(共27张PPT)
第18章 勾股定理及其逆定理
第1课时 勾股定理
18.1 勾股定理
勾股定理
1.(2025安徽合肥四十二中期末)已知一直角三角形两直角边
的长分别为9,12,则它的斜边长为 ( )
A.15 B.16 C.17 D.25
A
解析 ∵直角三角形两直角边的长分别为9,12,∴由勾股定理
可得,斜边长为 =15.
2.【新课标·中华优秀传统文化】(2025安徽阜阳颍上期中)下
图是两人某次棋局棋盘上的一部分,若棋盘中每个小正方形
的边长为1,则“车”“帅”两棋子(看成一个点)所在格点(正
方形网格线的交点)之间的距离为 ( )
D
A.10 B.2 C.4 D.2
解析 由题意得,“车”“帅”两棋子所在格点之间的距离
为 =2 .
3.(2025江苏扬州期末)如图,长方形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在
数轴上,若以点A为圆心,AC的长为半径作弧交数轴于点M,则
点M表示的数为 ( )
A. B. -1 C. D. -1
B
解析 由题意可得∠ABC=90°,AC=AM,BC=AD=1,∴AC=
= ,∴AM=AC= ,∴点M表示的数为 -1,故
选B.
4.【学科特色·易错题】(2025河南许昌禹州期中)已知一个直
角三角形的两边长分别为2和 ,则第三边长为 ( )
A.1 B.2 C. D.1或
D
解析 当2是直角边长时,第三边长= = ;
当2是斜边长时,第三边长= =1.
综上所述,第三边的长为 或1.故选D.
5.【学科特色·教材变式】(2025广东潮州饶平期中)如图,在
Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD⊥AB于点D,分
别求出AC,CD的长.
解析 ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,
∴由勾股定理得AB2=AC2+BC2,
即102=AC2+62,解得AC=8,
∵CD⊥AB,∴S△ABC= AC·BC= AB·CD,
∴ ×8×6= ×10CD,∴CD=4.8.
温馨提示 计算直角三角形的高时,常用的方法是面积相等法.
直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.
6.(2025山东菏泽东明期中)课堂上,王老师给出了如图所示的
甲、乙两个图形,能利用面积验证勾股定理a2+b2=c2的是( )
C
A.甲行、乙不行 B.甲不行、乙行
C.甲、乙都行 D.甲、乙都不行
勾股定理的证明
解析 图形甲中大正方形的面积为(a+b)2=a2+2ab+b2,四个直
角三角形的面积和=4× ab=2ab,则中间小正方形的面积=a2+
2ab+b2-2ab=a2+b2,∵中间小正方形的边长为c,∴中间小正方形
的面积为c2,∴a2+b2=c2,∴图形甲能利用面积验证勾股定理;图
形乙中直角梯形的面积为 = a2+ b2+ab,两个直角
三角形的面积和为2× ab=ab,则中间等腰直角三角形的面积
= a2+ b2+ab-ab= a2+ b2,∵中间等腰直角三角形的两条直
角边长都为c,∴中间等腰直角三角形的面积为 c2,∴ a2+ b2
= c2,即a2+b2=c2,∴图形乙能利用面积验证勾股定理.综上分析
可知,甲、乙都行.
7.(2025陕西安康月考)意大利著名画家达·芬奇用如图所示的
方法证明了勾股定理,其中图1的空白部分是由两个正方形和
两个直角三角形组成的,图2的空白部分是由两个直角三角形
和一个正方形组成的.设图1中空白部分的面积为S1,图2中空
白部分的面积为S2.
(1)请用含a,b,c的代数式分别表示S1,S2.
(2)请利用达·芬奇的方法证明勾股定理.
解析 (1)根据题意得,题图1中空白部分的面积S1=a2+b2+2×
ab=a2+b2+ab,题图2中空白部分的面积S2=c2+2× ab=c2+ab.
(2)由S1=S2得a2+b2+ab=c2+ab,∴a2+b2=c2.
方法归纳 证明勾股定理的三个步骤:
(1)读图:观察整个图形是由哪些图形拼接而成的,图中包括几
个直角三角形,几个正方形,它们的边长各是多少.
(2)列式:根据整个图形的面积等于各部分图形的面积和,列出
关于直角三角形三边长的等式.
(3)化简:根据整式的运算化简等式,得出勾股定理.
