湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试卷（含答案）

高二数学试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，时量 120 分钟。满分 150 分。
第 1 卷
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 已知 ,则
A. B.
C. D.
2. (★) 设 ,则其共轭复数 的虚部为
A. -2i B. 2i C. -2 D. 2
3. 现有一个迷宫如图所示，小球 从 三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则 “小球 从 口滚动进入”是“小球 从 口滚动出来”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. (★) DeepSeek 是人工智能的一种具有代表性的实现方法, 它是以神经网络为出发点. 在神经网络优化中,指数衰减的学习率模型为 ,其中 表示每一轮优化时使用的学习率, 表示初始学习率, 表示衰减系数, 表示训练迭代轮数, 表示衰减速度. 已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 0.6 , 衰减速度为 20 , 且当训练迭代轮数为 10 时,学习率衰减为 0.3 , 则学习率衰减到 0.4 以下 (不含 0.4 ) 所需的训练迭代轮数至少为 (参考数据: )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 甲、乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次加油谷量一定. 乙不考虑油价升降, 每次加油所花的钱数一定, 多次加油之后, 甲、乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济
A. 甲比较经济 B. 甲和乙一样经济
C. 乙比较经济 D. 不能确定
6. (★)在 中， ， ， 为 的中点，且 外接圆的圆心为 ,则
A. 10 B. 20
C. D.
7. (★)已知四面体 的各顶点均在球 的球面上， 平面 的外接圆半径是，则球 的表面积为
A. B. C. D.
8. 定义:给定一个正整数 ，如果两个整数 ， 满足 能够被 整除， 就称整数 对模 同余,记作 . 若 ,则 的一组值可能为
A. B.
C. D.
二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 定义: 设 是 的导函数, 是函数 的导数,若方程 有实数解 ,则称点 为函数 的“拐点”. 经过探究发现: 任何一个三次函数都有“拐点”, 且“拐点”就是三次函数图象的对称中心，已知函数 图象的对称中心为 ,则
A.
B. 函数 既有极大值又有极小值
C. 函数 有 3 个零点
D. 过点 只可作 1 条直线与 图象相切
10.(★)下列说法正确的是
A.
B. 被 8 除的余数为 1
C. 甲、乙、丙、丁等 6 人排成一排，甲、乙、丙按从左到右、从高到低的固定顺序, 共有 120 种排法
D. 现有 6 本不同的书, 分成三份, 每份 2 本, 共有 90 种分法
如图,由 Rt 开始,作一系列的相似三角形, . 设第 个三角形的斜边长为 ,面积为 ,前 个三角形的面积之和为 ,其中 ,则
A. 为等差数列
B. 为等比数列
C. 为递增数列
D.
选择题答题卡
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
答案
第 II 卷
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12.《哪吒之魔童闹海》票房大卖，其中蕴含的很多人生道理引起共鸣，如哪吒与命运抗争的顽强，李靖对哪吒不离不弃的关爱. 因此哪吒系列手办盲盒深受欢迎，其中共有包含哪吒，敖丙，哪吒父母，四大龙王共 8 个人物手办，小明从 8 个盲盒中(8 个盲盒内的人物一定不同)任意抽取 3 个盲盒，则包含哪吒和至多一位龙王的取法有_____种。
13. 已知函数 ,若 ,且 ,都有 ，则实数 的取值范围是_____.
14. 平面内有 四点，任意三点不共线， 且 ，若 分别是 的平分线,线段 的最大值为_____.
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(★)(本小题满分 13 分)
已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 .
16.(本小题满分 15 分)
已知单位圆 与 轴正半轴分别交于 两点,过线段 上一点 作 轴的垂线交单位圆于点 在第一象限 ,延长 至点 ,使得 为 的中点,连接 . 设 .
(1)若 ，求 ；
(2)求 取得最大值时 的值.
17.(本小题满分 15 分)
已知 是边长为 6 的等边三角形, 为 的中点, 为 靠近 的三等分点. 连接 . 将 沿 折起,使得 .
翻折前
翻折后
(1)若 ，求翻折前 的值；
(2)证明:翻折后， 平面 ；
(3)若 ，求翻折后二面角 的正弦值.
18.(★)(本小题满分 17 分)
已知椭圆 的离心率为 分别为椭圆的左、右焦点, 为坐标原点,过 的直线交 于 两点,点 在第一象限, 为 的中点, 交 于点 的周长为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)求证:直线 与 的斜率乘积为 ；
(3)若分别记 的斜率为 ，求 的最大值.
