(共34张PPT)
第8章 四边形
8.3 特殊的平行四边形
第3课时 菱形的性质
菱形的定义与性质
1.(2025北京师大附中期中)如图,菱形ABCD中,E,F分别是AD,
BD的中点,若EF=5,则菱形ABCD的周长为 ( )
A.10 B.20 C.30 D.40
D
解析 ∵E,F分别是AD,BD的中点,∴EF是△DAB的中位线,
∴AB=2EF=10.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA=10,
∴菱形ABCD的周长=4AB=40.
2.(2025山东济南钢城期末)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与
BD相交于点O,OE⊥AB,垂足为E,若∠BCD=50°,则∠BOE的
大小为 ( )
A.24° B.25° C.40° D.65°
B
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴∠BAD=∠BCD=50°,AB=AD,
AC⊥BD,∴∠BAO=∠DAO= ∠BAD=25°,∠AOB=90°,
∴∠BAO+∠ABO=90°,∵OE⊥AB,∴∠OEB=90°,
∴∠BOE+∠ABO=90°,∴∠BOE=∠BAO=25°,故选B.
3.【学科特色·方程思想】将两个完全相同的菱形按如图所示
的方式放置,若∠BAD=α,∠CBE=β,则β= ( )
A.45°+ α B.45°+ α
D
C.90°- α D.90°- α
解析 ∵四边形ABCD和四边形BGHF是完全相同的菱形,
∴∠DBE=∠BAD=α,AB=AD,∠ABD=∠CBD=∠CBE+∠DBE=
β+α,∴∠ADB=∠ABD=β+α.在△ABD中,∵∠BAD+∠ADB+
∠ABD=180°,∴α+β+α+β+α=180°,∴β=90°- α,故选D.
4.【学科特色·方程思想】如图,四边形ABCD是菱形,点E,F分
别在边BC,CD上,且△AEF是等边三角形,AB=AE,则∠B=______.
80°
解析 ∵四边形ABCD是菱形,△AEF是等边三角形,∴BC∥AD,AB=AD,∠B=∠D,∠EAF=60°,AE=AF,∴∠B+∠BAD=180°.
∵AB=AE,∴AF=AD,∴∠B=∠BEA=∠D=∠AFD,∴∠BAE=
∠DAF=180°-∠B-∠BEA=180°-2∠B.设∠B=x,则∠BAD=
180°-x,∠BAE=∠DAF=180°-2x,又∵∠BAE+∠EAF+∠FAD=∠BAD,∴(180°-2x)+60°+(180°-2x)=180°-x,解得x=80°,即∠B=80°.
5.(2024山东济南中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥CD,垂足
为E,CF⊥AD,垂足为F.求证:AF=CE.
证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD.
∵AE⊥CD,CF⊥AD,∴∠AED=∠CFD=90°.
在△AED与△CFD中,
∴△AED≌△CFD(AAS),
∴DE=DF,∴AD-DF=CD-DE,∴AF=CE.
6.(2025山东菏泽巨野期中)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD
相交于点O,过点B作BE∥AC,过点C作CE∥DB,BE与CE相交
于点E.
(1)求证:四边形BECO是矩形.
(2)连接DE,若AB=5,AC=6,求DE的长.
解析 (1)证明:∵BE∥AC,CE∥DB,∴四边形BECO是平行四
边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∴∠BOC=90°,∴平
行四边形BECO是矩形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=6,∴OA=OC= AC= ×6=3,OB
=OD,AC⊥BD,∴OB= =4,∴BD=2OB=8.由(1)得四
边形BECO是矩形,∴BE=OC=3,∠DBE=90°,∴DE=
= = .
菱形的面积
7.(2025山东菏泽成武期中)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD
的长分别为6 cm,8 cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是 ( )
A. cm B. cm C. cm D. cm
D
解析 ∵四边形ABCD是菱形,AC=6 cm,BD=8 cm,∴AB=BC,
AO= AC=3 cm,BO= BD=4 cm,AC⊥BD,S菱形ABCD= = ×
6×8=24(cm2),∴AB= =5 cm,∴BC=AB=5 cm,
∵S菱形ABCD=BC·AE=24 cm2,∴AE= cm,故选D.
8.(2025山东青岛崂山育才学校月考改编)如图,在菱形ABCD
中,∠ABC=120°,对角线AC= ,则菱形ABCD的面积为
_______.
解析 如图,连接BD与AC交于点O,∵四边形ABCD为菱形,
∴BA=BC,OA=OC,OB=OD,BD⊥AC,∴AO= AC= .∵∠ABC
=120°,∴∠BCA=∠BAC=30°,∴BO= AB,设BO=x,则 +x2
=(2x)2,解得x=1(负值已舍去),∴BD=2x=2,∴菱形ABCD的面
积为 AC·BD= × ×2= .
9.(2025山东青岛城阳十中月考,★★☆)如图,菱形ABCD的顶
点A,B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上,点C的横坐标为10,点
D的纵坐标为8,若直线AC平行于x轴,则菱形ABCD的边长为
( )
A.9 B.
B
C.6 D.3
解析 如图,连接AC,BD交于点M.∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AM= AC,BM= BD.
又∵AC∥x轴,∴BD⊥OB,
∵点C的横坐标为10,点D的纵坐标为8,
∴AC=10,BD=8,
∴AM = ×10=5,BM= ×8=4,
∴AB= = = ,
∴菱形ABCD的边长为 .
10.(2025浙江丽水莲都期末,★★☆)如图,菱形ABCD中,∠ABC=
120°,点E在CD边上,点F在菱形ABCD外部,且满足EF∥AD,
CE=EF.连接AF,CF,取AF的中点G,连接BG,AC,CG,AC与
BG交于点H,则下列结论:①△CEF是等边三角形;②AG=CG;
③BG垂直平分AC;④2BG=AD+CE.其中正确的有 ( )
D
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴∠D=∠ABC=120°,∵EF∥
AD,∴∠DEF=∠D=120°,∴∠CEF=180°-∠DEF=60°,∵CE=
EF,∴△CEF是等边三角形,故①正确;∵△CEF是等边三角形,
∴∠ECF=60°,CF=CE.∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,
∠ACD=∠ACB,∴∠ABC+∠BCD=180°,∴∠BCD=60°,
∴∠ACD= ×60°=30°,∴∠ACF=∠ECF+∠ACD=90°.
∵G是AF的中点,∴CG= AF=AG,故②正确;∵AB=BC,AG=CG,
∴BG垂直平分AC(③正确),∴H是AC的中点,∴GH是△ACF的中位线,
∴CF=2GH,CF∥GH,∵∠ACF=90°,∴∠AHG=90°,∵∠BCH=
∠BCD=30°,∠BHC=∠AHG=90°,∴BC=2BH,∴BC+CF=
2(BH+GH)=2BG,∵AD=BC,CF=CE,∴2BG=AD+CE,故④正确.
综上,正确的结论有4个,故选D.
11.(2025山东聊城临清、东阿期中,★★☆)如图,在菱形ABCD中,
E,F分别是边CD,BC上的动点,连接AE,EF,G,H分别为AE,EF的
中点,连接GH.若∠ABC=60°,BC=2,则GH的最小值为____.
解析 如图,连接AF.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=2.∵G,
H分别为AE,EF的中点,∴GH是△AEF的中位线,∴GH= AF.
当AF⊥BC,即∠AFB=90°时,AF的值最小,则GH的值最小.在
Rt△AFB中,∠B=60°,∴∠BAF=90°-∠B=30°,∴BF= AB=1.由勾股定理,得AF= = ,∴GH= AF= ,即GH的最小值为 .
12.(2024广东中考,★★☆)如图,菱形ABCD的面积为24,点E是
AB的中点,点F是BC上的动点.当△BEF的面积为4时,图中阴
影部分的面积为________.
10
解析 如图,连接BD.∵E是AB的中点,∴AE=BE,∴S△AED=S△BED
= S△ABD= S菱形ABCD=6.连接EC,同理可得S△BEC= S菱形ABCD=S△AED=
6.∵S△BEF=4,∴S△BEF= S△BEC,∴BF= BC,FC= BC,∴S△DFC=
S△BCD= S菱形ABCD=4,∴S阴影=S菱形ABCD-S△AED-S△BEF-S△DFC=24-6-4-4=10.
13.(2025河南洛阳宜阳期末,★★☆)如图,在菱形ABCD中,对
角线AC,BD相交于点O,点P,Q分别是BC,OD上的点,连接AP,
QP,AP与OB相交于点E.
(1)如图1,连接QA,当QA=QP时,试判断点Q是否在线段PC的垂
直平分线上,请说明理由.
(2)如图2,若∠APB=90°,且∠BAP=∠ADB,求证:PB=PC.
解析 (1)点Q在线段PC的垂直平分线上.理由:如图,连接QC,
∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,OA=OC,∴QA=QC,
∵QA=QP,∴QC=QP,∴点Q在线段PC的垂直平分线上.
(2)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=DA,∠ABD=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB.∵∠BAP=∠ADB,∴∠BAP=∠ABD=∠CBD,
∵∠APB=90°,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠BAP+∠ABD+∠CBD=90°,∴∠BAP=∠ABD=∠CBD=30°,∴∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∵∠APB=90°,∴BP=CP.
14.【新课标·推理能力】(2025北京理工大学附中期中)如图,
菱形ABCD中,∠ABC=60°,点E为边AB上一点(不与点A,B重
合),连接CE,点F在线段CE上,满足∠BFE=60°,连接AC.
(1)求证:∠CBF=∠ACE.
(2)连接DF,点N是线段DF的中点,连接CN.
依题意补全图形,用等式表示线段BF,CF,
CN之间的数量关系,并证明.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠ACE+∠BCF=60°.∵∠BFE=60°,∴∠CBF+∠BCF=60°,∴∠CBF=∠ACE.
(2)依题意补全图形,如图所示.
线段BF,CF,CN之间的数量关系是BF+CF=2CN.
证明:如图,延长CN到M,使MN=CN,连接MD,MA,并在AM的延
长线上取一点H,使HM=DM,连接DH.
∵点N是线段DF的中点,
∴DN=FN.在△MND和△CNF中,
∴△MND≌△CNF(SAS),
∴DM=CF,∠DMN=∠FCN,∴DM∥CF,
∴∠MDC+∠DCF=180°.∵∠ADC=∠ABC=60°,AD=CD,
∴△ACD是等边三角形,∴∠ACD=60°,∴∠DCF=∠ACE+60°,
∵∠MDC=∠1+∠ADC=∠1+60°,∴∠1+60°+∠ACE+60°=
180°,∴∠1+∠ACE=60°.又∵∠ACE+∠2=∠ACB=60°,
∴∠1=∠2.在△ADM和△BCF中,
∴△ADM≌△BCF(SAS),∴∠AMD=∠BFC,AM=BF.
∵∠BFC=180°-∠BFE=180°-60°=120°,
∴∠AMD=∠BFC=120°,∴∠DMH=180°-∠AMD=60°.
又∵HM=DM,∴△MDH是等边三角形,
∴∠HDM=60°,DM=DH=CF,
∴∠ADC=∠HDM,AH=AM+HM=BF+CF,
∴∠ADC+∠1=∠HDM+∠1,∴∠MDC=∠HDA.
在△MDC和△HDA中, ,
∴△MDC≌△HDA(SAS),∴CM=AH,
∴CM=BF+CF,∴BF+CF=CM=2CN.(共25张PPT)
第8章 四边形
8.2 平行四边形
第5课时 三角形的中位线
三角形的中位线
1.(2025山东泰安岱岳期末)如图,为测量位于一水塘旁的两点
A,B间的距离,在地面上确定点O,连接OA,OB,分别取OA,OB的
中点C,D,量得CD=12 m,则A,B之间的距离是 ( )
A.48 m B.24 m
C.12 m D.6 m
B
解析 ∵C,D分别是OA,OB的中点,∴CD是△OAB的中位线,
∴AB=2CD=2×12=24(m).
2.(2024四川广安中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC
的中点,若∠A=45°,∠CED=70°,则∠C的度数为 ( )
A.45° B.50° C.60° D.65°
D
解析 ∵点D,E分别是AC,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AB,∴∠B=∠CED=70°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-70°=65°,故选D.
3.(2025山东聊城高唐期中)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD
相交于点O,点E是AD的中点,如果OE=2,AD=6,那么 ABCD
的周长是( )
A.20 B.12 C.24 D.8
A
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC=6,
OB=OD.∵E是AD的中点,∴EO是△ABD的中位线,∴AB=2OE
=4,∴ ABCD的周长=2(AB+AD)=20,故选A.
方法点拨 应用三角形的中位线定理解题时,已知条件中往
往给出两个中点,若已知条件中只给出一个中点,则必须证明
另一个点也是中点,才能运用此定理.
4.(2025山东聊城冠县期中)如图,四边形ABCD为平行四边形,
E为AD上的一点,连接EB并延长至点F,使BF=BE,连接EC并延
长至点G,使CG=CE,连接FG,AF.H为FG的中点,连接DH.求证:
四边形AFHD为平行四边形.
证明 ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.
∵BF=BE,CG=CE,∴BC为△EFG的中位线,
∴BC∥FG,BC= FG,∴AD∥FG,AD= FG.
∵H为FG的中点,∴FH= FG,
∴FH=AD,∴四边形AFHD为平行四边形.
5.(2025山东淄博沂源期末)如图,在△ABC中,ED,EF是中位线,
连接EC和DF,交于点O.
(1)求证:OE= EC.
(2)若OD=2,求AB的长.
解析 (1)证明:∵ED,EF是△ABC的中位线,∴ED∥FC,EF∥
DC,∴四边形EFCD是平行四边形,∵对角线CE和DF相交于
点O,∴OE= EC.
(2)由(1)得四边形EFCD是平行四边形,∴DF=2OD=4,∵ED,
EF是△ABC的中位线,∴点D,F分别是AC,BC的中点,∴DF是
△ABC的中位线,∴DF= AB,∴AB=2DF=8.
6.(2024山东枣庄中考,★★☆)如图,点E为 ABCD的对角线
AC上一点,AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F,使得EF=DE,连
接BF,则BF的长为 ( )
A. B.3 C. D.4
B
解析 如图,连接BD交AC于O.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OD=OB.∵EF=DE,∴OE是△BFD的中位线,∴BF=
2OE.∵AC=5,CE=1,∴OE=OC-CE= AC-1= ,∴BF=2OE=3,故
选B.
7.【学科特色·整体思想】(2025山东烟台龙口期末,★★☆)如
图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线BN垂
直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线CM垂直于AD,垂足为M,连
接MN.若BC=7,则MN的长度为_________.
解析 ∵BN平分∠ABC,BN⊥AE,∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=
∠BNE=90°.又∵BN=BN,∴△BNA≌△BNE(ASA),∴BA=BE,
∴△BAE是等腰三角形,∴点N是AE的中点.同理,AC=CD,
△CAD是等腰三角形,点M是AD的中点,∴MN是△ADE的中位
线,∴MN= DE.∵△ABC的周长为19,BC=7,∴AB+AC=19-BC
=19-7=12,∴BE+CD=AB+AC=12,∴DE=BE+CD-BC=5,∴MN=
DE= .
8.(2025辽宁鞍山立山期中,★★☆)如图,在四边形ABCD中,点
E,F分别是AD,BC的中点,若AB=4,CD=6,∠ABC+∠BCD=90°,
求EF的长.
解析 如图,取BD的中点H,连接EH,HF.∵点E,F分别是AD,
BC的中点,∴EH,HF分别是三角形ABD、三角形BCD的中位
线,∴EH∥AB,HF∥CD,EH= AB=2,HF= CD=3,∴∠EHD=
∠ABD,∠BFH=∠C.∵∠ABC+∠BCD=90°,∴∠ABD+∠DBC
+∠BFH=90°.又∵∠DBC+∠BFH=∠DHF,∴∠EHD+∠DHF
=90°,即∠EHF=90°,∴△EHF是直角三角形,由勾股定理,得
EF= = = .
