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三角形的证明 单元知识过关检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在下列条件下不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2． 如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（ ）.
A．5 B．6 C．7 D．8
3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角都是钝角或直角
4． 如图，在 ABCD中，AB＝8cm，AD＝5cm，AE和BF分别是∠BAD和∠ABC的角平分线，交CD于点E和点F，则线段EF的长度为（ ）
A．3cm B．2cm C．1cm D．2.5cm
5． （新情境·跨学科）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形.AB为的直径，其延长线与弦DC的延长线交于点E，.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，等边三角形ABC的边长为2，点在边BC上，延长CA至点，使，连接DE交AB于点，记，当x，y的值变化时，下列代数式的值保持不变的是（ ）
A．xy B． C． D．
7．（新情境·生活应用型）如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（ ）
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．以上都不对
8．由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
9．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形以此类推，第个黄金三角形的腰长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，若点在边长为等边三角形的边上移动，则的最小值是 ．
12．（新情境·生活应用型）近年来，随着大家对身体健康的重视，骑自行车健身渐渐流行开来．图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，，．则的度数为 ．
13．（新情境·学科迁移）如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为 ．
14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是
15．如图，，，，则
16．如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）已知，求．
18．如图，在中，是边上的高．
（1）若，请证明：；
（2）若，，点E是边上的中点，求的最小值．
19．（新情境·生活应用型）城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾斜角由降为，
已知原滑滑梯的高长为2米，点在同一水平地面上．求：
（1）改善后滑滑梯加长多少米？
（2）若滑滑梯的正前方有3米长的空地就能保证安全，原滑滑梯前有4.5米的空地，像这样的改造是否行？请说明理由．
20．如图，在中，，，点D在AB上，连接CD，BE为的高.
（1）尺规作图：作的角平分线交CD于点F；
（2）在（1）的条件下，若求证.
21． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
22．（新情境·材料阅读理解型）阅读小明和小红的对话，解决下列问题.
（1）这个“多加的锐角”是 °.
（2）小明求的是几边形的内角和？
（3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度？
23．如图1，在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程．
（1）要证直线AO垂直平分BC，只需证点A、点O都在BC的垂直平分线上，只需证 = ， = .
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）．
（3）如图3，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由．
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三角形的证明 单元知识过关检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在下列条件下不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：、由可得，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴设，，，
∴，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意；
、∵，
∴设，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴不是直角三角形，该选项符合题意；
、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，该选项不合题意；
故选：C．
【分析】本题选择不是直角三角形的是，那么就需明白，满足什么条件的三角形是直角三角形：有一个角是90°的三角形是直角三角形；两锐角互余的三角形是直角三角形以及三边满足两短边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形，只有C项不能满足以上三条任意一条.
2． 如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数是（ ）.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
由题意，得(n-2)·180°= 360°×2，
解得：n=6.
故答案为：B.
【分析】利用多边形内角和公式与外角和固定值的关系建立方程求解.
3．若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A．至少有一个角是钝角或直角 B．没有一个角是锐角
C．没有一个角是钝角或直角 D．每一个角都是钝角或直角
【答案】C
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中没有一个角是钝角或直角.
故答案为：C.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案.
4． 如图，在 ABCD中，AB＝8cm，AD＝5cm，AE和BF分别是∠BAD和∠ABC的角平分线，交CD于点E和点F，则线段EF的长度为（ ）
A．3cm B．2cm C．1cm D．2.5cm
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE
又∵AD//CB，
∴∠EAB=∠DEA
∴∠DAE=∠AED，
则AD=DE=5；
同理可得，CF=CB=5.
∴EF=DE+CF-DC=5+5-8=2.
故答案为：B.
【分析】由于平行四边形的两组对边互相平行，又AE平分∠BAD，由此可以推出所以∠BAE=∠DAE，则DE=AD=5，同理可得，CF=CB=5，而EF=CF+DE-DC，由此可以求出EF长.
