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课件使用说明
第四章 因式分解
1 因式分解
因式分解的概念
1.【学科特色·教材变式】(2025四川成都川师温江实验期中)
下列各式从左到右的变形是因式分解的是 ( )
A.a(a+b)=a2+ab B.a2+2a+1=a(a+2)+1
C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.2a2-6ab=2a(a-3b)
D
解析 选项A是整式的乘法,不是因式分解;选项B的等号右边
不是整式乘积的形式,不是因式分解;选项C是整式的乘法,不
是因式分解;选项D符合因式分解的概念,符合题意.故选D.
因式分解与整式乘法的关系
2.(2025河北张家口桥西期中)对于下列式子从左到右的变形:
甲:6x2y=2x·3xy;乙:a+1=a .
其中说法正确的是 ( )
A.甲、乙均为因式分解
B.甲、乙均不是因式分解
C.甲是因式分解,乙是整式乘法
D.甲是整式乘法,乙是因式分解
B
解析 6x2y=2x·3xy中,等号左边是单项式,故甲不是因式分解.
a+1=a 中, 不是整式,故乙不是因式分解.故选B.
3.用整式的乘法检验下列因式分解是否正确.
(1)2m2+7mn-15n2=(2m+3n)(m-5n).
(2)ab-a+b-1=(a+1)(b-1).
(3)a3-2a2+3a-6=(a-2)(a2+3).
(4)x2+y2+2xy=(x+y)(x-y).
解析 (1)(2m+3n)(m-5n)=2m2-10mn+3mn-15n2=2m2-7mn-15n2,
则2m2+7mn-15n2≠(2m+3n)(m-5n),所以因式分解不正确.
(2)(a+1)(b-1)=ab-a+b-1,所以因式分解正确.
(3)(a-2)(a2+3)=a3-2a2+3a-6,所以因式分解正确.
(4)(x+y)(x-y)=x2-y2,则x2+y2+2xy≠(x+y)(x-y),所以因式分解不正
确.
4.(2024山东烟台龙口期末,★★☆)如图,小颖利用两种不同的
方法计算图形的面积,并据此写出了一个因式分解的等式,此
等式是 ( )
A.a2+2ab+b2=(a+b)(a+b)
B.a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b)
B
C.a2-b2=(a+b)(a-b)
D.2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)
解析 根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形、3
个长为b,宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成的,∴大
长方形的面积为a2+3ab+2b2,
∵大长方形的长为a+2b,宽为a+b,
∴大长方形的面积为(a+2b)(a+b),
∴a2+3ab+2b2=(a+2b)(a+b).故选B.
5.(2025浙江模拟,★★☆)若多项式x2-2x+2k因式分解后的结
果是(x+2)(x+k),则k的值是 ( )
A.3 B.-3 C.-2 D.-4
D
解析 ∵(x+2)(x+k)=x2+(2+k)x+2k=x2-2x+2k,
∴2+k=-2,解得k=-4.故选D.
6.【新课标·运算能力】仔细阅读下面的例题,并解答问题.
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x+3,求另一个因
式以及m的值.
解:设另一个因式为x+n,则x2-4x+m=(x+3)·(x+n),∴x2-4x+m=x2+
(n+3)x+3n,∴n+3=-4,m=3n,解得n=-7,m=-21,∴另一个因式为
x-7,m的值为-21.
(1)若二次三项式x2-5x+6可分解为(x-2)·(x+a),则a=_______.
(2)若二次三项式2x2+bx-5可分解为(2x-1)·(x+5),则b=______
____.
(3)依照以上方法解答问题:已知二次三项式2x2+5x-k有一个因
式是2x-3,求另一个因式以及k的值.
解析 (1)∵(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a=x2-5x+6,∴a-2=-5,
解得a=-3.
(2)∵(2x-1)(x+5)=2x2+9x-5=2x2+bx-5,∴b=9.
