广西钦州市大寺中学2026年春季学期高二年级第二周考试数学试卷（含答案）

广西钦州市大寺中学 2026 年春季学期高二年级第二周考试 数学试卷
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 四答非选择题时, 将答案 写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题(共8小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 用 这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A. 324 B. 224 C. 360 D. 648
2. 要从 个人中选出 1 名组长和 1 名副组长,但 不能当副组长,则不同的选法种数是( )
A. 20 B. 16 C. 10 D. 6
3. 某班下午有三节课，欲从语文、数学、英语、物理、化学中任选三科来安排，则不同排课法的种数是( )
A. 15 B. C. D.
4. 已知 是 的某种排列,集合 , ，且 ，则这样的有序数对 的个数为( )
A. 81 B. 90 C. 99 D. 108
5. 某学术会议有 6 个相邻座位 (编号1至 6 )，安排来自 3 所不同大学的 6 位教授入座，每校 2 人(甲校( )、乙校( )、丙校( ))，要求甲校的 必须坐在乙校的 的左侧且相邻; 丙校的 与 两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有( )
A. 60 种 B. 72 种 C. 84 种 D. 96 种
6. 如图, 一个地区分为 4 个区域, 现给该地区着色, 要求相邻区域不得使用同一颜色, 现有 3 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有( )种.
A. 12 B. 18 C. 24 D. 30
7. 从1,2,3,4,5这五个数中任选三个数，其中至少有两个数为相邻的数，所选的三个数组成的三位数共有( )
A. 8 个 B. 54 个 C. 10 个 D. 60 个
8. 已知 1、2、3、4、5、6、7、8 八个数字组成一个八位数(各位数字不重复)，满足任意相邻数字奇偶性不同,且 5、6 两个数字相邻,则这样的八位数有( )个.
A. 432 B. 257 C. 282 D. 504
二、多选题(共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,则所有组成的五位数中( )
A. 奇数有 60 个
B. 能被 5 整除的有 24 个
C. 1 在万位而 2 不在个位的有 18 个
D. 比 12345 大的有 108 个
10. 13 张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌,正面标有 ,此外还有五张字母牌, 正面标有 ,将这十三张牌随机排成一行,则下列说法正确的是 ( )
A. 不同排列方式的种数不超过 60 亿种
B. 五张字母牌互不相邻的概率为
C. 在标有 8 的卡牌左侧没有数字牌的概率为
D. 对于给定的整数 ,记“在标有 的数字牌左侧,没有标号比 小的数字牌”为事件 发生的概率为
11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设
"礼"“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则( )
A. 课程 “礼” “乐“州” 排在相邻的三周，共有 144 种排法
B. 课程 “礼”排在 “乐” 的后面 (可以不相邻), 共有 360 种排法
C. 课程 “射”“御”排在不相邻两周，共有 240 种排法
D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有 504 种排法
第 II 卷(非选择题)
三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. _____.
13. 在某次数学竞赛小组交流活动中, 四名男生与三名女生按随机次序围坐一圈, 则三名女生两两不相邻的概率为_____.
14. 将 排列为 ，使得 3 个三位数 之和等于 2025,则不同的排列方法数为_____.
四、解答题(共 5 小题，共 77 分)
15. 电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有 4 名男生和 3 名女生相约一起去观看该影片, 他们的座位在同一排且连在一起.
(1)女生互不相邻的坐法有多少种？
(2)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
16. 3 名数学小组成员(包括甲、乙)和 4 名语文小组成员站成两排拍照，第一排站 3 人， 第二排站 4 人.
(1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数；
(2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数；
(3)若语文小组成员分成两排站(每排至少站 1 人)，求不同的排法种数.
17. 某箱子中放有编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的大小与形状都相同的小球,现由 二人轮流从该箱子中不放回地取出小球,并记下小球的编号,若 先取小球.
(1)求 前两次取得的小球编号之和为 13 的概率.
(2)当有一人所取出的小球编号之和为 13 时，游戏结束，并判定此人胜利.
(i) 求 取了 3 次小球并获得胜利的概率;
(ii) 求 获得胜利的概率.
18. 13 张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌,正面标有 ,此外还有五张字母牌, 正面标有 ,将这十三张牌随机排成一行.
(1)求五张字母牌互不相邻的概率；
(2)求在标有 8 的卡牌左侧没有数字牌的概率.