5． 图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形.AB为的直径，其延长线与弦DC的延长线交于点E，.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵CE=CO，
∴∠AED=∠COE
∵CO=DO，
∴∠OCD=∠D
∵∠OCD=∠AED+∠COE
∴∠D=∠OCD=2∠AED，
∵∠AOD=∠AED+∠D=60°，
∴∠AED=20°，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解即可.
6．如图，等边三角形ABC的边长为2，点在边BC上，延长CA至点，使，连接DE交AB于点，记，当x，y的值变化时，下列代数式的值保持不变的是（ ）
A．xy B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：过点D作DH∥AC交AB于点H， 过点F作FP⊥AC于点P，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，且边长为2，
∴AB=BC=CA=2，
∠B=∠C =∠BAD=60°，
∵DH∥AC，
∴∠BDH =∠C =60°， ∠FDH =∠E，
∴∠B=∠BDH =60°，
∴△BDH是等边三角形，
∴BD = BH = DH = x，
，
在 和 中，
，
∴在 中，
由勾股定理得：
在 中， 由勾股定理得：
整理得：
∴代数式 的值保持不变，始终为
故答案为：C.
【分析】过点D作DH∥AC交AB于点H， 过点F作FP⊥AC于点P，证明△BDH是等边三角形得BD=BH = DH =x， 则AH =2-x，DH =BD =AE =x， 由此可判定△DHF和△EAF全等， 则DF = EF =y， 在Rt△AFP中， 根据∠AFP=30°得 ， 然后在Rt△EFP中， 由勾股定理得 整理得 据此即可得出答案.
7．如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（ ）
A．三条中线的交点处 B．三条角平分线的交点处
C．三条高线的交点处 D．以上都不对
【答案】B
【解析】【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使这个度假村到三条公路的距离相等，度假村应建在△ABC的三条角平分线的交点处，
故答案为：．
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，可得△ABC的三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，据此解答即可.
8．由下列尺规作图可得为等腰三角形，且的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】【解答】解：①根据作图得，故，符合题意；
②根据作图得，不符合题意；
③根据作图得
平分，，
∴，
∴，
∴，
因此③符合题意；
④根据作图得，不符合题意，
∴符合题意的有①③，
故答案为：C．
【分析】利用等腰三角形的定义及作图方法和步骤逐项分析判断即可.
9．如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
，
故①正确，符合题意；
②若，
∴，
∴，
∴，
而由已知条件无法证明，
故②错误，不符合题意；
③如图，延长至G，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
④如图，作的平分线交于点G，
由①得，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故④正确，符合题意；
故答案为：C．
【分析】首先根据三角形内角和求得，再根据角平分线的定义求得（）=60°，进一步根据三角形内角和定理，即可求得； 即可得出①正确；假定，即可得出，根据条件无法证明，故②不正确；如图，延长至G，使，连接，可根据SAS证明，从而得出，进一步得出，从而得出是等腰三角形，再根据EG=EC，即可得出，故而得出③正确；如图，作的平分线交于点G，可证明，，从而得出，进而得出，故而得出④正确，综上即可得出说法正确的由3个。
10．如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形以此类推，第个黄金三角形的腰长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：是第个黄金三角形，第个黄金三角形的腰长为，
，
，
是第个黄金三角形，
，第个黄金三角形的腰长是，
，
是第个黄金三角形，
，第个黄金三角形的腰长是，
，
第个黄金三角形的腰长是，
，
第个黄金三角形的腰长是，
第个黄金三角形的腰长是，
故答案为：．
【分析】由黄金三角形的定义得出，同理求出，，可得第一个黄金三角形的腰长为，从而推出第二个、第三个、第四个黄金三角形的腰长，得出规律第n个黄金三角形的腰长，即可得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，若点在边长为等边三角形的边上移动，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点作，交于点，
等边三角形，
，
，
，
在中，．
，点在边上移动，
，
当点与点重合时，取得最小值，
故答案为：．
【分析】过点作，交于点，根据等边三角形性质可得，则，根据勾股定理可得BD，根据垂线段最短即可求出答案.
