第2课时 用样本平均数估计总体平均数
1．加深对加权平均数的理解．
2．会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题．
3．体会样本与总体的关系，知道可以用样本平均数估计总体平均数．
知识点一 用组中值估计平均数
1．根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的 代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权，从而计算出平均数．
练习1 下列各组数据中，组中值不是10的是（ ）．
A．0≤x＜20 B．3≤x＜17
C．7≤x＜13 D．0≤x＜10
知识点二 用样本平均数估计总体平均数
2．当所要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，统计中通常用 来估计总体平均数．
练习2 （教材P155例3变式）某市为了解4万名初中毕业生的技能掌握情况，从中随机抽取3 000名学生进行测试，测试成绩（单位：分）统计如表．
数据x/分 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99
个数 800 1 300 900
平均数/分 78 85 92
请根据表格中的信息，估计这4万名学生技能测试成绩的平均数约为（ ）．
A．92分 B．85分
C．83分 D．78分
基础巩固
1．为了解某校八年级学生一星期的课外阅读时间，随机抽查了该校八年级50名学生，结果如下表所示．
时间/h 4 5 6 7
人数 10 20 15 5
据此估计该校八年级学生一星期的平均课外阅读时间约是（ ）．
A．4．5 h B．5 h
C．5．3 h D．5．8 h
2．某地某月（30天）中午12时的气温（单位：℃）如下表．
气温x/℃ 12≤x＜16 16≤x＜20 20≤x＜24 24≤x＜28 28≤x＜32
天数 10 7 3 8 2
根据上表计算得该地本月中午12时的平均气温是（ ）．
A．18 ℃ B．20 ℃
C．22 ℃ D．24 ℃
3．某校举办了预防春季传染病知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理，得到如下不完整的统计表．
组别 分数/分 人数
A 60＜x≤70 5
B 70＜x≤80 15
C 80＜x≤90 20
D 90＜x≤100 10
则这50名同学的平均成绩为（ ）．
A．80分 B．81分
C．82分 D．83分
4．如图是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计该班的平均成绩为________．
5．（2025·荔湾期末）某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了10位同学，得到如表数据．这10位同学一周参加课外体育锻炼的平均时长是________．
时长/h 5 6 7 8 9
人数 1 2 3 3 1
6．某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，开展了航天知识竞赛，赛后发现所有学生的成绩（总分100分）均不低于50分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取了200名学生的竞赛成绩作为样本进行整理，并绘制了如下统计表．
组别 分数段（成绩为x分） 人数 组内学生的平均竞赛成绩/分
A 50≤x＜60 20 55
B 60≤x＜70 60 65
C 70≤x＜80 70 72
D 80≤x＜90 40 85
E 90≤x≤100 10 98
则本次所抽取的这200名学生的平均竞赛成绩为________．
7．某校为了初步了解学生的劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．下面是根据此次调查得到的结果绘制的两幅不完整统计图表．
学生最喜欢的劳动课程统计图
学生平均每周劳动时间的统计表
组别 时间x/h 人数
A 1．5≤x＜2 130
B 2≤x＜2．5 180
C 2．5≤x＜3 85
D 3≤x＜3．5 85
E 3．5≤x＜4 m
请根据统计图表回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间不少于3小时的人数占被调查人数的百分比为________；
（2）若该校有2 000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为种植的学生人数；
（3）请你根据本次问卷调查的结果给该校学生和学校各提一条合理化建议．
8．为了提升课堂教学质量，王老师选择A，B两班进行教改实验，A班采用原来的教学方法，B班实施新的教学方法．实验开始前，进行一次能力测试（前测，满分25分），经过一段时间的教改实验后，再用难度、题型、总分相当的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
分数x/分 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25 平均成绩/分
A班人数 28 9 9 3 1 6.5
B班人数 25 10 8 2 1 6.4
表2：后测数据
分数x/分 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25 平均成绩/分
A班人数 14 16 12 6 2
B班人数 6 8 11 18 3 12.9
（1）A班有________人，B班有________人；
（2）用每组的均值计算B班后测分数的平均数：B＝×（6×2．5＋8×7．5＋11×12．5＋18×17．5＋3×22．5）≈12．9，请按此方式计算A班后测分数的平均数；
（3）请你选择合适的统计量，对王老师的教改实验进行正面宣传（必须提出一条理由）．24．1 数据的集中趋势
24．1．1 平均数
第1课时 平均数与加权平均数
1．理解平均数的意义．
2．能计算加权平均数．
知识点一 平均数
