1.1 三角形内角和定理 同步练习（2课时,含答案）北师大版（2024）八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 1.1 三角形内角和定理 同步练习（2课时,含答案）北师大版（2024）八年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 240.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-26 00:00:00 | ||
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文档简介
1 三角形内角和定理
第 1课时 三角形内角和及“AAS”定理的证明
基础题
知识点1 三角形内角和定理
1.如图,在△ABC 中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C 的度数是 ( )
A.100°
B.80°
C.60°
D.40°
2.如图,在△ABC 中,∠B = 55°,∠C = 63°,DE∥AB,则∠DEC= ( )
A.63° B.113° C.55° D.62°
3.如图,在△ABC 中,已知 AD 平分∠BAC,∠B=70°,∠BAD=30°,则∠C 的度数为
4.一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是 三角形.
5.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB,∠A=36°,BD 是边AC 上的高,则∠DBC 的度数是
6.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形 ABCD,其中∠B=40°,∠CAD=60°,则∠BCD= .
7.利用下图证明“三角形内角和定理”，写出求证，并把证明过程补充完整.
已知:如图,△ABC及边 BC上的一点 P.
求证: .
证明:过点 P 作 PM∥CA,交 AB 于点 M,作PN∥BA,交 AC 于点 N……
知识点2 全等三角形的判定定理“AAS”及性质
8.如图,AD与BC 相交于点O,OC=OD,添加一个条件后能使用全等三角形的判定定理AAS 判定△AOC≌△BOD 的是 ( )
A. AC=BD
B. OA=OB
C.∠A=∠B
D.∠C=∠B
9.如图，在四边形 ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,连接 AC.求证:AB=CD.
中档题
10.如图，在△ABC中,∠A=50°,点 D,E分别在AB,AC上,则∠1+∠2+∠3+∠4= .
11. 如图，巡逻艇 C 在游轮A 北偏东58°的方向上，巡逻艇 C在游轮B 北偏东 13°的方向上，游轮 B 位于游轮 A的正东方向，则∠ACB 的度数为 .
12.若在△ABC中,∠B=2∠C,则称△ABC 为“可爱三角形”，称∠A 为“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”，这个三角形的“可爱角”应该是 ( )
A.45°或 36°
B.72°或 36°
C.45°或 72°
D.36°,45°或 72°
13. 如图，在△ABC 和△ADE中,∠B=∠D,AC=AE,∠1=∠2,AD,BC相交于点 F.
(1)求证:△ABC≌△ADE.
(2)若 AB∥DE,∠D=30°,求∠AFB 的度数.
综合题
14.如图,在△ABC 中,∠B=70°,∠C=40°,AD⊥BC 于点 D,AE 平分∠BAC,求∠DAE 的度数.
【拓展提问】 若∠B-∠C=α(∠B>∠C),则∠DAE= .(用含α的代数式表示)
【拓展变式】垂线变到三角形外
如图,在△ABC中,AE 平分∠BAC,在 AE的延长线上任取一点 M，过点 M 作MD⊥BC于点D.求证:
第 2 课时 三角形内角和定理的推论
基础题
知识点1 认识三角形的外角
1.如图,在∠1,∠2,∠3中,是△ABC外角的是( )
A.∠1,∠2
B.∠2,∠3
C.∠1,∠3
D.∠1,∠2,∠3
知识点2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
2.(1)(2025 ·乐山)如图 1,∠1 的度数为
(2)如图2,x的值为 .
3.如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD 是△ABC 的三个外角.若∠ACD=125°,则∠BAE+∠CBF= .
4.如图,已知直线 l ,l ,l 两两相交,且 l ⊥l .若∠α=50°,则∠β的度数为 ( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
5.如图,AB∥CD,∠A=45°,∠C=20°,则∠E的度数为 ( )
A.20°
B.25°
C.35°
D.45°
6.将一副三角板按照如图所示的方式摆放，且C,B,E三点共线,∠FEB=65°,则∠EDB 的度数为 ( )
A.18°
B.15°
C.12°
D.10°
7.如图,△ABC的边AC 的延长线上有一点 D,F为边AB 上一点,连接DF交BC 于点E.若∠A=30°,∠D=40°,∠BED=80°,求∠B 的度数.
