(共27张PPT)
第10章 函数
10.1 函数
函数的相关概念
1.(2025北京四中期末)下列式子中,y不是x的函数的是 ( )
A.y=3x+1 B.y= C.y2=x D.y=x2-3
C
解析 在y=3x+1,y= ,y=x2-3中,对于x的每一个确定的值,y都
有唯一确定的值与其对应,∴选项A,B,D中y是x的函数,不符合
题意.对于y2=x,当x=1时,y=±1,∴选项C中y不是x的函数,符合题
意.故选C.
2.(2025山东日照莒县期中)变量y与x之间的函数关系式是y=
x+1,当自变量x=2时,因变量y的值是 ( )
A.-2 B.-1 C.2 D.1
C
解析 把x=2代入y= x+1,得y= ×2+1=2,故选C.
3.【跨语文·古诗】(2025山东淄博张店期中)“白毛浮绿水,红
掌拨清波.”白鹅拨出的圆形水波不断扩大,记它的半径为r,
则其面积S与r的关系式为S=πr2.下列判断正确的是 ( )
A.r是因变量 B.π是常量
C.S是自变量 D.S,π,r都是变量
B
解析 S=πr2中,π是常量,S随着r的变化而变化,∴S是因变量,r
是自变量.故选B.
4.(2025山东菏泽鄄城期末)下列选项中,y是x的函数的是 ( )
C
解析 选项A,B,D中,对于x的每一个确定的值,y不都有唯一确
定的值与其对应,故y都不是x的函数,不符合题意.选项C中,对
于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,故y是x
的函数,符合题意.
5.(2025湖北武汉黄陂期末)下列关于变量x,y之间的关系中,y
不是x的函数的是 ( )
C
解析 选项A,B,D中,对于自变量x的每一个确定的值,因变量y
都有唯一确定的值与它对应,∴选项A,B,D中y是x的函数.选项
C中,对于自变量x的每一个确定的值,因变量y有两个值与它对
应,∴选项C中y不是x的函数.
自变量的取值范围
6.(2025四川内江中考)在函数y= 中,自变量x的取值范围
是 ( )
A.x≥2 B.x≤2 C.x>2 D.x<2
A
解析 根据二次根式有意义的条件,得x-2≥0,解得x≥2,故选A.
7.(2025山东济宁高新区一模)在函数y= 中,自变量x的取
值范围是_______________.
x≥2且x≠3
解析 根据二次根式与分式有意义的条件,得 解得x
≥2且x≠3,∴自变量x的取值范围是x≥2且x≠3.
8.求下列函数中自变量x的取值范围.
(1)y= x+3. (2)y= .
(3)y= . (4)y= .
解析 (1)自变量x的取值范围是全体实数.
(2)根据分式有意义的条件,得2x-1≠0,解得x≠ ,
∴自变量x的取值范围是x≠ .
(3)根据二次根式有意义的条件,得3-x≥0,解得x≤3,∴自变量
x的取值范围是x≤3.
(4)根据二次根式与分式有意义的条件,得x-2≥0且2- ≠
0,解得x≥2且x≠6,∴自变量x的取值范围是x≥2且x≠6.
根据实际问题列表示函数关系的式子
9.(2025山东临沂沂水期中)某运输公司计划运输一批货物,每
天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表所示:
每天运输的吨数 500 250 100 50 …
运输的天数 1 2 5 10 …
用t表示运输的天数,a表示每天运输的吨数,请写出表示t与a的
函数关系的式子:___________.
t=
解析 根据题表数据发现500×1=250×2=100×5=50×10=500,
∴at=500,∴表示t与a的函数关系的式子为t= .
10.(2025河北石家庄九中期中)等腰三角形的周长为30,用x表
示底边长,y表示腰长,请写出表示y与x的函数关系的式子:
______________,自变量x的取值范围为______________.
0
y=- x+15
解析 ∵等腰三角形的两腰长相等,周长为30,∴2y+x=30,整
理,得y=- x+15,∴表示y与x的函数关系的式子为y=- x+15.
∵三角形任意两边之和大于第三边,∴2y>x,∴2 >x,
解得x<15,由题意可知x>0,∴x的取值范围是0
11.(2025北京理工大学附中期中,★★☆)下列情景:①某天的
气温y(℃)与时间x(时)的关系;②正方形的面积y(cm2)与边长
x(cm)的关系;③数轴上一个点表示的数y与这个点到原点的距
离x的关系.其中可以表示y是x的函数的是 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
A
解析 根据函数的定义,某天的气温y(℃)与时间x(时)的关系
可以表示y是x的函数,故①符合题意;正方形的面积y(cm2)与边
长x(cm)的关系可以表示y是x的函数,故②符合题意;数轴上一
个点表示的数y与这个点到原点的距离x的关系不能表示y是x
的函数,故③不符合题意.
