2025-2026学年下学期云南红河州文山州高三数学3月三模试卷（含答案）

红河州、文山州 2026 届高中毕业生第三次复习统一检测 数 学
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号在答题卡上填写清楚, 并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题: 本题共8小题, 每小题 5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 设复数 ,则
A. 4 B. -4 C. D. -2i
2. 已知命题 ,则命题 的否定是
A B.
C D.
3. 已知 ,则
A. B. C. D.
4. 已知 为椭圆 的左、右焦点,点 是椭圆 的上顶点, 且 ，则椭圆 的离心率为 3
A. B. C. D.
5. 森林植被是主要由树木组成的植物群落，常见的典型类型包括:常绿阔叶林(以云南西双版纳为代表)、落叶阔叶林(以华北地区为代表)和针叶林(以大兴安岭为代表). 某地理研究团队计划派 5 个研究小组对这三种典型森林植被的 3 个代表地区进行考察，要求每个研究小组只分配到一个地区, 每个地区至少分配 1 个研究小组, 则不同的分配方案共有
A. 300 种 B. 240 种 C. 150 种 D. 120 种
6. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现: 已知平面内两个定点 及动点 ,若 ，则点 的轨迹是个圆. 在平面直角坐标系中，已知 ， ， 若直线 上存在点 与点 的距离之比为 ,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
7. 已知正实数 满足 ,则 的最小值为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
8. 已知定义在 上的函数 满足 ,对任意两个不相等的正实数 , ,都有 成立,若 ,则 的大小关系为
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验,结果得到 列联表如下:
阳性 阴性 合计
荧光抗体法 150 200
常规培养法 80 200
合计 270 130 400
参考公式: ,其中 .
附:
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
下列表述正确的是
A
B. 零假设 : 在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异
C. 依据小概率值 的 独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异
D. 常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为
10. 如图，在棱长为2的正方体 中， ， 分别是棱 ， 的中点， 点 在线段 上运动,下列选项正确的是
A. 四点共面
B. 存在点 ,使得
C. 平面 截正方体 所得的截面图形是五边形
D. 点 到平面 的距离是
11. 已知数列 满足 ,设 ,记数列 的前 项和分别为 ,则
A 是 的等比中项
B.
C. 存在常数 ,使得数列 和 是首项,公比均相同的等比数列
D.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知全集 ，集合 ， 均为 的子集，且 ，则满足条件 的集合 的个数是_____
13. 已知函数 ，则 在 的单调递减区间为_____.
14. 已知点 ， ， 为双曲线 上的两点，且 的平分线与 轴垂直，则直线 的斜率为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
春节期间某商场举行购物抽奖活动, 活动设置了两种抽奖方式 (方式一和方式二), 规则如下:凡在商场消费满 200 元的顾客都可以通过掷一枚质地均匀的骰子来确定抽奖方式， 若掷出 5 点或 6 点，则采用方式一抽奖，否则采用方式二抽奖. 活动期间顾客甲在该商场多次购物，其中有3次购物消费满200元，均参与抽奖活动.
(1)求顾客甲在 3 次抽奖中恰有 2 次采用方式一抽奖的概率；
(2)方式一:从装有 4 个红球，6 个白球(所有球除颜色外完全相同)的箱子中随机摸一个球，摸到红球即为中奖；方式二:“大转盘”，中奖的概率为 . 求顾客甲抽奖一次中奖的概率.
16. (本小题满分 15 分)
在 中,角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求证: 是等腰三角形；
(2)若 ，设 为 的中点，且 ，求 的面积.
17. (本小题满分 15 分)
如图，在五面体 中， ， ， ，
为等边三角形,平面 平面 .
(1)证明:直线 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)设点 为线段 上一动点，请从以下两个条件中任选一个作答.
① ；
② .
是否存在满足所选条件的点 ，若存在，请求出点 的位置；若不存在，请说明理由. 注: 若选择多个条件分别解答, 则按第一个解答计分.
18. (本小题满分 17 分)
已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 4 .
(1)求抛物线的方程；
(2)已知 三点(点 在点 和点 之间)在抛物线上.