9.(★★☆)如图1,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC上的点.对
“中位线定理”逆向思考,可得以下三个命题:
Ⅰ.若D是AB的中点,DE= BC,则E是AC的中点;
Ⅱ.若DE∥BC,DE= BC,则D,E分别是AB,AC的中点;
Ⅲ.若D是AB的中点,DE∥BC,则E是AC的中点.
(1)从以上命题中选出一个假命题,并在图2中画出反例(尺规
作图,保留作图痕迹).
(2)从以上命题中选出一个真命题,并进行证明.
解析 (1)选择命题Ⅰ,理由如下:
如图1,作边BC的垂直平分线,交BC于点M.以点D为圆心,BM的
长为半径画弧,与边AC交于点E和E'.点D是AB的中点,DE=
BC,但点E不一定是AC的中点.
(2)真命题是命题Ⅱ和命题Ⅲ,选择一个证明即可.
选择命题Ⅱ,证明:如图2,过点E作EM∥AB交BC边于点M,连接
DM.∵DE∥BC,∴四边形EDBM是平行四边形,∴BD=EM,DE=
BM.∵DE= BC,∴DE=BM=CM,∴四边形DECM是平行四边
形,∴DM=CE,DM∥CE,∴DM∥AE,又∵EM∥AD,∴四边形
ADME是平行四边形,∴AD=EM,DM=AE,∴AD=BD,AE=CE,
∴D,E分别是AB,AC的中点.
选择命题Ⅲ,证明:如图3,延长ED至点F,使DF=DE,连接BF.
∵D是AB边的中点,∴AD=BD.又∵∠ADE=∠BDF,∴△ADE≌
△BDF(SAS),∴AE=BF,∠AED=∠F,∴AC∥BF.∵EF∥BC,
∴四边形BCEF是平行四边形,∴BF=CE,∴CE=AE,∴E是AC的
中点.
10.【新课标·推理能力】我们学习了三角形中位线定理:三角
形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
【问题背景】
已知△ABC,△CEF均是等腰直角三角形,且有公共顶点C,
∠ABC=∠CEF=90°,连接AF,M是AF的中点,连接MB,ME.
【思路探究】
(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时,延长AB交CF于点D,求
证:MB∥CF.
【迁移应用】
(2)如图2,当∠BCE=45°时,延长FE,CB交于点G,连接AG,求证:
BM=ME.
证明 (1)∵△ABC,△CEF均是等腰直角三角形,∠ABC=
∠CEF=90°,∴∠BAC=∠ACB=∠ECD=45°,∴∠ADC=45°=
∠BAC,∴AC=DC.∵BC⊥AB,∴AB=BD.又∵点M是AF的中点,
∴BM是△ADF的中位线,∴BM∥CF.
(2)如图,延长BM交CF于点D,连接BE,DE.
∵∠BCE=45°,∴∠ACF=45°×3=135°,
∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°,∴AB∥CF,
∴∠BAM=∠DFM.∵M是AF的中点,∴AM=FM.
在△ABM和△FDM中,
∴△ABM≌△FDM(ASA),∴AB=DF,BM=DM,∴AB=BC=DF.
在△BCE和△DFE中,
∴△BCE≌△DFE(SAS),
∴BE=DE,∠BEC=∠DEF,
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°,
∴△BDE是等腰直角三角形.
∵BM=MD,∴BM=ME.(共28张PPT)
专项突破3 四边形中的折叠问题
平行四边形中的折叠问题
1.如图,将 ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在B'处,若∠1=
∠2=44°,则∠B为 ( )
A.66° B.104° C.114° D.124°
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠BAB'=
∠1=44°.由折叠的性质,得∠BAC=∠B'AC= ∠BAB'=22°,
在△ABC中,由三角形的内角和定理,可得∠B=180°-∠2-
∠BAC=180°-44°-22°=114°,故选C.
2.如图,将 ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD
于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,则 ABCD的
周长为___________.
4a+2b
解析 ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD
∥BC,∠D=∠B=80°,∴∠DAC=∠ACB.由题意可知∠ACB=
∠ACE,∴∠ACE=∠DAC,∴AF=FC=a.设∠ECD=x,则∠DAC=
∠ACE=2x,在△ADC中,∠ACE+∠ECD+∠DAC+∠D=180°,
∴2x+x+2x+80°=180°,解得x=20°,∴∠ECD=20°,
∴∠DFC=180°-∠D-∠ECD=80°,∴∠DFC=∠D,
∴DC=FC=a,又AD=AF+FD=a+b,
∴ ABCD的周长为2(DC+AD)=2(a+a+b)=4a+2b.
3.按如图所示的方式折叠平行四边形纸片ABCD,使得B落在
对角线AC上的M处,得到折痕AE,使得D落在对角线AC上的N
处,得到折痕CF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若∠BAE= ∠BAD,连接EN,FM,求证:四边形NEMF是菱形.
证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AF∥EC,AB∥CD,
∴∠BAC=∠DCA.根据折叠的性质可知∠BAE=∠CAE=
∠BAC,∠ACF=∠DCF= ∠DCA,∴∠CAE=∠ACF,
∴AE∥FC,∴四边形AECF是平行四边形.
(2)∵∠BAE=∠CAE= ∠BAC,∠BAE= ∠BAD= (∠BAC+
∠CAF),∴∠BAE=∠CAE=∠CAF.∵AF∥EC,∴∠CAF=∠ACE,
∴∠CAE=∠ACE,∴AE=CE,∴平行四边形AECF是菱形,∴AE
=AF=EC,∵AD=BC,∴DF=BE.根据折叠的性质可知BE=EM,
DF=NF,∴EM=NF.在△AEN和△AFN中,
∴△AEN≌△AFN(SAS),∴NE=NF.同理,△CME≌△CMF(SAS),
∴EM=FM,∴EM=NF=NE=FM,∴四边形NEMF是菱形.
矩形中的折叠问题
4.【学科特色·方程思想】如图,在矩形纸片ABCD中,把△ADE
沿直线AE折叠,使得点D落在BC边上的点F处.已知∠EAF与
∠BAF的度数之比为2∶5,则∠DAF的度数是 ( )
A.20° B.30° C.40° D.45°
C
解析 ∵∠EAF与∠BAF的度数之比为2∶5,∴设∠EAF=2x°,
∠BAF=5x°,由折叠可知∠DAE=∠EAF=2x°.∵四边形ABCD
是矩形,∴∠BAD=90°,∴5x+2x+2x=90,解得x=10,∴∠DAF=
∠EAF+∠DAE=2x°+2x°=40°,故选C.
5.【学科特色·分类讨论思想】如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=
8,点E是BC边上一点,连接AE,把△ABE沿AE折叠,使点B落在
点B'处,连接CB',当△B'CE为直角三角形时,CE的长为 ( )
A.2或6 B.3或6 C.2或5 D.3或5
C
解析 由折叠可知,∠AB'E=∠ABE=90°,AB'=AB=6,EB'=EB,根
据题意,当△B'EC为直角三角形时,有两种情况:①若∠EB'C=
90°,则∠AB'E+∠EB'C=180°,此时点B',A,C在一条直线上,如图1所示.在Rt△ABC中,AB=6,BC=AD=8,∴AC= =10.∴CB'
=10-6=4.设BE=x,则EB'=x,CE=8-x,在Rt△CEB'中,∵B'E2+B'C2=
CE2,∴x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴BE=3,∴CE=BC-BE=8-3=5.②若
∠B'EC=90°,易知点B'落在AD边上,如图2所示,此时四边形
ABEB'为正方形,∴BE=AB=6,∴CE=BC-BE=8-6=2.综上所述,
CE的长为5或2.
6.如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE
与CD交于点F.
(1)求证:△DAF≌△ECF.
(2)若∠FCE=40°,求∠CAB的度数.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠B=90°,AD=
BC,由折叠可知BC=EC,∠B=∠E=90°,
∴∠D=∠E=90°,AD=EC.在△DAF和△ECF中,
∴△DAF≌△ECF(AAS).
(2)由(1)得△DAF≌△ECF,∴∠DAF=∠FCE=40°,∵四边形
ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠EAB=∠DAB-∠DAF=90°-
40°=50°,由折叠可知∠CAB=∠EAC,∴∠CAB= ∠EAB=25°.
7.(2025山东潍坊奎文期中)数学活动课上,同学们开展了以
“折叠”为主题的探究活动.矩形ABCD中,AB=6,AD=10,P是
射线BC上一动点.
(1)如图1,移动点P的位置,使△ABP折叠后,点B的对应点E落
在线段PD上,求线段BP的长.
(2)如图2,直线HL是线段AD的垂直平分线,将△ABP折叠后,点
B的对应点E恰好落在HL上,画出所有可能的图形,并求线段
BP的长.
解析 (1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠C=90°,AD∥BC,CD=AB
=6,BC=AD=10,∴∠PAD=∠APB.由折叠可知∠APD=∠APB,
∴∠PAD=∠APD,∴PD=AD=10,∴PC= =
=8,∴BP=BC-PC=10-8=2,∴BP的长是2.
(2)∵直线HL是线段AD的垂直平分线,∴AH=DH= AD=5,∠AHL
=∠BLH=∠CLH=90°,∵∠BAH=∠B=90°,∴四边形ABLH
是矩形,∴HL=AB=6,BL=AH=5.如图1,当点P在线段BL上时,点
E在线段LH上,∴PL=5-BP.由折叠得AE=AB=6,EP=BP,∴EH=
= = ,∴EL=6- ,∵PL2+EL2=EP2,EP=
BP,∴(5-BP)2+(6- )2=BP2,解得BP= .如图2,当点P在
线段BL的延长线上时,点E在线段LH的延长线上,∴PL=BP-5.
∵∠AHE=90°,AE=AB=6,AH=5,∴EH= = =
,∴EL=6+ ,∵PL2+EL2=EP2,EP=BP,∴(BP-5)2+(6+ )2=
BP2,解得BP= .综上所述,BP的长是 或
.
菱形中的折叠问题
8.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠B=45°,AE为BC边上的高,
将△ABE沿AE所在直线翻折得到△AB'E,AB'与CD边交于点F,
则B'F的长度为 ( )
C
A.1 B. C.2- D. -2
解析 由折叠的性质可知∠B'=∠B=45°,AB=AB',∴∠BAB'=
90°.∵四边形ABCD是菱形,边长为2,∴AB=AD=2,∠D=∠B=
45°,AB∥CD,∴∠DFA=∠BAF=90°,∴∠DAF=45°=∠D,
∴DF=AF= ,∴B'F=AB'-AF=AB-AF=2- .
9.如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形对角线的
交点O处,折痕为EF,点E,F分别为边AB,AD的中点.若菱形
ABCD的边长为2,∠A=120°,则EF=_________.
解析 如图所示,连接AC,BD,则AC,BD交于点O.∵四边形
ABCD是菱形,边长为2,∴AB=2,AC⊥BD,AC平分∠BAD,BO=
DO= BD.∵∠BAD=120°,∴∠BAO=60°,∴∠ABO=90°-
∠BAO=30°,∴AO= AB=1,∴BO=DO= = .∵点E,F分别为边AB,AD的中点,∴EF是△ABD的中位线,
∴EF= BD=BO= .
10.(2025湖北武汉江夏期中)如图,菱形ABCD的边长为3,∠A=
60°,点E,F分别在边AB,AD上.若将△AEF沿直线EF折叠,使得
点A恰好落在CD边的中点G处,则AF=___________.
2.1
解析 如图,过点F作FH⊥CD,交CD的延长线于点H,
∵四边形ABCD是边长为3的菱形,∴AD=CD=3,AB∥CD,
∴∠HDF=∠A=60°,∴∠HFD=90°-60°=30°.设HD=x,则DF=2x,FH= x,则AF=GF=3-2x.∵G是CD边的中点,∴DG= DC=
1.5,∴HG=x+1.5.在Rt△FGH中,∵HG2+FH2=GF2,
∴(x+1.5)2+( x)2=(3-2x)2,解得x=0.45,∴AF=3-2×0.45=2.1.
正方形中的折叠问题
11.如图,在正方形ABCD中,E是边DC上的一点(不与D,C重合),
连接AE,将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE,延长EF交
BC于G,过G作GH⊥AG,与AE的延长线交于点H,连接CH.求
证:
(1)AG=GH.
(2)CH平分∠DCM.
证明 (1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠BAD=∠D=90°,
AD=AB.由折叠的性质可知△AFE≌△ADE,∴AD=AF=AB,
∠AFE=∠D=90°,∠FAE=∠DAE,∴∠AFG=90°=∠B.
在Rt△ABG和Rt△AFG中, ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),
∴∠FAG=∠BAG,∴∠GAE=∠FAE+∠FAG= (∠DAF+∠BAF)
= ∠BAD=45°.∵GH⊥AG,∴∠AGH=90°,∴∠AHG=45°=
∠GAE,∴AG=GH.
(2)如图,过点H作HN⊥GM于点N,∴∠GNH=90°.∵∠1+∠2=
90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.∵∠B=∠GNH=90°,AG=GH,
∴△ABG≌△GNH(AAS),∴BG=HN,AB=GN.∵AB=BC,
∴BC=GN,∴BG+GC=GC+CN,∴BG=CN,∴HN=CN,
∴∠HCN=∠CHN=45°,∴∠DCH=45°=∠HCN,
∴CH平分∠DCM.(共28张PPT)
第8章 四边形
8.3 特殊的平行四边形
第4课时 菱形的判定
菱形的判定
1.(2025山东淄博桓台期中)如图,以点A为圆心,适当的长为半
径画弧,交∠A的两边于点M,N,再分别以M,N为圆心,AM的长
为半径画弧,两弧交于点B,连接MB,NB.若∠A=50°,则∠MBN=
( )
A.40° B.50°
C.60° D.140°
B
解析 由作图可得AN=AM=MB=NB,∴四边形AMBN是菱形,
∴∠MBN=∠A=50°,故选B.
2.(2024四川攀枝花中考)如图,四边形ABCD是平行四边形,给
出下列四个条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分
∠BAD.添加其中一个条件,不能使四边形ABCD是菱形的为
( )
B
A.① B.② C.③ D.④
解析 在 ABCD中,∵AB=BC,∴ ABCD是菱形,故①不符
合题意;在 ABCD中,∵AC=BD,∴ ABCD是矩形,故②符合
题意;在 ABCD中,∵AC⊥BD,∴ ABCD是菱形,故③不符合
题意;∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∴∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC,
∴ ABCD是菱形,故④不符合题意.故选B.
3.(2025山东聊城冠县期中)如图,在 ABCD中,∠ABC=60°,AB
=AC,对角线AC,BD交于点O,点M是CD的中点,OM=1,则
ABCD的周长为_________.
8
解析 ∵∠ABC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形,∴AB=
BC,∴平行四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.∵点M是
CD的中点,OB=OD,∴OM是△DBC的中位线,∴BC=2OM=2,
∴AB=BC=CD=AD=2,∴ ABCD的周长=2×4=8.
4.(2025山东菏泽定陶期中)如图,△ABC中,点D是AB上一点,点
E是AC的中点,过点C作CF∥AB,交DE的延长线于点F.
(1)求证:AD=CF.
(2)连接AF,CD.若点D是AB的中点,当AC与BC满足什么条件
时,四边形ADCF是菱形 证明你的结论.
解析 (1)证明:∵CF∥AB,∴∠ADF=∠CFD,∠DAC=∠FCA.
∵点E是AC的中点,∴AE=CE,∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD
=CF.
(2)当AC⊥BC时,四边形ADCF是菱形.
证明:∵AD∥CF,AD=CF,∴四边形ADCF是平行四边形.∵点
D是AB的中点,点E是AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC.∵AC⊥BC,∴DE⊥AC,∴平行四边形ADCF是菱形.
