2025-2026学年下学期湖北武汉二中高一数学周练（一）试卷（含答案）

武汉二中2028届高一下数学周练(一)试卷(A)
时间:2026.03.21
一. 单选题
1. 已知向量 ，则 ( )
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1
2. 在直角坐标系 中的三点 ,若向量 与 在向量 方向上的投影相等，则m与n的关系为( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 ，若向量 与向量 共线，则 的值为( )
A. -3 B. 3
C. D.
4. 在口ABC中，口A=60°，AB=AC=3，D是口ABC所在平面上的一点，若 ，则 (C)
A. -1 B. -2 C. 5 D.
5. 在 中，acosA+bcosB=ccos 创口ABC的形状是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等边三角形
6. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示若E为AF的中点, ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 在 中，内角 的对边分别为 是 外接圆的圆心,若 ,且 ,则 的值是 ( )
A. B. C. D.
8. 已知平面向量 满足 ，则 的最大值为( )
A. B.
C. D.
二. 多选题
9. 已知 是两个单位向量,若 ，则()
A. . 点共线 B.
C. D.
10. 如图所示，在边长为3的等边三角形 中， ，且点P在以 的中点 为圆心， 为半径的半圆上，若 ，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. 不存在最大值 D. 的最大值为
11. 已知 ABC的面积是 1, 点D, E分别是 AB, AC的中点, 点M是平面内一动点, 则下列结论正确的是 ( )
A. 若M是线段DE的中点，则
B. 若 ,则 的面积是
C. 若点 满足 ,则点 的轨迹是一条直线
D. 若M在直线DE上，则 最小值是
三. 填空题
12. 已知向量 、 、 满足 ，则: _____.
13. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一. 在 0222 年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花 (如图 1 ). 已知正方形 的边长为2,中心为0,四个半圆的圆心均为正方形 各边的中点 (如图 2), 若P在BC的中点，则 _____.
图1
图2
14. 已知平面向量 满 ，向量 满足 ，当 与 的夹角余弦值取得最小值时，实数 的值为_____.
四. 解答题
15. 已知函数 ,其中
,其中 ,若 相邻两对称轴间的距离不小于 .
(1)求ω的取值范围；
(2)在 中， 、 、 分别是角 、 、 的对边， ，当 最大时， . 求 的面积.
16. 如图，OABC为正方形，A(2,0)，C(0,2)，点 ( □ ) 为直角坐标平面内的一点，M为线段 的中点，设 .
(1)求点 的坐标；
(2)求 的表达式；
(3)当 取最大值时，求 的值.
17. 在 中，设 .
(1)求证: 以 为等腰三角形；
(2)若 且 ，求 的取值范围.
18. 已知 的内角 所对的边分别为 ，向量 .
(1)若 ，D为边BC的中点，求中线AD的长度；
(2)若 为边 上一点 ，求 的最小值.
19. 某公园有一个湖，如图所示，湖的边界是圆心为0的圆，已知圆 的半径9米 . 为更好地服务游客，进一步提升公园亲水景观，公园拟搭建亲水木平台与亲水玻璃桥，设计弓形MN，NP，PQ，QM 为亲水木平台区域(四边形MNPQ是矩形, A, D分别为MN, PQ的中点 米)，亲水玻璃桥以点 为一出入口,另两出入口 分别在平台区域 边界上 (不含端点),且设计成 ,另一段玻璃桥 满足 .
(1)若计划在B，F间修建一休闲长廊该长廊的长度可否设计为 70 米？请说明理由；(附:
)
(2)设玻璃桥造价为 0.3 万元/米，求亲水玻璃桥的造价的最小值. (玻璃桥总长为 ， 宽度、连接处忽略不计).
武汉二中2028届高一下数学周练 (一)试卷(A) 参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A A A B D C D BCD ABD CD
一. 单选题
1.【答案】D ,得 . 故选: D.
2.【答案】A , 向量 在向量 方向上的投影为 ，向量 在向量 方向上的投影为 ， 由题意可得 ，即 . 故选:A.
3.【答案】A因为 所以 , 因为向量 与向量 共线,所以 ,即 . 故选: A.
4.【答案】A
解:如图，
;
故选: A.
5.【答案】B 整理得: ,即 或 ,故 是直角三角形. 故选: B.
【答案】D
以E为坐标原点, EF所在直线为x轴, ED所在直线为y轴,建立如图直角坐标系,设: ,由 为 的中点,
,则 , 由 ,得: ,解得 , 则 . 故选: D.
7.【答案】C 因为 ,由余弦定理得 ,整理得 ,所以 ,即 ,因为 是 的外心,则对于平面内任意点 ,均有: ,令 与 重合,及 得 . 故选 C.
