(共26张PPT)
第六章 平行四边形
第1 课时 利用边判定平行四边形
2 平行四边形的判定
利用边判定平行四边形
1.(2025江苏宿迁宿城期末)如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,分别以点A,C为圆心,BC,AB的长为半径画弧,两弧交于点D,连接AB,AD,CD,则四边形ABCD是平行四边形,依据是 ( )
A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D.一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形
B
解析 由题意可知AD=BC,CD=AB,∴四边形ABCD是平行四
边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).故选B.
2.【学科特色·教材变式】(2025广东肇庆封开期末)如图,AB=
CD,要使四边形ABCD是平行四边形,还需要补充下列选项中
的 ( )
A.∠1=∠2 B.∠BAD=∠BCD
C.AB∥CD D.∠B=∠D
C
解析 由题意可知AB=CD,当补充条件∠1=∠2时,可得AD∥
BC,不能判定四边形ABCD是平行四边形;当补充条件∠BAD=
∠BCD时,不能判定四边形ABCD是平行四边形;当补充条件
AB∥CD时,能根据平行四边形的判定定理(一组对边平行且
相等的四边形是平行四边形)判定四边形ABCD是平行四边
形;当补充条件∠B=∠D时,不能判定四边形ABCD是平行四边
形.故选C.
3.(2025河北石家庄新华期中)如图,在 ABCD中,点E,F分别在
边AB,CD上,BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.下面是
打乱顺序的证明过程,则正确的步骤排序为 ( )
D
①又∵AE∥CF;②∵BE=DF,∴AB-BE=CD-DF,即AE=CF;
③∴四边形AECF是平行四边形;④∴AB=CD,AB∥CD;
⑤∵四边形ABCD是平行四边形.
A.④①③⑤② B.②④⑤①③
C.⑤④①②③ D.⑤④②①③
解析 ⑤∵四边形ABCD是平行四边形,
④∴AB=CD,AB∥CD,
②∵BE=DF,∴AB-BE=CD-DF,即AE=CF,
①又∵AE∥CF,
③∴四边形AECF是平行四边形.故选D.
4.(2025北京实验学校期中)如图,四边形ABCD中,∠B=∠D,EF
交CD于点G,交AD于点E,交BC的延长线于点F,∠DEF=
∠CFG.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明 ∵∠DEF=∠CFG,∴AD∥BC,∴∠D=∠DCF,∵∠B=
∠D,∴∠B=∠DCF,∴AB∥DC,∴四边形ABCD是平行四边形.
5.(2025四川泸州模拟)如图,∠ACB=∠AED=90°,AC=FE,AB平
分∠CAE,AB∥DF.求证:四边形ABDF是平行四边形.
证明 ∵AB平分∠CAE,∴∠CAB=∠BAE,
∵AB∥DF,∴∠BAE=∠DFE,∴∠CAB=∠EFD,
在△CAB和△EFD中,
∴△CAB≌△EFD,∴AB=FD,
又∵AB∥FD,∴四边形ABDF是平行四边形.
6.(2025广东珠海期中,★★☆)如图,平行四边形ABCD中,E,F
分别为边AB,DC的中点,则图中平行四边形的个数是
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
D
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵E,
F分别为AB,CD的中点,∴AE=EB=DF=FC,∴四边形AEFD是
平行四边形,四边形EFCB是平行四边形,四边形AFCE是平行
四边形,四边形EDFB是平行四边形,∴ED∥BF,AF∥CE,∴四
边形GEHF是平行四边形,∴平行四边形的个数是6.故选D.
7.(2025陕西西安铁一中学模拟,★★☆)如图,在腰长为8的等
腰△ABC中,AB=AC,E,M,F分别是AB,BC,AC上的点,并且ME∥
AC,MF∥AB,则四边形MEAF的周长是 ( )
A.8 B.10 C.12 D.16
D
解析 ∵ME∥AC,MF∥AB,∴四边形MEAF是平行四边形,
∴FM=AE,EM=AF,∵ME∥AC,∴∠EMB=∠C,∵AB=AC,
∴∠B=∠C,∴∠B=∠EMB,∴EM=EB,
∵AB=AC=8,∴平行四边形MEAF的周长=2(AE+EM)=
2(AE+EB)=2AB=2×8=16.故选D.
8.【新考向·动点探究题】(2025浙江宁波海曙期末,★★☆)如
图,在四边形ABCD中,BC=20 cm,AD=8 cm,AD∥BC.点P,Q分
别从点A,C同时出发,点P以2 cm/s的速度沿射线AD运动,点Q
以1 cm/s的速度沿线段BC由点C向点B运动,当点Q运动到点B
时,两点均停止运动,设运动时间为t s,当t=___________时,以P,
Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形.
或8
解析 根据题意可知t≤20,AP=2t cm,CQ=t cm,∴PD=|8-2t| cm,
∵AD∥BC,∴当PD=CQ时,以P,Q,C,D为顶点的四边形是平行
四边形,∴|8-2t|=t,即8-2t=t或2t-8=t,解得t= 或t=8,∴当t=
或t=8时,以P,Q,C,D为顶点的四边形是平行四边形.故答案为
或8.
9.(2025江苏南通田家炳中学月考,★★☆)如图,△ABC中,AB=
AC=5,点E在边BA的延长线上,过点C作CF∥BE,AD平分
∠CAE交CF于点D,若AD=6,求四边形ABCD的周长.
解析 如图,∵AB=AC=5,∴∠1=∠2,
∵AD平分∠CAE,∴∠3=∠4= ∠CAE,
∵∠1+∠2=∠CAE,∴∠1+∠2=∠3+∠4,
∴∠2=∠4,∴BC∥AD,
∵CF∥BE,∴四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=5,BC=AD=6,
∵(5+6)×2=11×2=22,
∴四边形ABCD的周长是22.
10.【新课标·创新意识】(2025广西中考节选)【平行六边形】
如图1,在凸六边形ABCDEF中,AB∥DE,BC∥EF,CD∥FA,
这样的凸六边形叫作“平行六边形”.其中AB与DE,BC与
EF,CD与FA叫作“主对边”.∠BAF和∠CDE,∠ABC和
∠DEF,∠BCD和∠AFE叫作“主对角”.AD,BE,CF叫作
“主对角线”.
(1)类比平行四边形性质,有如下猜想,请判断正误,并在横线上
填写“正确”或“错误”.
