23．4 实际问题与一次函数
第1课时 一次函数的简单应用
1．能用一次函数解决简单实际问题．
2．了解分段函数．
3．体会数学建模思想．
知识点一 一次函数的简单应用
练习1 （教材P131例题变式）小明从家步行到学校需走的路程为1 800 m．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15 min时，到学校还需步行350 m．
知识点二 分段函数
练习2 小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离y（单位：m）与他所用的时间x（单位：min）的函数关系如图所示．
（1）由图可知，小刚在图书馆停留的时间为________min，小刚骑自行车的速度为________m/min；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，y关于x的函数解析式．
【解】（1）10 200
（2）小刚从图书馆返回家用的时间为5 000÷200＝25（min），
总时间为25＋20＝45（min）．
设小刚从图书馆返回家的过程中，y关于x的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）．
把（20，5 000），（45，0）分别代入，
得解得
所以y＝－200x＋9 000（20≤x≤45）．
基础巩固
1．如图，购买一种苹果所付金额y（单位：元）与购买量x（单位：kg）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3 kg这种苹果比分三次每次购买1 kg这种苹果可节省（ B ）．
A．3元 B．4元
C．5元 D．6元
2．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ D ）．
图1 图2
A．12 B．24
C．36 D．48
3．某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距450 cm的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为x（单位：s），小数和小文行走的路程分别为y1（单位：cm），y2（单位：cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ D ）．
A．小数比小文先出发15 s
B．小文提速后的速度为30 cm/s
C．小数从出发至送餐结束，与小文最远相距150 cm
D．n＝40
4．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量y（单位：μg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示．
那么当成人按规定剂量服用后，根据图象回答下列问题：
（1）服药后几小时，血液中含药量最高，最高为每毫升多少微克？
（2）当2≤x≤8时，求y关于x的函数解析式；
（3）如果每毫升血液中含药量为3 μg或3 μg以上时治疗疾病有效，那么这种新药的有效时长是多少小时？
【答案】（1）由题中函数图象可知，在服药后2 h，血液中含药量最高，最高为每毫升6 μg．
（2）y＝－x＋8（2≤x≤8）．
（3）4 h．
能力达标
5．为加强对学生的劳动教育，某校准备开展以“种下希望，共建美好家园”为主题的义务植树活动．经了解，购买2棵枣树和3棵石榴树共需44元；购买5棵枣树和6棵石榴树共需98元．该校决定购买m（m>0）棵枣树和50棵石榴树．
（1）求枣树和石榴树的单价．
（2）实际购买时，商家给出了如下优惠方案．
方案一：均按原价的9折销售；
方案二：如果购买的枣树不超过50棵，按原价销售．如果购买的枣树超过50棵，则超出的部分按原价的8折销售，石榴树始终按原价销售．
分别求出两种方案的费用W1，W2关于m的函数解析式．
【解】（1）设枣树和石榴树的单价分别为x元和y元．
根据题意，得
解得
答：枣树和石榴树的单价分别为10元和8元．
（2）根据题意可知，
方案一：W1＝（10×90%）m＋（8×90%）×50＝9m＋360（m>0）．
方案二：W2＝
整理，得W2＝
挑战创新
6．（2025·广州二模）某生物学兴趣小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生抑制生长和促进生长的作用．通过实验，A，B两种植物的生长高度yA（单位：cm），yB（单位：cm） 与药物施用量x（单位：mg）的关系数据统计如下表：
x/mg 0 4 6 8 10 15 18 21
A/cm 25 21 19 17 15 10 7 4
B/cm 10 18 22 26 30 40 45 52
任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B两种植物的生长高度yA，yB与药物施用量x的函数图象．
任务2：猜想A，B两种植物的生长高度yA，yB与药物施用量x的函数关系，并分别求出函数解析式．
任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过5 cm时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量x的取值范围．
【解】任务1：图略．
任务2：设A，B两种植物的生长高度yA，yB关于药物施用量x的函数解析式分别为yA＝kx＋b，yB＝mx＋n．
将（0，25），（4，21）分别代入yA＝kx＋b，得
解得所以yA＝－x＋25．
将（0，10），（4，18）分别代入yB＝mx＋n，得解得
所以yB＝2x＋10．
任务3：当yA－yB≤5时，－x＋25－（2x＋10）≤5，解得x≥．
当yB－yA≤5时，2x＋10－（－x＋25）≤5，解得x≤．
所以≤x≤．
所以该药物施用量x的取值范围在≤x≤时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态．第2课时 选择方案
1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想．
2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法．
3．能对解决问题的过程进行反思，总结解决问题的方法．
知识点 方案设计
练习 （教材P133探究2变式）某市组织20辆货车装运A，B，C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种脐橙，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题．
脐橙品种 A B C
每辆货车运载量/吨 6 5 4
每吨脐橙获利/元 1 200 1 600 1 000
（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y关于x的函数解析式．
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？
