人教版八年级下数学进阶测试 21.3特殊的平行四边形（一阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本8题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2026九上·双流期末）如图， ABCD，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，能使 ABCD变为菱形的是（ ）
A．AB=AC B．AC=BD C．∠ABC=90° D．AC⊥BD
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当 ABCD的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使 ABCD变为菱形
逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合.
故选：D.
【分析】根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可.
2．（2026九上·盐田期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30 ，AB=2，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线交于点O，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠ACB＝30°，AB＝2，
∴∠OBC＝∠ACB＝30°，
∴∠ABO＝∠ABC ∠OBC＝90° 30°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴BD＝2OB＝4．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，则∠OBC＝∠ACB＝30°，进而得∠ABO＝60°，由此得△AOB是等边三角形，则OA＝OB＝AB＝2，据此可得BD的长．
3．（2024八下·期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（ ）
A．①对角相等 B．②对角线互相垂直
C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
4．（2024·垦利模拟）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵矩形中，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
在中，，
故选：C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BG，再根据勾股定理即可求出答案.
5．（2025八下·巴马期中）已知菱形的面积为64，则对角线的积为（ ）
A．32 B．64 C．128 D．无法计算
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解；∵菱形的面积为64，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查菱形面积与对角线的关系，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即，将面积64代入该公式，通过变形计算可直接求出的结果。
6．（2025九下·三水期中）如图，矩形的对角线与交于点O，，垂足为E，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线与交于点O，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据矩形性质可得，，，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
7． 如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，CE⊥BD于点E，F为AD边的中点，连接EF，若菱形ABCD 的周长为20，则线段 EF 的长为( )
A．5 B．4 C． D．2
【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是菱形，，
∴E为菱形对角线交点，即E为BD的中点，
∵F为AD边的中点，
∴EF是的中位线，
∴，
∵菱形ABCD 的周长为20，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据四边形是菱形，，得E为BD的中点，再根据F为AD边的中点，得，根据菱形周长得，即可得AB.
8．下列关于正方形判定的说法中不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A：一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不符合题意；
B：对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，不符合题意；
C：对角线相等的菱形是正方形，说法正确，不符合题意；
D：有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，符合题意；
故选：D.
【分析】根据正方形的判定定理解答即可.
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
9．（2026九上·清新期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则对角线的长 ．
【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（舍负）
∴
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，求出OD的长，最后求出BD的长即可.
10．（2025八下·宝坻期末）如图，在直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，将一根橡皮筋两端固定在A、B两点处，然后用手勾住橡皮筋向右上方拉升，使橡皮筋与坐标轴围成一个矩形AOBC，则橡皮筋被拉长了 个单位长度．
【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，
∴OA＝8，OB＝6，
∴，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=6，CB=OA8，
∵AC+BC-AB=6+8-10=4，
∴橡皮筋被拉长了4个单位长度，
故答案为：4．
【分析】由A、B两点的坐标得出OA、OB的长，然后根据勾股定理算出AB，进而根据矩形对边相等可得AC+BC=OB+OA，然后用AC+BC-AB即可得出答案.
11．（2025八下·广州期中）如图，以正方形的对角线为边作菱形，则 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是菱形，
．
故答案为：．
【分析】先利用正方形的性质可得∠BAC的度数，再利用菱形的性质求出即可．
12．（2025·西宁） 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，垂足为E，连接OE. 若，，则菱形ABCD的面积是 .
【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据菱形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且平分，
所以，且O是AC的中点。
因为 ，
所以△AEC是直角三角形；
又O为AC中点，
所以AC = 2OE =，
所以，
综上，菱形ABCD的面积是，
故答案为： .
【分析】利用菱形对角线互相平分和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出对角线AC的长度，再用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积即可.
13．（2025·温州模拟）如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长交于点G，连结．若，，则的长为 ．
【答案】8
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵将沿斜边向右平移得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
【分析】连接，根据图形平行的性质得，，然后结合平行线的性质易证四边形为矩形，根据矩形的性质得，从而得，进而求出.
阅卷人 三、解答题：本大题共2小题，共11分。
得分
14．（2024·常州模拟） 如图，菱形中，对角线、相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E.
（1）求证：四边形是矩形.
（2）若，，求四边形的周长.
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形.
（2）解：四边形是菱形，AB=10，AC=12，
，，
∵∠COD=90°，
，
四边形是矩形，
四边形的周长是2(OC+OD)=2×(6+8)=28.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，然后根据菱形的性质得AC⊥BD，进而有∠COD=90°，即可得证；
（2）根据菱形的性质求出CD，OC的长，再根据勾股定理求出OD的长，然后根据矩形的周长计算公式进行求解.
15．（2025八下·韶关期中）如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连接、，与交于点，求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明四边形为正方形，
，，
是边的中点，是边的中点，
，，
，
，
.
