第2课时 一次函数的图象和性质
1．能画一次函数的图象，根据图象和解析式y＝kx＋b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况．
2．能用一次函数解决简单实际问题．
3．掌握一次函数与正比例函数图象之间的关系．
知识点一 一次函数图象的画法
练习1 (教材P120例3变式)画出函数y＝x－4的图象，并求它与x轴、y轴所围成的图形的面积．
【解】令y＝0，得x－4＝0，
解得x＝3，
所以图象与x轴的交点坐标为(3，0)；
令x＝0，得y＝－4，
所以图象与y轴的交点坐标为(0，－4)，图象略．
图象与x轴、y轴所围成的图形的面积为×3×4＝6．
知识点二 一次函数的图象与性质
1．当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右下降，y随x的增大而减小．
练习2 一次函数y＝kx＋3(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则它的图象不经过的象限是( C )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
知识点三 一次函数图象的平移
2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．
练习3 将一次函数y＝－3x＋2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为( B )．
A．y＝－3x＋5 B．y＝－3x－1
C．y＝－3x＋14 D．y＝－3x－4
基础巩固
1．(2025·黄埔二模)关于一次函数y＝x＋1，下列说法正确的是( A )．
A．图象经过第一、第二、第三象限
B．图象与x轴交于点(0，1)
C．函数值y随自变量x的增大而减小
D．当x＞－1时，y＜0
2．(2025·清远二模)已知一次函数y＝－5x＋b图象上两点A(3，y1)，B(1，y2)，则y1，y2的大小关系为( B )．
A．y1 ＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．不能确定
3．(2025·潮南三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线y＝－x上，若点A的横坐标是－8，则点C的坐标为________．
【答案】(2，6)
能力达标
4．(2025·惠州三模)在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为(1，2)，Q为直线y＝x上一动点，则PQ＋OQ的最小值为________．
【答案】2
5．(2025·汕头期末)如图，直线y＝x＋1与x轴、y轴的交点分别为点A，B，以AB为边，在第二象限内作正方形ABCD，求点C的坐标．
【答案】点C的坐标为(－1，＋1)．
挑战创新
6．(2025·惠州期末)实践与研究：
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
y＝2x … …
x … -2 -1 0 2 3 4 …
y＝2(x－1) … …
(1)根据列表，在同一直角坐标系中画出函数y＝2x和y＝2(x－1)的图象．
(2)观察两个函数图象，y＝2(x－1)的图象可以由y＝2x的图象怎么变换得到？
(3)当直线y＝－x＋b向右平移1个单位长度与直线y＝－x＋重合，试确定b的值．
【解】(1)略
(2)由题意，结合(1)所作图象，观察两个函数图象，
所以y＝2(x－1)的图象可以由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到．
(3)因为直线y＝－x＋b向右平移1个单位长度，
所以平移后的直线为y＝－(x－1)＋b，即y＝－x＋＋b．
又因为平移后的直线与y＝－x＋重合，
所以＋b＝．
所以b＝．第2课时 一次函数的图象和性质
1．能画一次函数的图象，根据图象和解析式y＝kx＋b(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况．
2．能用一次函数解决简单实际问题．
3．掌握一次函数与正比例函数图象之间的关系．
知识点一 一次函数图象的画法
练习1 (教材P120例3变式)画出函数y＝x－4的图象，并求它与x轴、y轴所围成的图形的面积．
1．当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右 ，y随x的增大而 ；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右 ，y随x的增大而 ．
练习2 一次函数y＝kx＋3(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则它的图象不经过的象限是( )．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
知识点三 一次函数图象的平移
2．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线y＝kx平移 个单位长度得到(当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移)．
练习3 将一次函数y＝－3x＋2的图象向下平移3个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为( )．
