(共18张PPT)
专项突破8 旋转中的常见模型
半角模型
1.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,D,E是斜边BC上两点,且∠DAE
=45°,将△ADC绕点A顺时针旋转90°后,得到△AFB,连接EF,
下列结论:①△AED≌△AEF;②∠FAD=90°;③BE+CD=DE;
④BE2+DC2=DE2.其中一定正确的是( )
A.①③ B.①②④ C.①②③ D.②④
B
解析 在Rt△ABC中,AB=AC,∴∠BAC=90°,∠ABC=∠C=45°,
∵∠DAE=45°,∴∠BAE+∠DAC=45°.由旋转得,∠BAF=
∠CAD,AF=AD,BF=CD,∠ABF=∠C=45°,∴∠FAD=∠BAC=
90°,∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠CAD+∠BAE=45°,∴∠EAF=
∠EAD,又AE=AE,∴△AEF≌△AED(SAS),∴EF=ED,①②正确.
由题意得∠FBE=∠FBA+∠ABC=90°,在Rt△BEF中,BE2+BF2=
EF2,∴BE2+DC2=DE2,④正确.在△BEF中,BE+BF>EF,∴BE+
DC>DE,③错误.
2.(2025山东潍坊期末)如图,在正方形ABCD中,AD=8,E为CD边上一点,DE=6,连接AE.AF平分∠BAE交BC于点F,连接EF,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,下列结论:①∠GAE=90°;
②AF平分∠GAD;③BF=6;④AE2=AF2+EF2.其中正
确的是 ( )
B
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
解析 ∵四边形ABCD是正方形,AD=8,∴AB=CB=CD=AD=8,
∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°.∵DE=6,∴CE=CD-DE=2,AE=
=10,由旋转得,∠GAE=90°,∠BAG=∠DAE,故①正
确.∵AF平分∠BAE,∴∠BAF=∠EAF,∴∠BAG+∠BAF=∠DAE+∠EAF,即∠GAF=∠DAF,∴AF平分∠GAD,故②正确.
如图,过F作FH⊥AE于点H,则∠AHF=∠ABF=90°,∠FHE=
∠C=90°.在△AHF和△ABF中, ∴△AHF≌
△ABF(AAS),∴AH=AB=8,HF=BF,∠AFH=∠AFB= ∠BFH,
∴ HE=AE-AH=10-8=2,∴HE=CE,在Rt△HEF和Rt△CEF中,
∴Rt△HEF≌Rt△CEF(HL),∴HF=CF,∠EFH=
∠EFC= ∠CFH,∴BF=CF= BC=4,故③错误.∵∠AFE=∠AFH
+∠EFH= (∠BFH+∠CFH)= ×180°=90°,∴AE2=AF2+EF2,
故④正确.故选B.
模型解读 常见的半角模型有“45°半角模型”和“60°半角模型”.下面展示正方形内45°半角模型:
如图,在正方形ABCD中,∠MAN=45°,连接MN,则有以下结论:
(1)MN=BM+DN;
(2)MA平分∠BMN,NA平分∠DNM.
鸡爪模型
3.如图,O是等边△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO
绕点B逆时针旋转60°得到线段BO',连接OO'.
(1)求OO'的长.
(2)求∠AOB的度数.
(3)求△AOB的面积.
解析 (1)∵将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO',
∴BO=BO',∠O'BO=60°,∴△OBO'是等边三角形,∴OO'=OB=4.
(2)连接O'A,如图.∵△ABC是等边三角形,∴AB=CB,∠ABC=
60°.∵∠OBO'=∠ABC=60°,∴∠O'BA=∠OBO'-∠ABO=
∠ABC-∠ABO=∠OBC.
在△BO'A和△BOC中, ∴△BO'A≌△BOC
(SAS),∴O'A=OC=5,∵AO2+O'O2=9+16=25=O'A2,∴△AOO'是
直角三角形,∠AOO'=90°,
∴∠AOB=∠AOO'+∠O'OB=90°+60°=150°.
(3)如图,过点B作AO的垂线,交AO的延长线于H,
∵∠AOB=150°,∴∠BOH=30°,∴BH= BO=2,
∴S△ABO= AO·BH= ×3×2=3.
模型解读 “鸡爪”模型常出现在等边三角形和等腰直角
三角形中,下面展示等边三角形中的情况:
如图,在等边△ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,若a2+b2=c2,则∠AOB
=150°.
费马点模型
4.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,P为△ABC
内部一点,则AP+BP+CP的最小值是_____________.
2 +2
解析 如图,将△APB绕点B逆时针旋转60°得到△A'P'B,连接
PP',A'C,则A'B=AB=BC=4,P'A'=PA,P'B=PB,∠P'BP=60°,
∴△P'BP是等边三角形,∴P'P=PB,∴PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC.当A',P',P,C四点共线时,P'A'+P'P+PC的值最小,即PA+PB+PC的值
最小,为A'C的长.过A'作A'D⊥CB,交CB的延长线于D.由旋转
可知∠A'BA=60°,∴∠1=30°,∵A'B=4,∴A'D=2,∴BD=2 ,
∴CD=4+2 .在Rt△A'DC中,由勾股定理,得A'C= =
= = =
2 +2 ,∴AP+BP+CP的最小值是2 +2 .
模型解读 费马点(到三角形三个顶点距离之和最小的点)模型:
作法:(1)分别以△ABC的三边为一边向外作等边三角形;(2)连
接所作的三个三角形最外面的顶点与原三角形ABC相对的顶
点(EA,FB,DC);(3)三线交于P点,则P为费马点.如图.
结论:(1)PA+PB+PC的值最小;
(2)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°.
手拉手模型
5.△ABC和△ADE都是等边三角形,当△ADE绕点A旋转到图1
所示的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA.
(1)请猜想线段PA,PB,PC之间的数量关系,并加以证明.
(2)将△ADE绕点A旋转到图2所示的位置时,其他条件不变,请
直接写出线段PA,PB,PC之间的数量关系,不需要证明.
解析 (1)PB=PA+PC.证明如下:
如图1,在BP上截取BF=PC,连接AF.∵△ABC和△ADE都是等
边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+
∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,∴△ABD≌△ACE
(SAS),∴∠ABD=∠ACE.∵AB=AC,BF=CP,∴△BAF≌△CAP
(SAS),∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,∴∠BAC=∠PAF=60°,
∴△AFP是等边三角形,∴PF=PA,∴PB=BF+PF=PC+PA.
(2)PC=PA+PB.
提示:如图2,在PC上截取CM=PB,连接AM.同(1)得△ABD≌
△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE.∵AB=AC,PB=CM,∴△AMC≌
△APB(SAS),∴AM=AP,∠BAP=∠CAM,∴∠BAC=∠PAM=60°,
∴△AMP是等边三角形,∴PM=PA,∴PC=PM+CM=PA+PB.(共30张PPT)
第12章 图形的平移与旋转
12.2 图形的旋转
旋转的概念
1.【新考向·生活情境】下列现象:①钟表指针的运动;②钟摆
的摆动;③汽车方向盘的转动;④汽车在笔直的公路上行驶,其
中属于旋转的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析 ①②③属于旋转,④属于平移,故选C.