(3)设另一个因式为x+n,
则2x2+5x-k=(2x-3)(x+n)=2x2+(2n-3)x-3n,
所以2n-3=5,-k=-3n,解得n=4,k=12,
故另一个因式为x+4,k的值为12.(共20张PPT)
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第四章 因式分解
第1 课时 公因式为单项式的因式分解
2 提公因式法
公因式
1.(2025贵州贵阳青岩贵璜中学模拟)多项式12ab2-8a2bc中,各
项的公因式是 ( )
A.4ab B.4a2b2 C.2ab D.2abc
A
解析 ∵12ab2-8a2bc=4ab·3b-4ab·2ac,∴多项式12ab2-8a2bc中,
各项的公因式是4ab.故选A.
2.多项式8xmyn-1-12x3myn中,各项的公因式是 ( )
A.xmyn B.xmyn-1 C.4xmyn D.4xmyn-1
D
解析 因为多项式的各项系数的最大公约数是4,共有字母x,y
的最低次数分别为m,n-1,所以公因式为4xmyn-1.故选D.
提公因式法分解因式
3.下列代数式中,不能用提公因式法因式分解的是( )
A.ac+bc B.2x-4xy C.ax+y D.-x2+xy
C
解析 ac+bc=c(a+b),能用提公因式法因式分解,故A不符合题
意;2x-4xy=2x(1-2y),能用提公因式法因式分解,故B不符合题
意;ax+y不能用提公因式法因式分解,故C符合题意;-x2+xy=
-x(x-y),能用提公因式法因式分解,故D不符合题意.故选C.
4.(2025广西贺州昭平期中)将6xy+12x2分解因式,正确的结果
是 ( )
A.6x(y+2x) B.6xy(1+2x)
C.12x(y+x) D.3x(2y+4x)
A
解析 6xy+12x2=6x(y+2x).故选A.
5.(2025云南中考)因式分解:x2+x=______________.
x(x+1)
解析 x2+x=x(x+1).故答案为x(x+1).
6.(2024山东烟台蓬莱期末)因式分解:(2x3y)3+12x4y=_______
______________.
4x4y(2x5y2+3)
解析 (2x3y)3+12x4y=8x9y3+12x4y=4x4y(2x5y2+3).
7.(2025广东清远清城中学期中)利用因式分解简便计算:17×
0.11+37×0.11+46×0.11=__________.
11
解析 17×0.11+37×0.11+46×0.11=0.11×(17+37+46)=
0.11×100=11.
8.把下列各式因式分解:
(1)8ab2-16a3b3. (2)-15xy-5x2.
(3)a3b3+a2b2-ab. (4)-3a3m-6a2m2+3am.
解析 (1)8ab2-16a3b3=8ab2(1-2a2b).
(2)-15xy-5x2=-5x(3y+x).
(3)a3b3+a2b2-ab=ab(a2b2+ab-1).
(4)-3a3m-6a2m2+3am=-3am(a2+2am-1).
9.【学科特色·易错题】(2025山东枣庄滕州月考,★★☆)把多
项式-7ab-14abx+49aby分解因式,提公因式-7ab后,另一个因式
是 ( )
A.1+2x-7y B.1-2x-7y
C.-1+2x+2y D.-1-2x+7y
A
解析 -7ab-14abx+49aby=-7ab(1+2x-7y).故选A.
易错警示 本题易出现的错误是提公因式-7ab后,忘记改变
括号中各项的符号.
10.(2025广东深圳中学期中,★★☆)若xy=3,x-3y=-5,则2x2y-
6xy2的值为 ( )
A.-15 B.-1 C.2 D.-30
D
解析 ∵xy=3,x-3y=-5,∴2x2y-6xy2=2xy(x-3y)=2×3×(-5)=-30.
故选D.
11.(2024湖南娄底期中,★★☆)多项式x2y5-xynz因式分解时,提
取的公因式是xy5,则n的值可能为 ( )
A.6 B.4 C.3 D.2
A
解析 多项式x2y5-xynz因式分解时,提取的公因式是xy5,故n≥5
且n是正整数,∴n的值可能为6.故选A.
