(共27张PPT)
第16章 二次根式
16.2.1 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的除法
16.2 二次根式的运算
二次根式的除法
1.(2025河南南阳桐柏期末)计算 ÷ 的结果是 ( )
A.4 B.2 C.3 D.
B
解析 原式= = =2.
2.【学科特色·教材变式】计算 ÷ 的结果为 ( )
A. B.2 C.2 D.
B
解析 ÷ = = = =2.
3.(2025河北唐山遵化一模)计算: =_________.
3
解析 原式= = =3.
4.(2025安徽亳州重点中学月考)设长方形的面积为S,相邻的
两边长分别为a,b,若S= ,a= ,则b=__________.
2
解析 ∵S= =ab,a= ,∴ = b,
∴b= = = =2 .
5.【学科特色·教材变式】化简:
(1) . (2) . (3) .
解析 (1)原式= = = .
(2)原式= = = = .
(3)原式= = = .
6.计算:
(1) ÷ (a>0,b>0).
(2) × ÷ .
(3) ÷ ÷ .
解析 (1)原式= = =2a.
(2)原式=5 ×4 ÷2 =(5×4÷2)× =10 .
(3)原式= ÷ ÷ = = .
7.落地钟的钟摆摆动一个来回所需要的时间称为一个周期T
(单位:s),其计算公式为T=2π ,其中l(单位:m)表示摆长,g=
9.8 m/s2.如果一台落地钟摆长为1.8 m,它摆动一个来回发出
一次嘀嗒声,那么听到10次滴答声大约经过了多少时间(π取3.14,
结果精确到1 s)
解析 听到10次滴答声,钟摆摆动了9个来回,
由题意得9T=9×2×3.14× =56.52× =56.52× ≈24(s).
答:听到10次滴答声大约经过了24 s.
分母有理化
8.(2025四川成都期末)无理数 的倒数是 ( )
A. B.-
C. D.-
C
解析 的倒数为 = = ,∴C选项符合题意,故选C.
9.化简:
(1) =__________. (2) =_______.
-
2
解析 (1) = = =2 .
(2) = =- .
最简二次根式
10.(2025安徽合肥庐江期中)下列二次根式中,是最简二次根
式的是 ( )
A. B. C. D.
D
解析 = = ,故 不是最简二次根式,A选项不符合
题意; = ,故 不是最简二次根式,B选项不符合题意;
=2,故 不是最简二次根式,C选项不符合题意; 是最简二次
根式,D选项符合题意.故选D.
方法归纳 最简二次根式的两个特点:(1)被开方数不含分母;
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
11.(2025江苏盐城月考)若 是最简二次根式,且m为整
数,则m的最小值是_________.
2
解析 由二次根式有意义的条件得3m-4≥0,解得m≥ ,当整
数m=2时,二次根式为 ,是最简二次根式,符合题意,∴若
是最简二次根式,则整数m的最小值是2.
故答案为2.
12.(★★☆)下列计算正确的是 ( )
A. ÷ = = =2
B. ÷ =
C. ÷ = = =
D. = = =2
C
解析 ÷ = = =6,选项A错误; ÷ =
= = ,选项B错误; ÷ = = = ,选项C正
确; 和 没有意义,选项D错误.
13.【新考向·代数推理】(2025山东烟台期中,★★☆)已知ab>
0,a+b<0,给出下面各式:① · =-a;② = ;③ · =
1;④ = · .其中正确的是 ( )
A.①② B.②③ C.②④ D.①③
D
解析 ∵ab>0,a+b<0,∴a<0,b<0. · = =|a|=-a,∴①正
确;∵a<0,b<0,∴ , 无意义,∴②④不正确; · =1,∴③
正确.∴正确的是①③,故选D.
