2025-2026学年下学期河南开封高三数学3月学情调研三试卷O含答案）

秘密★启用前
学情调研(三) 数 学
注意事项:
1、答卷前、考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时、选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的。
1. 复数 满足: 为虚数单位, 为 的共轭复数,则
A. B. C. D.
2. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
3. 一组数据:1，1，2，1，2，3，1，2，3，4，则关于这组数据的结论错误的是
A. 平均数为 2
B. 众数为 1
C. 极差为 3
D. 中位数为
4. 已知向量 ，则
A. 2 B. -2 C. 3 D. -3
5. 过原点作曲线 的一条切线,则此条切线的斜率为
A. e B. -e
C. D.
6. 已知圆 与椭圆: 交于 两点,且线段 恰好为圆 的直径,则
A. 2 B. C. D.
7. 已知 ,满足: 的最大值为 ,则
A. B.
C. D.
8. 在等比数列 中， ，公比 ， 也是 中的项 ，当 最小时, ,则 的通项公式为 参考公式: .
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 至少有两 项是符合题目要求的。若全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 选错或不选得 0 分。
9. 在直三棱柱 中, 为线段 的中点,则下列正确的有
A. 直线 平面 B.
C. 直线 与直线 所成的角为 D. 到平面 距离为
10. 已知函数 ,则下列正确的有
A. 的一个周期为 B. 的图象关于点 中心对称
C. 是 图象的一条对称轴 D. 的值域为
11. 已知等差数列 满足: ,公差 ,其前 项和为 ,且 ,则下列正确的有
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 的最小值为 2 D. 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. ，则实数 的值为_____.
13. 在正四棱台 中， ， ， 为线段 的中点， 则三棱锥 的体积为_____.
14. 如图,过 作两条不同的直线 ,且 分别交抛物线 于 , 四点, 分别交 轴于 两点,以 为直径作圆 ,过原点 作 的切线，则切线段的长度为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
如图，实地测量中，在岸边选了3个位置 ， ， ， 在对岸处，下面得到了一些参数.已知: .
(1)求 的长度；
(2)求 的值.
16.(15 分)
在长方体 中, 为线段 的中点, .
(1)求 的长度；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. (15分)
甲、乙两人进行投篮，两人每次投进的概率分别为 .
(1)若甲、乙两人各投篮一次， “两人总投进次数”，求 的值；
(2)若甲投篮 3 次，乙投篮 2 次，比较两人所投进的球数，进球多者胜出，求甲胜出的概率.
18.(17分)
已知双曲线 的离心率为 ，右焦点为 ， 是双曲线上一点，
轴、 .
(1)求双曲线的标准方程.
(2)过点 作斜率为 的直线交该双曲线于 两点，且 .
(1) 求 的值；
( ii ) 若点 不在直线 上，且点 满足: 平分 ，求 面积的最大值.
19.(17 分)
已知函数 .
(1)证明: .
(2)对于任意的 ，求解下列问题.
(1)已知函数 ，证明: 有两个不同的实数根: ；
(II) 若 ,证明: .
学情调研(三)
数学 参考答案
1. D ,故 2-i.
故选 D.
2. ,故 .
故选 C.
3. D平均数: 4) 正确; 众数为 正确; 极差: 正确; 将 10 个数排列:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4,可知: 中位数为 2 , 故 D 错误.
故选 D.
4. B ,而
故选 B.
5. B设切点坐标为 ,切线的斜率为 ,显然 不合题意, 时, 3) ,解得 ,故 .
故选 B.
6. C设 ,直线 的斜率为 ,则 ,两式相减整理得: . ,故可得: ,设 的倾斜角为 ,则 ,将 代入椭圆方程,解得 . 故选 C.
7. A ,令 ,代入 整理得: ,即 的最大值为 ,即 .
故选 A.
8. D . ,由题意可知: 为自然数,
因为 为奇数,故 为偶数,又 ,取 检验知: 时符合题意, , 与 相除得: ,则可得 ,故 .
故选 D.