12.【学科特色·多解法】(2025四川自贡中考,★★☆)若2a+b=
-1,则4a2+2ab-b的值为_________.
1
解析 【解法一 】因式分解法:∵2a+b=-1,
∴4a2+2ab-b=2a(2a+b)-b=-2a-b=1.
【解法二】变形代入法:
∵2a+b=-1,∴b=-1-2a,
∴4a2+2ab-b=4a2+2a(-1-2a)-(-1-2a)=4a2-2a-4a2+1+2a=1.
【解法三】特殊值代入法:
∵2a+b=-1,∴可令a=0,b=-1.将a=0,b=-1代入4a2+2ab-b,得4a2+
2ab-b=4×0+2×0×(-1)-(-1)=1.
13.【新课标·应用意识】某商场销售甲、乙、丙、丁四种不
同的运动装,每套利润均为298元,为了增加销售量,现对四种
运动装开展降价让利销售活动.已知甲种运动装每套让利2
0%,乙种运动装每套让利15%,丙种运动装每套让利25%,丁种
运动装每套让利40%,则四种运动装各一套共让利多少元 (利
用因式分解简便计算)
解析 根据题意,得四种运动装各一套共让利298×20%+298×
15%+298×25%+298×40%=298×(20%+15%+25%+40%)=
298(元).
答:四种运动装各一套共让利298元.(共19张PPT)
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第四章 因式分解
第2课时 公因式为多项式的因式分解
2 提公因式法
公因式为多项式的因式分解
1.(2025河北石家庄六中月考)将3a(x-y)-9b(x-y)用提公因式法
分解因式,应提的公因式是 ( )
A.3a-b B.x-y
C.3(x-y) D.3a+b
C
解析 ∵3a(x-y)-9b(x-y)=3(x-y)(a-3b),∴应提的公因式是
3(x-y).故选C.
2.(2025河南郑州八中期中)把多项式m2(a-3)+m(3-a)分解因式,
结果为 ( )
A.(a-3)(m2+m) B.(a-3)(m2-m)
C.m(a-3)(m-1) D.m(a-3)(m+1)
C
解析 m2(a-3)+m(3-a)=m2(a-3)-m(a-3)=m·(a-3)(m-1).故选C.
3.(2025福建厦门模拟)x(x-2)+(2-x)分解因式的结果是_________
________.
(x-2)(x-1)
解析 x(x-2)+(2-x)=x(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1).
4.(2025甘肃兰州十九中期中)分解因式.
(1)a(x-2y)-b(2y-x).
(2)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2.
解析 (1)a(x-2y)-b(2y-x)
=a(x-2y)+b(x-2y)
=(x-2y)(a+b).
(2)x(x+y)(x-y)-x(x+y)2
=x(x+y)[x-y-(x+y)]
=x(x+y)(x-y-x-y)
=-2xy(x+y).
5.先因式分解,再求值.
(1)4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.
(2)a2(-b-c)-4a(b+c),其中a=-5,a+b+c=-7.
解析 (1)4a2(x+7)-3(x+7)=(x+7)(4a2-3),
当a=-5,x=3时,原式=(3+7)×(4×25-3)=970.
(2)a2(-b-c)-4a(b+c)=a(b+c)(-a-4)=-a(b+c)·(a+4),
∵a+b+c=-7,∴b+c=-7-a,
∵a=-5,∴b+c=-7+5=-2,
∴原式=5×(-2)×(-1)=10.
6.【学科特色·多解法】(2024河北邢台期末,★★☆)已知a-b=
5,b-c=-6,则代数式a2-ac-b(a-c)的值为 ( )
A.-30 B.30 C.-5 D.-6
C
解析 【解法一】因式分解法:∵a-b=5,b-c=-6,∴a-c=-1,
∴a2-ac-b(a-c)=a(a-c)-b(a-c)=(a-c)·(a-b)=(-1)×5=-5.