2.(2025山东聊城莘县期末)如图,在△ABC中,∠ACB=72°,将
△ABC绕点C旋转得到△DEC.若点B,C,D在同一条直线上,则旋
转方向和旋转角的度数是( )
A
A.顺时针,108° B.逆时针,108°
C.顺时针,72° D.逆时针,72°
解析 ∵点B,C,D在同一条直线上,∴∠ACB+∠ACD=180°.
∵∠ACB=72°,∴∠ACD=180°-72°=108°.∵将△ABC绕点C旋转得到△DEC,∴旋转方向是顺时针,旋转角的度数是108°.
旋转的性质
3.【跨美术·剪纸】(2025江苏徐州贾汪期中)剪纸是我国民间
艺术之一,入选“人类非物质文化遗产”.如图所示的剪纸图
案由6个完全相同的基本图案组成,将其绕中心旋转一定角度
后,依然与原图形重合,则旋转的角度可以是 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
C
解析 360°÷6=60°,∴旋转的角度是60°的整数倍,只有选项C符合题意,故选C.
4.(2024四川自贡中考)如图,在平面直角坐标系中,D(4,-2),将
Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB的位置,则点B的坐标
为 ( )
A.(2,4) B.(4,2)
C.(-4,-2) D.(-2,4)
A
解析 ∵D(4,-2),∴OC=4,CD=2.由旋转的性质得OA=OC=4,
AB=CD=2,∴B(2,4).
5.(2025山东青岛市南期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将
△ABC绕点A逆时针旋转90°,得到△ADE,连接BD.若AC=2 ,
DE=1,则线段BD的长为 ( )
A. B. C.3 D.3
D
解析 由旋转的性质可得∠BAD=90°,BC=DE=1,AB=AD.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AB= =3,∴AD=AB=3,
在Rt△BAD中,BD= =3 ,故选D.
6.(2025山东聊城一模)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,
把△ABC绕点C逆时针旋转至△DEC处,DC∥AB,则∠1的大
小为___________.
60°
解析 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.
∵DC∥AB,∴∠BCD=180°-∠B=120°,∴∠ACD=∠BCD-
∠ACB=30°.由旋转的性质可知∠D=∠A=30°,
∴∠1=∠D+∠ACD=60°.
旋转作图
7.(2025山东淄博临淄期末)在如图所示的4×4的正方形网格
中,三角形①绕某点旋转一定的角度得到三角形②,则旋转中
心是( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
B
解析 如图,作三角形①和三角形②两组对应点所连线段的
垂直平分线,两条垂直平分线交于点B,则点B为旋转中心.故选
B.
8.(2025山东聊城临清期末)如图,在平面直角坐标系中,△ABC
的三个顶点的坐标分别为A(1,0),B(2,-3),C(5,-1).
(1)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1,点A,B,C的
对应点分别为点A1,B1,C1,请画出△A1B1C1.
(2)将△ABC先向左平移5个单位长
度,再向上平移4个单位长度后得到
△A2B2C2,点A,B,C的对应点分别为
点A2,B2,C2,请画出△A2B2C2.
解析 (1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
9.(2024重庆中考A卷,★★☆)如图,在正方形ABCD的边CD上
有一点E,连接AE,把AE绕点E逆时针旋转90°,得到FE,连接CF
并延长与AB的延长线交于点G,则 的值为 ( )
A. B.
C. D.
A
解析 如图,过点F作FH⊥DC交DC的延长线于点H,∴∠H=
90°.∵四边形ABCD是正方形,∴∠D=90°,AD=DC,∵AE绕点
E逆时针旋转90°,得到FE,∴FE=AE,∠AEF=90°,∵∠DAE+
∠AED=90°,∠HEF+∠AED=90°,∴∠DAE=∠HEF.在△ADE和△EHF中, ∴△ADE≌△EHF(AAS),∴AD=
EH,DE=HF,∴EH=DC,∴DE=CH=HF,∴∠HCF=45°,∵DC∥
AB,∴∠G=45°.设CH=HF=DE=x,正方形ABCD的边长为y,则
CE=y-x,CF= x,CG= y,∴FG=CG-CF= (y-x),∴ = ,
故选A.
10.【学科特色·分类讨论思想】(2024四川雅安中考,★★☆)
如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,∠BAC=∠DAE=40°,将
△ADE绕点A顺时针旋转一定角度,当AD∥BC时,∠BAE的度数
是________________.
30°或150°
解析 ∵AB=AC,∠BAC=40°,
∴∠ABC=∠ACB= (180°-∠BAC)=70°.
①当点D在点A的左侧时,如图1所示.
∵AD∥BC,∴∠BAD=∠ABC=70°,
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=70°-40°=30°.
②当点D在点A的右侧时,如图2所示.
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=70°,
∴∠BAE=∠BAC+∠DAC+∠DAE=40°+70°+40°=150°.
综上,当AD∥BC时,∠BAE的度数为30°或150°.
11.(2025山东菏泽单县期末,★★☆)如图,在等边△ABC中,D
是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到
△BAE,连接ED,若BC=5,BD=4,则下列四个结论:①AE∥BC;
②∠ADE=∠BDC;③△BDE是等边三角形;④△AED的周长是9.
其中正确的结论是________(填序号).
①③④
解析 ∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC=5,∠ABC=∠C=∠BAC=60°.由旋转得,∠BAE=∠C=60°,AE=CD,BD=BE,∠DBE=
60°,∴∠BAE=∠ABC,△BDE是等边三角形,∴AE∥BC,故①
③正确.
∵∠ADE+∠BDE+∠BDC=180°,∠BDC=∠BAC+∠ABD>60°,
∠BDE=60°,∴∠ADE<60°,∴∠ADE≠∠BDC,故②错误.
∵△BDE是等边三角形,∴DE=BD=4,∴△AED的周长=AE+AD+
DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9,故④正确.
12.(2024山东潍坊中考,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,等
边三角形ABC的顶点A的坐标为(0,4),点B,C均在x轴上.将
△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C',则点C'的坐标为
____________.
解析 如图,过C'作C'F⊥AO于点F,由题意可得OA=4,
∵△ABC是等边三角形,AO⊥BC,∴AO是∠BAC的平分线,
∴∠BAO=∠OAC=30°,∴点B'在y轴上,OC= AC,在Rt△AOC中,
AO2+OC2=AC2,即16+ =AC2,解得AC= (舍负),∴AC'=AC
= ,∵AC'=B'C',C'F⊥AO,∴AF= AB'= AC'= ,∴C'F=
=4,OF=AO-AF=4- = ,
∴C'
.
13.(2024江苏苏州中考,★★☆)直线l1:y=x-1与x轴交于点A,将
直线l1绕点A逆时针旋转15°,得到直线l2,则直线l2对应的函数
表达式是______________.
y= x-
解析 如图所示,设直线l1与y轴交于点B,将x=0
代入y=x-1,得y=-1,∴点B的坐标为(0,-1).
将y=0代入y=x-1,得x=1,∴点A的坐标为(1,0),
∴OA=OB=1.∵∠AOB=90°,∴∠OBA=∠OAB=45°.设直线
l2与y轴交于点C,由题意知∠BAC=15°,∴∠OAC=45°+15°=
60°,∴∠OCA=30°,∴AC=2OA=2,∴OC= = ,则点C的坐标为(0,- ).设直线l2的函数表达式为y=kx+b,把点A(1,0)与C(0,- )代入,得 解得 ∴直线l2的函数表达式
为y= x- .
