第2课时 用样本方差估计总体方差
1．进一步理解方差的定义和计算公式．
2．体会样本与总体的关系，知道可以用样本方差估计总体方差．
3．能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流．
知识点一 样本方差
练习1 某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示．
人选 甲 乙 丙 丁
平均数 9.7 9.5 9.5 9.7
方差 5.1 4.7 4.5 4.5
若根据表中数据选一人参加比赛，则最合适的人选是（ ）．
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
知识点二 用样本方差估计总体方差
当所要考察的总体包含很多个体，或考察本身带有破坏性时，统计中通常用 来估计总体方差．
练习2 （教材P172例2变式）某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x甲＝610千克，x乙＝608千克，亩产量的方差分别为s＝29．6，s＝2．7，则关于两种小麦推广种植的合理决策是（ ）．
A．甲的平均亩产量较高，应推广甲
B．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广
C．甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲
D．甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙
基础巩固
1．下表是某公司25位员工月收入的资料．
月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 000
人数 1 1 1 3
月收入/元 5 000 3 400 3 000 1 000
人数 6 1 11 1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（ ）．
A．平均数和众数 B．平均数和中位数
C．平均数和方差 D．中位数和众数
2．为了解同一型号50辆汽车每耗油1 L所行驶路程的情况，现从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油1 L所行路程的试验，得到如下数据（单位：km）：11，15，9，12，13．该样本的方差是（ ）．
A．20 B．12
C．4 D．2
3．某学校从七、八年级学生中各选取20人，分成甲、乙两个小组进行引体向上体能测试，根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
甲组成绩统计表
成绩/分 7 8 9 10
人数 1 9 7 3
乙组成绩统计图
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）求m的值及乙组成绩的中位数．
（2）已知乙组成绩的方差s＝0．75，求出甲组成绩的方差，并估计哪个年级学生的引体向上体能测试成绩更加稳定．
4．某市在两所学校随机各抽取15名学生，进行体质测试，测试成绩（百分制）分为A，B两组，制作成如下统计图表．
组别 平均数 众数 中位数 方差
A 81 90 a s
B 81 b 80 s
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝________，b＝________；
（2）由图表信息，得s________s（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）结合以上图表的统计量，请你判断哪所学校学生的体质较好，并说明理由（写出一条即可）．
5．（2025·番禺）小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路乘车所用的时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间（单位：min）．数据统计如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20
B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24
所用时间 平均数 中位数 众数 方差
A线路 22 a 15 d
B线路 b 26.5 c 6.36
根据以上信息解答下列问题：
（1）请直接写出a，c的值，并求出b，d两个数量的值；
（2）应用你所学的统计知识帮助小红分析如何选择乘车线路，并利用至少2个统计量说明理由．24．2 数据的离散程度
第1课时 离差平方和与方差
1．了解方差的定义和计算公式，理解方差概念的产生和形成过程．
2．体会刻画数据离散程度的意义，会计算一组简单数据的离差平方和、方差．
3．会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小．
知识点一 离差平方和与方差的计算
1．（1）一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把xi－（i＝1，2，…，n）叫作xi关于平均数的离差．一组数据的离差和总是0．
（2）我们把（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”．把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作“s2”．