【解法二】特殊值法:∵a-b=5,b-c=-6,∴可令a=5,b=0,c=6,
则a2-ac-b(a-c)=52-5×6=-5.
7.(2025新疆吐鲁番模拟,★★☆)因式分解:(2a+1)a-4a-2=______
_____________.
(2a+1)(a-2)
解析 (2a+1)a-4a-2=(2a+1)a-2(2a+1)=(2a+1)·(a-2).
解析 (y-1)(x+3)=x(y-1)+3(y-1)=x(y-1)+(3y-3),所以A=3y-3.故
答案为3y-3.
8.(2025安徽合肥庐江模拟,★★☆)已知等式:x(y-1)+(______
____)=(y-1)(x+3),若将括号内所填的式子记为A,则A=_______.
3y-3
9.【学科特色·整体思想】(2025浙江宁波月考,★★☆)已知a2
+b2=1,c2+d2=1且ac+bd=0,则ab+cd的值为_________.
0
解析 由(ac+bd)2=a2c2+2abcd+b2d2=0,得2abcd=-a2c2-b2d2,则
(ab+cd)2=a2b2+2abcd+c2d2=a2b2-a2c2-b2d2+c2d2=a2(b2-c2)-d2(b2-c2)=
(b2-c2)(a2-d2).把a2+b2=1,c2+d2=1先变形再代入,可得(b2-c2)·(a2-d2)
=(1-a2-1+d2)(a2-d2)=-(a2-d2)2,
∴(ab+cd)2=-(a2-d2)2,∴(ab+cd)2+(a2-d2)2=0,
∴ab+cd=0.
10.(2025江西九江柴桑期中,★★☆)已知(19x-31)(13x-17)-
(17-13x)(11x-23)可因式分解成(ax+b)(30x+c),其中a,b,c均
为整数,求a+b+c的值.
解析 ∵(19x-31)(13x-17)-(17-13x)(11x-23)
=(19x-31)(13x-17)+(13x-17)(11x-23)
=(13x-17)(30x-54),
∴a=13,b=-17,c=-54,∴a+b+c=-58.
11.【新课标·创新意识】阅读下列分解因式的过程,再回答所
提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是_______,共用了_______次.
(2)若分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 026,则结果是
__________.
(3)依照上述方法分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
(n为正整数).
解析 (1)分解因式的方法是提公因式法,共用了2次.
(2)分解因式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 026需要用2 026次
提公因式法,结果是(1+x)2 027.
(3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n
=(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)n-1]
=(1+x)2[1+x+…+x(x+1)n-2]
……
=(1+x)n+1.(共29张PPT)
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第四章 因式分解
第1 课时 利用平方差公式因式分解
3 公式法
利用平方差公式因式分解
1.(2025江苏泰州二模)下列多项式中,能用平方差公式进行因
式分解的是 ( )
A.-a2-b2 B.a2+b2 C.a2-b2 D.a2-b2-1
C
解析 -a2-b2,a2+b2两项的符号相同,所以不能用平方差公式进
行因式分解;a2-b2=(a+b)(a-b),所以a2-b2可以用平方差公式进行
因式分解;a2-b2-1有三项,故不能用平方差公式进行因式分解.
故选C.
2.(2025云南临沧凤庆模拟)如果多项式a2+b2+□可以运用平方
差公式分解因式,那么□可以是 ( )
A.(-2b2) B.8b2 C.(-2ab) D.(-2ac)
A
解析 根据平方差公式的结构特征逐项分析判断如下:
A.a2+b2+(-2b2)=a2-b2可以运用平方差公式分解因式.
B.a2+b2+8b2=a2+9b2,不能因式分解.
C.a2+b2-2ab不能利用平方差公式分解因式.
D.a2+b2-2ac不能分解因式.故选A.