（3）在（2）的条件下，若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值．
【解】（1）根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，所以装运C种脐橙的车辆数为（20－x－y）．
所以6x＋5y＋4（20－x－y）＝100，
整理得y＝－2x＋20．
（2）由（1）知，装运A，B，C三种脐橙的车辆数分别为x，－2x＋20，x，
由题意得－2x＋20≥4，x≥4，
所以4≤x≤8．
因为x为整数，所以x的值为4，5，6，7，8．
所以车辆的安排方案有5种．
（3）设利润为W元，
则W＝1 200×6x＋1 600×5（－2x＋20）＋1 000×4x＝－4 800x＋160 000．
因为－4 800＜0，
所以W随x的增大而减小．
又x的值为4，5，6，7，8，
所以当x＝4时，利润最大．
此时－2x＋20＝12，
即当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车时，销售获利最大．
最大利润为－4 800×4＋160 000＝140 800（元）．
基础巩固
1．一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费．这两种收费方式的通话费用y（单位：元）与通话时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．小红根据图象得出下列结论：①l1描述的是无月租费的收费方式；②l2描述的是有月租费的收费方式；③当每月的通话时间为500 min时，选择有月租费的收费方式省钱．其中正确结论的个数是（ D ）．
A．0 B．1
C．2 D．3
2．某公司准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运到某地卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：
甲种货车 乙种货车
载货量/（吨/辆） 25 20
租金/（元/辆） 2 000 1 800
该公司最少要花掉租金_________元．
【答案】16 000
3．下图是甲、乙两家商店销售同一种产品的售价y（单位：元）与销售量x（单位：件）之间的函数图象．有下列说法：①买2件时，甲、乙两家商店的售价一样；②买1件时，买乙商店的合算；③买3件时，买甲商店的合算；④买1件时，乙商店的售价为3元．其中正确的是_________（填序号）．
【答案】①②③
4．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用y（单位：千元）与证书数量x（单位：千个）的函数关系图象如图所示．有下列说法：①甲厂的制版费为1千元；②当印制证书4千个时，选择乙厂节省费用；③当印制证书8千个时，选择乙厂节省费用．其中正确的有_________个．
【答案】2
能力达标
5．（2025·珠海三模）研学旅行作为“行走的课堂”，已经成为推动素质教育的重要抓手之一．近日学校组织学生参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，在不浪费粮食的前提下，供同学们任意选取．这两种食品每包质量均为50 g，营养成分表如下．
（1）若小芳同学要从这两种食品中摄入5 000 kJ热量和80 g蛋白质，她应选用A，B两种食品各多少包？
（2）小明运动消耗大，对蛋白质的摄入量应更多，因此，他决定选用这两种食品共8包，同时要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90 g，且热量最低，他应如何选用这两种食品？
【答案】（1）应选用A种食品2包，B种食品4包．
（2）应选用A种食品6包，B种食品2包．
挑战创新
6．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10 km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（单位：元）与骑行时间x（单位：min）之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）写出图中函数y1，y2的图象交点P表示的实际意义．
（2）求y1，y2关于x的函数解析式．
（3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300 m/min，小明家到工厂的距离为5．4 km，那么小明选择_________（填“A”或“B”）品牌共享电动车更省钱．
②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？
【解】（1）当骑行时间为20 min时，两种品牌的共享电动车收费一样，都是8元．
（2）设y1＝k1x（k1≠0），因为函数图象经过（20，8），
所以20k1＝8，得k1＝．
所以y1＝x（x≥0）．
当0当x>10时，
设y2＝k2x＋b（k2≠0），函数图象经过（10，6），（20，8），
则解得
所以y2＝x＋4．
所以y2＝
（3）①A
②当0当x>10时，＝4，
变形，得＝4，
解得x＝0（舍去）或x＝40．
所以x＝5或x＝40时，两种品牌共享电动车收费相差4元．第2课时 选择方案
1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想．
2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法．
3．能对解决问题的过程进行反思，总结解决问题的方法．
知识点 方案设计
练习 （教材P133探究2变式）某市组织20辆货车装运A，B，C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆货车都要装运，每辆货车只能装运同一种脐橙，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题．
脐橙品种 A B C
每辆货车运载量/吨 6 5 4
每吨脐橙获利/元 1 200 1 600 1 000
（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y关于x的函数解析式．
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？
（3）在（2）的条件下，若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值．
1．一家电信公司提供两种手机的月通话收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费．这两种收费方式的通话费用y（单位：元）与通话时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．小红根据图象得出下列结论：①l1描述的是无月租费的收费方式；②l2描述的是有月租费的收费方式；③当每月的通话时间为500 min时，选择有月租费的收费方式省钱．其中正确结论的个数是（ D ）．
