(共12张PPT)
专项突破7 一次函数的实际应用
利润问题
1.(2025山东菏泽曹县期末)某工厂计划生产A,B两种型号桌椅
共500套,生产每套A型号桌椅需木料0.5 m3,可获利润100元;生
产每套B型号桌椅需木料0.7 m3,可获利润120元.设生产A型号
桌椅x套,全部销售完A,B两种型号桌椅可获得总利润为y元.
(1)求y与x之间的函数表达式.
(2)若该工厂生产A,B两种型号桌椅需要的木料不超过302 m3,
则分别生产A,B两种型号桌椅多少套时,可获得的总利润最
大 最大利润为多少元
解析 (1)∵生产A型号桌椅x套,∴生产B型号桌椅(500-x)套,
则总利润y=100x+120(500-x)=-20x+60 000.
(2)根据生产A,B两种型号桌椅需要的木料不超过302 m3,可得
0.5x+0.7(500-x)≤302,解得x≥240.
∵函数y=-20x+60 000中,-20<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=
240时,总利润最大,最大利润为-20×240+60 000=55 200(元),此
时生产B型号桌椅500-240=260(套).
答:生产A型号桌椅240套,B型号桌椅260套时,可获得的总利
润最大,最大利润为55 200元.
行程问题
2.(2024山东威海中考)同一条公路连接A,B,C三地,B地在A,C
两地之间.甲、乙两车分别从A地,B地同时出发前往C地.甲车
速度始终保持不变,乙车中途休息一段时间,继续行驶.下图表
示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系.下列
结论正确的是 ( )
A
A.甲车行驶 h与乙车相遇
B.A,C两地相距220 km
C.甲车的速度是70 km/h
D.乙车中途休息36分钟
解析 由题意得(0,20)表示甲、乙两车之间的初始距离为20 km,第一段线段上升,表示乙车的速度大于甲车的速度,第二段
线段下降,表示乙车从x=2时开始休息,第三段线段上升,表示
甲车追上乙车后,乙车继续休息,甲车继续行驶,(3,20)表示
甲、乙两车之间的距离为20 km,此时甲车到达某地,乙车停止
休息,开始行驶,(4,0)表示甲、乙两车出发4小时后同时到达C
地.乙车中途休息的时间为3-2=1(h),故D选项错误;
∵第二、三段线段表示乙车休息期间,甲车行驶的路程为40+
20=60(km),∴甲车的速度为60÷(3-2)=60(km/h),故C选项错误;
A,C两地相距4×60=240(km),故B选项错误;甲、乙中途相遇的
时间为2+40÷60= (h),故A选项正确.
分段计费问题
3.【学科特色·教材变式】为了节约水资源,自来水公司按分
段收费标准收费,每月收取水费y(元)与用水量x(吨)之间的函
数关系如图.按照分段收费标准,小颖家三、四月份分别交水
费29元和19.8元,则四月份比三月份节约用水 ( )
C
A.2吨 B.2.5吨 C.3吨 D.3.5吨
解析 当0≤x≤10时,设y与x的函数关系式为y=mx(m≠0),易
知(10,22)满足此函数关系式,则22=10m,解得m=2.2,∴y=2.2x.
当x≥10时,设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),把(10,22)与
(20,57)代入y=kx+b,得 解得 ∴y=3.5x-13.
综上,y= ∵y=29>22,∴x>10,将y=29代入y=3.5x-
13,得29=3.5x-13,解得x=12.
∵y=19.8<22,∴0≤x<10,将y=19.8代入y=2.2x,得19.8=2.2x,解
得x=9,∴四月份比三月份节约用水12-9=3(吨).
方案设计问题
4.(2025山东德州禹城期末)某服装店招聘销售人员,提供了如
下两种月工资方案.方案一:没有底薪,每售出一件商品提成25
元;方案二:底薪3 000元,售出的前100件商品没有提成,超过
100件的部分,每售出一件商品提成20元.设销售人员每月售出
x件商品,方案一、方案二中销售人员的月工资分别为y1,y2(单
位:元).
(1)分别写出y1,y2关于x的函数解析式,并写出x的取值范围.
(2)若销售人员小王某月售出了150件商品,则他应该选择哪种
方案,才能得到更高的月工资 请说明理由.
(3)根据每月售出商品的件数,销售人员小王应如何选择方案,
才能得到更高的月工资
解析 (1)根据题意可知y1=25x(x≥0).当0≤x≤100时,y2=3 000,
当x>100时,y2=3 000+20(x-100)=20x+1 000,∴y2=
(2)他应该选择方案二,才能得到更高的月工资.
理由:当x=150时,y1=25×150=3 750,y2=20×150+1 000=4 000,
∵3 750<4 000,
∴他应该选择方案二,才能得到更高的月工资.
(3)当x=100时,y1=25×100=2 500<3 000.∵25>0,∴y1随x的增大
而增大,∴当0≤x≤100时,y1
100时,令y1+1 000,解得x<200;令y1=y2,得25x=20x+1 000,解得x=200;令y1>
y2,得25x>20x+1 000,解得x>200.综上所述,当0≤x<200时,选择
方案二能得到更高的月工资;当x=200时,选择方案一和方案二
得到的月工资相同;当x>200时,选择方案一能得到更高的月工
资.(共24张PPT)
第11章 一次函数
11.4 一次函数与实际问题
探索两个变量之间的一次函数关系
1.【跨物理·浮力】物理课上,于老师让同学们做这样的实验:
在盛有水的盆中放入质地均匀的木块,再在其上方放置不同
质量的铁块.已知木块全程保持漂浮状态,通过测量木块在水
面上露出部分的高度h(mm)与铁块的质量x(g),可得如下数据,
据此可知当铁块的质量为100 g时,木块在水面上露出部分的
高度为 ( )
实验序号 一 二 三
铁块的质量x/g 25 50 75
高度h/mm 44 38 32
A.30 mm B.28 mm
C.26 mm D.24 mm
答案 C
解析 观察题表数据,发现 = =-0.24,∴高度h与铁
块的质量x成一次函数关系.设h=kx+b,将(25,44),(50,38)分别代
入,得 解得 ∴高度h与铁块的质量x的关
系式为h=- x+50.当x=100时,h=- ×100+50=26,∴当铁块的
质量为100 g时,木块在水面上露出部分的高度为26 mm,故选C.
建立一次函数模型解决实际问题
2.【跨生物·植物生长】(2025山东威海模拟)某种藤类植物四
个阶段的平均长度y(cm)与生长时间x(天)的函数图象如图所
示.当藤蔓长度大约为115 cm时,植物进入浆果生长期,此时植
物的生长天数是 ( )
B
A.90 B.95
C.140 D.143
解析 设20≤x≤120时,y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),根
据题意,得 解得 ∴y=1.4x-18.把y=115代
入y=1.4x-18,得x=95,∴当藤蔓长度大约为115 cm时,植物的生
长天数是95.
3.(2024上海中考)某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万
元)成一次函数关系,当投入10万元时,销售额为1 000万元,当
投入90万元时,销售额为5 000万元,则投入80万元时,销售额为
_____________万元.
4 500
解析 设销售额y与广告投入x之间的函数表达式为y=kx+b.
∵当投入10万元时,销售额为1 000万元,当投入90万元时,销售
额为5 000万元,
∴ 解得 ∴y=50x+500.
当x=80时,y=50×80+500=4 500,
故投入80万元时,销售额为4 500万元.
4.【学科特色·教材变式】某市计划用两种花对某广场进行美
化.已知用600元购买A种花与用900元购买B种花的数量相等,
且B种花每盆比A种花贵 0.5元.
(1)A,B两种花每盆各多少元
(2)计划购买A,B两种花共6 000盆,其中A种花的数量不超过B
种花数量的 ,则购买A种花多少盆时,购买这批花的总费用最
低 最低费用是多少元
解析 (1)设A种花每盆x元,则B种花每盆(x+0.5)元,根据题意,
得 = ,解得x=1,经检验,x=1是原分式方程的解,且符合
题意,此时x+0.5=1.5,∴A种花每盆1元,B种花每盆1.5元.
(2)设购买A种花t盆,购买这批花的总费用为w元,则购买B种花
(6 000-t)盆,由题意得t≤ (6 000-t),解得t≤1 500,根据题意,得
w=t+1.5(6 000-t)=-0.5t+9 000,∵-0.5<0,∴w随t的增大而减小,
∴当t=1 500时,w取得最小值,w最小=-0.5×1 500+9 000=8 250.
∴购买A种花1 500盆时,购买这批花的总费用最低,最低费用
是8 250元.
5.(2025山东青岛莱西期末,★★☆)中国茶文化博大精深,祁门
红茶在国内外享有盛誉,并被评为“中华十大名茶”.祁门红
茶的冲泡温度一般建议在90 ℃~95 ℃,为了冲泡出来的茶水
口感更佳,徽徽同学在煮茶时记录了水温T(单位:℃)随时间t
(单位:min)变化的数据,如下表.若水温的变化是均匀的,则水
温达到90 ℃的时间是 ( )
B
时间t/min 0 2 4 6
水温T/℃ 18 34 50 66
A.8 min B.9 min
C.10 min D.11 min
解析 观察题表可知, = = =8,∴水温T是时
间t的一次函数.设水温T与时间t的关系式为T=kt+b(k≠0),把
(0,18),(2,34)代入,得 解得 ∴水温T与时间t的
关系式为T=8t+18.把T=90代入T=8t+18,得90=8t+18,解得t=9,
∴水温达到90 ℃的时间是9 min,故选B.
