23．3 一次函数与方程（组）、不等式
第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式
1．认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义．
2．经历用函数图象表示方程和不等式的过程，进一步体会“以形表数，以数释形”的数形结合思想．
知识点一 一次函数与一元一次方程
1．解关于x的一元一次方程kx＋b＝0相当于在某个一次函数 的函数值为0时，求自变量 的值，即图象与x轴交点的 坐标．反之，函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的 坐标，即kx＋b＝0的解．
练习1 （教材P127思考变式）若一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则一元一次方程ax＋b＝0的解为 Ｗ．
知识点二 一次函数与一元一次不等式
2．对于可化为ax＋b>0或ax＋b<0（a≠0）的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的值大于0或小于0时，求自变量x的 ；从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时 坐标的取值范围．
练习2 已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点（2，0），（0，3）．有下列结论：①关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2；②当x＞2时，y＜0；③当x＜0时，y＜3．其中正确的是 （填序号）．
基础巩固
1．（2025·东莞二模）如图，已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，若A（－2，0），B（0，1），则关于x的方程kx＋b＝0的解为（ C ）．
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝－2 D．x＝2
2．如图，函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点B（3，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式03．一次函数y＝mx＋n与y＝ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列结论：①a＞0；②n＜0；③方程mx＋n＝0的解是x＝1；④不等式ax＋b＞3的解集是x＞0；⑤不等式mx＋n≤ax＋b的解集是x≤－2．其中正确结论的个数是__________．
4．若一次函数y＝ax＋b（a，b为常数，且a≠0）的图象过点（2，0），则关于x的方程a（x＋1）＋b＝0的解是__________．
5．（2025·惠州期末）如图，直线l分别交x轴和y轴于点A，B，A（3，0），AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若点C在x轴的负半轴上，△ABC的面积为4，求直线BC的解析式．
6．（2025·江门期末）如图，已知函数y＝mx＋的图象为直线l1，函数y＝kx＋b的图象为直线l2，直线l1，l2分别交x轴于点B和点C（3，0），分别交y轴于点D和点E，l1和l2相交于点A（2，2）．
（1）填空：m＝__________，直线l2的解析式为__________；
（2）若M是x轴上一点，连接AM，当△ABM的面积是△ACM的面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
（3）若函数y＝nx－6的图象是直线l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出n的值．第2课时 一次函数与二元一次方程组
1．体会一次函数与二元一次方程组的关系．
2．能从“形”的角度理解一次函数与二元一次方程组之间的联系，会用函数观点解释实际问题．
知识点一 一次函数与二元一次方程组
1．方程组的解是函数y＝kx＋b与函数y＝mx＋n的图象的 ，画出这两个一次函数的图象，找出它们的 ，得到相应的二元一次方程组的解．
练习1 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋b与直线y＝－3x＋6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ．
知识点二 两直线交点坐标的应用
2．一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的 相等，以及这个 是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线 的坐标．
练习2 如图，已知直线l1：y＝x－4与直线l2：y＝－2x交于点A，且直线l1分别与x轴、y轴交于点C，B．求点A，B，C的坐标．
1．若直线y＝＋n与y＝mx－1相交于点（1，－2），则m＝________，n＝________．
