2025-2026学年下学期湖南多校高一数学3月阶段检测试卷（含答案）

高 年级 3 月测评 数 学
(试卷满分:150 分，考试时间:120 分钟)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用 的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知幂函数 在 上单调递减,则
A. B. 4
C. D. 2
3. 设 ,则
A. B. C. D.
4. 若不等式 的解集为 ,则
A. B. C. D.
5. 已知扇形的圆心角为 ,面积为 ,则该扇形的弧长为
A. B. C. D.
6. 已知角 的终边上一点 ,则
A. B. C. 1 D. -1 7. 已知 ,则 的最小值为
A. 8 B. C. 4 D.
8. 已知函数 ,其中 ,若关于 的方程 恰有一个实数根,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知 ,则下列不等式恒成立的是
A. B. C. D.
10. 已知函数 ,则下列结论正确的是
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 在区间 上单调递增
D. 若 ,则
11. 已知定义在 上的单调函数 满足: 对任意 ,都有 且 . 则以下结论正确的是
A. 函数 在 上单调递增
B. 当 时,
C. 函数 是奇函数
D. 若 ,则
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. _____.
13. 已知函数 ,则 的定义域为_____.
14. 已知函数 与 ,若对任意的 ,总存在 ,使得 成立，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知全集 ，集合 .
(1)若 ，求 ；
(2)设命题 ，命题 ，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
16. (本小题满分 15 分)
为响应黄河流域生态保护和高质量发展战略部署，河南某新材料科技公司成功研发了一种用于绿色建筑的复合环保板材，并计划在省内推广. 已知该产品年固定研发成本为 50 万元,每生产 1 万吨需另投入生产成本 80 万元(含原材料、人工、能耗等).
设该公司一年生产该板材 万吨且全部售完,其总销售收入 (万元)与年产量 (万吨)满足如下关系式: .
(1)写出年利润 (万元)关于年产量(万吨)的函数解析式(利润=总销售收入一总成本)；
(2)当年产量为多少万吨时, 该公司获得的年利润最大 并求出最大年利润.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 的最小正周期为 ,最大值为 .
(1)求函数 的解析式和对称中心；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 的图象. 设函数 在区间 上有两个不同的零点,求实数 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
已知 且 ,函数 是指数函数,且 .
(1)求实数 和 的值；
(2) 对任意 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若关于 的方程 有两个不相等的实数根，且一根大于 0,另一根小于 0,其中 ,求整数 的最大值.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 在 上为奇函数， ， .
(1)求实数 的值；
(2)求 在 上的值域；
(3)已知 ，若对任意 ，任意 ，不等式 都成立，求正数 的取值范围.
高一年级 3 月测评 - 数学 参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C C B A D
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D
由题可得 选 D.
2.【答案】A
因为 是幂函数,所以 ,解得 . 又幂函数 在 上单调递减,所以 ,所以 ,所以 ,所以 . 故选 A.
3.【答案】B
,又 ,所以 ,故选 B.
4.【答案】C
的解集为 ,所以 是方程 的解,根据根与系数的关系可得 解得 ,所以 ,故选 C.
5.【答案】C
设扇形的弧长为 ,圆心角为 ,面积为 ,半径为 ,则由扇形的弧长及面积公式 ,得 ，因为 ， ，所以 ， ，故扇形的弧长为 ，故选 C.
6.【答案】B
根据三角函数的定义可知, ,可得 ,故选 B.
7.【答案】A
因为 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取等号,所以 , 所以 ,当且仅当 ,即 时取等号,其中第一个不等式等号成立的条件为 ,第二个不等式等号成立的条件为 ,所以当 时, 取最小值 8,故选 A.
8.【答案】D
,即 ,若 ,当 时,
,即 ,
设两根为 ,则 ,故 存在 2 个小于 0 的根;
当 时, 时, ,故无解,
时,根的个数为 2,故不符合题意;
若 ,当 时, ,即 ,解得 ,有 1 个根;
当 时, ,解得 ,不满足 ,故无解,
时,根的个数为 1,故符合题意;
若 ,当 时, ,即 ,
,
时, ,与 矛盾,故无解; 时, ,故无解;
当 时,令 ,此时函数 单调递增,
且 ,
所以 ,使得 ,所以函数 只有一个零点;
时,根的个数为 1 . 综上, ,方程 的实数根的个数为 1 . 故选 D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.【答案】
选项 ,因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,故 正确; 选项 B: 在 R 上单调递增, ,所以 ,所以 ,故 B 错误;
选项 C: 因为 ,所以不等式 两边同乘 可得: ,故 C 正确;
选项 D: 由于 ,所以 ,故 D 错误,故选 AC.
