第2课时 菱形的判定
1．探索并证明菱形的判定定理．
2．会用菱形的判定方法进行有关的论证和计算．
知识点一 用一组邻边相等的平行四边形判定菱形
练习1 如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( )．
A．AC＝AD B．BA＝BC
C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
知识点二 用对角线互相垂直的平行四边形判定菱形
练习2 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是 ．(只需写出一个条件即可)
知识点三 用四条边相等的四边形判定菱形
练习3 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得到图⑤，然后剪下图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是( )．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．矩形 D．菱形
基础巩固
1．(2025·东莞期中)下列命题正确的是( )．
A．有一个角是直角的四边形是菱形
B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，两弧分别相交于点C，D，则直线CD即为所求．连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是( )．
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
3．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4，则四边形AOBC的面积是________．
4．(2025·广东)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点A，C分别作AE∥DC，CE∥AB，AE与CE相交于点E．现有以下命题：
命题1：若连接BE，交CA于点F，则S△CFB＝2S△CEF．
命题2：若连接ED，则ED⊥AC．
命题3：若连接ED，则ED＝BC．
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
5．(2024·汕头期末)综合与实践
在矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E，F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．
(1)【初步思考】若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1)．
①当点P与点A重合时，CF＝______；
②当点E与点A重合时，CF＝______．
(2)【深入探究】当点E在AB上，点F在DC上时(如图2)．
①求证：四边形DEPF为菱形；
②当AP＝8时，求EF的长．
(3)【拓展延伸】若点E为动点，F为DC的中点，直接写出AP的最小值．21．3．2 菱形
第1课时 菱形的性质
1．理解菱形的概念，以及菱形与平行四边形、矩形之间的关系．
2．探索菱形的轴对称性质．
3．探索并证明菱形的性质定理．
知识点一 菱形的四条边都相等
练习1 周长为12 cm的菱形，它的边长是3 cm．
知识点二 菱形的对角线互相垂直平分且平分对角
练习2 (教材P72思考变式)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )．
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
知识点三 菱形的面积
练习3 (教材P73例3变式)在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H．已知BD＝8，S菱形ABCD＝24，则AH的长为4．8．
知识点四 菱形性质的应用
练习4 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF．求证：∠BCE＝∠DCF．
【证明】因为四边形ABCD是菱形，
所以AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DC．
因为AE＝AF，
所以BE＝DF．
所以△BEC≌△DFC(SAS)．
所以∠BCE＝∠DCF．
基础巩固
1．(2025·东莞月考)如图，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝6，则菱形的面积是( B )．
A．12 B．24
C．30 D．48
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为________．
【答案】(3，)
3．如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E，F分别为边AD，DC的中点，则PE＋PF的最小值是________．
【答案】2
4．(2025·清远三模) 如图，AC是菱形ABCD的对角线．
(1)尺规作图：在线段AC上作一点F，使得AF＝BF(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接BF，若∠DAB＝40°，求∠CBF的度数．
【解】(1)点F如图所示．
(2)因为四边形ABCD是菱形，
所以AD∥CB，
∠DAC＝∠BAC＝∠DAB＝20°．
所以∠ABC＝180°－∠DAB＝140°．
又因为FA＝FB，
所以∠ABF＝∠BAC＝20°．
所以∠CBF＝∠ABC－∠ABF＝120°．
能力达标
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH．若∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是________．
【答案】20°
6．如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B′处，连接DB′．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则∠ADB′的度数为________．
【答案】80°
挑战创新
7．(2025·惠州期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，AB＝8 cm，BC＝26 cm，动点P从点A出发沿AD边以1 cm/s的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CB边以3 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s．
(1)当t＝________时，四边形ABQP是矩形．
(2)当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
(3)四边形PQCD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【解】(1)6．5
(2)因为在四边形ABCD中，AD∥BC，
所以当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形．
根据(1)得24－t＝3t，
解得t＝6，
所以当t＝6时，四边形PQCD是平行四边形．
(3)不能．理由如下：
若四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD是平行四边形，
根据(2)得t＝6，
所以PD＝24－t＝24－6＝18(cm)．
过点D作DE⊥BC于点E(图略)，
所以四边形ABED是矩形．
所以BE＝AD＝24 cm．
所以EC＝BC－BE＝26－24＝2(cm)，
DE＝AB＝8 cm．
所以DC＝＝2≠PD．
所以四边形PQCD不可能是菱形．21．3．2 菱形
第1课时 菱形的性质
1．理解菱形的概念，以及菱形与平行四边形、矩形之间的关系．
2．探索菱形的轴对称性质．
3．探索并证明菱形的性质定理．
知识点一 菱形的四条边都相等
练习1 周长为12 cm的菱形，它的边长是 cm．
知识点二 菱形的对角线互相垂直平分且平分对角
