2025-2026学年苏科版七年级下册数学 第12章 定义 命题 证明 单元巩固练习（含答案）

第12章定义 命题 证明 单元巩固练习
一、单选题
1．用反证法证明“若，则”时，应首先假设（ ）
A． B． C． D．
2．命题“若，则”的逆命题是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．邻补角互补 B．若，则
C．全等三角形的对应边相等 D．若，则
4．下列定理没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应角相等
C．直角三角形两锐角互余 D．等腰三角形两底角相等
5．下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（ ）
①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立
A．①和②都正确 B．①和②都不正确
C．只有①不正确 D．只有②不正确
6．已知三条不同的直线在同一个面内，下列四个命题：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．用反证法证明：“在锐角中，若，则”，则应先假设（ ）
A． B． C． D．
8．用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．在多项式中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如，选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第轮“加括号操作”．以下说法：
存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等；
总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为；
对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果．其中正确的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．“直角相等”的逆命题是_________．
12．命题“如果两个角互补，那么它们是邻补角”，这个命题是______命题（填“真”或“假”）．
13．为了说明“如果，那么”是假命题，那么a，b可以取一组值是_________．
14．用反证法证明“菱形的对角线互相垂直”是真命题时，第一步应先假设______．
15．下列命题是真命题的是______（填序号）
①互为补角的两个角都是锐角；
②相等的角是对顶角；
③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
16．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的可以是________．
17．A，，，，五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是____________．
18．下列命题：
①若，则；
②若，则关于的方程的解为；
③若不论取何值，恒成立，则；
④若，满足，则的最小值为4．
其中，正确命题的个数有___ ．
三、解答题
19．用反证法证明：如果三个数之和为1，那么这三个数中至少有一个大于等于．
20．对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2．
(1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数．
(2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数．
21．如图，现有以下3个论断：①；②；③.请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
(1)你构造的是哪几个命题？
(2)你构造的命题是真命题还是假命题？请选择其中一个真命题加以证明．
22．（1）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一反例．
①两个锐角的和是锐角；
②0既不是正数，也不是负数．
（2）如图，已知钝角，点在射线上，画直线及，垂足为．

23．（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．
①先画出相应的图形，并判断命题的真假；
②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例．
（2）如图，已知，，，若，，将求的过程填写完整．
解：，
．
，
．
又，可解得（ ）．
，
．
，
．（ ）
又，可解得（ ）
（ ）．
24．如图①，在中，与的平分线相交于点P．
(1)若，则的度数是 ；
(2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索，之间的数量关系；
(3)如图③，延长线段，交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数是 ．
试卷第2页，共5页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C B D A D B B D
1．B
【详解】解：用反证法证明“若，则”时，应首先假设；
故选：B.
2．C
【详解】解：“若，则”的条件是“”，结论是“”，其逆命题是“若，则”．
故选：C．
3．C
【详解】解：A选项的逆命题：互补的角是邻补角．是假命题，如平行线中的同旁内角互补但不相邻，故此选项不符合题意；
B选项的逆命题：若，则．是假命题，如，但，故此选项不符合题意；
C选项的逆命题：对应边相等的三角形全等．是真命题，故此选项符合题意；
D选项的逆命题：若，则．是假命题，如时，，但，故此选项不符合题意．
故选：C ．
4．B
【详解】解：A．原命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，该逆命题为真命题，故A有逆定理，不符合题意；
B．原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，该逆命题为假命题，故B无逆定理，符合题意；
C．原命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，该逆命题为真命题，故C有逆定理，不符合题意；
D．原命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题为“两角相等的三角形是等腰三角形”，该逆命题为真命题，故D有逆定理，不符合题意．
故选：．
5．D
【详解】解：∵命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，
∴其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，
∴①正确，
∵如果两个角相等，这两个角不一定是对顶角，比如，等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角，
∴②不正确，
∴只有②不正确，
故选：．
6．A
【详解】解：①如果，那么，该命题是真命题；
②如果，那么，该命题是真命题；
③如果，那么，该命题是假命题；
④如果，，那么，该命题是真命题；
假命题有1个，
故选：A．
7．D
【详解】解：用反证法证明：“在锐角中，若，则”，
则应先假设，
故选：D．
8．B
【详解】解：根据题意，一共有6种命题组合，
①若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题；
②若，，则，∵，，∴，∴，即，故该命题是真命题；
③若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题；
④若，，则，∵，∴，即，∵，∴，∴，故该命题是真命题；
⑤若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题；
⑥若，，则，取，，满足，，但，故该命题是假命题，
故真命题一共有2个，
故选：B．
9．B
【详解】解：题目中说存在着一个式子第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等，