知识点3 三角形的三个外角大于任何一个相它不相邻的内角
8.如图,∠A,∠1,∠2 的大小关系是 ( )
A.∠A>∠1>∠2
B.∠2>∠1>∠A
C.∠A>∠2>∠1
D.∠2>∠A>∠1
9.如图,已知 CE为△ABC外角∠ACD的平分线,CE交 BA 的延长线于点 E.求证:∠BAC>∠B.将下面的过程补充完整.
证明:∵CE 为△ABC 外角∠ACD 的平分线,
∴∠1= (角平分线的定义).
∵∠BAC 是 的一个外角(外角的定义)，
∴∠BAC> (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴∠BAC> (等量代换).
∵∠2是 的一个外角(外角的定义)，
∴∠2> (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴∠BAC> .
中档题
10.如图，一束平行于主光轴(图中的虚线)的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,F为焦点.若∠1=150°,∠2=25°,则∠3的度数为 ( )
A.75° B.65° C.55° D.45°
11.如图所示,在△ABC中,D 是边 BC.上一点,∠1 = ∠2,∠3 = ∠4, ∠BAC = 63°, 则∠DAC= .
12.(教材新增习题变式)已知：如图，在△ABC中,AC>AB.求证:∠ABC>∠ACB.
综合题
13.如图,在△ABC中,点E在AC上,∠AEB=∠ABC.
(1)如图1,作∠BAC 的平分线AD,分别交CB,BE 于 D,F 两点.求证:∠EFD=∠ADC.
(2)如图2,作△ABC的外角∠BAG 的平分线AD,交 CB 的延长线于点 D,DA 的延长线交BE 的延长线于点 F.试探究(1)中的结论是否仍成立，为什么
微专题1运用“燕尾形”“8字形”求角度
【以题明法】常用的两个基本图形公式：
燕尾形结论(如图 1):∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.
推理过程：如图，连接AO并延长至点 D.
∵∠BOD=∠B+ ,∠COD=∠CAD+ ,∴∠BOC =∠BOD + =∠BAC+∠B+ .
8 字形结论(如图2):∠A+∠B=∠C+∠D.
推理过程:∵∠AOC=∠A+ ,∠AOC=∠C+ ,∴∠A+ =∠C+ .
针对训练
1.如图,DE⊥AB,∠A=25°,∠D=45°,则∠ACD= .
2.一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于 90°.已知∠B 与∠D 的度数分别是 20°和30°,牛叔叔量得∠BCD=142°.请你帮助牛叔叔判断，该零件 .(填“合格”或“不合格”)
3.如图,CE 平分∠ACD,交AB 于点 E.若∠A=40°,∠B=30°,∠BDC=110°,则 ∠BEC 的 度 数 为
1 三角形内角和定理
第 1 课时 三角形内角和及“AAS”定理的证明
1. B 2. D 3.50°4.钝角 5.18° 6.160°
7.解:∠A+∠B+∠C=180°补全证明过程如下:∵PM∥CA,∴∠C=∠MPB,∠A=∠BMP.∵ PN∥BA,∴∠B=∠NPC,∠BMP =∠MPN.∴∠A=∠MPN.∵∠MPB+∠MPN+∠NPC=180°,∴∠A+∠B+∠C=180°.
8. C
9.证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA. ∴△ABC≌△CDA ,∴AB=CD
10.260°11.45° 12. C
13.解:(1)证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,即∠CAB=∠EAD. 在 △ABC 和 △ADE 中,∠CCDED∠EAD,∴△ABC≌△ADE(AAS).(2)∵AB∥DE,∴∠1=∠D=30°.∵△ABC≌△ADE,∴∠B=∠D=30°.∴∠AFB=180°-∠1-∠B=180°-30°-30°=120°.
