2025-2026学年下学期青海西宁高三数学3月一模试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年下学期青海西宁高三数学3月一模试卷（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 59.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-26 00:00:00 | ||
图片预览
文档简介
数 学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围: 高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 设集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 ,则 的虚部是
A. -3 B. -3i C. 3 D. 3i
3. 下列抛物线中,焦点到准线的距离为 1 的是
A. B.
C. D.
4. 在等比数列 中, ,则 的公比为
A. B. C. D. 3
5. 将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),得到 的图象,则
A. B.
C. D.
6. 已知向量 ，若 ，则
A. B. 5 C. D. 8
7. 已知 是第二象限角， ，则
A. B. C. D.
8. 已知圆柱 的底面半径为 ,高为 ,上、下底面圆的圆心分别是 ,点 为线段 的延长线上一点,圆锥 的底面为圆柱的下底面,顶点为 . 若圆锥 的表面积与圆柱 的表面积相等,则圆锥 与圆柱 的体积的比值为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 某省城市足球联赛中 13 个球队角球排名如下:5, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 14, 17，则
A. 该组数据的众数为 5
B. 该组数据的极差为 12
C. 该组数据的平均数为
D. 该组数据的第 40 百分位数为 7
10. 已知函数 是幂函数，则
A. B.
C. 是偶函数 D. 当 时，
11. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则 为等差数列
B. 若 为等差数列,则公差可能为 1
C. 若 ,则当且仅当 时 取得最小值
D. 若数列 是递增数列,则 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 的展开式中的常数项为_____.
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作直线 交 的左支于 两点,且 ,则 的周长为_____.
14. 已知函数 是定义在 上的偶函数,且 ,当 时, , 则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
在 中,内角 的对边分别为 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
16. (本小题满分 15 分)
为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》(下称“通知”). 接通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表(单位:小时)，五天内的综合体育活动时间不低于10 小时的可认为达到“通知”要求.
高一年级 10 12.5 8 9.5 9 11
高二年级 7.5 8 8.5 10 9.5 11 12
高三年级 7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5
(1)已知高一学生有 600 人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间， 没有达到“通知”要求；
(2)从被调查的高三年级 8 名学生中，随机选取 3 人，记这 3 人中每天综合体育活动时间达到通知要求的人数为 ,求 的分布列和数学期望.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)点 是函数 图象上任意一点，求点 到直线 距离的最小值.
18. (本小题满分 17 分)
如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是梯形， ， ，点 是棱 上一点，且 平面 .
(1)求证: ；
(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
19. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的左、右顶点分别为 ,离心率为 ,且 .
(1)求 的方程；
(2)已知 是直线 上的两点，且满足 ，记直线 ， 的斜率分别为 .
(i) 求 的值;
(ii)若直线 与 交于另外一点 ，直线 与 交于另外一点 ，求点 到直线 的距离的最大值.
参考答案、提示及评分细则
1. . 故选 D.
2.C 因为 ,所以 的虚部是 3. 故选 C.
3.B 因为焦点到准线的距离为 1,所以 ，只有 选项符合. 故选 B.
4. D 设 的公比为 ,由题意,得 ,解得 ,所以 的公比为 3 . 故选 D.
5. A 将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),可以得到 的图象. 故选 A.
6. 由 得 ,所以 ,所以 . 故选 C.
7. ,因为 是第二象限角,所以 ,又 ,所以 ,所以 . 故选 B.
8. C 圆柱的底面半径为 ,高为 ,设圆锥的母线为 ,则由题意知 ,所以 ,所以圆锥的高 ，所以圆锥的体积与圆柱的体积比为 . 故选 C.
9. 由 4 个球队角球数为 5,知该组数据的众数为 5, A 正确; 极差为 , B 正确; 平均数为 错误; 因为 ,所以该组数据的第 40 百分位数是第 6 个数据,即 正确. 故选 ABD.
10. 由 是幂函数知 ,所以 或-2,所以 或 ,所以 可能是奇函数,当 时, ,所以 C 错误, 正确. 故选 ABD.
