2025-2026学年下学期河南许昌高一数学3月阶段检测试卷（含答案）

高一数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
一、单项选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 函数 的最小正周期为
A. 1 B. 2 C. D.
2. 命题“ ” 的否定是
A. B.
C. D.
3. 已知向量 ,若 ,则实数
A. -9 B. -4 C. 4 D. 9
4. 若 是平面内的一个基底,则下列四组向量中能作为平面的基底的是
A. B.
C. D.
5. 在 中,内角 的对边分别为 ,若 ,则 的面积为
A. 1 B. C. 2 D.
6. 若 ,则 的最小值为
A. 16 B. 32 C. 64 D. 128
7. 在 中, 为边 上一点, 为边 的中点,且 与 相交于点 ,若 ,则
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,且对任意的 ,总存在 ,使得 . ,则
A. B.
C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求,全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知向量 满足 ，则下列结论正确的是
A.
B.
C. 向量 与 的夹角为
D. 存在非零实数 ,使得
10. 已知函数 ,则
A. 可能有最大值
B. 当 时, 的值域为
C. 在区间 上一定单调递减
D. 当 时, 一定存在最小值
11. 已知函数 的图象连续不断,且 ,均有 ,当 时, ,若 ,则
A. 的图象关于直线 对称 B. 的图象关于点 对称
C. D.
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知一扇形的半径为 ，周长为 ，则该扇形的圆心角为_____ 。
13. 函数 的定义域为_____.
14. 已知向量 为单位向量,则 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知向量 满足 ，且 与 的夹角为 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)求 与 的夹角的余弦值.
16. (15 分)
已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的值域；
(2)若 的最小正周期为 ,且在 上恰有 3 个零点,求 的取值范围.
17. (15 分)
已知锐角 的内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的值.
18. (17 分)
已知 为奇函数,且 .
(1)求实数 的值；
(2)求 的值域；
(3)若关于 的不等式 在 上有解,求实数 的取值范围.
19. (17 分)
已知函数 .
(1)证明 的图象为中心对称图形,并求出其对称中心;
(2)判断 的单调性,并用定义证明;
(3)求不等式 的解集.
高一数学 · 答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. A 2. C 3. B 4. D 5. A 6. C
7. B 8. D
二、多项选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 每小题全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的 得 0 分.
9. ABC 10. BD 11. ABD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.3
13. 14.9
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (1) 由已知得 . (1 分)
因为 ,所以 , (3 分)
即 ,
解得 . (6 分)
(2)设 与 的夹角为 .
由题意得 , (8 分)
由 ,得 , (11 分)
所以 . (13 分)
16. (1) 当 时, ,
当 时, , (2 分)
因为 在 上的最大值为 ,最小值为 ,
所以 在 上的值域为 . (6 分)
(2)由最小正周期为 ,得 ,所以 ,即 . (8 分)
令 ,得 ,即 , (11 分)
所以 在 上的零点为 . (12 分)
若 在 上恰有 3 个零点,则 ,
所以 的取值范围是 . (15 分)
17. (1) 因为 ,
所以由正弦定理可知 , (2 分)
因为 ,
所以 ,
即 , (5 分)
又 为锐角,所以 . (7 分)
(2)由余弦定理可知 ，即 ， (10 分) 化简得 ,解得 (舍去) 或 2,
所以 . (13 分)
由正弦定理可知 ,即 ,
得 . (15 分)
18. (1) 由题可知 的定义域为 . (1 分)
因为 为奇函数,所以 ,即 , (3 分)
又 ,所以 ,则 .
所以 ,
验证可知 为奇函数. (5 分)
(2)由(1)可知 .
当 时, ,所以 ,
则 ,所以 ,
即 时, . (8 分)
又 为奇函数，所以当 时， ，
所以 的值域为 . (10 分)
(3)易知 既是奇函数又是增函数， (11 分)
所以不等式 即 ,
等价于 ,即 ,即 ,
所以原问题等价于 在 时有解. (13 分)
因为 ,
当 时, ,
所以 ,则 , (15 分)
所以 ,即 ,
所以实数 的取值范围是 . (17 分)
19. (1) 由题可知 ,解得 ,所以 的定义域为 . (2 分)
若 的图象为中心对称图形,则其对称中心的横坐标为 2 . (3 分)
因为 ,
所以 的图象为中心对称图形,且对称中心为点 . (5 分)
(2) 在 上单调递增.
证明如下:
任取 ,且 ,
则
(8 分)
因为 ,所以 ,
则 ,即 ,
所以 ,
所以 ,所以 ,
于是 ,
所以 在 上单调递增. (11 分)
(3)由(1)可知， ,则 , (12 分)
由 可知, 在 上单调递增,
所以不等式 即 ,
等价于 , (14 分)
于是
故所求不等式的解集为 . (17 分)