14.【学科特色·多解法】(2025安徽合肥庐江月考,★★★)在
解决问题“已知 =a, =b,用含a,b的代数式表示 ”时,
甲的结果是 ;乙的结果是 ;丙的结果是 .则下列说法正
确的是 ( )
A.甲、乙、丙都对 B.只有甲、乙对
C.只有甲、丙对 D.只有甲对
A
解析 【解法一】 = = = = ,故甲的结
果正确; = = = = ,故乙的结果正确; =
=0.6× = × = ,故丙的结果正确.故选A.
【解法二】 = = = = ,故甲的结果正
确; = =6 =6 = = ,故乙的结果正确; =
= = = × = × = ,故丙的结果正确.故
选A.
15.(2025上海浦东新区期中,★★☆)计算: ÷ =
_________.
解析 原式= = = = =
.
16.(2025河南鹤壁淇滨月考,★★☆)已知 = ,且x为
偶数,求(x+2) 的值.
解析 由分式和二次根式有意义的条件,得 解得5≤x
<8,
∵x为偶数,∴x=6.
(x+2) =(x+2)
= = ,
当x=6时,原式= =4 .
17.【新课标·推理能力】阅读材料,并解决下列问题.在比较同
号两数的大小时,通常可以比较两个数的商与1的大小来判断
这两个数的大小,如当a,b都是正数时,①若 >1,则a>b;②若 =
1,则a=b;③若 <1,则a
(1)请用上述方法比较5 与7 的大小.
(2)写出 与 (a为正整数)的大小关系,并证明你的结论.
解析 (1)∵ < ,∴ = <1,∴5 <7 .
(2) < .
证明: ÷ = · = · =
.
∵( +2)2-1<( +2)2,
∴ ÷ <1,∴ < .(共20张PPT)
第16章 二次根式
16.2.2 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算
16.2 二次根式的运算
二次根式的混合运算
1.(2025安徽合肥四十五中一模改编)计算 × -(-1)0的结果
是 ( )
A. B.-2 C.1 D.-1
C
解析 原式= -1=2-1=1.
2.下列计算正确的是 ( )
A. =3
B.( - )÷ =-1
C. ÷ =2
D. ( + )= +2
B
解析 = × + × =3+1=4,故A选项计算错
误;( - )÷ = ÷ - ÷ = - =-1,故B选项计算正确; ÷ =4 × =8,故C选项计算错误; ( + )= × + × = +3,故D选项计算错误.故选B.
3.(2025安徽合肥一六八中期中)估计 ×( + )的值在
( )
A.3和4之间 B.4和5之间
C.5和6之间 D.6和7之间
B
解析 原式= × + × = + =3+ ,∵ < < ,
∴1< <2,∴4<3+ <5,即 ×( + )的值在4和5之间.
4.(2025安徽合肥蜀山期中)计算:
+( )2- × - ÷ .
解析 原式=3 +3- - =3 +3-2- =2 +1.
乘法公式在二次根式运算中的应用
5.(2025河北中考)计算:( + )( - )= ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
B
解析 ( + )( - )=( )2-( )2=10-6=4.
6.(2025安徽合肥蜀山中学月考)若(2+ )2=a+b (a,b均为有
理数),则a+b等于 ( )
A.6 B.9 C.11 D.11
D
解析 ∵(2+ )2=4+4 +3=7+4 =a+b ,a,b均为有理数,
∴a=7,b=4,∴a+b=11.
7.(2025安徽安庆期末)当x= +1时,式子x2-2x+2的值为_______.
4
解析 原式=x2-2x+1+1=(x-1)2+1,
当x= +1时,原式=( +1-1)2+1=3+1=4.
8.【学科特色·教材变式】计算:
(1) × +( +1)( -1).
(2)(3 -1)(1+3 )-(2 -1)2.
解析 (1)原式= +( )2-1=1+2-1=2.
(2)原式=(3 )2-1-(8-4 +1)
=18-1-8+4 -1=8+4 .
9.(2025安徽亳州蒙城期中)先化简,再求值:2(a+ )(a- )-a(a
-6)+6,其中a= -1.
