广西钦州市第四中学2025-2026学年下学期高二年级第三周考数学试卷（含答案）

广西钦州市第四中学 2026 年春季学期高二年级第三周考试 数学试卷
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，
2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 四答非选择题时, 将答案 写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单选题(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了 共 4 个不同的国家立场,由 4 名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动. 已知这 4 名同学每人都有且仅有一个心仪的国家立场, 且 4 人心仪的国家立场互不相同, 则仅有 1 名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数是 ( )
A. 4 B. 8 C. 12 D. 24
2. 袋中有 9 个除了颜色外完全相同的小球, 其中有 3 个白球, 2 个红球, 4 个黄球.从中不放回地取球, 每次取一个球, 当三种颜色的球都取到时停止, 记停止时取出的球的个数为 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 从装有 3 个黑球和 3 个白球(球的大小、质地完全相同)的不透明袋子中随机取出 2 个球, 已知三个白球的编号分别为1,2,3, 三个黑球的编号分别为4,5,6, 则取出的 2 个球的编号之和为奇数且至少有一个为黑球的概率为( )
A. B. C. D.
4. 某智慧交通管理平台为优化城市主干道通行效率, 实时监测并记录各路口信号灯的运行模式. 每个时段(例如早、晚高峰或特定监控周期)的运行模式对应一个代码(如下表):
运行模式 代码
绿波协调 0
红灯截流控制 1
区域协调 - 1
现按时间顺序记录某路口 5 个时段的运行模式,如编码 表示 5 个时段中第 1,3 时段是“绿波协调”运行模式，则该路口某天这 5 个时段的运行模式中出现绿波协调不少于 3 个的所有可能种数为( )
A. 40 B. 51 C. 131 D. 210
5. 黑龙江省实验中学科技节活动, 将 4 位学生志愿者分配到创客中心、校园电视台、体育馆三个地点参加志愿活动, 若每个地点至少需要 1 名学生, 每位志愿者仅去一个地点, 则不同的分配方法种数为( )
A. 81 B. 72 C. 36 D. 12
6. 某校教学楼的某层楼设置有 8 级台阶, 某同学上楼梯时只能每步跨越一级台阶或两级台阶, 则该同学从楼梯底部登上第 8 级台阶的不同走法有 ( )
A. 32 B. 33 C. 34 D. 35
7. 在某次演讲比赛组织过程中，有甲、乙等 5 名同学参加了接待、咨询、向导三个服务项目, 每名同学只参加一个服务项目, 每个服务项目至少有一名同学参加, 若 5 名同学中的甲、 乙两人不参加同一个服务项目, 则不同的安排方案有 ( )
A. 108 种 B. 114 种 C. 150 种 D. 240 种
8. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山(今四川省眉山市)人，北宋文学家、书法家、画家, 历史治水名人.现有苏轼的 6 本不同诗集全部奖励给 3 名同学, 每人至少分得一本, 则共有( )种分配方案
A. 90 B. 120 C. 360 D. 540
二、多选题(共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 等于( )
A. B. C. D.
10. (多选)给出下列问题，是组合问题的是( )
A. 从 四名学生中选 2 名学生完成一件工作，有多少种不同的选法
B. 从 四名学生中选 2 名学生完成两件不同的工作,有多少种不同的选法
C. 四支足球队之间进行单循环比赛,共需赛多少场
D. 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果
11. 在 4 件产品中, 有一等品 2 件, 二等品 1 件 (一等品与二等品都是正品), 次品 1 件, 现从中任取 2 件, 则下列说法正确的有( )
A. 两件都是一等品的概率是
B. 两件中有 1 件是次品的概率是
C. 两件都是正品的概率是
D. 两件中至少有 1 件是一等品的概率是
第 II 卷(非选择题)
三、填空题(共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 不透明的盒子中装有大小质地相同的 2 个红球、 2 个白球、 4 个黄球, 若采取不放回的方式每次从盒子中随机摸出一个小球, 当三种颜色的球都被摸到时停止摸球, 记此时已摸球的次数为随机变量 ,则 _____.
13. 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次, 观察向上的点数, 则点数之差的最大值为 4 的概率是_____.