A．y＝－3x＋5 B．y＝－3x－1
C．y＝－3x＋14 D．y＝－3x－4
基础巩固
1．(2025·黄埔二模)关于一次函数y＝x＋1，下列说法正确的是( )．
A．图象经过第一、第二、第三象限
B．图象与x轴交于点(0，1)
C．函数值y随自变量x的增大而减小
D．当x＞－1时，y＜0
2．(2025·清远二模)已知一次函数y＝－5x＋b图象上两点A(3，y1)，B(1，y2)，则y1，y2的大小关系为( )．
A．y1 ＞y2 B．y1＜y2
C．y1＝y2 D．不能确定
3．(2025·潮南三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线y＝－x上，若点A的横坐标是－8，则点C的坐标为________．
4．(2025·惠州三模)在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为(1，2)，Q为直线y＝x上一动点，则PQ＋OQ的最小值为________．
5．(2025·汕头期末)如图，直线y＝x＋1与x轴、y轴的交点分别为点A，B，以AB为边，在第二象限内作正方形ABCD，求点C的坐标．
6．(2025·惠州期末)实践与研究：
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
y＝2x … …
x … -2 -1 0 2 3 4 …
y＝2(x－1) … …
(1)根据列表，在同一直角坐标系中画出函数y＝2x和y＝2(x－1)的图象．
(2)观察两个函数图象，y＝2(x－1)的图象可以由y＝2x的图象怎么变换得到？
(3)当直线y＝－x＋b向右平移1个单位长度与直线y＝－x＋重合，试确定b的值．23．2 一次函数的图象和性质
第1课时 正比例函数的图象和性质
1．能画正比例函数的图象，根据图象和解析式y＝kx(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；理解正比例函数．
2．能用正比例函数解决简单实际问题．
知识点一 正比例函数的图象
1．(1)画正比例函数图象的一般步骤：列表、描点、连线；
(2)一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线．
练习1 (教材P119思考变式)经过以下一组点可以画出函数y＝2x图象的是( B )．
A．(0，0)和(2，1) B．(1，2)和(0，0)
C．(1，2)和(2，1) D．(－1，2)和(1，2)
知识点二 正比例函数的性质
2．当k＞0时，直线y＝kx经过第一、第三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小．
练习2 已知正比例函数y＝(2m＋4)x．问：
(1)若函数图象经过第一、第三象限，求m的取值范围；
(2)若y随x的增大而减小，求m的取值范围；
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上？
【答案】(1)m＞－2
(2)m＜－2
(3)m＝－
基础巩固
1．(2025·江门期末)已知点(2，1)是正比例函数y＝kx图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是( C )．
A．(1，2) B．(2，4)
C．(4，2) D．(－1，－2)
2．关于正比例函数y＝－2x，下列结论不正确的是( D )．
A．图象经过点(1，－2)
B．图象经过第二、第四象限
C．y随x的增大而减小
D．不论x为何值，总有y＜0
3．若一个正比例函数的图象经过A(3，－6)，B(m，－4)两点，则m的值为________．
【答案】2
4．对于正比例函数y＝kx，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，则k的值为________．
【答案】－3
5．若正比例函数y＝(m－2)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是________．
【答案】m＜2
能力达标
6．已知ab>0，则正比例函数y＝－x的图象经过( A )．
A．第二、第四象限 B．第一、第三象限
C．第二、第三象限 D．第一、第四象限
7．已知y－2与3x－4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数解析式；
(2)若点P(m，－3)在这个函数的图象上，求m的值；
(3)若y的取值范围为－1≤y≤1，求x的取值范围．
【解】(1)设y－2＝k(3x－4)，
将x＝2，y＝3代入，得2k＝1，
解得k＝，
所以y－2＝(3x－4)．
所以y与x之间的函数解析式为y＝x．
(2)将点P(m，－3)代入y＝x，
得m＝－3，解得m＝－2．
(3)当y＝－1时，x＝－1，解得x＝－，当y＝1时，x＝1，解得x＝，
故－≤x≤．
挑战创新
8．(分类讨论)已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
(1)求正比例函数的解析式．
(2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解】(1)因为点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3，
所以×3AH＝3，解得AH＝2．
因为点A在第四象限，
