24．4 数据的分组
经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法．
知识点 数据的分组
一般地，设有n个数据x1，x2，…，xn，其平均数记为，离差平方和为d2．如果把这组数据分为两组，前m（m＜n）个数据为一组，后（n－m）个数据为一组，它们的平均数分别记为1和2，离差平方和分别为d和d，那么d2＝（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2＝d＋d＋m（1－）2＋（n－m）（2－）2．其中d＋d称为 ，表示两个组内数据的 ；记d＝m（1－）2＋（n－m）（2－）2．d是m个第一组数据平均数、（n－m）个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为 ，表示两个组间的差异．
练习 （教材P184例题变式）6个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如下表所示．
城市 A B C D E F
平均高温/℃ 3 -2 -5 6 10 12
根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这6个城市分为两组．
基础巩固
1．科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol·m－2·s－1）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”的方法分组，则需先将数据由________到________排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成________种情况．
能力达标
2．琪琪测量了10个苹果的直径，如图．
按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．
挑战创新
3．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程．
【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一（按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二（按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
10位同学测评分值的分布情况分组数据统计量分析表
分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和
方式一 Ⅰ组 m 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 n 16
10位同学测评分值的分布情况
根据以上信息，解答下面问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角的度数为________°；
（2）m＝________，n＝________；
【判断与决策】
（3）为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由．24．4 数据的分组
经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法．
知识点 数据的分组
一般地，设有n个数据x1，x2，…，xn，其平均数记为，离差平方和为d2．如果把这组数据分为两组，前m（m＜n）个数据为一组，后（n－m）个数据为一组，它们的平均数分别记为1和2，离差平方和分别为d和d，那么d2＝（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2＝d＋d＋m（1－）2＋（n－m）（2－）2．其中d＋d称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度；记d＝m（1－）2＋（n－m）（2－）2．d是m个第一组数据平均数、（n－m）个第二组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组间的差异．
练习 （教材P184例题变式）6个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如下表所示．
城市 A B C D E F
平均高温/℃ 3 -2 -5 6 10 12
根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这6个城市分为两组．
【解】将6个数据由小到大排序为－5，－2，3，6，10，12．
将它们分成两组共有5种情况，分别计算组内离差平方和（结果保留小数点后两位）如下：
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 124.8 124.8
第2个间隔 4.5 48.75 53.25
第3个间隔 32.67 18.67 51.34
第4个间隔 73 2 75
第5个间隔 145.2 0 145.2
计算结果表明，当按第3个间隔分组时，组内离差平方和最小，因此，按组内离差平方和最小的分法为{A，B，C}和{D，E，F}．
基础巩固
1．科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol·m－2·s－1）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”的方法分组，则需先将数据由________到________排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成________种情况．
【答案】小 大 7
能力达标
2．琪琪测量了10个苹果的直径，如图．
按照“组内离差平方和达到最小”的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．
【解】将10个数据由小到大排序为65，69，70，75，76，76，78，80，80，81．把10个数据分成两组，共有9种情况：第一组1个数据{65}，第二组9个数据{69，…，81}；第一组2个数据{65，69}，第二组8个数据{70，…，81}；…；第一组9个数据{65，…，80}，第二组1个数据{81}．
以第2种分组情况为例，计算组内离差平方和．其中，第一组有2个数据{65，69}，这2个数据的平均数是67，故第一组数据的组内离差平方和d1＝（65－67）2＋（69－67）2＝8；第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80，80，81}，这8个数据的平均数是77，故第二组数据的组内离差平方和d2＝（70－77）2＋（75－77）2＋…＋（81－77）2＝90，
因此第2种分组情况的组内离差平方和d＝d1＋d2＝8＋90＝98．
同理计算其他8种分组情况的组内离差平方和，结果如下：
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组9个 146.889
第一组2个，第二组8个 98
第一组3个，第二组7个 48
第一组4个，第二组6个 74.25
第一组5个，第二组5个 98
第一组6个，第二组4个 107.583
第一组7个，第二组3个 136.095
第一组8个，第二组2个 182.375
第一组9个，第二组1个 218
计算结果表明，第3种情况的组内离差平方和最小．因此把10个苹果按直径大小分成的两组是{65，69，70}，{75，76，76，78，80，80，81}．
挑战创新
3．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程．
【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一（按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二（按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
10位同学测评分值的分布情况分组数据统计量分析表
分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和
方式一 Ⅰ组 m 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 n 16
10位同学测评分值的分布情况
根据以上信息，解答下面问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角的度数为________°；
（2）m＝________，n＝________；
【判断与决策】
（3）为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由．
【解】（1）36
（2）85 90
（3）方式二利于开展小组学习．
理由：由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，更利于开展小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步．