14. 小明参加校园新春体能打卡，需完成 9 次打卡动作，其中有 2 次柔韧打卡，3 次力量打卡，4 次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意 2 次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有_____种.
四、解答题(共 5 小题，共 77 分)
15. (1)求值: ；
(2)解方程: ；
(3)解不等式: .
16. 人工智能社团有 6 位同学, 计划对 ChatGPT、Sora、GPT-4、Claude 这 4 种人工智能语言模型展开学习调研, 要求每类模型至少有一人负责, 每人只能选择一种模型.
(1)若从社团中选出 5 人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？
(2)若 6 位同学都同时参与调研，且甲、乙两位同学调研同一种模型，共有多少种不同的安排方案
17. 把 4 位男售票员和 4 位女售票员平均分成 4 组，到 4 辆公共汽车里售票，如果同样两人在不同汽车上服务算作不同的情况.
(1)有几种不同的分配方法？
(2)每小组必须是一位男售票员和一位女售票员，有几种不同的分配方法？
(3)如果每组的售票员性别相同，有几种不同的分配方法？
18. 上海影城是国内和东南亚地区最大的影城，共有九座风格各异的电影放映厅，SR 立体声音响效果震撼. 第一放映厅:共有 1080 个座，红色基调热烈辉煌， 银幕雄居全国之冠. 上海影城建筑风格独特典雅, 环境恢宏气派, 功能设施齐全, 作为世界九大电影节之一——上海国际电影节的主会场，已成为上海标志性的文化建筑.
某次电影展，有 12 部参赛影片，影展组委会两天在某一影院播映这 12 部电影，每天 6 部, 其中有 2 部电影要求不在同一天放映, 共有多少种不同的排片方案 (同一天的影片不考虑播放顺序)
19. 新高考改革后,在取消文理分科后,全国大多数地区实行“ 3 + 1 + 2 ”模式,即语、数、外三科为国家统考，所有考生必选，然后从物理、历史 2 科中任选 1 科，再从化学、生物、政治和地理中任选 2 科参加高考. 选科前大家普遍认为，传统的“大文大理”(即“物化生”“政史地”组合)还依然是主流，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况？其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又分别有多少种
1. B
从 4 名同学中选 1 名抽到自己心仪国家立场,则有 种,
设剩下 3 名同学分别为甲，乙，丙，他们心仪国家分别为 ，
当甲抽到 时,乙只能抽到 ,丙只能抽到 ;
当甲抽到 时,乙只能抽到 ,丙只能抽到 ,共 2 种情况,
仅有 1 名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数有 种.
2. C
首先对前 4 次取球的颜色分类, 再根据排列数和组合数公式列式, 最后根据古典概型概率公式, 即可求解.
前 4 次只取到红球和黄球 (两种颜色都有),第 5 次取到白球, ; 前 4 次只取到白球和黄球 (两种颜色都有),第 5 次取到红球, ;
前 4 次只取到白球和红球 (两种颜色都有),第 5 次取到黄球, .
所以 .
故选: C.
3. C
根据题意,任意取的 2 个球共有 种,再计算符合条件的情况,再求概率即可.
根据题意,任意取的 2 个球共有 种,
取出的 2 个球的编号之和为奇数,
则取出的 2 个球的编号必须为一个奇数一个偶数, 且至少有一个为黑球,
所以,一个白球 (奇数) 一个黑球 (偶数) 有 种,
一个白球 (偶数) 一个黑球 (奇数) 有 1 种,
两个黑球(一奇一偶)共有 种,故概率为 .
故选: C.
4. B
利用组合知识和计数原理计算.
出现绿波协调 3 个的可能种数有: ;
出现绿波协调 4 个的可能种数有: ;
出现绿波协调 5 个的可能种数有: ;
则出现绿波协调不少于 3 个的所有可能种数为 .
故选: B
5. C
利用排列数与组合数定义计算即可得.
先从四人中选出两人当成一组,共 种分法,
再将三组人进行分配,共 种,
故共有 种分配方法.
6. C
根据给定条件, 利用组合计数问题, 结合分类加法计数原理列式求解.