1．一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，那么这组数据的平均数x＝ ．
练习1 一组数据－2，1，3，x的平均数是2，则x是（ ）．
A．1 B．3
C．6 D．7
知识点二 加权平均数
2．（1）一组数据里的各个数据的重要程度不一定相同，在计算它们的平均数时，往往给每个数据一个“权”，由此求出的平均数叫作 平均数．一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别为w1，w2，…，wn，则这n个数的加权平均数x＝ ．
（2）在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1＋f2＋…＋fk＝n），那么这n个数的平均数x＝，也叫作x1，x2，…，xk这k个数的 平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫作x1，x2，…，xk的 ．
练习2 （教材P151例1变式）某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的重要性之比为3∶5∶2．小王经过考核后所得的分数依次为90分、88分、83分，那么小王的最后得分是（ ）．
A．87分 B．87．5分
C．87．6分 D．88分
知识点三 平均数与加权平均数的应用
练习3 五一假期，小红与家人计划外出旅游，为了选择一个最合适的酒店，小红对甲、乙、丙三个酒店进行了调查与评估．她依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）．三个酒店的得分如表所示．
酒店 安全保障 价格 地理位置 住宿条件
甲 7 7 9 8
乙 8 6 7 9
丙 7 7 7 8
（1）如果小红认为四项同等重要，按1∶1∶1∶1的比确定最终得分，通过计算回答小红会选择哪家酒店；
（2）若四项得分所占百分比如扇形统计图所示，通过计算回答小红会选择哪家酒店；
（3）如果你是小红，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的酒店，并说明理由．
1．若x1，x2，…，x5的平均数为4，x6，x7，…，x10的平均数为6，则x1，x2，…，x10的平均数为（ A ）．
A．5 B．4
C．3 D．8
2．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 （ ）．
A．3．5 B．3
C．0．5 D．－3
3．（2025·深圳三模）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7．2，且不大于7．8．前两次检验，pH的检测值分别是7．4，7．9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第三次检验的pH的值为x，由题意可得（ ）．
A．7．2×3≤7．4＋7．9＋x≤7．8×3
B．7．2×3＜7．4＋7．9＋x≤7．8×3
C．7．2×3＞7．4＋7．9＋x＞7．8×3
D．7．2×3＜7．4＋7．9＋x＜7．8×3
4．某汽车从甲地以速度v1匀速行驶至乙地后，又从乙地以速度v2匀速返回甲地，则汽车在整个行驶过程中的平均速度是（ ）．
A． B．
C． D．
5．某校5个小组在一次植树活动中植树棵数的统计图如图所示，则平均每个小组植树________棵．
6．（2025·深圳三模） 某班级课堂从“理解”“归纳”“运用”“综合”“参与”等五方面按2∶2∶1∶2∶3对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________．
7．在数据4，5，6，5中添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则添加的这个数是________．
8．从某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分、2分、3分、4分四个等级，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图（如图），根据图中信息，这些学生的平均分是________．
9．（2025·广州）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示．
选手 内容 能力 效果
甲 98 84 88
乙 88 85 97
（1）请问能否通过甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），来确定两人的名次？
（2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4∶3∶3的比确定，请以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次．
（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．第2课时 用样本平均数估计总体平均数
1．加深对加权平均数的理解．
2．会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题．
3．体会样本与总体的关系，知道可以用样本平均数估计总体平均数．
知识点一 用组中值估计平均数
1．根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权，从而计算出平均数．
练习1 下列各组数据中，组中值不是10的是（ D ）．
A．0≤x＜20 B．3≤x＜17
C．7≤x＜13 D．0≤x＜10
知识点二 用样本平均数估计总体平均数
2．当所要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，统计中通常用样本平均数来估计总体平均数．
练习2 （教材P155例3变式）某市为了解4万名初中毕业生的技能掌握情况，从中随机抽取3 000名学生进行测试，测试成绩（单位：分）统计如表．