3.(2025河北秦皇岛一模)分解因式:ax2+by2=(3x+4y)(3x-4y),则
a+b的值为 ( )
A.7 B.-1 C.25 D.-7
D
解析 ∵ax2+by2=(3x+4y)(3x-4y)=9x2-16y2,∴a=9,b=-16,
∴a+b=9-16=-7.故选D.
4.(2025河南模拟)因式分解:m2(m-n)-n2(m-n)=_______________.
(m-n)2(m+n)
解析 m2(m-n)-n2(m-n)=(m-n)(m2-n2)=(m-n)·(m+n)(m-n)=
(m-n)2(m+n).
5.把下列各式分解因式:
(1)a2-0.01. (2)49-x2.
(3)0.01m2-625n2.
(4)a2(x-y)+4b2(y-x).
(5)49(x+y)2-9(x-y)2.
解析 (1)a2-0.01=(a+0.1)(a-0.1).
(2)49-x2=(7-x)(7+x).
(3)0.01m2-625n2=(0.1m+25n)(0.1m-25n).
(4)a2(x-y)+4b2(y-x)=(x-y)(a2-4b2)
=(x-y)(a+2b)(a-2b).
(5)49(x+y)2-9(x-y)2
=[7(x+y)]2-[3(x-y)]2
=(7x+7y)2-(3x-3y)2
=(7x+7y+3x-3y)(7x+7y-3x+3y)
=(10x+4y)(4x+10y)
=4(5x+2y)(2x+5y).
6.用平方差公式简便计算:
(1)59.8×60.2. (2)9 ×10 .
解析 (1)59.8×60.2=(60-0.2)×(60+0.2)
=3 600-0.04=3 599.96.
(2)9 ×10 = × =100- =99 .
7.(2024江苏无锡梁溪期中)已知4m+n=40,2m-3n=5.求(m+2n)2-
(3m-n)2的值.
解析 (m+2n)2-(3m-n)2
=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n).
当4m+n=40,2m-3n=5时,原式=-40×5=-200.
8.(2024山东济南长清期末)如图1,圆形盘子外圆的半径是R
cm,内圆的半径是r cm,现在要给盘子环形部分上釉(图2中的
阴影部分),如果R=10.25 cm,r=8.25 cm,请求出阴影部分的面
积.(结果保留π)
解析 由题图可得阴影部分的面积为πR2-πr2=π(R2-r2)=
π(R+r)(R-r).
∵R=10.25 cm,r=8.25 cm,
∴π(R+r)(R-r)=π×(10.25+8.25)×(10.25-8.25)=37π(cm2),
∴阴影部分的面积为37π cm2.
9.(2025河南平顶山九中期中,★★☆)已知a-b=5,则a2-b2-10b的
值为 ( )
A.5 B.10 C.15 D.25
D
解析 a2-b2-10b=(a+b)(a-b)-10b,
将a-b=5代入,得原式=5(a+b)-10b=5a+5b-10b=5a-5b=5(a-b)=
25.故选D.
10.【学科特色·多解法】(2025陕西西安高新一中期中,★★
☆)若k为任意整数,则(k+3)2-(k-2)2的值总能 ( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
C
解析 【解法一】因式分解法:(k+3)2-(k-2)2=[(k+3)-(k-2)][(k+3)+
(k-2)]=5(2k+1),
∵k为任意整数,∴2k+1是整数,∴(k+3)2-(k-2)2的值总能被5整除.
【解法二】整式运算法:(k+3)2-(k-2)2=k2+6k+9-(k2-4k+4)=10k+
5=5(2k+1),
∵k为任意整数,∴2k+1是整数,∴(k+3)2-(k-2)2的值总能被5整
除.故选C.
11.(2025河南平顶山模拟,★★☆)已知a,b,c是△ABC的三边
长,且满足a2-b2=bc-ac,则△ABC为 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
A
解析 ∵a2-b2=bc-ac,∴(a+b)(a-b)=-c(a-b),
∴(a+b)(a-b)+c(a-b)=0,∴(a-b)(a+b+c)=0,∵a+b+c≠0,∴a-b=0,
∴a=b,
∴△ABC为等腰三角形.故选A.
