21．3．3 正方形
1．理解正方形的概念，探索正方形的轴对称性质．
2．正方形既是矩形，又是菱形．
3．探索并证明正方形的判定定理．
4．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．
5．理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系．
知识点一 正方形的性质
1．(1)正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，它的四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
(2)正方形是轴对称图形，它有4条对称轴．
练习1 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( B )．
A．45° B．22．5°
C．67．5° D．75°
知识点二 正方形的判定
2．(1)有一组邻边相等的矩形是正方形．
(2)有一个角是直角的菱形是正方形．
(3)对角线互相垂直的矩形是正方形．
(4)对角线相等的菱形是正方形．
练习2 (教材P77探究变式)下列判断正确的是( D )．
A．四条边相等的四边形是正方形
B．四个角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
知识点三 正方形的面积
练习3 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为( C )．
A．3 B．12
C．18 D．36
知识点四 正方形性质与判定的综合应用
练习4 如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为M，N，PE⊥PB交AD于点E．
求证：(1)四边形MANP是正方形；
(2)EM＝BN．
【证明】(1)因为四边形ABCD是正方形，
所以∠DAB＝90°，AC平分∠DAB．
因为PM⊥AD，PN⊥AB，
所以∠PMA＝∠PNA＝90°．
所以四边形MANP是矩形．
因为AC平分∠DAB，
PM⊥AD，PN⊥AB，
所以PM＝PN．
所以四边形MANP是正方形．
(2)由(1)知四边形MANP是正方形，
所以PM＝PN，∠MPN＝90°．
因为∠EPB＝90°，
所以∠MPE＋∠EPN＝∠NPB＋∠EPN＝90°，所以∠MPE＝∠NPB．
在△EPM和△BPN中，
所以△EPM≌△BPN(ASA)．
所以EM＝BN．
基础巩固
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是( B )．
A．BD＝AB B．DC＝AD
C．∠AOB＝60° D．OD＝CD
2．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是( B )．
A．2 B．
C． D．
3．(2025·中山月考)“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将正方形ABCD沿对角线BD方向平移2 cm得到正方形A1B1C1D1，形成一个“方胜”图案，若BD1＝6 cm，则DE的长是( C )．
A．2 cm B． cm
C． cm D．2 cm
4．(2025·清远三模)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD于M，N两点．若BM＝2，则线段AC的长为( A )．
A．4＋4 B．4＋2
C．4＋6 D．4
5．(2025·汕头期中)如图，将n个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为________cm2(用n的代数式表示)．
【答案】
能力达标
6．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点G的坐标为________，点F的坐标为________．
【答案】(－3，2) (－1，5)
7．(2025·广州)宽与长的比是(约为0．618)的矩形叫作黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片ABCD，长AD＝＋1．如图1，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展开．
(1)求AB的长．
(2)求证：四边形CDEF是黄金矩形．
(3)如图2，G为AE的中点，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF于点Q．四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
(1)解：因为AD＝＋1，矩形ABCD是黄金矩形，
所以＝，
所以AB＝AD＝×(＋1)＝＝＝2．
(2)证明：因为折叠黄金矩形纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，
所以AB＝AE，∠B＝∠AEF．
又因为四边形ABCD是矩形，
所以∠BAE＝∠B＝∠AEF＝90°．
所以四边形ABFE是矩形．
因为AB＝AE，
所以四边形ABFE是正方形．
所以AB＝BF＝EF＝AE．
由(1)可知，AB＝2，
所以AB＝BF＝EF＝AE＝2．
所以DE＝CF＝AD－AE＝＋1－2＝－1．
因为∠C＝∠D＝∠DEF＝90°，
所以四边形CDEF是矩形．
所以EF＝CD＝2．
所以＝．
所以四边形CDEF是黄金矩形．
(3)四边形BPQF是黄金矩形．证明略．
挑战创新
8．【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明．
【思考尝试】
(1)同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题；
【实践探究】