6.(2025山东济宁任城期末,★★☆)甲、乙两人骑自行车分别
从A,B两地同时出发相向而行,甲匀速骑行到B地,乙匀速骑行
到A地,甲的速度大于乙的速度,两人分别到达目的地后停止
骑行.两人之间的距离y(米)和骑行的时间x(秒)之间的函数图
象如图所示,下列说法:①a=450;②b=150;③甲的速度为8米/
秒;④当甲、乙相距50米时,甲出发了56秒或64秒.其中错误的
有 ( )
D
A.0个 B.1个C.2个 D.3个
解析 根据题图可知甲的速度是600÷100=6(米/秒),故③错
误.设乙的速度是v米/秒,则60(6+v)=600,解得v=4,∴乙的速度
是4米/秒.600÷4=150(秒),∴b=150,故②正确.(100-60)×(6+4)=
400(米),∴a=400,故①错误.当0≤x≤60时,y=600-(6+4)x=-10x+
600,把y=50代入y=-10x+600,得-10x+600=50,解得x=55.当60≤100时,y=(6+4)(x-60)=10x-600,把y=50代入y=10x-600,得10x-
600=50,解得x=65,∴当甲、乙相距50米时,甲出发了55秒或65
秒,故④错误.综上,错误的有3个.
7.(★★☆)某研究所开发了一种新药,在试验药效时发现:如果
成人按规定剂量服用,那么服药后每毫升血液中含药量y(微
克)随时间x(小时)的变化情况如图所示.当每毫升血液中的含
药量为3微克或3微克以上时,治疗疾病最有效,那么服药后最
有效的时间共有_________小时.
4
解析 0≤x≤2时,设正比例函数关系式为y=mx,把(2,6)代入,
得6=2m,解得m=3,∴当0≤x≤2时,y与x之间的函数关系式是y
=3x;x≥2时,设一次函数关系式为y=kx+b,把(2,6),(6,2)分别代
入,得 解得 ∴当x≥2时,y与x之间的函数关系
式是y=-x+8.把y=3代入y=3x,解得x=1.把y=3代入y=-x+8,解得x
=5,∵5-1=4(小时),∴服药后最有效的时间共有4小时.
8.(2024河南中考,★★☆)为响应“全民植树增绿,共建美丽中
国”的号召,学校组织学生到郊外参加义务植树活动,并准备
了A,B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50 g,营养
成分表如下.
(1)若要从这两种食品中摄入4 600 kJ热量和70 g蛋白质,应选用A,B两种食品各多少包
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份
午餐选用这两种食品共7包,要使每份午餐中的蛋白质含量不
低于90 g,且热量最低,应如何选用这两种食品
解析 (1)设选用A种食品x包,B种食品y包,根据题意,得
解方程组,得
答:应选用A种食品4包,B种食品2包.
(2)设选用A种食品m包,则选用B种食品(7-m)包,根据题意,得
10m+15(7-m)≥90,解得m≤3.设每份午餐的总热量为w kJ,则w=
700m+900(7-m)=-200m+6 300,∵-200<0,∴w随m的增大而减小,
∴当m=3时,w取得最小值,此时7-m=7-3=4.
答:应选用A种食品3包,B种食品4包.
9.【新课标·模型观念】某商贩计划从水果批发市场购进葡萄
和大枣共100箱,购进葡萄的箱数不少于大枣箱数的 .已知商
贩卖出3箱葡萄和5箱大枣共获利87元;卖出5箱葡萄和2箱大
枣共获利69元.设商贩购进葡萄t箱,获得的总利润为w元.
(1)求商贩卖出一箱葡萄和一箱大枣分别获利多少元.
(2)若所购进的两种水果能全部卖出,商贩如何进货才能获得
最大利润 最大利润是多少
(3)水果批发市场开展优惠让利活动,将葡萄每箱的批发价下
调m元(0的箱数不能多于大枣的箱数.若商贩卖出两种水果的销售单
价均不变,且商贩将购进的两种水果全部卖出后获得的最大
利润是1 225元,请求出m的值.
解析 (1)设商贩卖出一箱葡萄获利x元,卖出一箱大枣获利y
元.根据题意,得 解得
答:商贩卖出一箱葡萄获利9元,卖出一箱大枣获利12元.
(2)根据题意,得w=9t+12(100-t)=-3t+1 200,
∵t≥ (100-t),∴t≥40.
∵-3<0,∴w随t的增大而减小,
∴当t=40时,w有最大值,为1 080.
此时100-t=100-40=60,
∴商贩购进40箱葡萄,60箱大枣时,能获得最大利润,最大利润
为1 080元.
(3)根据题意,得w=(9+m)t+12(100-t)=(m-3)t+1 200,∵t≤100-t,
∴t≤50,又∵t≥40,∴40≤t≤50.
①当0∴当t=40时,w有最大值,
∴40(m-3)+1 200=1 225,
∴m= ,不合题意,舍去;
②当30,∴w随t的增大而增大,
∴当t=50时,w有最大值,
∴50(m-3)+1 200=1 225,∴m=3.5;
③当m=3时,w=1 200,不合题意,舍去.
综上所述,m的值是3.5.(共28张PPT)
第11章 一次函数
11.1 一次函数
一次函数的定义
1.(2024山东枣庄十五中月考)下列函数:①y=kx+b;②y=2x;③y
= ;④y= x+3;⑤y=x2-2x+1.其中是一次函数的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
解析 当k=0时,y=kx+b不是一次函数,故①不是一次函数;y=
2x是正比例函数,故②是一次函数;y= 中, 不是整式,故③不是
一次函数;y= x+3符合一次函数的定义,故④是一次函数;y=x2-
2x+1中,x的最高次数是2,故⑤不是一次函数.故是一次函数的
为②④,共2个,故选B.
2.(2025山东聊城东阿月考)如果y=x+2a-1是正比例函数,那么a
的值是 ( )
A. B.0 C.- D.-2
A
解析 ∵y=x+2a-1是正比例函数,∴2a-1=0,∴a= ,故选A.
3.(2025山东济南市中泉海学校月考)下列各组变量中,一个变
量是另一个变量的正比例函数的是( )
A.圆的面积S随半径r的变化而变化
B.用10 m长的绳子围成一个矩形,其中一边长y随其邻边长x
的变化而变化
C.正方形的周长C随边长a的变化而变化
D.汽车油箱中有汽油50 L,行驶过程中油箱中的油量Q随行驶
路程s的变化而变化
C
解析 选项A,S=πr2,不是正比例函数;选项B,y=5-x,是一次函
数,不是正比例函数;选项C,C=4a,是正比例函数;选项D,Q=50-
ks(k为常数,即单位路程的耗油量),是一次函数,不是正比例函
数.
4.下列说法中不正确的是 ( )
A.一次函数不一定是正比例函数
B.不是一次函数就一定不是正比例函数
C.正比例函数是特殊的一次函数
D.不是正比例函数就一定不是一次函数
D
解析 一次函数y=kx+b(k≠0),当b=0时,函数是正比例函数,当
b≠0时,函数是一次函数,故选项A,B,C说法正确,选项D说法错误.
5.(2025山东济南五中月考)若函数y=(k-2) +1是关于x的一
次函数,则k=_______.
-2
解析 ∵函数y=(k-2) +1是关于x的一次函数,
∴k2-3=1,k-2≠0,解得k=-2.
6.(2025山东烟台福山期末)如图,两摞规格完全相同的课本整
齐地叠放在桌子上,请根据图中所给出的数据信息,回答下列
问题:
(1)每本课本的厚度为_______cm.
(2)如果有一摞上述规格的课本x本整齐
地叠放在桌子上,这摞课本的顶部距离地面的高度为y cm,那么
y与x之间的函数关系式是什么 y与x之间是什么函数关系
(3)当x=55时,若从中取走13本,求余下的课本的顶部距离地面
的高度.
解析 (1)(88-86.5)÷(6-3)=0.5(cm),即每本课本的厚度为0.5 cm.故答案为0.5.
(2)∵每本课本的厚度为0.5 cm,∴桌子的高度为88-0.5×6=88-
3=85(cm),∴y=85+0.5x,y与x之间是一次函数关系.
(3)由(2)知x本课本顶部距离地面的高度为(0.5x+85)cm,故当x
=55-13=42时,0.5x+85=0.5×42+85=106,∴余下的课本的顶部
距离地面的高度为106 cm.
待定系数法
7.(2024山西中考)生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其
体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数,部分数据如下表所示,则y
与x之间的关系式为 ( )
A
尾长x/cm 6 8 10
体长y/cm 45.5 60.5 75.5
A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5
C.y=15x D.y=15x+45.5
解析 ∵蛇的体长y(cm)是其尾长x(cm)的一次函数,∴设y=kx
+b(k≠0).把x=6,y=45.5与x=8,y=60.5代入,得 解得
∴y与x之间的关系式为y=7.5x+0.5.
8.(2025江苏淮安期末)如图,已知B中的实数与A中的实数之间
的对应关系是正比例函数关系,则图中a的值为_________.
解析 设正比例函数表达式为y=kx(k≠0),把x=1,y=3代入,得k·
1=3,解得k=3,∴该函数表达式为y=3x,把x=a,y=2代入,得3a=2,
解得a= .
9.(2025山东烟台芝罘期末)已知y与x-1成正比例,当x=-1时,y=4.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)请通过计算,判断点(3,2)是否在这个函数的图象上.
解析 (1)∵y与x-1成正比例,∴设y=k(x-1)(k≠0).把x=-1,y=4代
入,得4=k(-1-1),解得k=-2,∴y=-2(x-1),即y与x的函数关系式为y
=-2x+2.
(2)当x=3时,y=-2×3+2=-4,∴点(3,2)不在函数y=-2x+2的图象上.
10.【新课标·中华优秀传统文化】(2024甘肃中考,★★☆)
“燕几”即宴几,是世界上最早的一套组合桌,由北宋进士黄
伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子,包括两张长桌、两
张中桌和三张小桌,每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组
合成不同的图形.如图所示的是《燕几图》中名称为“回
文”的桌面拼合方式,若设每张桌面的宽为x尺,长桌的长为y
尺,则y与x的关系可以表示为( )
B
A.y=3x B.y=4x C.y=3x+1 D.y=4x+1
解析 由题图可知,“回文”桌面的长为x+y,宽为4x,总面积
为4x(x+y),其中每张长桌的桌面面积为xy,每张中桌的桌面面
积为3x2,每张小桌的桌面面积为2x2,∴2xy+2×3x2+3×2x2=4x(x+
y),整理,得y=4x.