19. 贵池某中学在 2025 年距离高考倒计时 100 天当天, 为高三学生举办高考百日誓师大会,
用以激励正在备考的高三学生. 学校共准备了四首励志歌曲和三个发言 (一个教师代表发言, 一个往届优秀学生视频发言，一个应届学生代表发言) .根据不同的要求，求本次活动的安排方法.
(1)往届优秀学生视频发言和应届学生代表发言必须相邻，有多少种安排方法？
(2)三个发言不能相邻，有多少种安排方法？
(3)励志歌曲甲不排在第一个，励志歌曲乙不排在最后一个，有多少种安排方法？(结果用数字作答)
1. B
根据分步计数原理,先排个位,有 种,然后排十位和百位,有 种,即可得解.
先排个位,有 种,然后排十位和百位,有 种,
故共有 (个) 没有重复数字的三位偶数.
故选: B
2. B
先考虑无限制条件的情况,再减去 当副组长的情况,即可得答案.
不考虑限制条件有 种选法,
若 当副组长,有 种选法,
故 不当副组长,有 (种) 选法.
故选: B.
3. B
根据排列数的定义计算即可
把下午三节课看成“3 个位置”, 把语文、数学、英语、物理、化学看成“5 个元素”, 分别用 来表示，
一种排课法可看作是从 中取出 3 个按顺序分给三节课,
分配的时候有顺序之分,故所有不同排课法的种数是 .
故选: B.
4. C
利用已知条件把问题转化为满足 的有序对个数,再对 分类讨论求出满足情况的 对数,最后求和.
的总对数为 ,
时, ,除 均满足,共 对;
时, ,则 时:
若 可取1,2,3共 3 种;
若 可取 1,2 共计 2 种; 若 ,则 可取 1 共计 1 种;
不满足的情况为 种,
共 种情况;
时, ,则 :
若 可取 1 种; 若 可取 2 种; 若 可取 3 种;
若 可取 4 种; 若 可取 5 种;
不满足的情况为 种,
共 种情况;
时, ,
若 可取 4 种; 若 可取 3 种; 若 可取 2 种; 若 可取 1 种;
共 种情况;
时, :
若 可取 2 种; 若 可取 1 种;
共 种情况;
时, ,不存在;
总情况数为 种.
故选: C.
5. B
采用捆绑、插空的方法结合排列数计算即可求解.
先将 绑在一起,当做一个人和 进行排列,共有 种排列,
有 4 个空位选两个插入 与 ,所以共有 种符合条件的安排方法.
故选: B
6. B
讨论用 3 种颜色和 2 种颜色两种情况, 分别求解, 综合即可得答案.
若用 3 种颜色,则需 同色,或 同色,则有 种选择,
若用 2 种颜色,则需 同色并且 同色,则有 种选择,
综上,不同的着色方法共有 种.
故选: B
7. B
利用对立事件的性质与排列数的性质求解即可.
由题意得至少有两个数为相邻的数的对立事件是三个数都不相邻,
则在1,2,3,4,5中选数,共有135,315,351,153,513,531符合,共 6 个,
而从1,2,3,4,5这五个数中任选三个数组成三位数,共有 个,
可得符合题意的三位数共有 个,故 正确.
故选: B
8. D
利用捆绑法和插空法来求个数即可.
第一步: 把 奇偶数相间而排,共有 种,
第二步:再把 5、6 两个数字一起插空，由于每一个空的旁边都是一奇一偶，
所以插入后奇数旁边放 6 ，偶数旁边放 5 ，则这 7 个空共有 种排法，
根据分步计数乘法原理可得: 这样的八位数有 个,
故选: D.
9. BC
先选末位为奇数再排列可判断 A: 先选末位为 5 ，再排列可判断 B: 先排数字 2 ， 再排列其他数字可判断 C; 利用间接法可判断 D.
末位为奇数有 3 种选择,再将其他数字进行排列,故奇数有 个,故 错误; 能被 5 整除,则末位为 5,共 个,故 正确;
数字 2 的位置有 3 种选择,则 1 在万位而 2 不在个位的有 个,故 正确;
由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数共 个,其中最小的五位数是12345,
故比 12345 大的有 119 个, 故 D 错误.