所以点A的坐标为(3，－2)．
因为正比例函数y＝kx的图象经过点A，
所以3k＝－2，解得k＝－．
所以正比例函数的解析式是y＝－x．
(2)存在．
设点P(t，0)，
因为△AOP的面积为5，点A的坐标为(3，－2)，所以×2|t|＝5，
所以t＝5或t＝－5，
所以点P的坐标为(5，0)或(－5，0)．第3课时 用待定系数法确定一次函数解析式
1．认识待定系数法．
2．会运用待定系数法确定一次函数的解析式．
知识点一 用待定系数法确定一次函数解析式
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法．
练习1 (教材P121例4变式)已知一次函数的图象经过点M(－4，9)和N(2，3)，求这个一次函数的解析式．
【答案】y＝－x＋5
知识点二 待定系数法在实际问题中的应用
练习2 (教材P122例5变式)某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量x(单位：kg)与其运费y(单位：元)的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可免费携带行李的最大质量为20 kg．
基础巩固
1．已知函数y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的解析式可以是( A )．
x … -1 0 1 2 …
y … -2 0 2 4 …
A．y＝2x B．y＝x－1
C．y＝ D．y＝x2
2．如图，四边形OABC是长方形，O是平面直角坐标系的原点，点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标是(3，4)，则直线AC对应的函数解析式为____________________．
【答案】y＝－x＋4
3．李老师开车从甲地到相距240 km的乙地，如果油箱中剩余油量y(单位：L)与行驶里程x(单位：km)之间的一次函数关系如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是________L．
【答案】20
能力达标
4．已知一次函数y＝kx＋b，当2≤x≤5时，－3≤y≤6，则k＋b的值是________．
【答案】－6或9
5．(2025·珠海二模)物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)之间存在关系．某兴趣小组为探究一弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)之间的关系，进行了6次测量，下表是测量数据．
所挂物体的质量x/kg 0 10 20 30 40 50
弹簧的长 6 9 12 15 18 21
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）之间是________函数关系；
（2）根据以上判断，求y关于x的函数解析式；
（3）当弹簧长度为16．5 cm时，所挂物体的质量是多少千克？
【解】（1）描点略 一次
（2）设关于x的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）．
将（0，6），（10，9）分别代入，
得解得
所以y关于x的函数解析式为y＝0．3x＋6．
（3）当y＝16．5时，0．3x＋6＝16．5，
解得x＝35．
答：当弹簧长度为16．5 cm时，所挂物体的质量是35 kg．
挑战创新
6．（2025·南沙期末）浮箭漏是西汉时期的一种计时仪器，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，经过实验探究发现，箭尺读数与供水时间成一次函数关系．某次实验中，研究小组每2 h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120 cm），得到下表：
供水时间x/h 0 2 4 6
箭尺读数y/cm 6 18 30 42
（1）建立平面直角坐标系如图，横轴表示供水时间x（单位：h），纵轴表示箭尺读数y（单位：cm），请画出该一次函数的图象；
（2）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午8∶00，那么当箭尺读数为90 cm时是几点？
【解】（1）略
（2）设y与x之间的函数解析式为y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）．
将（0，6），（2，18）分别代入y＝kx＋b，
得解得
所以y与x之间的函数解析式为y＝6x＋6．
当y＝90时，得6x＋6＝90，解得x＝14．
因为本次实验记录的开始时间是上午8：00，
所以当箭尺读数为90 cm时是晚上10：00．23．2 一次函数的图象和性质
第1课时 正比例函数的图象和性质
1．能画正比例函数的图象，根据图象和解析式y＝kx(k≠0)探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况；理解正比例函数．
2．能用正比例函数解决简单实际问题．
知识点一 正比例函数的图象
1．(1)画正比例函数图象的一般步骤： 、 、 ；
(2)一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过 的直线．
练习1 (教材P119思考变式)经过以下一组点可以画出函数y＝2x图象的是( )．
