人教版八年级下数学进阶测试 21.3特殊的平行四边形（三阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本8题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2026八上·慈溪期末） 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°， AC=4， BC=3， 分别以AC， AB为边向外作正方形ACDE， 正方形 ABMN， 连结NE， 则NE的长为( )
A．10 B．9 C． D．
2．（2025八上·慈溪期中） 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2025八下·江北期末）如图，在菱形ABCD中，，，BD与AC相交于点O，点P是线段AB上的任意点，以PB为对角线作平行四边形POBQ，连结DQ，则DQ的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
4．（2025八下·慈溪期中） 如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E， F为边AD，CD上的动点，且AE=CF，连接BF，CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE 的最小值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
5．（2025八下·椒江期末） 如图，P是正方形 ABCD 内一点，，，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形ABCD中， ，点 E，F分别在边AB，BC上， 的周长为 ，则AD的长为( ).
A． B． C． D．
7．（2025九上·拱墅月考） 如图，菱形 ABCD 中，，点 E 在 CD 边上，点 F 在菱形 ABCD 外部，且满足 ，. 连结 AF、CF，取 AF 的中点 G，连结 BG，AC. 则下列结论：
① 是等边三角形；②；③ BG 垂直平分 AC；④.
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025九上·金华竞赛）正方形 中，点 是 的中点，点 是 上异于点 的点， ，则 的值是( )
A．1 B． C． D．
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
9．（2024·大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（ ）
A．15 B．5+5 C．10+5 D．18
10．如图，正方形 ABCD的边长为3c m，E为CD 边上一点， ，M为AE 的中点，过点M作直线分别与AD，BC交于点P，Q.若PQ=AE，则AP的长为 cm.
11．（2025八上·镇海区期末）如图， 为正方形 内一点，BC ，过点 作 交射线 于点 ，连结 ．若正方形边长为 ，则 。
12．（2025八上·龙湾月考）如图，在长方形中，，在上任取一点，连接，取的中点，连接，将沿折叠，当点恰好落在边上的点处时，则的长为 ．
13．（2025九上·成都月考）在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，DC上的动点，且AE=CF，连接B，F，过E点作EH⊥BF于点H，连接C，H，则CH的最小值为 .
阅卷人 三、解答题：本大题共2小题，共11分。
得分
14．（2025八下·成华月考）正方形的对角线，相交于点，点为直线上一点（点不与点，，重合），连接，过点作，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点．
（1）如图1，当点在线段上．
①求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并加以证明．
（2）当点在线段的延长线上，直接用等式表示线段，，之间的数量关系．
15．（2025八下·潮南月考） 已知点 E，F，M，N 分别在矩形 ABCD 的边 DA，AB，BC，CD 上.
（1） 如图 1，若 EM 垂直平分 BD，求证：四边形 BMDE 是菱形；
（2） 如图 2，若 ，求证：；
（3） 如图 3，若四边形 EFMN 是平行四边形，，，求四边形 EFMN 周长的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点N作NG⊥AC于点G，交NE于点H，如图所示，
∵ABMNO正方形
∴∠BAN=90°，AB=AN
∴∠BAC+∠NAG=90°
又∵∠BAC+∠ABC=90°
∴∠ABC=∠NAG
又∵∠G=∠ACB
∴△ABC≌△NAG(SAS)
∴GN=AC=4，GA=BC=3
∵ACDE为正方形
∴AC=AE
∴NG=AE
∵∠NHG=∠FHE，∠HAE=∠NGH
∴△AEH≌△GNH(AAS)
∴NH=EH，GH=AH=
∴NH=
∴NE=.
故答案：C.
【分析】过点N作NG⊥AC于点G，交NE于点H，易证△ABC≌△NAG得GN=AC，得GN=AE，由此可得△AEH≌△GNH，得NH=EH，GH=AH，求出NH的值，即得NE的长.
2．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】如图所示，连接HM.
四边形EFGH是正方形
四边形ABCD是正方形
、且
解得：
故正确答案为：C
【分析】由正方形的性质知DH垂直AE、CG垂直DH，由于点M平分DE，则连接HM，可得HM是直角三角形DHE的斜边DE上的中线，则HM＝DM，再由线段垂直平分线的性质定理得DG＝HG，再由全等三角形的性质结合正方形的性质可得AH＝DG＝HG＝HE，则DH垂直平分AE，同理可得DE＝AD，再由等腰三角形三线合一知DH平分，则由正方形的对边平行结合对顶角相等可得等于等于，再由全等三角形的对应角相等可得，等量代换可得，由等角对等边可得EN＝BN，再由正方形的性质可得DE＝AD＝AB＝DC＝CB＝8，则DN＝8+EN、CN＝8-EN，再在直角三角形DCN中应用勾股定理即可求得EN＝2.