跨 0 次 2 级 (全跨 1 级),共走 8 步,有 种走法;
跨 1 次 2 级，剩余 6 次 1 级，共走 7 步，选 1 步跨 2 级，有 种走法;
跨 2 次 2 级，剩余 4 次 1 级，共走 6 步，选 2 步跨 2 级，有 种走法;
跨 3 次 2 级,剩余 2 次 1 级,共走 5 步,选 3 步跨 2 级,有 种走法;
跨 4 次 2 级 (无剩余 1 级),共走 4 步,有 种走法,
所以不同走法种数为 .
7. B
首先安排甲乙, 再讨论余下 3 人的分组情况, 结合题意及排列组合数求不同的安排方案数.
安排甲到三个服务中的一个,再安排乙到另两个服务中的一个,即有 种, 余下的 3 人的安排如下,
将他们分三组,每组各一人,再安排到三个服务项目中有 种,
将他们分两组, 分别为一人组、两人组, 把其中一组安排到最后余下的服务项目中, 另一组任意安排到甲或乙所在组，有 种，
将他们分一组, 安排到最后余下的服务项目中, 有 1 种
所以共有 种方案.
8. D
先分组再分配, 利用分步乘法计数原理进行计算.
先将 6 本不同诗集分成 3 组, 可分三种情况:
情况一:按 1，1，4 分组:则有 种；
情况二: 按1,2,3分组: 则有 种;
情况三: 按2,2,2分组: 则有 种;
所以 6 本不同诗集全部奖励给 3 名同学共有 种分配方案,
故选: D
9. BD
根据组合数的性质求解即可.
由组合数的性质得: .
故选: BD
10. AC
根据有序与否, 判断所述问题是排列问题还是组合问题.
对于 A, 2 名学生完成的是同一件工作, 没有顺序, 是组合问题. 所以 A 正确. 对于 B, 2 名学生完成两件不同的工作, 有顺序, 是排列问题. 所以 B 错误.
对于 ,单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题. 所以 正确.
对于 ,冠亚军是有顺序的,是排列问题. 所以 错误.
故选: AC.
11. AD
根据组合数公式, 分别计算 “两件都是一等品”**有 1 件是次品”**两件都是正品”**至
少有 1 件是一等品”的概率, 再逐一判断选项正误。
对于 ,两件都是一等品的概率为 ,故 正确;
对于 ,两件中有 1 件是次品的概率为 ,故 错误;
对于 ,两件都是正品的概率为 ,故 错误;
对于 ,两件中至少有 1 件是一等品的概率为 ,故 正确,
故选: AD.
12.
从 8 个球中随机不放回摸出 5 个球的试验共 种,
的事件有:①第 5 次摸到的球是黄球，则前 4 次摸到的球均为白球和红球 种;
② 第 5 次摸到的球是白球, 则前 4 次摸到的球可能为 2 红 2 黄或 1 红 3 黄 种;
③ 第 5 次摸到的球是红球, 则前 4 次摸到的球可能为 2 白 2 黄或 1 白 3 黄
种,
所以 .
13.
分最大点数为 5 , 最小点数为 1 , 或者最大点数为 6 , 最小点数为 2 两种情况讨论, 根据计数原理列出所有情况, 结合古典概型求出概率即可.
将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 3 次共有 种情况,
若点数之差的最大值为 4 ，则最大点数为 5 ，最小点数为 1 ，或者最大点数为 6 ，最小点数为 2,
若 3 个数为1,1,5,则有 3 种情况; 若 3 个数为1,5,5,则有 3 种情况;
若 3 个数为1,2,5或1,3,5或1,4,5,则有 种情况,
故最大点数为 5 、最小点数为 1 时,共有 种.
当最大点数为 6 , 最小点数为 2 时,
若 3 个数为2,2,6,则有 3 种情况; 若 3 个数为2,6,6,则有 3 种情况;
若 3 个数为2,3,6或2,4,6或2,5,6,则有 种情况,
故最大点数为 6 、最小点数为 2 时,共有 种,
综上,点数之差的最大值为 4 的概率为: .
14. 150
由题意可知先排非耐力打卡, 再利用插空法排耐力打卡, 即可得答案.
