得: ，
化简得 ,故 ,证毕.
故选: ABD
12.
根据 ,求出 ,再结合投影向量的定义得出答案.
因为 ,则 ,解得 ,
由于 ,所以 在 方向上的投影向量即为 ,
则 在 方向上的投影向量的坐标为 .
故答案为: .
13.
由圆台的侧面积公式求出 ,再利用圆台的体积公式计算即可.
由题意知, ,则 ,
则圆台的高为 ,
则该圆台的体积为 .
故答案为:
14.
记事件 表示从第 个盒子里取出白球,利用全概率公式可得
,进而可得 ,然后构造等比数列, 求通项公式即得.
记事件 表示从第 个盒子里取出白球,则 ,
所以 ,
,
进而可得 ,
又 ,
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列,
所以 ,即 ,
故答案为: .
15.
(2)
(1) 根据正弦定理可得到 ,进而得到 ,即可求出 的大小;
(2)根据三角形内角和为 ，且 为锐角三角形，从而可得出 的取值范围，再将 转化为关于 的函数即可求解.
(1)由 ，
则根据正弦定理有 ,即 ,
又由余弦定理有 ,得 ,
所以在 中，得 ；
(2)由 为锐角三角形,且 ，
则有 ,得 ,即 ,即 ,
所以根据正弦定理有 .
16. (1)列联表为
偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计
男性驾驶员 120 100 220
女性驾驶员 30 50 80
合计 150 150 300
有关联，解释见解析，
(2)随机变量 的分布列为
0 1 2 3
5 15 56 5 28
期望为
(1) 根据已知数据可计算得到补全列联表所需的数据, 进而补全列联表, 并计算得到 ,由此可得结论;
(2)根据分层抽样原则可确定样本中偏好新能源汽车的人数和偏好燃油车的人数，由此可得 所有可能的取值,根据超几何分布概率公式可求得 每个取值对应的概率,由此可得分布列; 由数学期望计算公式可求得期望值.
(1)因为样本中偏好燃油汽车的人数占样本总数的 50%，故样本中偏好燃油汽车的人数为 ,
因为样本中女性驾驶员的样本占样本总数的 ,故样本中女性驾驶员的人数为 , 由题意, 列联表补充如下:
偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计
男性驾驶员 120 100 220
女性驾驶员 30 50 80
合计 150 150 300
零假设 为: 对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别无关联.
根据列联表数据,计算得 .
根据小概率值 的独立性检验,可以推断 不成立,即认为对燃油汽车和新能源汽车的偏好与驾驶员的性别有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.01 .
男性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为 ,女性驾驶员中偏好新能源汽车的频率为 ,前者明显小于后者. 根据频率稳定于概率的原理,我们可以认为女性驾驶员偏好新能源汽车的概率更大.
(2)由题意，抽取的 8 人中偏好燃油汽车的人数为 人，偏好新能源汽车的人数为 人.
随机变量 的可能值为 0,1,2,3 .
所以,随机变量 的分布列为
0 1 2 3
15 56
的数学期望 .
17.
(1) 根据线面垂直, 面面垂直的判定与性质得证;
(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角解出参数，再由棱锥体积公式得解；
(1)在图①中，由题知四边形 为正方形，且 ；
则在②中， ， ，且 ，
又 平面 ,则 平面 ;
又 平面 ,
又 平面 ;
又 ，且 为 的中点，则 ；
又 平面 ,
则 平面 ,又 平面 ,
可得 .
(2)由(1)知 平面 平面 ，则平面 平面 ；
由题知二面角 的平面角为 ,则 ,
则 是等边三角形,则 ;
取 的中点为 ,连接 ,则 ,
又平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,且 ,
则可以建立如图所示的空间直角坐标系;
则 ,
则 ,
设 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ,则 ,
令 ,则 ,
记直线 与平面 所成角为 ,
则 ,
即 ,解得 ,
因此 ,则 .
18.
(1) 求导得 ,分为 和 四种情况, 分别讨论 的符号,从而得到函数 的单调性;
(2)① 分为 和 五种情况，结合函数的单调性分别讨论，即可求出答案；②由①知， ，即 ，要证 ，只需证 ,通过构造函数 ,判断 在 上单调递增,从而证明 ,继而得到 ,再结合函数 的单调性即可证明 .
(1) ,
(i) 当 时, ,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增;
(ii) 当 时,
当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增;
(iii) 当 时, 在 上单调递增;
(iv) 当 时,
当 时, 单调递增,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增;
综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时, 在 上单调递增;
当 时, 在 上单调递减,在 上单调递增.
(2)① ，
(i) 当 时, ,令 ,解得 , 此时函数 只有一个零点 1,不符合题意,舍去;
(ii) 时, 在 上单调递减,在 上单调递增,
则 ,
又 ,
取 且 ，
则 ,
所以 有两个零点,其中 ,符合题意;
(iii) 当 时,
在 上单调递增,
当 时, ,
所以 不可能有两个零点,不符合题意,舍去;
(iv) 当 时, 在 上单调递增, 不可能有两个零点,不符合题意,舍去;
(v) 当 时,
当 时, ,
又 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
所以 不可能有两个零点,不符合题意,舍去.
综上所述，实数 的取值范围为 .
②由①知， ， ，所以 ，
要证 ,即证 ,
令 ,
则 ,
当 时, 在 上单调递增,
因为 ,所以 ,
即 ,即 ,
又因为 ,所以 ,
又因为 且 在 上单调递减,
所以 ,即 ,
原命题得证.
19.
(1) 根据椭圆的离心率、短轴长、 的关系列方程组求解 的值,可得椭圆 的方程;
(2)(i)设 ，则根据斜率关系可得 ，设 ， ,其中 ,联立直线与椭圆确定交点坐标关系,再由 成等差数列,得 ,结合斜率的坐标运算列方程即可得 的值,从而得所求; (ii) 若 的重心是坐标原点 ,讨论直线 的斜率不存在与存在两种情况,当直线 的斜率存在时结合点差法得 ,从而得直线 的方程,联立直线与椭圆,利用 的面积公式得 ,结合三角形重心性质即可证得结论.
(1) 由题意可得 ,解得 , 所以椭圆方程为 ;
(2)(i)设 ，则 ，
所以 ,
设 ,其中 ,
由 ,消去 ,得 ,
则
从而 ,
同理,可得 ,
则 ,
由 成等差数列,得 ,即 ,
解得 ,或 (舍), (舍),
所以点 的坐标为 .
(ii) 证明: 设 ,
当直线 的斜率不存在时,易得 ,直线 的方程为 ,或 ,直线 的方程为 ,
将 代入椭圆的方程,可得 ,
所以 的面积 ,
当直线 的斜率存在时,有 的中点 ,则 ,
因为 在椭圆上,则 ,相减得 ,
整理得 ,所以可得 ,
所以直线 的方程为 ,
即 ,
令 ,可得直线 在 轴上的截距为 ,则 ,
将 代入椭圆的方程,得 ,
即 ,则 ,
所以 ,
所以 ,
又因为 是 的重心，所以 ，
综上， 的面积是定值 .