猜想 判断正误
平行六边形的三组主对边分别相等
平行六边形的三组主对角分别相等
平行六边形的三条主对角线互相平分
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫作“菱六边形”.
(2)如图2,已知平行六边形OPQRST满足OP=PQ=QR=RS.求证:
平行六边形OPQRST是菱六边形.
解析 (1)错误;正确;错误.
(2)证明:过点Q作QH∥PO,且QH=PO,连接OH,HS,
则四边形PQHO是平行四边形,∴PQ∥OH,PQ=OH,
在平行六边形OPQRST中,PO∥RS,PO=RS,∴QH∥RS,QH=RS,
∴四边形QRSH为平行四边形,∴QR∥HS,QR=HS,
在平行六边形OPQRST中,PQ∥ST,QR∥OT,
∴OH∥ST,HS∥OT,
∴四边形HSTO为平行四边形,
∴HS=OT,OH=ST,∴QR=OT,PQ=ST,
∴PQ=QR=RS=ST=OT=PO,
∴平行六边形OPQRST是菱六边形.(共12张PPT)
综合与实践 开展垃圾处理宣传活动
开展垃圾处理宣传活动 活动 目标 了解垃圾分类处理的方法,认识垃圾分类处理的重要性,发展数据观念,提高运用数学知识解决问题的能力
素材1 垃圾分类事关人居环境改善,是当前世界各国共同关注的迫切问题.某校开展“垃圾分类”宣传活动,一个社团在开展“垃圾分类”宣传活动前、后分别对全校学生开展了抽样调查,将统计数据整理如下:
素材1 开展“垃圾分类”宣传活动前各类别统计表
开展“垃圾分类”宣传活动后各类别统计图
素材2 该校为更好地进行垃圾分类,准备购进A,B两种品牌的垃圾桶,购买时发现,B品牌垃圾桶的单价比A品牌垃圾桶的单价多50元,用2 000元购买A品牌垃圾桶的个数是用1 500元购买B品牌垃圾桶个数的2倍
问题解决 任务1 (1)开展“垃圾分类”宣传活动前,抽取的学生中哪一类别的人数最多 占抽取人数的百分之几
(2)开展“垃圾分类”宣传活动后,社团随机抽取了
200人进行调查,李琳同学发现“都不分类”的人数为200×8%=16,与宣传活动前的人数一样,所以认为“垃圾分类”宣传活动开展不到位.她分析数据的方法是否合理 请结合统计图表,对学校开展“垃圾分类”宣传活动的效果谈谈你的看法
任务2 (1)求A,B两种品牌垃圾桶的单价.
(2)该校决定购进A,B两种品牌垃圾桶共20个,购买的总费用不超过2 500元,那么该校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶
解析 任务一:
(1)宣传活动前,抽取的学生中C类的人数最多,占抽取人数的
百分比为 ×100%=52%.
(2)不合理.宣传活动前“都不分类”的人数所占的百分比为
×100%=16%,
活动后“都不分类”的人数所占的百分比为8%,
因为8%<16%,
所以她分析数据的方法不合理.
人数所占的百分比为 ×100%=32%,活动后“每次分类”
和“经常分类”的人数所占的百分比为45%+35%=80%,有大
幅提升,所以学校开展“垃圾分类”宣传活动的效果非常好.
(看法合理即可)
任务2:
(1)设A品牌垃圾桶的单价为x元,则B品牌垃圾桶的单价为(x+50)元,依题意得 = ×2,解得x=100,
由题中统计图表可知活动前“每次分类”和“经常分类”的
经检验,x=100是原方程的解,且符合题意,
∴x+50=100+50=150.
答:A品牌垃圾桶的单价为100元,B品牌垃圾桶的单价为150元.
(2)设购买B品牌垃圾桶y个,则购买A品牌垃圾桶(20- y)个,
依题意得100(20- y)+150y≤2 500,解得y≤10.
答:最多可以购买B品牌垃圾桶10个.(共38张PPT)
第六章 平行四边形
第1 课时 平行四边形的定义及其边、角性质
1 平行四边形的性质
平行四边形的定义
1.(2024江西上饶鄱阳二中期中)如图所示,A'B'∥AB,B'C'∥BC,
C'A'∥CA,图中有_________个平行四边形.
3
解析 ∵A'B'∥AB,B'C'∥BC,C'A'∥CA,
∴四边形AC'BC、四边形ABCB'、四边形ABA'C是平行四边
形.故答案为3.
平行四边形的性质
2.下列命题是真命题的是 ( )
A.平行四边形是轴对称图形,但不是中心对称图形
B.平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形
C.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形
D.平行四边形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形
B
解析 平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形.故选B.
3.(2025江苏淮安涟水期末)如图,在 ABCD中,AD=4,AB=2,则
ABCD的周长是 ( )
A.6 B.8 C.12 D.16
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD,CD=AB,
∵AD=4,AB=2,∴BC+AD+CD+AB=2AD+2AB=2×4+2×2=12,
∴ ABCD的周长为12.故选C.
4.(2025天津期末)如图,在平行四边形ABCD中,CE⊥AB,垂足
为E.若∠BCE=32°,则∠D的大小为 ( )
A.68° B.58° C.48° D.32°
B
解析 ∵CE⊥AB,∠BCE=32°,∴∠B=90°-32°=58°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=58°.故选B.
5.(2025江苏淮安淮阴期末)如图,在平行四边形ABCD中,AB=
13,AD=5,AC⊥BC,则平行四边形ABCD的面积为 ( )
A.12 B.30 C.60 D.65
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,AD=5,
∴BC=AD=5,∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,
∵AB=13,∴AC= = =12,
∴S ABCD=BC·AC=5×12=60.故选C.
6.(2025北京石景山期末)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE
⊥BC于点E.若∠C=130°,则∠BAE的度数为___________.
40°
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B+∠C=180°,
∵∠C=130°,∴∠B=50°,∵AE⊥BC,
∴∠AEB=90°,∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°.
故答案为40°.
7.【学科特色·方程思想】(2025广东广州荔湾期末)若平行四
边形中相邻的两个内角的度数比为1∶5,则其中较小内角的
度数是___________.
30°
解析 ∵平行四边形中相邻的两个内角的度数比为1∶5,
∴设相邻两个内角的度数分别为x,5x.由平行四边形的邻角互
补,可得x+5x=180°,∴x=30°,∴较小内角的度数为30°.