11.(2025山东淄博张店期末,★★☆)某商品原价为560元/件,
随着不同幅度的降价(单位:元/件),日销量(单位:件)发生相应
的变化,如下表:
降价/(元/件) 5 10 15 20 25 30 35
日销量/件 780 810 840 870 900 930 960
若售价为510元/件,则日销量为_____________件.
1 050
解析 设降价x元/件,日销量为y件,由题表可知,每降价5元/件,
日销量增加30件,即每降价1元/件,日销量增加6件,∴y与x之间
的函数关系式为y=780+6(x-5)=6x+750,当x=560-510=50时,y=6
×50+750=1 050,∴若售价为510元/件,则日销量为1 050件.
12.【学科特色·多解法】(2024山东枣庄台儿庄期中,★★☆)
已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,3)和(-1,2),则k2-b2=_____.
-6
解析 【解法一】求值计算法:将点(1,3)和(-1,2)代入y=kx+b,
得 解方程组,得 ∴k2-b2= - =-6.
【解法二】整体计算法:将点(1,3)和(-1,2)代入y=kx+b,得
∴k2-b2=(k+b)(k-b)=-(k+b)·(-k+b)=-3×2=-6.
13.【学科特色·多解法】(2024山东济南商河清华园学校一
模,★★★)课堂上,老师给出了直角坐标系中的三个点:A(0,2),
B(2,3),C(3,1).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次
函数的图象,并得到对应的函数表达式y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,y3=
k3x+b3.分别计算k1+b1,k2+b2,k3+b3的值,其中最大的值为_______.
5
解析 【解法一】若直线AB的表达式为y1=k1x+b1,将点A(0,2),
B(2,3)代入,得 解得 ∴k1+b1= ;若直线AC的
表达式为y2=k2x+b2,将点A(0,2),C(3,1)代入,得 解得
∴k2+b2= ;若直线BC的表达式为y3=k3x+b3,将点B(2,
3),C(3,1)代入,得 解得 ∴k3+b3=5,∴k1+b1,k2+
b2,k3+b3的值中最大的值为5.
【解法二】如图,作直线AB,AC,BC,作直线x=1,若直线AB的表
达式为y1=k1x+b1,直线AC的表达式为y2=k2x+b2,直线BC的表达
式为y3=k3x+b3,由图象可知,直线x=1与直线BC的交点的纵坐标
最大,即k1+b1,k2+b2,k3+b3的值中k3+b3的值最大.将点B(2,3),C(3,
1)代入y3=k3x+b3,得 解得
∴k3+b3=5,∴k1+b1,k2+b2,k3+b3的值中最大的值为5.
14.(2024山东菏泽巨野期中改编,★★☆)已知一次函数的图
象经过点A(2,2)和点B(-2,-4).
(1)求一次函数的解析式.
(2)如果点M 和N(-4,b)在一次函数的图象上,求代数式-a+
b+2 025的值.
解析 (1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0),把(2,2),(-2,-4)
代入,得 解得
∴一次函数的解析式为y= x-1.
(2)∵点M 和点N(-4,b)在一次函数y= x-1的图象上,∴当y
= 时, = a-1,解得a=1;当x=-4时,b= ×(-4)-1=-7,
∴-a+b+2 025=-1-7+2 025=2 017.
15.【新课标·模型观念】(2025山东济宁任城期末改编)学校需要
采购一批演出服装,A,B两家制衣公司都愿成为这批服装的供
应商.经了解,两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同,为男装每套120元,女装每套100元.经洽谈协商,A公司给出的优惠条件是全部服装按标价打七折,但校方需承担2 200元的运费;B公司的优惠条件是男、女装均按每套100元打八折,公司承担运费.另外根据大会组委会要求,参加演出的女生人数应比男生人数的2倍少100人,如果设参加演出的男生有x人.
(1)分别写出学校购买A,B两公司服装所付的总费用y1(元)和y2
(元)与参演男生人数x之间的函数关系式.
(2)若参加演出的男生有180人,该学校购买哪家制衣公司的服
装比较合算 请说明理由.
解析 (1)购买A公司服装所付的总费用y1(元)与参演男生人
数x之间的函数关系式为y1=0.7[120x+100(2x-100)]+2 200=224x-
4 800(x≥50),购买B公司服装所付的总费用y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式是y2=0.8[100(3x-100)]=240x-8 000(x≥50).
(2)该学校购买B公司的服装比较合算.理由:当x=180时,y1=224
×180-4 800=35 520,y2=240×180-8 000=35 200,∵35 200<35 520,
∴参加演出的男生有180人时,该学校购买B公司的服装比较合算.(共29张PPT)
第11章 一次函数
11.2 一次函数的图象及性质
第2课时 一次函数的图象及性质
一次函数的图象与平移
1.(2025新疆中考)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图
象是 ( )
D
解析 ∵在一次函数y=x+1中,k=1>0,b=1>0,∴一次函数y=x+1
的图象过第一、二、三象限.故选D.
2.(2025山东青岛三十九中期中)已知点P(k,-b)在第二象限,则
函数y=kx+b的图象大致是 ( )
A
解析 ∵点P(k,-b)在第二象限,∴k<0,-b>0,∴b<0,∴一次函数
y=kx+b的图象经过第二、三、四象限,故A选项符合题意.
3.(2025山东潍坊诸城期末)若一次函数y=kx+k-3(k≠0)的图象
经过第一、三、四象限,则k的取值范围为 ( )
A.k>0 B.0C.k<3 D.k>3
B
解析 ∵一次函数y=kx+k-3(k≠0)的图象经过第一、三、四
象限,∴k>0,k-3<0,解得04.(2025福建泉州外国语学校期中)已知一次函数y=2x+m的图
象是由一次函数y=2x-4的图象沿y轴向上平移8个单位长度得
到的,则m=_________.
4
解析 将一次函数y=2x-4的图象沿y轴向上平移8个单位长度
后,所得一次函数图象的解析式为y=2x+4,∴m=4.
5.(2025山东泰安新泰二模)将直线y=2x向下平移1个单位长度
得到直线l,则直线l与x轴的交点坐标为_________.
解析 将直线y=2x向下平移1个单位长度,得到直线l:y=2x-1.
把y=0代入y=2x-1,得0=2x-1,解得x= ,∴直线l与x轴的交点坐
标为 .
一次函数的性质
6.(2025山东日照莒县期中)若点A(-2,y1),B(3,y2),C(1,y3)在一次函数
y=-3x+m(m是常数)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y2>y1
C
解析 在一次函数y=-3x+m中,∵k=-3<0,∴y随x的增大而减小.
又∵点A(-2,y1),B(3,y2),C(1,y3)在一次函数y=-3x+m(m是常数)的
图象上,且-2<1<3,∴y1>y3>y2.
7.(2025山东东营利津月考)已知一次函数y=-2x+3,当0≤x≤5
时,函数y的最大值是 ( )
A.0 B.3 C.-3 D.-7
B
解析 在一次函数y=-2x+3中,∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小,
∴在0≤x≤5的范围内,当x=0时,函数y的值最大,为-2×0+3=3,
故选B.
8.(2025青海玉树第一民族中学期末)已知一次函数y=(1+2k)x-
5的图象经过点M(x1,y1)和点N(x2,y2),且当x1>x2时,y1可能是 ( )
A.- B.0 C.-1 D.
C
解析 ∵一次函数y=(1+2k)x-5的图象经过点M(x1,y1)和点N(x2,
y2),且当x1>x2时,y1- ,∴k的值可能是-1.
9.【学科特色·教材变式】(2025山东济宁金乡月考)已知一次
函数y=(m+2)x+(3-n).
(1)m,n为何值时,y随x的增大而减小
(2)m,n为何值时,函数的图象经过原点
(3)若函数图象经过第二、三、四象限,求m,n的取值范围.
解析 (1)对于一次函数y=(m+2)x+(3-n),∵y随x的增大而减小,
∴m+2<0,解得m<-2,∴当m<-2且n为任意实数时,y随x的增大
而减小.
(2)∵一次函数y=(m+2)x+(3-n)的图象经过原点,∴m+2≠0且3-
n=0,解得m≠-2且n=3,∴当m≠-2且n=3时,函数的图象经过原点.
(3)∵一次函数y=(m+2)x+(3-n)的图象经过第二、三、四象限,
∴ 解得 ∴当m<-2,n>3时,函数的图象经过第
二、三、四象限.
10.(2025山东德州乐陵朱集中学月考,★★☆)一次函数y=kx+
b(k≠0)中,x与y的部分对应值如表所示,根据表中数据分析,下
列结论正确的是 ( )
x … -2 1 3 …
y … 7 4 2 …
A.该函数的图象与x轴的交点坐标是(2,0)
B.将该函数的图象向下平移4个单位长度得到函数y=-x的图
象
C.若点(5,y1),(8,y2)均在该函数的图象上,则y1>y2
D.该函数的图象经过第一、二、三象限
答案 C
解析 把x=1,y=4和x=3,y=2分别代入y=kx+b(k≠0),得
解得 ∴一次函数的解析式为y=-x+5.把y=0代
入y=-x+5,得0=-x+5,解得x=5,∴该函数的图象与x轴的交点坐
标是(5,0),故选项A错误;将函数y=-x+5的图象向下平移4个单
位长度得到y=-x+1的图象,故选项B错误;∵k=-1<0,∴y随x的
增大而减小,∵5<8,∴y1>y2,故选项C正确;∵k=-1<0,b=5>0,
∴函数y=-x+5的图象经过第一、二、四象限,故选项D错误.
11.(2024宁夏中考,★★☆)在平面直角坐标系中,一条直线与
两坐标轴围成的三角形是等腰三角形,则该直线的解析式可
能为____________________(写出一个即可).
y=x+1(答案不唯一)
解析 ∵直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形,∴可
设直线y=kx+b与x轴的交点坐标为(-1,0),与y轴的交点坐标为
(0,1),把(-1,0),(0,1)分别代入y=kx+b,得 解得
∴直线的解析式可以为y=x+1.(答案不唯一)
12.(2025山东淄博周村期末改编,★★☆)在平面直角坐标系
xOy中,点A是函数y=- x+4的图象上一点,且在第二象限,点B
的坐标为(8,0),若△OAB的面积为20,则点A的坐标为________.