12.(2025江苏泰州二模,★★☆)小明为了解水温变化规律,测
量并记录了一杯开水在室温下的温度变化情况,如下表.下列
说法:①水温是时间的函数;②随着时间的推移,水温不断下
降;③室温约为22 ℃;④水温下降到26 ℃恰好需要27.5 min.其
中正确的有( )
B
时间/min 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
水温/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 根据题表可知,每个时间有唯一对应的水温值,∴水温
是时间的函数,说法①正确;35 min以后,水温稳定在22 ℃,说
法②错误;∵水温稳定在22 ℃,∴室温约为22 ℃,说法③正确;
根据题表数据可知,水温下降到26 ℃可能需要27.5 min,说法
④错误.综上所述,说法正确的有2个.
13.(2025山东青岛莱西期末,★★☆)我们可以根据如图所示
的程序计算因变量y的值.当输入的自变量x的值是2和-4时,输
出的因变量y的值相等,则b的值为__________.
12
解析 将x=2代入y=2x+b,得y=4+b,将x=-4代入y=x2,得y=(-4)2=
16,∵输入的自变量x的值是2和-4时,输出的因变量y的值相等,
∴4+b=16,解得b=12.
14.(2025河北石家庄长安期末,★★☆)假期小刚和父母一起
开车到距家100千米的景点旅游,出发前,汽车油箱内储油35
升,已知汽车每千米的耗油量为0.125升.
(1)写出表示剩余油量Q(升)与行驶路程x(千米)的函数关系的
式子.
(2)当x=80时,求剩余油量Q的值.
(3)当油箱中剩余油量低于3升时,汽车将自动报警,如果往返
途中不加油,他们能否在汽车报警前回到家 请说明理由.
解析 (1)根据“剩余油量=原来的油量-行驶路程的耗油
量”,得Q=35-0.125x.
(2)当x=80时,Q=35-0.125×80=25.
答:当x=80时,剩余油量Q的值为25.
(3)他们能在汽车报警前回到家.理由如下:
35-0.125×(100×2)=10(升),10>3,
∴他们能在汽车报警前回到家.
15.【新课标·应用意识】【新考向·项目探究题】(2025广东
佛山禅城华英学校期中)某项目小组为解决食堂汤碗从厨房
到就餐区的转运问题,进行调研,得到了以下信息:
如图1,单个汤碗平放高度为8厘米.为节省空间,一般将汤碗按如图2所示的方式叠放,每增加一个汤碗,总高度增加1.5厘米,当叠放4个汤碗时,总高度为12.5厘米
可用托盘或推车这两种工具转运汤碗,安全起见,托盘一次最多运30个汤碗;推车一次最多运4叠,每叠高度要求不高于24厘米
请根据以上信息,解决下列问题:
(1)当叠放n个汤碗时,总高度为h厘米,求表示h与n的函数关系
的式子.
(2)求食堂推车一次最多能转运汤碗的数量.
(3)若食堂需转运m个汤碗,单独使用托盘或推车转运都需要2
次,则使用托盘和推车各1次能否转运完这m个汤碗 请说明理
由.
解析 (1)表示h与n的函数关系的式子为h=8+1.5(n-1)=1.5n+
6.5.
(2)∵用推车转运汤碗时,汤碗每叠高度要求不高于24厘米,
∴h≤24,∴1.5n+6.5≤24,解得n≤11 .
∵n为正整数,∴n的最大值为11,∴4n=4×11=44,
∴食堂推车一次最多能转运汤碗的数量是44.
(3)使用托盘和推车各1次能转运完这m个汤碗.
理由:由题意得 解得44使用托盘和推车各1次,最多可以转运汤碗的数量是30+44=74.
∵74>60,
∴使用托盘和推车各1次能转运完这m个汤碗.(共26张PPT)
第10章自主检测
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2025山东淄博高青一模)下列选项中不能表示y是x的函数
的是 ( )
B
解析 在一个变化过程中,有两个变量x与y,对于x的每一个确
定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么就说y是x的函数,
∴能表示y是x的函数的是选项A,C,D,不能表示y是x的函数的
是选项B.故选B.
2.(2025山东烟台龙口培基学校期中改编)函数y= 中,自
变量x的取值范围是 ( )
A.x>-3 B.x≥-3
C.x≤3 D.x≠-3
A
解析 根据二次根式与分式有意义的条件,得x+3>0,解得x>-3.
3.(2025山东济南历下燕山中学月考)下列各点一定在函数y=
2x+1的图象上的是 ( )
A.(1,1) B.(-1,-1) C.(-1,1) D.(0,2)
B
解析 当x=1时,y=2×1+1=3,∴点(1,1)不在函数y=2x+1的图象
上.当x=-1时,y=2×(-1)+1=-1,∴点(-1,-1)在函数y=2x+1的图象
上,点(-1,1)不在函数y=2x+1的图象上.当x=0时,y=2×0+1=1,
∴点(0,2)不在函数y=2x+1的图象上.
4.(2025山东德州经开区期末)如图所示的是一款上下细、中
间粗的茶杯,向该茶杯中匀速注水,下列图象中能大致反映茶
杯中水面高度与注水时间之间关系的是 ( )
A
解析 ∵茶杯上下细、中间粗,∴水面高度在茶杯中间位置
时上升速度较慢,故A中的图象符合题意,故选A.