故答案为30°.
8.(2025吉林长春南关期末)如图,在 ABCD中,E,F是BD上的
两点且BE=DF,连接AE,CF.求证:∠AED=∠CFB.
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,AD∥CB,∴∠ADE=∠CBF,
∵BE=DF,∴BE+EF=DF+EF,∴BF=DE,
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF,∴∠AED=∠CFB.
9.(2025四川宜宾中考)如图,点E是平行四边形ABCD的边CD
的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F,AD=5.求证:
△ADE≌△FCE,并求BF的长.
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,BC=AD=5,∴∠D=∠FCE,
∵E是CD的中点,∴DE=CE,
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE,∴FC=AD=5,
∴BF=BC+FC=5+5=10.
10.(2025河北沧州任丘模拟,★★☆)嘉淇不慎将一块平行四
边形的教学模具打碎成如图所示的四块,为配到一块与原来
相同的平行四边形模具,她需要带的两块碎片的编号是
( )
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
D
解析 ②和④两块玻璃的两组对边分别平行,并且中间部分
相连,分别延长这组对角的两边,延长线的交点就是平行四边
形另外两个顶点.故选D.
11.(2025湖北中考,★★☆)如图,平行四边形ABCD的对角线交
点是原点.若A(-1,2),则点C的坐标是 ( )
A.(2,-1) B.(-2,1) C.(1,-2) D.(-1,-2)
C
解析 根据平行四边形是中心对称图形可知,点A与点C关于
原点对称,∵A(-1,2),∴C(1,-2).故选C.
12.(2025江苏苏州姑苏期末,★★☆)如图,在 ABCD中,点E在
边BC上,AB=BE,作DF⊥AE于点F,若∠ADF=54°,则∠B的度数
为____________.
108°
解析 ∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°,
∵∠ADF=54°,∴∠DAE=90°-∠ADF=36°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,
∴∠BEA=∠DAE=36°,
∵AB=BE,∴∠BAE=∠BEA=36°,
∴∠B=180°-∠BAE-∠BEA=108°.故答案为108°.
13.(2025河南郑州期末,★★☆)如图,在 ABCD中,点E是BC
的中点,且BC=2AB=4,当∠B=60°时,DE的长为__________.
2
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AD=BC,AD∥BC,∠ADC=∠B=60°,∵BC=2AB=4,
∴AD=4,DC=AB=2,
∵点E是BC的中点,∴EB=EC= BC=2,
∴AB=EB=DC=EC,∴∠CED=∠CDE,
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CED=∠CDE,
∴∠ADE= ∠ADC=30°,
∵AB=BE=2,∠B=60°,
∴△ABE是等边三角形,
∴AE=AB=2,∠DAE=∠AEB=60°,
∴∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=90°,
∴DE= = =2 .故答案为2 .
14.【新课标·推理能力】(2024吉林长春南关期中)如图,在
ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,交AC于点E,G.
(1)求证:BE=DG,BE∥DG.
(2)过点E作EF⊥AB于点F,已知EF=3, ABCD的周长为28,求
ABCD的面积.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∠ABC=∠ADC,
∴∠BAE=∠DCG, ∠ABC= ∠ADC,
∵BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC,
∴∠ABE= ∠ABC,∠CDG= ∠ADC,∴∠ABE=∠CDG,
在△ABE和△CDG中,
∴△ABE≌△CDG(ASA),
∴BE=DG,∠AEB=∠CGD,∴BE∥DG.
(2)如图,过点E作EH⊥BC于点H,
∵BE平分∠ABC,EH⊥BC于点H,EF⊥AB于点F,∴EH=EF=3,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=CB,
∵ ABCD的周长为28,
∴2AB+2CB=28,∴AB+CB=14,
∴S△ABC=S△ABE+S△CBE= AB·EF+ CB·EH= ×3(AB+CB)
= ×3×14
=21,
易知S△CDA=S△ABC=21,
∴S ABCD=S△CDA+S△ABC=21+21=42.
微专题 平行四边形+内角平分线模型
1.(2025新疆中考)如图,在 ABCD中,∠BCD的平分线交AB于
点E,若AD=2,则BE=_________.
2
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,AD=2,
∴BC=AD=2,AB∥CD,∴∠DCE=∠BEC,
∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE,
∴∠BCE=∠BEC,∴BE=BC=2.故答案为2.
2.(2025浙江宁波余姚期末)如图,在 ABCD中,AB=6,BC=9,
∠ABC的平分线交AD于点E,∠BCD的平分线交AD于点F,
则线段EF的长是_________.
3
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DFC=∠FCB,∵CF平分∠BCD,
∴∠DCF=∠FCB,∴∠DFC=∠DCF,∴DF=DC,
同理可证AE=AB,∵AB=CD=6,AD=BC=9,
∴EF=AE+FD-AD=2AB-AD=3.故答案为3.
3.如图,在 ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点E,交CD的延长
线于点F,若AB=5 cm,BC=9 cm,则DE+DF=____________.
8 cm
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=
9 cm,CD=AB=5 cm,∴∠AEB=∠CBF,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF,∴∠AEB=∠ABF,
∴AE=AB=5 cm,同理可得CF=BC=9 cm.
∵DE=9-5=4(cm),DF=9-5=4(cm),∴DE+DF=4+4=8(cm).(共32张PPT)
第六章 平行四边形
3 三角形的中位线
三角形中位线的概念
1.下列说法正确的是 ( )
A.三角形的中位线是射线
B.三角形的中位线是线段
C.三角形的中位线与三角形的中线是相同线段
D.任意一个三角形只有一条中位线
B
解析 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线,
∴三角形的中位线是线段,而不是射线,故选项A不符合题意,
选项B符合题意;连接三角形的顶点和它对边中点的线段叫作
三角形的中线,∴三角形的中位线、中线不是同一条线段,故
选项C不符合题意;任意三角形都有三条中位线,故选项D
不符合题意.故选B.
三角形中位线的性质
2.(2025福建厦门海沧期末)如图,△ABC中,点D,E分别是边BC,
AC的中点,AB=4,BC=3,AC=6,则DE的长为 ( )
A.6 B.4 C.3 D.2
D
解析 ∵点D,E分别是边BC,AC的中点,∴DE是△ABC的中位
线,∴DE= AB= ×4=2.故选D.