2．若直线y＝－2x＋m与直线y＝2x－1的交点在第四象限，则m的取值范围是________．
3．如图，在平面直角坐标系中，若直线y1＝－x＋a与直线y2＝bx－4相交于点P，则下列结论错误的个数是________．
①方程－x＋a＝bx－4的解是x＝1；②不等式－x＋a<－3和不等式bx－4>－3的解集相同；③不等式bx－4<－x＋a<0的解集是－24．（2025·潮阳三模）如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝kx＋b相交于点P（1，m），则关于x，y的方程组的解为________．
5．如图，函数y＝2x＋b与函数y＝kx－1的图象交于点P，则关于x的方程kx－1＝2x＋b的解是________．
6．（2025·惠州期末）如图，直线y＝－x＋8与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．
（1）求点C的坐标；
（2）求△BDC的面积；
（3）如图，P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．若PQ∥x轴，且点A关于直线PQ的对称点A′恰好落在直线CD上，求PQ的长．
7．（2025·汕头期末）【问题背景】如图，直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，点D（0，1）为y轴上一点．
【构建联系】
（1）求点A，B的坐标．
（2）点C为线段OA上一点，连接BC，AD，交于点E，∠AEC＝45°．
①求直线BC的解析式；
②点P（0，－2）为y轴负半轴上一点，求点P到直线BC的距离．23．3 一次函数与方程（组）、不等式
第1课时 一次函数与一元一次方程、不等式
1．认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系，会用函数观点解释方程和不等式及其解或解集的意义．
2．经历用函数图象表示方程和不等式的过程，进一步体会“以形表数，以数释形”的数形结合思想．
知识点一 一次函数与一元一次方程
1．解关于x的一元一次方程kx＋b＝0相当于在某个一次函数y＝kx＋b（k≠0）的函数值为0时，求自变量x的值，即图象与x轴交点的横坐标．反之，函数y＝kx＋b的图象与x轴交点的横坐标，即kx＋b＝0的解．
练习1 （教材P127思考变式）若一次函数y＝ax＋b的图象如图所示，则一元一次方程ax＋b＝0的解为x＝3Ｗ．
知识点二 一次函数与一元一次不等式
2．对于可化为ax＋b>0或ax＋b<0（a≠0）的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围．
练习2 已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于点（2，0），（0，3）．有下列结论：①关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2；②当x＞2时，y＜0；③当x＜0时，y＜3．其中正确的是①②（填序号）．
基础巩固
1．（2025·东莞二模）如图，已知一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，若A（－2，0），B（0，1），则关于x的方程kx＋b＝0的解为（ C ）．
A．x＝－1 B．x＝1
C．x＝－2 D．x＝2
2．如图，函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点B（3，0），与函数y＝2x的图象交于点A，则不等式0【答案】1＜x＜3
3．一次函数y＝mx＋n与y＝ax＋b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列结论：①a＞0；②n＜0；③方程mx＋n＝0的解是x＝1；④不等式ax＋b＞3的解集是x＞0；⑤不等式mx＋n≤ax＋b的解集是x≤－2．其中正确结论的个数是__________．
【答案】3
能力达标
4．若一次函数y＝ax＋b（a，b为常数，且a≠0）的图象过点（2，0），则关于x的方程a（x＋1）＋b＝0的解是__________．
【答案】x＝1
5．（2025·惠州期末）如图，直线l分别交x轴和y轴于点A，B，A（3，0），AB＝．
（1）求点B的坐标；
（2）若点C在x轴的负半轴上，△ABC的面积为4，求直线BC的解析式．
【答案】（1）点B的坐标为（0，2）．
（2）直线BC的解析式为y＝2x＋2．
挑战创新
6．（2025·江门期末）如图，已知函数y＝mx＋的图象为直线l1，函数y＝kx＋b的图象为直线l2，直线l1，l2分别交x轴于点B和点C（3，0），分别交y轴于点D和点E，l1和l2相交于点A（2，2）．
（1）填空：m＝__________，直线l2的解析式为__________；
（2）若M是x轴上一点，连接AM，当△ABM的面积是△ACM的面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
（3）若函数y＝nx－6的图象是直线l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出n的值．