3．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，Q在线段Q1Q2（不包括Q2）上，如图，
∵ 四边形ABCD为菱形，∴ AB=AD，OB=OD，∵ ∠BAD=60°，∴ △ABD为等边三角形，∴ OB=BD=，
∵ 四边形OBQ为平行四边形，
∴ OB=PQ=BQ2，
∴ DQ2=，
当DQ'⊥Q1Q2时，此时DQ'最小，
∵∠Q'DQ2=30°，
∴ Q'Q2=，
∴ DQ'=
故答案为：C.
【分析】先根据题意确定Q的运动轨迹，再根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质可推出DQ2=，根据垂线段最短可知DQ'最小，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求得DQ'的值即可.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图， 作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于H，连接BG、BE、EG
则CG⊥AD，CH=GH，CE=CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠A=∠BCD，AB=BC，
∴CG⊥BC，
∵S菱形ABCD=AD×CH，
∴8CH=60，
∴CH=，
∴CG=2CH=15，
∴，
在△ABE与△CBF中，∵AB=BC，∠A=∠BCD，AE=CF，
∴△ABE≌△CBF，
∴BE=BF，
∴BF+CE=BE+CE=BE+EG≥BG，
∴当点E在线段BG上时，BE+CE值最小为17，即BF+CE的最小值为17.
故答案为：C.
【分析】 作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于H，连接BG、BE、EG ，由轴对称的性质得CG⊥AD，CH=GH，CE=CG，由菱形的性质得AD∥BC，∠A=∠BCD，AB=BC，由平行线的性质推出CG⊥BC，根据菱形的面积计算公式建立方程求出CH的长，从而得到CG的长，再根据勾股定理算出BG的长；然后利用SAS判断出△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等得BE=BF，从而可得BF+CE=BE+EG≥BG，进而根据两点之间线段最短即可得出当点E在线段BG上时，BE+CE值最小为BG，即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作BF⊥AP于点F， PH⊥AD于点H， PE⊥CD于点E，
∵四边形ABCD是正方形， ∠APD =90°，
∴BA = BC = AD =CD， ∠BFA=∠APD =90°， ∠PHD=∠HDE=∠PED=90°，
∴四边形PEDH是矩形，
∵∠PED =∠BCD = 90°，
∴PE∥BC，
∴BP=BC，
∵BP=BA，
∴AF=PF，
∵∠ABF+∠BAF=90°， ∠DAP+∠BAF=∠BAD=90°，
∴∠ABF=∠DAP，
在△ABF和△DAP中，
∴△ABF≌△DAP(AAS)，
∴AF=DP，
∴AP=2AF=2DP，
设 则
，
∴DE=PH=2m，
∴CE=CD-DE=5m-2m =3m，
，
故答案为：C .
【分析】作BF⊥AP于点F， PH⊥AD于点H， PE⊥CD于点E， 则四边形PEDH是矩形，即可得到AF= PF， 推导出∠ABF=∠DAP， 进而得到△ABF≌△DAP， 得AF =DP， 则AP=2AF=2DP， 设 则AP=2 求得 =5m， 根据三角形的面积求出DE=PH = 2m， 则CE = 3m ，即可得到 求得 即可求出比值解答即可.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接BD，作DH⊥AB，垂足为 H.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AD∥BC.
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC=180°-∠A=120°.
∴AD=BD，∠ABD=∠A=∠ADB=60°.
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=120°-60°=60°.
∵AE=BF，
∴△ADE≌△BDF(SAS).
∴DE=DF，∠ADE=∠FDB.
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠EDB+∠ADE=∠ADB=60°.
∴△DEF 是等边三角形.
∵△DEF的周长是3 ∴DE= ∵AD=BD，DH⊥AB，
∵在Rt△DHE中，
解得 负值舍去).
，
故答案为：C.
【分析】连结BD，作 ，垂足为H，先证明 是等边三角形，再根据SAS证明 ，得到 是等边三角形，根据周长求出边长D 设AH=x，则HE=2-x，DH= 在 中，根据勾股定理列方程求出x，进而得到AD=2x的值.
