河南许昌2025-2026学年下学期高二数学3月阶段检测试卷（含答案）

高二数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 的展开式中 的系数为
A. B. C. D.
2. 已知直线 是双曲线 的一条渐近线,则 的离心率为
A. B. C. D.
3. 已知 是等比数列,且 ,则
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
4. 已知函数 ,则
A. 4 B. -4 C. 2 D. -2
5. 已知数列 的通项公式为 ,前 项和为 ,则当 取得最小值时,
A. 1 B. 2 C. 6 D. 7
6. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上， 是 上的动点， 为直线 上一定点, 到 的距离为 ,若 取得最小值时点 与 重合,则
A. B. C. 12 D. 24
7. 若数列 满足 ,且 ,则
A. B. C. D.
8. 若当 时, 恒成立,则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列求导正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ,则
10. 已知 是公差为 的等差数列,其前 项和为 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则 B. 若 ,则 的最大值为
C. 若 ,则 D. 若 ,则
11. 某城市的智能交通系统使用无人机参与街道交通的巡检，现有 7 架无人机，有甲、乙、丙、 丁 4 条街道需要巡检,若 7 架无人机都参与且每架无人机只巡检一条街道，则下列结论正确的是
A. 若无人机完全相同，每条街道至少有一架无人机巡检，则共有 35 种不同的巡检方案
B. 若无人机完全相同，允许有的街道不用无人机巡检，则共有 120 种不同的巡检方案
C. 若给无人机按 1~7 编号，它们排队依次起飞，其中 1 号、2 号两架无人机不相邻，则共有 3600 种不同的顺序
D. 若给无人机按 1~7 编号，已知甲、乙两街道各至少需要 2 架无人机，丙、丁两街道各至少需要 1 架无人机, 则共有 2 100 种不同的巡检方案
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知函数 在点 处的切线与直线 平行,则实数 _____.
13. 已知数列 满足 且 ,若 是等比数列,则 _____.
14. 已知 ,点 ,我们把满足 的点 的轨迹称为双纽线，如图所示，设 ，则 的最大值为_____， 的最大值为_____. (两空均用字母 表示，本题第一空2分，第二空3分)
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
证明: (1) ;
(2) .
16. (15 分)
已知等差数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求 及 ；
(2)若数列 是等比数列，求 .
17. (15 分)
如图，正方体 的棱长为2，点 在棱 上.
(1)证明: ；
(2)求 的最小值及 取最小值时平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知椭圆 经过点 .
(1)求 的方程.
(2)过点 且斜率为 的直线与 交于 两点.
( i ) 若 ，求 的面积；
(ii) 若直线 外的点 满足 ，求实数 的取值范围.
19. (17 分)
已知函数 .
(1)若 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围；
(2)讨论 在 上的零点个数；
(3)若当 时， 在 上的所有零点之积为 ，证明: ，且 .
附:当 时， .
高二数学(B)答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. D 2. B 3. A 4. D 5. C 6. B
7. C 8. D
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得 0 分.
9. AD 10. ACD 11. BCD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.2 13. -1 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1) (6 分)
(2) . (13 分)
16. (1) 设 的公差为 .
由 ,得 (2 分)
解得 , (4 分)
所以 , (6 分)
(8 分)
(2)由(1)知 ， (9 分)
所以数列 是首项为 2,公比为 4 的等比数列, (11 分)
所以 , (13 分)
所以 . (15 分)
17. 方法一: 因为 是正方体,所以 两两互相垂直,
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,如图,
则 ,
设 . (2 分)
(1)因为 , (3 分)
(5 分)
所以 . (6 分)
(2)因为 ， (7 分)
所以 ,
当 时取等号,所以 的最小值为 14,此时 为 的中点. (9 分)
(10 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即
取 ,得 . (12 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即
取 ,得 . (13 分)
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 . (15 分)
方法二: (1) 连接 .
由 是正方体,可得 平面 , (1 分)
因为 平面 ,所以 ,
又 ,所以 平面 , (3 分)
因为 平面 ,所以 . (4 分)
(2)参考方法一.
18. (1) 由 经过点 ,得 , (1 分)
又因为 经过点 ，所以 ， ， (4 分)
所以 的方程为 . (5 分)
(2)设 ， ，由题意知，直线 的方程为 ，
与 联立,得 ,
由 ,得 ,
(7 分)
(i) 当 时,
, (9 分)
又点 到直线 的距离 , (10 分)
所以 的面积 . (11 分)
(ii) 由题意知 .
因为 ,所以 .
取 的中点 ,连接 ,
则 . (12 分)
因为 ,
所以 , (14 分)
整理得 ,
当 时, ,当且仅当 时取等号,所以 ,
当 时, ,
当且仅当 时取等号,所以 , (16 分)
所以 的取值范围是 . (17 分)
19. , (1 分)
令 ,得 ,
所以 的单调递减区间为 . (3 分)
因为 在 上单调递减,
所以 解得 ,
所以实数 的取值范围是 . (5 分)
(2)当 时，由 ，得 ，所以 只有 1 个零点. (6 分)
当 时, 在 上单调递增,
令 ,得 ,则 在 上单调递减,在 上单调递增, (7 分) 因为 ,且 ,所以 , (8 分)
又因为 ,
所以 在 上有 1 个零点,在 上有 1 个零点,该零点为 1 . (10 分)
综上,当 时, 在 上有 1 个零点,当 时, 在 上有 2 个零点. (11 分)
(3)由(2)知，当 时， 有 2 个零点，其中 1 个为 1，另一个零点在区间 上，记为 ，
则 . (13 分)
因为 ,
设函数 ,则 在 上单调递增,
所以 ,
所以当 时, , (15 分)
即 ,
所以 ,
所以 . (17 分)