8.【学科特色·教材变式】(2025安徽合肥四十二中期中,★★
☆)点A,B,C在网格图中的位置如图所示,格点小正方形的边长
均为1,则点C到AB的距离是 ( )
A. B. C. D.
D
解析 如图,连接AC,BC,设点C到线段AB所在直线的距离是h,
∵S△ABC=2×2- ×1×2- ×1×2- ×1×1= ,AB= = ,
∴ × h= ,∴h= ,故点C到AB的距离是 .
9.(2025安徽阜阳重点中学一模,★★☆)如图,在△ABC中,AB=
5,AC=8,∠C=30°.小红作图过程如下:以点A为圆心,AB长为半
径作弧交BC于点D,连接AD,则CD的长是 ( )
A.3 B.2 -4 C.2 D.4 -3
D
解析 过点A作AE⊥BC,垂足为E,如图,
∵AB=AD,AE⊥BD,
∴BE=DE,
∵在Rt△AEC中,AC=8,∠C=30°,
∴AE= AC= ×8=4,
∴CE= = =4 ,BE= = =3,
∴DE=BE=3,∴CD=CE-DE=4 -3.
10.【新考向·数学文化】(2025安徽合肥庐江期中,★★☆)如
图,分别以Rt△ABC的各边为直径作半圆,图中阴影部分在数
学史上被称为“希波克拉底月牙”.当AC=6,BC=3时,“希波
克拉底月牙”的面积为_________.
9
解析 根据勾股定理可得AB= =3 ,
∴S阴影=S半圆AC+S半圆BC+S△ABC-S半圆AB
= π + π + AC·BC- π
= π× + π× + ×6×3- π×
= π+ π+9- π=9.
11.【新考向·动点探究题】(2025广东江门第一实验学校月考改编,
★★★)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=6 cm.
动点P从点B出发,沿射线BC以2 cm/s的速度移动,设运动的时
间为t s.当△ABP为直角三角形时,t的值为___________.
4或
解析 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10 cm,AC=6 cm,∴BC=
= =8(cm).以下分两种情况讨论:
①当∠APB=90°时,点P和点C重合,t=8÷2=4;
②当∠BAP=90°时,点P在线段BC的延长线上,
∵BP=2t cm,BC=8 cm,∴PC=(2t-8)cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+PC2=62+(2t-8)2,
在Rt△ABP中,AP2=BP2-AB2=(2t)2-102,
∴62+(2t-8)2=(2t)2-102,解得t= .
综上,t的值为4或 .
12.【新课标·运算能力】【学科特色·方程思想】(2025江苏
南通海门期末)在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且c≥b≥a.
(1)当△ABC是锐角三角形时,小明猜想:a2+b2>c2.
以下是他的证明过程:
如图1,过点A作AD⊥CB,垂足为D.设CD=x,
∵在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,
在Rt△ADB中,AD2= ① ,
∴b2-x2= ① .
化简,得a2+b2-c2=2ax.
∵a>0,x>0,∴ ② >0,
∴a2+b2-c2>0,∴a2+b2>c2.
其中,①是_______;②是_______.
(2)如图2,当△ABC是钝角三角形时,猜想a2+b2与c2之间的关系
并证明.
解析 (1)c2-(a-x)2;2ax.
(2)a2+b2证明:如图,过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于D,设CD=x,
∵在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a+x)2,
∴b2-x2=c2-(a+x)2,化简,得a2+b2-c2=-2ax,
∵a>0,x>0,∴-2ax<0,∴a2+b2-c2<0,
∴a2+b2第18章 勾股定理及其逆定理
第1课时 勾股定理的逆定理
18.2 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
1.(2025安徽阜阳界首期中)下列几组数中,能作为直角三角形
三边长的是 ( )
A. ,1, B.5,4,12
C.1, ,8 D.32,42,52
A
解析 A.( )2+12=3=( )2, ,1, 能作为直角三角形三边
长,此选项符合题意;B.5+4=9<12,5,4,12不能作为三角形三边
长,此选项不符合题意;C.1+ <8,1, ,8不能作为三角形三边
长,此选项不符合题意;D.32+42=52,32,42,52不能作为三角形的三
边长,此选项不符合题意.
2.(2025安徽亳州期末)如图,在6×7的正方形网格中,点A,B,C都
是网格线的交点,则∠CAB的度数是 ( )
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
B
解析 如图,连接BC,设小正方形的边长为1,
由勾股定理得AC2=32+52=34,BC2=12+42=17,AB2=12+42=17,
∴AB=BC,AC2=BC2+AB2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,
∴∠ACB=∠BAC=45°,故选B.