5.【学科特色·教材变式】(2024四川雅安中考)如图,点O是
ABCD对角线的交点,过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.
(1)求证:△ODE≌△OBF.
(2)当EF⊥BD时,DE=15 cm,分别连接BE,DF.求四边形BEDF
的周长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB,OD
=OB.∴∠OED=∠OFB.在△ODE和△OBF中,
∴△ODE≌△OBF(AAS).
(2)∵△ODE≌△OBF,∴DE=BF.∵DE∥BF,∴四边形BEDF
是平行四边形.∵EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形,∴DF=BF=
BE=DE=15 cm,∴四边形BEDF的周长为DF+BF+BE+DE=
4DE=4×15=60(cm).
6.(2025山东聊城冠县期中,★★☆)如图,点D,E,F分别是△ABC的
边AB,BC,AC的中点,分别连接DE,EF,DF,AE,AE与DF
相交于点O.有下列四个结论:①DO= BE;②S△DEF= S△ABC;③当
AB=AC时,点O到四边形ADEF四条边的距离相等;④当∠ABC
=90°时,点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等.其中正确的
结论是( )
C
A.①② B.③④
C.②③ D.①④
解析 ①∵点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点,
∴EF∥AB,DE∥AC,∴四边形ADEF是平行四边形,∴AO=EO,
∴OD是△ABE的中位线,∴OD= BE,故①错误;②∵点D,E,F分
别是△ABC的边AB,BC,AC的中点,∴DF∥BC,DE∥AC,EF∥
AB,∴四边形ADEF、四边形DBEF和四边形DECF都是平行
四边形,∴S△ADF=S△DEF=S△BDE=S△CEF,∴S△DEF= S△ABC,故②正确;
③∵AB=AC,∴AD=AF,∴平行四边形ADEF是菱形,∴AE,DF平
分菱形的两组对角,∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等,
故③正确;④假设点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等,
∵四边形ADEF是平行四边形,∴四边形ADEF是矩形,∴∠ADE
=90°,∵∠ABC=90°,∴∠ADF=90°,∴∠ADE=∠ADF,这与题
目条件不符,∴当∠ABC=90°时,点O到四边形ADEF四个顶点
的距离不相等,故④错误.综上所述,正确的结论是②③.故选C.
7.【学科特色·教材变式】(2024广西中考,★★☆)如图,两张
宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,
则重合部分构成的四边形ABCD的周长为__________cm.
8
解析 如图,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∴∠AEB
=∠AFD=90°.∵两张纸条宽度均为3 cm,∴AD∥BC,AB∥CD,
AE=AF=3 cm,∴四边形ABCD为平行四边形,∴∠ADF=∠ABE=
60°,∴△ADF≌△ABE(AAS),∴AD=AB,∴四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC=CD=AD.在Rt△ADF中,∠ADF=60°,∴∠DAF=30°,
∴AD=2DF.由勾股定理,得AF2+DF2=AD2,
∴32+DF2=4DF2,∴DF= cm,∴AD=2 cm,
∴菱形ABCD的周长为2 ×4=8 (cm).
8.(2025北京二十中教育集团期中,★★☆)如图,在平行四边形
ABCD中,AD=2,∠D=120°,AC平分∠DAB,P是对角线AC上的一个动点,点Q是AB边上的一个动点,则PB+PQ的最小值是______.
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠DCA=∠BAC.∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠BAC,
∴∠DCA=∠DAC,∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形.
如图,连接PD,DQ,过点D作DE⊥AB于点E.由菱形的性质可得B,
D关于直线AC对称,则PD=PB,∴PB+PQ=PD+PQ≥DQ≥DE,∴DE
的长即为PB+PQ的最小值.∵AB∥CD,∠ADC=120°,∴∠BAD=60°.在Rt△ADE中,∵AD=2,∠ADE=90°-∠BAD=30°,∴AE=
AD=1,由勾股定理,得DE= = = ,∴PB+PQ的
最小值为 .
9.【新考向·项目探究题】(2025北京师大附属实验中学期中,
★★☆)小远同学从“对角线平分对角”的角度探究菱形的
判定方法,请你帮助小远完成下面的问题:
(1)小远认为“三个角被对角线平分的四边形是菱形”,并写
出了这个命题的已知和求证,请你帮他完成证明.
已知:如图1,在四边形ABCD中,对角线AC和BD交于点O,∠1=
∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.求证:四边形ABCD是菱形.
(2)小远将(1)中的条件弱化为“两个角被对角线平分”,发现
不能证出四边形是菱形,请你帮他画出一个反例.(画出一个凸
四边形满足两个角被对角线平分,却不是菱形,并注明条件)
(3)小远在“四边形的一个或两个内角被对角线平分”的基
础上加入边相等的条件,组成了下列四组条件(如图2),其中能
判定四边形ABCD是菱形的有_______.(填序号)
①BC=CD=AD,∠1=∠2;②BC=CD=AD,∠5=∠6;
③BC=CD,∠3=∠4,∠5=∠6;④AB=CD,∠1=∠2,∠5=∠6.
解析 (1)证明:∵∠1=∠2,AC=AC,∠5=∠6,
∴△ABC≌△ADC(ASA),∴AB=AD,BC=CD,
∴AC垂直平分BD,∴∠AOB=∠BOC=90°,BO=OD.
又∵∠3=∠4,BO=BO,
∴△ABO≌△CBO(ASA),
∴AO=OC,∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=AD,∴ ABCD是菱形.
(2)如图,四边形ABCD即为反例.∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA.
(3)能判定四边形ABCD是菱形的有②③④.
详解:①根据BC=CD=AD,∠1=∠2,无法判定四边形ABCD是
菱形;②∵BC=CD,∠5=∠6,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS),
∴AB=AD,∴AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形;
③∵BC=CD,∠5=∠6,AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS),
∴AB=AD,∠ABC=∠ADC.∵BC=CD,∴∠BDC=∠4,
∴∠ADB=∠3=∠4=∠BDC.
又∵BD=BD,∴△ABD≌△CBD(ASA),∴AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形;④∵∠1=∠2,AC=AC,∠5=∠6,
∴△ABC≌△ADC(ASA),∴AB=AD,BC=CD.
∵AB=CD,∴AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形.
10.【新课标·推理能力】如图,在△ABC中,点O是AC边上的一
个动点,过点O作直线MN∥BC,MN交∠BCA的平分线于点E,
交∠ACD的平分线于点F.
(1)探究OE与OF的数量关系并加以证明.
(2)连接AE,AF,当点O在AC上运动到什么位置时,四边形AECF
是矩形 请说明理由.
(3)连接BF,BE,当点O在边AC上运动时,四边形BCFE能否成为
菱形 若能,请证明;若不能,请说明理由.
解析 (1)EO=FO.
证明:∵MN∥BC,∴∠OEC=∠BCE,∠OFC=∠DCF,
∵CE平分∠BCO,CF平分∠DCO,
∴∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠DCF,
∴∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC,∴EO=CO,FO=CO,∴EO=FO.
(2)当点O运动到AC的中点处时,四边形AECF是矩形.理由:当
点O运动到AC的中点处时,AO=CO,∵EO=FO,∴四边形AECF
是平行四边形,∵FO=CO,∴AO=CO=EO=FO,∴AO+CO=EO+
FO,即AC=EF,∴四边形AECF是矩形.
(3)四边形BCFE不能成为菱形.理由如下:
设BF交EC于点G,∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ECF=
∠ACB+ ∠ACD= (∠ACB+∠ACD)=90°,若四边形BCFE为
菱形,则BF⊥CE,∵在△GFC中,不可能同时存在两个角为90°,
∴四边形BCFE不能成为菱形.(共16张PPT)
专项突破1 构造平行四边形
解决四类问题
构造平行四边形证明角相等
1.求证:等腰梯形同一底上的两个角相等.
解析 已知:如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.
求证:∠B=∠C,∠A=∠D.
证明:【证法一】作腰的平行线:如图1,过D作DE∥AB,交BC
于点E,∴∠B=∠DEC.∵AD∥BC,∴四边形ABED是平行四边
形,∴DE=AB.∵AB=DC,∴DE=DC,∴∠DEC=∠C,∴∠B=
∠C,∵AD∥BC,∴∠ADC+∠C=180°,∠A+∠B=180°,∴∠A=
∠ADC,∴等腰梯形同一底上的两个角相等.
【证法二】作同一底上的高:如图2,过A作AM⊥BC,过D作DN
⊥BC,垂足分别为M,N,∴∠AMB=∠DNB=∠DNC=90°,∴AM
∥DN,∵AD∥BC,∴四边形AMND是平行四边形,∴AM=DN.
∵AB=DC,∴Rt△ABM≌Rt△DCN,∴∠B=∠C,∵AD∥BC,
∴ ∠ADC+∠C=180°,∠DAB+∠B=180°,∴∠DAB=∠ADC,
∴等腰梯形同一底上的两个角相等.
构造平行四边形证明线段相等
2.【学科特色·多解法】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥
BC于D,BG平分∠ABC且分别交AD,AC于点E,G,EF∥BC交AC
于F,求证:AE=CF.
证明 【证法一】转化法:如图1所示,过E作EH∥CF交BC于
H,∴∠3=∠C,∵∠BAC=90°,AD⊥BC,
∴∠ABC+∠C=90°,∠ABD+∠BAD=90°,∴∠C=∠BAD,
∴∠3=∠BAD.∵BG平分∠ABC,∴∠2=∠1.
在△ABE和△HBE中,
∴△ABE≌△HBE(AAS),∴AE=HE.∵EF∥BC,EH∥CF,
∴四边形EHCF是平行四边形,∴HE=CF,∴AE=CF.
【证法二】全等法:过E作EN⊥AB于N,过F作FM⊥BC于M,如
图2所示,
∴∠ANE=∠CMF=90°,
∵BG是∠ABC的平分线,ED⊥BC,∴EN=ED.
∵AD⊥BC,FM⊥BC,∴FM∥ED,∠C+∠2=90°.
∵EF∥DM,∴四边形EDMF是平行四边形,
∴ED=MF,∴EN=MF.
∵∠BAC=∠1+∠2=90°,∠C+∠2=90°,∴∠1=∠C.
在△ANE和△CMF中,
∴△ANE≌△CMF(AAS),∴AE=CF.
构造平行四边形证明线段的和差倍分关系
3.如图,在△ABC中,AB=AC,D是AB延长线上一点,BD=AB,E是
AB的中点,求证:CD=2CE.
证明 如图所示,延长CE至点F,使EF=CE,连接AF,BF,
∵E是AB的中点,∴AE=BE,∴四边形ACBF是平行四边形,
∴AC∥BF,AC=BF,∴BF=AC=AB=BD.
∴∠ABC=∠ACB,又∵AC∥BF,
∴∠FBC=180°-∠ACB=180°-∠ABC=∠DBC,
又∵BC=BC,∴△FBC≌△DBC,∴CD=CF=2CE.
4.如图, ABCD中,AB>AD,∠DAB与∠ADC的平分线交于
点E,∠ABC与∠BCD的平分线交于点F,连接EF.证明:EF=AB-
BC.
证明 延长DE交AB于M,如图,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,CD∥AB,∴∠ADC+
∠BAD=180°,∠CDM=∠AME,
∵AE,DE分别平分∠DAB,∠ADC,
∴∠ADE+∠DAE=90°,∠ADM=∠CDM,
∴∠AED=90°,∠ADM=∠AMD,∴AD=AM=BC,
∴ED=EM,∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠BCD,
∵AE平分∠DAB,CF平分∠BCD,
∴∠DAE=∠BCF,同理可得∠ADM=∠CBF=∠ABF,
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(ASA),
∴DE=BF,∴EM=BF,
∵∠AMD=∠ADM=∠ABF,
∴EM∥BF,∴四边形EFBM是平行四边形,
∴EF=MB,
∵BM=AB-AM=AB-BC,∴EF=AB-BC.
构造平行四边形证明线段不相等
5.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线
上一点,BD=CE,连接DE.求证:DE>BC.
证明 如图,过点D作DF∥BC,且DF=BC,连接EF,CD,CF,设
DE与BC交于点G, ∴四边形DBCF是平行四边形,
∴BD=CF,∠B=∠DFC,∵BD=CE,∴CE=CF,
∴∠CEF=∠CFE.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠DFC,
∵∠ACB=∠CGE+∠DEC>∠DEC,
∴∠DFE=∠DFC+∠CFE>∠DEC+∠CEF=∠DEF,∴DE>DF,
∵DF=BC,∴DE>BC.(共30张PPT)
第8章自主检测
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2025北京师大附中期中)矩形具有而菱形不具有的性质是
( )
A.两组对边分别平行 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等
B
解析 矩形与菱形的两组对边都分别平行,故选项A不符合题
意;矩形的对角线相等,菱形的对角线不一定相等,故选项B符
合题意;矩形与菱形的对角线都互相平分,故选项C不符合题
意;矩形与菱形的两组对角都分别相等,故选项D不符合题意.
2.(2025山东烟台栖霞期中)小琦在复习几种特殊四边形的关
系时整理如图,(1)(2)(3)(4)处需要添加条件,则下列条件添加
错误的是 ( )
D
A.(1)处可填∠A=90°
B.(2)处可填AD=AB
C.(3)处可填DC=CB
D.(4)处可填∠B=∠D
解析 有一个角是直角的平行四边形是矩形,∴(1)处可填∠A
=90°,故选项A条件添加正确,不符合题意;一组邻边相等的矩
形是正方形,∴(2)处可填AD=AB,故选项B条件添加正确,不符
合题意;一组邻边相等的平行四边形是菱形,∴(3)处可填DC=
CB,故选项C条件添加正确,不符合题意;(4)处添加∠B=∠D无
法判定菱形ABCD是正方形,故选项D条件添加错误,符合题
意.
3.(2024四川乐山中考)如图,下列条件中不能判定四边形
ABCD为平行四边形的是 ( )
D
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC
解析 选项A,根据平行四边形的定义:两组对边分别平行的
四边形是平行四边形,能判定四边形ABCD是平行四边形,不
符合题意;选项B,根据平行四边形的判定定理1:两组对边分别
相等的四边形是平行四边形,能判定四边形ABCD是平行四边
形,不符合题意;选项C,根据平行四边形的判定定理4:对角线
互相平分的四边形是平行四边形,能判定四边形ABCD是平行
四边形,不符合题意;选项D,一组对边平行,另一组对边相等,有
可能是平行四边形,也有可能是等腰梯形,∴不能判定四边形
ABCD是平行四边形,符合题意.
4.(2025山东济南槐荫期中)如图,四边形ABCD是平行四边形,
以点B为圆心,BC的长为半径作弧,交AD于点E,分别以点C,E
为圆心,大于 CE的长为半径作弧,两弧交于点P,作射线BP交
AD的延长线于点F,若BC=6,则EF的长为 ( )
A
A.6 B.8 C.3 D.10
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠F=∠FBC.由作图可知BF平分∠EBC,BE=BC=6,
∴∠EBF=∠FBC,∴∠EBF=∠F,∴EF=BE=6.故选A.
5.(2025山东菏泽巨野期中)在 ABCD中,AB=3,BC=4,当 ABCD
的面积最大时,下列结论:①AC=5;②∠A+∠C=180°;
③AC⊥BD;④AC=BD.其中正确的有 ( )
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①③④
B
解析 根据题意可知,当 ABCD的面积最大时,四边形ABCD
为矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AC=BD,∴AC= =5,
∠A+∠C=180°,故①②④正确,③不正确,故选B.
6.(2025广东佛山华英学校期中)如图,四边形ABED是梯形,DA
⊥AB,EB⊥AB,AD=AC,BE=BC,连接CD,CE,若AC·BC=5,则图
中阴影部分的面积为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
B
解析 ∵DA⊥AB,EB⊥AB,∴∠A=∠B=90°.∵AD=AC,BE=
BC,AC·BC=5,∴S阴影部分=S梯形DABE-S△DAC-S△EBC= (BE+AD)·(BC+
AC)- AD·AC- BE·BC= (BC2+2BC·AC+AC2)- AC2- BC2=BC·
AC=5,故选B.