练习1 一组数据1，2，1，4的方差为（ B ）．
A．1 B．1．5
C．2 D．2．5
知识点二 方差的应用
2．方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量．方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小．
练习2 （教材P170例1变式）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
运动员 甲 乙 丙 丁
平均数/cm 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ A ）．
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
基础巩固
1．两名运动员进行了10次某运动项目的测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名运动员的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（ C ）．
A．中位数 B．众数
C．方差 D．以上都不对
2．（2025·汕头期末）“计”高一筹，“算”出风采．为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动．已知甲班10名学生测试成绩的方差是s＝0．19，乙班10名学生测试成绩的方差是s＝m，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则m的值可能是（ D ）．
A．0．20 B．0．22
C．0．19 D．0．18
3．一组数据3，2，1，2，2的众数、中位数、方差分别是（ B ）．
A．2，1，0．4 B．2，2，0．4
C．3，1，2 D．2，1，0．2
4．（2025·清远一模）为考察两名实习工人的工作情况，质检部门将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：
甲 2 6 7 7 8
乙 2 3 4 8 8
关于以上数据，说法正确的是（ D ）．
A．甲、乙的众数相同
B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数小于乙的平均数
D．甲的方差小于乙的方差
5．射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是（ D ）．
A．平均数是9环 B．中位数是9环
C．众数是9环 D．方差是0．8
能力达标
6．一组数据a，b，c，d，e，f，g的平均数是m，方差是n，则另一组数据3a－2，3b－2，3c－2，3d－2，3e－2，3f－2，3g－2的平均数和方差分别是（ D ）．
A．3，3n－2 B．3m－2，n
C．m－2，3n D．3m－2，9n
7．（2025·惠州期末）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图表．
甲
乙
丙
选手 平均数 中位数 方差
甲 8.8 9 a
乙 8.8 b 0.96
丙 c 8 0.96
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求出a，b，c的值；
（2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；
（3）在比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为d，直接写出d与a的大小关系．
【解】（1）甲的方差为
a＝[（8－8．8）2＋（10－8．8）2＋（8－8．8）2＋（9－8．8）2＋（9－8．8）2]＝0．56．
由乙得分的条形统计图可知，乙得分的排序为7，9，9，9，10，
所以乙得分的中位数为9，即b＝9．
由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10分，有3名评委打分为8分，
所以丙得分的平均数为×（2×10＋3×8）＝8．8，即c＝8．8．
（2）选甲更合适，理由如下：
因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲．
（3）d＜a
挑战创新
8．（2025·东莞三模）某校广播站在新学期计划招聘一名播音主持．经过层层选拔，最后甲、乙两名同学进入决赛．决赛成绩由8位评委打分（满分10分），广播站管理员将根据决赛数据选择一名同学担任播音主持．
数据整理：管理员将甲、乙两名同学的决赛成绩整理成如下统计图．
数据分析：管理员对甲、乙两名同学的决赛成绩进行了如下分析．
同学 平均数 中位数 众数 方差
甲 7.25 b 7 1.69
乙 a 7.5 c 3.94
请认真阅读以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝________，b＝________，c＝________；
（2）甲、乙两名同学决赛成绩公布后，甲、乙两人都认为自己能够担任播音主持．请你分别站在甲、乙两名同学的角度谈谈他们各自的理由．（甲、乙各写出一条理由即可）
【解】（1）7．25 7 9
（2）甲的理由：甲、乙的决赛成绩的平均数都是7．25；从方差来看，甲成绩的方差为1．69，乙成绩的方差为3．94，甲成绩的方差小于乙成绩的方差，所以甲认为自己能够担任播音主持．