11. AC 由 ,当 时, ,当 时, ,若 ,则 ,符合 ,故 为等差数列, A 正确; 因为当 时, ,所以若 为等差数列,则 的公差为 2,故 B 错误; 若 ,则 ,当 时, ,所以 ,又当 时, ,所以当且仅当 时 取得最小值,故 正确; 当 时, ,故数列 为递增数列等价于 对任意的 恒成立,即 ,可得 ,故 D 错误. 故选 AC.
12. 112 因为 的展开式的通项 ,令 , 解得 ,所以 .
13.14 双曲线 ,可化为 ,所以 ,又
,所以 ,则 的周长为 14 .
14. ,由 知 的周期为 2,又 是偶函数,所以
15. 解: (1) 由 及正弦定理,得 , 2 分
即 . 3 分
在 中, ,所以 , 4 分
又 ,所以 . 5 分
因为 ,所以 . 6 分
(2)由余弦定理 ，得 ， 8 分
所以 ,又 ,所以 ,解得 , 10 分
所以 的面积为 . 13 分
16. 解:(1)用分层抽样方法从高一、高二、高三抽查的人数分别为6,7,8，已知高一学生人数为 600，所以高二、 高三学生人数分别为 700,800, 2 分
综合体育活动时间五天内不低于 10 小时的人数,高一、高二、高三占比分别为 , 4 分由 ,知
估计高一、高二、高三学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求人数分别为300,400,500.
7 分
(2)平均每天的体育活动时间达到通知要求的，高三有 3 人，另 5 人没有达到要求，
所以 的可能取值为0,1,2,3, 8 分
则 . 12 分所以 的分布列为:
0 1 2 3
5 2 15 15 56 1 56
所以 . 15 分
17. 解: (1) 函数 的定义域为 ,对函数求导得 , 2 分令 ,得 ; 令 ,得 . 5 分
所以函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 7 分
(2)解法一: 设点 ，
所以点 到直线 的距离为 . 9 分
令 ,则 , 11 分令 ,得 (舍去) 或 .
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减.
所以 在 处取到极大值 ,也是最大值. 13 分
所以 ,当且仅当 时等号成立,
即点 到直线 距离的最小值为 . 15 分
解法二:直线 的斜率 ,
设 ,又 ,令 ,得 ,解得 (舍) 或 ,所以点 的坐标为 . 9 分
所以曲线 上与直线 平行的切线的切点为 ,
由题意知点 到直线 距离的最小值即为点 到直线 的距离, 12 分又点 到直线 的距离 ,
所以点 到直线 距离的最小值为 . 15 分
18.(1)证明:过 作 ，交 于点 ，在梯形 中， ，所以 ，所以 ，所以 ,连接 ,则平面 平面 , 1 分因为 平面 平面 ,所以 , 3 分因为 平面 平面 ,所以 , 4 分因为 平面 ,所以 平面 , 6 分因为 平面 ,所以 ,所以 . 7 分 (2)解:如图，以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 .
设 ,则 , 9 分由(1)知 ，又 ，所以四边形 是平行四边形， ，即 ， 分别是 的中点, 10 分
所以 . 11 分设平面 的法向量为 ,
因为 ,所以 ,
取 得 . 13 分
同样可求得平面 的一个法向量 ， 14 分设平面 与平面 所成二面角为 ,
则 . 16 分
故 ,即平面 与平面 所成二面角的正弦值为 . 17 分
19. 解: (1) 由题意知 2 分
解得 , 3 分
所以 的方程是 . 4 分
(2)(i)由题意知 ，设 ， ，因为 ，
所以 ,即 , 6 分
所以 . 8 分
(ii) 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,
由 得 ,所以 ,
10 分
所以 ,整理得 ,
所以 ,整理得 ,
所以 或 . 12 分
当 时,直线 的方程为 ,过定点 ,不符合题意; 13 分
当 时,直线 的方程为 ,过定点 . 14 分
当直线 斜率不存在时, ,直线 的方程是 与椭圆方程 联立得 ,同理得 ,此时直线 的方程是 ,过定点 .