14.解:在△ABC中,∠BAC+∠B+∠C=180°.∵∠B=70°,∠C=40°,∴∠BAC=180°-70° - 40°= 70°. ∵ AE 平分∠BAC,∴∠EAC= ∠BAC=35°.∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°.在△DAC 中,∠DAC+∠ADC+∠C=180°.∴∠DAC=180°-90°-40°=50°.∴∠DAE=
【拓展提问】
【拓展变式】 证明:过点A作AN⊥BC于点 N.∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE= BC,∴∠ANB=90°.∴∠BAN=90°-∠B.∴∠NAE=∠BAE- ⊥BC,MD⊥BC,∴∠ANE=∠MDE=90°.∴AN∥MD.∴∠M=
第 2 课时 三角形内角和定理的推论
1. C 2.(1)100°(2)60 3.235°4. C 5. B 6. D
7.解:∵∠A=30°,∠D=40°,∴∠BFD=∠A+∠D=70°.又∵∠BED=80°,∴∠B=∠BED-∠BFD=10°.
8. B 9.∠2 △ACE ∠1 ∠2 △BCE ∠B ∠B 10. C 11.24°
12.证明:方法一:由于AC>AB,延长AB至点 D,使 AD=AC,连接CD.∵AD=AC,∴∠D=∠ACD.∵∠ABC 是△BCD 的一个外角,∴∠ABC>∠D.∴∠ABC>∠ACD.∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∴∠ABC>∠ACB.方法二:在边 AC上截取AE=AB,连接BE,证明略.
13.解:(1)证明:∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.又∵∠AEB=∠ABC,∴∠DAC+∠AEB=∠ABC+∠BAD,即∠EFD=∠ADC.(2)(1)中的结论仍成立.理由:∵AD平分∠BAG,∴∠BAD=∠GAD.∵∠FAE=∠GAD,∴∠FAE=∠BAD.又∵∠AEB=∠ABC,∴∠AEB-∠FAE=∠ABC-∠BAD,即∠EFD=∠ADC.
微专题1
∠BAD ∠C ∠COD ∠C ∠B ∠D ∠B ∠D
针对训练
1.70°2.不合格 3.60°
第 1课时 三角形内角和及“AAS”定理的证明
基础题
知识点1 三角形内角和定理
1.如图,在△ABC 中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C 的度数是 ( )
A.100°
B.80°
C.60°
D.40°
2.如图,在△ABC 中,∠B = 55°,∠C = 63°,DE∥AB,则∠DEC= ( )
A.63° B.113° C.55° D.62°
3.如图,在△ABC 中,已知 AD 平分∠BAC,∠B=70°,∠BAD=30°,则∠C 的度数为
4.一个三角形三个内角的度数之比为2：3：7，这个三角形一定是 三角形.
5.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB,∠A=36°,BD 是边AC 上的高,则∠DBC 的度数是
6.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形 ABCD,其中∠B=40°,∠CAD=60°,则∠BCD= .
7.利用下图证明“三角形内角和定理”，写出求证，并把证明过程补充完整.
已知:如图,△ABC及边 BC上的一点 P.
求证: .
证明:过点 P 作 PM∥CA,交 AB 于点 M,作PN∥BA,交 AC 于点 N……
知识点2 全等三角形的判定定理“AAS”及性质
8.如图,AD与BC 相交于点O,OC=OD,添加一个条件后能使用全等三角形的判定定理AAS 判定△AOC≌△BOD 的是 ( )
A. AC=BD
B. OA=OB
C.∠A=∠B
D.∠C=∠B
9.如图，在四边形 ABCD中,AD∥BC,∠B=∠D,连接 AC.求证:AB=CD.
中档题
10.如图，在△ABC中,∠A=50°,点 D,E分别在AB,AC上,则∠1+∠2+∠3+∠4= .
11. 如图，巡逻艇 C 在游轮A 北偏东58°的方向上，巡逻艇 C在游轮B 北偏东 13°的方向上，游轮 B 位于游轮 A的正东方向，则∠ACB 的度数为 .
12.若在△ABC中,∠B=2∠C,则称△ABC 为“可爱三角形”，称∠A 为“可爱角”.现有一个“可爱且等腰的三角形”，这个三角形的“可爱角”应该是 ( )
A.45°或 36°
B.72°或 36°
C.45°或 72°
D.36°,45°或 72°
13. 如图，在△ABC 和△ADE中,∠B=∠D,AC=AE,∠1=∠2,AD,BC相交于点 F.