(-2,5)
解析 设点A的坐标为 ,∵点A在第二象限,∴- x+
4>0,∵B(8,0),∴OB=8.∵△OAB的面积为20,∴ ×8×
=20,解得x=-2,∴- x+4=5,∴点A的坐标为(-2,5).
13.(2025山东聊城阳谷二模,★★☆)如图,在平面直角坐标系
中,点B的坐标为(3,1),AB=OB,∠ABO=90°,则直线AB的函数表
达式是______________.
y=-3x+10
解析 如图,过点A作AC∥x轴,交y轴于点C,过点B作BD∥y轴,
交x轴于点D,两条直线相交于点E,易知∠ACO=∠E=∠BDO=
90°,∴四边形ODEC是矩形,∠DOB+∠OBD=90°,∴CE=OD,
OC=DE,
∵∠ABO=90°,∴∠ABE+∠OBD=90°,
∴∠DOB=∠EBA.又∵AB=BO,∴△ABE≌△BOD(AAS),
∴AE=BD,BE=OD.∵点B的坐标为(3,1),∴OD=3,BD=1.
∴AE=BD=1,BE=OD=CE=3,
∴AC=CE-AE=2,DE=BD+BE=4,∴A(2,4).设直线AB的函数表
达式为y=kx+b(k≠0),把A(2,4),B(3,1)分别代入,得 解
得 ∴直线AB的函数表达式为y=-3x+10.
14.(2025山东青岛月考,★★☆)函数y=(3-m)x+n(m,n为常数,m
≠3),若2m-n=2,当-1≤x≤1时,函数有最大值0,则n=_______.
-4
解析 分情况讨论:①当3-m>0,即m<3时,y随x的增大而增大,
∴当x=1时,y取到最大值,∴3-m+n=0,即-m+n=-3.联立
解得
②当3-m<0,即m>3时,y随x的增大而减小,∴当x=-1时,y取到最
大值,∴-(3-m)+n=0,即m+n=3.联立 解得 (舍
去).综上所述,n的值是-4.
15.(2025山东济南市中期中,★★☆)如图,在平面直角坐标系
xOy中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象平移
得到,与x轴,y轴分别交于点A,B,且经过点(-1,3),P(x,y)是该一次
函数图象上一点.
(1)求一次函数的解析式.
(2)求点A,B的坐标.
(3)当△OAP的面积为5时,求点P的坐标.
解析 (1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=2x的图象
平移得到,∴k=2.将(-1,3)代入y=2x+b,得-2+b=3,解得b=5,∴一
次函数的解析式为y=2x+5.
(2)将x=0代入y=2x+5,得y=5,∴B(0,5).将y=0代入y=2x+5,得x=
- ,∴A .
(3)∵△OAP的面积为5,∴ × ×|y|=5,解得y=±4.当y=4时,2x+5
=4,解得x=- ,∴点P的坐标为 .当y=-4时,2x+5=-4,解得x
=- ,∴点P的坐标为 .综上所述,点P的坐标为
或 .
16.【新课标·几何直观】如图,已知直线AB的函数表达式为y=
-2x+8,与x轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)求A,B两点的坐标.
(2)若点P(m,n)为线段AB上的一个动点(不与A,B重合),作PE⊥
x轴于点E,PF⊥y轴于点F,连接EF,OP.
①若△PAO的面积为S,求S关于m的函数关系式,并写出m的取
值范围.
②是否存在点P,使EF的值最小 若存在,求出EF的最小值;若
不存在,请说明理由.
解析 (1)对于y=-2x+8,令x=0,则y=8,∴B(0,8),令y=0,则-2x+8=
0,∴x=4,∴A(4,0).
(2)①∵点P(m,n)为线段AB上的一个动点,
∴-2m+8=n,∵A(4,0),∴OA=4,∴04n=2(-2m+8)=-4m+16(0∴S关于m的函数关系式为S=-4m+16(0②存在.∵PE⊥x轴于点E,PF⊥y轴于点F,OA⊥OB,∴四边形
OEPF是矩形,∴EF=OP.
当OP⊥AB时,OP的值最小,即EF的值最小.
∵A(4,0),B(0,8),∴AB= = =4 ,当OP⊥AB
时,S△AOB= OA·OB= AB·OP,∴OP= = = ,∴EF的
最小值为 .(共17张PPT)
专项突破6 求一次函数解析式的六种题型
定义型
1.已知y=(k-1)x|k|+(k2-4)是一次函数.
(1)求函数解析式.
(2)求x=3时,y的值.
(3)求y=0时,x的值.
解析 (1)由一次函数的定义,可得|k|=1,且k-1≠0,解得k=-1,
∴函数解析式为y=-2x-3.
(2)当x=3时,y=-2×3-3=-9.
(3)当y=0时,得0=-2x-3,解得x=- .
两点型
2.(2025山东烟台莱州期中)如图,将13个边长均为1的小正方
形摆放在平面直角坐标系中,直线l经过小正方形的顶点A,B,
则直线l的表达式为______________.
y= x+1
解析 由题意可知,点A,点B的坐标分别是(0,1),(4,3).设直线l
的表达式为y=kx+b(k≠0),将(0,1),(4,3)代入y=kx+b,得
解得 ∴直线l的表达式为y= x+1.
3.如图,一次函数y=x+3的图象l1与x轴相交于点B,与过点A(3,0)
的直线l2相交于点C(1,m).
(1)求直线l2的函数表达式.
(2)求△ABC的面积.
解析 (1)∵点C(1,m)在一次函数y=x+3的图象上,∴m=1+3=4,
∴点C(1,4).
设直线l2对应的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把点A(3,0),C(1,4)
代入,得 解得
∴直线l2对应的函数表达式为y=-2x+6.
(2)把y=0代入y=x+3,得0=x+3,解得x=-3,
∴B(-3,0).∵A(3,0),∴AB=6,∵C(1,4),∴S△ABC= ×6×4=12.
平移型
4.(2025山东济南十八中月考)把直线y=-3x向上平移后得到直
线AB,直线AB经过点(m,n),且3m+n=10,则直线AB的函数表达
式为 ( )
A.y=-3x-5 B.y=-3x-10
C.y=-3x+5 D.y=-3x+10
D
解析 ∵直线AB由直线y=-3x平移得到,∴设直线AB的函数表
达式为y=-3x+b(b≠0),把点(m,n)代入,得n=-3m+b,解得b=3m
+n.∵3m+n=10,∴b=10,∴直线AB的函数表达式为y=-3x+10.
5.如图,已知一条直线经过点A(0,2),点B(1,0),将这条直线向下
平移,使平移后的直线与x轴,y轴分别交于点C,点D,连接BD,
DB=DC.
(1)求直线AB的函数表达式.
(2)求平移后所得直线CD的函数表达式.
解析 (1)设直线AB的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把点A(0,2),
B(1,0)代入,得 解得 ∴直线AB的函数表达式为
y=-2x+2.
(2)∵CD=BD,DO⊥BC,B(1,0),∴OC=OB=1,即C(-1,0).根据一
次函数图象的平移规律,设直线CD的函数表达式为y=-2x+m
(m≠2),将点C(-1,0)代入y=-2x+m,得-2×(-1)+m=0,解得m=-2,
∴直线CD的函数表达式为y=-2x-2.
面积型
6.一条直线y=kx+b与两坐标轴所围成的三角形的面积为18.
(1)若这条直线与直线y=x+1平行,求其解析式.
(2)若这条直线与y轴的交点坐标为(0,6),求其解析式.
解析 (1)∵直线y=kx+b与直线y=x+1平行,∴k=1,∴y=x+b.把x
=0代入y=x+b,得y=b.把y=0代入y=x+b,得x+b=0,解得x=-b,∴直
线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积= b2=18,解得b=
±6,∴该直线的解析式为y=x+6或y=x-6.
(2)设直线与x轴的交点到原点的距离为a,则直线y=kx+b与两
坐标轴围成的三角形的面积= a×6=18,解得a=6,∴直线与x轴
的交点坐标为(6,0)或(-6,0).∵直线与y轴的交点坐标为(0,6),
∴该直线的解析式为y=kx+6.把(6,0)代入y=kx+6,得k=-1;把(-6,0)
代入y=kx+6,得k=1,∴该直线的解析式为y=-x+6或y=x+6.
图象型实际应用
7.【新考向·过程性学习试题】(2024山东潍坊昌乐期末)【问
题背景】尽享春日好时光,张梅和家人去某自然景区游玩,在
欣赏美景的同时张梅用学过的知识来记录他们的行程.
【收集信息】张梅从景区发的宣传册中发现了他们所走的线
路,如图1.
【建立模型】张梅通过乘坐的观光车所走的路程,绘制了如
图2所示的函数图象,观光车从入口出发,经过景点甲,在景点
甲停留一段时间,然后继续行驶到达终点.折线AB—BC—CD
表示观光车到终点的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的关系.
【解决问题】
(1)请求出线段CD所在直线的函数表达式.
(2)请通过计算求观光车在景点甲停留的时间.
解析 (1)设线段CD所在直线的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
把(3,24),(4.5,0)分别代入,
得 解得
∴线段CD所在直线的函数表达式为y=-16x+72.
(2)把y=40代入y=-16x+72,得-16x+72=40,解得x=2.∵2-1=1(h),
∴观光车在景点甲停留了1 h.
文字表述型实际应用
8.某快递公司为了提高工作效率,计划购买A,B两种型号的机
器人来搬运货物.已知每台A型机器人的售价为1.2万元,每天
搬运货物90吨,每台B型机器人的售价为2万元,每天搬运货物
100吨.该公司计划采购A,B两种型号的机器人共30台,要求每
天搬运货物不低于2 830吨.
(1)设购买A型机器人x台,购买总金额为y万元,求y与x之间的
函数表达式.