12.(2025内蒙古通辽科尔沁实验初中开学测试,★★☆)小李
是一位密码编译爱好者,在他的《密码手册》中有这样一条
明码信息:a-1,m-n,5,m2+1,a,a+1,m+n依次对应七个字:之,桥,天,
中,眼,空,国,现将5m(a2-1)-5n(a2-1)因式分解,结果呈现的密码
信息可能是 ( )
A.天空之桥 B.中国天眼
C.中国天空 D.天眼之桥
A
解析 ∵5m(a2-1)-5n(a2-1)=(5m-5n)(a2-1)=5(m-n)(a+1)(a-1),
∴结果呈现的密码信息可能是天空之桥.故选A.
13.(2024北京中考,★★☆)分解因式:x3-25x=________________.
x(x+5)(x-5)
解析 x3-25x=x(x2-25)=x(x+5)(x-5).
14.(2025河北邯郸育华中学模拟,★★☆)如图,约定相邻两整
式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.
(1)求整式M,P.
(2)将整式P因式分解.
解析 (1)根据题意得M=3x2-4x-20-3x(x-3)=3x2-4x-20-3x2+9x=
5x-20.
P=3x2-4x-20+(x+2)2=3x2-4x-20+x2+4x+4=4x2-16.
(2)P=4x2-16=4(x2-4)=4(x+2)(x-2).
15.(2025江苏盐城阜宁期中,★★☆)观察下列算式,回答问题.
算式①:42-22=12=4×3;
算式②:62-42=20=4×5;
算式③:82-62=28=4×7;
算式④:102-82=36=4×9;
……
(1)按照已有算式的规律,请写出算式⑥:_________.
(2)小明将这些算式的规律用文字表示为“两个连续偶数的
平方差一定是4的倍数”.你认为这句话正确吗 为什么
解析 (1)142-122=52=4×13.
(2)正确.理由:设两个连续的偶数为2n和2n+2.
(2n+2)2-(2n)2=[(2n+2)+2n][(2n+2)-2n]=4(2n+1),因为2n+1是整
数,所以4(2n+1)一定能被4整除,所以两个连续偶数的平方差
一定是4的倍数.
16.【新课标·运算能力】(2025山东聊城东昌府月考)观察下
列式子因式分解的结果:
①x2-1=(x-1)(x+1);
②x3-1=(x-1)(x2+x+1);
③x4-1=(x-1)(x3+x2+x+1).
(1)根据以上等式,尝试对x5-1进行因式分解:x5-1=____.
(2)观察以上结果,猜想xn-1=______.(n为正整数,直接写结果,
不用验证)
(3)试求26+25+24+23+22+2+1的值.
解析 (1)x5-1=(x-1)(x4+x3+x2+x+1).
(2)xn-1=(x-1)(xn-1+xn-2+…+x+1).
(3)∵27-1=(2-1)×(26+25+24+23+22+2+1),
∴26+25+24+23+22+2+1=27-1=127.(共27张PPT)
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课件使用说明
第四章 因式分解
第2课时 利用完全平方公式因式分解
3 公式法
利用完全平方公式因式分解
1.(2025广东佛山三中期中)下列各式中,能用完全平方公式分
解因式的是 ( )
A.4x2-1 B.4x2+4x-1
C.x2-xy+y2 D.x2-x+
D
解析 4x2-1=(2x-1)(2x+1),根据平方差公式因式分解,不是完
全平方公式;4x2+4x-1不能用完全平方公式因式分解;x2-xy+y2
不能用完全平方公式因式分解;x2-x+ = ,根据完全平方
公式因式分解.故选D.
2.(2024福建福州台江期末)将多项式3a2-6a+3因式分解,结果
是 ( )
A.3a(a-2)+3 B.3(a2-2a+1)
C.3(a-1)(a+1) D.3(a-1)2
D
解析 3a2-6a+3=3(a2-2a+1)=3(a-1)2.故选D.