(1)求证:△ABC≌△ADE.
(2)若 AB∥DE,∠D=30°,求∠AFB 的度数.
综合题
14.如图,在△ABC 中,∠B=70°,∠C=40°,AD⊥BC 于点 D,AE 平分∠BAC,求∠DAE 的度数.
【拓展提问】 若∠B-∠C=α(∠B>∠C),则∠DAE= .(用含α的代数式表示)
【拓展变式】垂线变到三角形外
如图,在△ABC中,AE 平分∠BAC,在 AE的延长线上任取一点 M，过点 M 作MD⊥BC于点D.求证:
第 2 课时 三角形内角和定理的推论
基础题
知识点1 认识三角形的外角
1.如图,在∠1,∠2,∠3中,是△ABC外角的是( )
A.∠1,∠2
B.∠2,∠3
C.∠1,∠3
D.∠1,∠2,∠3
知识点2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
2.(1)(2025 ·乐山)如图 1,∠1 的度数为
(2)如图2,x的值为 .
3.如图,∠BAE,∠CBF,∠ACD 是△ABC 的三个外角.若∠ACD=125°,则∠BAE+∠CBF= .
4.如图,已知直线 l ,l ,l 两两相交,且 l ⊥l .若∠α=50°,则∠β的度数为 ( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
5.如图,AB∥CD,∠A=45°,∠C=20°,则∠E的度数为 ( )
A.20°
B.25°
C.35°
D.45°
6.将一副三角板按照如图所示的方式摆放，且C,B,E三点共线,∠FEB=65°,则∠EDB 的度数为 ( )
A.18°
B.15°
C.12°
D.10°
7.如图,△ABC的边AC 的延长线上有一点 D,F为边AB 上一点,连接DF交BC 于点E.若∠A=30°,∠D=40°,∠BED=80°,求∠B 的度数.
知识点3 三角形的三个外角大于任何一个相它不相邻的内角
8.如图,∠A,∠1,∠2 的大小关系是 ( )
A.∠A>∠1>∠2
B.∠2>∠1>∠A
C.∠A>∠2>∠1
D.∠2>∠A>∠1
9.如图,已知 CE为△ABC外角∠ACD的平分线,CE交 BA 的延长线于点 E.求证:∠BAC>∠B.将下面的过程补充完整.
证明:∵CE 为△ABC 外角∠ACD 的平分线,
∴∠1= (角平分线的定义).
∵∠BAC 是 的一个外角(外角的定义)，
∴∠BAC> (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴∠BAC> (等量代换).
∵∠2是 的一个外角(外角的定义)，
∴∠2> (三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).
∴∠BAC> .
中档题
10.如图，一束平行于主光轴(图中的虚线)的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P,F为焦点.若∠1=150°,∠2=25°,则∠3的度数为 ( )
A.75° B.65° C.55° D.45°
11.如图所示,在△ABC中,D 是边 BC.上一点,∠1 = ∠2,∠3 = ∠4, ∠BAC = 63°, 则∠DAC= .
12.(教材新增习题变式)已知：如图，在△ABC中,AC>AB.求证:∠ABC>∠ACB.
综合题
13.如图,在△ABC中,点E在AC上,∠AEB=∠ABC.
(1)如图1,作∠BAC 的平分线AD,分别交CB,BE 于 D,F 两点.求证:∠EFD=∠ADC.
(2)如图2,作△ABC的外角∠BAG 的平分线AD,交 CB 的延长线于点 D,DA 的延长线交BE 的延长线于点 F.试探究(1)中的结论是否仍成立，为什么
微专题1运用“燕尾形”“8字形”求角度
【以题明法】常用的两个基本图形公式：
燕尾形结论(如图 1):∠BOC=∠BAC+∠B+∠C.
推理过程：如图，连接AO并延长至点 D.
