(共19张PPT)
第20章 数据的初步分析
20.5 数据分组
组内离差平方和的计算
1.已知一个样本数据的第一组数据为1,3,5,第二组数据为5,6,
7,则该样本数据的组内离差平方和与组间离差平方和分别为
( )
A.2,7.25 B.4,13.5 C.6,7.25 D.10,13.5
D
解析 这组数据的平均数为4.5,第1组数据的平均数为3,第2
组数据的平均数为6,∴第1组数据的离差平方和=(1-3)2+(3-3)2
+(5-3)2=8,第2组数据的离差平方和=(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2=2,
∴组内离差平方和为8+2=10,组间离差平方和为3×(3-4.5)2+
3×(6-4.5)2=13.5.
2.已知一个样本有三组数据,第一组数据为1,2,3,第二组数据
为3,4,5,第三组数据为6,7,8,则这三组数据的组内离差平方和
为_________.
6
解析 第1组数据的平均数为2,第2组数据的平均数为4,第3组
数据的平均数为7,∴第1组数据的离差平方和=(1-2)2+(2-2)2+
(3-2)2=2,第2组数据的离差平方和=(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2=2,第3
组数据的离差平方和=(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2=2,∴组内离差平方
和为2+2+2=6.
方法归纳 计算组内离差平方和的三个步骤:(1)计算每组数
据的平均数;(2)计算每组数据的组内离差平方和;(3)计算总的
离差平方和.
组内离差平方和的应用
3.佳琪将10名学生参加数学竞赛的成绩分为四组,第一组成绩
为70,75,80,第二组为85,90,第三组为60,65,70,第四组为95,100.
关于这四组数据的组内离差平方和,下列说法不正确的是
( )
A.第一组组内离差平方和是50
B.第二组组内离差平方和最大
C.第三组与第一组的组内离差平方和相等
D.这10名学生数学竞赛成绩的组内离差平方和为125
B
解析 第一组成绩的平均数为(70+75+80)÷3=75,组内离差平
方和为(70-75)2+(75-75)2+(80-75)2=50,A说法正确;第二组成绩
的平均数为(85+90)÷2=87.5,组内离差平方和为(85-87.5)2+(90
-87.5)2=12.5,B说法不正确;第三组成绩的平均数为(60+65+70)
÷3=65,组内离差平方和为(60-65)2+(65-65)2+(70-65)2=50,C说
法正确;第四组成绩的平均数为(95+100)÷2=97.5,组内离差平
方和为(95-97.5)2+(100-97.5)2=12.5,这10名学生数学竞赛成绩
的组内离差平方和为50+12.5+50+12.5=125,D说法正确.
4.【学科特色·教材变式】某机床加工标准直径为100 mm的
零件,为检验质量,从中抽取12件测量其直径(单位:mm),所得
数据如下:
96 98 99 99 100 100
101 102 102 103 103 105
(1)如果将这12个数据按照从小到大的顺序平均分成3组,请计
算这三组数据的组内离差平方和.
(2)由(1)所得结果,判断哪组加工的零件差异较小.
解析 (1)第一组:96,98,99,99.
第二组:100,100,101,102.
第三组:102,103,103,105.
第一组的平均数= ×(96+98+99+99)=98,
第一组的离差平方和为(96-98)2+(98-98)2+(99-98)2+(99-98)2=6,
第二组的平均数= ×(100+100+101+102)=100.75,
第二组的离差平方和为(100-100.75)2+(100-100.75)2+(101-100.
75)2+(102-100.75)2=2.75,
第三组的平均数= ×(102+103+103+105)=103.25,
第三组的离差平方和为(102-103.25)2+(103-103.25)2+(103-
103.25)2+(105-103.25)2=4.75,
∴这三组数据的组内离差平方和为6+2.75+4.75=13.5.
(2)第二组的组内离差平方和最小,所以第二组加工的零件差
异较小.
5.【学科特色·教材变式】(★★☆)数学老师将一次模拟考试
的11名学生的成绩统计如下:99,55,85,77,90,90,82,59,82,80,60,
并按照组内离差平方和达到最小的方法将这些数据分成了两
组,你认为符合要求的分组是 ( )
A.{55},{59,60,77,80,82,82,85,90,90,99}
B.{55,59},{60,77,80,82,82,85,90,90,99}
C.{55,59,60},{77,80,82,82,85,90,90,99}
D.{55,59,60,77},{80,82,82,85,90,90,99}
C
解析 将这11个数据从小到大排列:55,59,60,77,80,82,82,85,
90,90,99,把这11个数据分成两组,共10种情况:第一组1个数据
{55},第二组10个数据{59,60,77,80,82,82,85,90,90,99};第一组
2个数据{55,59},第二组9个数据{60,77,80,82,82,85,90,90,99};
……;第一组10个数据{55,59,60,77,80,82,82,85,90,90,},第二组
1个数据{99}.计算10种情况的组内离差平方和,结果如下:
第1组 第2组 组内离差平方和
0 1 442.4 1 442.4
8 933.555 6 941.555 6
14 349.875 363.875
284.75 264.857 1 549.607 1
522.8 210 732.8
第1组 第2组 组内离差平方和
730.833 3 166.8 897.633 3
879.428 6 102 981.428 6
1 058 54 1 112
1 330.222 2 40.5 1 370.722 2
1 548 0 1 548
计算结果表明,第3种情况的组内离差平方和最小,即{55,59,
60},{77,80,82,82,85,90,90,99}.故选C.
6.(★★☆)7个城市某月的月平均气温(单位:℃)如下表所示:
城市 M N O P Q R S
月平均气温/℃ 11 18 23 14 21 16 25
根据月平均气温的组间离差平方和最大的原则,把这7个城市
分为两组.
解析 将数据从小到大排列:11,14,16,18,21,23,25.这组数据的
平均数 = ≈18.29.
分成两组共有6种情况.
①第一组{11},第二组{14,16,18,21,23,25},
第一组的平均数 =11,第二组的平均数 =19.5,
组间离差平方和=1×(11-18.29)2+6×(19.5-18.29)2≈61.9;
②第一组{11,14},第二组{16,18,21,23,25},
第一组的平均数 =12.5,第二组的平均数 =20.6,
组间离差平方和=2×(12.5-18.29)2+5×(20.6-18.29)2≈93.7;
③第一组{11,14,16},第二组{18,21,23,25},
第一组的平均数 ≈13.67,第二组的平均数 =21.75,
组间离差平方和=3×(13.67-18.29)2+4×(21.75-18.29)2≈111.9;
④第一组{11,14,16,18},第二组{21,23,25},
第一组的平均数 =14.75,第二组的平均数 =23,
组间离差平方和=4×(14.75-18.29)2+3×(23-18.29)2≈116.7;
⑤第一组{11,14,16,18,21},第二组{23,25},
第一组的平均数 =16,第二组的平均数 =24,
组间离差平方和=5×(16-18.29)2+2×(24-18.29)2≈91.43;
⑥第一组{11,14,16,18,21,23},第二组{25},
第一组的平均数 ≈17.17,第二组的平均数 =25,
组间离差平方和=6×(17.17-18.29)2+1×(25-18.29)2≈52.6.