(i) 若点 ,求 周长的最小值;
(ii) 过 三点作抛物线的三条切线,分别两两相交于点 ,如图所示,直线 分别交 轴于点 ,是否存在常数 ,使得 ,若存在,求出 的值; 若不存在,请说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知数列 满足 ,且 ,函数 .
(1)求函数 的极大值；
(2)已知 ， ， ，使得 成立， 求 的取值范围;
(3)若 ，求 的前 项和 .
红河州、文山州 2026 届高中毕业生第三次复习统一检测 数学参考答案及评分标准
评分说明:
1. 本解答给出了一种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2. 对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4. 只给整数分数, 单项选择题不给中间分。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
因为 ,所以 .
故选 A.
2.【答案】B
因为命题 ,所以命题 的否定是: . 故选 B.
3.【答案】A
由 得 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
所以 .
故选 A.
4.【答案】D
设 为坐标原点,如图所示:
由题意知 为等腰三角形,
因为 ,所以 ,
因为在 中, ,所以 ,
所以 .
故选 D.
5.【答案】C
5 个小组分配到3 个地区, 每个地区至少有1 个小组, 可分为两种情况:
①各地区小组数分别为1,1,3:
先将 5 个小组分为三组 ,再分配到 3 个地区,方法数为 种;
②各地区小组数分别为2,2,1:
先将 5 个小组分为三组 ,再分配到 3 个地区,方法数为 种;
因此所求方案共有 种方法.
故选 C.
6.【答案】D
设点 ,由点 与点 的距离之比为 ,
得 ,化简整理可得 ,
所以点 的轨迹是以 为圆心,2 为半径的圆,
又因为点 在直线上，所以直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离 ，解得 .
故选 D.
7.【答案】C
因为 ,所以 ,
由 得 ,所以
当且仅当 ,即 时,等号成立.
故选 C.
8.【答案】B
因为函数 在 上单调递增,所以 ,即 , 同理可得, ,则 .
又因为函数 满足 ,所以 的图象关于 轴对称,即
为偶函数,则 ,
. 又因为对任意不相等的两个正实数 ,都有
成立,所以 在 上单调递增,则
,即 .
故选 B.
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9.【答案】AC
对于 ,根据表格数据可知, ,故 正确;
对于 ,为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异,零假设 : 在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法无差异,故 错误;
对于 ,由题意得 ,所以零假设 不成立,依据小概率值 的 独立性检验,认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异，故 C 正确；
对于 ,根据表格数据可知,常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 ,故 D 错误.
故选 AC.
10.【答案】BC
对于 ,因为 与 为异面直线,所以 四点不共面,故 错误;
对于 ,建立如图所示空间直角坐标系,
则 ,
设 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 ,
所以 ,
假设存在点 使得 ,
所以 ,即 ,
整理得 ,
所以 (舍去),或 ,
所以存在点 ,使得 ,故 B 正确;
对于 ,如图直线 与 的延长线分别交于 ,连接 分别交 于 ,连接 , 则五边形 即为所求的截面图形, 故 C 正确.
对于 ,设点 到平面 的距离为 ,由正方体 的棱长为 2 可得,
所以 ，
所以由 ,可得 ,
所以点 到平面 的距离是 ,故 错误; 故选 BC.
11.【答案】ACD
对于 ,因为数列 满足
所以 ,
所以 ,故 正确;
对于 ,因为数列 满足 所以
故 B 错误;
对于 ,当 时, ,所以 ,
即 ,又因为 ,所以当 时, ,所以
数列 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列; 又因为
,所以数列 是以 3 为首项，2 为公比的等比数列，故 C 正确；
对于 ,因为数列 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列,所以
,所以
又因为 ,所以
故 D 正确.
故选 ACD.
三、填空题:本题共3小题，每小题 5 分，共15 分.
12.【答案】 8
因为全集 ,且 ,所以 . 所以满足条件 的集合 的个数是: .
13.【答案】
由题意得 ,令 ,因为 ,所以 , 故 的单调递减区间为 .