解析 原式=2(a2-3)-a2+6a+6
=2a2-6-a2+6a+6=a2+6a,
当a= -1时,
原式=( -1)2+6( -1)=3-2 +6 -6=4 -3.
10.【学科特色·数学活动】(2025安徽宿州月考,★★☆)老师
设计了一个“接力游戏”,用合作的方式完成二次根式的混
合运算.如图,老师把题目交给一位同学,他完成一步解答后交
给第二位同学,依次进行,最后完成计算.规则是每人只能看到
前一人传过来的式子.接力中,自己负责的式子出现错误的是
( )
B
A.小明和小丽 B.小丽和小红
C.小红和小亮 D.小丽和小亮
解析 因为 ÷ = + ,所以小明没有出
现错误.因为 + = + = + ,所以小丽
出现错误.因为 + =2+ =2+ ,所以小红出现错误.
因为2+ =2+ =2 ,所以小亮没有出现错误.故选B.
11.【新考向·新定义题】(2025浙江杭州萧山文渊中学月考,
★★☆)若规定符号“*”的意义是a*b=ab-b2,则2*( -1)的值
是____________.
4 -5
解析 由题意得2*( -1)=2×( -1)-( -1)2=2 -2-3+2 =
4 -5.
12.(2025安徽淮北五校联考期中,★★☆)如图,某居民小区有
块形状为长方形的绿地ABCD,长(BC)为 米,宽(AB)为
米,现在要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的长方
形花坛(即图中阴影部分),每个长方形花坛的长为( +1)米,
宽为( -1)米.
(1)求长方形ABCD的周长.(结果化为最简二次根式)
(2)除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺
上造价为6元/平方米的地砖,要铺完整个通道,问:购买地砖需
要花费多少元
解析 (1)( + )×2=(8 +5 )×2=13 ×2=26 (米).
答:长方形ABCD的周长为26 米.
(2) × -2×( +1)×( -1)=8 ×5 -2×(13-1)=80-
24=56(平方米),
6×56=336(元).
答:购买地砖需要花费336元.
13.【新课标·推理能力】【新考向·阅读理解题】(2025安徽
名校大联考一模)观察下列一组式的变形过程,然后回答问题:
例1: = = = = -1;
例2: = - , = - , = - .
(1) =______, =_______.
(2)请你用含n(n为正整数)的关系式表示上述各式子的变形规
律:_________.
(3)利用上面的结论,求下列式子的值.
+ + +…+ ÷2.
解析 (1) - ;10-3 .
(2) = - .
(3) + + +…+
= -1+ - + - +…+ -
=-1+ - + - + -…- +
=-1+ =-1+10=9.
∴ ÷2=9÷2=4.5.(共28张PPT)
第16章 二次根式
16.1 二次根式及其性质
二次根式的概念
1.(2025安徽合肥四十八中期中)下列各式一定是二次根式的
是 ( )
A. B. C. D.
B
解析 当x<0时, 无意义,故A选项不符合题意; 是二次根
式,故B选项符合题意;-7<0, 无意义,故C选项不符合题意;
的根指数是3, 不是二次根式,故D选项不符合题意.
2.(2025江苏南通月考改编)下列式子一定是二次根式的是
( )
A. B.
C. D.
C
解析 ∵无论a为何值,a2+1>0恒成立,∴ 一定是二次根
式,其他选项中的式子的被开方数不一定为非负数,故选C.
二次根式有、无意义的条件
3.【学科特色·教材变式】(2025安徽合肥四十五中期末改编)
若式子 在实数范围内有意义,则x的值不可能是( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
D
解析 由题意可知5-4x≥0,解得x≤ .
∴x的值不可能是2.故选D.
4.【学科特色·易错题】若代数式 在实数范围内有意义,
则x的取值范围在数轴上表示为 ( )
A B
C D
A
解析 由题意可知x-1>0,解得x>1.将x>1在数轴上表示如下:
5.(2024甘肃甘南州中考)已知x,y为实数,且满足y= +
+2,则xy的值为 ( )
A.5 B.6
C.8 D.9
D
解析 由题意可得x-3≥0,3-x≥0,∴x=3,∴y= + +2=
2,∴xy=32=9.