3.(2025广东中考)如图,点D,E,F分别是△ABC各边的中点,∠A
=70°,则∠EDF= ( )
A.20° B.40° C.70° D.110°
C
解析 ∵点D,E分别是BC,AB的中点,∴DE是△ABC的中位
线,∴DE∥AC,∴∠DEB=∠A=70°,同理可得DF∥AB,
∴∠EDF=∠DEB=70°.故选C.
4.(2025陕西西安碑林期末)如图,在△ABC中,点D,E,F分别是
边AB,BC,CA的中点,连接DE,EF,FD,若△ABC的周长是12 cm,
则△DEF的周长为 ( )
A.9 cm B.8 cm C.6 cm D.5 cm
C
解析 ∵△ABC的周长是12 cm,
∴AC+AB+BC=12 cm,
∵点D,E,F分别是边AB,BC,CA的中点,
∴DE= AC,EF= AB,DF= BC,
∴DE+EF+DF= (AC+AB+BC)=6 cm,
∴△DEF的周长为6 cm.故选C.
5.(2025浙江杭州期中)如图,为了测量池塘B,C两点的距离,圆
圆在池塘外取点A,得到线段AB,AC,并分别取AB,AC的中点M,
N,连接MN.若测得MN的长为5米,则池塘B,C两点的距离为____
_____米.
10
解析 ∵M,N分别是AB,AC的中点,
∴MN是△ABC的中位线,
∴BC=2MN=2×5=10(米).故答案为10.
6.(2025安徽合肥四十五中期末)如图,等边三角形ABC的边长
是4,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF= BC,连接
DE,CD,EF.
(1)请判断四边形CDEF的形状,并说明理由.
(2)求EF的长.
解析 (1)四边形CDEF为平行四边形.
理由:∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE∥CB,DE= BC,∴DE∥CF.
∵CF= BC,∴DE=CF,∴四边形CDEF为平行四边形.
(2)∵四边形CDEF为平行四边形,∴CD=EF.∵D为AB的中点,
三角形ABC为等边三角形,AB=BC=4,∴CD⊥AB,BD=2,
∴EF=CD= =2 .
7.(2025黑龙江龙东地区中考,★★★)如图,在Rt△ABC中,∠B
=90°,点D,E分别在边AB和BC上,且AD=4,CE=3,连接DE,点M,
N分别是AC,DE的中点,连接MN,则MN的长度为 ( )
A. B. C.2 D.
A
解析 如图,连接CD,取CD的中点K,连接MK,NK,∵点M,N分
别是AC,DE的中点,∴MK,NK分别是△ACD和△DCE的中位
线,∴MK∥AB,NK∥BC,MK= AD,NK= CE,∵AD=4,CE=3,
∴MK=2,NK= ,∵∠B=90°,∴AB⊥BC,∴MK⊥NK,
∴∠MKN=90°,
∴MN= = .故选A.
8.(2025浙江宁波七中模拟,★★☆)如图,D是△ABC内一点,
AD=7,BC=6,若E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,则四边形
EFGH的周长是__________.
13
解析 ∵E,F,G,H分别是AB,AC,CD,BD的中点,∴EH=FG=
AD,EF=GH= BC,∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF
=AD+BC=7+6=13.故答案为13.
9.(2025天津鉴开中学期中,★★☆)如图,E为平行四边形
ABCD的边DC的延长线上一点,且CE=DC,连接AE,分别交BC,
BD于点F,G,连接AC交BD于点O,连接OF.判断AB与OF的关
系,并证明你的结论.
解析 AB∥OF,AB=2OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BA=DC,BA∥DC,AO=
CO,∴∠BAF=∠E,∵CE=DC,∴BA=CE,在△AFB和△EFC中,
∠AFB=∠EFC,∠BAF=∠E,BA=CE,∴△AFB≌△EFC,
∴BF=CF,∵O,F分别是AC,BC的中点,∴OF是△ACB的中位线,∴AB∥OF,AB=2OF.
10.【新课标·推理能力】(2025浙江杭州竺可桢学校期中)
【三角形中位线定理】
如图1,在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中点,直接写出DE
和BC的关系.
【应用】
如图2,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,若BC=
5,CD=3,EF=2,∠AFE=45°,求∠ADC的度数.
【拓展】
如图3,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点E,点M,N分别为AD,
BC的中点,MN分别交AC,BD于点F,G,EF=EG.求证:BD=AC.
解析 【三角形中位线定理】DE∥BC,DE= BC.
【应用】如图,连接BD,∵E,F分别是边AB,AD的中点,∴EF∥
BD,BD=2EF=4,∴∠ADB=∠AFE=45°,
∵BC=5,CD=3,∴BD2+CD2=25,BC2=25,
∴BD2+CD2=BC2,∴∠BDC=90°,
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°.
【拓展】证明:如图,取DC的中点H,连接MH,NH.∵M,H分别是
AD,DC的中点,∴MH是△ADC的中位线,
∴MH∥AC,且MH= AC,
同理可得NH∥BD,且NH= BD.
∵EF=EG,∴∠EFG=∠EGF,
∵MH∥AC,NH∥BD,∴∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM,
∴∠HMN=∠HNM,∴MH=NH,∴AC=BD.
微专题 构造三角形中位线的方法
类型一 作延长线构造三角形的中位线
1.(2025山东济南育英中学期末)如图,△ABC中,∠BAD=∠CAD,
BE=CE,AD⊥BD,AB=5,AC=9,则DE的长为 ( )
A.7 B.4 C.2 D.5
C
解析 如图,延长BD交AC于点F,
∵AD⊥BD,∴∠ADB=∠ADF=90°,
∵∠BAD=∠FAD,AD=AD,∴△ABD≌△AFD(ASA),∴BD=
DF,AF=AB=5,∴CF=AC-AF=9-5=4,
∵BE=CE,∴DE是△BCF的中位线,
∴DE= CF=2.故选C.
类型二 连接两点构造三角形的中位线
2.(2025天津滨海新区期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=5,
AC=4,D,E分别是边AB,AC上的动点,F,G分别是ED,EC的中点,
则FG长度的最小值是_________.
解析 如图,连接CD,∵F,G分别是ED,EC的中点,∴FG是
△EDC的中位线,∴FG= CD,当CD的长最小时,FG的长最小,
当CD⊥AB时,CD的长最小,
在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=4,
∴BC= =3,
当CD⊥AB时,S△ABC= AC·BC= AB·CD,
∴ ×4×3= ×5CD,解得CD= ,∴FG长度的最小值为 .
