21．3 特殊的平行四边形
21．3．1 矩形
第1课时 矩形的性质
1．理解矩形的概念，以及矩形与平行四边形之间的关系．
2．探索矩形的轴对称性质．
3．探索并证明矩形的性质定理．
4．探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
知识点一 矩形的性质
1．(1)有一个角是 的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形；
(2)矩形具有平行四边形的 性质，且还具有一些特殊性质：四个角都是 ，对角线 ，是轴对称图形，有 条对称轴．
练习1 (教材P69例1变式)如图，在矩形ABCD中，AB知识点二 直角三角形斜边上中线的性质
2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的 ．
练习2 (教材P69思考变式)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点．若AC＝10，则BD的长为 ．
基础巩固
1．下列图形中，是轴对称图形，且只有两条对称轴的是( )．
A．矩形 B．等边三角形
C．平行四边形 D．五角星
2．(2025·惠州期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )．
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD
3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的________．
4．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________．
5．(2025·广州期中)学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来________盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来________盆花；如果一条对角线用了(2n＋1)盆花，还需要从花房运来________盆花．
6．(2025·广州期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，BG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG的值为________．
7．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：DF＝DC．
8．(2025·珠海期中)综合与实践
【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含30°角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为12 cm．
【操作探究】
(1)如图1，逐梦组将三角板ABC的边AC与三角板DEF的边FD重合，得到四边形ABCE，证明四边形ABCE是平行四边形；
(2)如图2，追光组将三角板DEF沿三角板ABC的边CA平移一定距离时，得到的四边形BFEC是矩形，且点D在AC上，求三角板DEF平移的距离AF．第2课时 矩形的判定
1．探索并证明矩形的判定定理．
2．能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题．
知识点一 用一个角是直角的平行四边形判定矩形
练习1 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( C )．
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
知识点二 用对角线相等的平行四边形判定矩形
练习2 (教材P70思考变式)如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( D )．
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
知识点三 用三个角是直角的四边形判定矩形
练习3 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为(2，0)，B点坐标为(0，1)，要使四边形BOAC为矩形，则C点坐标为(2，1)．
基础巩固
1．下列命题正确的是( A )．
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
2．如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是( C )．
A．互相平分 B．相等
C．互相垂直 D．互相垂直平分
3．(2025·潮阳三模) 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB，BC，CD分别为2，2，2＋2，则∠BAD的度数为( C )．
A．120° B．135°
C．150° D．以上都不对
能力达标
4．(2025·中山月考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为________．
【答案】
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠OAD＝∠ODA．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOD＝120°，AB＝6，求AC的长．
(1)证明：因为四边形ABCD为平行四边形，
所以OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD．
因为∠OAD＝∠ODA，
所以OA＝OD．
所以AC＝BD．
所以四边形ABCD是矩形．
【答案】(2)12
挑战创新
6．(2025·江门期末)小明同学进行了综合与实践活动，请根据下列信息回答问题．
【课题】在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD．
【模型抽象】
(说明：点A，B，E，D在同一平面内)
【测绘数据】步骤1：测得水平距离ED的长为15 m；
步骤2：根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17 m；
步骤3：牵线放风筝的手到地面的距离BE的长为1．8 m．
(1)求线段AD的长；
(2)若想风筝沿DA方向再上升12 m，则在BE，ED长度不变的前提下，小明应该再放出多长的风筝线？
【解】(1)过点B作BH⊥AD于点H，
则四边形BEDH是矩形，
所以BH＝ED＝15 m，HD＝BE＝1．8 m．
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，BH＝15 m，AB＝17 m，
由勾股定理，得AH＝＝＝8(m)，
则AD＝AH＋HD＝8＋1．8＝9．8(m)．
(2)如图，此时风筝到达点A′处．
因为风筝沿DA方向再上升12 m，
所以A′H＝20 m．
则此时风筝线的长为＝25(m)，
25－17＝8(m)．
答：他应该再放出8 m的风筝线．第2课时 矩形的判定
1．探索并证明矩形的判定定理．
2．能应用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题．