（2）证明：由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用中点的性质可得，，结合AB=BC，可得BE=FC，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得EC=DF；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而可得．
（1）证明四边形为正方形，
，，
是边的中点，是边的中点，
，，
，
，
；
（2）证明：由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
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姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本8题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2026九上·双流期末）如图， ABCD，对角线AC，BD交于点O，添加下列条件，能使 ABCD变为菱形的是（ ）
A．AB=AC B．AC=BD C．∠ABC=90° D．AC⊥BD
2．（2026九上·盐田期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30 ，AB=2，则BD的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
3．（2024八下·期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（ ）
A．①对角相等 B．②对角线互相垂直
C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等
4．（2024·垦利模拟）如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
5．（2025八下·巴马期中）已知菱形的面积为64，则对角线的积为（ ）
A．32 B．64 C．128 D．无法计算
6．（2025九下·三水期中）如图，矩形的对角线与交于点O，，垂足为E，若，则（ ）
A． B． C． D．
7． 如图，在菱形ABCD中，BD为对角线，CE⊥BD于点E，F为AD边的中点，连接EF，若菱形ABCD 的周长为20，则线段 EF 的长为( )
A．5 B．4 C． D．2
8．下列关于正方形判定的说法中不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的菱形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
9．（2026九上·清新期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则对角线的长 ．
10．（2025八下·宝坻期末）如图，在直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，将一根橡皮筋两端固定在A、B两点处，然后用手勾住橡皮筋向右上方拉升，使橡皮筋与坐标轴围成一个矩形AOBC，则橡皮筋被拉长了 个单位长度．
11．（2025八下·广州期中）如图，以正方形的对角线为边作菱形，则 ．
12．（2025·西宁） 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，垂足为E，连接OE. 若，，则菱形ABCD的面积是 .
13．（2025·温州模拟）如图，将沿斜边向右平移得到，与交于点H，延长交于点G，连结．若，，则的长为 ．
阅卷人 三、解答题：本大题共2小题，共11分。
得分
14．（2024·常州模拟） 如图，菱形中，对角线、相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E.
（1）求证：四边形是矩形.
（2）若，，求四边形的周长.
15．（2025八下·韶关期中）如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连接、，与交于点，求证：
（1）；
（2）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当 ABCD的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使 ABCD变为菱形
逐一对比选项，其中选项D符合对角线相互垂直，A、B、C均不符合.
故选：D.
【分析】根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可.
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，且对角线交于点O，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，
∵∠ACB＝30°，AB＝2，
∴∠OBC＝∠ACB＝30°，
∴∠ABO＝∠ABC ∠OBC＝90° 30°＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝2，
∴BD＝2OB＝4．
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝OB＝OD，则∠OBC＝∠ACB＝30°，进而得∠ABO＝60°，由此得△AOB是等边三角形，则OA＝OB＝AB＝2，据此可得BD的长．
3．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵矩形中，
∴，
∵F为的中点，，
∴，
在中，，
故选：C.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BG，再根据勾股定理即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解；∵菱形的面积为64，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查菱形面积与对角线的关系，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即，将面积64代入该公式，通过变形计算可直接求出的结果。
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线与交于点O，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】根据矩形性质可得，，，根据等边对等角可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是菱形，，
∴E为菱形对角线交点，即E为BD的中点，
∵F为AD边的中点，
∴EF是的中位线，
∴，
∵菱形ABCD 的周长为20，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据四边形是菱形，，得E为BD的中点，再根据F为AD边的中点，得，根据菱形周长得，即可得AB.
8．【答案】D
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：A：一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不符合题意；
B：对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，不符合题意；
C：对角线相等的菱形是正方形，说法正确，不符合题意；
D：有一个角是直角的平行四边形是矩形，原说法错误，符合题意；
故选：D.
【分析】根据正方形的判定定理解答即可.
9．【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（舍负）
∴
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，求出OD的长，最后求出BD的长即可.
10．【答案】4
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵A、B两点的坐标分别为(0，8)和(6，0)，
∴OA＝8，OB＝6，
∴，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC=OB=6，CB=OA8，
∵AC+BC-AB=6+8-10=4，
∴橡皮筋被拉长了4个单位长度，
故答案为：4．
【分析】由A、B两点的坐标得出OA、OB的长，然后根据勾股定理算出AB，进而根据矩形对边相等可得AC+BC=OB+OA，然后用AC+BC-AB即可得出答案.
11．【答案】
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
四边形是菱形，
．
故答案为：．
【分析】先利用正方形的性质可得∠BAC的度数，再利用菱形的性质求出即可．
12．【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据菱形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且平分，
所以，且O是AC的中点。
因为 ，
所以△AEC是直角三角形；
又O为AC中点，
所以AC = 2OE =，
所以，
综上，菱形ABCD的面积是，
故答案为： .
【分析】利用菱形对角线互相平分和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出对角线AC的长度，再用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积即可.
13．【答案】8
【知识点】平行线的性质；矩形的判定与性质；平移的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵将沿斜边向右平移得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：8．
【分析】连接，根据图形平行的性质得，，然后结合平行线的性质易证四边形为矩形，根据矩形的性质得，从而得，进而求出.
14．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形.
（2）解：四边形是菱形，AB=10，AC=12，
，，
∵∠COD=90°，
，
四边形是矩形，
四边形的周长是2(OC+OD)=2×(6+8)=28.
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，然后根据菱形的性质得AC⊥BD，进而有∠COD=90°，即可得证；
（2）根据菱形的性质求出CD，OC的长，再根据勾股定理求出OD的长，然后根据矩形的周长计算公式进行求解.
15．【答案】（1）证明四边形为正方形，
，，
是边的中点，是边的中点，
，，
，
，
.
（2）证明：由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用中点的性质可得，，结合AB=BC，可得BE=FC，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得EC=DF；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而可得．
（1）证明四边形为正方形，
，，
是边的中点，是边的中点，
，，
，
，
；
（2）证明：由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
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