22．2 函数的表示
第1课时 函数的图象及其画法
1．会用描点法画函数的图象．
2．能用函数图象刻画简单实际问题中变量之间的关系．
3．能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．
4．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题的能力．
知识点一 函数图象的画法及点与图象的位置关系
练习1 (教材P101例1变式)画出函数y＝2x－1的图象．
(1)列表：
x … -1 0 1 …
y … …
(2)描点并连线：
(3)判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数y＝2x－1的图象上？
(4)若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求出m的值．
【解】(1)列表：
x … -1 0 1 …
y … -3 -1 1 …
(2)略
(3)点A不在函数y＝2x－1的图象上；
点B不在函数y＝2x－1的图象上；
点C在函数y＝2x－1的图象上．
(4)5
知识点二 从函数图象中获取信息
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
练习2 (教材P103例2变式)小明早上8点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他的爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会儿后沿原路以原速返回，小明比爸爸早3 min到家．设两人离家的距离s(单位：m)与小明离开家的时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示．
有下列说法：①公园与家的距离为1 200 m；②爸爸的速度为48 m/min；③小明到家的时间为8：22．其中正确的说法有( D )．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
基础巩固
1．(2025·江门期末)下列各图象中，不能表示y是x的函数的是( D )．
2．洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水)．在这三个过程中，洗衣机内的水量y(单位：L)与浆洗一遍的时间x(单位：min)之间函数关系的图象大致为( D )．
3．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的( D )．
4．如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v(单位：m/s)与运动时间t(单位：s)的函数图象如图2，则该小球的运动路程y(单位：m)与运动时间t(单位：s)之间的函数图象大致是( C )．
图1 图2
5．如图所示的图象(折线ABCDE)描述了汽车沿笔直路线行驶过程中，汽车离出发地的距离s(单位：km)和行驶时间t(单位：h)之间的变量关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120 km；②汽车在行驶途中停留了0．5 h；③汽车在整个行驶过程中的平均速度的大小为 km/h；④汽车自出发后3 h至4．5 h之间行驶的速度在逐渐减小．其中正确的说法是________(填序号)．
【答案】②③
能力达标
6．(2025·江门二模)如图1，在平行四边形ABCD中，BC＝15 cm，连接AC，BD，AC与BD相交于点O，点P从点B出发，沿B→C→D以1 cm/s的速度匀速运动到点D，图2是点P运动时，线段OP的长y(单位：cm)随时间t(单位：s)变化的函数关系图象，其中E，F分别是两段曲线的最低点，则AB的长为________cm．
【答案】5
7．一辆快车与慢车分别从A，B两地同时相向出发，匀速行驶，快车到达B地后停留20 min，然后按原路原速返回，快车比慢车早2 h 20 min到达A地，两车距A地的路程y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)的关系如图所示．
(1)A，B两地之间的距离为________km；快车的速度为________km/h；慢车的速度为________km/h．
(2)两车出发多少小时相遇？
【解】(1)400 150 50
(2)由题意，分成两种情形．
①经过t h，快车与慢车第一次相遇，
所以150t＋50t＝400，
所以t＝2．
②经过t h快车返回追上慢车第二次相遇，
所以150(t－)－400＝50t，
所以t＝4．5．
综上，两车出发2 h或4．5 h后相遇．
挑战创新
8．【情境】跑步是一种简单而强大的有氧运动，被广泛认为是较佳的锻炼方式之一．周末琪琪从家出发跑步去健身主题公园，中途休息一段时间，到达健身公园后又再次休息，之后跑步返回家中，已知琪琪两次休息时间相同且跑步速度始终不变．琪琪离开家的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的关系(部分数据)如图所示．
【问题】琪琪每次休息的时间为________min．
【答案】10第2课时 函数的表示方法
1．了解函数的表示法．
2．能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系．
3．结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．
知识点 函数的表示方法
练习 下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是( D )．