7.(2025北京十三中分校期中)如图,矩形ABCD的对角线AC,
BD交于点O,AE⊥BD于E,点F为AB的中点,连接EF,若∠DOC=
64°,则∠AEF的度数为 ( )
A.26° B.32° C.42° D.58°
B
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AO=BO,∴∠ABO=∠OAB.
∵∠AOB=∠DOC=64°,∴∠ABO= ×(180°-64°)=58°.
∵AE⊥BD,∴∠BAE=90°-58°=32°,
∵点F为AB的中点,∴EF= AB=AF,∴∠AEF=∠BAE=32°.
8.【学科特色·半角模型】(2024重庆中考B卷)如图,在边长为
4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,
连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M,连接EM.若BE=DF=1,
则DM的长度为 ( )
A.2 B. C. D.
D
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD=4,∠C=
∠ABE=∠ADF=90°.在△ABE和△ADF中,
∴△ABE≌△ADF(SAS),∴AE=AF.∵AM平分∠EAF,
∴∠EAM=∠FAM.
在△AEM和△AFM中,
∴△AEM≌△AFM(SAS),∴EM=FM.
∵BE=DF=1,∴CE=BC-BE=4-1=3,
设DM=x,则MC=CD-DM=4-x,EM=FM=FD+DM=1+x.
在Rt△MCE中,根据勾股定理,得EM2=MC2+CE2,
即(1+x)2=(4-x)2+32,解得x= ,即DM的长度为 .
二、填空题(每小题6分,共24分)
9.(2025河南开封杞县期中)如图,在 ABCD中,AD=3,对角线
AC与BD相交于点O,AC+BD=10,则△BOC的周长为_______.
8
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=3,AO=OC=
AC,BO=OD= BD,∵AC+BD=10,∴OC+BO=5,∴C△BOC=OC+
OB+BC=5+3=8.
10.(2025山东淄博高新区期末)如图,菱形ABCD的对角线AC,
BD相交于点O,过点D作DH⊥BC于点H,连接OH,若OA=12,
S菱形ABCD=240,则OH的长为________.
10
解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,DO=BO,AC=2OA=
24.∵S菱形ABCD=240,∴ AC·BD=240,解得BD=20.∵DH⊥BC,
∴∠DHB=90°.∵DO=BO,∴OH= BD=10.
11.(2025山东菏泽巨野期中)我们把顺次连接四边形各边中点
所得的四边形叫中点四边形,现有一个对角线长分别为10 cm
和24 cm的菱形,则它的中点四边形的对角线长是__________.
13 cm
解析 如图,∵E,F,G,H分别为菱形ABCD各边的中点,AC=
24 cm,BD=10 cm,∴EF∥GH∥AC,EF=GH= AC=12 cm,EH∥
FG∥BD,EH=FG= BD=5 cm,由菱形的性质可得DB⊥AC,
∴EF⊥EH,∴四边形EFGH是矩形,∴HF= =13 cm,即
菱形ABCD的中点四边形的对角线长是13 cm.
12.(2025山东烟台栖霞期中)如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边
AB,AD上的动点,P是线段EF的中点,PG⊥BC,PH⊥CD,垂足分别
为G,H,连接GH.若AB=8,AD=6,EF=6,则GH的最小值是______.
7
解析 如图,连接AC,AP,CP,∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD
=6,∠BAD=∠B=∠BCD=90°,∴AC= = =10.
∵P是线段EF的中点,∴AP= EF=3.∵PG⊥BC,PH⊥CD,
∴∠PGC=∠PHC=90°,∴四边形PGCH是矩形,∴GH=CP.
当A,P,C三点共线时,CP的值最小,最小值=AC-AP=10-3=7,
∴GH的最小值是7.
三、解答题(共36分)
13.(2025山东菏泽巨野期中)(11分)如图,点O是△ABC内一点,
连接OB,OC,并将AB,OB,OC,AC的中点D,E,F,G依次连接,得到
四边形DEFG.
(1)求证:四边形DEFG是平行四边形.
(2)若M为EF的中点,OM=3,∠OBC和
∠OCB互余,求DG的长.
解析 (1)证明:∵D,G分别是AB,AC的中点,∴DG∥BC,DG=
BC.∵E,F分别是OB,OC的中点,∴EF∥BC,EF= BC,∴DG=
EF,DG∥EF,∴四边形DEFG是平行四边形.
(2)∵∠OBC和∠OCB互余,∴∠OBC+∠OCB=90°,∴∠BOC=
90°.∵M为EF的中点,OM=3,∴EF=2OM=6.∵四边形DEFG是
平行四边形,∴DG=EF=6.
14.(2025山东聊城冠县期中)(12分)如图,平行四边形ABCD的
对角线AC,BD相交于点O,AC平分∠BAD,DP∥AC,CP∥BD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)若AC=6,BD=8,求OP的长.
解析 (1)证明:∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠BAC.∵四边形
ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∴∠BAC=
∠ACB,∴AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)∵平行四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OC= AC=3,OD=
BD=4,∴∠COD=90°,∴CD= =5.∵DP∥AC,CP∥
BD,∠COD=90°,∴四边形OCPD是矩形,∴OP=CD=5.
15.(13分)如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点M,
N分别为OB,OD的中点,连接AM并延长至点E,使EM=AM,连接
CE,CN.
(1)求证:△ABM≌△CDN.
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,
四边形MECN是矩形 请说明理由.
(3)连接AN,EN,当△ANE满足什么条件时,四边形MECN是正
方形 请说明理由.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=
CD,OB=OD,OA=OC,∴∠ABM=∠CDN,∵点M,N分别是OB,
OD的中点,∴BM=DN,∴△ABM≌△CDN(SAS).
(2)当AC=2AB时,四边形MECN是矩形.理由如下:
∵MA=ME,OA=OC,∴OM是△AEC的中位线,∴OM∥EC,OM=
EC,易知OM=ON= MN,∴MN=EC,又∵MN∥EC,∴四边形
MECN是平行四边形.∵AC=2AB,AC=2OA,∴AB=OA,又点M是
OB的中点,∴AM⊥BO,∴∠EMN=90°,∴ MECN是矩形.
(3)当△ANE是等腰直角三角形,且∠ANE=90°时,四边形
MECN是正方形.理由:易得四边形MECN是平行四边形.
∵∠ANE=90°,EM=AM,∴MN= AE=ME,∴ MECN是菱形,
∵AN=EN,EM=AM,∴NM⊥AE,∴∠EMN=90°,
∴菱形MECN是正方形.(共17张PPT)
第8章 四边形
8.1 四边形
四边形的相关概念及性质
1.(2025山东德州乐陵期末)小明做了一个长方形框架,发现很容
易变形,请在下列选项中选择一个最好的加固方案 ( )
B
解析 根据三角形具有稳定性,四边形具有不稳定性,可知选
项B中的加固方案最好.
2.【学科特色·教材变式】在四边形ABCD中,AB=AD,CD>BC.
请猜想∠ABC和∠ADC的关系,并证明你的结论.
解析 ∠ABC>∠ADC.
证明:如图,连接BD,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,
∵CD>BC,∴∠CBD>∠CDB,
∴∠CBD+∠ABD>∠CDB+∠ADB,
∴∠ABC>∠ADC.
梯形
3.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,CE恰好平分
∠BCD,若AD=3,BC=4,则CD的长是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
C
解析 如图,延长CE交DA的延长线于F,∵AD∥BC,
∴∠1=∠3,∵E是AB的中点,∴AE=EB,又∠AEF=∠BEC,
∴△AEF≌△BEC,∴AF=BC=4,
∵CE平分∠BCD,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,
∴CD=DF=AD+AF=3+4=7,故选C.
4.(2025重庆大渡口月考)如图所示的是正方形的点子图(横、
竖相邻两点之间的距离为1 cm),要选一个点D,使四边形
ABCD成为一个梯形,点D共有_________种选法.
4
解析 如图所示,分两种情况考虑:①若BC,AD为一组平行边,
则D1,D2即为所求;②若AB,CD为一组平行边,则D3,D4即为所求,
∴点D共有4种选法.
5.(2025江苏苏州立达中学月考)如图,梯形ABCD中,DC∥AB,AD=
BC,AC平分∠DAB,∠DCA=30°,DC=3 cm,则∠BCA=____°,梯形ABCD的周长为______cm.
15
90
解析 ∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,∵DC∥AB,
∴∠CAB=∠DCA=30°,∴∠DAC=∠DCA=30°,
∴AD=DC=3 cm,∠DAB=60°,
∵AD=BC,∴CB=3 cm,∠B=∠DAB=60°,
∴∠ACB=90°,∴AB=2BC=6 cm,
∴梯形ABCD的周长为3+3+3+6=15(cm).
6.(2025江西景德镇乐平二中期中,★★☆)如图,在平面直角坐标系
xOy中,OA=8,AB=3,OC=5,如果在梯形OABC内有一点D(x,y),使
得S△OAD=S△BCD,S△ABD=S△OCD,那么xy的值为 ( )
A. B.
C. D.
D
解析 如图,连接OD,AD,BD,CD,过点D作DE⊥OA于点E,则
OE=x,DE=y.由题意可得梯形OABC的面积为 (AB+OC)·OA=
×(3+5)×8=32,∵S△ABD=S△OCD,∴ AB·AE= OC·OE,即 ×3×(8-x)= ×5x,解得x=3,∴OE=3,AE=5,∴S△ABD=S△OCD= ×5×3=
,∴S△OAD=S△BCD= × = ,∵S△OAD= OA·DE,
∴ ×8y= ,解得y= ,∴xy=3× = ,故选D.
7.(★★☆)如图,梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,
DE平分∠ADC,以下说法:①∠CDE=60°;②DE⊥AE;
③AD
A.①②④ B.③④ C.①②③ D.②④
D
解析 如图,过点E作EF⊥AD于点F,则∠DFE=∠AFE=90°,
∵∠B=∠C=90°,∴∠DFE=∠C,∵DE平分∠ADC,∴∠FDE=∠CDE,又∵DE=DE,∴△DEF≌△DEC(AAS),∴EF=EC,∠FED
=∠CED,DF=CD,∵E是BC的中点,∴EB=EC,∴EF=EC=EB,
∵∠AFE=∠B=90°,AE=AE,∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL),
∴AF=AB,∠AEF=∠AEB,∴AD=DF+AF=CD+AB,故③错误;
∵∠FED+∠CED+∠AEF+∠AEB=180°,∴∠FED+∠AEF=
90°,即∠AED=90°,∴DE⊥AE,故②正确;
∵S△DEF=S△DEC,S△AEF=S△AEB,
S△DEF+S△DEC+S△AEF+S△AEB=S梯形ABCD,∴S△DEF+S△AEF= S梯形ABCD,即S△ADE= S梯形ABCD,故④正确;根据已知条件不能证明∠CDE=
60°,故①错误.综上,正确的结论有②④,故选D.
8.【学科特色·半角模型】(★★☆)如图,在四边形ABCD中,AB
=AD,∠ABC+∠ADC=180°.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF
= ∠BAD.猜想线段BE,EF,FD之间的数量关系,并证明你的结
论.
解析 EF=BE+DF.
证明:如图,延长EB到点G,使BG=DF,连接AG,∵∠ABC+∠ADC=
180°,∠ABC+∠ABG=180°,∴∠ADC=∠ABG,∵AB=AD,
∴△ADF≌△ABG(SAS),∴∠GAB=∠FAD,AG=AF,∵∠EAF=
∠BAD,∴∠BAE+∠FAD= ∠BAD=∠EAF,∴∠BAE+
∠GAB=∠EAF,即∠GAE=∠EAF,又∵AE=AE,
∴△AEG≌△AEF(SAS),∴EF=EG=BE+BG=BE+DF.(共26张PPT)
第8章 四边形
8.2 平行四边形
第3课时 平行四边形的判定定理1、2
平行四边形的判定定理1
1.(2025山东烟台栖霞期末)下列条件中能判定四边形ABCD是
平行四边形的是 ( )
A.∠A=∠B,∠C=∠D B.AB=AD,CB=CD
C.AB=CD,AD=BC D.AB∥CD,AD=BC
C
解析 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形,可知
由AB=CD,AD=BC可以判定四边形ABCD是平行四边形,故选C.
2.下列图形中,一定可以拼成平行四边形的是 ( )
A.两个等腰三角形 B.两个全等三角形
C.两个锐角三角形 D.两个直角三角形
B
解析 ∵平行四边形的两组对边平行且相等,∴只有两个全
等的三角形才一定可以拼成一个平行四边形,故选B.
3.如图,点A是直线l外一点,在l上取两点B,C,连接AB,先以A为
圆心,BC长为半径画弧,再以C为圆心,AB长为半径画弧,两弧
交于点D,连接AD,CD,则判定四边形ABCD是平行四边形的依
据是___________________________________________.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
解析 由作图过程可知,AD=BC,AB=CD,∴四边形ABCD是平
行四边形.
4.(2025山东淄博桓台期末)如图所示,在△ABC中,AB=AC=7 cm,
D是BC上的一点,F是AC上的一点,且DE=AF,DF=AE,则四
边形AEDF的周长为__________.
14 cm
解析 ∵DE=AF,DF=AE,∴四边形AEDF是平行四边形,∴ED
∥AC,∴∠EDB=∠C,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠EDB,∴BE=ED,∴四边形AEDF的周长=2(DF+ED)=2(AE+BE)=2AB=14 cm.
平行四边形的判定定理2
5.(2025江苏淮安涟水期中)依据图中所标数据,下列四边形一
定为平行四边形的是 ( )
C
解析 选项C,如图,根据题意得∠C+∠D=180°,AD=BC,∴AD
∥BC,根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”,
得四边形ABCD是平行四边形.
6.(2025北京人大附中期中)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD.
添加下列条件不能判定此四边形为平行四边形的是 ( )
A.AB=CD B.AD∥BC
C.∠B=∠D D.AD=BC
D
解析 选项A,∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边
形,不符合题意;选项B,∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是
平行四边形,不符合题意;选项C,∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°,
∵∠B=∠D,∴∠D+∠C=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是
平行四边形,不符合题意;选项D,由AB∥CD,AD=BC不能判定
四边形ABCD是平行四边形,符合题意.
7.(2025山东菏泽东明三模)如图,在四边形ABCD中,对角线AC
与BD相交于点O,∠ABD=∠CDB,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于
点F,且BE=DF.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明 ∵∠ABD=∠CDB,∴AB∥CD,∴∠EAB=∠FCD,∵BE
⊥AC,DF⊥AC,∴∠AEB=∠CFD=90°,又∵EB=FD,∴△AEB
≌△CFD(AAS),∴AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
8.(★★☆)四边形的四条边长为a,b,c,d,其中a,b为一组对边边
长,c,d为另一组对边边长,且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd,则该四
边形是( )
A.任意四边形
B.对角线相等的四边形
C.平行四边形
D.对角线互相垂直的四边形
C
解析 ∵a2+b2+c2+d2=2ab+2cd,∴a2+b2+c2+d2-2ab-2cd=0,∴(a-
b)2+(c-d)2=0,∴a-b=0且c-d=0,∴a=b且c=d.∵a与b为一组对边
边长,c与d为另一组对边边长,∴四边形ABCD是平行四边形.
9.(2025广东珠海期中,★★☆)如图,平行四边形ABCD中,E,F
分别为边AB,DC的中点,则图中平行四边形的个数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
D
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵E,
F分别为AB,CD的中点,∴AE=EB=DF=FC,∴四边形AEFD、
四边形EFCB、四边形AFCE、四边形EDFB都是平行四边形,
∴ED∥BF,AF∥CE,∴四边形GEHF是平行四边形,∴题图中
平行四边形的个数是6.故选D.