14.【新课标·推理能力】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
∠ACB=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到
△DEC,点A,B的对应点分别是点D,E.
(1)当点E恰好在AC上时,如图①,连接AD,求∠ADE的度数.
(2)若α=60°,点F是边AC的中点,如图②,连接BE,BF,DF,求证:
四边形BEDF是平行四边形.
(3)当AB=2,AC=4时,连接AE,AD,设△ADE的面积为S.在旋转
过程中,S是否存在最大值 若存在,求出S的最大值;若不存在,
请说明理由.
解析 (1)在Rt△ABC中,∠BAC=90°-∠ACB=60°,由旋转得
CA=CD,∠ECD=∠ACB=30°,∠EDC=∠BAC=60°,∴∠CAD=
∠CDA= (180°-∠ECD)=75°,∴∠ADE=∠CDA-∠EDC=15°.
(2)证明:∵在Rt△ABC中,点F是边AC的中点,
∴BF= AC=AF=FC,∵∠ACB=30°,∴∠BAC=60°,∴△ABF为
等边三角形,∴AB=BF,∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到
△DEC,∴∠EDC=∠BAC=60°,∠DCA=∠ECB=60°,CB=CE,
DE=AB,∴DE=BF=FC,△BCE为等边三角形,∴BE=EC,在△CFD
和△DEC中,
∴△CFD≌△DEC(SAS),∴DF=EC,∴DF=BE,
又∵BF=DE,∴四边形BEDF是平行四边形.
(3)S存在最大值,最大值为4+2 .
∵线段DE的长为定值,∴点A到DE的距离最大时,△ADE的面
积最大,∵∠DEC=∠ABC=90°,
∴当点A,C,E共线且点C在线段AE上(如图)时,S的值最大.
∵AB=2,AC=4,
∴在Rt△ABC中,BC= =2 ,∴EC=2 ,∴AE=AC+
EC=4+2 ,∵DE=AB=2,∴△ADE的面积= AE·ED= ×(4+
2 )×2=4+2 ,即S的最大值为4+2 .(共25张PPT)
专项突破9 一次函数与
几何图形的综合
一次函数与图形的平移综合
1.(2025山西太原模拟)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD
的顶点A(2,1),C(6,3),且AB∥x轴,可移动的直线l:y=2x+b从直
线l1:y=2x+1的位置出发,沿x轴正方向平移,平移距离为m,有以
下结论:①当m=2时,直线l的表达式为y=2x-3;②若矩形的四个
顶点平均分布在直线l的两侧,则1≤m≤6;③当m= 时,点D和
点B关于直线l对称.其中正确的有 ( )
B
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
解析 当m=2时,直线l的表达式为y=2(x-2)+1=2x-3,故①正确;
∵矩形ABCD的顶点A(2,1),C(6,3),且AB∥x轴,∴D(2,3),B(6,1),
由题意得直线l的表达式为y=2(x-m)+1=2x-2m+1,
∵矩形的四个顶点平均分布在直线l的两侧,
∴把A(2,1)代入y=2x-2m+1得1=5-2m,解得m=2,把C(6,3)代入y=
2x-2m+1得3=13-2m,解得m=5,∴2
线l的表达式为y=2x-6,把y=1代入y=2x-6,得x= ,
设直线l与AB的交点为M,则M ,
∴MB=6- = ,把y=3代入y=2x-6,得x= ,
设直线l与CD的交点为N,则N ,
∴DN= -2= ,连接DM,BN.
∵B(6,1),D(2,3),M ,N ,
∴DM= = ,BN= = ,
∴DM=BM=BN=DN,∴当m= 时,点D和点B关于直线l对称,故
③正确.综上,①③正确,故选B.
2.如图,在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD在第一
象限内,AD∥y轴,点A的坐标为(5,3),已知直线l:y= x-2.
(1)将直线l向上平移m个单位,使平移后的直线恰好经过点A,
求m的值.
(2)在(1)的条件下,平移后的直线与正方形的边BC交于点E,求
△ABE的面积.
解析 (1)设平移后直线的解析式为y= x+b(b≠-2),
∵直线y= x+b过点A(5,3),∴3= ×5+b,
∴b= ,∴平移后直线的解析式为y= x+ ,∴m= -(-2)= .
(2)∵四边形ABCD是边长为2的正方形,AD∥y轴,点A的坐标
为(5,3),∴点E的横坐标为5-2=3.把x=3代入y= x+ ,得y= ×3+
=2,∴点E的坐标为(3,2),∴BE=1,∴△ABE的面积= ×2×1=1.
一次函数与图形的轴对称综合
3.【跨物理·光的反射】(2025江苏连云港期末)如图,从光源A
发出的一束光,遇到平面镜(y轴)上的点B发生反射后,反射光
线BC交x轴于点C(-1,0),若光线AB所在直线满足的函数关系
式为y=- x+b,则b的值是 ( )
A. B.
C. D.
A
解析 如图,延长AB交x轴于点D,
根据光的反射原理可得∠ABE=∠CBO,
又∵∠ABE=∠DBO,∴∠CBO=∠DBO,
在△BOC和△BOD中,
∴△BOC≌△BOD(ASA),∴OC=OD,
∵C(-1,0),∴OC=1,∴OD=1,∴D(1,0),
∵点D(1,0)在直线y=- x+b上,
∴- ×1+b=0,解得b= .故选A.
4.(2025山东青岛大学附中期中)如图,在平面直角坐标系xOy
中,直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,点D在y轴的负半
轴上.若将△DAB沿直线AD折叠,点B恰好落在x轴负半轴上的
点C处.
(1)求AB的长.
(2)求点C和点D的坐标.
(3)在y轴上是否存在一点P,使得S△PAB=
S△OCD 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解析 (1)把x=0代入y= x+4,得y=4,∴B(0,4),∴OB=4.把y=0代
入y= x+4,得 x+4=0,解得x=-3,∴A(-3,0),∴OA=3.在Rt△AOB
中,由勾股定理得AB=5.
(2)设点D(0,m),由折叠可知AC=AB=5,CD=BD,∴点C的坐标为(-8,
0).由CD=BD可得82+m2=(4-m)2,解得m=-6,∴点D的坐标为(0,-6).
(3)存在.S△OCD= CO·OD= ×8×6=24,则S△PAB= S△OCD=8= ×|yB-
yP|×3= ×|4-yP|×3,解得yP= 或- .综上,点P的坐标为 或
.
一次函数与图形的旋转综合
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y= x经过点A,作AB⊥
x轴于点B,将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD,若点B
的坐标为(2,0),则点C的坐标为__________.
(5, )
解析 ∵点B的坐标为(2,0),∴OB=2,∵AB⊥x轴于点B,∴点A的横坐标为2,对于y= x,当x=2时,y=2 ,∴点A的坐标为(2,2 ),
∴AB=2 ,由勾股定理得OA= = =4,
∴OA=2OB,∴∠OAB=30°,∴∠AOB=60°,∵△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD,∴CB=AB=2 ,∠C=30°,∠ABC=60°,设AB与CD相交于点E(图略),∴∠BEC=90°=∠OBA,
∴CD∥x轴,在Rt△BEC中,BE= BC= ,∴点C的纵坐标为 ,
∵CE= =3,
∴点C的横坐标为3+2=5,∴点C的坐标为(5, ).