7．【答案】D
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，∠ABC=120°
∴∠BCD=180°-∠ABC=60°
∵EF||AD
∴∠CEF=∠BCD=60°
又∵CE=EF
∴△CEF是等边三角形，故①正确；
∵ABCD为菱形
∴∠ACD=∠BCD=30°
∵ECF=60°
∴∠ACF=∠ACD+∠ECF=30°+60°=90°
∵G为AF的中点
∴AG=CG，故②正确；
在∵△ABG和△CBG中
∴△ABG≌△CCBG(SSS)
∴∠ABG=∠CBG
∴BG平分∠ABC
又∵BA=BC
∴BG垂直平分AC，故③正确；
设AC与BG交于点H，
∵O为AC的中点，G为AF的中点
∴OG=CF
∴OG=CE
∵∠ACB=30°
∴OB=BC=AD
∴BG=CB+CE
即2BG=AD+CE，故正确；
综合所述①②③④正确.
故答案为：D .
【分析】①由菱形的性质和平行的性质得∠CEF=60°，由CE=EF得△CEF为等边三角形；
②∠ACF=90°，G为AF的中点，即可得AG=CG；
③由BA=BC，AG=CG，BG=BG可得△ABG≌△CCBG(SSS)，得BG平分∠ABC，又BA=BC得BG垂直平分AC；
④AC与BG交于点O，由中位线定理得OG=CF，由BCO=30得OB=BC，于是BG=CB+CE，即有.
8．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠A=∠C=90°，CD=AB=BC=AD，
过 作 ，连结 ，
∴∠BHP=∠BHE=90°，
，
在△ABP和△HBP中
∴△ABP≌△HBP（AAS）
∴AP=PH，BH=AB=BC，
在Rt△BHE和Rt△BCE中
∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL）
∴HE=CE，
设 ，
点 是 的中点， ，
在 Rt 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
∴，
故答案为：D.
【分析】利用正方形的性质可知∠A=∠C=90°，CD=AB=BC=AD，过 作 ，连结 ，利用余角的性质可证得∠HBP=∠ABP，再利用AAS可证得△ABP≌△HBP，利用全等三角形的性质可证AP=PH，BH=AB=BC，再利用HL可证得Rt△BHE≌Rt△BCE，利用全等三角形的性质可得到HE=CE；设 ，可表示出AB、PD、PE的长，利用勾股定理可得到关于x、y的方程，解方程可表示出y，利用勾股定理表示出BP的长，同时可表示出PE的长；然后求出BP与PE的比值.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点N作EF∥AB，交AD、BC于E、 F，过点M作MG⊥EF于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴АВ∥СD，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，
∴ ∠A=∠MGN=90°，
由旋转的性质得∠NMN'=90°，MN=MN'，
∴ ∠AMN=90°-∠NMG=∠GMN'，
∴△AMN≌△GMN'（AAS），
∴MG=AM，
∴点N在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，
作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B交直线E F于点N'，此时△MBN'周长取得最小值， 最小值为BM+BM'，
∵ВМ=АВ=5， MM'=5 +5=10，
∴ВМ + ВМ' .
故答案为：B.
【分析】 因为BM=5是定值，要求△MBN'周长最小，实际是求BN'+MN'最小，转化成“将军饮马”模型，先找出N运动轨迹，由线段旋转90°，可得三垂直全等，进而推出点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可.
10．【答案】1或2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点 P 作PN⊥BC，交 BC于点 N，交AE于点F，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=PN.
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，
根据勾股定理得
∵M为AE的中点，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL).
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°.
∵PN∥DC， ∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即 PM⊥AF.
在 Rt△AMP 中，∠MAP=30°，
由对称性得到AP'=DP=AD-AP=3-2=1 cm，综上，AP等于1 cm或2cm.
故答案为：1或2.
【分析】过点 P 作PN⊥BC，交 BC于点 N，交AE于点F，根据正方形的性质和30°的直角三角形的性质求出DE长，然后根据HL得到Rt△ADE≌Rt△PNQ，即可得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，根据解直角三角形求出AP长，再根据对称性得到AP'=DP解答即可.