3.(2025安徽池州期末)△ABC的三边长是a,b,c,下列条件不能
判定△ABC是直角三角形的是 ( )
A.∠A∶∠B∶∠C=5∶12∶13
B.∠A-∠C=∠B
C.a2-b2=c2
D.a∶b∶c=8∶15∶17
A
解析 A.∵∠A∶∠B∶∠C=5∶12∶13,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°× =78°<90°,∴△ABC不是直角三角形,故A选项符合题意;
B.∵∠A-∠C=∠B,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+(∠A-∠C)+∠C=180°,∴∠A=90°,
∴△ABC是直角三角形,故B选项不符合题意;
C.∵a2-b2=c2,∴a2=b2+c2,
∴△ABC是直角三角形,故C选项不符合题意;
D.∵a∶b∶c=8∶15∶17,∴设a=8k,b=15k,c=17k,
∴a2+b2=(8k)2+(15k)2=289k2,c2=(17k)2=289k2,∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形,故D选项不符合题意.
4.(2025广东茂名化州期末)如图,△ABC内部有一点D,且∠ADC
=90°,AB=13,BC=12,AD=4,CD=3.
(1)判断△ABC的形状.
(2)求四边形ABCD的面积.
解析 (1)∵在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=4,CD=3,
∴AC2=AD2+CD2=42+32=25,
∵AB=13,BC=12,
∴AC2+BC2=25+122=169,AB2=132=169,
∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.
(2)S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD= ×5×12- ×3×4=24,
则四边形ABCD的面积为24.
勾股数
5.【新考向·数学文化】(2025安徽滁州凤阳官塘中学期中)我国是最早了解勾股定理的国家之一,勾股定理被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中,是勾股数的是 ( )
A.1,2,3 B.4,5,6
C. , , D.5,12,13
D
解析 ∵12+22≠32,∴1,2,3不是勾股数,故A选项不符合题意;
∵42+52≠62,∴4,5,6不是勾股数,故B选项不符合题意;∵ ,
, 不是整数,∴ , , 不是勾股数,故C选项不符合题
意;∵52+122=132,且5,12,13都是正整数,∴5,12,13是勾股数,D
选项符合题意.
6.【新考向·代数推理】(2025安徽亳州蒙城期中,★★☆)在△ABC中,三边长分别为a,b,c,且a+c=2b,c-a= b,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
A
解析 ∵a+c=2b,c-a= b,∴(a+c)(c-a)=2b· b,
∴c2-a2=b2,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.
7.(2025福建厦门湖里实验中学月考,★★★)如图,在正方形网
格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,点A,B,C,D,E均
在小正方形的顶点上,线段AB,CD交于点F,若∠CFB=α,则
∠ABE等于 ( )
A.180°-α B.180°-2α C.90°+α D.90°+2α
C
解析 如图,过点B作BG∥CD,连接EG,
∵BG∥CD,∴∠ABG=∠CFB=α.
∵BG2=12+42=17,BE2=12+42=17,EG2=32+52=34,
∴BG2+BE2=EG2,∴△BEG是直角三角形,且∠GBE=90°,
∴∠ABE=∠ABG+∠GBE=90°+α.
8.(★★★)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BM⊥AC,垂足为M.
下列说法:①以AB2,BC2,AC2为长度的线段首尾相连能够组成
一个三角形;②以 , , 为长度的线段首尾相连能够
组成一个三角形;③以(AC+BM),(AB+CB),BM为长度的线段首
尾相连能够组成一个直角三角形;④以 , , 为长度
的线段首尾相连能组成直角三角形.其中正确的说法是______.
(填写正确说法的序号)
② ③
解析 在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2+BC2=AC2,∴以AB2,BC2,AC2为长度的线段首尾相连不能够组成一个三角形,①错误;
∵( + )2=AB+2 +BC,( )2=AC,AB+BC>AC,
∴( + )2>( )2,∴ + > ,
∴以 , , 为长度的线段首尾相连能够组成一个三
角形,②正确;
∵AB2+CB2=AC2,(AB+CB)2=AB2+2AB·CB+CB2,
∴(AB+CB)2+BM2=AB2+2AB·CB+CB2+BM2=AC2+2AB·CB+BM2,
∵ AC·BM= AB·CB,∴2AC·BM=2AB·CB,
∴(AC+BM)2=AC2+2AC·BM+BM2=AC2+2AB·CB+BM2,
∴(AB+CB)2+BM2=(AC+BM)2,
∴以(AC+BM),(AB+CB),BM为长度的线段首尾相连能够组成
一个直角三角形,③正确;
假设AB=BC=1,则AC= ,BM= ,此时 + ≠
,∴以 , , 为长度的线段首尾相连不能组成
直角三角形,④错误.