9. ABD连接 与 ,两条线交于点 , 则 是 的中位线，故 ,又 平面 ,故 平面 正确; 易知 ,则 平面 ,又 平面 ,故 ,连接 ,则 ,故 , 又 ,故 平面 ,又 平面 ,故 正确;
取 的中点为 ,连接 ,易得 ,则 平面 即为异面直线所成角， 中， ,故 C 错误;
连接 ,两线交于点 ,由 可知: 到平面 的距离等于 到平面 的距离,作 于 ,则 平面 ,由 ,解得 ,故 D 正确. 故选 ABD.
10. ACD ,故 A 正确;
,故 C 正确;
在 上,令 ,则 ,而 ,故 的值域为 ,由其中一个周期 ,可知 正确;
由 正确可知: 的图象上没有函数值小于 0 的点,故 B 错误.
故选 ACD.
11. ,故 ,即 时, ,故 A 正确;
若 ,则 ,故 ,故 B 正确; ,当且仅当 时,等号成立,故 错误;
,故 ,故 ,故 错误.
故选 AB.
12. -3 或 2令 ,则 , 而 ,故 ,解得 或 2.
13. 连接 交 于点 ,则 ,且 ,故四边形 为平行四边形,故 ,故 平面 , ,四边形 中,作 于 中, ,故 ,所以
14.4设 , 方程设为 ,代入 ,得 ,同理 ,设 , 方程设为 代入 ,得 ,得 ,同理 ,两式相乘得: ,又 ,故 ,
设 ,切线段长为: ,
将 代入圆 的方程得: ,
同理 ,两式相减得: ,故 ,代入 (*) 得:
故所求切线段的长度: .
15. 解: (1) 在 中, . , (3 分)
. (5 分)
(2)延长 交于点 ，则 ,所以 为等边三角形, , (6 分)
由 ,得 , (7 分)
在 中, .
(9 分)
在 中,由正弦定理可得, ,则 , (10 分)
在 中,设 ,由 ,可得 ,则 .
故 的值为 . (13 分)
16. 解:(1)因为 平面 ，且 平面 ,所以 , (1 分)
又 ,又 平面 ,所以 平面 , (2 分)
又 平面 ,则 , (3 分)
易知 ,
故 , (4 分)
设 ,则 ,则 ,故 的长度为 . (6 分)
(2)如图，以 为原点，分别以 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系 ,
则 , . (9 分) 设平面 的法向量为 ,
则有 可得 取 , 则 , (12 分)
所求线面角的正弦值等于 (15 分)
17. 解: (1) 易知 的可能取值为0,1,2, (1 分)
则 , (2 分)
(3 分)
(4 分)
分布列如下:
0 1 2
(5 分)
故 . (7 分)
(2)甲胜出的情况如下:
甲投进 1 次，乙投进 0 次的情况:
(9 分)
甲投进 2 次,乙投进 0 次或 1 次的情况:
(11 分)
甲投进 3 次的情况:
(13 分)
故甲胜出的概率 . (15 分)
18. 解:(1)设 ，将 代入双曲线方程得 ，即 ， (2 分)
又 得 ,即双曲线的标准方程为 . (4 分)
(2)易知 方程: ，即 ， 代入双曲线方程整理得: ，
即 ,
解得 , (6 分)
故 . (7 分)
(i) 因为 ,则 ,即 . ,可得 . (10 分)
(ii) 设 ,由题意 ,则 ,即 ,化简得 (13 分)
故 的轨迹是一个圆除去两点,其圆心为 , ,满足 的方程 ,故当 面积最大时,高为半径 ,
而 , (16 分)
故 面积的最大值为 . (17 分)
19. 证明: (1 分)
令
(2 分)
故 是减函数,当 时, ,故 在 上单调递增,(3 分) 当 时, ,故 在 上单调递减, (4 分)
故 . (5 分)
(2) ， (6 分)
在 上, ,在 上, , (7 分)
,
时, 时, ,(8 分) 易知在区间 与 上, 各有一个零点,
故 有两个不同的实数根: . (9 分) (ii) ,化为 (11 分)
此一 元 二 次 不 等 式 的 解 集 为 , (13 分)
同 理, . (15 分)
故 得证. (17 分)