A．(0，0)和(2，1) B．(1，2)和(0，0)
C．(1，2)和(2，1) D．(－1，2)和(1，2)
知识点二 正比例函数的性质
2．当k＞0时，直线y＝kx经过 象限，从左向右上升，即y随x的增大而 ；当k＜0时，直线y＝kx经过 象限，从左向右下降，即y随x的增大而 ．
练习2 已知正比例函数y＝(2m＋4)x．问：
(1)若函数图象经过第一、第三象限，求m的取值范围；
(2)若y随x的增大而减小，求m的取值范围；
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上？
1．(2025·江门期末)已知点(2，1)是正比例函数y＝kx图象上一点，则下列点也在该函数图象上的是( )．
A．(1，2) B．(2，4)
C．(4，2) D．(－1，－2)
2．关于正比例函数y＝－2x，下列结论不正确的是( )．
A．图象经过点(1，－2)
B．图象经过第二、第四象限
C．y随x的增大而减小
D．不论x为何值，总有y＜0
3．若一个正比例函数的图象经过A(3，－6)，B(m，－4)两点，则m的值为________．
4．对于正比例函数y＝kx，当自变量x的值增加2时，对应的函数值y减少6，则k的值为________．
5．若正比例函数y＝(m－2)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是________．
6．已知ab>0，则正比例函数y＝－x的图象经过( )．
A．第二、第四象限 B．第一、第三象限
C．第二、第三象限 D．第一、第四象限
7．已知y－2与3x－4成正比例函数关系，且当x＝2时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数解析式；
(2)若点P(m，－3)在这个函数的图象上，求m的值；
(3)若y的取值范围为－1≤y≤1，求x的取值范围．
8．(分类讨论)已知正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
(1)求正比例函数的解析式．
(2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．第3课时 用待定系数法确定一次函数解析式
1．认识待定系数法．
2．会运用待定系数法确定一次函数的解析式．
知识点一 用待定系数法确定一次函数解析式
先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中 ，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法．
练习1 (教材P121例4变式)已知一次函数的图象经过点M(－4，9)和N(2，3)，求这个一次函数的解析式．
1．已知函数y与自变量x的几组对应值如表，则这个函数的解析式可以是( )．
x … -1 0 1 2 …
y … -2 0 2 4 …
A．y＝2x B．y＝x－1
C．y＝ D．y＝x2
2．如图，四边形OABC是长方形，O是平面直角坐标系的原点，点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标是(3，4)，则直线AC对应的函数解析式为____________________．
3．李老师开车从甲地到相距240 km的乙地，如果油箱中剩余油量y(单位：L)与行驶里程x(单位：km)之间的一次函数关系如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是________L．
4．已知一次函数y＝kx＋b，当2≤x≤5时，－3≤y≤6，则k＋b的值是________．
5．(2025·珠海二模)物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)之间存在关系．某兴趣小组为探究一弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体质量x(单位：kg)之间的关系，进行了6次测量，下表是测量数据．
所挂物体的质量x/kg 0 10 20 30 40 50
弹簧的长 6 9 12 15 18 21
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若在弹性限度内，弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体的质量x（单位：kg）之间是________函数关系；
（2）根据以上判断，求y关于x的函数解析式；
（3）当弹簧长度为16．5 cm时，所挂物体的质量是多少千克？
6．（2025·南沙期末）浮箭漏是西汉时期的一种计时仪器，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，经过实验探究发现，箭尺读数与供水时间成一次函数关系．某次实验中，研究小组每2 h记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为120 cm），得到下表：
供水时间x/h 0 2 4 6
箭尺读数y/cm 6 18 30 42
（1）建立平面直角坐标系如图，横轴表示供水时间x（单位：h），纵轴表示箭尺读数y（单位：cm），请画出该一次函数的图象；
（2）应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午8∶00，那么当箭尺读数为90 cm时是几点？