通过计算可知,当分组为第一组{11,14,16,18},第二组{21,23,2
5}时,组间离差平方和最大,所以按组间离差平方和最大的分
法为{M,P,R,N}和{Q,O,S}.(共31张PPT)
第20章 数据的初步分析
20.2.3 中位数与众数
20.2 数据的集中趋势
中位数
1.【学科特色·教材变式】(2025安徽池州贵池开学考)适量的运动有助于身体健康.经常运动的人在静息状态下心率的范围是60次/分~80次/分.某校篮球队15名学生的心率测量数据如下表:
心率/(次/分) 60 68 70 73 80
人数/名 2 5 5 1 2
则这15名学生心率的中位数是 ( )
A.65次/分 B.67.5次/分 C.70次/分 D.72.5次/分
C
解析 ∵共有15名学生,中位数是将心率按大小顺序排列后
的第8个数,∴这15名学生心率的中位数是70次/分.故选C.
2.(2025安徽阜阳颍上期末)在某次射击训练中,一位选手的10
次射击成绩(单位:环)如图所示,则该选手10次射击成绩的中
位数是_________环.
9
解析 该选手10次射击成绩从小到大排列为6,7,8,8,9,9,9,9,
10,10,∴这组数据的中位数为 =9.
方法归纳 将所给的一组数据按大小顺序依次排列(相等的
数也要全部参加排序)后,当数据的个数是奇数时,中位数就是
最中间的那个数据;当数据的个数是偶数时,中位数就是最中
间两个数据的平均数.
众数
3.(2025广西中考节选)某校组织各班围绕“关注普遍的眼健
康”开展了手抄报评比,其中九年级6个班得分为8,9,7,9,10,9,
则这组数据的众数为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
C
解析 这组数据中,9出现3次,次数最多,所以这组数据的众数
为9.
4.(2025安徽合肥肥西期末)若一组数据3,3,x,5,5,9的众数为5,
则这组数据的中位数是_________.
5
解析 因为一组数据3,3,x,5,5,9的众数为5,所以x=5,所以这组
数据为3,3,5,5,5,9,则这组数据的中位数为5.
平均数、中位数和众数的综合
5.【学科特色·分类讨论思想】(2025安徽芜湖无为期末改编)
甲、乙、丙、丁四人的数学成绩分别是x分,90分,90分,80分,
若这组数据有唯一众数,且众数与平均数恰好相等,则这组数
据的中位数是__________.
90
解析 由题意知众数是90,∵众数与平均数相等,∴ ×(90+90
+x+80)=90,解得x=100.∴这组数据为80,90,90,100,∴中位数为
90.
6.(2025安徽合肥二十九中期末节选)某校开展了“垃圾分类
知识竞赛”活动,并从七、八年级中各抽取20名学生的竞赛
成绩进行整理、描述和分析(竞赛成绩用x表示,总分为100分,
共分成五个等级:A:90≤x≤100;B:80≤x<90;C:70≤x<80;D:60
≤x<70;E:50≤x<60).
下面给出了部分信息:
七年级所抽学生成绩在B等级的情况分别为85,82,80,85,85,8
1,85,83,85,88.
八年级所抽学生成绩在B等级的情况分别为82,84,80,84,85,81,
82,84,84.
年级 平均分 众数 中位数 A等级
七年级 83 a b 15%
八年级 83 84 82 m%
七、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、众
数、等级情况如表:
根据以上信息解答下列问题:
(1)上述表中,a=_______,b=_______,m=_______.
(2)根据以上数据,你认为哪个年级对垃圾分类知识掌握得更
好 请说明理由(写出一条即可).
解析 (1)在七年级成绩中,A,C,D,E各等级人数均小于5,B等
级中85出现5次,故85出现的次数最多,故众数为85,即a=85;
把七年级成绩从小到大排列,排在第十和第十一个的数分别
是82,83,故中位数为 =82.5,即b=82.5;
由题意得,m%=1-5%-15%-15%- ×100%=20%,即m=20.故答
案为85;82.5;20.
(2)我认为七年级对垃圾分类知识掌握得更好,理由如下:因为
两个年级的竞赛成绩的平均分相同,七年级竞赛成绩的中位
数和众数均比八年级的大,所以七年级对垃圾分类知识掌握
得更好.(答案不唯一,合理即可)
7.(2025安徽芜湖南陵期末,★★☆)篮球场上初二(1)班5名同
学正在比赛,场上队员的身高(单位:cm)是170,176,176,178,18
0.现将场上身高为170 cm和180 cm的队员换成172 cm和176
cm的队员,与换人前相比,场上队员的身高 ( )
A.平均数不变,众数不变 B.平均数变小,众数变大
C.平均数变小,众数不变 D.平均数不变,众数变大
C
解析 ∵原数据的平均数为 ×(170+176+176+178+180)=176,
众数是176.新数据的平均数为 ×(172+176+176+176+178)=
175.6,众数是176,∴平均数变小,众数不变.故选C.
8.(2025河北石家庄一模,★★☆)五名学生投篮球,每人投10次,统计他们每人投中的次数,得到五个数据.若这五个数据的中位数是5,唯一众数是6,则他们投中次数的总和可能是 ( )
A.16 B.17 C.24 D.25
C
解析 ∵5个数据的中位数是5,唯一众数是6,
∴最大的三个数的和是5+6+6=17,
∴两个较小的数一定是小于5的非负整数,且不相等,即两个较
小的数最大为3和4,最小为0和1,
∴总和一定大于或等于18且小于或等于24.
∴他们投中次数的总和可能是24.故选C.
9.(2025安徽蚌埠淮上三模,★★☆)某校七年级运动队为了备
战校运动会需要购置一批运动鞋.已知该队伍有20名同学,统
计表如下表.由于不小心弄脏了表格,有两个数据看不到.
鞋码 38 39 40 41 42
人数 5 3 2
下列关于鞋码的说法中正确的是 ( )
A.中位数是40,众数是39 B.中位数与众数一定相等
C.平均数 满足39< <40 D.平均数可能为39
C
解析 由于38,41,42码的人数和为10,而39,40码对应的人数不
知,故不能确定出中位数和众数,也不能确定出中位数与众数
是否相等,故A,B选项错误;当39码的人数为10,40码的人数为0
时,平均数=(38×5+39×10+41×3+42×2)÷20=39.35;当39码的人数为0,40码的人数为10时,平均数=(38×5+40×10+41×3+42×2)÷20=39.85,∴这组数据的平均数满足39< <40,故C选项正确,D选项错误.故选C.