综上,直线 过定点,该定点坐标是 . 15 分
记点 ,当 时,点 到直线 的距离取得最大值,最大值为 . 17 分
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围: 高考范围。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的。
1. 设集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 ,则 的虚部是
A. -3 B. -3i C. 3 D. 3i
3. 下列抛物线中,焦点到准线的距离为 1 的是
A. B.
C. D.
4. 在等比数列 中, ,则 的公比为
A. B. C. D. 3
5. 将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),得到 的图象,则
A. B.
C. D.
6. 已知向量 ，若 ，则
A. B. 5 C. D. 8
7. 已知 是第二象限角， ，则
A. B. C. D.
8. 已知圆柱 的底面半径为 ,高为 ,上、下底面圆的圆心分别是 ,点 为线段 的延长线上一点,圆锥 的底面为圆柱的下底面,顶点为 . 若圆锥 的表面积与圆柱 的表面积相等,则圆锥 与圆柱 的体积的比值为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 某省城市足球联赛中 13 个球队角球排名如下:5, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 14, 17，则
A. 该组数据的众数为 5
B. 该组数据的极差为 12
C. 该组数据的平均数为
D. 该组数据的第 40 百分位数为 7
10. 已知函数 是幂函数，则
A. B.
C. 是偶函数 D. 当 时，
11. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则下列说法正确的是
A. 若 ,则 为等差数列
B. 若 为等差数列,则公差可能为 1
C. 若 ,则当且仅当 时 取得最小值
D. 若数列 是递增数列,则 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 的展开式中的常数项为_____.
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 作直线 交 的左支于 两点,且 ,则 的周长为_____.
14. 已知函数 是定义在 上的偶函数,且 ,当 时, , 则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
在 中,内角 的对边分别为 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
16. (本小题满分 15 分)
为了促进学生健康成长和全面发展，某省教育厅发出《关于保障中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时的通知》(下称“通知”). 接通知后，光明中学对该校高一、高二、高三三个年级的学生，用分层抽样方法随机抽查得出部分同学五天内的综合体育活动时间，数据如下表(单位:小时)，五天内的综合体育活动时间不低于10 小时的可认为达到“通知”要求.
高一年级 10 12.5 8 9.5 9 11
高二年级 7.5 8 8.5 10 9.5 11 12
高三年级 7 4.5 6 5 7.5 10.5 11 12.5
(1)已知高一学生有 600 人，试估计高一、高二、高三各有多少学生每天的综合体育活动时间， 没有达到“通知”要求；
(2)从被调查的高三年级 8 名学生中，随机选取 3 人，记这 3 人中每天综合体育活动时间达到通知要求的人数为 ,求 的分布列和数学期望.
17. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)点 是函数 图象上任意一点，求点 到直线 距离的最小值.
18. (本小题满分 17 分)
如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是梯形， ， ，点 是棱 上一点，且 平面 .
(1)求证: ；
(2)求平面 与平面 所成二面角的正弦值.
19. (本小题满分 17 分)
已知椭圆 的左、右顶点分别为 ,离心率为 ,且 .
(1)求 的方程；
(2)已知 是直线 上的两点，且满足 ，记直线 ， 的斜率分别为 .
(i) 求 的值;
(ii)若直线 与 交于另外一点 ，直线 与 交于另外一点 ，求点 到直线 的距离的最大值.
参考答案、提示及评分细则
1. . 故选 D.
2.C 因为 ,所以 的虚部是 3. 故选 C.
3.B 因为焦点到准线的距离为 1,所以 ，只有 选项符合. 故选 B.
4. D 设 的公比为 ,由题意,得 ,解得 ,所以 的公比为 3 . 故选 D.
5. A 将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变),可以得到 的图象. 故选 A.
6. 由 得 ,所以 ,所以 . 故选 C.
7. ,因为 是第二象限角,所以 ,又 ,所以 ,所以 . 故选 B.
8. C 圆柱的底面半径为 ,高为 ,设圆锥的母线为 ,则由题意知 ,所以 ,所以圆锥的高 ，所以圆锥的体积与圆柱的体积比为 . 故选 C.
9. 由 4 个球队角球数为 5,知该组数据的众数为 5, A 正确; 极差为 , B 正确; 平均数为 错误; 因为 ,所以该组数据的第 40 百分位数是第 6 个数据,即 正确. 故选 ABD.
10. 由 是幂函数知 ,所以 或-2,所以 或 ,所以 可能是奇函数,当 时, ,所以 C 错误, 正确. 故选 ABD.