综上,正确的说法有②③.
9.(2025安徽合肥期中,★★☆)如图,在4×4的正方形网格中,每
个边长为1的小正方形的顶点叫作格点,点A,B,C,D是格点.
(1)在网格中找一格点E,使得BE= .
(2)作格点△BDF,使得BF= ,DF= .
(3)在(2)的条件下,∠DBA-∠FBC=_______.
解析 (1)如图,点E,E1,E2,E3均可,任选其一即可.
(2)如图,△DBF即为所求.
(3)45°.详解:如图,连接EF.
由网格特点可得∠DBA=∠EBC,
由勾股定理可得EF= = =BE,
∴BE2+EF2=BF2,∴△BEF是等腰直角三角形,
∴∠EBF=45°,
∴∠DBA-∠FBC=∠EBC-∠FBC=∠EBF=45°.故答案为45°.
10.【新课标·创新意识】【新考向·新定义题】(2025安徽合
肥四十八中期中)通过对“勾股定理”的学习,我们知道,如果
一个三角形中,两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三
角形是直角三角形.我们定义一种三角形:两边的平方和等于
第三边平方的2倍的三角形叫作“和谐三角形”.
(1)根据“和谐三角形”的定义,请你判断:等边三角形_______
“和谐三角形”.(填写“是”或“不是”)
(2)已知某三角形的三边的长分别为 ,3, ,请你判断该三
角形是不是“和谐三角形”,并说明理由.
(3)在Rt△ABC中,三边长分别为a,b,c,且a2=35,c2=70,请你判断
该三角形是不是“和谐三角形”.
解析 (1)是.
详解:不妨设等边三角形ABC的边长为a,
则AB=AC=BC=a,∴AB2+AC2=2a2=2BC2,
∴等边三角形是“和谐三角形”.
(2)该三角形是“和谐三角形”.理由如下:
∵( )2+( )2=18=2×32,
∴以 ,3, 为三边长的三角形是“和谐三角形”.
(3)①当c为斜边长时,b2=c2-a2=70-35=35,∵a2=35,b2=35,c2=70,
不满足两边的平方和等于第三边平方的2倍,∴Rt△ABC不是
“和谐三角形”.
②当b为斜边长时,b2=a2+c2=35+70=105,∵35+105=2×70,∴a2+
b2=2c2,∴Rt△ABC是“和谐三角形”.
综上所述,当c为斜边长时,Rt△ABC不是“和谐三角形”;当b
为斜边长时,Rt△ABC是“和谐三角形”.
微专题 古代数学问题中的勾股数
方法指引 (1)构成勾股数的三个数是正整数,且两个较小数
的平方和等于最大数的平方;
(2)一组勾股数中的各数都乘相同的倍数可以得到一组新的
勾股数.
1.(2025安徽C20教育联盟模拟)勾股定理最早出现在《周髀
算经》:“勾广三,股修四,经隅五”.我国古代把直角三角形的
直角边中较小者称为“勾”,另一较长直角边称为“股”,把
斜边称为“弦”.观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……
这类勾股数的特点是:勾为奇数,弦与股相差1,柏拉图研究了
勾为偶数,弦与股相差2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;……
若此类勾股数的勾为10,则其弦是 ( )
A.25 B.26
C.27 D.28
B
解析 设a,b,c是符合规律的一组勾股数(a偶数且m≥6),则b= -1,c= +1,∴当勾为10时,弦为
+1=26.
2.(2025江苏扬州中考)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究,提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出,不仅简化了勾股数的生成过程,也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;……根据上述规律,写出第⑤组勾股数:
________________.
11,60,61
解析 由题意可得,每一组勾股数的第一个数为组数的两倍加1,后两个数为相邻的两个自然数,故第⑤组勾股数的第一个数为2×5+1=11,设另外两个相邻的自然数分别是n,n+1,由勾股数的定义可知112+n2=(n+1)2,解得n=60,故第⑤组勾股数为11,60,61.