练习2 (教材P72思考变式)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )．
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
知识点三 菱形的面积
练习3 (教材P73例3变式)在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H．已知BD＝8，S菱形ABCD＝24，则AH的长为 ．
知识点四 菱形性质的应用
练习4 如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE＝AF，连接CE，CF．求证：∠BCE＝∠DCF．
1．(2025·东莞月考)如图，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝6，则菱形的面积是( )．
A．12 B．24
C．30 D．48
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为________．
3．如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E，F分别为边AD，DC的中点，则PE＋PF的最小值是________．
4．(2025·清远三模) 如图，AC是菱形ABCD的对角线．
(1)尺规作图：在线段AC上作一点F，使得AF＝BF(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)的条件下，连接BF，若∠DAB＝40°，求∠CBF的度数．
5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH．若∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是________．
6．如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B′处，连接DB′．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则∠ADB′的度数为________．
7．(2025·惠州期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，AB＝8 cm，BC＝26 cm，动点P从点A出发沿AD边以1 cm/s的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CB边以3 cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s．
(1)当t＝________时，四边形ABQP是矩形．
(2)当t为何值时，四边形PQCD是平行四边形？
(3)四边形PQCD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．第2课时 菱形的判定
1．探索并证明菱形的判定定理．
2．会用菱形的判定方法进行有关的论证和计算．
知识点一 用一组邻边相等的平行四边形判定菱形
练习1 如图，要使 ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是( B )．
A．AC＝AD B．BA＝BC
C．∠ABC＝90° D．AC＝BD
知识点二 用对角线互相垂直的平行四边形判定菱形
练习2 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是AB＝CD(答案不唯一)．(只需写出一个条件即可)
知识点三 用四条边相等的四边形判定菱形
练习3 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得到图⑤，然后剪下图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是( D )．
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．矩形 D．菱形
基础巩固
1．(2025·东莞期中)下列命题正确的是( D )．
A．有一个角是直角的四边形是菱形
B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
2．如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，两弧分别相交于点C，D，则直线CD即为所求．连接AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是( B )．
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．等腰梯形
3．如图，在∠MON的两边上分别截取OA，OB，使OA＝OB；再分别以点A，B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；再连接AC，BC，AB，OC．若AB＝2，OC＝4，则四边形AOBC的面积是________．
【答案】4
能力达标
4．(2025·广东)如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点A，C分别作AE∥DC，CE∥AB，AE与CE相交于点E．现有以下命题：
命题1：若连接BE，交CA于点F，则S△CFB＝2S△CEF．
命题2：若连接ED，则ED⊥AC．
命题3：若连接ED，则ED＝BC．
任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例．
【解】命题1：若连接BE交CA于点F，
则S△CFB＝2S△CEF．
命题1是真命题．证明如下：
连接ED，交AC于点O(图略)．
因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
所以CD＝DA＝DB＝AB．
因为AE∥DC，CE∥AB，
所以四边形ADCE是平行四边形．
因为DA＝DC，所以四边形ADCE是菱形．
所以AC⊥ED，且OA＝OC，OE＝OD．
因为D为AB的中点，
所以DO是△ABC的中位线，则OD＝BC．所以S△CFB＝CF·BC，S△CEF＝CF·OE，则S△CFB＝2S△CEF．
命题2：若连接ED，则ED⊥AC．
命题2是真命题．证明如下：
连接ED，交AC于点O(图略)．
因为CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
所以CD＝DA＝DB＝AB．
因为AE∥DC，CE∥AB，
所以四边形ADCE是平行四边形．
因为DA＝DC，
所以四边形ADCE是菱形．
所以AC⊥ED．
(答案不唯一)
挑战创新
5．(2024·汕头期末)综合与实践
在矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝6，现将纸片折叠，点D的对应点记为点P，折痕为EF(点E，F是折痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原．
(1)【初步思考】若点P落在矩形ABCD的边AB上(如图1)．
①当点P与点A重合时，CF＝______；
②当点E与点A重合时，CF＝______．
(2)【深入探究】当点E在AB上，点F在DC上时(如图2)．
①求证：四边形DEPF为菱形；
②当AP＝8时，求EF的长．
(3)【拓展延伸】若点E为动点，F为DC的中点，直接写出AP的最小值．
【答案】(1)①3 ②4
(2)①证明：因为点D的对应点记为点P，折痕为EF，
所以DO＝PO，EF⊥PD．
因为四边形ABCD是矩形，
所以DC∥AB．
所以∠FDO＝∠EPO．
因为∠DOF＝∠POE，
所以△DOF≌△POE(ASA)．
所以DF＝PE．
因为DF∥PE，
所以四边形DEPF是平行四边形．
因为EF⊥PD，
所以四边形DEPF为菱形．
②当AP＝8时，设菱形DEPF的边长为x，
则DE＝EP＝x，
所以AE＝8－x．
在Rt△ADE中，由勾股定理，得AD2＋AE2＝DE2，
所以62＋(8－x)2＝x2．
所以x＝．
所以DE＝EP＝．
当AP＝8时，
因为AD＝6，
所以DP＝＝＝10．
所以OD＝DP＝5．
所以OE＝＝＝．
所以EF＝2OE＝．
(3)－5