类型三 已知中点,取其他边的中点构造三角形的中位线
3.(2025江苏南京鼓楼期末)如图,在四边形ABCD中,AB=3,CD=
5,E,F分别为AD,BC的中点,则EF长的取值范围是__________.
1解析 如图,连接AC,取AC的中点H,连接EH,FH.∵H为AC的
中点,E为AD的中点,∴EH是△ACD的中位线,∴EH= CD= ,
同理可得FH= AB= ,
∵EH-FH故答案为1综合与实践 设计美丽的镶嵌图案
探究用正多边形进行图案镶嵌 活动目标 了解镶嵌的意义,体验镶嵌的方法,感悟镶嵌的原理,提升设计镶嵌图案的能力
平面图形 的镶嵌 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,就是平面图形的镶嵌
素材1 大到市民广场,小到家居装修,常常用形状各异的瓷砖来铺设
素材2 使用给定的某些多边形,能够拼成一个平面图形,既不留下一丝空隙,又不互相重叠.用多种正多边形进行平面密铺的条件:①围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好等于一个周角;②边长相等.如图,用2个正三角形和2个正六边形可以进行平面密铺
任务1 用两种边长相等的正多边形进行平面密铺,以下哪几种是可行的 .(填序号)
A.正三角形和正方形
B.正方形和正五边形
C.正八边形和正六边形
D.正三角形和正十二边形
E.正三角形和正五边形
任务2 如图,某文化广场的地面是由正五边形与图形 密铺而成的,求∠ABC的度数
任务3 请写出两种用三种不同的正多边形(边长相等)进行平面密铺的组合
解析 任务1:
A.设正三角形有x个,正方形有y个,由题意得60x+90y=360,方
程的一组正整数解为
∴用正三角形和正方形能进行平面密铺,需要3个正三角形和
2个正方形.
B.设正方形有x个,正五边形有y个,
由题意得90x+108y=360,此方程无正整数解,
∴用正方形和正五边形不能进行平面密铺.
C.设正八边形有x个,正六边形有y个,
由题意得135x+120y=360,此方程无正整数解,
∴用正八边形和正六边形不能进行平面密铺.
D.设正三角形有x个,正十二边形有y个,
由题意得60x+150y=360,方程的一组正整数解为
∴用正三角形和正十二边形能进行平面密铺,需要1个正三角
形和2个正十二边形.
E.设正三角形有x个,正五边形有y个,
由题意得60x+108y=360,此方程无正整数解,
∴用正三角形和正五边形不能进行平面密铺.故答案为AD.
任务2:
∵正五边形的一个内角的度数为 =108°,
∴∠ABC= ×(360°-3×108°)=18°.
任务3:
答案不唯一.以下三种方案中选取两种即可.
①正三角形,正方形,正六边形.
②正三角形,正九边形,正十八边形.
③正方形,正六边形,正十二边形.(共30张PPT)
第六章 平行四边形
第3课时 平行线间的距离及平行四边形的性质和判定的综合
2 平行四边形的判定
平行线间的距离
1.(2025河北邢台任泽期中)如图所示,a,b是两条平行线,则表
示这两条平行线间距离的线段有 ( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
D
解析 表示两条平行线间距离的线段有无数条.故选D.
2.(2025浙江金华东阳期末)如图,直线m∥n,则下列选项中能
表示直线m,n之间的距离的是 ( )
A.线段AB的长
B.线段AC的长
C.线段AD的长
D.线段DE的长
B
解析 ∵直线m∥n,AC⊥n,∴线段AC的长是直线m,n之间的
距离.故选B.
3.(2025黑龙江哈尔滨阿城期中)如图,直线m∥n,点C,D,E在直
线m上,四边形ABED为平行四边形,若△ABC的面积为3,则平
行四边形ABED的面积是_________.
6
解析 如图,过C点作CF⊥n于点F,过E点作EH⊥n于点H.
∵m∥n,∴CF=EH,
∴S ABED=AB·EH=AB·CF,
∵S△ABC=3,∴ AB·CF=3,∴AB·CF=6,
∴S ABED=6.故答案为6.
4.(2025上海黄浦期末)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,连接AC,
BD,已知梯形ABCD的面积为17,△BDC的面积为12,那么
△ADC的面积为_________.
5
解析 ∵梯形ABCD的面积为17,△BDC的面积为12,
∴△ADB的面积为17-12=5,
∵AD∥BC,∴S△ADC=S△ADB=5.故答案为5.
5.如图,AD∥BC,AB∥EF,CD∥EG,∠A=∠D,点E在直线AD上,
点F,H,G在直线BC上,EH平分∠FEG,线段EH的长是不是两条
平行线AD,BC之间的距离 为什么
解析 线段EH的长是两条平行线AD,BC之间的距离.
理由:∵AB∥EF,CD∥EG,
∴∠AEF+∠A=180°,∠DEG+∠D=180°,
∵∠A=∠D,∴∠AEF=∠DEG,
∵EH平分∠FEG,∴∠FEH=∠GEH,
∴∠AEF+∠FEH= ×180°=90°,
即∠AEH=90°,∴EH⊥AD,
∵AD∥BC,∴线段EH的长是两条平行线AD,BC之间的距离.
平行四边形的性质和判定的综合
6.(2025北京朝阳月考)如图,E是 ABCD的边AD的延长线上
一点,连接BE,CE,BD,BE交CD于点F.添加以下条件,不能判定
四边形BCED为平行四边形的是 ( )
A.BD∥CE
B.DE=BC
C.∠AEC=∠CBD
D.∠AEB=∠BCD
D
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,
∠A=∠BCD,∠ABC=∠ADC,∵点E是AD延长线上一点,∴DE∥
BC.当添加BD∥CE时,根据“两组对边分别平行的四边形是
平行四边形”可证四边形BCED是平行四边形;当添加DE=BC
时,根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可
证四边形BCED是平行四边形;当添加∠AEC=∠CBD时,
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠AEC=∠ADB,∴BD∥CE,
∵DE∥BC,∴四边形BCED是平行四边形;当添加∠AEB=
∠BCD时,不能证明四边形BCED是平行四边形.故选D.