(2)求购买A,B两种型号的机器人分别为多少台时,购买总金额最低.
解析 (1)∵购买A型机器人x台,∴购买B型机器人(30-x)台,
根据题意,得y=1.2x+2(30-x)=-0.8x+60,
∴y与x之间的函数表达式为y=-0.8x+60.
(2)根据题意,得90x+100(30-x)≥2 830,解得x≤17.
由(1)得y=-0.8x+60,∵-0.8<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=17
时,y有最小值,此时30-x=30-17=13.
∴购买A,B两种型号的机器人分别为17台,13台时,购买总金
额最低.(共30张PPT)
第11章自主检测
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2025山东济南十八中月考)下列函数关系式:①y=-2x+1;②y
=x;③y=2x2+1;④y= .其中一次函数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
解析 y=2x2+1中自变量x的最高次数为2,不是一次函数.
的分母中含有自变量,∴y= 不是一次函数.根据一次函数
的定义可知y=-2x+1,y=x是一次函数,共2个.
2.(2025山东济南槐荫期中)若一次函数y=kx+b(k,b都是常数,k
≠0)的图象经过第一、二、三象限,则一次函数y=bx-k的图象
大致是 ( )
B
解析 ∵一次函数y=kx+b(k,b都是常数,k≠0)的图象经过第
一、二、三象限,∴k>0,b>0,∴-k<0,∴一次函数y=bx-k的图象
经过第一、三、四象限,故选B.
3.(2025山东淄博沂源期末)已知直线y=x-2与直线y=mx-n相交
于点M(3,b),则关于x,y的二元一次方程组 的解为
( )
A. B. C. D.
A
解析 ∵直线y=x-2经过点M(3,b),∴b=3-2=1,∴M(3,1),
∴关于x,y的二元一次方程组 的解为 故选A.
4.(2025山东烟台招远期末)在平面直角坐标系中,将函数y=3x
的图象向上平移6个单位长度,则平移后的图象与x轴的交点
坐标为 ( )
A.(0,6) B.(-6,0)
C.(2,0) D.(-2,0)
D
解析 将函数y=3x的图象向上平移6个单位长度后得到的函
数图象的解析式为y=3x+6.把y=0代入,可得3x+6=0,解得x=-2,
∴平移后的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),故选D.
5.(2025山东菏泽东明期中)在同一平面直角坐标系中,函数y=
mx(m≠0)与y=2x+m的图象大致是 ( )
C
解析 当m>0时,函数y=mx(m≠0)的图象经过第一、三象限,
且经过原点,函数y=2x+m的图象经过第一、二、三象限;当m<
0时,函数y=mx(m≠0)的图象经过第二、四象限,且经过原点,
函数y=2x+m的图象经过第一、三、四象限.故选C.
6.(2025山东烟台芝罘期末)对于函数y= x-3,描述错误的是
( )
A.图象经过第一、三、四象限
B.y随x的增大而增大
C.图象与x轴交于点(-2,0)
D.图象与y轴交于点(0,-3)
C
解析 ∵k= >0,b=-3<0,∴直线y= x-3经过第一、三、四象
限,故选项A不符合题意;∵k= >0,∴y随x的增大而增大,故选
项B不符合题意;将y=0代入y= x-3,得 x-3=0,解得x=6,∴直线
y= x-3与x轴交于点(6,0),故选项C符合题意;将x=0代入y= x-
3,得y=-3,∴直线y= x-3与y轴交于点(0,-3),故选项D不符合题意.
7.(2025北京大学附中期中)某市为了鼓励居民节约用电,采用
分段计费的方法按月计算每户家庭的电费,计费方法:第一档
是当月用电量不超过240千瓦时时实行“基础电价”;第二档
是当月用电量超过240千瓦时时,其中的240千瓦时仍按照
“基础电价”收费,超过的部分按照“提高电价”收费.设每
个家庭月用电量为x千瓦时,应交电费y元.具体收费情况如图
所示,以下结论中错误的是 ( )
A.“基础电价”是0.5元/千瓦时
B.“提高电价”是0.56元/千瓦时
C.当x>240时,y与x的函数表达式为y=0.6x-24
D.若明明家五月份应交电费144元,则明明家这个月的用电量
为280千瓦时
答案 B
解析 “基础电价”是 =0.5(元/千瓦时),故选项A结论正
确,不符合题意;“提高电价”是 =0.6(元/千瓦时),故
选项B结论错误,符合题意;当x>240时,设y与x的函数表达式为
y=kx+b(k≠0),易知点(240,120),(400,216)满足表达式y=kx+b,
则 解得 ∴y=0.6x-24(x>240),故选项C结
论正确,不符合题意;∵144>120,∴明明家五月份用电量超过
240千瓦时,把y=144代入y=0.6x-24,得0.6x-24=144,解得x=280,
∴明明家这个月的用电量为280千瓦时,故选项D结论正确,不
符合题意.
8.(2025山东青岛大学附中期中)甲、乙两人在一条长400米的
直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步,先到终点的
人原地休息.已知甲先出发3秒,在跑步过程中,甲、乙两人之
间的距离y(米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所
示,下列结论:①乙的速度为5米/秒;②离开起点后,甲、乙两人
第一次相遇时,距离起点12米;③甲、乙两人之间的距离超过
32米的时间范围是4468米.其中正确的结论为( )
B
A.①③ B.①③④
C.③④ D.①②③④
答案 B
解析 由题意可知乙用80秒跑完400米,∴乙的速度为 =5
(米/秒),故①正确.∵乙出发时,甲已经跑了12米,用时3秒,∴甲
的速度为 =4(米/秒).设乙追上甲所用的时间为m秒,则5m-4m
=12,解得m=12,12×5=60(米),∴离开起点后,甲、乙两人第一
次相遇时,距离起点60米,故②错误.根据题意可得
解得44过32米的时间范围是44终点的距离为400-4×(3+80)=400-332=68(米),故④正确.故正
确的结论为①③④.
二、填空题(每小题5分,共15分)
9.(2025山东济宁微山期中)已知函数y=(k-3)x|k-2|是正比例函数,
则k=_________.
1
解析 根据正比例函数的定义,可得|k-2|=1,且k-3≠0,解得k=1.
10.(2025重庆期末)若一次函数y=(m+2)x+m-6的图象不经过第
二象限,则所有满足条件的整数m的值的和为__________.
20
解析 ∵一次函数y=(m+2)x+m-6的图象不经过第二象限,∴m
+2>0且m-6≤0,解得-2-1,0,1,2,3,4,5,6,∴所有满足条件的整数m的值的和为-1+0+1+2
+3+4+5+6=20.
11.(2025山东淄博高青期末)已知直线y=kx+4(k≠0)与两坐标
轴所围成的三角形的面积为6,则该直线的表达式是
______________________.
或y=- x+4
y= x+4
解析 设直线y=kx+4(k≠0)与x轴,y轴分别交于A,B两点,令x=
0,则y=4,∴B(0,4),∴OB=4,令y=0,则kx+4=0,解得x=- ,∴A
,∴OA= .∵S△AOB=6,∴ OA·OB=6,即 × ×4=6,解得k
=± ,∴直线的表达式为y= x+4或y=- x+4.
三、解答题(共45分)
12.(2024山东菏泽巨野期中)(8分)已知y-2与x成正比例,当x=2
时,y=6.
(1)求y与x之间的函数解析式.
(2)在所给直角坐标系中画出函数图象.
解析 (1)∵y-2与x成正比例,∴设y-2=kx(k≠0).
∵当x=2时,y=6,∴6-2=2k,解得k=2,∴y-2=2x,∴y与x之间的函
数解析式为y=2x+2.
(2)当x=0时,y=2.当y=0时,2x+2=0,解得x=-1,∴函数图象经过点
(0,2),(-1,0),函数图象如图所示.
13.(2024河北邢台五校联考期末)(9分)已知一次函数y=(2m+4)x+
(3-m).
(1)若y随x的增大而增大,求m的取值范围.
(2)若图象经过第一、二、三象限,求m的取值范围.
(3)若m=1,当-1≤x≤2时,求y的取值范围.
解析 (1)根据题意,得2m+4>0,解得m>-2.
(2)根据题意,得 解得-2(3)将m=1代入y=(2m+4)x+(3-m),得y=6x+2.
当x=-1时,y=-4;
当x=2时,y=14.
∵k=6>0,∴y随x的增大而增大,
∴当-1≤x≤2时,-4≤y≤14.
14.(2025山东济宁微山鲁桥一中月考)(12分)如图,直线y1=kx+b
经过点A(-6,0),B(-1,5),直线y2=-2x+a与直线AB相交于点M,与x
轴交于点D,点M的横坐标为-3.
(1)观察图象,当kx+b<-2x+a时,x的取值范围是_______.
(2)求直线AB的表达式和a的值.
(3)若点P在直线AB上,且S△ADP=
4S△ADM,求点P的坐标.
解析 (1)由题图可知,当x<-3时,直线y1=kx+b在直线y2=-2x+a
的下方,∴当kx+b<-2x+a时,x的取值范围为x<-3.
(2)把A(-6,0),B(-1,5)代入y1=kx+b,可得 解得
∴直线AB的表达式为y1=x+6.把x=-3代入y1=x+6,解得y1=3,
∴点M的坐标为(-3,3).把(-3,3)代入y2=-2x+a,解得a=-3.
(3)设P(m,m+6).将y=0代入y2=-2x-3,得x=- ,∴D ,∴S△ADM
= × ×3= .
∵S△ADP=4S△ADM,∴S△ADP= × ×|m+6|=4× =27,
解得m=6或m=-18,∴m+6=12或m+6=-12,
∴点P的坐标为(6,12)或(-18,-12).
15.(2024山东东营广饶一模)(16分)为了传承中华优秀传统文
化,增强文化自信,某校举办了以“争做时代先锋少年”为主
题的演讲比赛,并为获奖的同学颁发奖品.张老师去商店购买
甲、乙两种笔记本作为奖品,若买甲种笔记本20本,乙种笔记
本30本,共用190元,买10本甲种笔记本比买20本乙种笔记本少
花10元.