5.(2024江苏徐州中考)小明的速度与时间的函数关系如图所
示,下列情境与之较为相符的是 ( )
A.小明坐在门口,然后跑去看邻居家的小狗,
随后坐着逗小狗玩
B.小明攀岩至高处,然后顺着杆子滑下来,
随后躺在沙地上休息
C
C.小明跑去接电话,然后坐下来电话聊天,随后步行至另一个
房间
D.小明步行去朋友家,敲门发现朋友不在家,随后步行回家
解析 由图象可知,速度先随时间的增大而增大,然后降为0,
过段时间后速度增大,然后匀速运动,故与之相符的情境为小
明跑去接电话,然后坐下来电话聊天,随后步行至另一个房间.
6.(2025四川成都中考)小明从家跑步到体育馆,在那里锻炼了
一段时间后又跑步到书店买书,然后步行回家(小明家、书
店、体育馆依次在同一直线上),如图所示的是小明离家的距
离y(km)与时间t(min)的关系.下列说法正确的是( )
C
A.小明家到体育馆的距离为2 km
B.小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C.小明家到书店的距离为1 km
D.小明从书店到家步行的时间为40 min
解析 由图象可知,小明家到体育馆的距离为2.5 km,小明家
到书店的距离为1 km,故选项A错误,选项C正确;45-15=30(min),∴小明在体育馆锻炼的时间为30 min,故选项B错误;100-80=
20(min),∴小明从书店到家步行的时间为20 min,故选项D错误.
7.【跨物理·声速】某科研小组在网上获取了声音在空气中传
播的速度与空气温度相关的一些数据如下表.下列说法错误
的是 ( )
D
温度/℃ -20 -10 0 10 20 30
声速/(m/s) 319 325 331 337 343 349
A.在这个变化中,自变量是温度,因变量是声速
B.温度越低,声速越慢
C.在一定范围内,温度每升高10 ℃,声速增加6 m/s
D.当空气温度为20 ℃时,声音5 s可以传播1 700 m
解析 在这个变化中,自变量是温度,因变量是声速,故选项A
说法正确,不符合题意;根据题表中数据,可得温度越低,声速越
慢,故选项B说法正确,不符合题意;∵325-319=331-325=337-
331=343-337=349-343=6(m/s),∴在一定范围内,温度每升高
10 ℃,声速增加6 m/s,故选项C说法正确,不符合题意;当空气温
度为20 ℃时,声速为343 m/s,∵343×5=1 715(m),∴当空气温度为20 ℃时,声音5 s可以传播1 715 m,故选项D说法错误,符合
题意.
8.(2024四川广元中考)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,点P从点
A出发沿A→C→B以1 cm/s的速度匀速运动至点B,图2是点P
运动时,△ABP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象,则该
三角形的斜边AB的长为 ( )
A.5 cm B.7 cm C.3 cm D.2 cm
A
解析 当点P运动到C处时,△ABP的面积为6 cm2,即 AC·BC=
6,∴AC·BC=12.由题图2可知,点P从点A运动至点B的时间为
7 s,即AC+BC=7 cm,
∴(AC+BC)2=49,∴AC2+BC2+2AC·BC=49,∴AC2+BC2=25.
∵AC2+BC2=AB2,∴AB=5 cm.故选A.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2025四川成都青羊树德实验学校期末)某书店对外租赁图
书,收费标准是每本书在租赁后的前两天每天按0.5元收费,超
过2天后每天按0.7元收费(不足一天按一天计算),则租金y(元)
和租赁天数x(x≥2)之间的关系式为___________________.
y=0.7x-0.4(x≥2)
解析 根据“租金=前两天的租金+超过两天后的租金”,可
得租金y(元)和租赁天数x(x≥2)之间的关系式为y=0.7(x-2)+
0.5×2=0.7x-0.4(x≥2).
10.(2025山东淄博博山期末)一个蓄水池有水50 m3,打开放水
闸门匀速放水,水池中的水量和放水时间的关系如下表,则放
水________min后,水池中的水放完.
25
放水时间/min 1 2 3 4 …
水池中水量/m3 48 46 44 42 …
解析 由题表数据可知每分钟放水2 m3,∵蓄水池有水50 m3,
50÷2=25(min),∴放水25 min后,水池中的水放完.
11.(2025山东枣庄滕州滕南中学月考)已知f(x)= + ,那
么f 的值是_________.
解析 ∵f(x)= + = + =
= ,∴f = = .
12.已知一次函数y=x+5的图象经过点P(a,b)和点Q(c,d),则a(c-
d)-b(c-d)的值为__________.
25
解析 由题意得,b=a+5,d=c+5,∴a-b=-5,c-d=-5,∴a(c-d)-b(c
-d)=(a-b)(c-d)=(-5)×(-5)=25.故答案为25.
三、解答题(共40分)
13.(2025四川遂宁射洪中学月考)(10分)已知长方形的周长为20.
(1)写出长方形面积S与一边长x的函数关系式.
(2)求出自变量x的取值范围.
