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相交线与平行线 单元全真模拟测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 某小区车库门口的曲臂道闸升降杜如图所示， 垂直地面 于 A 点， 平行于地面 ， 若 ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，则下列正确的是( )
A． B． C． D．
3． 如图，先在纸上画两条直线a，b，使，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
5． 如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，∠1＝80°，∠2＝80°，∠3＝84°，则∠4＝（ ）
A．84° B．94° C．86° D．96°
7．在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线，、分别是、的平分线，那么与之间的大小关系一定为（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不等
9． 在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合
10．已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
A．74° B．72° C．70° D．68°
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 ，则的余角大小是 ．
12．如图，长方形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且ab，∠1＝50°，则∠2的度数为 ．
13．如图，，则 ．
14．如图，，，作射线，则 ．
15．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点、、、在同一条直线上，若，则的度数为 ．
16．如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图， 已知点 E、F 在直线 $AB$ 上， 点 G 在线段 CD 上， ED 与 FG交于点 H， ， .
（1） 求证： ；
（2） 若 ， ， 求 的度数.
18．如图，，，点，分别在直线，上，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）若，，求的度数．
19．已知，，E在线段BC延长线上，AE平分．连接DE，若．
（1）若，求的度数；
（2）若，探究DE与BE的位置关系，并说明理由．
20．如图，，于点P．
（1）若，请求出的度数；
（2）若，求证：．
21．如图，直线、、相交于点，，平分.
（1）请直接写出图中所有与互余的角： ；
（2）若，求与的度数.
22．如图，在中，，D、E是边上的点，，，相交于点．
（1）求证：
∵（__________）
__________（__________）
∵
________
又
（ ）
（2）若，请判断与的位置关系并说明理由．
23．在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系______（不用证明）；
（2）如图②，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，求的度数；
（3）在图①的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．求的度数．
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相交线与平行线 单元全真模拟测试卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 某小区车库门口的曲臂道闸升降杜如图所示， 垂直地面 于 A 点， 平行于地面 ， 若 ，则 的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点B作，如图所示：
则，
，；
∵，
，
，
，
；
故答案为：D
【分析】过点B作，根据平行公理及其推论得到则，进而根据平行线的性质得到，，从而结合垂直等量代换求出∠FBC的度数，从而即可得到∠BCD的度数.
2．如图，已知，则下列正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AB∥CD、∠2=100°，
∴∠1+∠2=180°，∠3=∠2=100°，∠4=∠2=100°，
则∠1=180°-∠2=80°，
故答案为：D．
【分析】根据两直线平行同位角、内错角相等，同旁内角互补即可求解。
3． 如图，先在纸上画两条直线a，b，使，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线b上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得：a//b，∠4=90°，
∴∠3=180°-∠4-∠2=180°-90°-50°=40°，
∵a//b，
∴∠1=∠3=40°，
故答案为：B.
【分析】先利用角的运算求出∠3=180°-∠4-∠2=180°-90°-50°=40°，再利用平行线的性质可得∠1=∠3=40°，从而得解.
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵水面与玻璃杯地面平行，
∴∠2+∠4=180°，
即∠4=180°-122°=58°.
∴两束折射后的光线也是互相平行，
∴∠1=∠3=55°.
∴∠3+∠4=55°+58°=113°.
故答案为：C.
【分析】根据平行的性质判断或计算出∠3与∠4的值，相加即可.
5． 如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵∠3=∠4，
∴BC∥AD，故A不符合题意；
B、∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，故B符合题意；
C、∵∠C=∠CDE，
∴BC∥AD，故C不符合题意；
D、∵
∴∴BC∥AD，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平行线的判定定理，对各选项逐一判断即可.
6．如图，∠1＝80°，∠2＝80°，∠3＝84°，则∠4＝（ ）
A．84° B．94° C．86° D．96°
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】由可得，根据平行线的性质可得，据此求解即可．
7．在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子，如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，依题意，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】先利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出，最后可得．
8．如图，直线，、分别是、的平分线，那么与之间的大小关系一定为（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．不等
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵、分别是、的平分线，
∴，，
∴，
∴与之间的大小关系一定为互余，
故答案为：B．
【分析】先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得，从而得解.
9． 在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
……，
以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行，
∵，
∴，
故答案为：B
【分析】先根据平行线的性质得到，进而结合平行线的判定证明即可得到，以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行，从而即可求解。
10．已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
A．74° B．72° C．70° D．68°
【答案】B
【解析】【解答】解：由折叠得：
∵四边形ABCD为长方形，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
即：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得到∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，进而得到：然后结合平行线的性质得到：进而即可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知 ，则的余角大小是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴的余角，
故答案为：．
【分析】根据和为90°的两个角互余解答即可．
12．如图，长方形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且ab，∠1＝50°，则∠2的度数为 ．
【答案】50°
【解析】【解答】解：作BF∥a，
∴∠3＝∠1＝50°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠4＝40°，
∵BF∥a，a∥b，
∴BF∥b，
∴∠5＝∠4＝40°，
∴∠2＝180°﹣∠5﹣90°＝50°，
故答案为：50°．
【分析】作BF∥a，由二直线平行，内错角相等，得到∠3＝∠1，利用长方形四个角都是直角得∠ABC＝∠BCD＝90°，由角的构成得到∠4＝40°，由平行于同一直线的两条直线互相平行得BF∥b，由二直线平行，内错角相等，得到∠5＝∠4，最后根据平角定义即可求解．
13．如图，，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】过点C作CF∥AB，可得到FC∥ED∥AB，利用平行线的性质可推出，据此可求出∠B+∠D的度数.