(1)求甲、乙两种笔记本的单价各是多少元.
(2)张老师准备购买甲、乙两种笔记本共100本,且甲种笔记本
的数量不少于乙种笔记本数量的3倍,因张老师购买的数量多,
实际付款时按原价的九折付款.为了使所花费用最低,应如何
购买 最低费用是多少元
解析 (1)设甲种笔记本的单价是x元,乙种笔记本的单价是y
元,根据题意,得 解得 ∴甲种笔记本的单
价是5元,乙种笔记本的单价是3元.
(2)设购买m本甲种笔记本,则购买(100-m)本乙种笔记本.∵甲
种笔记本的数量不少于乙种笔记本数量的3倍,∴m≥3(100-m),
解得m≥75.设购买笔记本所花费用为w元,∴w=5×0.9m+3
×0.9(100-m)=1.8m+270,∵1.8>0,∴w随m的增大而增大,
∴m=75时,w的值最小,最小值为1.8×75+270=405,
此时100-m=25.
答:购买75本甲种笔记本和25本乙种笔记本,所花费用最低,最
低费用是405元.(共25张PPT)
第11章 一次函数
11.3 一次函数与方程、不等式
第1课时 一次函数与一元一次方程(不等式)
一次函数与一元一次方程
1.(2025山东烟台龙口期末)一次函数y=ax+b(a,b为常数)中,x,y
的部分对应值如下表所示:
x -2 -1 0 1 2
y 6 4 2 0 -2
那么关于x的方程ax+b=0的解为 ( )
A.x=0 B.x=1 C.x=2 D.x=-2
B
解析 根据题表可知当x=1时,y=0,∴方程ax+b=0的解是x=1.
2.(2025河南商丘夏邑期末)如图所示的是一次函数y=kx+b的
图象,则关于x的方程kx+b=0的解为 ( )
A.x=0 B.x=1
C.x=-1 D.x=1或-1
C
解析 ∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点(-1,0),∴关于x
的方程kx+b=0的解是x=-1.
3.(2024江苏扬州中考)如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图
象分别与x轴,y轴交于A,B两点,若OA=2,OB=1,则关于x的方程
kx+b=0的解为____________.
x=-2
解析 ∵OA=2,∴一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴相交于
点A(-2,0),∴关于x的方程kx+b=0的解为x=-2.
一次函数与一元一次不等式
4.(2025山东菏泽东明期中)如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象
过点(-1,0),则关于x的不等式kx+b<0的解集是 ( )
A.x<-2 B.x<-1
C.x<0 D.x<1
B
解析 观察图象可知当x<-1时,直线y=kx+b在x轴的下方,即y<
0,∴关于x的不等式kx+b<0的解集是x<-1.
5.(2024广东中考)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函
数y=kx+b的图象大致是 ( )
B
解析 A.由图象可得,关于x的不等式kx+b<0的解集是x>-2,故
本选项不符合题意;B.由图象可得,关于x的不等式kx+b<0的解
集是x<2,故本选项符合题意;C.由图象可得,关于x的不等式kx
+b<0的解集是x<-2,故本选项不符合题意;D.由图象可得,关于
x的不等式kx+b<0的解集是x>2,故本选项不符合题意.故选B.
6.(2025山东烟台招远期末)在平面直角坐标系中,直线y=kx+3
(k≠0)经过点(6,0),则关于x的不等式kx+3>0的解集是_______.
x<6
解析 ∵直线y=kx+3(k≠0)经过点(6,0),∴将(6,0)代入y=kx+3,
得0=6k+3,解得k=- ,∴当x<6时,y>0,∴关于x的不等式kx+3>0
的解集是x<6.
7.(2025山东聊城阳谷实验中学月考)如图,点A(-1,2)在一次函
数y=kx+b(k≠0)的图象上,则关于x的不等式kx+b>2的解集是
____________.
x<-1
解析 由图象易得,当x<-1时,一次函数y=kx+b的图象在直线y
=2的上方,即kx+b>2,∴关于x的不等式kx+b>2的解集为x<-1.
8.在同一平面直角坐标系中画出函数y1=2x-4与y2=-2x+8的图
象,观察图象并回答问题:
(1)x满足什么条件时,2x-4>0
(2)x满足什么条件时,-2x+8>0
(3)x满足什么条件时,2x-4>0与-2x+8>0同时成立
(4)求出函数y1=2x-4与y2=-2x+8的图象与x轴所围成的三角形
的面积.
解析 画出函数图象如图所示.
(1)当x>2时,2x-4>0.
(2)当x<4时,-2x+8>0.
(3)当20与-2x+8>0同时成立.
(4)由图象知,函数y1=2x-4与y2=-2x+8的图象的交点坐标为(3,
2),∴函数y1=2x-4与y2=-2x+8的图象与x轴所围成的三角形的
面积= ×(4-2)×2=2.
9.(2024山东潍坊昌乐期末,★★☆)如图,一次函数y=mx+n的
图象与x轴交于点P,则关于x的不等式-mx-n<0的解集是 ( )
A.x<2 B.x>2
C.-2D
解析 -mx-n<0,即mx+n>0,由图象可知,当x<-2时,y=mx+n>0,故
关于x的不等式-mx-n<0的解集是x<-2.
10.(2025山东潍坊诸城期末,★★☆)小亮通过“列表、描
点、连线”画函数y=kx+b(k≠0)的图象时,列出如下表格:
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 8 6 4 2 0 …
则下列说法正确的是 ( )
A.函数值y随x的增大而增大
B.函数图象不经过第四象限
C.关于x的不等式kx+b>4的解集为x<0
D.一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为2
C
解析 由题表可得一次函数的图象经过点(0,4),(2,0),将其代
入y=kx+b(k≠0)中,可得 解得 ∴一次函数的
关系式为y=-2x+4.∵k=-2<0,∴函数值y随x的增大而减小,故选
项A错误;
∵k=-2<0,b=4>0,∴函数图象经过第一、二、四象限,不经过
第三象限,故选项B错误;由题表可知当x=0时,y=4,又函数值y
随x的增大而减小,∴不等式kx+b>4的解集为x<0,故选项C正
确;由题表可得一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标为(0,
4),(2,0),∴函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积为 =
4,故选项D错误.
11.(★★☆)如图,一次函数y=kx+b(k>0)的图象过点(-1,0),则关
于x的不等式k(x-1)+b>0的解集是( )
A.x>-2 B.x>-1
C.x>0 D.x>1
C
解析 ∵一次函数y=kx+b的图象过点(-1,0),∴将一次函数y=
kx+b的图象向右平移1个单位长度后,得到的一次函数y=k(x-
1)+b的图象交x轴于点(0,0),∴当x>0时,一次函数y=k(x-1)+b的
图象在x轴上方,即k(x-1)+b>0,∴关于x的不等式k(x-1)+b>0的
解集为x>0.
12.(2025山东青岛崂山期中,★★☆)若一次函数y=kx+b的图
象如图所示,则关于x的不等式2kx+3b>0的解集是_________.
x>3
解析 由题图可知,一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标
为(2,0),把(2,0)代入y=kx+b,得0=2k+b,∴b=-2k.∵2kx+3b>0,
∴2kx+3×(-2k)>0,∴2kx>6k.由题图可得k>0,∴x>3,
∴关于x的不等式2kx+3b>0的解集是x>3.
13.(★★☆)如图,一次函数y=ax+b的图象为直线l,则关于x的
方程a(x- )+b=0的解为_____________.
x=2+
解析 ∵一次函数y=ax+b的图象经过点(2,0),∴一次函数y=
ax+b的图象向右平移 个单位长度后,交x轴于点(2+ ,0),
∴关于x的方程a(x- )+b=0的解为x=2+ .
14.【新课标·几何直观】(2025山东烟台莱州期末)如图所示,
在同一平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b1和y=kx+b的图象
分别与x轴交于点A,B,两直线交于点C.已知点A的坐标为(-2,
0),点B的坐标为(5,0),观察图象并回答下列问题:
(1)关于x的方程k1x+b1=0的解是______,关于x的不等式kx+b<0
的解集是_______.
(2)关于x的不等式组 的解集为_______.
(3)若点C的坐标为(2,6).
①求△ABC的面积.
②在y轴上找一点P,使得PB-PC的值最大,求P点的坐标.
解析 (1)由题意可知直线y=k1x+b1与x轴的交点坐标为(-2,0),
∴关于x的方程k1x+b1=0的解是x=-2.
∵函数y=kx+b中y随x的增大而减小,直线y=kx+b与x轴的交点
坐标为(5,0),∴关于x的不等式kx+b<0的解集是x>5.故答案为x
=-2;x>5.
(2)由图象可知关于x的不等式kx+b>0的解集为x<5,关于x的不
等式k1x+b1>0的解集为x>-2,∴关于x的不等式组 的
解集为-2(3)①∵A(-2,0),B(5,0),∴AB=7,
∵C(2,6),∴S△ABC= AB·yC= ×7×6=21.
②如图,设直线BC交y轴于点P,即直线y=kx+b与y轴的交点
为P,此时PB-PC的值最大,为BC的长,把B(5,0),C(2,6)分别代入
y=kx+b,得 解得 ∴y=-2x+10.令x=0,得y=10,
∴P(0,10).(共26张PPT)
第11章 一次函数
11.2 一次函数的图象及性质
第1课时 正比例函数的图象与性质
正比例函数的图象与性质
1.(2025湖南模拟)函数y=kx(k>0)的图象大致是 ( )
B
解析 ∵函数y=kx中k>0,∴y随x的增大而增大,∴选项A,C不
符合题意,∵图象经过原点,∴选项B符合题意.
2.(2025上海松江期末改编)已知正比例函数y=kx(k是常数,k≠
0),如果y随x的增大而减小,那么该正比例函数的图象经过
( )
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第一、四象限 D.第二、三象限
B
解析 ∵y随x的增大而减小,∴k<0,∴正比例函数y=kx(k是常
数,k≠0)的图象经过第二、四象限.