(3)当x=6时,求长方形的面积S的值.
解析 (1)长方形的一边长为x,则其邻边长为 =10-x,
∴长方形的面积S=x(10-x)=-x2+10x,∴长方形的面积S与一边长
x的函数关系式为S=-x2+10x.
(2)由题意得x>0,10-x>0,解得0∴自变量x的取值范围为0(3)当x=6时,S=-62+10×6=-36+60=24,
∴当x=6时,长方形的面积S的值为24.
14.(2025福建福州长乐一中期中)(14分)已知函数y=2x-1.
(1)画出函数y=2x-1的图象.
(2)判断点A(-3,-5),B(2,-3),C(3,5)是否在函数y=2x-1的图象上.
(3)若点P(m,9)在函数y=2x-1的图象上,求m的值.
解析 (1)列表:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -5 -3 -1 1 3 …
描点、连线,函数y=2x-1的图象如图所示:
(2)当x=-3时,y=2×(-3)-1=-7,∴点A(-3,-5)不在函数y=2x-1的图
象上.当x=2时,y=2×2-1=3,∴点B(2,-3)不在函数y=2x-1的图象上.当x=3时,y=2×3-1=5,∴点C(3,5)在函数y=2x-1的图象上.
(3)∵点P(m,9)在函数y=2x-1的图象上,
∴9=2m-1,解得m=5.
15.(2025山东潍坊安丘一模)(16分)某地举行龙舟比赛,赛程为
900米.甲、乙两队比赛时,路程y(米)与时间x(分钟)的函数关
系如图所示.
(1)最先到达终点的是_______队,
比另一队领先_______分钟到达.
(2)求图中点C的坐标,并解释它的
实际意义.
(3)假设乙队在第一次加速后,始终保持这个速度继续前进,那
么甲、乙两队谁先到达终点 领先几分钟
解析 (1)由函数图象可知,最先到达终点的是乙队,比另一队
领先6-5=1(分钟)到达.故答案为乙;1.
(2)由函数图象可得甲的速度为900÷6=150(米/分钟),乙队在4~
5分钟时的速度为(900-500)÷(5-4)=400(米/分钟).设在a分钟时
乙队追上甲队,根据题意,得150a=500+400(a-4),解得a=4.4,150
×4.4=660,∴点C的坐标为(4.4,660),它的实际意义是当时间为
4.4分钟时乙队追上甲队,此时路程为660米.
(3)乙队在第一次加速后的速度为(500-200)÷(4-2)=150(米/分钟),∵(900-200)÷150= (分钟),∴乙队行驶完全程的时间为2+ = (分钟).∵甲队行驶完全程需要的时间是6分钟, -6= (分钟),∴甲队先到达终点,领先 分钟.(共25张PPT)
第10章 函数
10.3 函数的图象
第1课时 函数的图象
函数的图象
1.【跨物理·弹簧测力计】如图,用弹簧测力计将一铁块悬于
盛有水的水槽中,然后匀速向上提起,使铁块完全露出水面,并
上升一定高度,则能反映弹簧测力计的读数y(单位:N)与铁块
被提起的时间x(单位:s)之间的函数关系的大致图象是( )
A
解析 根据浮力的知识可知,在铁块露出水面之前,F拉+F浮=G,
此过程浮力不变,铁块的重力不变,故拉力不变,即弹簧测力计
的读数不变;在铁块逐渐露出水面的过程中,F拉+F浮=G,此过程
浮力逐渐减小,铁块的重力不变,故拉力逐渐增大,即弹簧测力
计的读数逐渐增大;在铁块完全露出水面后,F拉=G,此过程中
拉力等于铁块的重力,即弹簧测力计的读数不变.综上,弹簧测
力计的读数先不变,再逐渐增大,最后不变.故选A.
2.(2025广西中考)生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草
履虫实验,研究其种群数量y随时间t的变化情况,得到了如图
所示的“S”形曲线.下列说法正确的是 ( )
B
A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
解析 A.第5天的种群数量大于300个,原说法错误,不符合题
意;B.前3天种群数量持续增长,说法正确,符合题意;C.第5天的
种群数量达到最大,原说法错误,不符合题意;D.每天增加的种
群数量不相同,原说法错误,不符合题意.故选B.
3.(2025山东潍坊诸城期末)五一假期的某一天,亮亮全家上午
8时自驾小汽车从家里出发,到某旅游景点游玩,该小汽车离家
的距离s(千米)与时间t(时)之间的关系如图所示,根据图象提
供的有关信息,判断选项中说法错误的是( )
D
A.景点离亮亮的家180千米
B.亮亮到家的时间为17时
C.小汽车返程的速度为60千米/时
D.10时至14时,小汽车匀速行驶
解析 根据图象可知,景点离亮亮家180千米,故选项A说法正
确,不符合题意;小汽车返回时的速度为(180-120)÷(15-14)=60
(千米/时),故小汽车返程需要180÷60=3(小时),∴亮亮到家的
时间为14+3=17时,故选项B,C说法正确,不符合题意;由函数图
象可知,10时至14时,小汽车离家的距离不变,即小汽车没有行
驶,故选项D说法错误,符合题意.