8.【答案】D
设 与 成夹角为 ，则:
，
,则由 得向量 的夹角为 ,
设 ,则 ,故 ,设 到 的距离为 ,
则 ，得 由 可知点 落在以 位圆心，4 为半径的圆上， A 到 BC 的距离的最大值为 ,则 的面积的最大值为: 故 最大值为 故选:D.
二. 多 选 题
9.【答案】 对于选项 A: ， ，所以 ，于是 三点共线，故 A 正确. 选项 B: 设 的夹角为 ,则 , ,所以 , 故 ,同理 , 所以 ,故 ,因此 ,故 B 正确. 选项 C: 易知 ,所以 , ,因为 的值不确定,所以无法比较大小,故 不正确.
选项D: ， ， ，显然 ，故D正确. 故选:ABD
10.【答案】ABC
对 : 因为 ,且点 在以 的中点 为圆心, 为半径的半圆上,
所以 ,则 , 故A正确；
对 B:
则 [7] ，故B正确； 对 、 :如图，以点 为原点建立平面直角坐标系，
则 ， ， _____，因为点P在以 的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，
所以点P的轨迹方程为 ，且在 轴的下半部分，
设 ,则 , 所以 ,
因为 ,所以 ,所以当 时, 取得最大值 9,故 不正确； 因为 ,所以 , 即 ,所以 , 所以 ,因为 ,所以当 时, 取得最大值 ,故 正确. 故选: ABD.
11.【答案】CD
对A，若M是线段DE的中点，则 ， 故A错误;
对 ,由 ,可得 ,即 为 的中点,则 的面积为 ,故B错误;
对 ,由 ,可得 ,即 ,所以点 的轨迹是过 与 垂直的一条直线, 故 C 正确;
对 ,如图,取 中点为 ,作 于 ,
则 ,又 ,
则 ,得 ,
注意到 ,则 ,又 ,
则 ,
当且仅当 ,且 时取等号,故 正确. 故选: CD.
三. 填空题
12.【答案】3
由已知可 ,则 , 即 ,
因为 ,则 ,所以, ,
因此, ,故 . 故答案为: 3 .
13.【答案】8
:
图3
如图 3,取 中点为 ,连结 ,显然 过 点.
易知, ,
则 .
所以, .
图4
如图4,延长PO交AD于F,易知F是AD的中点,且PF .
则 ,
在 Rt 中, .
所以， .
所以， .
故答案为: 8 .
【答案】
由 得: ,又 则 由a. ,可知 ,即向量 满足 ,且夹角为
取 , 分别是线段 的中点,
则
由 可知,点 在直线 上. 又 与 的夹角为
要使得 最大,则取圆过点 且与直线 相切于点 ,此时 取得最大,由切割线定理得 ,又 , 则有, ,解之得 故答案为:
四. 解答题
15.【答案】( 1 ) (2)
对称轴为
(1) 由 得 ,得
(2)由(1)知
由 得
【答案】( 1 ) ；( 2 ) ；( 3 )
(1)设 ，因为 为正方形，所以 ，又 ， 所以 ,所以点 的坐标为 ;
(2)因为M为线段AB的中点，所以M(2,1)，因为 ， 所以 , 所以 ;
(3)因为 ，其中 ， 所以当 ,即 时, 有最大值 , 此时 ,故当 取最大值; 时, .
17.【答案】
(1) 因为 ,所以 ,
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ,故 为等腰三角形,
(2)因为 ，所以 ，设 ，
因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,
又因为
，即 .
18.【答案】(1) .
(1)利用向量垂直的坐标表示可得 ,然后利用余弦定理可得 ,利用向量的表示可得 ,进而可得 ,即得;
(2)利用向量的线性表示可得 ，结合条件可得 ，即 ，再利用基本不等式即得.
(1) 向量 ,
,即 ,
为边 的中点， ，
,
又 ,
,即 ,
中线AD的长度为 ;
(2) 为边 上一点， ，
,
,即 ,
,又 ,
,即 ,
,
当且仅当 ,即 取等号,
故 的最小值为 .
19.【答案】
(1)由题意,设 ,进而求 的范围,再由 , ,结合基本不等式求 的最小值,即可判断是否可以建 70 米长廊.
(2) 由 (1) 可得 ，令 ，进而应用 表示 ，即可得 关于 的函数,结合 的取值范围求值域,即知亲水玻璃桥总长的最小值,进而求最小造价,注意等号成立条件.
(1) 由题意, ,则 ,设 . 若 重合, ,得 ,
,
,而 ,
，当 (符合题意) 时取等号，又 ， 可以修建 70 米长廊.
(2) ，则 .
设 ,则 ,即 .
,由 (1) 知 ,而 使 且
,即 ,
,当且仅当 时取等号.
由题意， ，则玻璃桥总长的最小值为 200/6 米，
铺设好亲水玻璃桥,最少需 万元.