【解】（1） y＝－2x＋6
（2）因为点B是l1与x轴的交点，当y＝0时，x＋＝0，
所以x＝－4，所以点B的坐标为（－4，0）．
因为A（2，2），所以点A到x轴的距离为2．
因为△ABM的面积是△ACM的面积的2倍，
所以BM·2＝2×CM·2．
所以BM＝2CM．
第一种情况，当点M在线段BC上时，
因为BM＋CM＝BC＝7，
所以3CM＝7，即CM＝．
因为点C的坐标为（3，0），所以OC＝3．
所以OM＝OC－CM＝3－＝．
所以点M1的坐标为（，0）．
第二种情况，当点M在射线BC上时，
因为BC＋CM＝BM，
所以CM＝BC＝7．
所以OM＝OC＋CM＝10．
所以点M2的坐标为（10，0）．
所以点M的坐标为（，0）或（10，0）．
（3）n的值为4或或－2．第2课时 一次函数与二元一次方程组
1．体会一次函数与二元一次方程组的关系．
2．能从“形”的角度理解一次函数与二元一次方程组之间的联系，会用函数观点解释实际问题．
知识点一 一次函数与二元一次方程组
1．方程组的解是函数y＝kx＋b与函数y＝mx＋n的图象的交点坐标，画出这两个一次函数的图象，找出它们的交点坐标，得到相应的二元一次方程组的解．
练习1 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋b与直线y＝－3x＋6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是．
知识点二 两直线交点坐标的应用
2．一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标．
练习2 如图，已知直线l1：y＝x－4与直线l2：y＝－2x交于点A，且直线l1分别与x轴、y轴交于点C，B．求点A，B，C的坐标．
【解】根据题意，得
解得
所以A（，－）．
因为直线l1：y＝x－4分别与x轴、y轴交于点C，B，当x＝0时，y＝－4，当y＝0时，x＝4，所以B（0，－4），C（4，0）．
基础巩固
1．若直线y＝＋n与y＝mx－1相交于点（1，－2），则m＝________，n＝________．
【答案】－1 －
2．若直线y＝－2x＋m与直线y＝2x－1的交点在第四象限，则m的取值范围是________．
【答案】－1＜m＜1
3．如图，在平面直角坐标系中，若直线y1＝－x＋a与直线y2＝bx－4相交于点P，则下列结论错误的个数是________．
①方程－x＋a＝bx－4的解是x＝1；②不等式－x＋a<－3和不等式bx－4>－3的解集相同；③不等式bx－4<－x＋a<0的解集是－2【答案】1
4．（2025·潮阳三模）如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝kx＋b相交于点P（1，m），则关于x，y的方程组的解为________．
【答案】
能力达标
5．如图，函数y＝2x＋b与函数y＝kx－1的图象交于点P，则关于x的方程kx－1＝2x＋b的解是________．
【答案】x＝1
6．（2025·惠州期末）如图，直线y＝－x＋8与x轴、y轴分别交于点A，B，直线y＝x＋1与直线AB交于点C，与y轴交于点D．
（1）求点C的坐标；
（2）求△BDC的面积；
（3）如图，P是y轴正半轴上的一点，Q是直线AB上的一点，连接PQ．若PQ∥x轴，且点A关于直线PQ的对称点A′恰好落在直线CD上，求PQ的长．
【答案】（1）（3，4） （2） （3）
挑战创新
7．（2025·汕头期末）【问题背景】如图，直线y＝x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，点D（0，1）为y轴上一点．
【构建联系】
（1）求点A，B的坐标．
（2）点C为线段OA上一点，连接BC，AD，交于点E，∠AEC＝45°．
①求直线BC的解析式；
②点P（0，－2）为y轴负半轴上一点，求点P到直线BC的距离．
【解】（1）在y＝x＋3中，令x＝0，得y＝3，令y＝0，得x＝－4，
所以点A的坐标为（－4，0），点B的坐标为（0，3）．
（2）①过点B作BH⊥AD于点H，过点H作GK∥y轴，过点B作BG⊥GK于点G，过点E作EK⊥GK于点K，如图．
设直线AD的解析式为y＝kx＋b，
将点A（－4，0），D（0，1）代入，
得解得
即直线AD的解析式为y＝x＋1．
设点E的坐标为（e，e＋1），点H的坐标为（t，t＋1）．
因为∠AEC＝∠BEH＝45°，BH⊥AD，
所以△BEH是等腰直角三角形．
所以BH＝EH，∠BHE＝90°．
所以∠BHG＝90°－∠EHK＝∠HEK．
因为∠G＝∠K＝90°，
所以△BHG≌△HEK（AAS）．
所以BG＝HK，GH＝EK．
所以
解得
所以点E的坐标为（－，）．
设直线BC的解析式为y＝ax＋c，
将E（－，），B（0，3）代入，
得解得
即直线BC的解析式为y＝x＋3．
②过点P作PT⊥BC于点T，连接PE，如图．
因为B（0，3），P（0，－2），
所以BP＝5．
因为点E的坐标为（－，），
所以S△BPE＝×5×＝．
因为BE＝＝，
所以S△BPE＝×·PT＝．
所以PT＝．
所以点P到直线BC的距离为．