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】连接AC、BD，设BF与CE交于点O，
∵BE=BC，BF⊥EC，
∴BF平分∠EBC，即∠EBF=∠CBF，
又∵BF=BF，
∴△EBF≌△CBF，
∴∠BFE=∠BFC，FE=FC，
设∠EBF=∠CBF=，
∵ABCD是正方形，
∴BA=BC=CD=DA=BE，∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-2，
∵BE=BA，
∴∠BAE=∠BEA=，
又∵∠EBC=2，BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=90°-，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠BEC=45°，
∴∠BFE=∠BFC=，
又∵∠ADC=∠AFC=90°，
∴∠AFD=∠ACD=45°，
∴∠DFB=∠AFD+∠BFE=90°，
在Rt△BCD中，，
在Rt△BFD中，，
故答案为：.
【分析】连接AC、BD，设BF与CE交于点O，先证明△EBF≌△CBF，即可得到∠BFE=∠BFC，FE=FC，然后设∠EBF=∠CBF=，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠DFB=90°，然后根据勾股定理解题即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长与交于点，
∵在长方形中，，
∴，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵将沿折叠，点恰好落在边上的点处，
∴，，
∴，，
∴，
中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长与交于点，由长方形得到，再证明，得到，，根据折叠得到，，再根据勾股定理求出，则，再在中，根据，解得，得到，即可根据勾股定理得到，最后根据求解即可．
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接AH和AC，如图所示，
∵CH≤AC-AH
∴当A、H、C三点共线时，CH最小，如图所示，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，
在△ABG和△BCF中，
∴△ABG≌△BCF(SAS)
∴∠BAG=∠CBF.
∵∠ABF+∠CBF=∠ABC=90°
∴∠ABF+∠BAG=90°
∴∠ANB=90°，即AG⊥BF
∵EH⊥BF
∴EM//AG
∵AD//BC
∴四边形AGME是平行四边形
∴GM=AE
∵AE=CF
∴BG=GM
∵GN//HM
∴BN=HN
∴AG垂直平分BH
∴AH=AB=1
在Rt△ABC中，，
∴，
∴CH的最小值为
故答案为：.
【分析】连接AH和AC，当A、H、C三点共线时，CH最小，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，证明△ABG≌△BCF，四边形AGME是平行四边形，进而证明AG垂直平分BH，可得AH=AB=1，再利用线段的关系求解即可.
14．【答案】（1）①证明：连接，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，，．
∴是的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②用等式表示线段，，之间的数量关系是：．
证明：∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
在正方形中，，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即．
（2）.
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：（2）解：，理由如下：
当点在线段的延长线上时，如图，过点作，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点．
∵四边形是正方形，
∴，，，．
∴是的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵在与中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
在正方形中，，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即．
【分析】（1）①根据正方形的性质求出，，，，再利用SSS证明，最后证明求解即可；
②利用AAS证明，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据题意先求出是的垂直平分线，再利用AAS证明，最后利用勾股定理等计算求解即可.
（1）①证明：连接．如图：
∵四边形是正方形，
∴，，，．
∴是的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②用等式表示线段，，之间的数量关系是：．
证明：∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
在正方形中，，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即：．
（2）解：，理由如下：
当点在线段的延长线上时，如图，过点作，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点．
∵四边形是正方形，
∴，，，．
∴是的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在与中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
在正方形中，，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即：．
15．【答案】（1）解： ∵EM垂直平分BD，
∴，，
又∵矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形BMDE是平行四边形，
又∵，
四边形是菱形；
（2）解：如图，延长MN交AB，AD的延长线于P，G，过A作，使得，连接PQ，MO，
∵矩形ABCD，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴Rt△QPM中，，
∴，
∵，
∴；
∴；
（3）解： 如图，延长 EN 交 BC 的延长线于 H，则，
又平行四边形 MNEF 中，，而，
，
，
，
如图，作点 F关于 BC的对称点F'，连接F'M，F'N，则，，即的最小值为F'N的长，
由勾股定理可得，，
的最小值为，
∴平行四边形 EFMN 周长的最小值为
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出，， 再利用全等三角形的判定方法证明，最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出，再利用勾股定理求出F'N的值，最后计算求解即可.