二次根式的性质1
6.计算( )2-( )2的结果为 ( )
A.1 B.-1 C.4 051 D.-4 051
A
解析 ∵( )2=2 026,( )2=2 025,
∴( )2-( )2=2 026-2 025=1.
7.计算:- =_________.
-10
解析 因为( )2=a(a≥0),
所以 = =10 ,
所以- 的值为-10 .
8.计算:
(1) .
(2)( )2-(- )2.
解析 (1)原式=(-2)2× =4× =2.
(2)原式=0.08-0.05=0.03.
二次根式的性质2
9.计算 - 的值为 ( )
A. B.- C.- D.-
C
解析 原式= -|-2|= -2=- .
10.已知二次根式 的值为5,那么x的值为 ( )
A.5 B.25
C.-5 D.5或-5
D
解析 ∵ =|x|=5,∴x=±5,故x的值为5或-5.
11.(2025安徽合肥四十五中二模)计算: =___________.
π-3
解析 ∵π≈3.14>3,∴3-π<0,∴ =|3-π|=π-3.
12.(2025湖北宜昌五中期中)若 =3-b,则b的取值范
围为___________.
b≤3
解析 ∵ =3-b,∴ =|b-3|=3-b,
∴b-3≤0,∴b≤3.
13.当m= 时, + 的值为____________.
2 -8
解析 当m= 时,原式=| -4|+|4- |=2 -8.
14.(2024安徽马鞍山东方实验学校期中,★★☆)如果 +a=
0,那么a一定是 ( )
A.负数 B.正数
C.正数或零 D.负数或零
D
解析 ∵ +a=0,∴ =|a|=-a,∴a≤0,即a一定是负数或零.
15.(2025安徽芜湖月考改编,★★☆)已知 + +y=
2025,则 的值为 ( )
A.2 025 B.2 025
C.2 025 D.4 050
C
解析 由题意得 解得x=2,∴y=2 025,
∴ = =2 025.故选C.
16.【学科特色·数形结合思想】(2025安徽安庆太湖期中,★
★☆)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简 -
- 的结果为 ( )
A.-2b B.-2a C.0 D.2a-2b
A
解析 由数轴可知a<0|a-b|=-a-b-(b-a)=-a-b-b+a=-2b,故选A.
17.【新考向·规律探究题】(2025安徽六安霍邱期中,★★★)
已知y= -x+3,当x分别取1,2,3,…,2 025时,所对应的y值
的总和是 ( )
A.2 027 B.2 025
C.2 023 D.2 021
A
解析 由题意可知,当x<2时,y=2-x-x+3=5-2x,即当x=1时,y=5-
2×1=3;当x≥2时,y=x-2-x+3=1,即当x分别取2,3,…,2 025时,y的
值均为1,∴当x分别取1,2,3,…,2 025时,所对应的y值的总和是
3+2 024×1=2 027.
18.(2025黑龙江齐齐哈尔中考,★★☆)若代数式 +
(x-2 025)0有意义,则实数x的取值范围是___________________.
x>3且x≠2 025
解析 ∵代数式 +(x-2 025)0有意义,∴x-3>0且x-2 025≠
0,∴x>3且x≠2 025.
方法归纳 对于既含有二次根式,又含有分母的代数式,求字
母的取值范围时,既要保证二次根式有意义,又要保证分母不
能为零.
19.(2025安徽宣城宁国期中改编,★★☆)已知三角形的两边
长分别为3和5,第三边长为c,化简 - 的
结果为____________.
c-6
解析 由三角形的三边关系可知5-3= - =|c-2|- =c-2- = c-6.
20.(2025湖北武汉江汉期中,★★★)在数轴上,点B在原点左
侧,点A表示的数为a,点B表示的数为b,若点B沿数轴向左平移
1个单位长度到达点A,且 =a2-1,则a的值是_______,b的
值是___________.