7.(2025安徽中考)在如图所示的 ABCD中,E,G分别为边AD,
BC的中点,点F,H分别在边AB,CD上移动(不与端点重合),且满
足AF=CH,则下列选项中为定值的是 ( )
A.四边形EFGH的周长
B.∠EFG的大小
C
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
解析 如图,连接EG,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
AD=BC.∵E,G分别为边AD,BC的中点,∴AE=DE=BG=CG,
∴四边形ABGE和四边形DEGC是平行四边形,
∴S△EGF= S平行四边形ABGE,S△EHG= S平行四边形DEGC,
∴四边形EFGH的面积=S△EGF+S△EHG
= S平行四边形ABGE+ S平行四边形DEGC
= S平行四边形ABCD,∴四边形EFGH的面积是定值.故选C.
8.(2025浙江嘉兴海宁期末)如图,在 ABCD中,点E,F分别在
BA,DC的延长线上,且BE=DF,连接AF,交BC于点H,连接EC.
(1)求证:四边形EAFC是平行四边形.
(2)若∠E=∠D=55°,求∠AHB的度数.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∵BE=DF,∴BE-AB=DF-CD,∴AE=CF,
∵AE∥CF,∴四边形EAFC是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠BCF=∠D=55°,
∵四边形EAFC是平行四边形,
∴∠F=∠E=55°,
∴∠AHB=∠CHF=180°-∠F-∠BCF=70°.
9.(★★☆)如图,直线a∥b,点A,C,F在直线a上,点B,D,E,G在直
线b上,AB∥CD,CE⊥b,FG⊥b,则下列说法中不正确的有
( )
①AB=FG;②A,B两点间的距离就是线段AB的长;③EC=FG;
④两平行直线a,b间的距离就是线段CD的长.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
解析 AB>FG,故①说法不正确,符合题意;②A,B两点间的距
离就是线段AB的长,说法正确,故②不符合题意;③EC=FG,说
法正确,故③不符合题意;④两平行直线a,b间的距离就是线段
CE(FG)的长,故④说法不正确,符合题意.∴不正确的有2个.故
选B.
10.(2025福建福州连江期末,★★☆)如图,平行四边形ABCD的
对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD,BC于
点E,F,若图中阴影部分的面积为3 cm2,BC=4 cm,则AD与BC之
间的距离为_________cm.
3
解析 设AD与BC之间的距离为h cm.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB,AD∥BC,∴∠ODE=∠OBF,
在△EOD和△FOB中,∠ODE=∠OBF,OD=OB,∠EOD=
∠FOB,∴△EOD≌△FOB,∴S△BOF=S△DOE,∴S阴影=S△DOE+S△COF=
S△BOF+S△COF=S△BOC= S平行四边形ABCD,∵阴影部分的面积为3 cm2,
∴平行四边形ABCD的面积为12 cm2,∴4h=12,∴h=3.
故答案为3.
11.(2025河南开封期中,★★☆)如图, ABCD的对角线AC与
BD相交于点O,其周长为54,且△AOB的周长比△BOC的周长
小7.
(1)求边AB和BC的长.
(2)若BD=21,过点C作CE⊥BD于点E,且CE=8,求AB和CD之间
的距离.
解析 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,DA=BC,OA=OC,
∵ ABCD的周长为54,
∴2AB+2BC=54,∴AB+BC=27,
∵△AOB的周长比△BOC的周长小7,
∴BC+OB+OC-(AB+OB+OA)=7,
∴BC=AB+7,∴AB+AB+7=27,∴AB=10,
∴BC=17,∴边AB和BC的长分别为10和17.
(2)如图,过C点作CF⊥AB于点F,易知△BAD≌△DCB,
∵BD=21,CE⊥BD,CE=8,
∴S△BAD=S△DCB= BD·CE= ×21×8=84,
∴S ABCD=AB·CF=2S△DCB=168,
∴10CF=168,∴CF= ,
∴AB和CD之间的距离为 .
12.【新课标·几何直观】(2024浙江宁波慈溪期中)观察图1,直
线l1∥l2,点A,B在直线l2上,点C1,C2,C3,C4在直线l1上,△ABC1,
△ABC2,△ABC3,△ABC4这些三角形的面积有怎样的关系
请说明理由.
现在我们来探讨以下问题:
(1)若把图2中的四边形ABCD改成一个三角形,并保持面积不
变,可怎样改 请画图说明.
(2)若把图3中的四边形ABCD改成一个以AB为一条边的梯形
或平行四边形,并保持面积不变,可怎样改 请画图说明.
解析 △ABC1,△ABC2,△ABC3,△ABC4这些三角形的面积相等.
理由:∵直线l1∥l2,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3,△ABC4的边AB上的高相等,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3,△ABC4这些三角形同底等高,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3,△ABC4这些三角形的面积相等.
(1)答案不唯一,参考答案如图.
作图过程:①连接AC,②过点D作AC的平行线,
与BC的延长线交于点E,③连接AE,则△ABE
就是符合条件的三角形.
(2)答案不唯一,参考答案如下:将四边形ABCD改成一个以AB为一条边的平行四边形,如图,第一步:把四边形ABCD等积变成以AB为一条边的△ABE(连接BD,过C作CE∥BD交AD的延长线于E,连接BE),第二步:把△ABE等积变成以AB为一条边的平行四边形ABFG(作出△ABE的高EH,作EH的垂直平分线MN,N交AE于G,交EH于O,过B作BF∥AE交MN于F).
将四边形ABCD改成一个以AB为一条底边的梯形,如图,连接
BD,过C点作BD的平行线CE,过D点作AB的平行线DE,两直线
交于点E,连接BE,则梯形ABED与四边形ABCD面积相等.
(共20张PPT)
第六章 平行四边形
第2课时 利用对角线判定平行四边形
2 平行四边形的判定
利用对角线判定平行四边形
1.(2025河北石家庄新华期中)在四边形ABCD中,对角线AC,
BD交于点O,OB=OD.添加下列条件中的一个,可使四边形
ABCD是平行四边形的有 ( )
①OA=OC;②AB=CD;③AD∥BC.
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
B
解析 添加①OA=OC,∵OB=OD,OA=OC,∴四边形ABCD是
平行四边形;添加②AB=CD,无法判定四边形ABCD是平行四
边形;添加③AD∥BC,则∠ADO=∠OBC,∵OB=OD,∠AOD=
∠BOC,∴△AOD≌△COB,∴AD=BC,∵AD∥BC,∴四边形
ABCD是平行四边形.故选B.