19. (本小题满分 17 分)
已知 ,定义 的余切值为 ,函数 在 处的切线为直线 .
(1)求切线 的方程；
(2)证明: 始终在切线 下方；
(3)证明:至少存在 3 个整数 ，使得 恒成立. (参考数据: )
高二数学试卷参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D A D C B D D AB AC BCD
1.B 由于 ,故 ,故 ,故 ,故 , 故 B 正确，ACD均错误，故选 B.
2. D 由题意可得 ,
则 . 故 的虚部为 2 . 故选 D.
3. A 若小球 从 口滚动进入，则一定从 口滚动出来. 若小球 从 口滚动出来，可能是从 口或 口滚动进入，所以 “小球 从 口滚动进入” 是 “小球 从 口滚动出来” 的充分不必要条件. 故选 A.
4. D 由于 ,所以 ,
依题意 ,则 ,
则 ,由 ,
所以 ,
即 ，所以所需的训练迭代轮数至少为 6 次. 故选 D.
5. 设两次加油的油价分别为 ,甲每次加油容量为 ,可得甲加油的平均单价为
设乙每次加油花费的钱数都为 ,则第一次加油的油量 ,第二次加油的油量为 ,两次加油的花费为 ,总共加的油量为 ,可得乙加油的平均单价为 ,
因为 ,所以 ,所以乙比较经济,故选 C.
6. 因为 为 的中点,则 ,
所以 .
如图，分别取线段 的中点为 ，因为 为 的外接圆圆心，
所以 ,则
,
因此 . 故选 B.
7. 因为 的外接圆半径是 ，则斜边 .
因为 平面 ,则可将四面体 补形为长方体,长方体的休对角线 ,设球 的半径为 ,则 ,所以球 的表面积 . 故选 D.
8. D 依题意得 能够被 5 整除.
而
,
所以 能够被 5 整除.
对于 ,则 ,不能被 5 整除, 不正确;
对于 ,则 显然不能被 5 整除, 不正确;
对于 ,则 ,不能被 5 整除, 不正确;
对于 ,则 ,能被 5 整除, 正确. 故选 D.
9. 因为 ,
所以 ,
从而 ,由题意 即 解得 故 正确；
因为 ，所以 ，
当 时, 单调递增;
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增,
所以 在 与 处分别取得极大值与极小值,故 正确;
又 ,即 的极大值与极小值都大于 0,
所以函数不会有 3 个零点,故 错误;
设切点为 ,则切线方程为 ,
又切线过点 ,
则 ,
化简得 ,即 ,
解得 或 ,
即满足题意的切点有两个，所以满足题意的切线有两条，故 不正确. 故选 AB.
10. 对于选项 : 由组合数性质 可知 ,所以 正确；
对于选项 B:因为 ,所以 即 被 8 除的余数为 7,所以 B 错误;
对于选项 C:先从 6 个位置中选 3 个位置给甲、乙、丙，由于顺序固定，这 3 个位置的排法只有 1 种，剩下 3 个位置排其他 3 人，有 种排法. 根据组合数公式，总排法种数为 ，所以 C 正确；
对于选项 D: 根据题意，分法共有 种，所以 D 错误. 故选 AC.
11. 对于 选项,在 中, ,
根据三角函数的定义 ，
所以 ，
又因为三角形相似,所以 ,
即 ,所以 为等比数列,所以 选项错误;
对于 选项, ,其中 ,
所以 ，
又因为相似三角形的面积比等于相似比的平方,相似比为 ,
所以 ,
所以 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以 选项正确;
对于 选项, ,
由 知, ,
所以 ,
方法一: ，所以 为递增数列，
方法二: 的值随 的增大而增大,所以 为递增数列,所以 选项正确;
对于 选项,因为 ,
所以令 ,
当 时, ,
当 时, ,所以 ,所以 ,所以 D 选项正确.
故选 BCD.
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分)
12. 15 抽取的盲盒中,包含哪吒,不包含龙王的取法有 种; 包含哪吒和一个龙王的取法有 种, 所以任意抽取 3 个盲盒, 包含哪吒和至多一位龙王的取法有 15 种.