温馨提示 (1)勾股数必须是正整数.
(2)对于任意两个整数m,n(m>n>0),m2+n2,m2-n2,2mn这三个数就
是一组勾股数,可见勾股数有无数组.
(3)常见的勾股数有:①3,4,5;②6,8,10;③8,15,17;④7,24,25;⑤5,
12,13;⑥9,12,15.
(4)判断一组数是不是勾股数的一般步骤:
①确定是不是三个正整数;②确定最大数c;
③计算较小两数的平方和是否等于c2;
④若相等,则这三个数是一组勾股数,否则不是一组勾股数.(共26张PPT)
第18章 勾股定理及其逆定理
第2课时 勾股定理的逆定理的应用
18.2 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理在几何中的应用
1.如图,P是直线l外一点,A,B,C三点在直线l上,且PB⊥l于点B,
若PA=4,PC=3,AC=5,则点P到直线l的距离为 ( )
A. B.2 C. D.
D
解析 ∵PA=4,PC=3,AC=5,∴PA2+PC2=AC2,
∴△APC为直角三角形,且∠APC=90°,
∴S△APC= AP·PC= AC·PB,即 ×4×3= ×5PB,解得PB= ,
∴点P到直线l的距离为 .
2.(2025安徽安庆期末)如图,已知∠A=90°,AC=AB=4,CD=2,BD
=6,则∠ACD=__________度.
45
解析 ∵∠A=90°,AC=AB=4,
∴∠ACB=∠ABC=45°,
在Rt△ABC中,BC= =4 ,
∵CD2+BC2=22+(4 )2=36,BD2=62=36,
∴CD2+BC2=BD2,
∴△BCD是直角三角形,且∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=45°.
3.(2025安徽合肥四十二中期中)如图,已知△ABC中,AB=6 cm,
BC=20 cm,BC边上的中线AD=8 cm,则△ABC的面积为____cm2.
48
解析 ∵AD为BC边上的中线,即D为BC的中点,且BC=20 cm,
∴BD= BC=10 cm,∴BD2=100,
∵AB=6 cm,AD=8 cm,
∴AB2+AD2=36+64=100,∴AB2+AD2=BD2,
∴∠BAD=90°,∴S△ABD= AB·AD= ×6×8=24(cm2),
∵D为BC中点,∴S△ABC=2S△ABD=48 cm2.
4.【学科特色·方程思想】如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=
5,点E为BC上一点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在长方形内点
F处,连接DF,且DF=3,求∠AFD的度数和BE的长.
解析 由折叠可知AB=AF=4,∠AFE=∠B=90°,
∵AD=5,DF=3,32+42=52,∴DF2+AF2=AD2,
∴△ADF是直角三角形,且∠AFD=90°.
∵∠AFE=90°,∴∠DFE=∠AFE+∠AFD=180°,
∴D,F,E三点在同一条直线上,
设BE=EF=x,则DE=3+x,CE=5-x,
在Rt△DCE中,根据勾股定理,得DE2=DC2+EC2,
即(3+x)2=42+(5-x)2,解得x=2,
∴BE=2,∠AFD=90°.
勾股定理的逆定理在生活中的应用
5.【学科特色·教材变式】(2025安徽安庆怀宁期末改编)如图,某港口O位于南北延伸的海岸线上,东面是大海.“远洋”号和“长峰”号两艘轮船同时离开港口O,各自沿固定方向航行,“远洋”号每小时航行12海里,“长峰”号每小时航行16海里,它们离开港口1小时后,分别到达A,B两个位置,且AB=20海里,已知“远洋”号沿着北偏东60°方向航行,那么
“长峰”号航行的方向是南偏东_____度.
30
解析 如图,由题意得OA=12海里,OB=16海里,AB=20海里,
∵122+162=202,∴OA2+OB2=AB2,
∴△OAB是直角三角形,且∠AOB=90°,
∵∠DOA=60°,
∴∠COB=180°-90°-60°=30°,
∴“长峰”号航行的方向是南偏东30°.
6.(2025福建福州闽清期中)某占地面积为400 m2的办公区准备建设一栋办公楼,剩余区域(阴影部分)全部进行绿化,该办公区的规划如图所示.已知AB=12 m,BC=9 m,CD=8 m,AD=17 m,∠ABC=90°.