1-
-
解析 ∵ =a2-1,∴a2-1=0或a2-1=1,∴a=±1或a=± ,∵点
B在原点左侧,点B表示的数为b,∴b<0,∵点B沿数轴向左平移
1个单位长度到达点A,点A表示的数为a,∴b-1=a,a<0,∴a=-1
或a=- ,∴b=0(舍去)或b=1- ,∴a=- ,b=1- .
21.【新课标·抽象能力】【新考向·阅读理解题】(2025湖北
黄石期中)阅读下列解题过程.
例:若代数式 + 的值是2,求a的取值范围.
解:原式=|a-1|+|a-3|.
当a<1时,原式=(1-a)+(3-a)=4-2a=2,解得a=1(舍去);
当1≤a≤3时,原式=(a-1)+(3-a)=2,符合条件;
当a>3时,原式=(a-1)+(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍去).
∴a的取值范围是1≤a≤3.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法.请你根据上述方
法,解答问题:
(1)当2≤a≤4时,化简: + =_______.
(2)若等式 + =4成立,求a的取值范围.
(3)若 + =10,求a的值.
解析 (1)原式=|a-2|+|a-4|,
当2≤a≤4时,原式=(a-2)+(4-a)=2,故答案为2.
(2) + =|3-a|+|a-7|,
当a<3时,原式=(3-a)+(7-a)=10-2a=4,
解得a=3(舍去);
当3≤a≤7时,原式=(a-3)+(7-a)=4,符合条件;
当a>7时,原式=(a-3)+(a-7)=2a-10=4,
解得a=7(舍去).
∴a的取值范围是3≤a≤7.
(3)由题意得 + =|a+1|+|a-5|=10.
当a<-1时,原式=(-a-1)+(5-a)=4-2a=10,解得a=-3,符合题意;
当-1≤a≤5时,原式=(a+1)+(5-a)=6≠10,不符合题意,舍去;
当a>5时,原式=(a+1)+(a-5)=2a-4=10,解得a=7,符合题意.
∴a的值是-3或7.(共23张PPT)
第16章 二次根式
16.2.1 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
16.2 二次根式的运算
二次根式的乘法
1.(2024江苏南通中考)计算 × 的结果是 ( )
A.9 B.3 C.3 D.
B
解析 × = = =3.
2.【新考向·过程性题】下面的计算和推导过程中,首先错误
的一步是 ( )
∵ = ,(第一步)
∴ =3 ,(第二步)
∵-3 = = ,(第三步)
∴-3 =3 .(第四步)
A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步
C
解析 ∵-3 =- =- ,∴首先错误的一步是第三步.
3.(2025湖北武汉武昌拼搏联盟期中)下列运算正确的是 ( )
A. × = B.9 × =
C. × =18 D. × =6
D
解析 × =2 ,故A选项不符合题意;9 × =9 =9
× =3,故B选项不符合题意; × = =3 ,故C选项不符合
题意; × = = =6,故D选项符合题意.
4.(2025河南周口沈丘期末)下列各数中,与2 的乘积为有理
数的是 ( )
A. B. C. D.3
D
解析 ×2 =2 ,为无理数,故A选项不符合题意; ×2
=6 ,为无理数,故B选项不符合题意; ×2 =2 ,为无理
数,故C选项不符合题意;3 ×2 =18,为有理数,故D选项符合
题意.
5.(2025山西阳泉期中)使 = · 成立的条
件是 ( )
A.x≤3 B.x≥-2
C.-2≤x≤3 D.-2 C
解析 根据二次根式有意义的条件可得 解得-2≤x
≤3.故选C.
6.(1)方程 y· =10的解为___________.
(2)不等式 x· >56的解集为___________.
x>4
y=
解析 (1)原方程可变形为y=10,所以6y=10,所以y= .
(2)原不等式可变形为 x>56,所以14x>56,所以x>4.