12．近年来，随着大家对身体健康的重视，骑自行车健身渐渐流行开来．图1是某品牌自行车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，都与地面平行，与平行，，．则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，都与地面平行，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行公理的推论可证得，然后由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可求得和的度数，在△ABC中，根据三角形的内角和等于180°可求解．
13．如图，足球的表面是由12块正五边形的黑皮和20块正六边形的白皮围成的，将足球上的一块黑皮和与它相邻的一块白皮展开放平，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：正五边形外角和为，
每个外角为：，
同理：正六边形每个外角为：，
因此，
故答案为：．
【分析】
由于任意正多边形的外角和都是，则可分别求出正五边形和正六边形的一个外角度数，再求和即可．
14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．若，，则的面积是
【答案】30
【解析】【解答】解：如图，过点D作 于M，
由作图可知，AG平分
由角平分线性质可知
，
故答案为：30.
【分析】过点D作于M，由作图可知平分 ，进而由角平分线的性质可得 再根据三角形的面积公式计算即可求解.
15．如图，，，，则
【答案】140
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：140 ．
【分析】根据平行线的性质求出∠4的度数，然后根据邻补角求出∠5，然后根据三角形的外角解答即可．
16．如图，在等边△ABC中，，点E在边BC上，点F在△ABC的角平分线CD上，，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图：过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，如图所示：
∵为等边三角形，
∴，，
∵CD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
，
，
，
，
当A、G、E三个点在同一直线上时，的和最小，即最小，
的值最小为：．
故答案为：．
【分析】
如图，过点C作CG⊥AC，并截取CG=AC，连接EG，由等边三角形三线合一知CD平分，则，则根据“SAS”证明，则，等量代换得，显然当A、G、E三点共线时，的最小值即AG的长，由勾股定理求出AG的值即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，，，，与相交于点．
（1）求证：；
（2）已知，求．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，∴，
∵，，
∴，
∴，
则．
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到，然后利用ASA证明即可解题；
（2）根据全等三角形的性质得到，然后根据两直线平行，内错角相等得到，再利用外角解题即可．
（1）证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则．
18．如图，在中，是边上的高．
（1）若，请证明：；
（2）若，，点E是边上的中点，求的最小值．
【答案】（1）证明：∵，是边上的高．
∴，
∴
（2）解：延长到，使，连接，如图：
∵是边上的高，
∴是的垂直平分线，
∴，
即的最小值为，
，
，
∵ 点E是边上的中点，
，
，，
，
，
，
，
即最小值为．
【解析】【分析】
（1）根据等边对等角可得AB=AC，然后根据三角形的外角性质可得∠CAD=30°，最后根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半即可证明；
（2）延长到，使，连接，根据垂直平分线的判定和性质得出，再由题意得出A的最小值为，利用全等三角形的判定和性质得出，结合勾股定理即可求解．
19．城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾斜角由降为，
已知原滑滑梯的高长为2米，点在同一水平地面上．求：
（1）改善后滑滑梯加长多少米？
（2）若滑滑梯的正前方有3米长的空地就能保证安全，原滑滑梯前有4.5米的空地，像这样的改造是否行？请说明理由．
【答案】（1）解：∵（米）．
在直角三角形中，（米）．
在直角三角形中，
∴，
答：改善后滑滑梯加长米.
（2）解：在直角三角形中，，
∴
∴（米）．
在直角三角形中，．
∴（米）
∴（米）．
∵预计滑板改善后前面留的空地的长度应该是．
∴此方案是可行的．
【解析】【分析】（1）先利用含30°角的直角三角形的性质求出AD的长，再利用勾股定理求出AB的长，最后利用线段的和差求出答案即可；
（2）先利用含30°角的直角三角形的性质求出AD的长，再利用勾股定理求出DC的长，再利用线段的和差求解即可.
20．如图，在中，，，点D在AB上，连接CD，BE为的高.
（1）尺规作图：作的角平分线交CD于点F；
（2）在（1）的条件下，若求证.