(1)为了方便工作人员进出,建设单位计划
在绿化区中铺设一条连接点A到点C的直道,
求这条直道AC的长度.
(2)若规划时要求该办公区的绿化面积不低于30%,请判断上
述设计方案是否符合规划要求,并说明理由.
解析 (1)∵AB=12 m,BC=9 m,∠ABC=90°,
∴AC= =15 m.
答:这条直道AC的长度为15 m.
(2)设计方案不符合规划要求.理由如下:
∵AC=15 m,CD=8 m,AD=17 m,
∴CD2+AC2=82+152=289=172=AD2,
∴△ACD是直角三角形,且∠ACD=90°,
∴绿化面积为S△ABC+S△ACD= ×9×12+ ×15×8=114(m2),
∵400×30%=120(m2),114<120,
∴设计方案不符合规划要求.
7.【学科特色·方程思想】(2025安徽阜阳颍上期中改编,★★
☆)如图,已知等腰△ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点,且CD
=4,BD=3,则AD的长为 ( )
A. B. C.2 D.3
B
解析 设AB=AC=x,
∵BC=5,CD=4,BD=3,∴BD2+CD2=BC2,
∴∠BDC=90°,
∵D是腰AB上一点,∴∠ADC=90°,
∴在Rt△ADC中,由勾股定理得AC2=AD2+CD2,
∴x2=(x-3)2+42,∴x= ,∴AD= -3= .
8.【学科特色·教材变式】(2025江西新余分宜期末,★★★)如
图,点P是等边△ABC内一点,连接PA,PB,PC,PA∶PB∶PC=
3∶4∶5,以AC为边作△AP'C≌△APB,连接PP',则有以下结
论:①△APP'是等边三角形;②△PCP'是直角三角形;③∠APB
=150°;④∠APC=105°.其中正确的是________.(把所有正确
结论的序号填在横线上)
①②③
解析 ∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,又∵△AP'C≌
△APB,∴AP=AP',∠P'AC=∠PAB,∴∠PAP'=∠PAC+∠P'AC
=∠PAC+∠PAB=∠BAC=60°,∴△APP'是等边三角形,①正确;
∵PA∶PB∶PC=3∶4∶5,∴设PA=3x,PB=4x,PC=5x,则PP'=
PA=3x,P'C=PB=4x,∵PP'2+P'C2=PC2,∴根据勾股定理的逆定
理可知△PCP'是直角三角形,且∠PP'C=90°,②正确;
由①知△APP'是等边三角形,∴∠AP'P=∠APP'=60°,∴∠APB
=∠AP'C=60°+90°=150°,③正确;
∵∠APP'=60°,∴只有当∠P'PC=45°时,∠APC=105°,根据已知条件无法推出∠P'PC=45°,④不正确.
综上,正确的是①②③.
9.【学科特色·多解法】(2025安徽阜阳期末,★★☆)产业兴旺是乡村振兴的重要基础,产业发展是滋养农民美好生活的源头活水.如图,某乡村有一块三角形空地ABC,计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和△EDC,并分别种植梨树和桃树,经测量,∠EDC=90°,DC=30米,CE=50米,BD=70米,AB=80米,AE=10米,求四边形ABDE的面积.
解析 【解法一】如图,连接BE,
在Rt△DCE中,DC=30米,CE=50米,
∴DE= = =40(米),
在Rt△BDE中,BD=70米,DE=40米,
∴BE= = =10 (米),
在△ABE中,∵AB2+AE2=802+102=6 500=BE2,
∴△ABE是直角三角形,且∠A=90°,∴S四边形ABDE=S△ABE+S△BDE=
×80×10+ ×70×40=1 800(平方米).
【解法二】在△ABC中,AB=80米,AC=AE+CE=60米,BC=BD+
DC=100米,
∴AB2+AC2=802+602=1002=BC2,
∴△ABC是直角三角形,且∠A=90°,
在Rt△EDC中,CE=50米,DC=30米,
∴DE= = =40(米),
∴S四边形ABDE=S△ABC-S△EDC= ×80×60- ×30×40=1 800(平方米).
10.【新课标·创新意识】(2025广西百色期中)【阅读理解】
已知在平面内两点的坐标为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则该两点间的距
离公式为P1P2= .当两点在同一条直线上,
所在直线平行于x轴或垂直于x轴时,两点间的距离公式可化
简成P1P2=|x2-x1|或|y2-y1|.