14．如图，，，作射线，则 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
如图所示，当点E在点C左侧时，
∵，
∴，
∴，
如图所示，当点E在点C右侧时，同理可得，则，
综上所述，的度数为或
故答案为：或．
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及应用，根据两直线平行，同旁内角互补，得到，分点E在点C左侧和右侧，两种情况讨论，利用平行线的性质，累成算式，即可求解.
15．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位摆放，点、、、在同一条直线上，若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据邻补角的性质求的度数，再根据平行线的性质求解即可．
16．如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则 ．
【答案】80°
【解析】【解答】解：过点作，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵的延长线恰好是的角平分线，
∴；
故答案为：.
【分析】过点作，过点作交于点，由二直线平行，同旁内角互补及垂直定义得出∠OAF=90°，由角的构成求出∠BAF=40°，由二直线平行，内错角相等，得∠BAF=∠HBA=∠DHB=40°；由平行于同一直线的两条直线互相平行得BG∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠DHB=∠PDN，再根据角平分线的定义可得∠MDN=2∠PDN，从而得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图， 已知点 E、F 在直线 $AB$ 上， 点 G 在线段 CD 上， ED 与 FG交于点 H， ， .
（1） 求证： ；
（2） 若 ， ， 求 的度数.
【答案】（1）证明：∵∠2=∠3
∴
∴∠C=∠DGF
∵∠C=∠1
∴∠DGF=∠1
∴
（2）解：∵与是对顶角
∴
在中，
∵
∴
∴
∵
∴
∵与是对顶角
∴
【解析】【分析】（1）首先根据内错角相等推出两直线，再利用平行线的性质进一步得到同位角∠C=∠DGF，然后等量代换出∠DGF=∠1，再一次利用内错角相等得到两直线；
（2）先根据对顶角相等将∠3放入中，然后利用三角形内角和定理求出，再利用平行线的性质求出，，最后再利用对顶角相等即可求出
18．如图，，，点，分别在直线，上，．
（1）与平行吗？请说明理由；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：．理由如下：
因为，
所以．
因为，
所以．
所以．
（2）解：因为，
所以．
因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质即可得，进而可知，根据平行线的判定即可证得；
（2）根据平行线的性质可得，进而结合已知条件可得到，由，得到，从而，再由平行线的性质即可求得的度数．
（1）解：．理由如下：
因为，
所以．
因为，
所以．
所以．
（2）解：因为，
所以．
因为，，
所以，
所以．
因为，
所以，
所以，
因为，
所以．
19．已知，，E在线段BC延长线上，AE平分．连接DE，若．
（1）若，求的度数；
（2）若，探究DE与BE的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，
∴设，，即，
∵，∴，
∵AE平分，∴，
∵，∴，，
又∵，，
∴，∴，∴．
（2）解：，理由如下：
∵，，∴，
∵AE平分，∴，
∵，∴，
∵，，
∴，
又∵，∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据，设，，，根据平行线的性质得出方程，求出即可．
（2）由，，可得，再由AE平分，可得，根据平行线的性质可得，从而得出，再由，可得，即可得出结论.
20．如图，，于点P．
（1）若，请求出的度数；
（2）若，求证：．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先证出，再利用平行线的性质可得，从而得解；
（2）利用，证出，再结合证出，从而可证出.
21．如图，直线、、相交于点，，平分.
（1）请直接写出图中所有与互余的角： ；
（2）若，求与的度数.
【答案】（1），，
（2）解：，
设，则.
平分，
，
，
即
.
.
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴∠BOF=90°，
∴∠BOM+∠MOF=90°，
∵∠AON=∠BOM，
∴∠AON+jiao5MOF=90°，
∵平分，
∴∠FOM=∠MOD，
∴∠MOD+∠AON=90°，
∴∠CON+∠AON=90°，
∴与∠AON互余的角有：，， ，
故答案为：，， 。
【分析】（1）利用角的运算、角平分线定义及余角的定义逐项分析判断即可；
（2）设，则，利用角平分线的定义可得，再结合可得求出x的值，再求解即可.
22．如图，在中，，D、E是边上的点，，，相交于点．
（1）求证：
∵（__________）
__________（__________）
∵
________
又
（ ）
（2）若，请判断与的位置关系并说明理由．
【答案】（1）已知，，两直线平行，同位角相等，，等量代换.
（2）解：，理由如下：∵，，
∴，，
∴．
【解析】【解答】解：∵（已知）
（两直线平行，同位角相等）
∵
又
（等量代换）
【分析】（1）根据平行线的性质以及判定，两直线平行，同位角相等，再结合题目给出的步骤和等量代换，即可解决；
（2）由，结合，求得，， 即可得到．
（1）解：∵（已知）
（两直线平行，同位角相等）
∵
又
（等量代换）
（2），理由如下：
∵，，
∴，，
∴．
23．在数学实践课上，老师让同学们借助“两条平行线和一副直角三角尺”开展数学活动．
（1）如图①，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点分别放在直线上，请用等式表示与之间满足的数量关系______（不用证明）；
（2）如图②，小明把三角尺角的顶点放在直线上，．若，求的度数；
（3）在图①的基础上，小亮把三角尺角的顶点放在点处，即．如图③，平分交直线于点，平分交直线于点．求的度数．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴.
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
【解析】【解答】（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用平行线的性质及等量代换可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，最后利用角的运算和等量代换求出即可；
（2）先利用平行线的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，再求出，从而可得；
（3）设，则，，先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得．
（1）解：，理由如下，
∵，
∴，即，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图所示，
∵小明把三角尺角的顶点放在直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∴；
（3）解：如图所示，
根据（1）可知，即，
已知小亮把三角尺角的顶点放在点处，即，
设，则，，
∵平分交直线于点，平分交直线于点，
∴，
∴，，
∵，
∴．
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