4.(2025青海中考)如图,甲、乙两车从A地出发前往B地,在整
个行程中,汽车离开A地的路程y(km)与时刻t之间的对应关系
如图所示,下列结论错误的是 ( )
C
A.乙车先到达B地
B.A,B两地相距300 km
C.甲车的平均速度为100 km/h
D.在8:30时,乙车追上甲车
解析 由图象可知,甲车11:00到达B地,乙车10:00到达B地,
∴乙车先到达B地,故选项A中的结论正确,不符合题意;由图象
可知,A,B两地相距300 km,故选项B中的结论正确,不符合题
意;甲车的平均速度为300÷(11-6)=60(km/h),故选项C中的
结论错误,符合题意;在8:30时,乙车与甲车到A地的距离相等,
∴在8:30时,乙车追上甲车,故选项D中的结论正确,不符合题意.
5.(2024河南中考)把多个用电器连接在同一个插线板上,同时
使用一段时间后,插线板的电源线会明显发热,存在安全隐患.
数学兴趣小组对这种现象进行研究,得到时长一定时,插线板
电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象(如图1),
插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图2).下列结论
中错误的是 ( )
C
A.当P=440 W时,I=2 A
B.Q随I的增大而增大
C.I每增加1 A,Q的增加量相同
D.P越大,插线板电源线产生的热量Q越多
解析 由题图1可知,当P=440 W时,I=2 A,故选项A不符合题
意;由题图2可知,Q随I的增大而增大,故选项B不符合题意;由
题图2可知,I每增加1 A,Q的增加量不相同,故选项C符合题意;
由题图1可知I随P的增大而增大,由题图2可知Q随I的增大而
增大,∴P越大,插线板电源线产生的热量Q越多,故选项D不符
合题意.故选C.
6.(2025河南中考,★★☆)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安
全的重要因素,在一定条件下,它会随车速的变化而变化.研究
发现,某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如
图所示.下列说法中错误的是 ( )
A.汽车静止时,这款轮胎的摩擦系数为0.9
B.当0≤v≤60时,这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71,车速应不低于60 km/h
D.若车速从25 km/h增大到60 km/h,则这款轮胎的摩擦系数减
小0.04
答案 C
解析 A.由题图可知,当v=0时,μ=0.9,即汽车静止时,这款轮胎
的摩擦系数为0.9,说法正确,不符合题意.B.由题图可知,当0≤
v≤60时,这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小,说法正
确,不符合题意.C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71,车速
应不高于60 km/h,原说法错误,符合题意.D.由题图可知,当v=
25时,μ=0.75;当v=60时,μ=0.71,即车速从25 km/h增大到60 km/h,这款轮胎的摩擦系数减小0.04,说法正确,不符合题意.故选C.
7.(2024甘肃兰州中考,★★★)如图1,在菱形ABCD中,∠ABC=
60°,连接BD,点M从B出发沿BD方向以 cm/s的速度运动
至D,同时点N从B出发沿BC方向以1 cm/s的速度运动至C,设运
动时间为x(s),△BMN的面积为y(cm2).y与x的函数图象如图2所
示,则菱形ABCD的边长为 ( )
C
A.2 cm
B.4 cm
C.4 cm
D.8 cm
解析 根据题意可知BN=x cm,BM= x cm.∵四边形ABCD为
菱形,∠ABC=60°,∴∠DBC=30°.如图,过点M作MH⊥BC于点H,则MH= BM= x cm,∵S△BMN= BN·MH,∴y= x2.设菱形
ABCD的边长为a cm,∵当点M和点N同时到达点D和点C处时,
△BMN的面积有最大值,为4 cm2,此时x=a,∴ a2=4 ,解
得a=4(负值舍去),∴菱形ABCD
的边长为4 cm,故选C.
8.(2024山东淄博中考,★★★)某日,甲、乙两人相约在一条笔
直的健身道路上锻炼.两人都从A地匀速出发,甲健步走向B地.
途中偶遇一位朋友,驻足交流10 min后,继续以原速步行前进,
乙比甲晚出发30 min,跑步到达B地后立刻以原速返回,在返回
途中与甲第二次相遇.如图所示的是甲、乙两人之间的距离
y(m)与甲出发的时间x(min)之间的函数关系.以下结论:①甲、
乙两人第一次相遇时,乙的锻炼用时为20 min;②甲出发86 min
时,甲、乙两人之间的距离达到最大,为3 600 m;③甲、乙
两人第二次相遇的时间是在甲出发后100 min;④A,B两地之
间的距离是11 200 m.其中正确的有 ( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
B
解析 ①由题图可知,当x=50时,y=0,说明此时甲、乙两人相
遇,∵乙比甲晚出发30 min,∴两人第一次相遇时,乙的锻炼用
时为50-30=20(min),故结论①正确;②由题图可知,当x=86时,y
取得最大值,为3 600,∴甲出发86 min时,甲、乙两人之间的距
离达到最大,为3 600 m,故结论②正确;③设甲的速度为a m/min,乙的速度为b m/min,由①②分析可知,
解得 ∴甲、乙两人第二
次相遇的时间是在甲出发后86+ =98(min),故结论③
错误;④由题意可知A,B两地之间的距离为200×(86-30)=
11 200(m),故结论④正确.综上所述,正确的结论为①②④.