【方法运用】
(1)若已知两点A(2,3),B(-1,4),试求A,B两点间的距离.
(2)已知点M,N在平行于y轴的同一条直线上,点M的纵坐标为-
4,点N的纵坐标为3,试求M,N两点间的距离.
【拓展运用】
(3)已知一个三角形各顶点的坐标为A(0,5),B(-3,2),C(3,2),你能
判断△ABC的形状吗 试说明理由.
解析 (1)∵点A(2,3),B(-1,4),
∴AB= = ,
即A,B两点间的距离为 .
(2)∵点M,N在平行于y轴的同一条直线上,
∴MN=|3-(-4)|=7,
即M,N两点间的距离为7.
(3)△ABC为等腰直角三角形.
理由:∵A(0,5),B(-3,2),C(3,2),
∴AB= = =3 ,
BC=|3-(-3)|=6,
AC= = =3 ,
∴AB2+AC2=BC2,AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形.(共22张PPT)
第18章 勾股定理及其逆定理
第2课时 勾股定理的应用
18.1 勾股定理
勾股定理的应用
1.【新考向·数学文化】(2025安徽合肥长丰期中)《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是明代数学家程大位.书中记载了一道“荡秋千”问题:“平地秋千未起,踏板一尺离地;送行二步与人齐,五尺人高曾记;仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉;良工高士素好奇,算出索长有几 ”译文:“秋千静止的时候,踏板离地1尺,将它往前推送两步(两步=10尺)时,踏板升高离地5尺,秋千的绳索始终拉得很直,试问秋千绳索有多长 ”
若设秋千绳索长为x尺,则可列方程为 ( )
D
A.x2+102=(x+1)2 B.(x+1)2+102=x2
C.x2+102=(x-4)2 D.(x-4)2+102=x2
解析 由题意可知OA=OB=x尺,AC=1尺,BD=CE=5尺,
则AE=4尺,则OE=(x-4)尺,
由勾股定理可得OE2+BE2=OB2,
则可列方程为(x-4)2+102=x2.故选D.
2.【学科特色·教材变式】(2025福建福州鼓楼文博中学月考)
如图,在高为5 m,坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯,地毯的长
度至少需要 ( )
A.17 m B.18 m
C.25 m D.26 m
A
解析 由勾股定理得楼梯的水平宽度= =12(m),
∵地毯铺满楼梯,其长度等于楼梯的水平宽度与垂直高度的和,∴地毯的长度至少需要12+5=17(m).
3.(2025广西贵港港北一模)如图所示的为雷达示意图,规定:1个单位长度代表100 m,以点O为原点,过数轴上的每一刻度点画同心圆,并将同心圆分成十二等份.一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A,B两处鱼群,那么A,B两处鱼群的距离是( )
C
A.5 m B.400 m C.500 m D.300 m
解析 如图,连接AB,
由题意得,同心圆被分成十二等份,
则∠AOB=360°÷12×3=90°,
又∵1个单位长度代表100 m,
∴OA=300 m,OB=400 m,
∴在Rt△AOB中,由勾股定理可得AB= =500 m,
即A,B两处鱼群的距离是500 m.
4.爱护森林人人有责,图1是山西某中学森林小队为该地区森
林鸟类安装的木屋,木屋为轴对称图形,木屋的相关数据(单
位:cm)如图2所示,则屋顶A到地面MN的距离为________cm.
40
解析 ∵木屋为轴对称图形,∴△ACD是等腰三角形,
作AE⊥CD,垂足为E,如图.
由题意得CD=30+2=32(cm),
∴CE=DE=16 cm,
∵AD=20 cm,∴AE= =12(cm),
∴屋顶A到地面MN的距离为12+12+16=40(cm).
5.(2025安徽阜阳期末)风筝起源于东周春秋时期,距今已有2000
多年.兴趣小组的同学在放风筝时想测量风筝离地面的高度.假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直(线段AB).小组成员测量了相关数据,并画出如图所示的示意图,测得水平距离(BC的长)为8米,且线圈里的10米风筝线已全部放出,牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米.
(1)根据测量数据,计算风筝离地面的高度.
(2)若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离
缩短3米,且手中仍无余线,此时风筝上升了多少米
解析 (1)由题意得∠ACB=90°,AB=10米,BC=8米,DC=1.5米,
∴由勾股定理得AC= =6(米).
∴AD=AC+DC=6+1.5=7.5(米).