11. AC 由 ,当 时, ,当 时, ,若 ,则 ,符合 ,故 为等差数列, A 正确; 因为当 时, ,所以若 为等差数列,则 的公差为 2,故 B 错误; 若 ,则 ,当 时, ,所以 ,又当 时, ,所以当且仅当 时 取得最小值,故 正确; 当 时, ,故数列 为递增数列等价于 对任意的 恒成立,即 ,可得 ,故 D 错误. 故选 AC.
12. 112 因为 的展开式的通项 ,令 , 解得 ,所以 .
13.14 双曲线 ,可化为 ,所以 ,又
,所以 ,则 的周长为 14 .
14. ,由 知 的周期为 2,又 是偶函数,所以
15. 解: (1) 由 及正弦定理,得 , 2 分
即 . 3 分
在 中, ,所以 , 4 分
又 ,所以 . 5 分
因为 ,所以 . 6 分
(2)由余弦定理 ，得 ， 8 分
所以 ,又 ,所以 ,解得 , 10 分
所以 的面积为 . 13 分
16. 解:(1)用分层抽样方法从高一、高二、高三抽查的人数分别为6,7,8，已知高一学生人数为 600，所以高二、 高三学生人数分别为 700,800, 2 分
综合体育活动时间五天内不低于 10 小时的人数,高一、高二、高三占比分别为 , 4 分由 ,知
估计高一、高二、高三学生每天的综合体育活动时间没有达到“通知”要求人数分别为300,400,500.
7 分
(2)平均每天的体育活动时间达到通知要求的，高三有 3 人，另 5 人没有达到要求，
所以 的可能取值为0,1,2,3, 8 分
则 . 12 分所以 的分布列为:
0 1 2 3
5 2 15 15 56 1 56
所以 . 15 分
17. 解: (1) 函数 的定义域为 ,对函数求导得 , 2 分令 ,得 ; 令 ,得 . 5 分
所以函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 7 分
(2)解法一: 设点 ，
所以点 到直线 的距离为 . 9 分
令 ,则 , 11 分令 ,得 (舍去) 或 .
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减.
所以 在 处取到极大值 ,也是最大值. 13 分
所以 ,当且仅当 时等号成立,
即点 到直线 距离的最小值为 . 15 分
解法二:直线 的斜率 ,
设 ,又 ,令 ,得 ,解得 (舍) 或 ,所以点 的坐标为 . 9 分
所以曲线 上与直线 平行的切线的切点为 ,
由题意知点 到直线 距离的最小值即为点 到直线 的距离, 12 分又点 到直线 的距离 ,
所以点 到直线 距离的最小值为 . 15 分
18.(1)证明:过 作 ，交 于点 ，在梯形 中， ，所以 ，所以 ，所以 ,连接 ,则平面 平面 , 1 分因为 平面 平面 ,所以 , 3 分因为 平面 平面 ,所以 , 4 分因为 平面 ,所以 平面 , 6 分因为 平面 ,所以 ,所以 . 7 分 (2)解:如图，以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系 .
设 ,则 , 9 分由(1)知 ，又 ，所以四边形 是平行四边形， ，即 ， 分别是 的中点, 10 分
所以 . 11 分设平面 的法向量为 ,
因为 ,所以 ,
取 得 . 13 分
同样可求得平面 的一个法向量 ， 14 分设平面 与平面 所成二面角为 ,
则 . 16 分
故 ,即平面 与平面 所成二面角的正弦值为 . 17 分
19. 解: (1) 由题意知 2 分
解得 , 3 分
所以 的方程是 . 4 分
(2)(i)由题意知 ，设 ， ，因为 ，
所以 ,即 , 6 分
所以 . 8 分
(ii) 当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,
由 得 ,所以 ,
10 分
所以 ,整理得 ,
所以 ,整理得 ,
所以 或 . 12 分
当 时,直线 的方程为 ,过定点 ,不符合题意; 13 分
当 时,直线 的方程为 ,过定点 . 14 分
当直线 斜率不存在时, ,直线 的方程是 与椭圆方程 联立得 ,同理得 ,此时直线 的方程是 ,过定点 .
综上,直线 过定点,该定点坐标是 . 15 分
记点 ,当 时,点 到直线 的距离取得最大值,最大值为 . 17 分
同课章节目录