(2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，是否可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
【解】(1)AE＝EP．
证明如下：如图，取AB的中点F，连接EF．
因为F，E分别为AB，BC的中点，
所以AF＝BF＝BE＝CE．
所以∠BFE＝45°，
所以∠AFE＝135°．
因为CP平分∠DCG，
所以∠DCP＝45°．
所以∠ECP＝135°．
所以∠AFE＝∠ECP．
因为AE⊥PE，所以∠AEP＝90°，
所以∠AEB＋∠PEC＝90°．
因为∠AEB＋∠BAE＝90°，
所以∠BAE＝∠PEC．
所以△AFE≌△ECP(ASA)．
所以AE＝EP．
(2)如图，在AB上取AF＝EC，连接EF．
由(1)同理可得∠CEP＝∠FAE．
因为AF＝EC，AE＝EP，
所以△FAE≌△CEP(SAS)．
所以∠AFE＝∠ECP．
因为AF＝EC，AB＝BC，
所以BF＝BE．
所以∠BEF＝∠BFE＝45°．
所以∠AFE＝135°，所以∠ECP＝135°．
所以∠DCP＝45°．21．3．3 正方形
1．理解正方形的概念，探索正方形的轴对称性质．
2．正方形既是矩形，又是菱形．
3．探索并证明正方形的判定定理．
4．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系．
5．理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系．
知识点一 正方形的性质
1．(1)正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，它的四个角都是 ，四条边都 ，对角线 ，并且每一条对角线平分一组对角．
(2)正方形是轴对称图形，它有 条对称轴．
练习1 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是( )．
A．45° B．22．5°
C．67．5° D．75°
知识点二 正方形的判定
2．(1)有一组邻边 的矩形是正方形．
(2)有一个角是 的菱形是正方形．
(3)对角线互相垂直的 是正方形．
(4)对角线相等的 是正方形．
练习2 (教材P77探究变式)下列判断正确的是( )．
A．四条边相等的四边形是正方形
B．四个角相等的四边形是正方形
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
知识点三 正方形的面积
练习3 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为( )．
A．3 B．12
C．18 D．36
知识点四 正方形性质与判定的综合应用
练习4 如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为M，N，PE⊥PB交AD于点E．
求证：(1)四边形MANP是正方形；
(2)EM＝BN．
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是( )．
A．BD＝AB B．DC＝AD
C．∠AOB＝60° D．OD＝CD
2．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别在CD，AC上，BF⊥EF，CE＝1，则AF的长是( )．
A．2 B．
C． D．
3．(2025·中山月考)“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠而成，寓意是同心吉祥．如图，将正方形ABCD沿对角线BD方向平移2 cm得到正方形A1B1C1D1，形成一个“方胜”图案，若BD1＝6 cm，则DE的长是( )．
A．2 cm B． cm
C． cm D．2 cm
4．(2025·清远三模)如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB，BD于M，N两点．若BM＝2，则线段AC的长为( )．
A．4＋4 B．4＋2
C．4＋6 D．4
5．(2025·汕头期中)如图，将n个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为________cm2(用n的代数式表示)．
6．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点G的坐标为________，点F的坐标为________．
7．(2025·广州)宽与长的比是(约为0．618)的矩形叫作黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片ABCD，长AD＝＋1．如图1，折叠纸片ABCD，点B落在AD上的点E处，折痕为AF，连接EF，然后将纸片展开．
(1)求AB的长．
(2)求证：四边形CDEF是黄金矩形．
(3)如图2，G为AE的中点，连接FG，折叠纸片ABCD，点B落在FG上的点H处，折痕为FP，过点P作PQ⊥EF于点Q．四边形BFQP是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．
挑战创新
8．【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明．
【思考尝试】
(1)同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题；
【实践探究】
(2)希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点(点E，B不重合)，△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，是否可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