10.【学科特色·方程思想】(2025安徽滁州全椒期末,★★☆)
在一组数据21,30,8,5,20中插入一个数x,恰好得中位数是19,则
插入的数是__________.
18
解析 将数据从小到大排列为5,8,20,21,30,
∵插入一个数x后,中位数是19,∴(20+x)÷2=19,解得x=18.
11.(2025浙江温州实验中学月考,★★★)下表为某班某次数
学考试成绩的统计表.已知全班共有38人,且众数为50分,中位
数为60分,则x2-y2的值等于__________.
15
成绩/分 20 30 40 50 60 70 90 100
人数/人 2 3 5 x 6 y 3 4
解析 ∵全班共有38人,∴2+3+5+x+6+y+3+4=38,∴x+y=15,
∵众数为50分,中位数为60分,∴
∴解得6y,
∵x,y为整数,x+y=15,
∴x=8,y=7,
∴x2-y2=82-72=64-49=15.
12.【新课标·应用意识】(2025安徽六安舒城模拟)某校对九年级男生进行体育健康监测,九(1)班共20名男生,他们引体向上的成绩按照高低排序依次为64,56,52,45,44,44,42,42,36,36,32,29,24,
22,20,19,18,16,14,14.
素材一:《国家学生体质健康标准》将九年级男生引体向上的测试成绩分为四个等级:优秀(x≥45),良好(32≤x<45),及格(18≤x<32),不及格(x<18),其中x表示测试成绩(单位:个),且x为整数.
素材二:九年级全体男生引体向上测试成绩统计表
平均数 中位数 优秀率 及格率
34.7 31.5 17.3% 92%
请根据相关信息,回答下列问题:
(1)根据九(1)班所测数据并结合素材一,补全九(1)班全体男生
引体向上测试成绩统计表.
平均数 中位数 优秀率 及格率
33.45 a= b= 85%
(2)下列说法中一定正确的是_______(多选).
①该校参加测试的九年级男生人数一定为偶数.
②可能存在某个成绩在学校排名中等以上,在九(1)班排名中
等以下.
③九(1)班以外的其余男生引体向上的优秀率一定低于17.3%.
(3)请你结合九(1)班全体男生引体向上测试成绩对比九年级
男生引体向上测试成绩,对九(1)班全体男生引体向上测试成
绩的达标情况做出评价,并提出一条合理化建议.
解析 (1)a= =34,b= ×100%=20%.
(2)说法一定正确的是①②③,理由如下:九年级全体男生测试
成绩的中位数为小数,而样本数据为整数,故中位数一定是两
个整数的平均数,也就是说九年级男生人数一定是偶数,故①
正确;九年级全体男生测试成绩的中位数是31.5,九(1)班全体
男生测试成绩的中位数是34,若一个学生成绩为32,则在九年
级排在中等以上,在九(1)班只能排在中等以下,故②正确;由于
九(1)班男生引体向上的优秀率为20%,高于九年级男生引体
向上的优秀率,故九(1)班以外的男生引体向上的优秀率一定低于17.3%,故③正确.
(3)如果从平均数和及格率来看,九(1)班与九年级平均成绩尚
有差距,如果从中位数和优秀率来看,九(1)班比九年级平均成
绩高,建议九(1)班加强不及格学生的训练,提高及格率和平均
分.(答案不唯一,合理即可)(共13张PPT)
第20章 数据的初步分析
20.2.1 平均数
20.2 数据的集中趋势
平均数的计算
1.(2025江苏淮安淮阴一模)一组数据1,3,5,2,4的平均数是
( )
A.1 B.2 C.3 D.6
C
解析 数据1,3,5,2,4的平均数是 =3.
2.(2025安徽淮南期末)已知一组数据8,4,5,4,a,7的平均数为5,
则a=_________.
2
解析 由题意得 =5,解得a=2.
用计算器求平均数
3.利用计算器求一组数据的平均数.其按键顺序如下:MODE 2
1DT 4 DT 3 DT 8 DT SHIFT S-VAR 1 =,则输出的结果为
( )
A.1 B.3.5 C.4 D.9
C
解析 由按键顺序知,本题在用计算器求1,4,3,8的平均数,(1+
4+3+8)÷4=16÷4=4,∴输出的结果为4.
4.已知数据9.9,10.3,9.8,10.1,10.4,10,9.8,9.7,利用计算器求得这
组数据的平均数是__________.
10
解析 利用计算器计算平均数为10.
平均数的应用
5.【学科特色·教材变式】(2025安徽滁州来安二模)一位射击
运动员在一次训练效果测试中射击了10次,成绩如图所示,则
这10次射击成绩的平均数是 ( )
C
A.6 B.7
C.8 D.9
解析 =8.
6.(2025河南郑州五十七中自主招生)在一年一度的“1分钟定时跳绳比赛”中,妙想前两轮平均成绩是每分钟118次,那么在第三轮比赛中妙想至少要跳_____次,才能让这三次的平均成绩不低于每分钟120次.
124
解析 设在第三轮比赛中妙想跳x次,由题意得 ≥120,
解得x≥124.
7.(2025安徽阜阳颖州阜合实验中学期中,★★☆)已知数据a1,
a2,…,a8的平均数是2,则数据2a1+100,2a2+100,…,2a8+100的平
均数是 ( )
A.2 B.98 C.102 D.104
D
解析 ∵数据a1,a2,…,a8的平均数是2,
∴所求平均数为2×2+100=104.
8.【新课标·中华优秀传统文化】(2025内蒙古包头昆都仑期
末,★★☆)中药是以我国传统医药理论为指导,经过采集、炮
制、制剂而得到的药物.在一个时间段,某中药房的黄芪、焦
山楂、当归三种中药的售价和销售额情况如表:
中药 黄芪 焦山楂 当归
售价/(元/千克) 80 60 90
销售额/元 120 120 360
则在这个时间段,该中药房的这三种中药的平均销售量为_____千克.
2.5
解析 黄芪的销售量为120÷80=1.5(千克),焦山楂的销售量为
120÷60=2(千克),当归的销售量为360÷90=4(千克).∴该中药
房的这三种中药的平均销售量为 =2.5(千克).
9.【学科特色·教材变式】(★★☆)某运动会大跳台决赛的打
分规则:6名裁判打分,去除一个最高分和一个最低分,剩余4个
分数的平均值为该选手的成绩.下表是中国一选手第一跳的
得分情况,其中裁判4,裁判5的打分(分别为94分和a分)被去除.