10.【答案】
对于函数 ,所以最小正周期为 ,故 A 正确;
对于选项 ，正弦函数图象的对称轴满足 ，解得 ；当 时， ，所以 的图象关于直线 对称，故 正确；
对于选项 ,当 时, ,正弦函数在 上单调递减,在 上单调递增,因此在整个区间上不单调递增,故 错误;
对于选项 ,因为 ,所以 ,因为 ,所以 ,又因为 ,所以 ,所以 ,所以 ,故 D 正确,故选 ABD.
11.【答案】ACD
因为对任意 ,满足 ,
对于选项 令 ,可得 ,即 ,因为 ,且 ,
可得 ,即 ,又因为函数 在 上单调,所以函数 在 上单调递增,故 正确; 对于选项 B:因为 在 上单调递增，所以当 时， ，故选项 B 错误；
对于选项 : 设 ,令 ,可得 ,所以 ,可得 ,所以函数 是奇函数,故 正确;
对于选项 D: 因为 ,所以 ,且 (当且仅当 时取等号),因为 在 上单调递增,所以 ,即 ,故选项 D 正确. 故选 ACD.
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.【答案】
根据指数与对数的运算法则与性质可得,
.
13.【答案】
由题意,得 ,解得 ,故 的定义域为 .
14.【答案】
,当 时, ,则 ,
当 ,则 ,令 ,
,记 在 上的值域为 ,
因为对任意的 ,总存在 ,使得 成立,
所以 ,显然当 时,不满足题意;
当 时, ,故 ,则 ,解得 ,所以 ;
当 时, ,故 ,则 ,解得 ,所以 ;
综上所述, .
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.【答案】
(1) 由 或 , 1 分
当 时, , 2 分
所以 或 , 4 分
所以 ; 6 分
(2)根据条件， , 7 分
8 分
因为 是 的充分条件,所以 , 9 分
所以满足条件 11 分
解得 , 12 分
所以实数 的取值范围为 . 13 分
16.【答案】( 1 ) ( 2 )当年产量为 15 万吨时,该公司获得的年利润最大，且最大年利润为 1200 万元
(1) 由 ,
可得 5 分
(2)当 时， 是对称轴为 的二次函数， 6 分则 在 上单调递增,
故当 时, 万元, 8 分
时, ,
,
由基本不等式得: ,当且仅当 ,即 时,等号成立, 万元, 12 分
,
当年产量为 15 万吨时,该公司获得的年利润最大,且最大年利润为 1200 万元. 15 分
17.【答案】 ,对称中心为
,
因为 的最小正周期为 ,所以 ,得 , 2 分
因为函数 的最大值为 ,则 , 3 分
因为 ,所以 ,所以 ,所以 或 , 4 分
又因为 ,所以 ,所以 , 5 分
令 ,则 , 6 分
又因为 ,所以 的对称中心为 8 分
(2)平移伸缩后: ， 10 分
在 上有两个不同的零点,即方程 在 上有两个不同的实根. 11 分根据 在 上的图象,
当 时, 单调递增, , 12 分
当 时, 单调递减, , 13 分
由图象可知,当 时,直线 与 的图象在 上有两个交点.
所以 的取值范围是 . 15 分
18.【答案】( 1 )
(1) 由题意，得 ，解得 或-3(舍去)， 1 分
因为 ,所以 ,因为 且 ,所以 , 2 分
所以 , 3 分
(2) ,即为 ,令 , 4 分
原不等式化为 对 恒成立,即 在 上恒成立. 5 分
令 ,由基本不等式知 ,当且仅当 时,等号成立, 7 分
所以 , 8 分
所以 ,即 的取值范围是 ; 9 分
(3)由题意，得关于 的方程 有两个不相等的实数根，且一根大于 0，另一根小于 0， 10 分
令 ,则关于 的方程 ,有两个不相等的正实数根,且一根大于 1,另一根小于 1 且大于 0 , 11 分
设 , 12 分
所以 , 14 分
解得 , 16 分
因为 ,所以 ,又因为 为整数,所以 的最大值为 0 . 17 分
19.【答案】(1)1(2) (3)
(1)因为函数 在 上为奇函数,
所以 , 2 分
所以 恒成立,所以 , 3 分
因为 ,可得 ; 4 分
(2)由(1)知 , 5 分
设 ,可得函数 为 上的减函数,
因为 ,所以函数 为单调递增函数, 6 分
根据复合函数的单调性,可得函数 为 上的减函数,
则 , 7 分
所以函数 的值域为 ; 8 分
(3)由不等式 ,
即 , 9 分
因为 为奇函数,
所以 , 10 分
所以 ,
又因为函数 为 上的减函数,
所以 ,
因为 ,即 ,即 , 11 分
又因为 , 12 分
当且仅当 时,即 时,等号成立,所以 , 13 分
因为 ,令 ,
则 ,即 ,所以 , 14 分
因为 在 上为增函数,所以 , 15 分
则 ,即 , 16 分
因为 ,所以 ,解得 ,
所以正数 的取值范围为 . 17 分