A．用图象法表示函数关系，可以直观地看出两个变量如何变化
B．用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与对应的函数值
C．用解析法表示函数关系，可以方便地计算函数值
D．任何函数关系都可以用上述三种方法来表示
基础巩固
1．下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是( A )．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
2．(跨学科融合)某生物实验小组研究发现，某种种子发芽率与浸泡时间有下面关系，下列说法正确的是( C )．
浸泡时间/时 0 2 6 8 10 12 14 16 20
发芽率/% 15.9 26.1 32.3 35 53 61 43.1 10.8 30.5
A．种子发芽率为自变量，种子浸泡时间为因变量
B．随着种子浸泡时间的加大，种子发芽率在提高
C．由表格可以看出，种子浸泡时间为12小时左右比较适宜
D．随着种子浸泡时间的加大，种子发芽率在降低
3．一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面图中可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是( B )．
能力达标
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是( D )．
A B
C D
5．如图，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AB＝10 cm，当点C，D在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是______，随之发生变化的量是________________．
(2)如果长方形的长BC为x(单位：cm)，那请用含x的代数式表示长方形ABCD的面积y(单位：cm2)．
(3)当长方形的长BC从16 cm变到20 cm时，长方形的面积怎么变化？
【解】(1)BC(AD) 长方形ABCD的面积
(2)长方形ABCD的面积＝AB·BC，
即y＝10x．
(3)当BC＝16 cm时，
y＝10x＝10×16＝160(cm2)，
当BC＝20 cm时，
y＝10x＝10×20＝200(cm2)，
所以当长方形的长BC从16 cm变到20 cm时，长方形的面积从160 cm2变到200 cm2．
挑战创新
6．(2025·广东)在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(单位：W·h)与骑行里程x(单位：km)之间的关系如图．当电池剩余能量小于100 W·h时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是( C )．
A．电池能量最多可充400 W·h
B．摩托车每行驶10 km消耗能量300 W·h
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km
D．摩托车充满电后，行驶18 km将自动报警第2课时 函数的表示方法
1．了解函数的表示法．
2．能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系．
3．结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论．
知识点 函数的表示方法
练习 下面关于函数的三种表示方法叙述错误的是( )．
A．用图象法表示函数关系，可以直观地看出两个变量如何变化
B．用列表法表示函数关系，可以很清楚地看出自变量取的值与对应的函数值
C．用解析法表示函数关系，可以方便地计算函数值
D．任何函数关系都可以用上述三种方法来表示
基础巩固
1．下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是( )．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
2．(跨学科融合)某生物实验小组研究发现，某种种子发芽率与浸泡时间有下面关系，下列说法正确的是( )．
浸泡时间/时 0 2 6 8 10 12 14 16 20
发芽率/% 15.9 26.1 32.3 35 53 61 43.1 10.8 30.5
A．种子发芽率为自变量，种子浸泡时间为因变量
B．随着种子浸泡时间的加大，种子发芽率在提高
C．由表格可以看出，种子浸泡时间为12小时左右比较适宜
D．随着种子浸泡时间的加大，种子发芽率在降低
3．一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面图中可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是( )．
能力达标
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是( )．
A B
C D
5．如图，长方形ABCD的四个顶点在互相平行的两条直线上，AB＝10 cm，当点C，D在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化．
(1)在这个变化过程中，自变量是______，随之发生变化的量是________________．
(2)如果长方形的长BC为x(单位：cm)，那请用含x的代数式表示长方形ABCD的面积y(单位：cm2)．
(3)当长方形的长BC从16 cm变到20 cm时，长方形的面积怎么变化？