乙的理由：甲、乙的决赛成绩的平均数都是7．25；从中位数来看，乙的成绩的中位数为7．5，甲的成绩的中位数为7，乙的成绩的中位数大于甲的成绩的中位数，所以乙认为自己能够担任播音主持．（答案不唯一，合理即可）24．2 数据的离散程度
第1课时 离差平方和与方差
1．了解方差的定义和计算公式，理解方差概念的产生和形成过程．
2．体会刻画数据离散程度的意义，会计算一组简单数据的离差平方和、方差．
3．会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小．
知识点一 离差平方和与方差的计算
1．（1）一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把 （i＝1，2，…，n）叫作xi关于平均数的离差．一组数据的离差和总是 ．
（2）我们把（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2叫作这n个数据关于平均数的 ，记作“d2”．把离差的平方的平均数叫作这组数据的 ，记作“s2”．
练习1 一组数据1，2，1，4的方差为（ ）．
A．1 B．1．5
C．2 D．2．5
知识点二 方差的应用
2．方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量．方差越大，数据的离散程度 ；方差越小，数据的离散程度 ．
练习2 （教材P170例1变式）下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
运动员 甲 乙 丙 丁
平均数/cm 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）．
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
基础巩固
1．两名运动员进行了10次某运动项目的测试，经计算，他们的平均成绩相同，若要比较这两名运动员的成绩哪一位更稳定，通常还需要比较他们成绩的（ ）．
A．中位数 B．众数
C．方差 D．以上都不对
2．（2025·汕头期末）“计”高一筹，“算”出风采．为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动．已知甲班10名学生测试成绩的方差是s＝0．19，乙班10名学生测试成绩的方差是s＝m，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则m的值可能是（ ）．
A．0．20 B．0．22
C．0．19 D．0．18
3．一组数据3，2，1，2，2的众数、中位数、方差分别是（ ）．
A．2，1，0．4 B．2，2，0．4
C．3，1，2 D．2，1，0．2
4．（2025·清远一模）为考察两名实习工人的工作情况，质检部门将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：
甲 2 6 7 7 8
乙 2 3 4 8 8
关于以上数据，说法正确的是（ ）．
A．甲、乙的众数相同
B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数小于乙的平均数
D．甲的方差小于乙的方差
5．射击比赛中，某队员的10次射击成绩如图所示，则下列结论错误的是（ ）．
A．平均数是9环 B．中位数是9环
C．众数是9环 D．方差是0．8
能力达标
6．一组数据a，b，c，d，e，f，g的平均数是m，方差是n，则另一组数据3a－2，3b－2，3c－2，3d－2，3e－2，3f－2，3g－2的平均数和方差分别是（ ）．
A．3，3n－2 B．3m－2，n
C．m－2，3n D．3m－2，9n
7．（2025·惠州期末）某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图表．
甲
乙
丙
选手 平均数 中位数 方差
甲 8.8 9 a
乙 8.8 b 0.96
丙 c 8 0.96
根据以上信息，回答下列问题：
（1）求出a，b，c的值；
（2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由；
（3）在比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为d，直接写出d与a的大小关系．
8．（2025·东莞三模）某校广播站在新学期计划招聘一名播音主持．经过层层选拔，最后甲、乙两名同学进入决赛．决赛成绩由8位评委打分（满分10分），广播站管理员将根据决赛数据选择一名同学担任播音主持．
数据整理：管理员将甲、乙两名同学的决赛成绩整理成如下统计图．
数据分析：管理员对甲、乙两名同学的决赛成绩进行了如下分析．
同学 平均数 中位数 众数 方差
甲 7.25 b 7 1.69
乙 a 7.5 c 3.94
请认真阅读以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝________，b＝________，c＝________；
（2）甲、乙两名同学决赛成绩公布后，甲、乙两人都认为自己能够担任播音主持．请你分别站在甲、乙两名同学的角度谈谈他们各自的理由．（甲、乙各写出一条理由即可）第2课时 用样本方差估计总体方差
1．进一步理解方差的定义和计算公式．
2．体会样本与总体的关系，知道可以用样本方差估计总体方差．