数据x/分 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤99
个数 800 1 300 900
平均数/分 78 85 92
请根据表格中的信息，估计这4万名学生技能测试成绩的平均数约为（ B ）．
A．92分 B．85分
C．83分 D．78分
基础巩固
1．为了解某校八年级学生一星期的课外阅读时间，随机抽查了该校八年级50名学生，结果如下表所示．
时间/h 4 5 6 7
人数 10 20 15 5
据此估计该校八年级学生一星期的平均课外阅读时间约是（ C ）．
A．4．5 h B．5 h
C．5．3 h D．5．8 h
2．某地某月（30天）中午12时的气温（单位：℃）如下表．
气温x/℃ 12≤x＜16 16≤x＜20 20≤x＜24 24≤x＜28 28≤x＜32
天数 10 7 3 8 2
根据上表计算得该地本月中午12时的平均气温是（ B ）．
A．18 ℃ B．20 ℃
C．22 ℃ D．24 ℃
3．某校举办了预防春季传染病知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理，得到如下不完整的统计表．
组别 分数/分 人数
A 60＜x≤70 5
B 70＜x≤80 15
C 80＜x≤90 20
D 90＜x≤100 10
则这50名同学的平均成绩为（ C ）．
A．80分 B．81分
C．82分 D．83分
4．如图是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计该班的平均成绩为________．
【答案】62分
5．（2025·荔湾期末）某班体育老师为了解同学们一周参加课外体育锻炼的时长，随机调查了10位同学，得到如表数据．这10位同学一周参加课外体育锻炼的平均时长是________．
时长/h 5 6 7 8 9
人数 1 2 3 3 1
【答案】7．1 h
6．某校为了培养学生对航天知识的学习兴趣，开展了航天知识竞赛，赛后发现所有学生的成绩（总分100分）均不低于50分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取了200名学生的竞赛成绩作为样本进行整理，并绘制了如下统计表．
组别 分数段（成绩为x分） 人数 组内学生的平均竞赛成绩/分
A 50≤x＜60 20 55
B 60≤x＜70 60 65
C 70≤x＜80 70 72
D 80≤x＜90 40 85
E 90≤x≤100 10 98
则本次所抽取的这200名学生的平均竞赛成绩为________．
【答案】72．1分
能力达标
7．某校为了初步了解学生的劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．下面是根据此次调查得到的结果绘制的两幅不完整统计图表．
学生最喜欢的劳动课程统计图
学生平均每周劳动时间的统计表
组别 时间x/h 人数
A 1．5≤x＜2 130
B 2≤x＜2．5 180
C 2．5≤x＜3 85
D 3≤x＜3．5 85
E 3．5≤x＜4 m
请根据统计图表回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间不少于3小时的人数占被调查人数的百分比为________；
（2）若该校有2 000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为种植的学生人数；
（3）请你根据本次问卷调查的结果给该校学生和学校各提一条合理化建议．
【解】（1）21%
（2）2 000×（1－40%－7%－10%－16%）＝540（名），
所以若该校有2 000名学生，估计最喜欢的劳动课程为种植的学生有540名．
（3）建议该校学生积极参加学校的劳动课程；建议学校增设特色劳动课程．（答案不唯一，合理即可）
挑战创新
8．为了提升课堂教学质量，王老师选择A，B两班进行教改实验，A班采用原来的教学方法，B班实施新的教学方法．实验开始前，进行一次能力测试（前测，满分25分），经过一段时间的教改实验后，再用难度、题型、总分相当的试卷进行测试（后测），得到前测和后测数据并整理成表1和表2．
表1：前测数据
分数x/分 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25 平均成绩/分
A班人数 28 9 9 3 1 6.5
B班人数 25 10 8 2 1 6.4
表2：后测数据
分数x/分 0＜x≤5 5＜x≤10 10＜x≤15 15＜x≤20 20＜x≤25 平均成绩/分
A班人数 14 16 12 6 2
B班人数 6 8 11 18 3 12.9
（1）A班有________人，B班有________人；
（2）用每组的均值计算B班后测分数的平均数：B＝×（6×2．5＋8×7．5＋11×12．5＋18×17．5＋3×22．5）≈12．9，请按此方式计算A班后测分数的平均数；
（3）请你选择合适的统计量，对王老师的教改实验进行正面宣传（必须提出一条理由）．
【解】（1）50 46
（2）A＝×（14×2．5＋16×7．5＋12×12．5＋6×17．5＋2×22．5）＝9．1．
即A班后测分数的平均数为9．1．
（3）从平均数看，两班成绩较前测都有上升，但实验班提升得更明显，因此王老师新的教学方法效果较好．24．1 数据的集中趋势
24．1．1 平均数
第1课时 平均数与加权平均数
1．理解平均数的意义．
2．能计算加权平均数．
知识点一 平均数
1．一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，那么这组数据的平均数x＝．
练习1 一组数据－2，1，3，x的平均数是2，则x是（ C ）．
A．1 B．3
C．6 D．7
知识点二 加权平均数
2．（1）一组数据里的各个数据的重要程度不一定相同，在计算它们的平均数时，往往给每个数据一个“权”，由此求出的平均数叫作加权平均数．一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别为w1，w2，…，wn，则这n个数的加权平均数x＝．