6.如图,在平面直角坐标系中,直线y=- x+4分别与x轴,y轴交于
点A,点B,将△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD.
(1)求直线CD的解析式.
(2)若点P是直线CD上一点,点Q是x轴上一点(点Q不与点O重
合),当△DPQ与△COD全等时,直接写出点P的坐标.
解析 (1)∵直线y=- x+4分别与x轴,y轴交于点A,点B,
∴A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4.
∵△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD,
∴△AOB≌△COD,∴CO=OA=3,OD=OB=4,∴C(0,3),D(-4,0).
设直线CD的解析式为y=kx+b,
由题意得 解得
∴直线CD的解析式为y= x+3.
(2)当△DPQ与△COD全等时,点P的坐标为 或(-8,
-3)或 .
详解:∵CO=3,OD=4,∴CD=5.
如图,①当∠DP'Q'=90°,且△P'Q'D≌△OCD时,DP'=OD=4,
DQ'=CD=5.
过点P'作P'H⊥x轴于点H,则 DQ'·HP'=S△DP'Q'=S△CDO= DO·CO,
即5HP'=3×4,∴HP'= ,∴P'的纵坐标为- .把y=- 代入y= x
+3,得- = x+3,解得x=- ,∴点P'的坐标为 .
②当∠DQP=90°,且△PQD≌△COD时,DQ=OD=4,PQ=CO=3,
∴点P的坐标为(-8,-3).
③当∠DP1Q1=90°,且△P1Q1D≌△OCD时,DP1=OD=4,P1Q1=
OC=3,DQ1=CD=5.过点P1作P1G⊥x轴于点G,∵ =S△CDO,
∴ DQ1·P1G= DO·CO,即5GP1=3×4,∴GP1= ,∴P1的纵坐标为
.把y= 代入y= x+3,得 = x+3,解得x=- ,∴点P1的坐标
为 .综上,当△DPQ和△DOC全等时,点P的坐标为
或(-8,-3)或 .
一次函数与多边形综合
7.【学科特色·一线三等角模型】如图,一次函数y=x+4的图象
与坐标轴分别交于A,B两点,点P,C分别是线段AB,OB上的点,
且∠OPC=45°,PC=PO,则点P的坐标为__________________.
(-2 ,4-2 )
解析 在y=x+4中,令x=0,则y=4,令y=0,则x=-4,
∴A(-4,0),B(0,4),∴AO=BO=4,
∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠ABO=45°,如图,过P作PD⊥
OC于D,则△BDP是等腰直角三角形,
∵∠PBC=∠OPC=∠OAP=45°,
∴∠PCB+∠BPC=135°=∠OPA+∠BPC,∴∠PCB=∠OPA,
在△PCB和△OPA中,
∴△PCB≌△OPA(AAS),∴BP=AO=4,
∴在Rt△BDP中,BD=PD=2 ,
∴OD=OB-BD=4-2 ,
∴点P的坐标为(-2 ,4-2 ).
8.如图,在平面直角坐标系中,点A,B分别在x轴,y轴上,线段OA,
OB的长(OA直线AB的交点,点D在线段OC上,OD=2 .
(1)求点C的坐标.
(2)求直线AD的解析式.
(3)P是直线AD上的点,在平面内是否存在点Q,使以O,A,P,Q为
顶点的四边形是菱形 若存在,请写出点Q的坐标;若不存在,请
说明理由.
解析 (1)解方程组 得 ∵OA∴OA=6,OB=12,∴A(6,0),B(0,12).设直线AB的解析式为y=kx+
b(k≠0),则 解得
∴直线AB的解析式为y=-2x+12.联立 解得
∴点C的坐标为(3,6).
(2)设点D的坐标为(a,2a),∵OD=2 ,∴a2+(2a)2=(2 )2,解得a
=±2.∵点D在线段OC上,∴a=2,∴D(2,4).设直线AD的解析式
为y=mx+n(m≠0),把(6,0),(2,4)代入,得 解得
∴直线AD的解析式为y=-x+6.
(3)存在.设点P的坐标为(t,-t+6),如图1,当四边形AQOP是菱形
时,连接PQ,交OA于点E,则AP=OP,PQ⊥OA,∴PE=QE,OE=AE
= OA=3,
∴t=3,则-t+6=-3+6=3,
∴P(3,3),∴Q(3,-3).
对于y=-x+6,当x=0时,y=6,∴直线AD与y轴的交点坐标为(0,6),
如图2,当P(0,6)时,四边形OAQP为菱形,此时Q(6,6).如图3,当
四边形APQO是菱形时,AP=OA=6,∴(t-6)2+(-t+6)2=62,∴t=6-
3 或t=6+3 ,∴P(6-3 ,3 )或(6+3 ,-3 ),
∴Q(-3 ,3 )或(3 ,-3 ).
综上,点Q的坐标为(3,-3)或(6,6)或(-3 ,3 )或(3 ,-3 ).(共16张PPT)
第12章 图形的平移与旋转
12.3 图形的中心对称
第1课时 中心对称及其基本性质
中心对称及成中心对称
1.(2025山东威海文登月考)在正方形网格中,两个阴影三角形
关于点O成中心对称的是 ( )
A
解析 选项A中的一个阴影三角形绕点O旋转180°后,能够与
另一个阴影三角形重合,因此选项A中的两个阴影三角形关于
点O成中心对称.选项B,C,D中的两个阴影三角形不符合成中
心对称的定义.故选A.
中心对称的基本性质
2.(2025山东济南章丘二模)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=12,
AC=16,△A'B'C'与△ABC关于点O成中心对称,则B'C'的长为
( )
A.12 B.16 C.20 D.25
C
解析 在△ABC中,∠A=90°,AB=12,AC=16,∴BC=
= =20.∵△A'B'C'与△ABC关于点O成中心对称,
∴B'C'=BC=20.
3.(2025江苏徐州期末)如图,△ABC与△A'B'C'关于点O成中心
对称,则下列结论正确的是( )
①点A与点A'关于点O成中心对称;②BO=B'O;③AC∥A'C';
④∠ABC=∠C'A'B'.
A
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
解析 ∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称,∴OB=OB',点
A与点A'关于点O成中心对称,△ABC≌△A'B'C',∴∠ABC=
∠A'B'C',∠CAB=∠C'A'B',∴AC∥A'C',故①②③正确,④错误.
中心对称作图
4.(2025湖北恩施州巴东期中)如图,网格纸中的每个小方格都
是边长为1个单位长度的正方形,△ABC的顶点均在格点上,建
立平面直角坐标系后,点A的坐标为(1,1).
(1)以(-1,1)为对称中心,画出与△ABC关于该点成中心对称的
△A1B1C1.
(2)△A2B2C2可以看成是由△ABC向_______平移_______个
单位长度得到的,经探究发现,△A1B1C1和△A2B2C2成中心对称,
则对称中心的坐标为_______.