14.【答案】-1
由题意知直线 的斜率存在,
设直线 的方程为 ,点 ,
由 得 ,
所以 ,且 ,
因为 的平分线与 轴垂直,所以 ,
所以 ,即 ,
所以 ,
即 ,
化简得 ,所以 或 ,
当 时,直线 的方程为 ,
直线 经过 ,不符合题意,
所以直线 的斜率 .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
(1)记事件 为顾客甲采用方式一抽奖，则 ，所以顾客甲在 3 次抽奖中恰有 2 次采用方式一抽奖的概率为 . 5 分
(2)记事件 为顾客甲中奖，事件 为顾客甲采用方式二抽奖，则 ， 9 分
所以 ,
所以顾客甲抽奖一次中奖的概率为 . 13 分
16. (本小题满分 15 分)
(1)因为 ， 1 分
所以由余弦定理得 , 3 分
则 ,化简得 ,故 ,因此 是等腰三角形. 6 分
(2)因为 为 的中点，且 ，所以 ，由余弦定理得
8 分
由(1)得 ，所以
化简得, ,所以 . 12 分
在 中,由余弦定理得
又因为 ,所以 ,所以 的面积为
15 分
17. (本小题满分 15 分)
(1)因为 ， ，
所以 ，即 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 . 4 分
(2)取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形,且 ,
所以 ,且 , 5 分
以 为坐标原点, ,平行 的直线分别为 轴,建立如图所示空间直角坐标系 ,则 ,
, 6 分
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,令 ,
得 ,
所以 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,令 ,得 ,
所以 , 8 分
故 ,
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 . 10 分
(3)选①，存在一点 ，使得 ，
理由如下: 由(2)可知 ,
因为点 在线段 上,
所以设 ,则 ,
因为 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 ,
解得 或 (舍去),
因此当 为线段 的中点时, .
(3)选②，存在一点 ，使得 ，
理由如下: 由(2)可知 ,
因为点 在线段 上,
所以设 ,则 ,
因为 ,
所以 ,
又因为 ,
所以 ,解得 或 (舍去),
因此当 为线段 的中点时, .
18. (本小题满分 17 分)
(1)由题意知 ，
所以抛物线的方程为 .
(2)①由(1)知 ，准线方程为 ，
过 作 与准线垂直，垂足为 ，由抛物线的定义知 ， 5 分因为 周长为 ,
所以 (当且仅当 共线时取 “ ”).
又点 到准线的距离为 8,且 , 7 分
所以 周长的最小值为 . 8 分
②因为 ，
所以 .
设点 ,
则抛物线在点 处的切线方程为 ,
即 , 10 分
在点 处的切线方程为 ,
即 , 12 分
所以由 ,得 ,
所以点 的坐标为 ,
同理可得 , 14 分
所以 ,
所以直线 的方程为 .
令 ,解得 的纵坐标 ,
所以 ,
同理可得 . 16 分
因为 ,
故存在 使得 . 17 分
19. (本小题满分 17 分)
(1)由 ，则 ， 1 分
所以函数 ,则 ,
令 ,解得 ,或 , 2 分
当 时, ,函数 在 上单调递增;
当 时, ,函数 在 上单调递减;
当 时, ,函数 在 上单调递增.
所以 时, 有极大值,极大值为 . 4 分
(2)因为 ,使得 成立,
所以 , 5 分
由(1)知当 时, . 6 分
由 ,
则 ,
令 ,解得 ,或 .
当 时, ,则 在 上单调递增,
当 时, ,则 在 上单调递减,
则当 时, 取得最大值,即 . 8 分
故 ，解得 .
综上 . 9 分
(3)因为 ，①，则 ， 且 ②
① ②得 ，则 ，
即 ,其中 的指数为 个 2 相乘,
因为 ,所以 ,
当 时, ,
所以数列 的通项公式为 11 分
故
12 分
令 ,
则 ,①
两边同乘 得, ,②
①-② 得 ，
化简得: . 14 分
令 ,
法一: ,①
两边同乘 得, ,②
①-②得:
,
所以 . 16 分
法二: 因为 ,
将上式两边求导得 ,
两边同乘 ,
将上式两边求导得:
两边同乘 :
即 , 令 ,即
所以 . 16 分
所以 .
17 分