（2）在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次（这里f1＋f2＋…＋fk＝n），那么这n个数的平均数x＝，也叫作x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫作x1，x2，…，xk的权．
练习2 （教材P151例1变式）某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考核（考核的满分均为100分），三个方面的重要性之比为3∶5∶2．小王经过考核后所得的分数依次为90分、88分、83分，那么小王的最后得分是（ C ）．
A．87分 B．87．5分
C．87．6分 D．88分
知识点三 平均数与加权平均数的应用
练习3 五一假期，小红与家人计划外出旅游，为了选择一个最合适的酒店，小红对甲、乙、丙三个酒店进行了调查与评估．她依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）．三个酒店的得分如表所示．
酒店 安全保障 价格 地理位置 住宿条件
甲 7 7 9 8
乙 8 6 7 9
丙 7 7 7 8
（1）如果小红认为四项同等重要，按1∶1∶1∶1的比确定最终得分，通过计算回答小红会选择哪家酒店；
（2）若四项得分所占百分比如扇形统计图所示，通过计算回答小红会选择哪家酒店；
（3）如果你是小红，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的百分比，选择最合适的酒店，并说明理由．
【解】（1）因为四项同等重要，
酒店甲得分为＝，
酒店乙得分为＝，
酒店丙得分为＝．
因为＞＞，
所以小红会选择酒店甲．
（2）酒店甲得分为7×20%＋7×30%＋9×10%＋8×40%＝7．6，
酒店乙得分为8×20%＋6×30%＋7×10%＋9×40%＝7．7，
酒店丙得分为7×20%＋7×30%＋7×10%＋8×40%＝7．4．
因为7．7＞7．6＞7．4，
所以小红会选择酒店乙．
（3）如：将安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项得分的百分比分别定为30%，15%，25%，30%，小红认为最重要的是安全保障和住宿条件，其次是地理位置，最后才考虑价格．
酒店甲得分为7×30%＋7×15%＋9×25%＋8×30%＝7．8，
酒店乙得分为8×30%＋6×15%＋7×25%＋9×30%＝7．75，
酒店丙得分为7×30%＋7×15%＋7×25%＋8×30%＝7．3．
因为7．8＞7．75＞7．3，
所以小红会选择酒店甲．
基础巩固
1．若x1，x2，…，x5的平均数为4，x6，x7，…，x10的平均数为6，则x1，x2，…，x10的平均数为（ A ）．
A．5 B．4
C．3 D．8
2．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 （ D ）．
A．3．5 B．3
C．0．5 D．－3
3．（2025·深圳三模）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7．2，且不大于7．8．前两次检验，pH的检测值分别是7．4，7．9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第三次检验的pH的值为x，由题意可得（ A ）．
A．7．2×3≤7．4＋7．9＋x≤7．8×3
B．7．2×3＜7．4＋7．9＋x≤7．8×3
C．7．2×3＞7．4＋7．9＋x＞7．8×3
D．7．2×3＜7．4＋7．9＋x＜7．8×3
4．某汽车从甲地以速度v1匀速行驶至乙地后，又从乙地以速度v2匀速返回甲地，则汽车在整个行驶过程中的平均速度是（ D ）．
A． B．
C． D．
5．某校5个小组在一次植树活动中植树棵数的统计图如图所示，则平均每个小组植树________棵．
【答案】5
能力达标
6．（2025·深圳三模） 某班级课堂从“理解”“归纳”“运用”“综合”“参与”等五方面按2∶2∶1∶2∶3对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________．
【答案】8
7．在数据4，5，6，5中添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则添加的这个数是________．
【答案】5
8．从某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分、2分、3分、4分四个等级，将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图（如图），根据图中信息，这些学生的平均分是________．
【答案】2．95分
挑战创新
9．（2025·广州）为了弘扬中华优秀传统文化，某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．评委从演讲的内容、能力、效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计．进入决赛的前两名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如下表所示．
选手 内容 能力 效果
甲 98 84 88
乙 88 85 97
（1）请问能否通过甲、乙两名选手的平均成绩（百分制），来确定两人的名次？
（2）如果评委认为“内容”这一项最重要，内容、能力、效果的成绩按照4∶3∶3的比确定，请以此计算两名选手的平均成绩（百分制），并确定两人的名次．
（3）如果你是评委，请按你认为各项的“重要程度”设计三项成绩的比，并解释设计的理由．
【解】（1）不能以此确定两人的名次，
甲的平均成绩：＝90（分），
乙的平均成绩：＝90（分），
所以甲＝乙．
所以不能以此确定两人的名次．
（2）甲的平均成绩：＝90．8（分），
乙的平均成绩：＝89．8（分），
所以甲＞乙．
所以甲排名第一，乙排名第二．
（3）设计三项成绩的比为5∶2∶3，理由：内容是演讲的核心，占比最高；效果直接影响观众，次之；能力是基础，占比最低．（答案不唯一）