裁判1 裁判2 裁判3 裁判4 裁判5 裁判6 最终分
94分 94分 94分 94分 a分 b分 93.75分
请根据表中信息,解决以下问题.
(1)求b的值.
(2)判断a是不是最低分并说明理由.
(3)从平均数的特征说说打分规则中去除一个最高分及一个
最低分的合理性.
解析 (1)由题意得 =93.75,解得b=93.
答:b的值为93.
(2)a是最低分,由题意可知a≤93,否则就不满足平均数是93.7
5,且去掉的是94分和a分.
(3)由于平均数容易受到极端值的影响,因此去除一个最高分
及一个最低分可以避免平均数受极端值的影响.(共22张PPT)
第20章 数据的初步分析
20.1 数据的频数分布
频数与频率
1.(2025山东淄博淄川期末)体育老师对八年级(2)班的学生进
行了调查,调查内容为“你最喜欢的体育项目是什么 (只写一
项)”,并把所得数据绘制成如图所示的折线统计图.由图可
知,最喜欢篮球的学生的频率是 ( )
D
A.16% B.24%
C.30% D.40%
解析 由题图可知共有4+12+6+20+8=50人,其中最喜欢篮球
的有20人,故最喜欢篮球的频率=20÷50=0.4,即40%.
2.(2025安徽蚌埠期末改编)已知在一个样本中,将100个数据
分成4组,其中第一组的频数是15,第二组与第三组的频率之和
是0.6,那么第四组的频数是__________.
25
解析 第四组的频数是100-15-100×0.6=25.
频数分布表
3.(2025安徽合肥庐江柯坦中学期末)有65个数据,最大值为93,
最小值为21,将数据适当分组,绘制成相应的频数分布表,若组
距定为7,则组数为 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
C
解析 93-21=72,72÷7=10……2,
∴组数为10+1=11.
4.【学科特色·教材变式】(2025安徽合肥蜀山期末)小涵同学通过查看通话记录得知了他家5月份打电话的次数及通话时间,并列出了频数分布表:
通话时间x/min 频数
051015x>20 5
若通话时间不超过15 min的频数为66,则通话时间不超过10 min
的频率为___________.
0.6
解析 通话时间不超过10 min的频率为 =0.6.
频数直方图
5.【学科特色·教材变式】某校为了了解学生在校吃午餐所需
时间的情况,抽查了20名同学在校吃午餐所花的时间,获得如
下数据(单位:min):
10,12,15,10,16,18,19,18,20,38,
22,25,20,18,18,20,15,16,21,16.
(1)若将这些数据分为6组,请列出频数分布表,画出频数直方图.
(2)根据频数直方图,你认为校方安排学生吃午餐的时间多长
为宜 请说明理由.
解析 (1)数据的最大值是38,最小值为10,38-10=28,分6组,组
距为5,为了统计每组分点数值前移0.5,频数分布表如下:
午餐时间/min 划记 频数
9.5~14.5 3
14.5~19.5 正正 10
19.5~24.5 正 5
24.5~29.5 1
29.5~34.5 0
34.5~39.5 1
频数直方图如下:
(2)校方安排学生吃午餐时间在25 min左右为宜,因为约有90%
的学生在25 min内可以就餐完毕.
6.(2025安徽合肥庐江柯坦中学月考,★★☆)为迎接学校艺术
节,七年级某班进行班级歌词征集活动,作品上交时间为星期
一至星期五.班委会把同学们上交的作品件数按每天一组分
组统计,绘制的频数直方图如下.已知从左至右各长方形的高
的比为2∶3∶4∶6∶1,第二组的频数为9,则全班上交的作品
有__________件.
48
解析 由题意知第二组的频率为 ,第二组的频数为9,故全
班上交的作品有9÷ =48件.
7.(2025浙江金华东阳二模,★★☆)某校九年级学生共600人,
为了解九年级学生的体能情况,从中随机抽取部分学生进行1
分钟的跳绳测试,小慧将这次测试结果的数据分成6组绘成如
图所示的频数直方图,并发现跳绳次数不少于105次的同学占
96%,①②两组频率之和为0.12,且第②组与第⑥组的频数都
是12,第②③④组频数之比为4∶17∶15.请根据小慧提供的材
料,解答如下问题:
(1)这次跳绳测试共抽取了多少名学生
(2)第④组的频数与频率分别是多少
(3)现学校计划表彰前24%的学生,请结合频数直方图确定被
表彰学生的1分钟跳绳次数,并说明理由.
解析 (1)∵跳绳次数不少于105次的同学占96%,∴第①组占4%,
∵①②两组频率之和为0.12,且第②组与第⑥组的频数都是1
2,∴第②组的频率为0.12-0.04=0.08,
∴这次跳绳测试共抽取学生12÷0.08=150(名),即这次跳绳测
试共抽取了150名学生.
(2)∵第②③④组频数之比为4∶17∶15,第②组的频率为0.08,
第②组的频数是12,∴第④组的频数为12÷4×15=45,频率为
0.08÷4×15=0.30.
(3)被表彰学生的1分钟跳绳次数不少于135次.理由:
第⑤组的频率为96%-0.08÷4×(4+17+15+4)=0.16,第⑥组的频
率为0.08,
∴第⑤组和第⑥组的频率之和为0.16+0.08=0.24,
∵学校计划表彰前24%的学生,
∴被表彰学生1分钟的跳绳次数不少于135次.
8.【新课标·数据观念】6月5日是世界环境日,为增强学生的
环保意识,某学校开展了以“低碳生活,绿色相伴”为主题的
环保知识竞赛.为了解该校七年级学生对环保知识的掌握情
况,调查小组从该校七年级随机抽取部分学生的测试成绩(百
分制,单位:分)进行了整理、描述和分析,下面给出了部分信息:
a.该校七年级部分学生测试成绩的频数分布表如下:
组别 测试成绩/分 频数
第1组 50≤x<60 a
第2组 60≤x<70 6
第3组 70≤x<80 b
第4组 80≤x<90 14
第5组 90≤x≤100 8
b.该校七年级部分学生测试成绩的频数直方图及扇形图如下:
请根据图表中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次调研,从该校七年级随机抽取了_______名学生进行
调查.
(2)表中a=_______,b=_______,第3组所对应的扇形的圆心
角的度数是_______°.
(3)补全频数直方图.
(4)已知该校七年级学生共计300人,如果测试成绩不低于80分
为优秀,请你根据调查结果,估计该校七年级学生测试成绩达
到优秀的人数为_______.
解析 (1)6÷15%=40(名),故答案为40.
(2)a=2,b=40-2-6-14-8=10,
第3组所对应的扇形的圆心角的度数为360°× =90°.