6．(2025·广东)在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(单位：W·h)与骑行里程x(单位：km)之间的关系如图．当电池剩余能量小于100 W·h时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是( )．
A．电池能量最多可充400 W·h
B．摩托车每行驶10 km消耗能量300 W·h
C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25 km
D．摩托车充满电后，行驶18 km将自动报警22．2 函数的表示
第1课时 函数的图象及其画法
1．会用描点法画函数的图象．
2．能用函数图象刻画简单实际问题中变量之间的关系．
3．能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．
4．体会数形结合思想，并利用它解决问题，提高解决问题的能力．
知识点一 函数图象的画法及点与图象的位置关系
练习1 (教材P101例1变式)画出函数y＝2x－1的图象．
(1)列表：
x … -1 0 1 …
y … …
(2)描点并连线：
(3)判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数y＝2x－1的图象上？
(4)若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求出m的值．
【解】(1)列表：
x … -1 0 1 …
y … -3 -1 1 …
(2)略
(3)点A不在函数y＝2x－1的图象上；
点B不在函数y＝2x－1的图象上；
点C在函数y＝2x－1的图象上．
(4)5
知识点二 从函数图象中获取信息
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的 ．
练习2 (教材P103例2变式)小明早上8点从家骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他的爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家；小明在公园锻炼了一会儿后沿原路以原速返回，小明比爸爸早3 min到家．设两人离家的距离s(单位：m)与小明离开家的时间t(单位：min)之间的函数关系如图所示．
有下列说法：①公园与家的距离为1 200 m；②爸爸的速度为48 m/min；③小明到家的时间为8：22．其中正确的说法有( )．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
基础巩固
1．(2025·江门期末)下列各图象中，不能表示y是x的函数的是( )．
2．洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水)．在这三个过程中，洗衣机内的水量y(单位：L)与浆洗一遍的时间x(单位：min)之间函数关系的图象大致为( )．
3．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的( )．
4．如图1，小球从左侧的斜坡滚下，到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚，在这个过程中，小球的运动速度v(单位：m/s)与运动时间t(单位：s)的函数图象如图2，则该小球的运动路程y(单位：m)与运动时间t(单位：s)之间的函数图象大致是( )．
图1 图2
5．如图所示的图象(折线ABCDE)描述了汽车沿笔直路线行驶过程中，汽车离出发地的距离s(单位：km)和行驶时间t(单位：h)之间的变量关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120 km；②汽车在行驶途中停留了0．5 h；③汽车在整个行驶过程中的平均速度的大小为 km/h；④汽车自出发后3 h至4．5 h之间行驶的速度在逐渐减小．其中正确的说法是________(填序号)．
【答案】②③
能力达标
6．(2025·江门二模)如图1，在平行四边形ABCD中，BC＝15 cm，连接AC，BD，AC与BD相交于点O，点P从点B出发，沿B→C→D以1 cm/s的速度匀速运动到点D，图2是点P运动时，线段OP的长y(单位：cm)随时间t(单位：s)变化的函数关系图象，其中E，F分别是两段曲线的最低点，则AB的长为________cm．
【答案】5
7．一辆快车与慢车分别从A，B两地同时相向出发，匀速行驶，快车到达B地后停留20 min，然后按原路原速返回，快车比慢车早2 h 20 min到达A地，两车距A地的路程y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)的关系如图所示．
(1)A，B两地之间的距离为________km；快车的速度为________km/h；慢车的速度为________km/h．
(2)两车出发多少小时相遇？
【解】(1)400 150 50
(2)由题意，分成两种情形．
①经过t h，快车与慢车第一次相遇，
所以150t＋50t＝400，
所以t＝2．
②经过t h快车返回追上慢车第二次相遇，
所以150(t－)－400＝50t，
所以t＝4．5．
综上，两车出发2 h或4．5 h后相遇．
挑战创新
8．【情境】跑步是一种简单而强大的有氧运动，被广泛认为是较佳的锻炼方式之一．周末琪琪从家出发跑步去健身主题公园，中途休息一段时间，到达健身公园后又再次休息，之后跑步返回家中，已知琪琪两次休息时间相同且跑步速度始终不变．琪琪离开家的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的关系(部分数据)如图所示．
【问题】琪琪每次休息的时间为________min．
【答案】10