10.(2025安徽中考,★★☆)在如图所示的 ABCD中,E,G分别
为边AD,BC的中点,点F,H分别在边AB,CD上移动(不与端点重
合),且满足AF=CH,则下列为定值的是 ( )
A.四边形EFGH的周长 B.∠EFG的大小
C.四边形EFGH的面积 D.线段FH的长
C
解析 如图,连接EG,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥
BC,AD=BC.∵E,G分别为边AD,BC的中点,∴AE=DE=BG=CG,
∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形,∴S△EGF=
S ABGE,S△EHG= S DEGC,∴S四边形EFGH=S△EGF+S△EHG= S ABGE+ S DEGC=
S ABCD,∴四边形EFGH的面积是定值,故选C.
11.(★★☆)如图,已知△ABC(∠BAC≠60°),分别以AB,AC,BC
为边在直线BC的同侧作等边三角形ABD,等边三角形ACE,等
边三角形BCF,连接DF,FE.求证:四边形DAEF是平行四边形.
证明 ∵△ABD和△BCF都是等边三角形,∴AB=DB,BF=BC,
∠DBA=∠FBC=60°,∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA,即
∠DBF=∠ABC.在△ABC和△DBF中, ,
∴△ABC≌△DBF(SAS),∴AC=DF,又∵△ACE是等边三角形,
∴AC=AE,∴DF=AE,同理可证AB=EF=AD,
∴四边形DAEF是平行四边形.
12.【新考向·动点探究题】(2025山东聊城阳谷期中,★★★)
如图,在△ABC中,AB=AC=10 cm,BC= cm,其中BD是AC边
上的高.点M从点A出发,沿AC方向匀速运动,速度为4 cm/s,同
时点P由B点出发,沿BA方向匀速运动,速度为1 cm/s,过点P的
直线PQ∥AC,交BC于点Q,设运动时间为t s(0
(1)线段BP=_______cm,AM=_______cm(用含t的代数式表
示).
(2)求AD的长.
(3)当t为何值时,以P,Q,D,M为顶点的四边形是平行四边形
解析 (1)由题意可知BP=t cm,AM=4t cm.
(2)∵BD是AC边上的高,∴∠ADB=∠CDB=90°,∴BD2=AB2-
AD2=BC2-CD2,∴102-AD2=( )2-(10-AD)2,∴AD=6 cm.
(3)∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵PQ∥AC,∴∠C=∠PQB,
∴∠ABC=∠PQB,∴PQ=BP=t cm.
分两种情况:①如图1,当点M在点D的上方时,∵AD=6 cm,
∴MD=AD-AM=(6-4t)cm.∵PQ∥AC,∴PQ∥MD,∴当PQ=MD
时,四边形PQDM是平行四边形,∵PQ=t cm,∴t=6-4t,解得t=1.2.
②如图2,当点M在点D的下方时,∵AM=4t cm,AD=6 cm,∴MD
=AM-AD=(4t-6)cm.∵PQ∥AC,∴PQ∥MD,∴当PQ=MD时,四
边形PQMD是平行四边形,∵PQ=t cm,∴t=4t-6,解得t=2.
综上所述,当t=1.2或t=2时,以P,Q,D,M为顶点的四边形是平行
四边形.
13.【新课标·推理能力】(2025云南楚雄州一模)如图,
在 ABCD中,BE,DG分别平分∠ABC,∠ADC.
(1)求证:四边形BEDG是平行四边形.
(2)过点E作EF⊥AB,垂足为F.
若 ABCD的周长为28,EF=5,
求S△ABC.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD
=BC,∠ADC=∠ABC,∴∠DAC=∠BCA,∵BE,DG分别平分
∠ABC,∠ADC,∴∠ADG= ∠ADC,∠CBE= ∠ABC,∴∠ADG=
∠CBE,∴△ADG≌△CBE(ASA),∴∠AGD=∠CEB,DG=BE,
∴180°-∠AGD=180°-∠CEB,即∠DGE=∠BEG,
∴BE∥DG,∴四边形BEDG是平行四边形.
(2)如图,过E作EH⊥BC于点H,∵ ABCD的周长为28,∴AB+
BC= ×28=14.∵BE平分∠ABC,EF⊥AB,EH⊥BC,∴EH=EF=
5,∴S△ABC=S△ABE+S△BCE= AB·EF+ BC·EH= EF·(AB+BC)= ×5
×14=35.
(共30张PPT)
第8章 四边形
8.3 特殊的平行四边形
第5课时 正方形的性质与判定
正方形的定义与性质
1.(2025山东潍坊诸城、青州、安丘期末)如图,在正方形
ABCD外侧,以AD为一边向上作等边△ADE,连接BE,AC,相交
于点F,则∠BFC的度数是 ( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
C
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=
90°,∠BAC=45°.∵△ADE是等边三角形,∴AD=AE=DE,
∠DAE=60°,∴AE=AB,∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°,∴∠ABE=∠AEB= (180°-∠BAE)= ×(180°-150°)=15°,∴∠BFC=∠BAC+∠ABE=45°+15°=60°.
2.【学科特色·方程思想】(2025吉林长春期末)如图,延长正方
形ABCD的边BA至点E,使AE=BD,则∠E的度数为( )
A.22.5° B.25° C.30° D.40°
A
解析 如图,连接AC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC=BD,且∠CAB=45°,
∵AE=BD,∴AE=AC,
∴∠E=∠ACE,
∵∠CAB=∠ACE+∠E,
∴2∠E=45°,
∴∠E=22.5°.故选A.
3.(2025山东菏泽成武期中)如图,在边长为2的正方形ABCD中,
M为边AD的中点,延长MD至点E,使ME=MC,以DE为边向右作
正方形DEFG,点G在边CD上,则DG的长为___________.
-1
解析 ∵M为边AD的中点,∴MD= AD= ×2=1.
在Rt△CDM中,MC= = = .
∵ME=MC,∴ME= ,∴DE=ME-MD= -1,在正方形DEFG
中,DG=DE= -1.
4.(2024江苏徐州中考)如图,四边形ABCD为正方形,点E在BD
的延长线上,连接EA,EC.
(1)求证:△EAB≌△ECB.
(2)若∠AEC=45°,求证:DC=DE.
证明 (1)∵四边形ABCD为正方形,
∴AB=BC,∠ABE=∠CBE=45°.
在△EAB和△ECB中, ,∴△EAB≌△ECB(SAS).
(2)∵四边形ABCD为正方形,∴∠BDC= ∠CDA=45°.
∵△EAB≌△ECB,∠AEC=45°,
∴∠CED=∠AED= ∠AEC=22.5°.
∵∠BDC=∠CED+∠DCE=45°,∴∠DCE=45°-22.5°=22.5°,
∴ ∠CED=∠DCE,∴DC=DE.
正方形的判定
5.如图,数学课上老师给出了以下四个条件:a.两组对边分别相
等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.
有三位同学给出了不同的组合方式:①a,c,d;②b,c,d;③a,b,c.你
认为能得到正方形的组合是_______.(填所有符合题意的组
合序号)
①②
解析 组合①,由条件a可得四边形是平行四边形,添加条件c
可得平行四边形是菱形,再添加条件d可得菱形是正方形;组合
②,由条件b可得四边形是平行四边形,添加条件c可得平行四
边形是菱形,再添加条件d可得菱形是正方形;组合③,由条件a
可得四边形是平行四边形,添加条件b得到四边形仍是平行四
边形,再添加条件c可得平行四边形是菱形,不能得到四边形是
正方形.
6.(2025山东烟台栖霞期中)如图,四边形ABCD和四边形CEFG
都是正方形,点K在BC上,延长CD到点H,使DH=CE=BK.求证:
四边形AKFH是正方形.
证明 ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形,∴AB=AD
=DC=BC,GF=GC=CE=EF,∠B=∠E=∠ADH=∠HGF=90°,
∵DH=CE=BK,∴KC+CE=KC+BK,DH+DG=CG+DG,即KE=
BC,HG=DC,∴KE=AD=AB=HG,易证△ABK≌△KEF≌
△ADH≌△HGF(SAS),∴AK=KF=AH=HF,∠BAK=∠EKF,
∴四边形AKFH是菱形.
∵∠AKB+∠BAK=90°,∴∠AKB+∠EKF=90°,
∴∠AKF=90°,∴四边形AKFH是正方形.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC
的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.
(1)求证:四边形ADCE为矩形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是正方形 并给出
证明.
解析 (1)证明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC,
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,∴∠MAE=∠CAE,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE= ×180°=90°,又∵AD⊥BC,
CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=∠DAE=90°,
∴四边形ADCE为矩形.
(2)答案不唯一,满足题意即可.例:当△ABC满足∠BAC=90°时,
四边形ADCE是正方形.证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ACB
=∠B=45°,∵AD⊥BC,∴∠CAD=∠BAD=45°,∴∠CAD=
∠ACB,∴DC=AD,∵四边形ADCE为矩形,∴矩形ADCE是正方形.
8.(2025山东潍坊期末,★★☆)如图,在正方形ABCD中,点E,F
分别是对角线BD,AC上的点,连接CE,EF,DF,若EF∥BC,且
∠CEF=α,则∠AFD的大小为 ( )
A.α B.2α C.45°-α D.45°+α
D
解析 设AC,BD相交于点O,∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,OB=OC,∠EBC=∠FCB=∠FCD=∠CDB=45°,∠DOC=90°.
∵EF∥BC,∴∠OEF=∠EBC=45°,∠OFE=∠FCB=45°,
∠BCE=∠CEF=α,∴∠OEF=∠OFE,∴OE=OF,∴OB-OE=OC-
OF,即BE=CF.在△BCE和△CDF中,
∴△BCE≌△CDF(SAS),∴∠BCE=∠CDF=α,
∴∠ODF=∠CDB-∠CDF=45°-α.在Rt△ODF中,∠DOC=90°,
∴∠AFD=90°-∠ODF=90°-(45°-α)=45°+α,故选D.
9.(2024北京中考,★★☆)如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,
AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF的面
积为_________.
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD=5,∠ADC=∠DAE=
90°.∵AF⊥DE,CG⊥DE,∴∠AFD=∠CGD=90°.∵∠ADF+
∠CDG=∠ADF+∠DAF=90°,∴∠CDG=∠DAF,∴△CDG≌
△DAF(AAS),∴DF=CG=4,∴AF=DG= =3.
设EF=x,在Rt△AEF中,由勾股定理,得AE2=AF2+EF2=32+x2.在
Rt△AED中,由勾股定理,得AE2=DE2-AD2=(4+x)2-52,∴32+x2=(4
+x)2-52,解得x= ,即EF= ,∴S△AEF= AF·EF= .
10.(2025北京陈经纶中学期中,★★☆)如图,线段AB的长为10,
点D在线段AB上运动(不与A,B重合),以AD为边作等边三角形
ACD,再以CD为边,在线段AB上方作正方形CDGH,记正方形
CDGH的对角线的交点为O,连接OB,则线段BO的最小值为___.
5
解析 如图,连接CG,DH,则CG,DH交于点O,连接AO并延长,
过点B作BM⊥AO于点M,∵△ACD为等边三角形,∴AC=AD,
∠CAD=60°.∵四边形CDGH为正方形,∴CO=DO.∵AO=AO,
∴△ACO≌△ADO(SSS),∴∠CAO=∠DAO= ∠CAD=30°.
∵垂线段最短,∴点O在点M处时,线段BO的值最小.
∵∠BMA=90°,∠BAM=30°,∴BM= AB=5,
∴线段BO的最小值为5.
11.(2025山东菏泽定陶期中,★★★)如图1,在正方形ABCD中,
P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交
CD于F,连接PC.
(1)求证:PC=PE.
(2)求∠CPE的度数.
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当
∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE之间的
数量关系,并说明理由.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABP=
∠CBP=45°.又∵BP=BP,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC.
∵PA=PE,∴PC=PE.
(2)∵四边形ABCD是正方形,∴ ∠EDF=∠ADC=90°.
∵△ABP≌△CBP,∴∠BAP=∠BCP,∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PE,∴∠DAP=∠E,∴∠DCP=∠E,∵∠CFP=∠EFD,
∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E,
即∠CPE=∠EDF=90°.
(3)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∠ABP=∠CBP.又∵BP=
BP,∴△ABP≌△CBP(SAS),∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,
又∵∠BAD=∠BCD,∴∠DAP=∠DCP.∵PA=PE,∴PC=PE,
∠DAP=∠DEP,∴∠DCP=∠DEP,∵∠CFP=∠EFD,∴∠CPF=
∠EDF.∵∠ABC=∠ADC=120°,
∴∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=60°,
∴△EPC是等边三角形,∴PC=CE,∴AP=CE.
12.【新课标·推理能力】已知四边形ABCD是正方形,点E在射
线BC上,连接AE.将△ABE沿AE所在直线折叠,得到△AB'E,点
B的对应点是B',延长AB'交直线DC于点F.
(1)当点F与点C重合时,如图①,求证:DF+BE=AF.
(2)当点F在DC的延长线上时,如图②;当点F在CD的延长线上
时,如图③,线段DF,BE,AF之间有怎样的数量关系 请直接写
出你的猜想,并选择一种情况证明.
图①
图②
图③
解析 (1)证明:由折叠可得AB=AB',BE=B'E,∠ABE=∠AB'E,
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC=AB=AB',∠B'CE=45°,∠AB'E=∠CB'E=∠B=90°,
∴∠B'EC=∠B'CE=45°,∴B'E=B'F,∴AF=AB'+B'F=DF+BE.
(2)(i)当点F在DC的延长线上时,DF+BE=AF.
证明:延长CD到点G,使DG=BE,连接AG,如图1,
易证△ABE≌△ADG(SAS),
∴∠BAE=∠DAG,∠AEB=∠AGD,
∵CB∥AD,∴∠AEB=∠DAE.
由折叠可知∠BAE=∠B'AE,∴∠B'AE=∠DAG,∴∠GAF=∠DAE,
∴∠AGD=∠GAF,∴GF=AF,∵DF+DG=GF,∴DF+BE=AF.
(ii)当点F在CD的延长线上时,BE-DF=AF.
证明:在BC上取点M,使BM=DF,连接AM,如图2,
易证△ABM≌△ADF(SAS),
∴∠BAM=∠FAD,AM=AF.由折叠可知∠BAE=∠EAB',
∴∠MAE=∠DAE,∵AD∥BE,∴∠AEM=∠DAE,
∴∠MAE=∠AEM,∴ME=MA=AF,∴BE-MB=ME=AF,即BE-
DF=AF.(任选一种情况证明即可)(共29张PPT)
第8章 四边形
8.3 特殊的平行四边形
第１课时 矩形的性质
矩形的定义与性质
1.(2024辽宁中考)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,当△EBC
是等边三角形时,∠AEB的度数为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.120°
C
解析 ∵△EBC是等边三角形,∴∠CBE=60°.∵四边形ABCD
是矩形,∴AD∥BC,∴∠AEB=∠CBE=60°.
2.(2025山东临沂罗庄期中)如图,在矩形ABCD中,两条对角线
AC与BD相交于点O,AD=8,OA=5,则AB的长为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.11
A
解析 ∵四边形ABCD是矩形,
∴BD=AC=2OA=10,∠BAD=90°,
∵AD=8,∴AB= =6,故选A.
3.(2025北京陈经纶中学期中)如图,矩形ABCD中,AC,BD交于
点O,M,N分别为BC,OC的中点.若∠ACB=30°,AB=8,则MN的长
为 ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
B
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AC=BD,BO=
BD.∵∠ACB=30°,AB=8,∴AC=2AB=2×8=16,∴BD=AC=16,
∴BO=8.又∵M,N分别为BC,OC的中点,∴MN是△CBO的中位
线,∴MN= BO=4,故选B.