故答案为2;10;90.
(4)300× =165(人),故答案为165.
(3)补全频数直方图如下:(共14张PPT)
第20章 数据的初步分析
20.2.2 加权平均数
20.2 数据的集中趋势
加权平均数及其应用
1.(2025安徽合肥期末)某单位男职工数与女职工数之比为5∶
3,男、女职工的平均年龄分别为40岁和30岁,则该单位职工的
平均年龄为 ( )
A.36岁 B.36.25岁 C.36.5岁 D.37岁
B
解析 平均年龄为 =36.25(岁).
2.(2024四川南充中考)学校举行篮球技能大赛,评委从控球技
能和投球技能两方面为选手打分,各项成绩均按百分制计,然
后再按控球技能占60%,投球技能占40%的比例计算选手的综
合成绩(百分制).选手李林控球技能得90分,投球技能得80分,
则李林的综合成绩为 ( )
A.170分 B.86分 C.85分 D.84分
B
解析 李林的综合成绩为90×60%+80×40%=86(分).
3.【学科特色·教材变式】(2025福建中考)某公司为选拔英语翻译员,举行听、说、读、写综合测试,其中听、说、读、写各项成绩(百分制)按4∶3∶2∶1的比例计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如表:
听 说 读 写 最终成绩
甲 A 70 80 90 82
乙 B 90 80 70 82
由以上信息,可以判断A,B的大小关系是A______B.(填“>”
“=”或“<”)
>
解析 由题意得 =82,解得A=90,
=82,解得B=80,∵90>80,∴A>B.
方法归纳 加权平均数是将各数值分别乘对应的权数,然后
相加求和得到总体值,再除以总的单位数,所以加权平均数的
大小不仅取决于每个数值的大小,而且取决于各数值对应的
权数.
4.【学科特色·教材变式】(2025安徽亳州谯城三模改编)我省
某市中考体育特长生主要考100 m、800 m、跳高、跳远、铅
球、篮球六项(每项满分10分),红星初中有小李、小王、小赵
三名同学报名参加了今年该市体育特长生的考试,已知该市
分配给红星初中体育特长生1个招生名额,三位同学参加体育
特长生考试的成绩如下表所示:
100 m 800 m 跳高 跳远 铅球 篮球
小李 8 9 9 8 7 7
小王 5 9 8 9 9 5
小赵 7 8 7 8 8 9
(1)如果六项同等重要,则_______同学会被录取为体育特长生.
(2)若100 m、800 m、跳高、跳远、铅球、篮球所占的百分
比分别为20%,5%,10%,10%,25%,30%,则_______同学会被录
取为体育特长生.
小赵
小李
解析 (1)小李的平均成绩为 =8,
小王的平均成绩为 =7.5,
小赵的平均成绩为 = ,
∵8> >7.5,
∴小李同学会被录取为体育特长生.
(2)小李的成绩为8×20%+9×5%+9×10%+8×10%+7×25%+
7×30%=7.6,
小王的成绩为5×20%+9×5%+8×10%+9×10%+9×25%+5×
30%=6.9,
小赵的成绩为7×20%+8×5%+7×10%+8×10%+8×25%+9×
30%=8,
∵8>7.6>6.9,∴小赵同学会被录取为体育特长生.
5.(2025云南昭通期中,★★☆)设甲糖果的单价为m元,乙糖果
的单价为10元,则由2千克甲糖果和n千克乙糖果混合而成的
什锦糖果的单价应设为 ( )
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
C
解析 依题意得由2千克甲糖果和n千克乙糖果混合而成的什
锦糖果的单价应设为m· +10× = 元.故选C.
6.【新考向·条件开放题】(2024福建中考,★★☆)已知A,B两
地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次普通高中学业水
平考试中,A地甲类学校有考生3 000人,数学平均分为90分;乙
类学校有考生2 000人,数学平均分为80分.
(1)求A地考生的数学平均分.
(2)若B地甲类学校数学平均分为94分,乙类学校数学平均分为
82分,据此,能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学
平均分高 若能,请给予证明;若不能,请举例说明.
解析 (1)由题意得A地考生的数学平均分为 ×(90×3 000
+80×2 000)=86(分).
(2)不能.举例如下:
若B地甲类学校有考生1 000人,乙类学校有考生3 000人,则B地
考生的数学平均分为 ×(94×1 000+82×3 000)=85(分),
因为85<86,所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生
数学平均分高.(答案不唯一,只要学生能作出正确判断,并且
所举的例子能说明其判断即可)(共12张PPT)
第20章 数据的初步分析
20.2.4 用样本平均数估计总体平均数
20.2 数据的集中趋势
用样本平均数估计总体平均数
1.(2025四川德阳天立学校月考)某商场6月份随机调查了6天
的营业额,结果分别为(单位:万元):2.8,3.2,3.4,3.0,3.1,3.7,试估
算该商场6月份总营业额是 ( )
A.84万元 B.96万元
C.93万元 D.111万元
B
解析 = =3.2(万元),∴该商场6月
份总营业额大约是3.2×30=96(万元).故选B.
2.(2025河南郑州金水一模)孟津梨,河南省洛阳市孟津区特产,
是全国农产品地理标志.某村张大伯前年在驻村扶贫工作队
的帮助下种了500棵孟津梨树,今年进入结果期,他随机选取了
8棵梨树,采摘后分别称重.每棵梨树果子的总质量(单位:kg)分
别为30,40,50,35,45,40,45,35,则这500棵梨树果子的总质量约
为______________kg.
20 000
解析 (30+40+50+35+45+40+45+35)÷8=40(kg),∴这500棵梨
树果子的总质量约为40×500=20 000(kg).
3.【学科特色·教材变式】(2025湖南益阳沅江两校期末)某小
区有1 300个住户,为了解小区居民的生活垃圾量(单位:kg),物
业公司某日在该小区内随机抽取4栋楼的住户进行调查,结果
如表所示.根据表格,估计该小区居民当日产生的生活垃圾总
量为_____________kg.
2 470
所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋
住户数 30 40 10 20
该栋所有住户当日产生的生活垃圾总量/kg 40 45 70 35
解析 由题表可知抽取的4栋楼一共有30+40+10+20=100(个)
住户,抽取的4栋楼当日产生的生活垃圾总量为40+45+70+35=
190(kg),则该小区1 300个住户当日产生的生活垃圾总量为
1 300× =2 470(kg).