解析 (1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)△A2B2C2可以看成是由△ABC向下平移5个单位长度得到
的.如图,对称中心的坐标为(-1,-1.5).
5.(2025山东菏泽巨野期末,★☆☆)点P(2a+1,4)与P'(1,3b-1)关
于原点对称,则2a+b= ( )
A.-3 B.-2 C.3 D.2
A
解析 由题意得,2a+1=-1,3b-1=-4,∴a=-1,b=-1,
∴2a+b=2×(-1)+(-1)=-3.
6.(2025浙江杭州富阳三模,★★☆)如图,在正方形ABCG与正
方形CDEF中,点G是CF的三等分点,点H与点A关于点C成中
心对称,连接EG,BE,BH,DH.若S阴影=4,则BH的长为__________.
2
解析 设正方形ABCG的边长为a.∵点G是CF的三等分点,
∴CF=3CG,则正方形CDEF的边长为3a,∴BD=BC+CD=4a,FG=
FC-CG=2a.∵S阴影=S正方形ABCG+S正方形FCDE-S△FGE-S△BDE=4,∴a2+9a2-3a2-
6a2=4,解得a=2(负值舍去).如图,连接AC,CH,过点H作HM⊥
BD于点M.∵点H与点A关于点C成中心对称,∴A,C,H三点共
线,且AC=CH.∵∠ABC=∠HMC,∠ACB=
∠HCM,∴△ACB≌△HCM(AAS),
∴MH=AB=BC=CM=2,∴BM=4,
∴BH= =2 .
7.(2024江苏南京中考,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
O是AB上一点,△DEF和△ABC关于点O成中心对称,连接
AF,CD.
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形.
(2)若AC=4,BC=3,当四边形ACDF是菱形时,求AO的长.
解析 (1)证明:∵△DEF和△ABC关于点O成中心对称,
∴△DEF≌△ABC,∴DF=AC,∠FDE=∠CAB,
∴DF∥AC,∴四边形ACDF是平行四边形.
(2)如图,连接CF,易知CF与AD的交点为O.在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,AC=4,BC=3,∴AB= = =5.
∵四边形ACDF是菱形,∴CF⊥AD,∴S△ABC= AC·CB= AB·
CO,∴CO= ,∴AO= = = .(共12张PPT)
第12章 图形的平移与旋转
12.3 图形的中心对称
第2课时 中心对称图形
中心对称图形
1.(2024山东泰安中考)下面图形中,中心对称图形有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
解析 根据中心对称图形的定义可知,题图中的前3个图形都
是中心对称图形,故选C.
2.(2025山东中考)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称
图形的是 ( )
B
解析 根据中心对称图形与轴对称图形的定义可知,选
项A,C,D中的图形是轴对称图形,不是中心对称图形,选项B中
的图形既是轴对称图形,又是中心对称图形,故选B.
3.如图,方格纸中有三个格点A,B,C,要求作一个四边形,使这三
个点在这个四边形的边(包括顶点)上,且四边形的顶点均在格
点上.
(1)在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形.
(2)在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形.
(3)在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
解析 答案不唯一.
(1)如图甲,作出的平行四边形即为所求.
(2)如图乙,作出的等腰梯形即为所求.
(3)如图丙,作出的正方形即为所求.
4.(2025安徽芜湖无为期中,★★☆)如图所示的是4×4的正方
形网格,选择一空白小正方形涂色,使其与已涂色部分组成的
图形是中心对称图形的情况有 ( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
B
解析 如图,当把标有序号1或者2的小正方形涂色时,能够与
已涂色部分组成中心对称图形,共有2种情况,故选B.
5.(2025山东聊城东昌府教育集团三模,★★☆)如图,在平面直
角坐标系中,平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上,且
点B的坐标为(6,2),直线y=4x+1向右平移______个单位长度可
将平行四边形OABC的面积分为相等的两部分.
3
解析 ∵四边形OABC是平行四边形,点B的坐标为(6,2),
∴ OABC对角线交点的坐标为(3,1),∴当平移后的直线经过
点(3,1)时, OABC的面积被平分.令y=1,则1=4x+1,解得x=0,
∴直线y=4x+1过点(0,1),∴直线y=4x+1向右平移3个单位长度
可将 OABC的面积分为相等的两部分.
6.(★★☆)知识背景:过中心对称图形的对称中心的任意一条
直线都将这个图形分成面积相等的两部分.
(1)如图①,直线m经过平行四边形ABCD的对角线的交点O,分
别与AD,BC交于点E,F,则 _____ (填“>”
“<”或“=”).
(2)两个正方形按如图②所示的方式摆放,O为小正方形对角
线的交点,求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部
分.
(3)八个大小相同的小正方形按如图③所示的方式摆放,求作一条直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割).
图①
图②
图③
解析 (1)=.
(2)如图1所示.
(3)如图2所示.
图1
图2(共28张PPT)
第12章 图形的平移与旋转
12.1 图形的平移
第1课时 平移及其基本性质
平移的概念
1.(2025山东东营胜利五十八中月考)下列现象中不属于平移
的是 ( )
A.滑雪运动员在平坦的雪地上滑行
B.彩票大转盘在旋转
C.大楼电梯在上上下下
D.火车在笔直的铁轨上飞驰
B
解析 滑雪运动员在平坦的雪地上滑行、大楼电梯在上上下
下、火车在笔直的铁轨上飞驰都是平移现象,不符合题意.彩
票大转盘在旋转不属于平移现象,符合题意.故选B.
2.(2025山东临沂莒南期中)如图,△ABC沿BC方向平移a cm后
得到△A'B'C',已知BC=6 cm,BC'=17 cm,则a的值为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
B
解析 由题意得CC'=a cm,∵BC=6 cm,BC'=17 cm,
∴a+6=17,解得a=11.故选B.
平移的基本性质
3.(2025山东菏泽成武期中)如图,在矩形ABCD中,AC=13,AD=
12,则图中五个小矩形的周长之和为 ( )
A.34 B.36 C.25 D.17
A
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=90°.在Rt△ADC中,AC=
13,AD=12,∴DC= = =5.根据平移的性质
可知,题图中五个小矩形的周长之和等于大矩形的周长,∴题
图中五个小矩形的周长之和为2×(5+12)=34.
4.(2025河南南阳新野期末)如图,将△ABE向右平移得到△DCF,
如果△ABE的周长是18 cm,四边形ABFD的周长是22 cm,那么
△ABE平移的距离为( )
A.8 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm
D
解析 ∵△ABE的周长是18 cm,四边形ABFD的周长是22 cm,
∴AB+BE+AE=18 cm,AB+BE+EF+DF+AD=22 cm,由平移的性
质可知DF=AE,AD=EF,∴AD=EF= ×(22-18)=2(cm),则△ABE
平移的距离为2 cm,故选D.
5.(2025山东菏泽单县期末)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
AB=15 cm.将Rt△ABC沿BC方向平移8 cm,得到Rt△DEF.若
DO=5 cm,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.60 cm2 B.80 cm2 C.100 cm2 D.120 cm2
C
解析 由平移得,S△ABC=S△DEF,BE=8 cm,DE=AB=15 cm,∴S△ABC-
S△OEC=S△DEF-S△OEC,OE=DE-DO=10 cm,∴S阴影=S梯形ABEO=
=100(cm2),故选C.