第一步: 排非耐力打卡: 非耐力共有 次打卡,同类顺序固定,
只需从 5 个位置中选 2 个放柔韧打卡, 剩余 3 个放力量打卡,
放法数为: ;
第二步:插入耐力打卡:5 个排好的打卡共形成 6 个空隙(含两端)，
要选 4 个空隙各插入 1 次耐力打卡 (保证不相邻), 且耐力顺序固定,
选法数为: ,
第三步: 根据分步乘法计数原理,总顺序数为: .
15. (1) ；(2) 或 ；(3)
(1) 直接利用排列数公式计算即可;
(2)根据组合数的性质可得出关于 的方程，解出 的值，再结合题意检验即可;
(3)根据排列数公式可得出关于 的不等式，结合题意得出 且 ，即可得出 的取值.
(1)原式 ;
(2)由 可得 或 ，
解方程 ,即 ,解得 或 ,
解方程 ,即 ,解得 或 ,
又因为 均为整数,且 ,
所以 或 符合要求, 和 均不符合要求.
故 或 ;
(3)由 可得 ，
由题意可知 且 ,整理可得 ,即 ,
解得 ,又因为 且 ,所以 .
16. (1)1440
(2)240
(1)从 6 位同学中选 5 人，分为:2 人，1 人，1 人，1 人，1 人四组，再进行全排列即可；
(2)将甲、乙两位同学视为一个整体(一个元素)，将 5 个元素分成“2, 1, 1, 1 ”四组，再进行全排列即可.
(1)首先，从 6 位同学中选 5 人，有 种选法，
接下来将 5 人分配到 4 种模型,且每类模型至少 1 人负责,
则 5 人分为:2 人，1 人，1 人，1 人四组，有 种方法，
再将这四组对应 4 种模型进行全排列,
不同的调研安排方案有 种.
(2)首先将甲、乙两位同学视为一个整体(一个元素)，
此时相当于 5 个元素分配到 4 种模型,每类模型至少有一人,
即分成元素个数分别为 “ 2,1,1,1 ”四组，则有 种方法,
再将这四组对应 4 种模型进行全排列,有 种方法,
所以, 若 6 位同学都同时参与调研, 且甲、乙两位同学调研同一种模型,
共有 种不同的安排方案.
17. (1)2520
(2)576
(3)216
(1)按照分步乘法计数原理, 依次给每辆车分配售票员即可;
(2)按照分步乘法计数原理，分两步完成分配. 先分配男售票员，共有 种不同方法; 再分配女售票员，也有 种方法，相乘可得答案；
(3)第一步将男售票员和女售票员分别平均分组，各有 种不同分法，所以共有 9 种分组方法,第二步分配到车,每一种分法都有 种上车方法,相乘可得答案.
(1)男女合在一起共有 8 人，每个车上 2 人，可以分四个步骤完成，
先安排 2 人上第一辆车,共有 种,
再安排第二辆车共有 种,
再安排第三辆车共有 种,
最后安排第四辆车共有 种,
这样不同的分配方法有 (种).
(2)要求男女各 1 人，因此先把男售票员安排上车，共有 种不同方法；
再把女售票员安排上车,也有 种方法.
由分步乘法计数原理,男女各 1 人的不同分配方法为 (种).
(3)男女分别分组，4 位男售票员平均分成两组，共有 种不同分法，
4 位女售票员平均分成两组,也有 种不同分法,
这样分组方法就有 (种).
对于其中每一种分法又有 种上车方法,因而不同的分配方法有 (种).
18. 504
先计算特殊的两部电影有多少分配方式, 再计算剩下的电影怎么排
有 2 部电影要求不在同一天放映, 先考虑这两部电影分别放在两天, 有 2 种分配方式,
然后从剩下的 10 部电影中选 5 部与其中一部同一天, 其余自然到另一天.
共有 种不同的排片方案.
19. 选考的组合方式 12 种, 选物理不选历史 6 种, 选历史不选物理 6 种
根据分类加法和分步乘法计数原理, 分别直接计算可得结果.
分成两步:
第一步: 从物理、历史 2 科中任选 1 科,共有 种,
第二步:再从化学、生物、政治和地理中任选 2 科，共有 种，
因此选考的组合方式一共有 种可能的情况;
其中选物理不选历史的共有 种情况,选历史不选物理的共有 种情况.