4.【新考向·数学文化】(2025安徽芜湖期末,★★☆)我国古代
有一题“今有田一顷,分为三乡,甲乡田三十亩,乙乡田四十亩,
丙乡田三十亩.今从甲乡抽田三亩,验得其中一亩产谷十石;从
乙乡抽田四亩,验得其中一亩产谷八石;从丙乡抽田三亩,验得
其中一亩产谷九石.问三乡田总产谷多少 ”其意为:有一块
田,总面积为100亩,分给三个乡,甲乡分田30亩,乙乡分田40亩,
丙乡分田30亩.现从甲乡抽取3亩田,测得平均每亩产谷10石;
从乙乡抽取4亩田,测得平均每亩产谷8石;从丙乡抽取3亩田,
测得平均每亩产谷9石.则这100亩田一共产谷约_________石.
890
解析 抽取的10亩田中每亩平均产谷量= =8.
9(石).∴这100亩田共产谷大约8.9×100=890(石).
5.(2025安徽淮北五校联考期末,★★☆)为增强学生节约用水
意识,某校举办了以“节水护水”为主题的活动.结合该主题
活动,二中八年级数学课外活动小组随机抽取部分城镇居民
家庭统计其3月份的用水量,并将居民家庭的用水量x(单位:m
3)分为5组(A组:3≤x<5,B组:5≤x<7,C组:7≤x<9,D组:9≤x<11,
E组:11≤x<13),再对收集到的数据进行统计、整理后,绘制了
如图所示的两幅不完整的统计图,根据以上信息,解答下列问题:
(1)请补全条形统计图,扇形统计图中圆心角α=_______°.
(2)抽取的家庭用水量的中位数落在______组.
(3)若平均用水量小于7 m3,则体现城镇居民节水意识较强,节
水率达到评选文明城镇的标准.若分别用4 m3,6 m3,8 m3,10 m3,
12 m3作为A,B,C,D,E这五组用水量的平均数,估计该城镇3月
份用水量的节水率是否达到评选要求,并对城镇家庭提出一
条节水建议.
解析 (1)∵一共抽取了45÷22.5%=200(户),
∴D组户数为200-45-50-40-35=30,
补全条形统计图如下:
α=360°× =54°.
(2)A,B,C,D,E这5组的用户用水量是逐渐上升的,又∵A组和B
组的用户总数为45+50=95<100,A组,B组和C组的用户总数为
45+50+40=135>101,∴抽取的家庭用水量的中位数落在C组.
故答案为C.
(3) =7.6(m3),
∴未达到评选要求.
节水建议:用洗澡水冲厕所(答案不唯一,合理即可).(共16张PPT)
第20章 数据的初步分析
20.3.1 离差平方和与方差
20.3 数据的离散程度
离差平方和的计算及其应用
1.(2025上海浦东新区模范中学模拟)一组数据:100,101,99,98,
102的离差平方和是__________.
10
解析 =100,所以离差平方和=(100-100)2
+(101-100)2+(99-100)2+(98-100)2+(102-100)2=10.
2.【学科特色·教材变式】对不同品种水稻进行产量测试,A品
种选取5块实验田,产量(千克)为500,520,510,490,530;B品种选
取4块实验田,产量为480,490,500,510.通过计算这两组数据的
离差平方和试说明哪个品种的水稻产量较为稳定.
解析 = =510,
A品种离差平方和=(500-510)2+(520-510)2+(510-510)2+(490-510)2+(530-510)2=1 000,
= = =495,
B品种离差平方和=(480-495)2+(490-495)2+(500-495)2+(510-495)2=500,
∵1 000>500,∴B品种的水稻产量较为稳定.
方差的计算及其应用
3.【学科特色·教材变式】(2025山东青岛模拟)甲、乙两名运
动员的10次射击成绩(单位:环)如图所示,射击成绩的方差依
次记为 , ,则 ______ (填“>”“<”或“=”).
>
解析 = ×(8×4+9×2+10×4)=9,
= ×(8×3+9×4+10×3)=9,
= ×[4×(8-9)2+2×(9-9)2+4×(10-9)2]=0.8,
= ×[3×(8-9)2+4×(9-9)2+3×(10-9)2]=0.6,
∴ > .
4.(2025安徽淮北濉溪期末改编)省射击队为从甲、乙两名运
动员中选拔一人参加全国比赛,对他们进行了六次测试,测试
成绩如表(单位:环):
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 7 10 10 9 8
(1)根据表格中的数据,计算出甲的平均成绩是_________环,乙
的平均成绩是_________环.
(2)甲、乙六次测试成绩的方差分别为___________.
,
9
9
解析 (1) =(10+8+9+8+10+9)÷6=9(环),
=(10+7+10+10+9+8)÷6=9(环).故答案为9;9.
(2) = ×[(10-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(8-9)2+(10-9)2+(9-9)2]= ×(1+1
+0+1+1+0)= ,
= ×[(10-9)2+(7-9)2+(10-9)2+(10-9)2+(9-9)2+(8-9)2]= ×(1+4+
1+1+0+1)= .故答案为 , .
5.【学科特色·分类讨论思想】(2025北京石景山二模,★★☆)
某药物研究小组对甲、乙两组各6位病人服用某种药物后的
康复时间(单位:天)进行了调查,记录如下:
甲组:10,11,12,13,14,15.
乙组:12,13,14,16,15,a.
若甲、乙两组病人康复时间的方差相同,则符合条件的a的值
为_____________.
11或17
解析 甲组数据是一组连续整数,乙组数据去掉a后,也是一组
连续整数,故当甲、乙两组数据的方差相同时,a应与12,13,14,
15,16凑成连续整数.
则a=11或a=17.
6.【新考向·地域文化】(★★☆)以下是安徽两种特产(黄山毛
峰茶叶和砀山酥梨)在五家店铺的单价情况(单位:元),分别计
算它们的方差和离差平方和,并说明哪种特产的价格波动更
小.
黄山毛峰茶叶:260,280,300,320,340;
砀山酥梨:8,10,12,14,16.
解析 黄山毛峰茶叶单价的平均数=
=300(元),
离差平方和=(260-300)2+(280-300)2+(300-300)2+(320-300)2+
(340-300)2=4 000,方差= =800.
砀山酥梨单价的平均数= =12(元),离差平方和
=(8-12)2+(10-12)2+(12-12)2+(14-12)2+(16-12)2=40,方差= =8.
比较方差:800>8,因此砀山酥梨的价格波动更小.
微专题 几组特殊数的平均数、方差间的关系
1.(2025安徽黄山期末改编)已知一组数据x1,x2,…,xn的方差是5,
则数据x1+6,x2+6,…,xn+6的方差是_________,x1-10,x2-10,…,xn-10的方差是_________.
5
5
解析 原数据的每一个数都加上了6,则方差不变,仍为5.
原数据的每一个数都减去10,则方差不变,仍为5.
2.(2025安徽合肥四十五中期末改编)已知样本x1,x2,x3,…,xn的平均
数为3,方差是2,那么样本3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3xn+2的平均数
是__________,方差是__________.