4.(2025山东青岛月考)如图,点E是矩形ABCD的对角线BD的
延长线上一点,连接AE,若AE= BD,∠ADO=62°,则∠E=
______°.
56
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC= AC,OD=OB=
BD,AC=BD,∴OA=OD= BD,∴∠ADO=∠OAD=62°,
∴∠AOD=180°-∠ADO-∠OAD=180°-62°-62°=56°.
∵点E在BD的延长线上,AE= BD,∴AE=OA,
∴∠E=∠AOD=56°.
5.(2024江苏无锡中考)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,连
接AE,DE.求证:
(1)△ABE≌△DCE.
(2)∠EAD=∠EDA.
证明 (1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠B=∠C=90°.
∵E是BC的中点,∴BE=CE.
在△ABE和△DCE中,
∴△ABE≌△DCE(SAS).
(2)由(1)得△ABE≌△DCE,∴AE=DE,∴∠EAD=∠EDA.
直角三角形的性质定理
6.(2025山东滨州沾化期末)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为斜
边AB的中点.若AC=8,BC=6,则CD的长为 ( )
A.10 B.6 C.5 D.4
C
解析 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB= = =10.
∵D为斜边AB的中点,
∴CD= AB=5,故选C.
7.(2025山东日照莒县期中)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,
AC的中点,AC=6,F是线段DE上一点,连接AF,CF,EF=3DF.
若∠AFC=90°,则BC的长度是 ( )
A.6 B.8 C.10 D.12
B
解析 在△AFC中,∠AFC=90°,AC=6,点E是AC的中点,∴EF=
AC=3.∵EF=3DF,∴DF=1,∴DE=DF+EF=4.∵D,E分别是
AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE=8,故选B.
8.(2025山东枣庄滕州张汪中学月考)如图,在△ABC中,∠ABC
=90°,点E为AC的中点,在△AFC中,∠AFC=90°,连接BE,BF,
EF,若∠ACB=50°,∠ECF=24°,则∠EFB的度数为 ( )
A.14° B.16° C.18° D.20°
B
解析 在△ABC中,∠ABC=90°,点E为AC的中点,∴EB= AC=
EC,∴∠EBC=∠ECB=50°,∴∠AEB=∠EBC+∠ECB=100°.在
△AFC中,∠AFC=90°,点E为AC的中点,∴EF= AC=EC,
∴∠EFC=∠ECF=24°,∴∠AEF=∠ECF+∠EFC=48°,
∴∠BEF=∠AEB+∠AEF=148°.∵BE= AC,EF= AC,
∴BE=EF,∴∠EFB=∠EBF= =16°,故选B.
9.(2024河北中考,★★☆)在平面直角坐标系中,我们把一个点
的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形
ABCD位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形
四个顶点中,“特征值”最小的是 ( )
B
A.点A B.点B
C.点C D.点D
解析 设A(a,b),AB=m,AD=n.∵四边形ABCD是矩形,∴BC=
AD=n,CD=AB=m,∴D(a,b+n),B(a+m,b),C(a+m,b+n).由题意
得a,b,m,n均为正数,∴ < < ,且 < ,∴该矩形
四个顶点中,“特征值”最小的是点B.
10.(2025山东淄博桓台期中,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB
=3,BC=4,以点B为圆心,BA的长为半径画圆弧,交对角线AC于
点M,则CM的长为 ( )
A. B. C.2 D.
B
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∴AC=
= =5.如图,连接BM,过B作BN⊥AC于N.由作
图可得BM=AB=3,∴AN=MN.∵S△ABC= AB·BC= AC·BN,∴BN
= ,∴AN=MN= = ,∴CM=AC-AN-MN= ,故选B.
11.(2025山东菏泽定陶期中,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=
90°,点D是△ABC的中线BE,CF的交点,连接EF,若AE= ,
CF= ,则EF的长为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
A
解析 由题意得,点E是AC的中点,点F是AB的中点,∴EF是
△ABC的中位线,∴EF= BC.在Rt△ABC中,点F是AB的中点,
∴CF= AB,∴AB=2CF=2× =13.∵AE= ,点E是AC的中点,
∴AC=2AE=5,∴BC= = =12,
∴EF= BC= ×12=6,故选A.
12.(2025山东淄博淄川期末,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AD
=7,AB=4,DF平分∠ADC交BC于点F,E是CD上一点,AF⊥EF,
则EF的长为_________.
5
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=4,BC=AD=7,∠B=
∠C=∠ADC=90°.∵DF平分∠ADC,
∴∠FDC= ∠ADC=45°.在Rt△DFC中,∠DFC=90°-∠FDC=
45°,∴∠FDC=∠DFC,∴CF=CD=4,∴CF=AB=4,BF=BC-CF=
7-4=3.∵AF⊥EF,
∴∠AFE=90°,∴∠AFB+∠CFE=90°=∠AFB+∠BAF,
∴∠BAF=∠CFE,∴△ABF≌△FCE(ASA),∴CE=BF=3.
在Rt△FCE中,由勾股定理,得EF= =5.
13.(2025北京二中教育集团期中,★★☆)如图,在 ABCD中,
对角线AC,BD相交于点O,AD⊥BD,点E是CD的中点,过点E作
EF∥BD,交BC于点F.
(1)求证:四边形OEFB是矩形.
(2)若AD=6,DC=10,求四边形OEFB的面积.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,AD
∥BC.∵点E是CD的中点,∴OE= BC,OE∥BC,∵EF∥BD,
∴四边形OEFB是平行四边形.∵AD⊥BD,AD∥BC,∴∠DBC=
∠ADB=90°,∴四边形OEFB是矩形.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=6,∴OE= BC=
×6=3,∵∠DBC=90°,∴BD= = =8,∴OB=4,
∴四边形OEFB的面积为OB·OE=4×3=12.
14.【新课标·推理能力】如图,在四边形ABCD中,∠BCD=
∠BAD=90°,E,F分别是对角线BD,AC的中点.
(1)请判断线段EF与AC的位置关系,并说明理由.
(2)若∠ADC=45°,请判断EF与AC的数量关系,并说明理由.
解析 (1)EF⊥AC,理由如下:
如图,连接AE,EC,∵∠BCD=90°,点E是BD的中点,∴CE= BD,
∵∠BAD=90°,点E是BD的中点,∴AE= BD,∴AE=CE.∵点F
是AC的中点,∴EF⊥AC.
(2)EF= AC.理由如下:
由(1)得,AE=CE= BD=ED,∴∠ECD=∠EDC,∠EAD=∠ADE.
∵∠ADC=45°,∴∠AEC=∠AEB+∠BEC=∠EAD+∠ADE+
∠ECD+∠EDC=2(∠ADE+∠CDE)=2∠ADC=90°,
∴△AEC是等腰直角三角形,∵点F是AC的中点,∴EF= AC.(共15张PPT)
专项突破2 构造三角形中位线的四种方法
连接两点构造三角形的中位线
1.如图,在对角线长为4的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上
的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为_________.
2
解析 连接AE(图略).∵M,N分别是EF,AF的中点,∴MN= AE.
易知当点E与点C重合时,AE取得最大值,为4,∴MN的最大值为2.
2.如图,在四边形ABCD中,M,P,N分别是边AB,BC,CD的中点,
连接MN,Q是MN的中点,对角线AC和BD相交于点O,分别与
MN相交于点F,E,AC=BD.求证:PQ⊥MN.
证明 如图,连接PM,PN.∵M,P分别是边AB,BC的中点,∴PM
∥AC,PM= AC.∵N,P分别是边CD,BC的中点,∴PN∥BD,PN
= BD,又∵AC=BD,∴PM=PN.∵Q是MN的中点,∴PQ⊥MN.
利用角平分线和垂直构造三角形的中位线
3.如图,在△ABC中,AB=6,AC=4,AD,AE分别是△ABC的角平
分线和中线,过点C作CF⊥AD于点F,连接EF,则线段EF的长
为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.
A
解析 延长CF交AB于G,如图,∵AD为△ABC的角平分线,
∴∠CAF=∠GAF.∵CG⊥AD,∴∠CFA=∠GFA=90°.又∵AF=
AF,∴△AGF≌△ACF,∴AG=AC=4,FG=CF,∴BG=AB-AG=6-
4=2.∵AE为△ABC的中线,∴BE=CE,∴EF是△BCG的中位线,
∴EF= BG=1,故选A.
4.如图,已知AO是△ABC的内角∠BAC的平分线,BD⊥AO,交
AO的延长线于D,E是BC的中点,连接DE.求证:DE= (AB-AC).
证明 如图,延长AC,BD交于点F.∵AO平分∠BAC,
∴∠BAD=∠FAD,∵BD⊥AD,∴∠ADB=∠ADF=90°,
在△ABD和△AFD中,
∴△ABD≌△AFD(ASA),∴AB=AF,BD=DF.
又∵E是BC的中点,∴ED是△BCF的中位线,
∴DE= CF= (AF-AC)= (AB-AC).
利用倍长法构造三角形的中位线
5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,BD⊥AC于点D,CE平
分∠ACB,交AB于点E,交BD于点F.
(1)求证:△BEF是等腰三角形.
(2)求证:BD= (BC+BF).
证明 (1)∵AB=BC,BD⊥AC于点D,
∴∠ABD=∠CBD,AD=CD,
∵∠ABC=90°,∴∠ACB=45°,
∵CE平分∠ACB,∴∠ECB=∠ACE=22.5°,
∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°,
∴BE=BF,∴△BEF是等腰三角形.
(2)如图,延长AB至M,使得BM=AB,连接CM.
∵AB=BC,BD⊥AC,∴BM=BC,AD=CD,
∴BD∥MC,BD= MC,∴∠BFE=∠MCE,
由(1)得∠BEF=∠BFE,BE=BF,
∴∠BEF=∠MCE,∴ME=MC,
∴BD= MC= ME= (MB+BE)= (BC+BF).
已知中点,取其他边的中点构造三角形的中位线
6.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,E是边AC的中点,延长BC
到点D,使BC=2CD,那么DE的长是_________.
2
解析 如图,取BC的中点F,连接EF,
∵点E为AC的中点,
∴EF是△ABC的中位线,
∴EF= AB=2.∵BC=2CD,
∴FC=CD,∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,∴AC垂直平分DF,∴DE=EF=2.
7.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E,F分别是边DC,AB的中点,
FE的延长线分别交AD,BC的延长线于点H,G,若∠AHF=28°,
则∠BGF的度数为___________.
28°
解析 如图,连接BD,取BD的中点P,连接EP,FP,∵E,F,P分别
是DC,AB,BD的中点,∴EP是△BCD的中位线,PF是△ABD的
中位线,∴EP= BC,EP∥BC,PF= AD,PF∥AD,∴∠BGF=
∠PEF,∠H=∠PFE.∵AD=BC,∴PE=PF,∴∠PEF=∠PFE,
∴∠AHF=∠BGF=28°.(共27张PPT)
第8章 四边形
8.2 平行四边形
第4课时 平行四边形的判定定理3、4
平行四边形的判定定理3
1.(2025黑龙江哈尔滨博雅中学期中)四边形ABCD中的四个角
∠A∶∠B∶∠C∶∠D满足下列哪一条件时,四边形ABCD是
平行四边形 ( )
A.1∶2∶2∶1 B.2∶1∶1∶1
C.1∶2∶3∶4 D.2∶1∶2∶1
D
解析 四边形ABCD中,∠A和∠C是对角,∠B和∠D是对角.当
∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶2∶1时,∠A=∠D=60°,∠B=∠C=120°,则四边形ABCD不是平行四边形.当∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶1∶1时,∠A=144°,∠B=∠C=∠D=72°,则四边形ABCD不是平行四边形.当∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4时,∠A=
36°,∠B=72°,∠C=108°,∠D=144°,则四边形ABCD不是平行四边形.当∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶2∶1时,∠B=∠D=60°,∠A=∠C=120°,根据平行四边形的判定定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形,可以判定四边形ABCD是平行四边形.故选D.
2.(2025天津月考)已知四边形ABCD,有下列条件:①∠A=∠C,
∠B=∠D;②∠A=∠B=∠C=90°;③∠A+∠B=180°,∠A=∠D;
④∠A+∠B=180°,∠C+∠D=180°.其中能判定四边形ABCD是
平行四边形的是_______(填序号).
①②
解析 如图,①∵∠A=∠C,∠B=∠D,∴根据平行四边形的判定定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形,可以判定四边形
ABCD是平行四边形.②∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=90°+90°=180°,∠B+∠C=90°+90°=180°,∴AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.③∵∠A+∠B=180°,∠A=∠D,∴AD∥BC,∠B+∠D=180°,∴∠C+∠D=180°,∴∠B=∠C,由此不能判定四边形ABCD是平行四边形.④∠A+∠B=180°,∠C+∠D=
180°,∴AD∥BC,不能判定四边形ABCD是平行四边形.
综上所述,能判定四边形ABCD是平行四边形的是①②.
平行四边形的判定定理4
3.【新考向·尺规作图】已知△ABC(如图①),按图②③所示的
尺规作图痕迹直接判定四边形ABCD是平行四边形的依据是
( )
图①
图②
图③
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
答案 B
解析 由题图可知AO=OC,BO=OD,根据对角线互相平分的
四边形为平行四边形可知,四边形ABCD是平行四边形,故选B.
4.(2024山东济宁中考)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相
交于点O,OA=OC,请补充一个条件____________________,
使四边形ABCD是平行四边形.
OB=OD(答案不唯一)
解析 答案不唯一,如:补充条件OB=OD,∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.【学科特色·多解法】如图, ABCD的对角线AC,BD相交于
点O,点E,F在AC上,且AF=CE.求证:BE=DF.
证明 【证法一】全等法1:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OD=OB.∵AF=CE,∴AF-OA=CE-OC,即OF=OE.
在△BEO和△DFO中,
∴△BEO≌△DFO(SAS),∴BE=DF.
【证法二】全等法2:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.又∵AF=CE,
∴△DAF≌△BCE(SAS),∴BE=DF.
【证法三】平行四边形法:连接DE,BF(图略).∵四边形ABCD
是平行四边形,∴OA=OC,OD=OB.∵AF=CE,∴AF-OA=CE-
OC,即OF=OE,∴四边形DEBF是平行四边形,∴BE=DF.
6.(2025山东聊城阳谷期中,★★☆)根据所标数据,不能判定下
列四边形是平行四边形的是 ( )
C
解析 选项A,由题图得四边形的两条对角线互相平分,∴四
边形是平行四边形,不符合题意;选项B,由题图得四边形的两
组对边分别相等,∴四边形是平行四边形,不符合题意;选项C,
由题图得四边形的一组对边平行,另一组对边相等,∴不能判
定四边形是平行四边形,符合题意;选项D,由题图得四边形的
两组对边分别平行,∴四边形是平行四边形,不符合题意.故选C.
7.(2025江苏南京金陵汇文学校月考,★★☆)已知四边形ABCD,
从下列条件中:①AB∥CD;②BC∥AD;③AB=CD;④BC=AD;
⑤∠A=∠C;⑥∠B=∠D任取两个,可以得出“四边形ABCD是
平行四边形”的有 ( )
A.9种 B.11种 C.13种 D.15种
A
解析 根据平行四边形的判定条件,选取①②,可由两组对边
分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四
边形;选取①③,可由一组对边平行且相等的四边形是平行四
边形得出四边形ABCD是平行四边形,同理②④也符合题意;
选取①⑤,∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°,∵∠A=∠C,∴∠C+
∠D=180°,∴BC∥AD,∴四边形ABCD是平行四边形,同理选取②⑥,②⑤,①⑥也符合题意;选取③④,可由两组对边分别相等的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形;选取⑤⑥,可由两组对角分别相等的四边形是平行四边形得到四边形
ABCD是平行四边形.综上所述,一共有9种组合满足题意,故选A.