13. 因为 ,且 ,都有 ,
则 ,
令 ,则 在区间 上单调递减,
令 ,由于 在 上为增函数,
由复合函数单调性可得: 在区间 上单调递减,
当 时, 在区间 上单调递减,满足条件,
当 时,要使 在区间 上单调递减,则 ,解得 ,
当 时,要使 在区间 上单调递减,则 ,解得 ,
综上, 的取值范围为 .
14. 4 由 可知 点在线段 上，且 ，
结合 ,知 ,
以点 为坐标原点,以直线 为 轴,过点 作 的垂线为 轴,建立平面直角坐标系如图，则 ， ， ，
由于 是 的平分线,故 ,即 ,
设 ,则 ,
化简得 ,即点 在以 为圆心,2 为半径的圆上 (不包括 轴上的点),
同理可得点 也在以 为圆心,2 为半径的圆上 (不包括 轴上的点),
则当 位于圆的直径的两端时,线段 取到最大值,最大值为 4 .
四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(1) 当 时, , 1 分
当 且 时, , 3 分
不满足 , 4 分
综上可得, 6 分
(2) , 8 分
, 10 分
因此
. 13 分
16.(1)由题意，在 中， ，
则 . 5 分
(2)在 中， ， ， 7 分
由 为 的中点,可得 ,
方法一:在 中， ， ， 9 分
所以 10 分
令 ,则 , 11 分
所以 ， 12 分
令 ,则 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以当 时, 取得最大值,此时 . 15 分
方法二: , 9 分
10 分
令 , 11 分
所以 , 12 分
所以当 时, 取得最大值,此时 . 15 分
17.(1)由题意得， . 故 . 1 分
由余弦定理可得: , 3 分
解得 . 4 分
(2) 为 的中点， 为等边三角形，则 . 5 分
同理 . 因为翻折后 ,所以 ,
所以 , 6 分
又因为 平面 ,
故 平面 . 8 分
(3)由(2)得， ，因为 为 的中点，所以 ，故以 为坐标原点,分别以 为 轴, 轴, 轴正方向,建立空间直角坐标系如图, 9 分
因为 ,所以 ,
故 , 10 分
所以 ,
设平面 的法向量为 ,
则有 则平面 的一个法向量为 , 12 分
设平面 的法向量为 ,
则有 则平面 的一个法向量 . 13 分
设二面角 的大小为 ,则 , 14 分
所以 ,即解析后二面角 的正弦值为 . 15 分
18.(1)根据椭圆的定义可知 ,
根据题意可得 解得 ,
所以椭圆 的方程为 . 4 分
(2) 证明: 设 ,因为 为 的中点,所以 ,
根据题意直线 与 的斜率都存在,
所以直线 与 的斜率乘积为 6 分
因为 在椭圆上,所以 ,两式相减可得 , 8 分
化简得 ,可得 ,
因此直线 与 的斜率乘积为 . 9 分
(3)设 ， ， ，
由( 1 )可知 ，
因为点 在椭圆上,所以 ,
由题意 , 10 分
将直线 与椭圆 联立
可得 ,
整理可得: ,所以 ,
即 ,
即 , 12 分
同理,将直线 与椭圆 联立
可得 ,
整理可得: ,
所以 ,
即 ,即 , 14 分
所以 的斜率分别为 ,
故 , 16 分
因为点 在第一象限内,故 ,
的最大值为 -2 6，当且仅当 点位于 时取到等号. 17 分
19.(1) 函数 ,
求导得 . 2 分
在 处, ,且 , 3 分
故切线 方程为 . 4 分
(2)方法一:构造差函数 , 5 分
求导得 在 上恒成立,所以函数 在 上单调递减, 7 分
故 ,有 ,故 ,
即 始终在切线 的下方. 9 分
方法二: 构造 , 5 分
在 上恒成立,
所以函数 在 上单调递减, 7 分
所以 ,所以 ,
又 ,故 ,
即 始终在切线 的下方. 9 分
(3)令 , 10 分
且 , 12 分
易知 为偶函数，故只需考虑 时 的值.
,显然 ; 13 分
,有 ,故 ,
为使 恒成立,只需 ; 14 分
故只需要研究 :
若 ,则 ,显然 ,
有 ,
对于 ,先证明引理: ,
令 ,所以 在 上递增,
故 ,引理得证,则 .
令 ,
故 在 上递减，故 ,故 ,
故 时, 在 上成立,故 符合题意. 16 分
若 时, 有 ,故 ,
右边式子即 的情形,对于 的情形,前文已证其值恒大于 0,故 也符合.
综上: 符合题意. 17 分