18
11
解析 ∵样本x1,x2,…,xn的平均数是3,方差是2,
∴样本3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,3xn+2的平均数是3×3+2=11,方差
是32×2=18.
方法归纳 设原数据为x1,x2,x3,…,xn,其平均数为 ,方差为 ,对
数据进行变换yi=axi+b(a≠0),则新数据y1,y2,y3,…,yn的平均数为
=a +b,方差为 =a2 .(共13张PPT)
第20章 数据的初步分析
20.3.2 用样本方差估计总体方差
20.3 数据的离散程度
用样本方差估计总体方差
1.(2025湖南岳阳二模)草莓中含有多种对人体健康有益的维
生素.为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量,研究人员从
甲、乙两个品种的草莓中各选5株,测量它们每百克草莓中维
生素的含量(单位:毫克),在同等实验环境下,测得的数据统计
结果如下:
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数 方差
甲 79 81 80 78 82 80 2
乙 80 77 79 83 81 80 4
则每百克草莓中维生素含量更稳定的是______(填“甲”或
“乙”).
甲
解析 甲品种每百克草莓中维生素含量的方差比乙品种每百
克草莓中维生素含量的方差小,所以每百克草莓中维生素含
量更稳定的是甲.
2.【学科特色·教材变式】甲、乙两人加工同一种直径为10.0 mm的零件,现从他们加工好的零件中各抽取5个,量得它们的直径如下(单位:mm):
甲:10.0,10.3,9.7,10.1,9.9;
乙:9.9,10.1,10.0,9.8,10.2.
(1)求甲被抽取的5个零件直径的方差.
(2)已知乙被抽取的5个零件直径的方差是0.02,则从抽取的5
个零件看,甲、乙两人中谁的加工质量较好 请简述理由.
解析 (1) = ×(10.0+10.3+9.7+10.1+9.9)=10.0, = ×[(10.0-
10.0)2+(10.3-10.0)2+(9.7-10.0)2+(10.1-10.0)2+(9.9-10.0)2]=0.04.
(2)乙的加工质量较好.理由如下: =0.04, =0.02,乙的方差比
甲的方差小,所以乙的加工质量较好.
3.(2025浙江杭州拱墅一模,★★☆)下表是某班三位男生5次立定跳远的成绩(单位:米),他们5次立定跳远的平均成绩均为2.85米,若要根据表格内的成绩选择一位发挥较稳定的同学代表班级参加年级立定跳远比赛,应选择______(填“甲”“乙”“丙”中的一个).
乙
成绩/米 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 2.95 2.85 2.83 2.82 2.80
乙 2.88 2.85 2.85 2.83 2.84
丙 2.90 2.90 2.90 2.70 2.85
解析 ∵甲的成绩在2.80和2.95之间波动,乙的成绩在2.83和
2.88之间波动,丙的成绩在2.70和2.90之间波动,∴乙的方差最
小,成绩最稳定,∴应选择乙.
4.(2025安徽合肥五十中天鹅湖校区期末,★★☆)定点投篮是
篮球队常规训练的重要项目之一.下列图表中的数据是甲、
乙、丙三名队员每人10组定点投篮测试的成绩.测试规则为
每组连续定点投篮10个,每投进1个记1分.
队员丙测试成绩统计表
测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩/分 7 6 8 b 7 5 8 a 8 7
(1)若丙测试成绩的平均数和众数都是7,则成绩表中的a=_____,
b=_______.
(2)已知甲、乙、丙三名队员测试成绩的方差分别为 =0.81,
=0.4, =0.8,那么队员_______发挥最稳定.(填“甲”
“乙”或“丙”)
(3)在(2)的条件下,如果教练需要从甲、乙、丙三名队员中推
荐一名队员参加定点投篮比赛,你认为推荐哪位队员更合适
请用你所学过的统计知识加以说明.
解析 (1)a+b=7×10-(7+6+8+7+5+8+8+7)=14.∵运动员丙测
试成绩的平均数和众数都是7,
∴a=b=7.
(2)根据方差的意义,方差越小数据波动越小,发挥就越稳定,所
以队员乙发挥最稳定,故答案为乙.
(3)推荐队员乙更合适,理由如下:
甲的平均数= ×(5+5+6+6+6+6+7+7+7+8)=6.3,
乙的平均数= ×(6+8+7+7+6+7+8+7+7+7)=7,
丙的平均数为7,通过平均数来看选择乙和丙,
又∵0.4<0.8,
∴两人中队员乙发挥较稳定,
∴推荐队员乙更合适.(共13张PPT)
第20章 数据的初步分析
20.4.1 四分位数
20.4 四分位数和箱线图
直接求解四分位数
1.样本数据3,3,4,4,5,6,7的第75百分位数是 ( )
A.6.5 B.6 C.5.5 D.5
B
解析 样本数据共7个,因为7×75%=5.25,所以样本数据的第
75百分位数是数据从小到大排列后的第6个数,为6.
2.【学科特色·易错题】某校为了解学生课外锻炼身体的情
况,随机抽取了部分学生,对他们一周的课外锻炼时间进行了
统计,统计数据如表所示:
则该校学生一周进行的课外锻炼时间的第25百分位数是
( )
A.8.5 B.8 C.9 D.7
A
解析 抽取的学生人数为4+6+12+11+7=40.因为25%×40=10,
故第25百分位数是数据从小到大排列后的第10个数和第11个
数的平均数,即 =8.5.
3.某地有8个快递收件点,某天接收到的快递个数分别为360,
284,290,300,188,240,260,288,则这组数据的第50百分位数为
______.
286
解析 将数据从小到大排列为188,240,260,284,288,290,300,
360,∵第50百分位数是中位数,
∴第50百分位数为 =286.
四分位数与其他统计量的结合
4.【学科特色·教材变式】已知一组数据3,5,7,x,9的平均数为
6,则该组数据的第50百分位数为 ( )
A.4.5 B.5 C.5.5 D.6
D
解析 =6,解得x=6,将数据从小到大排列可得3,
5,6,7,9,∴第50百分位数为6.
5.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动的情况,随
机抽取了部分党员,对他们一周的党史学习时间进行了统计,
统计数据如下表所示:
党史学习时间/小时 7 8 9 10 11
党员人数 6 10 9 8 7
则该单位党员一周学习党史时间数据的众数及第75百分位数
分别是 ( )
A.8,10 B.8,8 C.9,8 D.8,9
A
解析 抽取的党员人数为6+10+9+8+7=40,学习党史时间为8
小时的人数最多,故学习党史时间数据的众数为8;75%×40=
30,第30个数和第31个数都是10,所以数据第75百分位数是10.