8.(2025湖北宜昌长江中学期中,★★☆)如图所示的是由小正
方形组成的3×3的网格,每个小正方形的顶点叫作格点,线段
AB的两个端点都在格点上,以AB为对角线作平行四边形,使另
两个顶点也在格点上,则这样的平行四边形最多可以作( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
C
解析 设AB的中点为O(图略),在AB的右下方有5个格点,根据
“对角线互相平分的四边形是平行四边形”,可得这5个格点
都可以成为平行四边形的顶点,∴这样的平行四边形最多可
以作5个.
9.【学科特色·分类讨论思想】(2025云南昆明二十四中期中,★★☆)已知直角坐标系内有四个点A(0,0),B(5,0),C(2,3),D(x,y),若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,则点D的坐标为
______________________.
(3,-3)或(-3,3)或(7,3)
解析 ①当AB为对角线时,对角线的交点的坐标为
,即 ,则 = , =0,解得x=3,y=-3,∴点D
的坐标为(3,-3);②当AC为对角线时,对角线的交点的坐标为
,即 ,则 =1, = ,解得x=-3,y=3,∴点D
的坐标为(-3,3);③当BC为对角线时,对角线的交点的坐标为
,即 ,则 = , = ,解得x=7,y=3,∴点D
的坐标为(7,3).综上,点D的坐标为(3,-3)或(-3,3)或(7,3).
10.(2025山东烟台栖霞期末,★★☆)如图,在平行四边形ABCD
中,点O是对角线AC的中点,某数学学习小组要在AC上找两点
E,F,使四边形BEDF为平行四边形,现在甲、乙两个同学给出
了两种不同的方案如下:
甲方案:分别取AO,CO的中点E,F.
乙方案:作BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F.
请回答下列问题:
(1)你认为按照甲、乙两人的方案得到的四边形是平行四边
形吗 如果是,请给出证明.如果不是,请说明理由.
(2)请你给出一种和他们不同的方案,并给予证明.
解析 (1)甲、乙两人的方案得到的四边形都是平行四边形.
证明:甲方案:如图,连接BD,易知点O在BD上.
∵四边形ABCD是平行四边形,点O是对角线AC的中点,∴AO
=CO,BO=DO.∵E,F分别为AO,CO的中点,∴EO=FO,∴四边形
BEDF为平行四边形.
乙方案:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAE=∠DCF,∵BE⊥AC,DF⊥AC,
∴BE∥DF,∠AEB=∠DFC=90°.
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(AAS),
∴BE=DF,∴四边形BEDF为平行四边形.
(2)方案:在AC上取线段AC的三等分点E,F.
证明:如图,连接BD,易知点O在BD上,在 ABCD中,点O是对角
线AC的中点,∴AO=CO,BO=DO.∵E,F为线段AC的三等分点,
∴AE=FC,∴AO-AE=CO-CF,即OE=OF,∴四边形BEDF为平
行四边形.
11.【新课标·推理能力】如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相
交于点O,OA=5 cm,E,F为直线BD上的两个动点(点E,F始终在
ABCD的外面),连接AE,CE,CF,AF.
(1)若DE= OD,BF= OB.
①求证:四边形AFCE为平行四边形.
②若CA平分∠BCD,∠AEC=60°,求四边形AFCE的周长.
(2)若DE= OD,BF= OB,四边形AFCE还是平行四边形吗 请写出结论并说明理由.若DE= OD,BF= OB呢 请直接写出结论.
解析 (1)①证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,
OB=OD.∵DE= OD,BF= OB,∴DE=BF,∴OD+DE=OB+BF,
∴OE=OF,∴四边形AFCE为平行四边形.
②∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠BCA.
∵CA平分∠BCD,∴∠BCA=∠DCA,∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=CD.∵OA=OC,∴OE⊥AC,∴OE所在直线是AC的垂直
平分线,∴AE=CE.∵∠AEC=60°,∴△ACE是等边三角形,
∴AE=CE=AC=2OA=10 cm,
∴C四边形AECF=2(AE+CE)=2×(10+10)=40(cm).
(2)若DE= OD,BF= OB,则四边形AFCE是平行四边形.理由:
∵DE= OD,BF= OB,OD=OB,∴DE=BF,∴OB+BF=OD+DE,
即OF=OE,又∵OA=OC,∴四边形AFCE为平行四边形.若DE=
OD,BF= OB,则四边形AFCE是平行四边形.
理由:∵DE= OD,BF= OB,OD=OB,∴DE=BF,∴OB+BF=OD
+DE,即OF=OE,又∵OA=OC,∴四边形AFCE为平行四边形.(共25张PPT)
第8章 四边形
8.3 特殊的平行四边形
第2课时 矩形的判定
矩形的判定
1.(2025山东枣庄台儿庄月考)已知平行四边形ABCD,下列条
件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是 ( )
A.∠A=∠B B.∠A=∠C
C.AC=BD D.AB⊥BC
B
解析 选项A,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠A+∠B=180°.又∵∠A=∠B,∴∠A=∠B=90°,根据矩形的定义,可以判定平行四边形ABCD为矩形,不符合题意;选项B,
由∠A=∠C不能判定平行四边形ABCD为矩形,符合题意;
选项C,AC=BD,根据“对角线相等的平行四边形是矩形”,可判定平行四边形ABCD是矩形,不符合题意;选项D,∵AB⊥BC,
∴∠B=90°,根据矩形的定义,可以判定平行四边形ABCD为
矩形,不符合题意.
2.(2025河北秦皇岛青龙一模)学完“矩形的判定”以后,张老
师想让同学们通过测量来判断一个四边形纸片是不是矩形.
嘉嘉准备了一把刻度尺,淇淇准备了一个量角器,他俩谁的工
具能判断这张纸片是不是矩形 ( )
A.嘉嘉的能,淇淇的不能
B.淇淇的能,嘉嘉的不能
C.他俩的都能
D.他俩的都不能
C
解析 嘉嘉用刻度尺可以分别测量四边形的四条边长和两条
对角线的长度,如果四边形的两组对边的长度分别相等且两
条对角线的长度相等,即可判定这张纸片是矩形;淇淇用量角
器测量四边形的四个内角的度数,如果有3个角是直角,即可判
定这张纸片是矩形,∴他俩的工具都能判断这张纸片是不是
矩形,故选C.
3.(2025山东青岛大学附中月考)对于四边形ABCD,给出下列4
组条件:①∠A=∠B=∠C=∠D;②∠B=∠C=∠D;③∠A=∠B,
∠C=∠D;④∠A=∠B=∠C=90°.其中能得到“四边形ABCD
是矩形”的条件有_______.(填序号)
①④
解析 ∵∠A=∠B=∠C=∠D,∠A+∠B+∠C+∠D=360°,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,根据“有三个内角是直角的四边
形是矩形”可得四边形ABCD是矩形,故①符合题意;由∠B=
∠C=∠D不可以得到四边形ABCD是矩形,故②不符合题意;
由∠A=∠B,∠C=∠D不能得到四个角是直角,∴不可以得到四
边形ABCD是矩形,故③不符合题意;∠A=∠B=∠C=90°,
根据“有三个内角是直角的四边形是矩形”可得四边形ABCD是矩形,故④符合题意.
4.【学科特色·多解法】(2025河南开封兰考第一高级中学附中月考)如图,四边形ABCD是平行四边形,EB=EC,EA=ED,∠AEB=
∠DEC.求证:四边形ABCD是矩形.
解析 【解法一】利用定义判定:在△EAB与△EDC中,
∴△EAB≌△EDC(SAS),
∴∠ABE=∠DCE.∵EB=EC,∴∠EBC=∠ECB,
∴∠ABE+∠EBC=∠DCE+∠ECB,即∠ABC=∠DCB.∵四边
形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠ABC+∠DCB=180°,
∴∠ABC=∠DCB=90°,∴ ABCD是矩形.
【解法二】利用判定定理判定:
如图,连接AC,BD.
∵∠AEB=∠DEC,∴∠AEB+∠BEC=∠DEC+∠BEC,
即∠AEC=∠DEB.在△ACE和△DBE中,
∴△ACE≌△DBE(SAS),∴AC=BD.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形.
5.(2025山东济南高新区月考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥
BC,垂足为D,过点A作AE∥BC,且AE=BD,连接BE,交AD于点F,
连接CE.
(1)求证:四边形ADCE为矩形.
(2)若CE=6,求AF的长.
解析 (1)证明:在△ABC中,∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,∠ADC=90°.∵AE=BD,∴AE=CD.
∵AE∥BC,∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC=90°,∴平行四边形ADCE为矩形.
(2)由(1)得四边形ADCE为矩形,∴AD=CE=6.
∵AE∥BC,∴∠AEF=∠DBF.
在△AEF和△DBF中,
∴△AEF≌△DBF(AAS),∴AF=DF= AD=3.
6.(2025山东潍坊诸城、高密期中,★★☆)如图,在平面直角坐
标系中,Rt△ABC的顶点A在x轴上,顶点B在y轴上,∠C=90°,AC
⊥x轴于点A,点C的坐标为(3,6),作△ABC关于直线AB对称的图
形,点C的对称点为M,AM交y轴于点N,则点N的坐标为 ( )
A
A. B.
C.(0,2) D.(0,3)
解析 ∵∠C=90°,AC⊥x轴,∠AOB=90°,∴四边形AOBC是矩
形.∵点C的坐标为(3,6),∴OB=AC=6,OA=BC=3.由轴对称的
性质,得∠BAM=∠BAC.
又∵OB∥AC,∴∠OBA=∠BAC,∴∠OBA=∠BAM,
∴BN=AN.在Rt△AON中,由勾股定理,得AN2=OA2+ON2,即(6-
ON)2=32+ON2,解得ON= ,∴N ,故选A.
7.(2024西藏中考,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,
BC=5,点P是边AB上任意一点,过点P作PD⊥AC,PE⊥BC,垂足
分别为点D,E,连接DE,则DE的最小值是 ( )
A. B. C. D.
B
解析 如图,连接CP,作CQ⊥AB于点Q.在Rt△ABC中,∠ACB=
90°,AC=12,BC=5,∴AB= = =13,∵S△ABC= ×
13CQ= ×12×5,∴CQ= .∵PD⊥AC,PE⊥BC,∴∠PDC=
∠PEC=∠DCE=90°,∴四边形PECD是矩形,∴CP=DE,∵CP≥
CQ,∴DE≥ ,∴DE的最小值为 ,故选B.
8.【学科特色·教材变式】(2025山东烟台栖霞期中,★★☆)如
图,以△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角△ABD,等
腰直角△BCE和等腰直角△ACF,连接DE,EF.当∠BAC满足什
么条件时,四边形ADEF是矩形 请证明你的结论.
解析 当∠BAC=135°时,四边形ADEF是矩形.
证明:∵△BCE和△ABD为等腰直角三角形,
∴∠DBA=∠EBC=90°,DB=AB,EB=BC,
∴∠DBE+∠EBA=90°,∠ABC+∠EBA=90°,
∴∠DBE=∠ABC,∴△ABC≌△DBE(SAS),
∴DE=AC,∠EDB=∠BAC.
∵△AFC为等腰直角三角形,
∴FA=AC,∴DE=FA,
∵∠EDA=∠EDB-∠BDA=∠BAC-45°,∠DAF=360°-∠FAC-
∠BAD-∠BAC=360°-90°-45°-∠BAC=225°-∠BAC,
∴∠EDA+∠DAF=180°,
∴DE∥FA,∴四边形ADEF是平行四边形.
当∠BAC=135°时,∠DAF=225°-∠BAC=225°-135°=90°,
∴平行四边形ADEF是矩形.
9.【学科特色·“8字”全等模型】(★★☆)如图, ABCD中,E
为BC边的中点,连接AE并延长,交DC的延长线于点F,延长EC
至点G,使CG=CE,连接DG,DE,FG.
(1)求证:△ABE≌△FCE.
(2)若AD=2AB,求证:四边形DEFG是矩形.
证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠EAB=∠CFE.
∵E为BC的中点,∴EC=EB.
在△ABE和△FCE中,
∴△ABE≌△FCE(AAS).
(2)由(1)得△ABE≌△FCE,∴AB=CF.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,∴DC=CF.
又∵CE=CG,∴四边形DEFG是平行四边形.
∵E为BC的中点,CE=CG,∴BC=EG.
又∵AD=BC=EG=2AB,DF=CD+CF=2CD=2AB,
∴DF=EG,∴平行四边形DEFG是矩形.
方法点拨 本题属于“8字”全等模型,先找到一组对顶角,利
用平行线得到另一组角相等,再根据一组边相等,得到全等三
角形,再利用全等三角形的性质解题.
10.【新课标·模型观念】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,
∠B=90°,AD=24 cm,AB=8 cm,BC=26 cm,动点P从点A开始沿
AD边向点D以1 cm/s的速度运动;动点Q从点C开始沿CB边向
点B以3 cm/s的速度运动.动点P,Q分别从点A,C同时出发,当其
中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动.设运动时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示以下线段的长:
AP=________,BQ=________.
(2)当运动时间为多少秒时,四边形PQCD为平行四边形
(3)当运动时间为多少秒时,四边形ABQP为矩形
解析 (1)由题意知AP=t cm,BQ=(26-3t)cm.
(2)由题意可得PD=AD-AP=(24-t)cm,QC=3t cm,∵AD∥BC,
∴PD∥QC,当PD=QC时,四边形PQCD为平行四边形.由PD=QC,
得24-t=3t,解得t=6,∴当运动时间为6秒时,四边形PQCD为平
行四边形.
(3)∵AD∥BC,∴AP∥BQ,当AP=BQ时,四边形ABQP为平行四边形.由AP=BQ,得t=26-3t,解得t= ,又∵∠B=90°,∴此时平行四边形ABQP为矩形.∴当运动时间为 秒时,四边形ABQP为矩形.(共30张PPT)
第8章 四边形
8.2 平行四边形
第１课时 平行四边形及其性质定理1、2
平行四边形的定义
1.如图,已知EF∥AC,B,D分别是AC和EF上的点,∠EDC=∠CBE.求证:四边形BCDE是平行四边形.
证明 ∵EF∥AC,∴∠EDC+∠C=180°.又∵∠EDC=∠CBE,
∴∠CBE+∠C=180°,∴EB∥DC.∵DE∥BC,BE∥CD,∴四边
形BCDE是平行四边形.
平行四边形的性质定理1
2.(2025山东济宁任城期末)如图,在 ABCD中,E是BC边上一
点,BE=CD,连接AE,∠B=50°,则∠DAE的度数为 ( )
A.65° B.60° C.55° D.50°
A
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD∥BC,
∴∠DAE=∠BEA,∵BE=CD,∴AB=BE,∵∠B=50°,∴∠BEA=
∠BAE= =65°,∴∠DAE=∠BEA=65°,故选A.
3.(2025山东东营河口期末)如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,
AF⊥CD于点F.若AE=4,AF=6,且 ABCD的周长为40,则
ABCD的面积为 ( )
A.24 B.36 C.40 D.48
D
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,
∵ ABCD的周长为40,∴BC+CD=20,设BC=x,则CD=20-x,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴ ABCD的面积=BC·AE=CD·AF,
∴4x=6(20-x),解得x=12,∴BC=12,
∴ ABCD的面积=BC·AE=12×4=48.
4.(2025湖北襄阳宜城期中)如图所示,平行四边形ABCD中,顶
点A,B,D均在坐标轴上,AD=5,AB=9,点A的坐标为(-3,0),则点C
的坐标为__________.
(9,4)
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD∥AB,CD=AB=9,
∵点A的坐标为(-3,0),∴OA=3,∵AD=5,∴OD= =
=4,∴点C的坐标为(9,4).
5.(2024江苏无锡中考)如图,在 ABCD中,点E,F在BD上,AE⊥
AD,CF⊥BC.求证:
(1)△EAD≌△FCB.
(2)AE∥CF.
证明 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥CB,AD=CB,∴∠ADE=∠CBF,
∵AE⊥AD,CF⊥BC,∴∠DAE=∠BCF=90°,
在△EAD和△FCB中,
∴△EAD≌△FCB(ASA).