3.(2024上海普陀期末)已知正比例函数y=(k+2)x(k为常数,k≠
-2),如果y随x的增大而增大,那么k的值不可能是 ( )
A.-3 B.-1 C.0 D.2
A
解析 ∵正比例函数y=(k+2)x(k为常数,k≠-2)中,y随x的增大
而增大,∴k+2>0,解得k>-2,∵-3<-2<-1<0<2,∴k的值不可能是
-3.故选A.
4.(2025山西中考)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)都在正比例函数y=3x
的图象上,若x1A.y1>y2 B.y1 B
解析 ∵k=3>0,∴y随x的增大而增大,∴当x1选B.
5.(2025吉林松原前郭期末)如果正比例函数y=m 的图象经
过第二、四象限,那么m=_______.
-
解析 ∵函数y=m 是正比例函数,∴m2-1=1,且m≠0,解得m
=± .∵函数y=m 的图象经过第二、四象限,∴m<0,∴m=
- .
6.(2024上海中考)若正比例函数y=kx的图象经过点(7,-13),则y
随x的增大而_______.(填“增大”或“减小”)
减小
解析 ∵正比例函数y=kx的图象经过点(7,-13),∴-13=7k,解得
k=- <0,
∴y随x的增大而减小.
7.(2025福建福州期中改编)关于正比例函数y=- x,下列结论:
①图象经过原点;②y随x的增大而减小;③点 在函数y=- x
的图象上;④图象经过第二、四象限.其中正确的是________
(只填序号).
①②④
解析 当x=0时,y=- ×0=0,∴正比例函数y=- x的图象经过原
点,故①正确;∵k=- <0,∴y随x的增大而减小,故②正确;当x=2
时,y=- ×2=- ≠ ,∴点 不在函数y=- x的图象上,故③错
误;∵k=- <0,∴正比例函数y=- x的图象经过第二、四象限,
故④正确.
8.(2025北京朝阳日坛中学期中)已知点A(1,-2)在正比例函数y
=kx(k≠0)的图象上.
(1)求k的值.
(2)画出这个函数的图象.
(3)若-2≤x≤3,求y的取值范围.
解析 (1)∵A(1,-2)在正比例函数y=kx的图象上,∴-2=k×1,解
得k=-2.
(2)正比例函数y=-2x的图象如图所示.
(3)在函数y=-2x中,k=-2<0,∴y随x的增大而减小.当x=-2时,y=4,当x=3时,y=-6,∴当-2≤x≤3时,-6≤y≤4.
9.(2025河北沧州青县回民中学月考)已知函数y=x,y=-2x,y= x,
y=3x.
(1)在同一平面直角坐标系内画出函数的图象.
(2)观察这些函数的图象可以发现,随着|k|的增大,直线与y轴的
位置关系有何变化
(3)已知正比例函数y1=k1x,y2=k2x在同一
坐标系中的图象如图所示,则k1与k2的
大小关系为_______.
解析 (1)函数图象如图所示.
(2)观察这些函数的图象可以发现,随着|k|的增大,直线与y轴所
夹锐角变小.
(3)由(2)中的发现可知|k2|>|k1|,∵k1<0,k2<0,∴k1>k2.故答案为k1>k2.
10.(2025江苏苏州期末,★★☆)在y=k1x中,y随x的增大而减小,
k1k2<0,则在同一平面直角坐标系中,y=k1x和y=k2x的图象大致
为 ( )
B
解析 ∵在y=k1x中,y随x的增大而减小,∴k1<0,
∴函数y=k1x的图象经过第二、四象限,∵k1k2<0,
∴k2>0,∴函数y=k2x的图象经过第一、三象限.故选B.
11.【学科特色·多解法】(2025广东揭阳惠来期末,★★☆)如
图,三个正比例函数的图象对应的解析式分别是①y=ax,②y=
bx,③y=cx,下列用“<”表示a,b,c的不等关系正确的是 ( )
B
A.a解析 【解法一】根据正比例函数的图象与性质可知,a>0,
b>0,c<0,∵|k|的值越大,直线与y轴所夹锐角越小,∴b>a,∴b>
a>c,即c【解法二】作直线x=1,与三个函数图象分别交于点A,B,C,如
图所示,则点A的坐标为(1,b),点B的坐标为(1,a),点C的坐标为
(1,c),结合A,B,C三个点的位置可知c12.(2025上海浦东新区建平中学期中,★★☆)若关于x的函数y
=(k-1)x(k≠1),当自变量的取值每增加1时,函数值减少2,那么k
的值是_______.
-1
解析 ∵自变量的取值每增加1,函数值减少2,
∴k-1=-2,∴k=-1.
13.【学科特色·分类讨论思想】(2025安徽合肥五十中东校期
中,★★☆)已知正比例函数y=kx,当-4≤x≤4时,函数有最大值
3,则k的值为____________.
或-
解析 分两种情况:①当k>0时,y随x的增大而增大,∴当x=4时,
y=3,∴4k=3,解得k= ;②当k<0时,y随x的增大而减小,∴当x=-4
时,y=3,∴-4k=3,解得k=- .综上,k的值为 或- .
14.(2025山东临沂蒙阴三模,★★★)如图,点B,B1,B2,…在x轴
上,点A在y轴上,AC⊥y轴,BC⊥x轴,直线l1经过原点O和点C,点
A1是BC的中点,BB1= OB,A1C1⊥y轴,B1C1⊥x轴,直线l2经过点O
和点C1,点A2是B1C1的中点,B1B2= BB1,A2C2⊥y轴,B2C2⊥x轴,直
线l3经过点O和点C2,……,依此类推,若点C(4,8),则直线l5的解
析式为____________.
y= x
解析 ∵点C(4,8),∴OB=4,BC=8.根据题意可得A1B= BC=4,
BB1= OB=2,∴OB1=OB+BB1=4+2=6,∴C1(6,4).同理可得C2(7,
2),C3 ,C4 .设直线l5的解析式为y=kx(k≠0),把C4
代入,得 = k,解得k= ,∴直线l5的解析式为y= x.
15.(2025四川绵阳东辰学校期中,★★☆)如图,在平面直角坐
标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在
两坐标轴的正半轴上,OA=6,点B在直线y= x上.
(1)求点B的坐标.
(2)若点M是直线y= x上的任意一点,求线段CM的最小值.
解析 (1)∵四边形OABC是矩形,∴∠OAB=∠OCB=90°,BC=
OA=6,∴点B的纵坐标为6.在函数y= x中,把y=6代入,得 x=6,
解得x=8,∴B(8,6).
(2)由(1)得B(8,6),∴OC=8.在Rt△BOC中,由勾股定理,得OB=
=10.∵点M是直线y= x上的任意一点,∴CM的最小值就
是点C到OB的垂线段的长.设点C到OB的垂线段的长为h,
∵OB·h=OC·BC,∴h= = = ,
∴线段CM的最小值为 .
16.【新课标·几何直观】(2025黑龙江哈尔滨阿城期中)如图,
四边形ABCD是正方形,点B,C分别在直线y=2x和直线y=kx上,
点A,D是x轴上的两点.
(1)若OD=3,求点B的坐标.
(2)在(1)的条件下,求k的值.
(3)当正方形ABCD的边长变化时,
k的值______.(填“改变”或“不变”)
解析 (1)设正方形ABCD的边长为a.∵OD=3,∴OA=3-a,
∴B(3-a,a).又∵直线y=2x过B(3-a,a),∴2(3-a)=a,解得a=2,
∴3-a=1,∴B(1,2).
(2)∵B(1,2),∴AB=DC=BC=2,∴C(3,2).
又∵点C在直线y=kx上,∴2=3k,解得k= .
(3)不变.
详解:设正方形ABCD的边长为b,∴AB=CD=b.在直线y=2x中,
当y=b时,x= ,∴OA= ,∴OD= b,
∴C .将点C 代入y=kx,得 b·k=b,解得k= ,
∴k的值不变.(共23张PPT)
第11章 一次函数
11.3 一次函数与方程、不等式
第2课时 一次函数与二元一次方程(组)
一次函数与二元一次方程
1.(2025山东泰安岱岳期中)在下列图象中,直线上每个点的坐
标都符合二元一次方程2x-y=2的是( )
A
解析 ∵2x-y=2,∴y=2x-2.当x=0时,y=-2;当y=0时,x=1,∴一次
函数y=2x-2的图象与y轴交于点(0,-2),与x轴交于点(1,0),只有
选项A中的图象符合要求.
2.(2025广东梅州平远期末)若以二元一次方程x+2y-b=0的解
为坐标的点(x,y)都在直线y=- x+1上,则b的值为 ( )
A. B.2
C.-1 D.1
B
解析 由x+2y-b=0可得y=- x+ .∵以二元一次方程x+2y-b=0
的解为坐标的点(x,y)都在直线y=- x+1上,∴ =1,解得b=2,故
选B.
3.(2025山东济南市中期中)如图,直线y=2x与直线y=kx+b相交
于点P(m,2),则关于x的方程2x=kx+b的解是___________.
x=1
解析 ∵直线y=2x与直线y=kx+b相交于点P(m,2),∴2=2m,解
得m=1,∴P(1,2),∴关于x的方程2x=kx+b的解是x=1.
一次函数与二元一次方程组
4.(2025山东淄博高新区期末)小明用图象法解二元一次方程
组时,在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象,
如图所示,则所解的二元一次方程组是 ( )
A. B.
A
C. D.
解析 根据题意可知,直线l1经过点(-2,0),(2,4),设直线l1的解析
式为y=kx+b(k≠0),将(-2,0),(2,4)代入得 解得
∴直线l1的解析式为y=x+2,同理,直线l2的解析式为y=-x+6,
∴所解的二元一次方程组是
5.(2025山东青岛崂山期末)如图,已知一次函数y1=k1x+b的图
象经过点A(-3,4)和点B(-5,0),正比例函数y2=k2x的图象经过
点A,则关于x的不等式组0A.-4C.-5 C
解析 观察图象发现,当x>-5时,k1x+b>0,当x<-3时,k1x+b∴关于x的不等式组06.(2025山东济南历城期中改编)如图,直线y=-2x+2与直线y=kx
+b(k,b为常数,k≠0)相交于点A(-1,m),则关于x的不等式组0≤
-2x+2≤kx+b的解集为___________.