1 / 1人教版八年级下数学进阶测试 21.3特殊的平行四边形（三阶）
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、选择题：本8题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
得分
1．（2026八上·慈溪期末） 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°， AC=4， BC=3， 分别以AC， AB为边向外作正方形ACDE， 正方形 ABMN， 连结NE， 则NE的长为( )
A．10 B．9 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点N作NG⊥AC于点G，交NE于点H，如图所示，
∵ABMNO正方形
∴∠BAN=90°，AB=AN
∴∠BAC+∠NAG=90°
又∵∠BAC+∠ABC=90°
∴∠ABC=∠NAG
又∵∠G=∠ACB
∴△ABC≌△NAG(SAS)
∴GN=AC=4，GA=BC=3
∵ACDE为正方形
∴AC=AE
∴NG=AE
∵∠NHG=∠FHE，∠HAE=∠NGH
∴△AEH≌△GNH(AAS)
∴NH=EH，GH=AH=
∴NH=
∴NE=.
故答案：C.
【分析】过点N作NG⊥AC于点G，交NE于点H，易证△ABC≌△NAG得GN=AC，得GN=AE，由此可得△AEH≌△GNH，得NH=EH，GH=AH，求出NH的值，即得NE的长.
2．（2025八上·慈溪期中） 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】如图所示，连接HM.
四边形EFGH是正方形
四边形ABCD是正方形
、且
解得：
故正确答案为：C
【分析】由正方形的性质知DH垂直AE、CG垂直DH，由于点M平分DE，则连接HM，可得HM是直角三角形DHE的斜边DE上的中线，则HM＝DM，再由线段垂直平分线的性质定理得DG＝HG，再由全等三角形的性质结合正方形的性质可得AH＝DG＝HG＝HE，则DH垂直平分AE，同理可得DE＝AD，再由等腰三角形三线合一知DH平分，则由正方形的对边平行结合对顶角相等可得等于等于，再由全等三角形的对应角相等可得，等量代换可得，由等角对等边可得EN＝BN，再由正方形的性质可得DE＝AD＝AB＝DC＝CB＝8，则DN＝8+EN、CN＝8-EN，再在直角三角形DCN中应用勾股定理即可求得EN＝2.
3．（2025八下·江北期末）如图，在菱形ABCD中，，，BD与AC相交于点O，点P是线段AB上的任意点，以PB为对角线作平行四边形POBQ，连结DQ，则DQ的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，Q在线段Q1Q2（不包括Q2）上，如图，
∵ 四边形ABCD为菱形，∴ AB=AD，OB=OD，∵ ∠BAD=60°，∴ △ABD为等边三角形，∴ OB=BD=，
∵ 四边形OBQ为平行四边形，
∴ OB=PQ=BQ2，
∴ DQ2=，
当DQ'⊥Q1Q2时，此时DQ'最小，
∵∠Q'DQ2=30°，
∴ Q'Q2=，
∴ DQ'=
故答案为：C.
【分析】先根据题意确定Q的运动轨迹，再根据菱形的性质和等边三角形的判定与性质可推出DQ2=，根据垂线段最短可知DQ'最小，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求得DQ'的值即可.
4．（2025八下·慈溪期中） 如图，在边长为8的菱形ABCD中，点E， F为边AD，CD上的动点，且AE=CF，连接BF，CE，若菱形ABCD面积为60，则BF+CE 的最小值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图， 作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于H，连接BG、BE、EG
则CG⊥AD，CH=GH，CE=CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠A=∠BCD，AB=BC，
∴CG⊥BC，
∵S菱形ABCD=AD×CH，
∴8CH=60，
∴CH=，
∴CG=2CH=15，
∴，
在△ABE与△CBF中，∵AB=BC，∠A=∠BCD，AE=CF，
∴△ABE≌△CBF，
∴BE=BF，
∴BF+CE=BE+CE=BE+EG≥BG，
∴当点E在线段BG上时，BE+CE值最小为17，即BF+CE的最小值为17.
故答案为：C.
【分析】 作点C关于AD的对称点G，连接CG交AD于H，连接BG、BE、EG ，由轴对称的性质得CG⊥AD，CH=GH，CE=CG，由菱形的性质得AD∥BC，∠A=∠BCD，AB=BC，由平行线的性质推出CG⊥BC，根据菱形的面积计算公式建立方程求出CH的长，从而得到CG的长，再根据勾股定理算出BG的长；然后利用SAS判断出△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等得BE=BF，从而可得BF+CE=BE+EG≥BG，进而根据两点之间线段最短即可得出当点E在线段BG上时，BE+CE值最小为BG，即可得出答案.