【答案】（1）作图如下：
（2）∵，
∴
又∵，
∴
∵AF平分
∴
∴
∴，
∴
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图方法及步骤作出图形即可；
（2）先证出，再利用全等三角形的性质可得，，最后利用勾股定理及等量代换可得，从而得证.
21． 如图，在△ABC中，是的中点，，，垂足分别是、，且．
（1）求证：．
（2）连接AD，求证：AD⊥BC．
【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在Rt和中，
，
≌
；
（2）解：，
，
△ABC是等腰三角形，
是的中点，
是△ABC底边上的中线，
也是△ABC底边上的高， 即AD⊥BC
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定（HL）和性质，可得∠B=∠C；
（2）根据等腰三角形的判定和等腰三角形三线重合的性质，即可求证.’
22．阅读小明和小红的对话，解决下列问题.
（1）这个“多加的锐角”是 °.
（2）小明求的是几边形的内角和？
（3）若这是个正多边形，则这个正多边形的一个外角是多少度？
【答案】（1）30
（2）解：设这个多边形为n边形，由题意得：
，
解得：；
答：小明求的是12边形的内角和；
（3）解：正12边形的每一个外角都相等，而多边形的外角和始终为360°，
所以每一个外角为，
答：这个正多边形的每一个外角为30°
【解析】【解答】解：（1）12边形的内角和为（12-2）×180°=1800°，而13边形的内角和为（13-2）×180°=1980°，
由于小红说：“多边形的内角和不可能是1830°，你一定是多加了一个锐角”，所以这个“多加的锐角是1830°-1800°=30°，
故答案为：30；
【分析】（1）根据多边形的内角和的公式进行求解即可；
（2）根据多边形的内角和公式列方程求解即可；
（3）根据正多边形外角和为360°求解即可；
23．如图1，在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程．
（1）要证直线AO垂直平分BC，只需证点A、点O都在BC的垂直平分线上，只需证 = ， = .
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）．
（3）如图3，在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由．
【答案】（1）AB；AC；OB；OC
（2）解： 如下图，
（3）解：连接BD、CE交于点O，直线AO垂直平分CD，理由如下：
如下图所示：
∴在△ABC和△AED中
∴△ABC≌△AED（SAS）
∴AC=AD，∠ACB=∠ADE
∴∠ACD=∠ADC
∴∠ACD+∠BCD=∠ADE+∠ADC
∴∠BCD=∠CDE
∴在△BCD和△ECDA中
∴△BCD≌△ECD（SAS）
∴∠BDC=∠ECD
∴OC=OD
∴AO垂直平分CD
【解析】【解答】
解：（1）要证AO垂直平分BC，只要点A、点O都在BC的垂直平分线上，即AB=AC；OB=OC；
（2） 如图，连接BE、CD交于点O，延长AO交BC于点H，则直线AO为BC的垂直平分线
.
【分析】
本题考查线段垂直平分线的性质定理的逆定理、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的性质定理的逆定理是解题关键.线段垂直平分线的性质定理逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
（1） 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：只要AB=AC；OB=OC即可说明AO垂直平分BC；
(2) 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：连接BD、CE相交于点O，延长AO交BC于点H，则直线AO垂直平分BC，由此可得出答案；
（3） 根据线段垂直平分线性质定理的逆定理可知：连接BD、CE交于点O，则直线AO垂直平分CD，根据题中的已知条件和全等三角形的判定定理SAS可证得△ABC≌△AED，再根据全等三角形的性质定理：对应边相等，对应角相等可知：AC=AD，∠ACB=∠ADE，再根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠ACD=∠ADC，由等式的性质可知：∠BCD=∠CDE，再结合BC=DE和CD=CD，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△BCD≌△ECD，再根据全等三角形的性质定理：对应角相等可知：∠BDC=∠ECD，再根据等腰三角形的判定：等角对等边可知：OD=OC，由此可知直线AO为CD边的垂直平分线，由此可得出结论.
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