2.【新考向·尺规作图】已知△ABC(如图1),根据图2,3中的尺
规作图痕迹直接判定四边形ABCD是平行四边形的依据是
( )
根据图2,3中的尺规作图痕迹直接判定四边形ABCD是平行四边形的依据是 ( )
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
解析 由题图3可知AO=OC,BO=OD,根据对角线互相平分的
四边形是平行四边形可知,四边形ABCD是平行四边形.故选B.
B
3.如图,四边形ABCD的对角线交于点O,且O为AC的中点,E,F
在直线AC上,AE=CF,DF∥BE,求证:四边形ABCD是平行四边
形.
证明 ∵O为AC的中点,∴OA=OC,
∵AE=CF,∴OE=OF,
∵DF∥BE,∴∠E=∠F,
在△BOE和△DOF中,
∴△BOE≌△DOF(ASA),∴OB=OD,
又∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形.
4.(2025山东聊城阳谷期中,★★☆)根据所标数据,不能判定下
列四边形是平行四边形的是 ( )
C
解析 选项A,由题图得四边形的两条对角线互相平分,所以
四边形是平行四边形,不符合题意;选项B,由题图得四边形两
组对边分别相等,所以四边形是平行四边形,不符合题意;选项
C,由题图得四边形一组对边平行,另一组对边相等,不能判定
四边形是平行四边形,符合题意;选项D,由题图得四边形两组
对边分别平行,所以四边形是平行四边形,不符合题意.故选C.
5.(2024山东枣庄市中期末,★★☆)如图,平行四边形ABCD的
对角线AC,BD相交于点O,E,F是对角线AC上的两点,给出下列
4个条件:①OE=OF;②DE=BF;③∠ADE=∠BCF;④∠ABE=
∠CDF,其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的是_______.
(填序号)
②③
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,
AD∥BC,AD=BC,OB=OD,OA=OC,
当添加①OE=OF时,∵OE=OF,OB=OD,∴四边形DEBF是平
行四边形.
当添加②DE=BF时,不能判定四边形DEBF是平行四边形.
当添加③∠ADE=∠BCF时,不能判定四边形DEBF是平行四
边形.
当添加④∠ABE=∠CDF时,∵AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,
又∵OB=OD,∴四边形DEBF是平行四边形.故答案为②③.
6.【学科特色·分类讨论思想】(2025云南昆明二十四中期中,
★★★)已知直角坐标系内有四个点A(0,0),B(5,0),C(2,3),D(x,y),
若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为
___________________________.
(3,-3)或(-3,3)或(7,3)
解析 设点D的坐标为(x,y).①当AB为平行四边形的对角线
时,AB的中点的坐标为 ,即 ,则 = , =
0,解得x=3,y=-3,所以点D的坐标为(3,-3);
②当AC为平行四边形的对角线时,AC的中点的坐标为
,即 ,则 =1, = ,解得x=-3,y=3,
所以点D的坐标为(-3,3);
③当BC为平行四边形的对角线时,BC的中点的坐标为
,即 ,则 = , = ,解得x=7,y=3,
所以点D的坐标为(7,3).
综上,点D的坐标为(3,-3)或(-3,3)或(7,3).
7.(2025陕西榆林横山期末,★★☆)如图,四边形ABCD是平行
四边形,线段MF在 ABCD的左侧,连接MA,MD,FB,FC,四边形
MABF的对角线AF和BM交于点O,且OA=OF,OM=OB.求证:四
边形DMFC是平行四边形.
证明 ∵OA=OF,OM=OB,
∴四边形MABF是平行四边形,
∴FM∥AB,FM=AB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,CD=AB,
∴FM∥CD,FM=CD,
∴四边形DMFC是平行四边形.(共37张PPT)
第六章 平行四边形
第2 课时 平行四边形对角线的性质及梯形
1 平行四边形的性质
平行四边形对角线的性质
1.(2025浙江金华兰溪期末)如图,O是 ABCD对角线的交点,
△OAD的周长为50,BD=32,AC=24,则BC的长为 ( )
A.18 B.20 C.22 D.26
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,对角线BD与AC交于点
O,BD=32,AC=24,
∴AD=BC,OD=OB= BD=16,OA=OC= AC=12.
∵△OAD的周长为50,∴AD+OD+OA=50,
∴BC+16+12=50,∴BC=22.故选C.
2.【学科特色·教材变式】(2025浙江杭州钱塘期末)如图,
ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB⊥AC.若AC=6,
BD=10,则AB的长为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
A
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD交于点O,
AC=6,BD=10,
∴OA=OC= AC=3,OB=OD= BD=5,
∵AB⊥AC,∴∠OAB=90°,
∴AB= = =4.故选A.
3.(2025山东济宁邹城期中)如图, ABCD的对角线AC,BD相
交于点O,若S△AOB=2,则 ABCD的面积为_________.
8
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点
O,
∴OA=OC,OB=OD,
∴S△AOD=S△DOC=S△COB=S△AOB=2,
∴S ABCD=4S△AOB=8.故答案为8.
4.(2025福建泉州洛江期末)如图, ABCD的对角线AC,BD相
交于O点.E,F分别是OB,OD的中点,连接AF,CE.求证:AF=CE.
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点
O,∴OA=OC,OD=OB.∵F,E分别是OD,OB的中点,∴OF= OD,
OE= OB,∴OF=OE,在△AOF和△COE中,OA=OC,∠AOF=
∠COE,OF=OE,∴△AOF≌△COE,∴AF=CE.
5.(2025河南信阳期中)如图, ABCD与 EBFD的顶点A,E,F,
C在同一条直线上.求证:AE=CF.
证明 如图,连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD与四边形EBFD都是平行四边形,∴AO=CO,
EO=FO,∴AO-EO=CO-FO,
∴AE=CF.
梯形
6.(2024广东深圳南山月考)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是
AB的中点,CE恰好平分∠BCD,若AD=3,BC=4,则CD的长是
( )
A.5 B.6 C.7 D.8
C
解析 如图,延长CE交DA的延长线于点F,
∵AD∥BC,∴∠1=∠3,∵E是AB的中点,∴AE=EB,又∠AEF=
∠BEC,∴△AEF≌△BEC,∴AF=BC,∵CE平分∠BCD,∴∠1=
∠2,∴∠2=∠3,∴CD=DF=AD+AF=AD+BC=7.故选C.