5．（2025八下·椒江期末） 如图，P是正方形 ABCD 内一点，，，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：作BF⊥AP于点F， PH⊥AD于点H， PE⊥CD于点E，
∵四边形ABCD是正方形， ∠APD =90°，
∴BA = BC = AD =CD， ∠BFA=∠APD =90°， ∠PHD=∠HDE=∠PED=90°，
∴四边形PEDH是矩形，
∵∠PED =∠BCD = 90°，
∴PE∥BC，
∴BP=BC，
∵BP=BA，
∴AF=PF，
∵∠ABF+∠BAF=90°， ∠DAP+∠BAF=∠BAD=90°，
∴∠ABF=∠DAP，
在△ABF和△DAP中，
∴△ABF≌△DAP(AAS)，
∴AF=DP，
∴AP=2AF=2DP，
设 则
，
∴DE=PH=2m，
∴CE=CD-DE=5m-2m =3m，
，
故答案为：C .
【分析】作BF⊥AP于点F， PH⊥AD于点H， PE⊥CD于点E， 则四边形PEDH是矩形，即可得到AF= PF， 推导出∠ABF=∠DAP， 进而得到△ABF≌△DAP， 得AF =DP， 则AP=2AF=2DP， 设 则AP=2 求得 =5m， 根据三角形的面积求出DE=PH = 2m， 则CE = 3m ，即可得到 求得 即可求出比值解答即可.
6．如图，在菱形ABCD中， ，点 E，F分别在边AB，BC上， 的周长为 ，则AD的长为( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接BD，作DH⊥AB，垂足为 H.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AD∥BC.
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，∠ABC=180°-∠A=120°.
∴AD=BD，∠ABD=∠A=∠ADB=60°.
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=120°-60°=60°.
∵AE=BF，
∴△ADE≌△BDF(SAS).
∴DE=DF，∠ADE=∠FDB.
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠EDB+∠ADE=∠ADB=60°.
∴△DEF 是等边三角形.
∵△DEF的周长是3 ∴DE= ∵AD=BD，DH⊥AB，
∵在Rt△DHE中，
解得 负值舍去).
，
故答案为：C.
【分析】连结BD，作 ，垂足为H，先证明 是等边三角形，再根据SAS证明 ，得到 是等边三角形，根据周长求出边长D 设AH=x，则HE=2-x，DH= 在 中，根据勾股定理列方程求出x，进而得到AD=2x的值.
7．（2025九上·拱墅月考） 如图，菱形 ABCD 中，，点 E 在 CD 边上，点 F 在菱形 ABCD 外部，且满足 ，. 连结 AF、CF，取 AF 的中点 G，连结 BG，AC. 则下列结论：
① 是等边三角形；②；③ BG 垂直平分 AC；④.
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，∠ABC=120°
∴∠BCD=180°-∠ABC=60°
∵EF||AD
∴∠CEF=∠BCD=60°
又∵CE=EF
∴△CEF是等边三角形，故①正确；
∵ABCD为菱形
∴∠ACD=∠BCD=30°
∵ECF=60°
∴∠ACF=∠ACD+∠ECF=30°+60°=90°
∵G为AF的中点
∴AG=CG，故②正确；
在∵△ABG和△CBG中
∴△ABG≌△CCBG(SSS)
∴∠ABG=∠CBG
∴BG平分∠ABC
又∵BA=BC
∴BG垂直平分AC，故③正确；
设AC与BG交于点H，
∵O为AC的中点，G为AF的中点
∴OG=CF
∴OG=CE
∵∠ACB=30°
∴OB=BC=AD
∴BG=CB+CE
即2BG=AD+CE，故正确；
综合所述①②③④正确.
故答案为：D .
【分析】①由菱形的性质和平行的性质得∠CEF=60°，由CE=EF得△CEF为等边三角形；
②∠ACF=90°，G为AF的中点，即可得AG=CG；
③由BA=BC，AG=CG，BG=BG可得△ABG≌△CCBG(SSS)，得BG平分∠ABC，又BA=BC得BG垂直平分AC；
④AC与BG交于点O，由中位线定理得OG=CF，由BCO=30得OB=BC，于是BG=CB+CE，即有.