9.【新课标·推理能力】(2024山东济南中考)如图1,△ABC是
等边三角形,点D在边AB上,BD=2,动点P以每秒1个单位长度
的速度从点B出发,沿折线BC—CA匀速运动,到达点A后停止,
连接DP.设点P的运动时间为t(s),DP2的值为y.当动点P沿BC匀
速运动到点C时,y与t的函数图象如图2所示.有以下四个结论:
①AB=3;②当t=5时,y=1;③当4≤t≤6时,1≤y≤3;④动点P沿
BC—CA匀速运动时,两个时刻t1,t2(t1=6,则y1>y2.其中正确结论的序号是 ( )
A.①②③ B.①②
C.③④ D.①②④
答案 D
解析 由题意可知,当P运动到C时,DP2=y=7,∴DC2=7.如图1,
过点D作DH⊥BC于H,∵∠B=60°,∴∠BDH=30°,∵BD=2,∴BH= BD=1,∴DH= = ,∴CH= =
=2,∴BC=BH+CH=1+2=3,∵△ABC是等边三角形,∴AB
=BC=3,故①正确.易知当t=5时,P在AC上运动,AP=1,如图2,∵AD
=AB-BD=3-2=1,∴AD=AP,又∵∠A=60°,∴△ADP是等边三角形,∴DP=AD=AP=1,∴y=DP2=1,故②正确.当t=4时,PC=1,过点D作DM⊥AC于M,如图3,∵∠A=60°,∴∠ADM=30°,∴AM
= AD= ,∴DM= ,MP=AC-AM-PC=3- -1= ,此时DP=
= ,此时y=DP2=3;当t=6时,y=DP2=DA2=1.当P运
动到M时,y取最小值,为DM2的值,∴y的最小值为 ,∴当4≤t≤
6时, ≤y≤3,故③错误.∵t1+t2=6,t1∴t1<3,t2>3.由题意可得,当0≤t≤3时,y=(t-1)2+3;当3≤t≤6时,
y=(t-5.5)2+ ,∴y1=(t1-1)2+3,y2=(t2-5.5)2+ =(t1-0.5)2+ ,∴y1-y2=(t1
-1)2+3-(t1-0.5)2- =3-t1>0,∴y1>y2,故④正确.(共24张PPT)
第10章 函数
10.2 函数的表示
解析法
1.【跨物理·电阻】(2025福建厦门思明双十中学期中)在物理
学中,导线的电阻随温度的变化而变化,有一段导线0 ℃时电
阻为5 Ω,温度每增加1 ℃,电阻会增加0.01 Ω,则电阻R与温度t
的关系式是( )
A.R=5+0.01t B.R=5t+0.01 C.R=0.01t D.R=5.01t
A
解析 根据“电阻R=0 ℃时的电阻+升温增加的电阻”,可得
电阻R与温度t的关系式为R=5+0.01t.
2.(2025广东广州荔湾期中)如图,一块矩形铁板的长为a,在左
侧截掉一个最大的正方形.若剩余部分的周长为b,则a与b的关
系式为 ( )
A.b=2a B.b=2a+2
C.b=4a D.b=4a-4
A
解析 设截掉的最大的正方形的边长为m,则余下部分的一组
邻边长分别为m,a-m,根据题意,得2[m+(a-m)]=b,整理得b=2a.
列表法
3.【跨生物·发芽率】(2025山东烟台栖霞期中)某生物实验小
组研究发现,某种种子的发芽率与浸泡时间有如下关系,下列
说法正确的是 ( )
浸泡时间/h 0 2 6 8 10 12 14 16 20
发芽率/% 15.9 26.1 32.3 35 53 61 43.1 30.5 10.8
A.种子发芽率为自变量,种子浸泡时间为因变量
B.随着种子浸泡时间的加长,种子发芽率在提高
C.随着种子浸泡时间的加长,种子发芽率在降低
D.由表格可以看出,种子浸泡时间在12 h左右时,发芽率最高
答案 D
解析 种子浸泡时间为自变量,种子发芽率为因变量,故选项
A错误;随着种子浸泡时间的加长,种子发芽率先提高,后降低,
故选项B,C错误;由题表可以看出,种子浸泡时间在12 h左右
时,发芽率最高,故选项D正确.
4.(2025安徽六安金寨期末)某剧院的观众席的座位排列近似
于扇面形状,且设置方式如表:
排数/x 1 2 3 4 …
座位数/y 50 53 56 59 …
(1)按照上表所示的规律,当排数为6时的座位数为_______.
(2)写出座位数y与排数x之间的函数关系式.
(3)按照发现的规律,某一排可能有90个座位吗 说说你的理由.