6.(2025山东临沂平邑期末)如图,在直角三角形ABC中,∠BAC
=90°,将△ABC沿直线BC向右平移2 cm得到△DEF,连接AD,
AE,则以下结论:①AB∥DE;②EC=2 cm;③∠B=∠ADE;④DE
⊥AC.其中正确的结论有________(只填序号).
①③④
解析 由平移得,AB=DE,AB∥DE,AD∥BE,∴四边形ABED是
平行四边形,∠CGE=∠CAB=90°,∴∠B=∠ADE,DE⊥AC,故
结论①③④正确.由题意不能得到EC=2 cm,故结论②错误.
平移作图
7.(2025山东济宁兖州期中)如图,在边长为1个单位长度的小
正方形组成的网格中,点A,B,C均为网格线的交点,将△ABC向
下平移1个单位长度,再向右平移4个单位长度得到△A'B'C',点
A,B,C的对应点分别为A',B',C'.
(1)在图中画出平移后的△A'B'C'.
(2)△ABC的面积为_______.
(3)作AB边上的高CD.
(4)能使S△ABQ=S△ABC的格点Q(C点除外)共有_______个.
解析 (1)如图,△A'B'C'即为所求.
(2)S△ABC=5×7- ×5×7- ×2×6-1×2- ×1×3=35- -6-2- =8.
(3)如图,CD即为所求.
(4)如图,Q1,Q2,Q3,Q4即为所求,∴能使S△ABQ=S△ABC的格点Q(C点
除外)共有4个.
8.(★★☆)如图,一副三角板的直角边靠在一起,直角顶点重
合,现将等腰Rt△DBE沿BC向右平移一段距离,使顶点E恰好
落在△ABC的边AC上,若DB=9 cm,AB=15 cm,则平移的距离
为 ( )
A.5 cm B.3 cm
C
C.2 cm D.9 cm
解析 如图,过E作EF∥BC交AC于F,∴∠AEF=∠ABC=90°.由
题意可知,平移的距离为EF的长.在等腰Rt△DBE中,EB=DB=
9 cm.∵AB=15 cm,∴AE=AB-BE=6 cm.在Rt△AEF中,
∵∠A=30°,∴AF=2EF.∵AE2+EF2=AF2,∴62+EF2=(2EF)2,
∴EF=2 cm,∴平移的距离为2 cm,故选C.
9.(2025山东济南高新区期中,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=
90°,AB=4 cm,BC=5 cm,将△ABC沿着BC向右平移a cm(0得到△DEF,连接AD,则图中阴影部分的周长为_______cm.
12
解析 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=4 cm,BC=5 cm,∴AC=
3 cm.∵将△ABC沿着BC向右平移a cm(0∴AD=BE,DE=AB=4 cm,∴阴影部分的周长为AD+CE+AC+DE=
BE+CE+AC+AB=5+3+4=12(cm).
10.(2024甘肃临夏州中考,★★☆)如图,等腰△ABC中,AB=AC
=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边上的中线AD向下平移,使
A的对应点A'满足AA'= AD,则平移前后两个三角形重叠部分
(阴影部分)的面积是_________.
解析 ∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.
∵AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC.在Rt△ABD中,∵∠B=30°,
∴AD= ×2=1,∴BD= = ,AA'= AD= ,∴A'D=1- = .
如图,设A'B'与BD的交点为M,A'C'与CD的交点为N,由平移的
性质可知,A'M∥AB,∴∠A'MD=∠B=30°,
∴在Rt△A'DM中,A'M=2A'D= ,
∴MD= = = .
易知A'M=A'N,∴MN=2MD= ,
∴S重叠部分= × × = .
11.(2025湖北武汉东西湖期中改编,★★★)如图,在锐角△ABC中,
∠BAC=60°,将△ABC沿着射线BC方向平移得到△A'B'C'(平移后点A,B,C的对应点分别是点A',B',C'),连接CA',若在整个平移过程中,∠ACA'和∠CA'B'的度数之间存在2倍关系,则∠ACA'的度
数为____________________.
20°或40°或120°
解析 分情况讨论:
①当点B'在线段BC上时,如图,过点C作CG∥AB,
∴∠ACG=∠BAC=60°,
由平移的性质可知AB∥A'B',∴CG∥A'B',∴∠A'CG=∠CA'B',
当∠ACA'=2∠CA'B'时,设∠CA'B'=x,则∠ACA'=2x,∠A'CG=
∠ CA'B'=x,
∵∠ACG=∠ACA'+∠A'CG,∴2x+x=60°,解得x=20°,∴∠ACA'
=2x=40°.当∠CA'B'=2∠ACA'时,设∠CA'B'=x,则∠ACA'= x,
∠A'CG=∠CA'B'=x,同理可得,x+ x=60°,解得x=40°,
∴∠ACA'= x=20°.
②当点B'在线段BC的延长线上时,如图,过点C作CG∥AB,易
得∠ACG=∠BAC=60°,∠A'CG=∠CA'B',当∠ACA'=2∠CA'B'
时,设∠CA'B'=x,则∠ACA'=2x,∠A'CG=∠CA'B'=x,∵∠ACA'-
∠A'CG=60°,∴2x-x=60°,解得x=60°,∴∠ACA'=2x=120°.易知∠ACA'>∠CA'B',则∠CA'B'=2∠ACA'这种情况不存在.
综上所述,∠ACA'的度数可以为20°或40°或120°.
12.【新课标·推理能力】图形的操作过程如下(本题中长方形
的长均为a,宽均为b,a>b):
(1)在图①中,将线段A1A2向右平移1个单位长度到B1B2的位置,
得到封闭图形A1A2B2B1(阴影部分),则S阴影部分=_______.
(2)在图②中,将折线A1—A2—A3向右平移1个单位长度到B1—B2
—B3的位置,得到封闭图形A1A2A3B3B2B1(阴影部分),则S阴影部分=
_______.
(3)如图③,有一条弯曲的小路(小路任何地方的水平宽度都是
1个单位长度),请你猜想草地的面积为多少,并说明理由.
解析 (1)b.(2)b.
(3)草地的面积为ab-b.理由:由题意易得S长方形=ab,S小路=b,
∴S草地=S长方形-S小路=ab-b.(共14张PPT)
第12章 图形的平移与旋转
12.1 图形的平移
第2课时 图形的平移与坐标
图形的平移与坐标
1.(2025山东济南历下期中)在平面直角坐标系中,将点E(-2,0)
先向左平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到点E',
则点E'的坐标是 ( )
A.(0,4) B.(0,-4)
C.(-4,-4) D.(-4,4)
D
解析 由题意得,点E'的坐标为(-2-2,0+4),即(-4,4).
2.(2024安徽滁州期中)若将点A先向左平移1个单位长度,再向
上平移4个单位长度,得到点B(-3,2),则点A的坐标为 ( )
A.(-2,6) B.(-4,6)
C.(-2,-2) D.(-4,-2)
C
解析 将点B向下平移4个单位长度,再向右平移1个单位长度
可返回到点A处,∴点A的坐标为(-3+1,2-4),即(-2,-2),故选C.