8．（2025九上·金华竞赛）正方形 中，点 是 的中点，点 是 上异于点 的点， ，则 的值是( )
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠A=∠C=90°，CD=AB=BC=AD，
过 作 ，连结 ，
∴∠BHP=∠BHE=90°，
，
在△ABP和△HBP中
∴△ABP≌△HBP（AAS）
∴AP=PH，BH=AB=BC，
在Rt△BHE和Rt△BCE中
∴Rt△BHE≌Rt△BCE（HL）
∴HE=CE，
设 ，
点 是 的中点， ，
在 Rt 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
∴，
故答案为：D.
【分析】利用正方形的性质可知∠A=∠C=90°，CD=AB=BC=AD，过 作 ，连结 ，利用余角的性质可证得∠HBP=∠ABP，再利用AAS可证得△ABP≌△HBP，利用全等三角形的性质可证AP=PH，BH=AB=BC，再利用HL可证得Rt△BHE≌Rt△BCE，利用全等三角形的性质可得到HE=CE；设 ，可表示出AB、PD、PE的长，利用勾股定理可得到关于x、y的方程，解方程可表示出y，利用勾股定理表示出BP的长，同时可表示出PE的长；然后求出BP与PE的比值.
阅卷人 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
得分
9．（2024·大庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（ ）
A．15 B．5+5 C．10+5 D．18
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点N作EF∥AB，交AD、BC于E、 F，过点M作MG⊥EF于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴АВ∥СD，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，
∴ ∠A=∠MGN=90°，
由旋转的性质得∠NMN'=90°，MN=MN'，
∴ ∠AMN=90°-∠NMG=∠GMN'，
∴△AMN≌△GMN'（AAS），
∴MG=AM，
∴点N在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，
作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B交直线E F于点N'，此时△MBN'周长取得最小值， 最小值为BM+BM'，
∵ВМ=АВ=5， MM'=5 +5=10，
∴ВМ + ВМ' .
故答案为：B.
【分析】 因为BM=5是定值，要求△MBN'周长最小，实际是求BN'+MN'最小，转化成“将军饮马”模型，先找出N运动轨迹，由线段旋转90°，可得三垂直全等，进而推出点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可.
10．如图，正方形 ABCD的边长为3c m，E为CD 边上一点， ，M为AE 的中点，过点M作直线分别与AD，BC交于点P，Q.若PQ=AE，则AP的长为 cm.
【答案】1或2
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点 P 作PN⊥BC，交 BC于点 N，交AE于点F，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=DC=PN.
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AD=3cm，
根据勾股定理得
∵M为AE的中点，
在Rt△ADE和Rt△PNQ中，
∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL).
∴DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°.
∵PN∥DC， ∴∠PFA=∠DEA=60°，
∴∠PMF=90°，即 PM⊥AF.
在 Rt△AMP 中，∠MAP=30°，
由对称性得到AP'=DP=AD-AP=3-2=1 cm，综上，AP等于1 cm或2cm.
故答案为：1或2.
【分析】过点 P 作PN⊥BC，交 BC于点 N，交AE于点F，根据正方形的性质和30°的直角三角形的性质求出DE长，然后根据HL得到Rt△ADE≌Rt△PNQ，即可得到DE=NQ，∠DAE=∠NPQ=30°，根据解直角三角形求出AP长，再根据对称性得到AP'=DP解答即可.
11．（2025八上·镇海区期末）如图， 为正方形 内一点，BC ，过点 作 交射线 于点 ，连结 ．若正方形边长为 ，则 。
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】连接AC、BD，设BF与CE交于点O，
∵BE=BC，BF⊥EC，
∴BF平分∠EBC，即∠EBF=∠CBF，
又∵BF=BF，
∴△EBF≌△CBF，
∴∠BFE=∠BFC，FE=FC，
设∠EBF=∠CBF=，
∵ABCD是正方形，
∴BA=BC=CD=DA=BE，∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-2，
∵BE=BA，
∴∠BAE=∠BEA=，
又∵∠EBC=2，BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=90°-，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠BEC=45°，
∴∠BFE=∠BFC=，
又∵∠ADC=∠AFC=90°，
∴∠AFD=∠ACD=45°，
∴∠DFB=∠AFD+∠BFE=90°，
在Rt△BCD中，，
在Rt△BFD中，，
故答案为：.
【分析】连接AC、BD，设BF与CE交于点O，先证明△EBF≌△CBF，即可得到∠BFE=∠BFC，FE=FC，然后设∠EBF=∠CBF=，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠DFB=90°，然后根据勾股定理解题即可.