解析 (1)由题表中座位数与排数的变化规律可知,排数每增
加1排,座位数就增加3个,∴第6排的座位数为50+3×(6-1)=65.
故答案为65.
(2)由题表中座位数与排数的变化规律可知,座位数y与排数x
之间的函数关系式为y=50+3(x-1)=3x+47.
(3)不可能.理由:把y=90代入y=3x+47,得90=3x+47,解得x= .
∵排数为正整数,∴x= 不符合题意,∴某一排不可能有90个
座位.
图象法
5.【跨物理·压强】(2024四川广安中考)向如图所示的空容器
内匀速注水,从水刚接触容器底部时开始计时,直至把容器注
满,在注水过程中,设容器内底部所受水的压强为y(单位:帕),
注水时间为x(单位:秒),则y关于x的函数图象大致为( )
B
解析 ∵压强与水面的高度成正比,容器上下粗细不同,∴水
面高度随注水时间x的变化分两个阶段.容器下面较粗,∴第一
个阶段水面高度随注水时间x的增大而增加但相对缓慢,用时
较长,即压强y随注水时间x的增大而增大,但相对缓慢,用时较
长;容器上面较细,∴第二个阶段水面高度随注水时间x的增大
而增加且上升较快,用时较短,即压强y随注水时间x的增大而
增大且上升较快,用时较短.故选B.
6.(2025江西新余分宜三模)在一次试验中,小明把一根弹簧的
上端固定,在其下端悬挂物体,测得弹簧的长度y(cm)随所挂物
体的质量x(kg)变化的图象如图所示,则下列结论中错误的是
( )
D
A.未挂物体时,弹簧的长度为8 cm
B.当所挂物体质量为2 kg时,弹簧的
长度为12 cm
C.当所挂物体质量超过5 kg时,弹簧的长度不会发生变化
D.弹簧的长度随着所挂物体质量的增加而增加
解析 观察图象可得,当所挂物体质量为0 kg,即未挂物体时,
弹簧的长度为8 cm,故选项A中的结论正确,不符合题意;当所
挂物体质量为2 kg时,弹簧的长度为12 cm,故选项B中的结论
正确,不符合题意;当所挂物体质量超过5 kg时,弹簧的长度均
为18 cm,故选项C中的结论正确,不符合题意;当所挂物体质量
超过5 kg时,弹簧的长度不随着所挂物体质量的增加而增加,
故选项D中的结论错误,符合题意.
7.(★★☆)如图所示的是一种轨道示意图,其中曲线ADC和曲
线ABC均为半圆,点M,A,C,N依次在同一直线上,且AM=CN.现
有两个机器人(看成点)分别从M,N两点同时出发,沿着轨道以
相同的速度匀速移动,移动路线分别为M→A→D→C→N和N
→C→B→A→M.若移动时间为x,两个机器人之间的距离为y,
则y与x之间关系的图象大致是( )
答案 D
解析 当两个机器人分别从M,N两点出发,未到半圆上时,y随
x的增大而减小,排除选项A和C;当两个机器人经过半圆后,再
分别在CN,AM上移动时,y随x的增大而增大,排除选项B,故
选D.
8.(2025山东泰安东平期末,★★☆)如图,某链条每节长为2.8 cm,
每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1 cm,按这种连
接方式,x节链条的总长度为y cm,则y关于x的函数关系式是
____________.
y=1.8x+1
解析 由题意得,1节链条的长度=2.8 cm,2节链条的总长度=
[2.8+(2.8-1)×1]cm,3节链条的总长度=[2.8+(2.8-1)×2]cm,……,
∴x节链条的总长度=[2.8+(2.8-1)(x-1)]=(1.8x+1)cm,故y关于x
的函数关系式是y=1.8x+1.
9.(2025浙江丽水期末,★★☆)盘秤是一种常见的称量工具,指
针转过的角度与被称物体的质量有一定的关系,如表所示:
质量/千克 0 1 2 3 4 …
指针转过的角度 0° 18° 36° 54° 72° …
(1)当被称物体的质量为2.5千克时,指针转过的角度为____°;当被称物体的质量为______千克时,指针转过的角度为180°.
(2)指针转过的角度不得超过360°,否则盘秤会受损,称量18千
克的物品会对盘秤造成损伤吗 说说你的理由.
(3)某顾客在一家水果店购买水果两次,用这种盘秤称量,第二
次的质量比第一次质量的2倍多3千克,且指针第二次转过的
角度比第一次大108°,则该顾客一共购买了多少千克水果
解析 (1)根据题表中的数据发现被称物体的质量每增加1千克,指针转过的角度增加18°,∴当被称物体的质量为2.5千克时,指针转过的角度为18°×2.5=45°.当指针转过的角度为180°时,被称物体的质量为180°÷8°=10(千克).故答案为45;10.
(2)称量18千克的物品不会对盘秤造成损伤.理由:∵18×18°=
324°<360°,∴称量18千克的物品不会对盘秤造成损伤.
(3)设第一次购买水果x千克,则第二次购买水果(2x+3)千克,根
据题意,得(2x+3)-x=108°÷18°,解得x=3,∴2x+3=9,
∵3+9=12(千克),∴该顾客一共购买了12千克水果.