3.(2024山东淄博中考)如图,A,B两点的坐标分别为(-3,1),(-1,
3),将线段AB平移后得到线段CD.若点A的对应点C的坐标为
(1,2),则点B的对应点D的坐标是__________.
(3,4)
解析 ∵点A(-3,1)的对应点C的坐标为(1,2),∴线段AB向右平
移了4个单位长度,向上平移了1个单位长度得到线段CD,∴点
B(-1,3)的对应点D的坐标为(-1+4,3+1),即(3,4).
4.(2025海南陵水模拟,★★☆)点M(-1,2)保持不动,将平面直角
坐标系先向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,在
新坐标系中点M的坐标为 ( )
A.(-3,1) B.(1,3) C.(1,-3) D.(-2,0)
A
解析 将平面直角坐标系先向右平移2个单位长度,再向上平
移1个单位长度,相当于将点M(-1,2)先向左平移2个单位长度,
再向下平移1个单位长度,∴点M(-1,2)的坐标变为(-1-2,2-1),即
(-3,1).故选A.
5.(2025山东临沂蒙阴三模,★★☆)已知m和n是整数,m<0,n>2,
在平面直角坐标系中,将点A(2m-4,n-3)向右平移10个单位,再
向下平移2个单位,得到点B.若点B位于第四象限,则点C(m,n)
的位置可能有 ( )
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
D
解析 由题意得,点B的坐标为(2m+6,n-5).∵点B位于第四象
限,∴ 解得
又∵m<0,n>2,m和n是整数,∴m的值可能是-2或-1,n的值可能
是3或4,∴点C的坐标可能是(-2,3),(-2,4),(-1,3),(-1,4),即点C(m,
n)的位置可能有4处.
6.(2024山东东营期末,★★☆)已知点P的坐标为(a,b)(a>0),点
Q的坐标为(c,2),且|a-c|+ =0,将线段PQ向右平移a个单位
长度,扫过的面积为24,那么a+b+c的值为 ( )
A.12 B.14 C.16 D.20
C
解析 ∵|a-c|+ =0,∴a-c=0,b-8=0,∴a=c,b=8,∴P(a,8),
Q(a,2),∴PQ=6,PQ垂直于x轴,
∵线段PQ向右平移a个单位长度,扫过的面积为24,∴a=4,
∴a=c=4,∴a+b+c=4+8+4=16,故选C.
7.(2025山东日照东港期末,★★☆)如图,△OAB的边OB在x轴
的正半轴上,点B的坐标为(6,0),把△OAB沿x轴向右平移4个单
位长度得到△CDE,连接AC,DB,若△DBE的面积为12,则
△ACB(阴影部分)的面积为_________.
6
解析 设A(m,n),由题意可知OB=6,∵把△OAB沿x轴向右平移
4个单位长度得到△CDE,∴OC=BE=4,∴BC=2,
∵S△DBE=12,∴ ×4n=12,∴n=6,
∴S△ACB= ×2×6=6.
8.【学科特色·分类讨论思想】(2025山东济宁鱼台期中,★★
☆)在由边长为1的小正方形组成的网格中,建立适当的平面
直角坐标系.如果从一个格点出发,先向右平移1个单位长度,
再向上平移2个单位长度,称为一次上平移;如果从一个格点出
发,先向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,称为一
次下平移.若点A从格点(2,3)出发,连续两次平移到达点B,则点
B所有可能的坐标是_________________________.
(4,7)或(6,1)或(5,4)
解析 由题意可知,当连续两次平移都是上平移时,点B的坐
标为(2+1+1,3+2+2),即(4,7).当连续两次平移都是下平移时,点
B的坐标为(2+2+2,3-1-1),即(6,1).当先上平移,后下平移时,点B
的坐标为(2+1+2,3+2-1),即(5,4).当先下平移,后上平移时,点B
的坐标为(2+2+1,3-1+2),即(5,4).综上所述,点B的坐标可能为
(4,7)或(6,1)或(5,4).
9.【学科特色·易错题】(2025山东滨州无棣二中月考,★★★)
如图,在平面直角坐标系中,第一象限内有两点P(m-4,n),Q(m,n
-3),将线段PQ平移,使点P,Q分别落在两条坐标轴上,则点P平
移后的对应点的坐标是_________________.
(0,3)或(-4,0)
解析 设点P,Q平移后的对应点分别是P',Q'.分两种情况:①P'
在y轴上,Q'在x轴上,则P'的横坐标为0,Q'的纵坐标为0,∴点P'
的纵坐标为n-(n-3)=3,∴点P平移后的对应点的坐标是(0,3);
②P'在x轴上,Q'在y轴上,则P'的纵坐标为0,Q'的横坐标为0,
∴点P'的横坐标为m-4-m=-4,∴点P平移后的对应点的坐标是
(-4,0).综上可知,点P平移后的对应点的坐标是(0,3)或(-4,0).
易错警示 有两种情况:①平移后点P的对应点落在y轴上,点
Q的对应点落在x轴上;②平移后点P的对应点落在x轴上,点Q
的对应点落在y轴上.本题容易漏解.(共32张PPT)
第12章自主检测
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2024山东潍坊中考)下列著名曲线中,既是轴对称图形也是
中心对称图形的是( )
C
解析 根据轴对称图形以及中心对称图形的定义知,选项C中
的图形既是轴对称图形也是中心对称图形.
2.(2025山东济宁梁山期中)在平面直角坐标系中,点A(-2 025,2 024)与点B关于原点对称,则点B的坐标为 ( )
A.(-2 025,2 024) B.(2 025,-2 024)
C.(2 025,2 024) D.(-2 025,-2 024)
B
解析 关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数.
∵点A(-2 025,2 024)与点B关于原点对称,
∴点B的坐标为(2 025,-2 024).
3.(2025山东临沂蒙阴期末)下列图形中,△ABC能直接通过平
移得到△DEF的是 ( )
A
解析 选项A中的△DEF可由△ABC通过平移直接得到,选项
B中的△DEF不可由△ABC直接平移得到,选项C中的△DEF
可由△ABC旋转得到,不能直接平移得到,选项D中的△DEF
不可由△ABC直接平移得到,故选A.
4.(2025山东烟台栖霞期末)如图,在一块长14 m、宽6 m的长
方形场地上,有一条弯曲的道路,其余的部分为绿化区,道路的
左边线向右平移3 m就是它的右边线,则绿化区的面积是
( )
A.56 m2 B.66 m2 C.72 m2 D.96 m2
B
解析 根据平移的性质可得,绿化区的面积等于长为(14-3)m,
宽为6 m的矩形的面积,则绿化区的面积是(14-3)×6=66(m2),故
选B.
5.如图,在正方形网格中,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J均是网格线的交
点,△ABC与△DEF关于某点成中心对称,则对称中心是
( )
A.点G B.点H C.点I D.点J
C
解析 ∵△ABC与△DEF关于某点成中心对称,∴对应点B和
E的连线与对应点C和F的连线的交点I是对称中心(如图).
6.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,将△ABC绕点C逆时针旋转
得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,连接AD.当点A,D,E在
同一条直线上时,下列结论一定正确的是 ( )
A.∠ABC=∠ADC B.CB=CD
C.DE+DC=BC D.AB∥CD
D
解析 由题意得CD=CA,∠EDC=∠CAB=120°,∵点A,D,E在
同一条直线上,∴∠ADC=60°,∴△ADC为等边三角形,
∴∠DAC=60°,∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°,
∴∠BAD=∠ADC,
∴AB∥CD,故选D.