3．能解释数据分析的结果，能根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流．
知识点一 样本方差
练习1 某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示．
人选 甲 乙 丙 丁
平均数 9.7 9.5 9.5 9.7
方差 5.1 4.7 4.5 4.5
若根据表中数据选一人参加比赛，则最合适的人选是（ D ）．
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
知识点二 用样本方差估计总体方差
当所要考察的总体包含很多个体，或考察本身带有破坏性时，统计中通常用样本方差来估计总体方差．
练习2 （教材P172例2变式）某农科所对甲、乙两种小麦各选用10块面积相同的试验田进行种植试验，它们的平均亩产量分别是x甲＝610千克，x乙＝608千克，亩产量的方差分别为s＝29．6，s＝2．7，则关于两种小麦推广种植的合理决策是（ D ）．
A．甲的平均亩产量较高，应推广甲
B．甲、乙的平均亩产量相差不多，均可推广
C．甲的平均亩产量较高，且亩产量比较稳定，应推广甲
D．甲、乙的平均亩产量相差不多，但乙的亩产量比较稳定，应推广乙
基础巩固
1．下表是某公司25位员工月收入的资料．
月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 000
人数 1 1 1 3
月收入/元 5 000 3 400 3 000 1 000
人数 6 1 11 1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（ D ）．
A．平均数和众数 B．平均数和中位数
C．平均数和方差 D．中位数和众数
2．为了解同一型号50辆汽车每耗油1 L所行驶路程的情况，现从中抽出5辆汽车在同一条件下进行耗油1 L所行路程的试验，得到如下数据（单位：km）：11，15，9，12，13．该样本的方差是（ C ）．
A．20 B．12
C．4 D．2
3．某学校从七、八年级学生中各选取20人，分成甲、乙两个小组进行引体向上体能测试，根据测试成绩绘制出如下的统计表和统计图（成绩均为整数，满分为10分）．
甲组成绩统计表
成绩/分 7 8 9 10
人数 1 9 7 3
乙组成绩统计图
请根据上面的信息，解答下列问题：
（1）求m的值及乙组成绩的中位数．
（2）已知乙组成绩的方差s＝0．75，求出甲组成绩的方差，并估计哪个年级学生的引体向上体能测试成绩更加稳定．
【解】（1）m的值是3，乙组成绩的中位数是8．
（2）甲＝×（7×1＋8×9＋9×7＋10×3）＝8．6（分），
s＝×[1×（7－8．6）2＋9×（8－8．6）2＋7×（9－8．6）2＋3×（10－8．6）2]＝0．64．
因为s＜s，
所以可以估计七年级学生的引体向上体能测试成绩更加稳定．
能力达标
4．某市在两所学校随机各抽取15名学生，进行体质测试，测试成绩（百分制）分为A，B两组，制作成如下统计图表．
组别 平均数 众数 中位数 方差
A 81 90 a s
B 81 b 80 s
根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：a＝________，b＝________；
（2）由图表信息，得s________s（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）结合以上图表的统计量，请你判断哪所学校学生的体质较好，并说明理由（写出一条即可）．
【解】（1）85 75
（2）＞
（3）B组学校学生测试成绩较好．理由如下：
A组学校学生测试成绩和B组学校学生测试成绩的平均数相同，但是B组学校学生测试成绩的方差小于A组学校学生测试成绩的方差，故B组学校学生测试成绩较好．（答案不唯一，合理即可）
挑战创新
5．（2025·番禺）小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路乘车所用的时间，小红做了试验，第一周（5个工作日）选择A线路，第二周（5个工作日）选择B线路，每天在固定时间段内乘车2次并分别记录所用时间（单位：min）．数据统计如下：
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A线路所用时间 15 32 15 16 34 18 21 14 35 20
B线路所用时间 25 29 23 25 27 26 31 28 30 24
所用时间 平均数 中位数 众数 方差
A线路 22 a 15 d
B线路 b 26.5 c 6.36
根据以上信息解答下列问题：
（1）请直接写出a，c的值，并求出b，d两个数量的值；
（2）应用你所学的统计知识帮助小红分析如何选择乘车线路，并利用至少2个统计量说明理由．
【解】（1）a＝19．
平均数b＝×（25＋29＋23＋25＋27＋26＋31＋28＋30＋24）＝26．8．
c＝25．
d＝×[（14－22）2＋（15－22）2＋（15－22）2＋（16－22）2＋（18－22）2＋（20－22）2＋（21－22）2＋（32－22）2＋（34－22）2＋（35－22）2]＝63．2．
（2）因为小红统计的选择A线路所用时间的平均数为22 min，选择B线路所用时间的平均数为26．8 min，用时差不太多，而方差63．2＞6．36，
所以选择B线路所用时间的波动性更小．
所以选择B线路更优．（答案不唯一，合理即可）