3.(2025辽宁大连一模)将多项式x3-2x2+x分解因式,结果为
( )
A.x(x+1)2 B.x(x2-2x)
C.x2(x-2)+x D.x(x-1)2
D
解析 x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.故选D.
4.(2025安徽合肥庐江模拟)若a=4+b,ab=3,则-a3b+2a2b2-ab3的
值为 ( )
A.-48 B.-12
C.-36 D.12
A
解析 -a3b+2a2b2-ab3=-ab(a2-2ab+b2)=-ab(a-b)2,∵a=4+b,∴a-b
=4,把a-b=4,ab=3代入,原式=-ab(a-b)2=-3×16=-48.故选A.
5.(2025甘肃中考)因式分解:x2-6x+9=______________.
(x-3)2
解析 x2-6x+9=(x-3)2.
6.(2025山东烟台中考)因式分解:2x2-12xy+18y2=_____________.
2(x-3y)2
解析 2x2-12xy+18y2=2(x2-6xy+9y2)=2(x-3y)2.故答案为2(x-3y)2.
7.【学科特色·易错题】(2024山东淄博中考)若多项式4x2-mxy
+9y2能用完全平方公式因式分解,则m的值是___________.
±12
解析 ∵多项式4x2-mxy+9y2能用完全平方公式因式分解,
∴-mxy=±2·2x·3y,∴-m=±2×2×3=±12,解得m=±12.故答案
为±12.
8.把下列各式分解因式.
(1)16y2-24y+9.
(2)2-2x+ .
(3)-4a2x2+20ax-25.
(4)ma2-2ma(b+c)+m(b+c)2.
解析 (1)16y2-24y+9=(4y)2-2×4y×3+32=(4y-3)2.
(2)2-2x+ =2 =2 .
(3)-4a2x2+20ax-25=-(4a2x2-20ax+25)
=-[(2ax)2-2×2ax×5+52]=-(2ax-5)2.
(4)ma2-2ma(b+c)+m(b+c)2
=m[a2-2a(b+c)+(b+c)2]
=m[a-(b+c)]2=m(a-b-c)2.
9.(2025江苏常州二十四中月考)用简便方法计算.
(1)99×101. (2)752+252-50×75.
解析 (1)99×101=(100-1)×(100+1)=1002-1=10 000-1=9 999.
(2)752+252-50×75=752-2×25×75+252
=(75-25)2=502=2 500.
10.【新考向·代数推理】(2025江苏南京金陵中学期中)已知a
是一个正整数,且a除以3余1,请说明a2+4a+4能被9整除.
证明 ∵a是一个正整数,且a除以3余1,
∴设a=3x+1(x是非负整数),
∴a2+4a+4=(3x+1)2+4(3x+1)+4
=9x2+18x+9=9(x2+2x+1)=9(x+1)2,
∵(x+1)2是正整数,∴9(x+1)2能被9整除,
∴a2+4a+4能被9整除.
11.(2025辽宁锦州四中三模,★★☆)若a,b,c是三角形三边的
长,则代数式(a2-2ab+b2)-c2的值 ( )
A.大于零 B.小于零
C.大于或等于零 D.小于或等于零
B
解析 (a2-2ab+b2)-c2=(a-b)2-c2=(a-b+c)(a-b-c),∵a,b,c是三角形
三边的长,∴a-b+c>0,a-b-c<0,∴(a2-2ab+b2)-c2<0.故选B.
12.(2025江苏南京育英外国语学校月考,★★☆)若A=x2+6y+4,
B=-y2+2x-6,则A,B的大小关系为 ( )
A.A≥B B.AC.A>B D.A=B
A
解析 ∵A-B=(x2+6y+4)-(-y2+2x-6)=x2+6y+4+y2-2x+6=
(x2-2x+1)+(y2+6y+9)=(x-1)2+(y+3)2≥0,∴A≥B.故选A.