7.(2025山东济宁微山期中)如图,△ABC中,AB=BC= ,AC=2,
O是AC的中点.将△BCO绕点C旋转180°得△PCQ,连接AP,则
AP的长是( )
A.4 B. C.4 D.5
D
解析 在△ABC中,∵AB=BC= ,AC=2,O是AC的中点,∴AO
=CO=1,BO⊥AC,∴BO= = =4.∵将△BCO绕点C旋转180°得△PCQ,∴△BCO与△PCQ关于点C成
中心对称,∴∠Q=∠BOC=90°,CQ=OC=1,PQ=BO=4,∴AQ=
AC+CQ=3.在Rt△AQP中,由勾股定理,得AP= =
=5.
8.把一副三角板按如图①所示的方式放置,其中∠ACB=∠DEC
=90°,∠A=45°,∠D=30°,斜边AB=6,DC=7,把三角板DCE
绕点C顺时针旋转15°到△D1CE1的位置(如图②),连接AD1,则
AD1的长为 ( )
A.3 B.5 C.4 D.
B
解析 ∵∠ACB=∠DEC=90°,∠D=30°,
∴∠DCE=90°-30°=60°,∴∠ACD=90°-60°=30°.
∵旋转角的度数为15°,∴∠ACD1=30°+15°=45°.
设AB与CD1交于点O(图略),∵∠OAC=45°,
∴∠OAC=∠OCA=45°,∴∠AOC=90°,AO=CO,
∴△ACO是等腰直角三角形,易知CO=AO= AB= ×6=3,
∵D1C=DC=7,∴D1O=7-3=4,在Rt△AOD1中,AD1= =
=5.故选B.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2025山东泰安新泰期末)如图,点A(2,0),B(0,1),若将线段AB
平移至A1B1的位置,则ab的值是_________.
1
解析 ∵点B平移后纵坐标由1变为2,∴线段向上平移了1个
单位长度,∴b=1.∵点A平移后横坐标由2变为3,∴线段向右平
移了1个单位长度,∴a=1,∴ab=1.
10.(2025山东烟台莱阳期末)如图,A,B两点的坐标分别为(-3,
2),(-1,4),线段AB绕原点O按顺时针方向旋转后,点A的对应点
A'的坐标为(2,3),则点B的对应点的坐标是__________.
(4,1)
解析 ∵线段AB绕原点O按顺时针方向旋转后,点A的对应点
是点A'(2,3),∴线段AB绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到线
段A'B',如图所示,根据图形可知,点B的对应点B'的坐标为(4,1).
11.(2025山东青岛市北期末)将7个边长为1的小正方形按如图
所示的方式摆放在平面直角坐标系中,经过P点的一条直线将
这7个小正方形分成面积相等的两部分,则该直线对应的函数
表达式为______________.
y= x-
解析 设过点P且平分这7个小正方形面积的直线交x轴于点
M,如图所示,过点P作PN⊥x轴,垂足为N.∵直线PM平分这7个
小正方形的面积,∴S△PMN= +1= ,∴ MN×2= ,∴MN= ,
∴OM=ON-MN=5- = ,则点M的坐标为 .设直线PM对应的
函数表达式为y=kx+b(k≠0),将 ,(5,2)代入,得
解得 ∴直线PM对应的函数表达式为y= x- .
12.(2025山东泰安二模)如图,△ABC中,∠A=60°,AC=4,D为AB
边上一点,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C,点A'落在
线段BC上,此时A,C,B'三点也恰好共线,点D的对应点为D',连
接DD',则DD'的最小值为__________.
2
解析 如图,连接CD,CD',由题意得CD=CD',∵A,C,B'三点共线,
∴∠ACB=∠A'CB'=90°,∴旋转角为90°,∴∠DCD'=90°,∵AC=4,∠A=60°,∴∠B=30°,∴AB=A'B'=2AC=8.在Rt△ABC中,由勾股定理得BC=B'C= = =4 ,∵CD=CD',
∠DCD'=90°,∴DD'= = DC,∴当DC的值最小
时,DD'的值最小,∴当CD⊥AB时,DC的值最小,即DD'的值最
小,此时S△ABC= AB·CD= AC·BC,∴CD=AC·BC÷AB=4×4 ÷8
=2 ,∴DD'= CD= ×2 =2 ,∴DD'的最小值为2 .
三、解答题(共40分)
13.(2025山东淄博桓台期末)(12分)如图,D是等边三角形ABC内
一点,将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE,连接CD,BE.
(1)求证:△AEB≌△ADC.
(2)连接DE,若∠ADC=96°,求∠BED的度数.
解析 (1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.
由旋转可得AE=AD,∠EAD=60°,∴∠BAC=∠EAD,∴∠BAC
-∠BAD=∠EAD-∠BAD,即∠CAD=∠BAE.在△AEB和△ADC
中, ∴△AEB≌△ADC(SAS).
(2)∵AE=AD,∠EAD=60°,∴△AED是等边三角形,
∴∠AED=60°.由(1)得△AEB≌△ADC,∴∠AEB=∠ADC=96°,
∴∠BED=∠AEB-∠AED=96°-60°=36°.
14.(12分)如图,在方格纸(每个小正方形的边长都是1个单位长
度)中建立平面直角坐标系,△ABC的顶点都在格点上,已知
A(0,2),B(2,2),C(1,1).
(1)将△ABC先向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长
度,得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1,并写出点C1的坐标.
(2)△ABC与△A2B2C2关于原点O成中心对称,请画出△A2B2C2,
并写出点B2的坐标.
(3)将△ABC绕点P按顺时针方向旋转90°后得到△A3B3C3,请直
接写出点P的坐标.
解析 (1)如图所示,△A1B1C1即为所求,点C1的坐标为(-3,0).
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求,点B2的坐标为(-2,-2).
(3)如图,点P的坐标是(-2,0).
15.(2024山东潍坊寒亭期末)(16分)如图,在△ABC中,AB=2,BC
=2 ,AC=4,点D为AC的中点,连接BD,将△ABC沿射线BD的
方向平移,使平移的距离等于线段BD的长,得到△EDF,连接BE.
(1)求平移过程中△ABC扫过的图形的面积.
(2)求证:AC垂直平分BE.
解析 (1)如图,连接AE,CF,设AD与BE交于点O.
由平移的性质可知,AE∥BD∥CF,AE=BD=CF,
∴四边形ABDE和四边形ACFE都是平行四边形.
∵AB=2,BC=2 ,AC=4,22+(2 )2=42,∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.
∵点D为AC的中点,∴BD= AC=AD=CD=2.
∴AB=BD,∴四边形ABDE是菱形,
∴AD⊥BE,OA=OD=1,∴OE=OB= = .
由平移的性质可知,平移过程中△ABC扫过的图形的面积=
△ABC的面积+ ACFE的面积= AB·BC+OE·AC=2 +4 =
6 .
(2)证明:由(1)知四边形ABDE是菱形,
∴AD垂直平分BE,∴AC垂直平分BE.