答:风筝离地面的高度是7.5米.
(2)如图,设风筝上升到了M的位置,过M作MN⊥BC于N.
由题意知CN=3米,所以BN=BC-CN=8-3=5(米),
∵∠MNB=90°,MB=10米,∴MN= =5 (米).
∴MN- AC=(5 -6)米.
答:此时风筝上升了(5 -6)米.
6.(2025广西贺州昭平期中,★★☆)如图,有一盏由传感器A控
制的灯,装在门上方离地面4.5 m的墙上,任何东西只要移至该
传感器周围5 m及5 m以内,灯就会自动发光,一位身高1.5 m的
学生要使灯刚好发光,则他与门的距离为 ( )
B
A.3 m B.4 m C.5 m D.7 m
解析 如图,设线段CD为身高1.5 m的学生,
连接AC,过点C作CE⊥AB于点E,
由题意可知AB=4.5 m,CD=1.5 m,AC=5 m,
∴BE=CD=1.5 m,
∴AE=AB-BE=4.5-1.5=3(m).
在Rt△ACE中,由勾股定理得CE= = =4(m),
∴学生走到灯刚好发光的地方时,他离墙的距离为4 m.
7.(2025广东珠海紫荆中学期中,★★☆)如图,小明上学途中要
经过A,B两地,由于A,B两地之间有一片草坪,所以需要走路线
AC,CB.小明想知道A,B两地间的距离,测得AC=50 m,∠A=45°,
∠B=30°,则A,B两地间的距离为____________m.
(25+25)
解析 如图,过点C作CH⊥AB于点H,
∵在Rt△ACH中,∠A=45°,∴AH=CH.
在Rt△ACH中,AC=50 m,
由勾股定理得AH2+CH2=AC2,
∴2AH2=502,∴AH=CH=25 m,
∵∠B=30°,∴BC=2CH=50 m,
∴BH= =25 m,
∴AB=AH+BH=(25 +25 )m.
∴A,B两地间的距离为(25 +25 )m.
8.(2025安徽淮南东部联考期中,★★★)如图,OM,ON是两条公路,
∠O=30°,沿公路OM方向离点O160米的点A处有一所学校,当卡车沿道路ON方向行驶时,在以卡车所在的点P为圆心,100米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响,且点P与点A的距离越近,噪声影响越大.假设卡车沿着道路ON方向的行驶速度为5米/秒.
(1)求对学校的噪声影响最大时,卡车与学校之间的距离.
(2)求卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间.
解析 (1)如图,过点A作AH⊥ON于点H,当卡车到达点H时,对
学校的噪声影响最大,卡车与学校之间的距离为AH的长度.
∵∠O=30°,OA=160米,∴AH= OA=80米.
答:对学校的噪声影响最大时,卡车与学校之间的距离为80米.
(2)如图,在ON上取两点C,D,连接AC,AD,使AC=AD=100米.
当卡车在CD段上行驶时,对学校有噪声影响.
∵AC=AD,AH⊥CD,∴CH=DH.
由(1)知AH=80米,∴在Rt△ACH中,由勾股定理得CH=
= =60(米),∴CD=2CH=120米,
∵卡车沿着道路ON方向行驶的速度为5米/秒,
∴影响时间为120÷5=24(秒).
答:卡车沿道路ON方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间
为24秒.
9.【新课标·应用意识】【新考向·项目探究题】(2025四川广
元苍溪期中)某初中八年级数学兴趣小组的同学利用社团活
动时间测量学校壁挂音箱的长,因不方便直接测量,设计方案
如下:
工具 竹竿、米尺
方案及图示
课题 测量壁挂音箱MN的长
相关数据及说明 竹竿长度为5 m,壁挂音箱MN垂直于
地面AB,垂足为点O,线段AM,BN表
示同一根竹竿.第一次将竹竿的一个
端点与点M重合,另一个端点落在地
面的点A处,第二次将竹竿的一个端点与点N重合,另一个端点落在地面的点B处,已知OA=3 m,OB=4 m
计算过程 ……
请根据上述方案中的内容,计算MN的长.
解析 由题意可知∠NOB=90°,
在Rt△OAM中,AM=5 m,OA=3 m,
∴OM= = =4(m),
在Rt△OBN中,BN=5 m,OB=4 m,
∴ON= = =3(m),
∴MN=OM-ON=4-3=1(m),即MN的长为1 m.