7.(2025河北石家庄裕华期中)若 × = ×a =a ,则b-a
=_________.
4
解析 ∵ × = ×2 =2 , × = ×a =a ,
∴a=2,b=6,∴b-a=6-2=4,故答案为4.
8.【学科特色·教材变式】计算:
(1) . (2)4 × .
(3) . (4)2 × × .
(5) .(6) × .
解析 (1)原式= =2x .
(2)原式=4 =4 .
(3)原式= = = .
(4)原式=2× ×
=2× × = ×6 =3 .
(5)原式= = =5 .
(6)原式= = =6 000.
9.(2025江苏淮安期中节选)行文明之举,向高空抛物说“不”.
为进一步研究高空抛物的危害,小亮请教了物理老师,得知高
空抛物下落的速度v(单位:m/s)和高度h(单位:m)近似满足公式
v= (不考虑风速的影响,g≈10 m/s2),已知小亮家所住楼层
的高度是15 m.假如一个物品从小亮家坠落,求该物品落地时
的速度(结果保留根号).
解析 把g≈10 m/s2,h=15 m代入v= ,得
v≈ = = × =10 (m/s).
答:该物品落地时的速度约为10 m/s.
10.(2025安徽合肥一六八中期中,★★☆)下列变形正确的是
( )
A. = ×
B. = × =4×
C. =
D. =25-24=1
C
解析 = = × =4×5=20,二次根式中
的被开方数不能为负数,∴A选项不符合题意; = =
,带分数中整数部分与分数部分是和的关系,∴B选项不符
合题意; = = ,∴C选项符合题意; =
=7,∴D选项不符合题意.故选C.
11.(2025四川眉山苏洵中学期末,★★☆)估计4 × +1的值
在 ( )
A.14与14.5之间 B.14.5与15之间
C.15与15.5之间 D.15.5与16之间
D
解析 4 × +1=4 +1,∵4 +1= +1,14.5=
< < =15,∴15.5< +1<16.故选D.
12.【学科特色·易错题】(2025山东烟台龙口期中,★★★)把
(1-x) 根号外面的因式移到根号内得 ( )
A. B. C.- D.-
D
解析 根据二次根式有意义的条件得x-1>0,∴1-x<0,∴原式=
-(x-1) =- · =- =- .
13.【新考向·地域文化】(★★☆)安徽黄山毛峰历史悠久,
是中国名茶系列之一,如图所示的是黄山毛峰的一种圆柱形
包装铁盒,若其底面半径为2 cm,高为6 cm,则其容积为
_________________(注:铁盒的厚度忽略不计,圆柱的体积
V=πr2h,结果保留根号和π).
120π cm3
解析 V容积=V体积=πr2h=π×(2 )2×6 =120 π(cm3).
14.【新考向·阅读理解题】(2025湖北武汉华美实验学校月
考,★★★)已知m为正整数,若 是整数,则根据 =
=3 可知,m有最小值3×7=21.设n为正整数,
若 是大于1的整数,则n的最小值为_________.
3
解析 ∵ = =10 ,且10 为整数,∴正整数n的
最小值为3.故答案为3.
15.【新考向·规律探究题】(2025安徽安庆太湖期中,★★☆)
已知按规律排列的一列二次根式如下: , , , ,….
(1)根据你发现的规律,猜想第n个式子.
(2)求前8个二次根式的积.
解析 (1)∵第1个式子为 = ,第2个式子为 = ,第
3个式子为 = ,第4个式子为 = ,……,
∴第n个式子是 .
(2) × × × ×…×
=
=1×2×3×4×…×8×3
=120 960.
16.【新课标·运算能力】(2025河北石家庄新乐期末)
(1)用“=”“>”或“<”填空:
4+3______2 ,1+ ______2 ,
5+5______2 .
(2)由(1)中各式猜想m+n与2 (m≥0,n≥0)的大小,并说明理由.
(3)请利用上述结论解决下面问题:某园林设计师要对园林的
一个区域进行设计改造,将该区域用篱笆围成长方形的花圃.