举出正例：选择进行“加括号操作”得到，
与原多项式相等，故说法正确；
总存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为，
∵无论选择哪两个字母，的正负是不发生改变的，
∴任何一轮“加括号操作”与原多项式相加是无法消去的，
∴存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为是错误的；
对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果，
举出反例：选择进行“加括号操作”，得到 ，
选择进行“加括号操作”，得到 ，
选择进行“加括号操作”，得到，
选择进行“加括号操作”，得到 ，
选择进行“加括号操作”，得到 ，
结果大于四种，故说法错误；
故选：．
10．D
【详解】根据题意可得，，
①如图1，当点落在边上时，
根据折叠性质可得，
∴，故①正确；
②如图2，当点落在内部时，
根据折叠性质可得
∴
，故②正确；
③如图3，当点落在上方时，；
根据折叠性质可得
∴
，故③正确；
④当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据折叠性质可得，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据折叠性质可得，，
∴，
∴，
∴；
综上或；故④正确；
故选：D．
11．相等的角是直角
【详解】解：原命题“直角相等”即“所有直角都相等”，其题设为“角是直角”，结论为“角相等”．
交换题设和结论后，得逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”，即“相等的角是直角”．
故答案为：相等的角是直角．
12．假
【详解】两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角；
如图1所示：
由图1可知：互为补角，但不满足邻补角的定义，
∴如果两个角互补，那么它们不一定是邻补角
即原命题为假命题
故答案为：假
13． （答案不唯一） （答案不唯一）
【详解】解：当时，有
但
故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）．
14．菱形的对角线不互相垂直
【详解】解：反证法证明“菱形的对角线互相垂直”是真命题时，第一步应先假设菱形的对角线不互相垂直，
故答案为：菱形的对角线不互相垂直．
15．④⑤
【详解】解：①互为补角的两个角的和是，这两个角不可能都是锐角，故①不符合题意；
②相等的角不一定是对顶角，故②不符合题意；
③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故③不符合题意；
④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，故④符合题意；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故⑤符合题意．
命题是真命题的是④⑤．
故答案为：④⑤．
16．（答案不唯一）
解：当时，，而，
所以命题“如果，那么”是假命题，
故答案为：（答案不唯一）．
17．，，
【详解】解：若A进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意；
若进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，．
故答案为：，，．
18．3
【详解】解：①若，则或，解得或，所以原命题为错误的命题；
②若，则当时，，
所以关于的方程的解为，所以原命题是正确的命题；
③，则
若不论取何值，恒成立，
则，，
可得，所以，原命题是正确的命题；
④
，
由绝对值几何意义，表示点x到1和5的距离之和，其最小值为4；
表示点y到1和3的距离差，其取值范围为，
要是，
则取最小值，取最大值，
此时的最小值为1，的最小值为3，
故的最小值为4，则该命题是正确的命题；
正确命题有②③④，有个，
故答案为：．
19．
【详解】假设，
根据不等式的基本性质，，这与矛盾，
假设不成立，
中至少有一个大于等于
20．
【详解】（1）解：∵，且52是4的倍数，
∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数；
∵，且112是4的倍数，
∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数；
（2）解：∵奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数，
∴经过有限步后奇数一定会变为偶数，
若偶数为4的倍数，则问题得证，
若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数），
当（k为整数），则，
，，
∴一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意；
当（k为整数），则，
，，，
，，
对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数，
设（p为整数），则，
，，，
同理要使不是4的倍数，则p一定是奇数，
如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数，
∴假设不存在4的倍数，那么要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，
∴假设不成立，
∴原结论正确．
21．(1)构造3个命题如下：条件是：①；②；结论是：③；条件是：①；③；结论是：②；条件是：②；③；结论是：①；
(2)构造的命题都是真命题，证明见解析
【详解】（1）构造3个命题如下：
条件是：①；②；结论是：③；
条件是：①；③；结论是：②；
条件是：②；③；结论是：①；
（2）条件是：①；②；结论是：③；此命题是真命题，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
条件是：①；③；结论是：②；此命题是真命题，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
条件是：②；③；结论是：①；此命题是真命题，
证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
22．
【详解】解：（1）①假命题，
反例：，但，是钝角，
②真命题．
（2）如图，，即为所求．
．
23．（1）①见解析，真命题；②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：．（2）①；②135；③；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120
【详解】解：（1）①如图，
命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”是真命题；
②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：．
证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴∴，
∴，
∴该命题是真命题．
（2）解：，
．
，
．
又，可解得．
，
．
，
．（两直线平行，内错角相等）
又，可解得
．
故答案为：①；②135；③；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120
24．
【详解】（1）解：在中，，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，之间的数量关系是：，理由如下：
，，，
，
点是和的角平分线的交点，
，
，
，
故，之间的数量关系是：；
（3）解：平分，平分，，
，，
，
即，
，
由（2）可知：，
，
，
如果在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么有以下四种情况：
①当时，则，
，
此时，
②当时，则，
，则，
此时，
③当时，则，
，
此时，
④当时，则，
，
，
此时，
综上所述，的度数是或或或，
故答案为：或或或．
答案第16页，共16页