10.【新课标·推理能力】(2025北京中考)某企业研发并生产
了一种新设备,计划分配给A,B,C,D四家经销商销售.一家经销
商将分配到的n台设备全部售出后,企业从该经销商处获得的
利润(单位:万元)与n的对应关系如下:
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 …
A 40 60
B 30 55 75 90 100 105
C 20 40 60 70 80 90 …
D 14 38 62 86 110 134 …
(1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售,且每家经销
商至少分配到1台设备,为使5台设备都售出后企业获得的总
利润最大,应向_________(填“A”“B”“C”或“D”)经销
商分配2台设备.
(2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家
销售,那么6台设备都售出后,企业可获得的总利润的最大值为
___________万元.
157
B
解析 (1)当n=2时,A经销商的利润为60万元,比n=1时增加60-
40=20(万元);B经销商的利润为55万元,比n=1时增加55-30=25
(万元);C经销商的利润为40万元,比n=1时增加40-20=20(万
元);D经销商的利润为38万元,比n=1时增加38-14=24(万元),
∵25>24>20,∴应向B经销商分配2台设备.
(2)当分配给四家经销商销售时,分配给A,C经销商各1台,B,D
经销商各2台可使总利润最大,最大总利润为40+55+20+38=
153(万元);
当分配给三家经销商销售时,分配给A经销商1台,B经销商2
台,D经销商3台可使总利润最大,最大总利润为40+55+62=157
(万元);
当分配给两家经销商销售时,分配给A经销商2台,B经销商4台
或分配给A经销商1台,D经销商5台可使总利润最大,最大总利
润为60+90=150(万元)或40+110=150(万元);
当分配给一家经销商销售时,都分配给D经销商可使总利润最
大,最大总利润为134万元.
∵157>153>150>134,∴企业可获得的总利润的最大值为157万元.(共14张PPT)
第10章 函数
10.3 函数的图象
第2课时 函数图象的画法
函数图象的画法
1.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时蜡烛剩下
的高度h(cm)与时间t(小时)之间满足某种关系,其图象大致是
( )
C
解析 由题意可得h与t之间的关系式是h=20-5t(0≤t≤4),t越
大,h越小,且t=0时,h=20,t=4时,h=0,符合此条件的是C选项中的
图象.
2.【学科特色·教材变式】通过列表、描点、连线作出函数y=
x-2的图象.
(1)列表:
x … -1 0 1 2 3 …
y=x-2 … …
(2)描点.
(3)连线.
解析 (1)填表如下:
x … -1 0 1 2 3 …
y=x-2 … -3 -2 -1 0 1 …
(2)描点如图所示.
(3)连线如图所示.
点与函数图象的关系
3.(2025山东济南市中期末)下列四个点中,在函数y=3x+2的图
象上的点是 ( )
A.(-1,1) B.(-1,-1) C.(2,0) D.(0,-1.5)
B
解析 当x=-1时,y=3×(-1)+2=-1,∴点(-1,1)不在函数y=3x+2的图象上,点(-1,-1)在函数y=3x+2的图象上.当x=2时,y=3×2+2=8,
∴点(2,0)不在函数y=3x+2的图象上.当x=0时,y=3×0+2=2,
∴点(0,-1.5)不在函数y=3x+2的图象上.
4.(2024山东菏泽巨野期中)函数y=kx的图象经过点P(3,-1),则k
的值为_______.
-
解析 ∵函数y=kx的图象经过点P(3,-1),
∴3k=-1,解得k=- .
5.(2024北京海淀清华附中期中,★★☆)如图,在平面直角坐标
系中,点P 在直线y=2x+2与直线y=2x+4之间,则a的取值
范围是 ( )
A.2C.1 B
解析 当P在直线y=2x+2上时,a=2× +2=-1+2=1,当P在直线y=2x+4上时,a=2× +4=-1+4=3,则16.(2024湖北黄石大冶期末,★★☆)已知点P(a,b)在函数y=x-9
的图象上,且 =3,则代数式a2+b2的值为___________.
113
解析 ∵点P(a,b)在函数y=x-9的图象上,∴b=a-9,∴a-b=9.
∵ =3,∴ab-7=9,∴ab=16,∴a2+b2=(a-b)2+2ab=81+32=113.
7.(2025北京海淀期中改编,★★☆)已知函数y= .
(1)自变量x的取值范围是_______.
(2)下表中m=_______.
x … -3 -1 0 0.5 1.5 2 3 5 …
y … 1 2 4 8 8 m 2 1 …
(3)在平面直角坐标系中,描出补全后的表格中各组对应值所
对应的点,并画出该函数的图象.
(4)根据图象能得到什么信息
解析 (1)由题意得,x-1≠0,∴x≠1.∴自变量x的取值范围是x
≠1.故答案为x≠1.
(2)当x=2时,y=m= =4.故答案为4.
(3)如图所示.
(4)当x<1时,y随x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小.
(答案不唯一,言之有理即可)
