2026年普通高中高三年级第一次模拟考试
数学
参考答案及评分标准
一、单项选择题
1.C2.A
3.B
4D5.D6.A7.C8.A
二、多项选择题
9.ABD
10.AD
11.ABD
三、填空题
12.3
13.②
14.3
10
四、解答题
15.(13分)
(1)设基础扎实学生达标为事件A,
ro-Gi
…2分
设基础一般学生达标为事件B,
=月
…4分
(2)恰有1人达标的概率P=P(A)P(B)+P(AP(B)=
…8分
(3)由(1)可知，基础一般的学生达标的概率为
从中抽取3人，XB(6,2)
…10分
B03×'-3
…3分
22
16.(15分)
(1)法一：
取AC中点为E,连接PE,BE,
.·PA=PC,AB=BC,,.PE⊥AC,BE⊥AC,
又PE∩BE=E,PE,BEc平面PBE,
…AC⊥平面PBE,…
…2分
又PBc平面PBE,∴AC⊥PB.
,'△ABC和△APC为等边三角形
.PE=BE,
:F为线段PB的中点
EFLPB,…
…3分
ACOEF=E
.平面ACFLPB…
…5分
:PBC平面PBC
.平面PBCL平面ACF…7分
法二：
连接AF,CF
:△ABC和△APC为等边三角形，
.PA=AB,PC=BC,
…1分
:F为PB中点
∴FA=FC,且AFLPB,CFLPB
…3分
.AFOCF=F
平面ACFLPB…
…5分
:PBC平面PBC
.平面PBC⊥平面ACF…7分
(2)在平面PBE内，过E作EB的垂线EG,以EA为x轴，EB为y轴，EG为=轴，
如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,V3,0),C(-1,0,0),…8分
'PE⊥AC,BE⊥AC,∠BEP为二面角P-AC-B的平面角
…9分
设∠BEP=B,则P(0,V3cos0,V3sin0,
G
CP=(1,V3cos0,V3sin),AB =(-1,3,0)
…11分
故cos2×281
B
力…13分
Bllcpl
c0s6G(舍)或c0s-…
2
…15分
17.(15分)
(1)因为an=4n2-5n+3,
所以△a=a1-a。=4(n+1)2-5(n+1)+3-(4n2-5n+3=8-l,…2分
令cn=8-l,则cn1-Cn=8(n+1)-H1-(8-l)=8,
所以{c}为等差数列，即{△a}为等差数列，
…4分
所以{an}为二阶等差数列.…
…5分
(2)①因为{a}为二阶等差数列，且4=0,42=1，a3=3,2026年普通高中高三年级第一次模拟考试
数学
时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名、准考证号，并核对
条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规
定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效.
第Ⅰ卷（选择题，共 58分）
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1. 若复数 满足 （ 虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知抛物线 的焦点为 F，点 A在 C上，若 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 在 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．已知 ， 的面
积为 ，则 的最小值为（ ）
A. 3 B. C. 6 D.
8. 已知函数 ，若存在实数 a，b，c满足 ，且 ，则
的取值范围是（ ）
A B. C. D.
二、选择题（本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对得 6分，部分选对得部分分，有选错得 0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量 X服从正态分布 ，则
B. 若随机变量 X服从二项分布 ，则 ，
C. 线性回归直线 不一定过样本中心点
D. 设两个随机变量的线性相关系数为 r，若 越接近于 1，则这两个随机变量的线性相关性越强
10. 已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 在 上单调递增
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ，则 的最小值为
11. 双曲线 可由以坐标原点为中心的曲线 绕其中心旋转一
定角度得到．现将曲线 绕原点旋转一定角度可得到双曲线
，其左右焦点分别为 和 ，点 P为曲线 C上一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线 是曲线 E的一条渐近线
B. 双曲线 C 离心率为 2
C. 若 与双曲线 C有四个交点，则
D. 以 为直径的圆与圆 相切
第Ⅱ卷（非选择题，共 92分）
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.）
12. 已知 ， ，且 ，则实数 ______________．
13. 已知 ， ，则 ________．
14. 一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上
底面各边的中点，已知最底层正方体的棱长为 ，将几何体放入半径为 的半球内，使得最下层正方体底面
中心在半球球心处，则该塔形几何体中正方体的个数最多为________．
四、解答题（本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15. 某高中使用AI学情诊断系统对学生数学薄弱知识点进行检测．根据前期学业数据，将学生分为基础扎
实与基础一般两类：基础扎实的学生，每道题答对的概率为 ；基础一般的学生，每道题答对的概率为 ．现
从这两类学生中各随机抽取 1人，每人连续独立完成 3道同类型试题，规定：至少答对 2道题，则判定为
“该知识点达标”．
（1）分别求基础扎实学生与基础一般学生单独检测一次达标 概率；
（2）求这两名学生中恰有 1人达标的概率；
（3）若从该校基础一般的学生中随机抽取 3人，记达标人数为 X，求 X的数学期望 ．
16. 在三棱锥 中， 和 均为等边三角形， ，点 为线段 的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若直线 与 所成角的余弦值为 时，求二面角 的余弦值．
17. 在数列 中，记 ，若 为等差数列，则称 为二阶等差数列．
（1）若 ，判断 是否为二阶等差数列？并说明理由；
（2）已知二阶等差数列 满足 ， ， ．
①求数列 的通项公式；
②若不等式 对 恒成立，求实数 k的取值范围．
18. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 ，点 是椭圆长轴上一个动点（不与椭圆中心 O和顶点重合），过点 作 轴的垂线交
椭圆于 P，Q两点，直线 与椭圆 交于另一点 ，直线 与椭圆 交于另一点 ．
①求 面积的最大值；
②直线 是否过定点？若是，求出这个定点；若不是，请说明理由．
19 已知函数 ．
（1）当 时，求 在点 处的切线方程；
（2）当 时，证明：对任意 ，都有 ；
（3）证明： ， .