(2)由(1)得△EAD≌△FCB,∴∠AED=∠CFB,∴AE∥CF.
平行四边形的性质定理2
6.(2025山东潍坊诸城、青州、安丘期末)在 ABCD中,∠A与
∠B的度数之比为1∶2,则∠C的度数是 ( )
A.120° B.100° C.80° D.60°
D
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∠C=∠A,
∴∠A+∠B=180°,∵∠A与∠B的度数之比为1∶2,∴∠B=2∠A,
∴∠A+2∠A=180°,解得∠A=60°,∴∠C=∠A=60°,故选D.
方法点拨 在求角的度数时,要充分利用平行四边形的对角
相等、邻角互补等性质来解决问题.
7.(2025山东聊城阳谷期中)如图,在平行四边形ABCD中,∠A=
125°,则∠1=________.
55°
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BCD=∠A=125°,
∴∠1=180°-∠BCD=55°.
两平行线间的距离
8.(2025山东淄博博山期末)如图,A,B是直线m上的两个定点,C
是直线n上的一个动点,且m∥n.以下说法:①△ABC的周长不
变;②△ABC的面积不变;③△ABC中,AB边上的中线长不变;
④∠ACB的度数不变;⑤点C到直线m的距离不变.其中正确的
有__________(填序号).
②⑤
解析 当点C运动时,AC+BC的值不固定,∴△ABC的周长不
确定,故①错误;∵m∥n,∴点C到直线m的距离不变,故⑤正确;
设点C到直线m的距离为d,则△ABC的面积= AB·d,∴△ABC
的面积不变,故②正确;当点C运动时,连接点C和AB的中点的
线段的长不确定,故③错误;当点C运动时,∠ACB的大小不确
定,故④错误.
9.(2024四川眉山中考,★★☆)如图,在 ABCD中,点O是BD的
中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;
④S四边形ABOE=S四边形CDOF.其中正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,AB
=DC,AD=BC,∠A=∠C,故结论①③正确.∵AD∥BC,∴∠ODE
=∠OBF,∵点O是BD的中点,∴OD=OB,又∵∠DOE=∠BOF,
∴△ODE≌△OBF(ASA),∴S△ODE=S△OBF.∵AB=DC,AD=BC,BD
=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS),∴S△ABD=S△CDB,∴S△ABD-S△ODE=
S△CDB-S△OBF,即S四边形ABOE=S四边形CDOF,故结论④正确.由已知条件不能
证明EO=ED,故②不正确.综上所述,正确结论的个数为3,
故选C.
10.(2024广东广州中考,★★☆)如图, ABCD中,BC=2,点E在
DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE=________.
5
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=2,
∴∠EAB=∠CBA.∵BA平分∠EBC,∴∠EBA=∠CBA,∴∠EAB=∠EBA,∴AE=BE=3,∴DE=AD+AE=2+3=5.
11.(2025山东济南槐荫期中,★★☆)如图,在 ABCD中,AB=6 cm,
AD=12 cm,点P在边AD上以每秒1 cm的速度从点A出发向点D
运动,点Q在边BC上以每秒3 cm的速度从点C出发向点B运动.
两个点同时出发,当点Q到达点B时停止运动(同时点P也停止
运动).当运动时间为_________秒时,线段PQ∥AB.
3
解析 设运动时间为t秒,∵12÷3=4(秒),∴0≤t≤4.易知AP=t cm,
CQ=3t cm,∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=12 cm,
AP∥BQ,∴BQ=(12-3t)cm,当PQ∥AB时,四边形APQB是平
行四边形,此时AP=BQ,即t=12-3t,解得t=3,∴当运动时间为3秒
时,线段PQ∥AB.
12.(2025北京人大附中期中,★★☆)如图,在 ABCD中,∠BAC=
105°,∠D=45°,AC=4,则∠ACB=________°,AB=_______.
30
解析 如图,过A作AE⊥BC于点E,则∠AEB=∠AEC=90°,∵四
边形ABCD是平行四边形,∠D=45°,∴∠B=∠D=45°,∴∠EAB
=45°=∠B,∴BE=AE,∵∠BAC=105°,∴∠ACB=180°-∠B-
∠BAC=30°,∴AE= AC=2,∴BE=AE=2,∴AB= =
= .
13.(2025四川成都青羊教科院附属实验学校期中改编,★★☆)
如图,直线m∥n,点A是直线m上一点,点B是直线n上一点,
AB与直线m,n均不垂直.点P为线段AB的中点,直线l分别与m,n
相交于点C,D,若∠CPD=90°,CD=6,直线m,n之间的距离为2,则
PC·PD的值为_______.
6
解析 如图,过点C作CF⊥BD于点F,延长CP交直线n于点E,
∵m∥n,∴∠PAC=∠PBE,∠PCA=∠PEB,∵点P是AB的中点,
∴PA=PB,∴△PAC≌△PBE(AAS),∴PC=PE,又∵∠CPD=90°,
即DP⊥CP,∴DE=DC=6,∵S△CDE= DE·CF= CE·PD,即 ×6×2
= ×2PC·PD,∴PC·PD=6.
14.【新课标·推理能力】问题:如图,在 ABCD中,AB=8,AD=5,
∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,求
EF的长.
答案:EF=2.
探究:
(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.
①当点E与点F重合时,求AB的长.
②当点E与点C重合时,求EF的长.
(2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,
当点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时,求 的值.
解析 (1)①如图1所示,∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=
AB,BC=AD=5,AB∥CD,∴∠DEA=∠BAE,∵AE平分∠DAB,
∴∠DAE=∠BAE,∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD=5,同理,CF=BC=
5,∴AB=CD=DE+CF=10.
②如图2所示,∵点E与点C重合,∴DE=DC,同①得DE=AD=5,
CF=BC=5,∴点F与点D重合,∴EF=DE=5.
(2)分三种情况讨论:①如图3所示,同(1)①得AB=CD,AD=DE,
∵点C,D,E,F相邻两点间的距离相等,∴DE=EF=CF=AD,
∴ = ;②如图4所示,同(1)①可得AB=CD,AD=DE=CF,∵DF=
FE=CE,∴ = ;③如图5所示,同(1)①可得AB=CD,AD=DE=
CF,∵DF=DC=CE,∴ =2.
综上所述, 的值为 或 或2.(共36张PPT)
第8章 四边形
8.2 平行四边形
第2课时 平行四边形的性质定理3
平行四边形的性质定理3
1.如图,在 ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论
一定正确的是 ( )
A.AC=BD B.OA=OC
C.AC⊥BD D.∠ADC=∠BCD
B
解析 平行四边形的对角线互相平分,但不一定相等,故选项
A不合题意,选项B符合题意;平行四边形的对角线不一定互相
垂直,故选项C不合题意;平行四边形的邻角互补,但不一定相
等,故选项D不合题意.故选B.
2.(2025山东济宁兖州期中)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=12,AC=16,BD=20,则△OCD的周长为 ( )
A.18 B.24
C.30 D.36
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=12,AC=16,BD=20,
∴OC= AC=8,OD= BD=10,CD=AB=12,∴△OCD的周长为
CD+OC+OD=12+8+10=30.
3.(2025山东威海乳山期末)如图,在 ABCD中,EF过对角线的
交点O,AB=4,BC=5,OF=1.5,则四边形ABFE的周长是 ( )
A.11 B.11.5 C.12 D.12.5
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=5,OA=OC,
AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,又∵∠AOE=∠COF,∴△AEO≌
△CFO,∴OE=OF=1.5,AE=CF,∴四边形ABFE的周长=AB+BF
+EF+AE=4+(BF+CF)+EF=4+5+3=12,故选C.
4.(2025北京师大附属实验中学期中)如图,在 ABCD中,AC交
BD于点O,经过点O的直线分别交直线AB,CD,AD,BC于点E,F,
M,N,下列结论错误的是 ( )
A.AM=CF
B.∠E=∠F
C.DM=BN
D.EM=FN
A
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC,OA
=OC,OB=OD,AD=BC,∴∠E=∠F,在△BOE和△DOF中,
,∴△BOE≌△DOF(AAS),∴OE=OF,同理可
证△AOM≌△CON(ASA),∴AM=CN,OM=ON,∴EM=NF,DM=
BN,故选项B,C,D中的结论正确.由已知条件无法得出AM=CF,
故选项A中的结论错误.故选A.
5.(2025山东菏泽成武期中)如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,
BC=5,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是_________.
1解析 在△ABC中,∵AB=3,BC=5,BC-ABAC<8,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO= AC,∴1方法点拨 平行四边形与三角形是密不可分的,很多平行四
边形的问题可以利用相关条件转化到三角形中解决.
6.(2025山东烟台福山期末)如图,在平面直角坐标系中,平行四
边形ABCD三个顶点的坐标分别为A(-1,-2),D(1,1),C(5,2),则顶
点B的坐标为__________.
(3,-1)
解析 设顶点B的坐标为(x,y),∵平行四边形ABCD三个顶点
的坐标分别为A(-1,-2),D(1,1),C(5,2),∴ = , =
,解得x=3,y=-1,∴B(3,-1).
知识拓展 中点坐标公式:已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为 .
7.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分
别为OD,OB的中点,连接CE,AF.求证:CE=AF.
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵点E,F分别为OD,OB的中点,
∴OE= OD,OF= OB,∴OE=OF.
在△COE和△AOF中,
∴△COE≌△AOF(SAS),∴CE=AF.
8.【学科特色·整体思想】(2025北京八十中期中,★☆☆)如
图, ABCD的周长为16 cm,AC与BD相交于点O,OE⊥AC交
AD于点E,则△DCE的周长为 ( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=CD,OA=
OC.∵ ABCD的周长为16 cm,∴AD+CD=8 cm.∵OA=OC,OE
⊥AC,∴EC=AE,∴△DCE的周长为DE+EC+CD=DE+AE+CD
=AD+CD=8 cm.
9.(2024浙江中考,★★☆)如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点
O,AC=2,BD= ,过点A作AE⊥BC于点E,记BE的长为x,BC的
长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是 ( )
A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2
C
解析 过D作DH⊥BC交BC的延长线于H,如图,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC,
∵AE⊥BC,DH⊥BC,∴AE=DH,
∴Rt△DCH≌Rt△ABE(HL),∴CH=BE=x,
∵BC=y,∴EC=BC-BE=y-x,BH=BC+CH=y+x,
∵AE2=AC2-EC2,DH2=BD2-BH2,
∴22-(y-x)2=( )2-(y+x)2,∴xy=2.故选C.
10.(2025山东聊城莘县期中,★★☆)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于点E,交OC于点F,∠BCD=60°,
AD=2AB,连接OE.下列说法:①S ABCD=AB·BD;②CA平分∠BCD;
③AB=DE;④S△CDE=S△BOC.其中正确的有 ( )
D
A.①② B.②③ C.①③ D.①③④
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,BC
=AD,AB=CD,OB=OD,∴∠CED=∠ADE,∵DE平分∠ADC,
∴∠CDE=∠ADE,∴∠CED=∠CDE,∴CE=CD,∵∠BCD=60°,
∴△DCE是等边三角形,∴DE=CD=CE,∠CED=∠CDE=60°,
∴AB=DE,故③正确;∵AD=2AB,∴BC=2CE,∴BE=CE=DE,
∴∠EBD=∠EDB,∵∠EBD+∠EDB=∠CED,∴2∠EDB=60°,
∴∠EDB=30°,∴∠BDC=60°+30°=90°,∴BD⊥CD,
∴ ABCD的面积=CD·BD=AB·BD,故①正确;∵AD>CD,
∴∠ACD>∠CAD,∵AD∥BC,∴∠ACB=∠CAD,
∴∠ACD>∠ACB,故②错误;
∵ E是BC的中点,∴S△CDE=S△BED= S△BCD,∵OB=OD,
∴S△BOC=S△OCD= S△BCD,∴S△CDE=S△BOC,故④正确.
综上,说法正确的有①③④,故选D.
11.【新课标·推理能力】(2025河南开封杞县期中)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,其周长为20,且△AOB的
周长比△BOC的周长小4.
(1)求边AB和BC的长.
(2)若BD=8,过点C作CE⊥BD,
交BD于点E,且CE=2,求AB和CD之间的距离.
解析 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,DA=BC,
OA=OC,∵ ABCD的周长为20,∴2AB+2BC=20,∴AB+BC=10
①,∵△AOB的周长比△BOC的周长小4,∴(BC+OB+OC)-(AB
+OB+OA)=4,∴BC-AB=4②,联立①②,得 解得
∴边AB和BC的长分别为3和7.
(2)如图,过C作CF⊥AB于点F,在△BAD和△DCB中,
∴△BAD≌△DCB(SSS),∴S△BAD=S△DCB= S ABCD,∵CE⊥BD,
BD=8,CE=2,∴S△DCB= BD·CE= ×8×2=8,∴S ABCD=AB·CF=
2S△DCB=16,∴3CF=16,∴CF= ,即AB和CD之间的距离为 .
微专题 平行四边形的面积模型
1.如图,过平行四边形ABCD的对角线BD上一点M,分别作平行
四边形两边AD,AB的平行线EF,GH.若图中平行四边形AEMG
的面积S1为10,则平行四边形HCFM的面积S2为 ( )
A.12 B.10 C.8 D.6
B
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,EF∥AD,HG∥AB,∴AD
=BC,AB=CD,AB∥GH∥CD,AD∥EF∥BC,∴四边形HBEM、
四边形GMFD是平行四边形.在△ABD和△CDB中,
∴△ABD≌△CDB(SSS),即△ABD和△CDB的面积相等,同理
△BEM和△MHB的面积相等,△GMD和△FDM的面积相等,
∴四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等,即S1=S2=10.
模型解读
条件:在 ABCD中,GH∥AD,EF∥AB.
结论:S1=S2.
2.如图,E,F分别是平行四边形ABCD的边AB,CD上的点,AF与
DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若S△APD=a,S△BQC=b,S ABCD=c,
则阴影部分的面积为 ( )
A.a+b B. c-a-b
B
C.c-2a-b D.2a+b
解析 如图,连接EF,过点E作EM⊥DC于点M.
∵S△DEC= DC·EM,S ABCD=DC·EM=c,
∴S△DEC= c.∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高
相等,∴S△EFC=S△BCF,∴S△EFQ=S△BCQ,同理,S△EFD=S△ADF,∴S△EFP=
S△ADP.∵S△APD=a,S△BQC=b,∴S四边形EPFQ=a+b,∴阴影部分的面积为
S△DEC-S四边形EPFQ= c-a-b.
模型解读
条件:E为 ABCD的AD边上一点.
结论:S1=S2+S3= S ABCD.
3.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O的直线分
别与AB,CD交于点E,F.若 ABCD的面积为80,则图中阴影部
分的面积是__________.
40
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AO=CO,
∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,∴△AEO≌△CFO(AAS),
∴S△AEO=S△CFO,同理S△ADO=S△CBO,S△BEO=S△DFO,
∴阴影部分面积等于△BCD的面积,即为 ABCD面积的一半,
∴阴影部分的面积为 ×80=40.
模型解读
条件:直线l过 ABCD的对角线交点O.
结论:S四边形ABFE=S四边形EFCD.
4.如图,平行四边形ABCD内有一点P,已知△APB,△BPC,
△CPD的面积分别为4,3,1,则△APD的面积为_________.
2
解析 如图,过点P作PF⊥AB,垂足为点F,延长FP交CD于点E,
则∠PFB=90°.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥
CD,∴∠PED=∠PFB=90°,∴PE⊥CD,∴S△APB+S△CPD= AB·PF
+ CD·PE= AB·(PF+PE)= AB·EF= S ABCD,∴S△BPC+S△APD=
S ABCD,∴S△APB+S△CPD=S△BPC+S△APD,∴4+1=3+S△APD,∴S△APD=2.
模型解读
条件:E为 ABCD内部一点.
结论:S1+S4=S2+S3= S ABCD.