6.(★★☆)以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10
人的成绩(单位:分):72,78,79,80,81,83,84,86,88,90.这10人成绩
的第p百分位数是86,则p的值为__________.
75
解析 因为10人成绩的第p百分位数是86,而数据中按从小到
大排列后第8位是86,10×75%=7.5,按照百分位数的定义,知86
是这10人成绩的第75百分位数.
7.(★★☆)某商场服装部为了调动营业员的积极性,决定实行
目标管理,根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励,为
了确定一个适当的月销售目标,商场服装部统计了每位营业
员在某月的销售额(单位:万元),数据如下:
17 18 16 13 24 15 27 26 18 19
22 17 17 19 32 30 17 15 16 28
15 32 23 17 14 15 27 27 18 19
对这30个数据按组距3进行分组、整理和分析,具体信息如下:
频数分布表
组别 一 二 三 四 五 六 七
销售额/万元 13≤x <16 16≤x <19 19≤x <22 22≤x <25 25≤x <28 28≤x <31 31≤x
<34
频数 6 10 3 3 a b 2
数据分析表
平均数 众数 中位数
20.3 c d
请根据以上信息解答下列问题:
(1)上表中a=_______,b=_______,c=_______,d=_______.
(2)若想让75%左右的营业员都能达到销售目标,你认为月销
售额定为多少合适 说明理由.
解析 (1)将数据按照从小到大的顺序排列后,
在25≤x<28范围内的数据为26,27,27,27,所以a=4;
在28≤x<31范围内的数据为28,30,所以b=2;
17出现的次数最多,所以c=17;中位数是排序后第15个数和第
16个数的平均数,为18,所以d=18.
(2)为使得75%的营业员都能完成目标,则没有完成目标的员
工占25%,只需求出第25百分位数即可.
由30×25%=7.5,可知样本数据的第25百分位数为第8项数据,
即为16万元.所以应该将销售目标定为16万元比较合理.(共14张PPT)
第20章 数据的初步分析
20.4.2 箱线图
20.4 四分位数和箱线图
从箱线图中直接得信息
1.甲、乙两支仪仗队队员身高箱线图如图所示,设两支仪仗队
队员身高数据的方差为 , ,则下列关系正确的是 ( )
A. < B. >
A
C. = D.无法确定
解析 由题意可知,甲队身高都在177和179厘米之间,乙队身
高大部分也在177和179厘米之间,但存在最小值174厘米和最
大值183厘米,所以甲的方差比乙的方差小.∴ < .
2.射箭爱好者A,B,C在某次射箭比赛获得的成绩箱线图如图
所示,请判断_________的成绩的平均数会大于中位数(填序号
即可).
B
解析 从箱线图不难看出A箱体被中位数分成均匀的两部分,
最大值与最小值的平均数是中位数,其平均数大致等于中位
数;B箱体被中位数分成均匀的两部分,但有最大值,其平均数
会大于中位数;C箱体被中位数分成均匀的两部分,但有最小
值,其平均数会小于中位数.
箱线图与四分位数的结合
3.【学科特色·教材变式】甲、乙两组的测试成绩如下:
甲:91,96,70,89,60,70,100,80,92,98;
乙:92,93,70,88,82,75,96,80,92,95.
(1)求甲组数据的四分位数m25,m50,m75.
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图,观察图中乙组的箱线
图,绘制甲组的箱线图.
(3)根据箱线图和对四分位数的理解,谈谈对两组成绩的看法.
解析 (1)把甲的成绩从小到大排列为
60,70,70,80,89,91,92,96,98,100,
故m50= =90,m25=70,m75=96.
(2)如图所示.
(3)根据箱线图和四分位数,可知甲组成绩比较分散,乙组成绩
比较集中.(答案不唯一,合理即可)
4.(★★☆)某老师绘制了一次数学小测验中(1)(2)(3)三个班级
学生得分的箱线图,根据该图判断下列说法错误的是 ( )
D
A.三个班级中,(1)班分数的方差最小
B.三个班级中,(2)班分数的最大值与最
小值的差最大
C.(2)班平均分不高于80分
D.若每班都有42个学生,则三个班级的
第11名中,(3)班的分数最高
解析 对于A,由箱线图可知,(1)班数据最稳定,故其方差最小,
选项A说法正确;对于B,由箱线图可知,(2)班的最大值较另两
个班更大,最小值较另两个班更小,故最大值与最小值的差最
大,选项B说法正确;对于C,由箱线图可知,(2)班的中位数等于
80,从箱体来看,m25与m50之间的长度大于m50与m75之间的长度,所
以其平均数比中位数要小,选项C说法正确;对于D,若每班都
有42个学生,则三个班级的第11名刚好对应各自的m25,由箱线
图可知,(3)班的m25最小,即(3)班第11名的分数最低,选项D说法
错误.
5.【新考向·结论开放题】(★★☆)仓廪实,天下安.粮食安全是国家安全的重要基础.从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取9株,分别测量它们的株高,具体数据如下(单位:cm):
甲:29,31,30,32,28,32,29,29,30;
乙:27,44,40,31,43,42,39,32,35.
(1)分别计算甲、乙两种玉米苗株高的四分位数.
(2)根据计算结果绘制甲、乙两种玉米苗株高的箱线图.
(3)种子公司打算从以上两种玉米苗中采购一种,你认为哪种玉米苗会被选中 请说明理由.
解析 (1)将甲种玉米苗株高的9个数据按照从小到大的顺序进行排列:28,29,29,29,30,30,31,32,32,9×25%=2.25,所以这组数据的第25百分位数为第3项数据,即29;第50百分位数是中位数,就是第5项数据,即30;第75百分位数为9×75%=6.75,所以这组数据的第75百分位数为第7项数据,即31.将乙种玉米苗株高的9个数据按照从小到大的顺序进行排列:27,31,32,35,39,40,42,43,44,9×25%=2.25,所以这组数据的第25百分位数为第3项数据,即32;第50百分位数是中位数,就是第5项数据,即39;第75百分位数为9×75%=6.75,所以这组数据的第75百分位数为第7项数据,即42.
(2)绘制箱线图
(3)从四分位数和箱线图可知,甲的中位数小于乙的中位数,乙
种玉米苗长得高,种子公司会选中乙种玉米苗.(答案不统一,
言之有理即可)
方法归纳 绘制箱线图的一般步骤:(1)明确关键值:根据四分
位数结果,确定最小值、第25百分位数、第50百分位数、第
75百分位数、最大值;(2)图形绘制:在数轴上标记出各关键值
位置,以第25百分位数和第75百分位数为端点绘制箱子,在箱
子内用线段标注中位数位置,再从箱子两端向外绘制连接最
小值和最大值,完成箱线图绘制.