故选: BC
10. BCD
对于选项 A，利用排列数公式计算 13 张牌的全排列数，再与 60 亿比较大小；对于选项 B，利用插空法计算五张字母牌互补相邻的排列数，再根据古典概型概率公式计算概率； 对于选项 C, 利用定序问题的排列方法计算标有 8 的卡牌左侧没有数字牌的排列数, 再根据古典概型概率公式计算概率; 对于选项 D,分析“在标有 的数字牌左侧,没有标号比 小的数字牌”这一事件的含义, 进而判断其概率.
对于选项 A, 13 张大小质地完全相同的卡牌进行全排列, 根据排列数公式
可得,不同排列方式的种数为
亿,所以选项 错误; 对于选项 ,先排 8 张数字牌,有 种排法,8 张数字牌排好后形成 9 个空,从这 9 个空中选 5 个空排 5 张字母牌,有 种排法. 根据分步乘法计数原理,五张字母牌互补相邻的排法共有 种.
而 13 张牌的全排列数为 种,所以五张字母牌互不相邻的概率为 , 所以选项 B 正确;
对于选项 ,先排 8 张数字牌,由于在标有 8 的卡牌左侧没有数字牌,所以标有 8 的数字牌只能在所有数字牌的最左侧,其余标有 1-7 的数字牌有 种排列方式,再将剩余的五张字母牌依次插入,有 种排列方式. 根据分步乘法计数原理,在标有 8 的卡牌左侧没有数字牌的方法共有 种.
而 13 张牌的全排列数为 种,在标有 8 的卡牌左侧没有数字牌的概率为 ,所以选项 C 正确;
对于选项 D,对于给定的整数 ,事件 为“在标有 的数字牌左侧,没有标号比 小的数字牌”,不妨将标有 1 到 这 个数字的牌进行全排列,这 个数字牌的全排列方式有 ! 种,而满足事件 的情况,等价于在这 个数字牌的排列中, 这个数字牌排在最左侧,此时其余 个数字牌可以任意排列,其排列方式有 ! 种.
根据古典概型概率公式,事件 的概率为 ,所以选项 D 正确.
故选: BCD.
11. ABD
根据题意, 由分布、分类计数原理和排列数与组合数公式, 分别判断各选项即可.
对于选项 A，课程“礼”“乐”“射”排在相邻的三周，通过捆绑法，将课程“礼”“乐”“射”
看成一个整体,
与其他 3 门课程全排列,共有 种排法,故 正确;
对于选项 B，在所有排列中，课程“礼”排在“乐”的后面与课程“乐”排在课程“礼”的后面的情况等可能,
各占一半,所以课程“礼”排在课程“乐”的后面的排法有 种,故 B 正确;
对于选项 C，课程“射”“御”排在不相邻两周，通过插空法，先排好其他的 4 门课程，有 5 个空位可选，
在其中任选 2 个,安排课程“射”“御”共有 种排法,故 C 错误;
对于选项 D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，用总的排法数减去课程“乐” 排在第一周的排法数, 再减去课程 “御”排在最后一周的排法数, 然后加上课程 “乐” 排在第一周且
课程 “御”排在最后一周的排法,则总的排法为 种,若课程 “乐” 排在第一周的排法为 种,
若课程“御”排在最后一周的排法为 种,
课程“乐”排在第一周且课程“御”排在最后一周的排法为 种,
则满足条件的排法数为 种,故 正确.
故选: ABD.
12. 根据排列数的计算公式, 准确计算, 即可求解.
由排列数的计算公式,可得 .
故答案为: .
13. 先算 7 人环形总排列数, 再算男生环形排列后选空位排女生的排列数, 最后再由古典概型公式得概率.
这 7 名学生的任意圆排列有 6 ! 种. 以下考虑满足条件的圆排列的种数.
先对四名男生进行圆排列, 有 3 ! 种排法, 任意两名相邻男生之间暂视为一个空位, 共 4 个空位;
为使三名女生两两不相邻，需挑选 3 个不同的空位将她们依次排入，有 种排法. 因此满足条件的圆排列有 种.
从而所求概率为 .
14. 1944
根据给定条件, 确定 3 个三位数的百位数字和、十位数字和、个位数字和, 再利用列举法确定取值情况种数, 然后利用排列计数问题及分步计数乘法原理列式求解.
记 ,
依题意, ,且 ,
显然 的末位数字为 5,而 ,则 ,
于是 ,且 ,解得 ,
满足 ,且 ,
的 与 的取值情况恰有如下连线所表示的 9 种,
每种情况均使集合 的取值随之确定,而 的排列都有 3 ! 种情况, 所以所求排列方法数为 .