如图所示,花圃恰好可以借用一段墙体,为了围成面积为200 m2的花圃,至少需要篱笆_______m.
解析 (1)>;>;=.
详解:∵4+3=7,2 =4 ,
72=49,(4 )2=48,49>48,
∴4+3>2 ;
∵1+ = >1,2 = = <1,
∴1+ >2 ;
∵5+5=10,2 =10,∴5+5=2 .
故答案为>;>;=.
(2)猜想:m+n≥2 (m≥0,n≥0).
理由:当m≥0,n≥0时,( - )2≥0,
∴( )2-2 · +( )2≥0,
∴m-2 +n≥0,∴m+n≥2 .
(3)40.详解:设花圃平行于墙的一边长为a m,垂直于墙的一边
长为b m,则a>0,b>0,ab=200,根据(2)的结论可得a+2b≥2
=2 =2 =2×20=40,∴至少需要篱笆40 m.
故答案为40.(共27张PPT)
第16章 二次根式
16.2.2 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
16.2 二次根式的运算
同类二次根式
1.(2025安徽淮南田家庵期中)下列二次根式中,与 可以合并
的是 ( )
A. B.
C. D.
A
解析 A. =2 ,与 可以合并,此选项符合题意;B. =3,
不能与 合并,此选项不符合题意;C. 不能与 合并,此选
项不符合题意;D. =3 ,不能与 合并,此选项不符合题
意.故选A.
2.【学科特色·教材变式】(2025安徽合肥包河期中)下列二次
根式中,与 (a>0)是同类二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
C
解析 A. = a;B. =2 ;C. =2a ;D. =2a.
故选C.
方法归纳 对同类二次根式的理解应注意以下几点:(1)判断
几个二次根式是不是同类二次根式,首先将二次根式化为最
简二次根式,其次看被开方数是否相同;(2)几个二次根式是不
是同类二次根式,只与被开方数和根指数有关,与根号外的系
数无关.
3.(2025安徽马鞍山含山一中期中)若 与最简二次根式5
能够合并,则a=_________.
2
解析 =2 ,∵ 与最简二次根式5 能够合并,∴a+
1=3,∴a=2.
二次根式的加减
4.(2025安徽合肥期中)下列计算正确的是 ( )
A. + = =
B.6 - =6+( - )=6
C.3 - =2
D.6 -2 =4
D
解析 A. 与 无法合并,故本选项错误;B.6 - =5 ,故
本选项错误;C.3 - =2 ,故本选项错误;D.6 -2 =4 ,
故本选项正确.
5.(2025甘肃张掖期末)计算 -9 的结果是 ( )
A.- B.
C.- D.
B
解析 -9 =4 -3 = ,故选B.
6.【学科特色·数形结合思想】若a+ = ,则表示实数a的
点会落在数轴的 ( )
A.段①上 B.段②上
C.段③上 D.段④上
B
解析 ∵a+ = ,∴a= - =3 -2 = ,∵ < <
,∴1< <2,即17.【学科特色·教材变式】(2025安徽阜阳颍上期中)如图,将一
根铁丝首尾相接可以围成一个长为 π、宽为 π的长方形.
若将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形,则该圆的半
径是 ( )
A.2 B.6 C.2 D.3
D
解析 由题意得,这根铁丝的总长为2( π+ π)=6 π,
∴将这根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形,
其半径为 =3 .
8.要使 + =b (a,b为整数,且a≠0),则a的最小值为_____,
此时b=_________.
3
5
解析 ∵ =2 ,2 与b 是同类二次根式,∴ 与 是
同类二次根式,∴ 中的整数a的最小值为5,此时 + =
2 + =3 =b ,∴b=3.
9.【学科特色·教材变式】计算:
(1)9 -7 +5 .
(2) - + - .
(3) +2 -3 -8 .
(4) - -( - ).
解析 (1)原式=9 -7×2 +5×4
=9 -14 +20 =15 .