12．（2025八上·龙湾月考）如图，在长方形中，，在上任取一点，连接，取的中点，连接，将沿折叠，当点恰好落在边上的点处时，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长与交于点，
∵在长方形中，，
∴，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵将沿折叠，点恰好落在边上的点处，
∴，，
∴，，
∴，
中，，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长与交于点，由长方形得到，再证明，得到，，根据折叠得到，，再根据勾股定理求出，则，再在中，根据，解得，得到，即可根据勾股定理得到，最后根据求解即可．
13．（2025九上·成都月考）在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段AD，DC上的动点，且AE=CF，连接B，F，过E点作EH⊥BF于点H，连接C，H，则CH的最小值为 .
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：连接AH和AC，如图所示，
∵CH≤AC-AH
∴当A、H、C三点共线时，CH最小，如图所示，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，
在△ABG和△BCF中，
∴△ABG≌△BCF(SAS)
∴∠BAG=∠CBF.
∵∠ABF+∠CBF=∠ABC=90°
∴∠ABF+∠BAG=90°
∴∠ANB=90°，即AG⊥BF
∵EH⊥BF
∴EM//AG
∵AD//BC
∴四边形AGME是平行四边形
∴GM=AE
∵AE=CF
∴BG=GM
∵GN//HM
∴BN=HN
∴AG垂直平分BH
∴AH=AB=1
在Rt△ABC中，，
∴，
∴CH的最小值为
故答案为：.
【分析】连接AH和AC，当A、H、C三点共线时，CH最小，在BC上取BG=CF，连接AG交BF于点N，延长EH交BC于点M，证明△ABG≌△BCF，四边形AGME是平行四边形，进而证明AG垂直平分BH，可得AH=AB=1，再利用线段的关系求解即可.
阅卷人 三、解答题：本大题共2小题，共11分。
得分
14．（2025八下·成华月考）正方形的对角线，相交于点，点为直线上一点（点不与点，，重合），连接，过点作，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点．
（1）如图1，当点在线段上．
①求证：；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并加以证明．
（2）当点在线段的延长线上，直接用等式表示线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）①证明：连接，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，，．
∴是的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②用等式表示线段，，之间的数量关系是：．
证明：∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
在正方形中，，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即．
（2）.
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：（2）解：，理由如下：
当点在线段的延长线上时，如图，过点作，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点．
∵四边形是正方形，
∴，，，．
∴是的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵在与中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
在正方形中，，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即．
【分析】（1）①根据正方形的性质求出，，，，再利用SSS证明，最后证明求解即可；
②利用AAS证明，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据题意先求出是的垂直平分线，再利用AAS证明，最后利用勾股定理等计算求解即可.
（1）①证明：连接．如图：
∵四边形是正方形，
∴，，，．
∴是的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵在四边形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②用等式表示线段，，之间的数量关系是：．
证明：∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
在正方形中，，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即：．
（2）解：，理由如下：
当点在线段的延长线上时，如图，过点作，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点．
∵四边形是正方形，
∴，，，．
∴是的垂直平分线．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在与中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，
在正方形中，，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即：．
15．（2025八下·潮南月考） 已知点 E，F，M，N 分别在矩形 ABCD 的边 DA，AB，BC，CD 上.
（1） 如图 1，若 EM 垂直平分 BD，求证：四边形 BMDE 是菱形；
（2） 如图 2，若 ，求证：；
（3） 如图 3，若四边形 EFMN 是平行四边形，，，求四边形 EFMN 周长的最小值.
【答案】（1）解： ∵EM垂直平分BD，
∴，，
又∵矩形ABCD中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形BMDE是平行四边形，
又∵，
四边形是菱形；
（2）解：如图，延长MN交AB，AD的延长线于P，G，过A作，使得，连接PQ，MO，
∵矩形ABCD，，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴Rt△QPM中，，
∴，
∵，
∴；
∴；
（3）解： 如图，延长 EN 交 BC 的延长线于 H，则，
又平行四边形 MNEF 中，，而，
，
，
，
如图，作点 F关于 BC的对称点F'，连接F'M，F'N，则，，即的最小值为F'N的长，
由勾股定理可得，，
的最小值为，
∴平行四边形 EFMN 周长的最小值为
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出，， 再利用全等三角形的判定方法证明，最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据题意先求出，再利用勾股定理求出F'N的值，最后计算求解即可.
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