∵∠BOD=∠B+ ,∠COD=∠CAD+ ,∴∠BOC =∠BOD + =∠BAC+∠B+ .
8 字形结论(如图2):∠A+∠B=∠C+∠D.
推理过程:∵∠AOC=∠A+ ,∠AOC=∠C+ ,∴∠A+ =∠C+ .
针对训练
1.如图,DE⊥AB,∠A=25°,∠D=45°,则∠ACD= .
2.一个零件的形状如图所示，按规定∠A 应等于 90°.已知∠B 与∠D 的度数分别是 20°和30°,牛叔叔量得∠BCD=142°.请你帮助牛叔叔判断，该零件 .(填“合格”或“不合格”)
3.如图,CE 平分∠ACD,交AB 于点 E.若∠A=40°,∠B=30°,∠BDC=110°,则 ∠BEC 的 度 数 为
1 三角形内角和定理
第 1 课时 三角形内角和及“AAS”定理的证明
1. B 2. D 3.50°4.钝角 5.18° 6.160°
7.解:∠A+∠B+∠C=180°补全证明过程如下:∵PM∥CA,∴∠C=∠MPB,∠A=∠BMP.∵ PN∥BA,∴∠B=∠NPC,∠BMP =∠MPN.∴∠A=∠MPN.∵∠MPB+∠MPN+∠NPC=180°,∴∠A+∠B+∠C=180°.
8. C
9.证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA. ∴△ABC≌△CDA ,∴AB=CD
10.260°11.45° 12. C
13.解:(1)证明:∵∠1=∠2,∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD,即∠CAB=∠EAD. 在 △ABC 和 △ADE 中,∠CCDED∠EAD,∴△ABC≌△ADE(AAS).(2)∵AB∥DE,∴∠1=∠D=30°.∵△ABC≌△ADE,∴∠B=∠D=30°.∴∠AFB=180°-∠1-∠B=180°-30°-30°=120°.
14.解:在△ABC中,∠BAC+∠B+∠C=180°.∵∠B=70°,∠C=40°,∴∠BAC=180°-70° - 40°= 70°. ∵ AE 平分∠BAC,∴∠EAC= ∠BAC=35°.∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°.在△DAC 中,∠DAC+∠ADC+∠C=180°.∴∠DAC=180°-90°-40°=50°.∴∠DAE=
【拓展提问】
【拓展变式】 证明:过点A作AN⊥BC于点 N.∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE= BC,∴∠ANB=90°.∴∠BAN=90°-∠B.∴∠NAE=∠BAE- ⊥BC,MD⊥BC,∴∠ANE=∠MDE=90°.∴AN∥MD.∴∠M=
第 2 课时 三角形内角和定理的推论
1. C 2.(1)100°(2)60 3.235°4. C 5. B 6. D
7.解:∵∠A=30°,∠D=40°,∴∠BFD=∠A+∠D=70°.又∵∠BED=80°,∴∠B=∠BED-∠BFD=10°.
8. B 9.∠2 △ACE ∠1 ∠2 △BCE ∠B ∠B 10. C 11.24°
12.证明:方法一:由于AC>AB,延长AB至点 D,使 AD=AC,连接CD.∵AD=AC,∴∠D=∠ACD.∵∠ABC 是△BCD 的一个外角,∴∠ABC>∠D.∴∠ABC>∠ACD.∵∠ACD=∠ACB+∠BCD,∴∠ABC>∠ACB.方法二:在边 AC上截取AE=AB,连接BE,证明略.
13.解:(1)证明:∵AD 平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.又∵∠AEB=∠ABC,∴∠DAC+∠AEB=∠ABC+∠BAD,即∠EFD=∠ADC.(2)(1)中的结论仍成立.理由:∵AD平分∠BAG,∴∠BAD=∠GAD.∵∠FAE=∠GAD,∴∠FAE=∠BAD.又∵∠AEB=∠ABC,∴∠AEB-∠FAE=∠ABC-∠BAD,即∠EFD=∠ADC.
微专题1
∠BAD ∠C ∠COD ∠C ∠B ∠D ∠B ∠D
针对训练
1.70°2.不合格 3.60°
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