-1≤x≤1
解析 由-2x+2≥0,得x≤1,∵直线y=-2x+2与直线y=kx+b相交
于点A(-1,m),且当x≥-1时,直线y=-2x+2在直线y=kx+b的下方,
即-2x+2≤kx+b,∴关于x的不等式组0≤-2x+2≤kx+b的解集为
-1≤x≤1.
7.(2025山东聊城东昌府一模)如图,直线y=ax+2与直线y=3x+b
相交于点P,则关于x,y的方程组 的解为_________.
解析 由题图可知直线y=ax+2与x轴的交点坐标为(4,0),把(4,
0)代入y=ax+2,得0=4a+2,解得a=- ,∴y=- x+2,由题图可知点
P的横坐标为2,把x=2代入y=- x+2,得y=1,∴P(2,1),∴关于x,y
的方程组 的解为
8.【学科特色·教材变式】用图象法解方程组
解析 在同一平面直角坐标系中画
出函数y=-2x+4与函数y=- x-1的图象,
如图所示.
由图可知,两函数图象的交点坐标为(3,-2),
∴方程组 的解为
9.(2025山东烟台牟平期中)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n
相交于点P(1,b).
(1)求b的值.
(2)①不解关于x,y的方程组 请你直接写出它的解.
②不受原题意条件限制,若n≠1,则当m=_______时,关于x,y
的方程组 无解.
(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P
请说明理由.
解析 (1)将(1,b)代入y=x+1,得b=1+1=2.
(2)①∵点P的坐标为(1,2),
∴方程组 的解是
②当m=1时,方程组 无解.故答案为1.
(3)直线l3:y=nx+m经过点P.理由如下:
∵直线y=mx+n经过点P(1,2),∴m+n=2.
在y=nx+m中,当x=1时,y=n+m=2,∴直线l3:y=nx+m经过点P.
10.(2025山东威海环翠期中,★★☆)已知关于x,y的二元一次
方程组 无解,则一次函数y=kx+2的图象经过
( )
A.第一、二、四象限
B.第二、三、四象限
C.第一、三、四象限
D.第一、二、三象限
A
解析 ∵关于x,y的二元一次方程组 无解,
∴直线y=(2-k)x+1与直线y=(2k+5)x+3无交点,即两直线平行,
∴2-k=2k+5,解得k=-1,∴一次函数y=kx+2=-x+2,其函数图象经过
第一、二、四象限,故选A.
11.(2025山东济南长清期中,★★☆)一次函数y1=ax+b与y2=cx
+d的图象如图所示,下列说法:①ab<0;②若M(m1,n1),N(m2,n2)是
直线y1=ax+b上不重合的两点,则(m1-m2)(n1-n2)>0;③a+b>c+d;
④3a+b=3c+d;⑤当m>3时,am+b>cm+d.其中正确的是 ( )
B
A.①②
B.①③④
C.①④⑤
D.③④⑤
解析 观察题图可知a<0,b>0,∴ab<0,故①正确.观察题图可
知y1随x的增大而减小,∵M,N是直线y1上不重合的两点,∴当m
1>m2时,n10时,n1-n2<0,∴(m1-m2)(n1-n2)<0;当m1时,n1>n2,即m1-m2<0时,n1-n2>0,∴(m1-m2)(n1-n2)<0,故②错误.将x
=1分别代入y1和y2,得y1=a+b,y2=c+d,观察题图可知,点(1,a+b)在
点(1,c+d)的上方,∴a+b>c+d,故③正确.观察题图可知,当x=3
时,y1=y2,即3a+b=3c+d,故④正确.观察题图可知,在直线x=3的
右侧,直线y2在直线y1的上方,即当x>3时,cx+d>ax+b,∴当m>3
时,cm+d>am+b,故⑤错误.故选B.
12.【学科特色·分类讨论思想】(2024山东日照中考,★★☆)
已知一次函数y1=ax(a≠0)和y2= x+1,当x≤1时,函数y2的图象
在函数y1的图象的上方,则a的取值范围为_____________.
≤a<
解析 当函数y1与y2的图象平行时,a= ,当函数y1与y2的图象相
交于点 时,a= .∵当x≤1时,函数y2的图象在函数y1图象的
上方,∴ ≤a< .
13.【新课标·几何直观】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐
标原点,直线l1经过A(-6,0),B(0,3)两点,点C在直线AB上,点C的
纵坐标为4.
(1)求直线l1的函数表达式及点C的坐标.
(2)若直线l1的函数表达式为y1=k1x+b1,直线l2的函数表达式为y2
=k2x+b2,请直接写出满足y1>y2的x的取值范围.
(3)若点D为直线l1上一动点,且△OBC与
△OAD的面积相等,试求点D的坐标.
解析 (1)设直线l1的函数表达式为y=kx+b(k≠0),将A,B两点的
坐标代入y=kx+b,得 解得 ∴直线l1的函数表
达式为y= x+3,∵点C在直线AB上,点C的纵坐标为4,
∴令 x+3=4,解得x=2,∴C(2,4).
(2)x<2.
(3)∵B(0,3),∴OB=3,∴S△OBC= ×3×2=3,
∵A(-6,0),∴OA=6,设△AOD中AO边上的高为h,根据题意,得
S△AOD= ×6h=3,解得h=1,∴点D的纵坐标为1或-1.当y=1时, x+3
=1,解得x=-4,∴D(-4,1);当y=-1时, x+3=-1,解得x=-8,∴D(-8,-1).
故点D的坐标为(-4,1)或(-8,-1).(共12张PPT)
专项突破5 一次函数的图象与
字母系数的关系
由一次函数的图象判断字母系数的符号
1.(2025山东淄博高新区期末)已知一次函数y=kx-b的图象如
图所示,则k,b的取值范围为 ( )
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0
C.k<0,b<0 D.k<0,b>0
D
解析 根据题图可知,函数y=kx-b的图象过第二、三、四象
限,∴k<0,-b<0,∴b>0.
2.(2025山东济南市中泉海学校月考)若函数y=(k-1)x+(k-2)的
图象经过第一、三、四象限,则k的取值范围是 ( )
A.k>1 B.k>2
C.1 C
解析 由题意得,k-1>0且k-2<0,解得13.(2025山东青岛海信学校期中)已知一次函数y=(m-3)x+m-4
的图象不经过第二象限,则m的取值范围是 ( )
A.3≤m≤4 B.3≤m<4
C.3 D
解析 由题意得,一次函数y=(m-3)x+m-4的图象经过第一、三
象限或第一、三、四象限,∴m-3>0且m-4≤0,解得3选D.
由字母系数的符号判断一次函数的图象
4.(2025山东济宁任城一模)一次函数y=kx+b中,y随x的增大而
减小,且kb>0,则在平面直角坐标系内它的大致图象是 ( )
C
解析 一次函数y=kx+b中,∵y随x的增大而减小,∴k<0,∵kb>
0,∴b<0,∴函数的图象经过第二、三、四象限.故选C.
5.(2025山东济南市中期中)若a<-1,则一次函数y=(a+1)x+1-a
的图象可能是 ( )
D
解析 ∵a<-1,∴a+1<0,1-a>0,∴一次函数y=(a+1)x+1-a的图
象经过第一、二、四象限.故选D.
6.(2025山东潍坊高新区期末)一次函数y=kx+b的图象如图所
示,则一次函数y=bx+k的图象可能是 ( )
A
解析 ∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,∴k
<0,b>0,∴y=bx+k的图象经过第一、三、四象限,故选A.
7.(2025山东青岛实验初级中学一模)若实数a,b满足a2-2a+1+
=0,则函数y=ax+b的图象不经过第_____象限 ( )
A.一 B.二
C.三 D.四
D
解析 ∵a2-2a+1+ =0,∴(a-1)2+ =0,∴a-1=0,b-2=0,
∴a=1,b=2,∴函数y=ax+b的解析式为y=x+2,∴函数图象经过
第一、二、三象限,不经过第四象限.
两个一次函数图象的共存问题
8.(2025山东青岛大学附中期末)一次函数y=k(x-1)(k≠0)与y=
k(1-x)(k≠0)在同一平面直角坐标系内的大致图象是 ( )
D
解析 将一次函数y=k(x-1)(k≠0)变形为y=kx-k,将一次函数y=
k(1-x)(k≠0)变形为y=-kx+k,分两种情况考虑:①当k>0时,一次
函数y=k(x-1)(k≠0)的图象过第一、三、四象限,一次函数y=
k(1-x)(k≠0)的图象过第一、二、四象限;②当k<0时,一次函数
y=k(x-1)(k≠0)的图象过第一、二、四象限,一次函数y=k(1-x)(k
≠0)的图象过第一、三、四象限.故选D.
9.(2025山东济南商河期中)函数y1=mx+n和y2=nmx-n在同一平
面直角坐标系中的大致图象可能是 ( )
A
解析 选项A,直线y1=mx+n经过第一、三、四象限,∴m>0,n<
0,直线y2=nmx-n经过第一、二、四象限,∴nm<0,-n>0,即m>0,n
<0,符合题意.选项B,直线y1=mx+n经过第一、二、三象限,
∴m>0,n>0,直线y2=nmx-n经过第一、二、四象限,∴nm<0,-n>
0,即m>0,n<0,矛盾,不符合题意.选项C,直线y1=mx+n经过第
一、三、四象限,∴m>0,n<0,直线y2=nmx-n经过第二、三、四
象限,∴nm<0,-n<0,即m<0,n>0,矛盾,不符合题意.选项D,直线y1
=mx+n经过第一、二、三象限,∴m>0,n>0,直线y2=nmx-n经过
第二、三、四象限,∴nm<0,-n<0,即m<0,n>0,矛盾,不符合题意.