知识点一 用一个角是直角的平行四边形判定矩形
练习1 如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件是( )．
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
知识点二 用对角线相等的平行四边形判定矩形
练习2 (教材P70思考变式)如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )．
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
知识点三 用三个角是直角的四边形判定矩形
练习3 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为(2，0)，B点坐标为(0，1)，要使四边形BOAC为矩形，则C点坐标为 ．
基础巩固
1．下列命题正确的是( )．
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
2．如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是( )．
A．互相平分 B．相等
C．互相垂直 D．互相垂直平分
3．(2025·潮阳三模) 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥DC，AB，BC，CD分别为2，2，2＋2，则∠BAD的度数为( )．
A．120° B．135°
C．150° D．以上都不对
能力达标
4．(2025·中山月考)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是BC边上的一个动点，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N，则MN的最小值为________．
5．如图，在平行四边形ABCD中，∠OAD＝∠ODA．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若∠AOD＝120°，AB＝6，求AC的长．
6．(2025·江门期末)小明同学进行了综合与实践活动，请根据下列信息回答问题．
【课题】在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度AD．
【模型抽象】
(说明：点A，B，E，D在同一平面内)
【测绘数据】步骤1：测得水平距离ED的长为15 m；
步骤2：根据手中剩余线的长度，计算出风筝线AB的长为17 m；
步骤3：牵线放风筝的手到地面的距离BE的长为1．8 m．
(1)求线段AD的长；
(2)若想风筝沿DA方向再上升12 m，则在BE，ED长度不变的前提下，小明应该再放出多长的风筝线？21．3 特殊的平行四边形
21．3．1 矩形
第1课时 矩形的性质
1．理解矩形的概念，以及矩形与平行四边形之间的关系．
2．探索矩形的轴对称性质．
3．探索并证明矩形的性质定理．
4．探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
知识点一 矩形的性质
1．(1)有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也就是长方形；
(2)矩形具有平行四边形的所有性质，且还具有一些特殊性质：四个角都是直角，对角线相等，是轴对称图形，有2条对称轴．
练习1 (教材P69例1变式)如图，在矩形ABCD中，AB知识点二 直角三角形斜边上中线的性质
2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
练习2 (教材P69思考变式)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点．若AC＝10，则BD的长为5．
基础巩固
1．下列图形中，是轴对称图形，且只有两条对称轴的是( A )．
A．矩形 B．等边三角形
C．平行四边形 D．五角星
2．(2025·惠州期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( C )．
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠ACB＝∠ACD
3．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的________．
【答案】
4．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________．
【答案】5
5．(2025·广州期中)学校要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线．如果一条对角线用了24盆花，还需要从花房运来________盆花；如果一条对角线用了35盆花，还需要从花房运来________盆花；如果一条对角线用了(2n＋1)盆花，还需要从花房运来________盆花．
【答案】24 34 2n
能力达标
6．(2025·广州期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD交于点O，E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，BG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF＋EG的值为________．
【答案】
7．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F．求证：DF＝DC．
【证明】因为四边形ABCD是矩形，
所以AB＝DC，AD∥BC，∠B＝90°．
因为DF⊥AE，
所以∠AFD＝∠B＝90°．
因为AD∥BC，所以∠DAF＝∠AEB．
又因为AD＝EA，
所以△ADF≌△EAB(AAS)．
所以DF＝AB．
又因为AB＝DC，所以DF＝DC．
挑战创新
8．(2025·珠海期中)综合与实践
【问题情境】在数学课上，黄老师通过分组活动让同学们利用两个全等的含30°角的三角板进行拼图，并探究它们之间的关系．经测量，三角板斜边的长为12 cm．
【操作探究】
(1)如图1，逐梦组将三角板ABC的边AC与三角板DEF的边FD重合，得到四边形ABCE，证明四边形ABCE是平行四边形；
(2)如图2，追光组将三角板DEF沿三角板ABC的边CA平移一定距离时，得到的四边形BFEC是矩形，且点D在AC上，求三角板DEF平移的距离AF．
(1)证明：根据题意，
得△ABC≌△DEF，
所以EF＝BC，AB＝DE．
所以四边形ABCE是平行四边形．
(2)解：根据题意，得BC＝12 cm，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，
所以AB＝6 cm，∠BAF＝90°．
所以AC＝＝6(cm)．
因为四边形BFEC是矩形，
所以∠FBC＝90°．
设AF＝x cm，则CF＝AC＋AF＝(6＋x)cm．
在Rt△ABF和Rt△FBC中，
因为BF2＝AB2＋AF2，BF2＝CF2－BC2，
所以AB2＋AF2＝CF2－BC2，
即36＋x2＝(6＋x)2－144．
所以x＝2．
所以三角板DEF平移的距离AF为2 cm．