A．0 B．1
C．2 D．3
2．某公司准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运到某地卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：
甲种货车 乙种货车
载货量/（吨/辆） 25 20
租金/（元/辆） 2 000 1 800
该公司最少要花掉租金_________元．
3．下图是甲、乙两家商店销售同一种产品的售价y（单位：元）与销售量x（单位：件）之间的函数图象．有下列说法：①买2件时，甲、乙两家商店的售价一样；②买1件时，买乙商店的合算；③买3件时，买甲商店的合算；④买1件时，乙商店的售价为3元．其中正确的是_________（填序号）．
4．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用y（单位：千元）与证书数量x（单位：千个）的函数关系图象如图所示．有下列说法：①甲厂的制版费为1千元；②当印制证书4千个时，选择乙厂节省费用；③当印制证书8千个时，选择乙厂节省费用．其中正确的有_________个．
5．（2025·珠海三模）研学旅行作为“行走的课堂”，已经成为推动素质教育的重要抓手之一．近日学校组织学生参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，在不浪费粮食的前提下，供同学们任意选取．这两种食品每包质量均为50 g，营养成分表如下．
（1）若小芳同学要从这两种食品中摄入5 000 kJ热量和80 g蛋白质，她应选用A，B两种食品各多少包？
（2）小明运动消耗大，对蛋白质的摄入量应更多，因此，他决定选用这两种食品共8包，同时要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90 g，且热量最低，他应如何选用这两种食品？
6．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10 km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（单位：元）与骑行时间x（单位：min）之间的对应关系，其中A品牌的收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）写出图中函数y1，y2的图象交点P表示的实际意义．
（2）求y1，y2关于x的函数解析式．
（3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为300 m/min，小明家到工厂的距离为5．4 km，那么小明选择_________（填“A”或“B”）品牌共享电动车更省钱．
②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？23．4 实际问题与一次函数
第1课时 一次函数的简单应用
1．能用一次函数解决简单实际问题．
2．了解分段函数．
3．体会数学建模思想．
知识点一 一次函数的简单应用
练习1 （教材P131例题变式）小明从家步行到学校需走的路程为1 800 m．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15 min时，到学校还需步行 m．
知识点二 分段函数
练习2 小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离y（单位：m）与他所用的时间x（单位：min）的函数关系如图所示．
（1）由图可知，小刚在图书馆停留的时间为________min，小刚骑自行车的速度为________m/min；
（2）求小刚从图书馆返回家的过程中，y关于x的函数解析式．
1．如图，购买一种苹果所付金额y（单位：元）与购买量x（单位：kg）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3 kg这种苹果比分三次每次购买1 kg这种苹果可节省（ ）．
A．3元 B．4元
C．5元 D．6元
2．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（ ）．
图1 图2
A．12 B．24
C．36 D．48
3．某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距450 cm的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为x（单位：s），小数和小文行走的路程分别为y1（单位：cm），y2（单位：cm），y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）．
A．小数比小文先出发15 s
B．小文提速后的速度为30 cm/s
C．小数从出发至送餐结束，与小文最远相距150 cm
D．n＝40
4．某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，每毫升血液中含药量y（单位：μg）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示．
那么当成人按规定剂量服用后，根据图象回答下列问题：
（1）服药后几小时，血液中含药量最高，最高为每毫升多少微克？
（2）当2≤x≤8时，求y关于x的函数解析式；
（3）如果每毫升血液中含药量为3 μg或3 μg以上时治疗疾病有效，那么这种新药的有效时长是多少小时？
5．为加强对学生的劳动教育，某校准备开展以“种下希望，共建美好家园”为主题的义务植树活动．经了解，购买2棵枣树和3棵石榴树共需44元；购买5棵枣树和6棵石榴树共需98元．该校决定购买m（m>0）棵枣树和50棵石榴树．
（1）求枣树和石榴树的单价．
（2）实际购买时，商家给出了如下优惠方案．
方案一：均按原价的9折销售；
方案二：如果购买的枣树不超过50棵，按原价销售．如果购买的枣树超过50棵，则超出的部分按原价的8折销售，石榴树始终按原价销售．
分别求出两种方案的费用W1，W2关于m的函数解析式．
6．（2025·广州二模）某生物学兴趣小组正在研究同一盆栽内两种植物的共同生长情况，当他们尝试施用某种药物时，发现会对A，B两种植物分别产生抑制生长和促进生长的作用．通过实验，A，B两种植物的生长高度yA（单位：cm），yB（单位：cm） 与药物施用量x（单位：mg）的关系数据统计如下表：
x/mg 0 4 6 8 10 15 18 21
A/cm 25 21 19 17 15 10 7 4
B/cm 10 18 22 26 30 40 45 52
任务1：根据以上数据，在下面带网格的平面直角坐标系中通过描点，连线，画出A，B两种植物的生长高度yA，yB与药物施用量x的函数图象．
任务2：猜想A，B两种植物的生长高度yA，yB与药物施用量x的函数关系，并分别求出函数解析式．
任务3：同学们研究发现，当两种植物高度差距不超过5 cm时，两种植物的生长会处于一种良好的平衡状态，请求出满足平衡状态时，该药物施用量x的取值范围．