7.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,AB⊥AC,求∠B
的度数.
解析 设∠CAD=x°,∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AD∥BC,
AB=CD,∠B=∠BCD,∴∠CAD=∠ACB=x°,∵AB=AD,∴AD=
CD,∴∠ACD=∠CAD=x°,
∴∠B=∠BCD=2x°.在△ABC中,AB⊥AC,∴∠ACB+∠B=90°,
∴x+2x=90,解得x=30,∴∠B=2×30°=60°.
8.【学科特色·多解法】(2025河南洛阳洛宁期末,★★☆)如图,
EF过平行四边形ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC
于点F,若平行四边形ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形
EFCD的周长为 ( )
A
A.12 B.10 C.13 D.14
解析 【解法一】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,
BC=AD,OA=OC,AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,在△AEO与
△CFO中,∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF,∴△AEO≌
△CFO,∴OE=OF=1.5,AE=CF,∵平行四边形ABCD的周长为
18,∴CD+AD=9,∴四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+EF=AD+
CD+EF=9+3=12.故选A.
【解法二】∵平行四边形ABCD是中心对称图形,O为对称中
心,∴OE=OF=1.5,四边形EFCD的周长=四边形EABF的周长=
平行四边形ABCD的周长的一半+EF=9+EF.∴EF=OE+OF=3,
∴四边形EFCD的周长=9+3=12.故选A.
9.(2025四川达州达川期末,★★☆)如图,在 ABCD中,对角线
AC,BD交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E.若AE=4,DE=2,
DC=2 ,则AC的长为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.4
C
解析 如图,连接CE,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,CD=AB=2 ,
∵OE⊥AC,∴OE垂直平分AC,
∴CE=AE=4,
∵CE2+DE2=42+22=20,CD2=(2 )2=20,
∴CE2+DE2=CD2,
∴△CDE是直角三角形,∠CED=90°,
∴∠AEC=90°,
∴AC= = =4 .故选C.
10.(2025广东江门一中景贤学校期中,★★☆)如图,在 ABCD
中,AB⊥AC,点E是AD的中点,作EF⊥BD于点F,若AB=4,AC=6,
则EF的长为_________.
解析 如图,连接OE,∵四边形ABCD是平行四边形,AC=6,
∴OA= AC=3,OB=OD,
∴S△OAD=S△OAB,∵AB⊥AC,∴∠OAB=90°,
∴S△OAD=S△OAB= AB·OA= ×4×3=6,OB= = =
5,∴OD=5,
∵点E是AD的中点,
∴S△OAE=S△ODE= S△OAD= ×6=3,
∵EF⊥BD,∴S△ODE= OD·EF=3,
∴OD·EF=6,即5EF=6,∴EF= .
11.(2025上海浦东建平中学月考,★★☆)如图,在梯形ABCD
中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为E,BE= (AD+BC).求证:AB=CD.
证明 如图,过点D作DF∥AB交BC于点F,
∵AD∥BC,DF∥AB,∴四边形ABFD为平行四边形,
∴BF=AD,AB=DF,
∵BE= (AD+BC),BE=BF+EF,
∴BF+EF= (BF+BF+EF+EC),∴EF=EC,
∵DE⊥BC,∴DE垂直平分FC,∴DF=DC,
∴AB=CD.
12.(2025河南商丘夏邑期末改编,★★☆)定义:如果一个平行
四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍,那么
称这个平行四边形为“倍线平行四边形”.如图, ABCD为
“倍线平行四边形”(BD>AC),对角线AC,BD相交于点O,AC
⊥AB,AB=2 ,求BC的长.
解析 ∵ ABCD是“倍线平行四边形”,
∴BD=3AC,OB= BD,OA= AC,∴BO=3AO,
∵AC⊥AB,∴∠BAO=90°,
∴OB2-AO2=AB2,∴9AO2-AO2=(2 )2,
∴OA=1(舍负),∴AC=2,
∴BC= =2 .
13.【新课标·应用意识】(2025江苏苏州高新区一中月考)如
图1,平行四边形ABCD是某游乐园主题区域的平面示意图,A,
B,C,D分别是该区域的入口,两条主干道AC,BD交于点O,请你
帮助该游乐园的管理人员解决以下问题.
(1)若AB=1.3 km,AC=2 km,BD=2.6 km,你能判断△AOB的形状
吗 请说明理由.
(2)在(1)的条件下,如图2,游乐园管理人员为提升游客游览体
验,准备修建三条绿道AN,MN,CM,其中点M在OB上,点N在OD
上,且BM=ON(点M与点O,B不重合),并计划在△AON与△COM
两块绿地区域种植花期长久的马鞭草,求种植马鞭草区域的
面积.
(3)若将该区域扩大,如图3,此时AC⊥BD,AC=6 km,BD=5 km,
BM=ON,修建(2)中的绿道每千米费用为4万元,请你计算修建
这三条绿道投入资金的最小值.
解析 (1)△AOB是等腰三角形.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,AC=2 km,BD=2.6 km,
∴AO=CO=1 km,BO=DO=1.3 km,∴AB=BO=1.3 km,
∴△AOB是等腰三角形.
(2)如图1,过点B作BH⊥AO于H,连接AM,∵AB=BO,BH⊥AO,
∴AH=OH=0.5 km,∴BH= =1.2 km,∴S△ABO= AO·
BH= ×1×1.2=0.6(km2),∵BM=ON,AO=CO,∴S△ABM=S△AON,
S△AOM=S△COM,∴S△AON+S△COM=S△ABM+S△AOM=S△AOB=0.6 km2.
(3)如图2,过点N作NE∥CM,过点C作CE∥MN交NE于点E,连
接AE,
∵AC=6 km,BD=5 km,
∴AO=CO=3 km,BO=DO=2.5 km,
∵BM=ON,∴MN=ON+OM=BM+OM=OB=2.5 km,
∴当AN+CM的值最小时,AN+MN+CM的值最小,
∵MN∥CE,NE∥CM,
∴四边形MNEC是平行四边形,
∴MC=NE,MN=EC=2.5 km,
∴AN+CM=AN+NE≥AE,
∴当A,N,E三点共线时,AN+CM的值最小,
∵AC⊥BD,MN∥CE,∴CE⊥AC,
∴AE= = = (km),
∴AN+MN+CM的最小值为 + =9(km),
∴投入资金的最小值为4×9=36(万元).