(2)原式=2 -3 +4 - = .
(3)原式=5 +2× -3×6 -8×
=5 + -18 - =-13 .
(4)原式= - -
= - - + =- + .
方法归纳 二次根式加减运算的步骤:①化简:将二次根式化
成最简二次根式;②判断:找出被开方数相同的二次根式;③合
并:类比于合并同类项的运算方法,将被开方数相同的二次根
式合并.
10.(2025安徽芜湖期末,★★☆)若 + = ,则a和b的值不
可能是 ( )
A.2,2 B. ,
C.0,8 D.4,2
D
解析 当a=2,b=2时, + = + =2 = ,故A选项不符
合题意;当a= ,b= 时, + = + = + =2 = ,故
B选项不符合题意;当a=0,b=8时, + = + = ,故C选项
不符合题意;当a=4,b=2时, + = + =2+ ≠ ,故D选
项符合题意.故选D.
11.【学科特色·分类讨论思想】(2025安徽合肥庐江月考,★
★☆)已知一等腰三角形的周长为12 ,其中一边长为2 ,则
这个等腰三角形的腰长为 ( )
A.2 B.5
C.2 或5 D.无法确定
B
解析 由题意知,分情况讨论:①当腰长为2 时,底边长为12
-2×2 =8 ,∵2 +2 =4 <8 ,∴长度为2 ,2 ,8
的三条线段不能构成三角形,舍去;②当底边长为2 时,腰长
为 =5 ,∵2 +5 =7 >5 ,∴长度为2 ,5 ,
5 的三条线段能构成三角形.综上所述,这个等腰三角形
的腰长为5 .
12.(2025北京人大附中期中,★★☆)若 +2 +2x =12,
则x的值为_________.
2
解析 ∵ +2 +2x =12,∴3 + +2 =12,
即3 + +2 =12,∴6 =12,解得x=2,经检验,x=2是原
方程的解.
13.(2025河北邢台信都期末,★★☆)嘉嘉和淇淇同学玩一个
摸球计算游戏,在一个不透明的容器中放入四个小球,小球上
分别标有一个数.现从容器中摸取小球,若摸到白色球,就加上
球上的数;若摸到灰色球,就减去球上的数.
(1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球,请计算出结果.
(2)如图2,若嘉嘉摸出全部的球,计算结果为x,淇淇说:“x的值
能与 合并.”你认为淇淇的说法正确吗 请说明理由.
解析 (1)由题意得 - =2 - ×3 =2 - = .
(2)淇淇的说法正确.
理由:由题意得x= -2 - +
=2 -2× - ×3 +
=2 - - + = ,
∵ =4 ,
∴x的值与 是同类二次根式,可以合并.
故淇淇的说法正确.
14.【新课标·运算能力】(2025吉林长春吉林大学附属中学高
新慧谷学校月考)数学阅读是学生个体根据已有的知识经验,
通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动,是学生
主动获取信息,汲取知识,发展数学思维,学习数学语言的途径
之一.请你先阅读下面的材料,然后根据要求解答提出的问题:
问题情境:设a,b是有理数,且满足a+ b=3-2 ,求ab的值.
解:由题意得(a-3)+(b+2) =0,
∵a,b都是有理数,
∴a-3,b+2也是有理数,
∵ 是无理数,
∴a-3=0,b+2=0,
∴a=3,b=-2,
∴ab=3×(-2)=-6.
解决问题:设x,y都是有理数,且满足x2-2y+ y=8+4 ,求x+y的
值.
解析 ∵x2-2y+ y=8+4 ,
∴(x2-2y-8)+(y-4) =0,
∵x,y都是有理数,
∴x2-2y-8,y-4也是有理数,
∵ 是无理数,
∴x2-2y-8=0,y-4=0,∴x=±4,y=4.
当x=4,y=4时,x+y=8;
当x=-4,y=4时,x+y=0.
综上所述,x+y的值是8或0.