故答案为: 1944.
15. (1)1440
(2)960
(1)采用插空法即可求解.
(2)利用插空法结合捆绑法可求解.
(1)先将 4 个男生排好,有 种排法,
再在这 4 个男生之间及两头的 5 个空挡中插入 3 个女生有 种方法,
故符合条件的排法共有 (种).
(2)先排甲、乙、丙以外的其他 4 人，有 种排法，
由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有 种排法，
最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的 4 人的 5 个空挡中有 种排法, 故符合条件的排法共有 (种).
16. (1)144
(2)960
(3)4896
(1)利用分步乘法计数原理、排列计数问题列式计算.
(2)按甲乙是否在第一排分类，结合不相邻问题列式求解.
(3)结合(1)及已知，利用排除法列式求解.
(1)依题意，不同排法种数是 .
(2)甲乙都站在第一排，有 种; 甲乙都站在第二排，有 种，
所以不同排法种数是 .
(3)7 个人站 7 个位置的排列有 种，其中语文小组成员站在一排的有 ， 所以不同站法种数是 .
17. (1)
(2) (i) ; (ii)
(1) 求出 取得的小球编号为 6,7 时的概率,和为 5,8 时的概率可得答案;
(2)(i)求出 抽取的小球编号为 ，6 时的概率、小球编号为 ， 3,8 时的概率、小球编号为 2,4,7; 3,4,6 时的概率可得答案; (ii) 求出 抽取 2 次小球获胜的概率、抽取 3 次小球获胜的概率、抽取 4 次小球获胜的概率可得答案.
(1)分析可得 前两次取得的小球编号之和为 13 时,
取得的小球编号分别为 6,7 或 5,8, 只需要分析前 4 次抽取的情况，
一共有 种取法,
当 取得的小球编号为 6,7 时,概率为 ,
当 取得的小球编号为 5,8 时,概率为 ,
所以 前两次取得的小球编号之和为 13 的概率为 ;
(2)(i) 取了 3 次小球并获得胜利，说明 取了 3 次小球编号之和为 13，
取了 2 次小球编号之和不为 13, 取球的总情况一共有 种取法,
其中 3 次小球编号之和为 13 的组合有 ;
共 6 种情况.
当 抽取的小球编号为 时,共有 种;
当 抽取的小球编号为 时,要排除 抽取6,7,
此时共有 种;
当 抽取的小球编号为 时,要排除 抽取5,8,
此时共有 种;
所以 取了 3 次小球并获得胜利的取法为 种,
可得所求概率为 .
(ii) 可以抽取 2 次小球获胜,概率为 ,
可以抽取 3 次小球获胜,概率为 ,
可以抽取 4 次小球获胜, 可取小球编号为 . 当 抽取 4 次小球时,获胜的概率为 ,
所以可得 获得胜利的概率为 .
18.
(2)
(1)利用古典概型和排列数的计算公式结合插空法求解即可;
(2)利用古典概型和排列数的计算公式结合题意，先排字母牌，再排 1-7 求解即可;
(1)记五张字母牌互不相邻为事件为 ,
五张字母牌互不相邻采用插空法共有 种排法,
则 .
(2)记在标有 8 的卡牌左侧没有数字牌为事件 ，
由于标 1-7 的牌都在标有 8 的牌的右侧,所以先排字母牌共有 种排法,剩余位置最左侧放标有 8 的卡牌,剩余标 1-7 的牌全排列共有 ! 种排法,所以 .
19. (1)1440 种
(2)1440 种
(3)3720 种
(1)利用捆绑可求解；
(2)利用插空法可求解；
(3)利用间接法可求解.
(1)根据题意，分两步分析
①先将往届优秀学生视频发言和应届学生代表发言捆绑，有 种情况
②捆绑后，与其他 5 个节目全排列，有 种情况
共有的方法数: 种
(2)分两步进行分析:
①先排列三个发言以外节目，全排列，有 种情况，排好后有 5 个空位，
②在 5 个空位中任选 3 个，安排三个发言节目，有 种情况，
则三个发言不能相邻的排法有 种;
(3)如果没有条件限制，方法数为: 种情况，
励志歌曲甲排在第一个，方法数有: 种情况，
励志歌曲乙排在最后一个，方法数有: 种情况，
励志歌曲甲排在第一个且乙排在最后一个，方法数有: 种情况，
共有: 种.