13.(2025山东淄博期中,★★★)若a,b,c是直角三角形ABC的三
边长,且a2+b2+c2+200=12a+16b+20c,则直角△ABC斜边上的高
为 ( )
A.2.4 B.4.8 C.6 D.9.6
B
解析 因为a2+b2+c2+200=12a+16b+20c,所以a2+b2+c2+200-12a
-16b-20c=0,所以(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2=0,所以a-6=0,b-8=0,c-10
=0,所以a=6,b=8,c=10.因为62+82=102,即a2+b2=c2,所以直角
△ABC中,a,b为直角边的长,c为斜边的长,所以直角△ABC斜边
上的高为 =4.8.故选B.
14.(2025江苏无锡江阴期中,★★☆)若a=2b+1,则a2-4ab+4b2+
2 025的值为_____________.
2 026
解析 ∵a=2b+1,∴a2-4ab+4b2+2 025=(a-2b)2+2 025=
(2b+1-2b)2+2 025=1+2 025=2 026.故答案为2 026.
15.(2025浙江杭州萧山期中,★★☆)已知x2-2xy+y2-9=0,y-x=xy,
且x -9
解析 ∵x2-2xy+y2-9=0,
∴(x-y)2-9=0,∴(x-y)2=9,∴x-y=±3,∵x∴x-y=-3,∴xy=y-x=-(x-y)=3,
∴x2y-xy2=xy(x-y)=3×(-3)=-9.
16.(2024福建中考,★★★)已知实数a,b,c,m,n满足3m+n= ,mn
= .
(1)求证:b2-12ac为非负数.
(2)若a,b,c均为奇数,m,n是否可以都为整数 说明你的理由.
解析 (1)证明:∵3m+n= ,mn= ,
∴b=a(3m+n),c=amn,
∴b2-12ac=[a(3m+n)]2-12a2mn
=a2(9m2+6mn+n2)-12a2mn
=a2(9m2-6mn+n2)=a2(3m-n)2,
∵a,m,n是实数,∴a2(3m-n)2≥0,
∴b2-12ac为非负数.
(2)m,n不可以都为整数.
理由:若m,n都为整数,其可能情况有:①m,n都为奇数;②m,n为
整数,且其中至少有一个为偶数.
①当m,n都为奇数时,3m+n必为偶数,∵3m+n= ,∴b=a(3m+n),
∵a为奇数,∴a(3m+n)必为偶数,这与b为奇数矛盾,∴m,n都为
奇数不成立.
②当m,n为整数,且其中至少有一个为偶数时,mn必为偶数,
∵mn= ,∴c=amn,∵a为奇数,∴amn为偶数,这与c为奇数矛盾,
∴m,n为整数,且其中至少有一个为偶数不成立.
综上所述,m,n不可以都为整数.
17.【新课标·运算能力】(2025四川成都金苹果锦城一中期
末)阅读材料:
因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将x+y看成一个整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2,再
将“A”还原,得原式=(x+y+1)2.
上述解题过程使用的方法是“换元法”,换元法是数学解题
中常用的一种方法,请你解答下列问题.
(1)因式分解:9+6(x-y)+(x-y)2.
(2)若n为正整数,判断代数式(n+1)(n+2)·(n+3)(n+4)+1的值是
不是某一个整数的平方.
解析 (1)令x-y=A,则原式=9+6A+A2=(A+3)2,再将“A”还原,
得原式=(x-y+3)2.
(2)(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=(n+1)(n+4)·(n+2)(n+3)+1
=(n2+5n+4)·(n2+5n+6)+1,
令n2+5n+4=B,所以原式=B(B+2)+1=B2+2B+1=(B+1)2=(n2+5n+4
+1)2=(n2+5n+5)2,
因为n为正整数,所以n2+5n+5是整数,
所以代数式(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1的值是n2+5n+5的平方.
