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相交线与平行线 单元综合培优测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，将沿射线向右平移6个单位得．若，则的长是（ ）
A．15 B．9 C．6 D．3
2．对一个四边形的特征描述如下：①有一组邻边相等；②对角线互相平分；③对角线互相垂直.选择其中两个特征作为题设，余下的特征作为结论组成三个命题，其中真命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．∠ACB＝∠ D．BC＝
5．如图，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，直线相交于点O，平分，若，则的度数是( )
A． B． C． D．
7．如图，下列条件中，能判定的有（ ）．
①；②；③；④．
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
8．光线在相同介质中的传播速度是相同的，在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的．如图，， ，则的度数为（ ）
A．129° B． C． D．101°
9．已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
A．74° B．72° C．70° D．68°
10．如图，AECF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②ACBG；③与∠DBE互余的角有2个；④若，则∠BDF=180° ，其中正确的是( )
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知，，，则 度．
12．如图，已知直线AD，BE，CF相交于点O，OG⊥AD，且∠BOC＝35°，∠FOG＝30°，则∠DOE＝ ．
13．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝36°，则∠2的度数为 度.
14．如图，，，，将沿着方向平移，得到，连接则阴影部分的周长为 ．
15．如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点，在上，连结，，，平分，平分，若，求的度数为
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，已知EF∥CD，∠1＋∠2＝180°．
（1）试说明：DG∥AC；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠BDC，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
18．如图，直线，相交于点，．
（1）若，判断与的位置关系；
（2）若，求的度数．
19． 如图，直线与相交于点O，为射线．
（1）写出与的邻补角；
（2）若，，求和的度数．
20．如图，平分．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若，求的度数．
21．如图，，交于点F，，垂足为E．
（1）若，求的度数；
（2）直接写出图中与互余的所有角．
22．如图，，，，点，，在同一条直线上．
（1）判断，的位置关系，并说明理由．
（2）若，求的度数．
23．某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，且a，b满足．假定这一带江堤是平行的，即，且．
（1）求a，b的值．
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作，交于点D，则在转动过程中，的值是否发生变化？若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围．
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相交线与平行线 单元综合培优测评卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，将沿射线向右平移6个单位得．若，则的长是（ ）
A．15 B．9 C．6 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：∵沿射线向右平移6个单位得，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】根据平移的性质得，由可得，利用线段的和差即可得到的长．
2．对一个四边形的特征描述如下：①有一组邻边相等；②对角线互相平分；③对角线互相垂直.选择其中两个特征作为题设，余下的特征作为结论组成三个命题，其中真命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】【解答】解：当①②为条件，③结论时，
∵ 四边形的对角线互相平分，
∴此四边形是平行四边形，
∵ 有一组邻边相等 ，
∴此四边形是菱形，
∴此四边形的对角线互相垂直
∴①②为条件，③结论是真命题；
当①③为条件，②结论时，
∵四边形对角线互相垂直和一组邻边相等，不能推出对角线互相平分，
∴①③为条件，②结论是假命题；
当②③为条件，①结论时，
∵∵ 四边形的对角线互相平分，
∴此四边形是平行四边形，
∵对角线互相垂直，
∴此四边形是菱形，
∴一组邻边相等，
∴②③为条件，①结论是真命题；
∴是真命题的个数为2个.
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当①②为条件，③结论时；当①③为条件，②结论时；当②③为条件，①结论时，利用菱形的判定和性质，可得到真命题的个数.
3．如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵两个平面镜平行放置，
∴经过两次反射后的光线与入射光线平行，
∴；
故答案为：C．
【分析】利用平角的定义可求出∠4的度数，再根据经过两次反射后的光线与入射光线平行，可内错角相等，即可动点∠3的度数.
4．如图，将三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．∠ACB＝∠ D．BC＝
【答案】C
【解析】【解答】解：∵三角形ABC沿OM方向平移一定的距离得到三角形，
∴，故A正确；
，故B正确；
∠ACB＝∠，故C错误；
BC＝，故D正确，
故答案为：C．
【分析】利用平移的性质：对应点的连线互相平行且相等，可对A、B作出判断；再根据平移前后的两个图形全等，利用全等三角形的性质可对C、D作出判断.
5．如图，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵直线AB∥CD，
∴∠BAC+∠1=180°，
∵∠1=55°，
∴∠BAC=180°-55°=125°，
又∵AD⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∴∠2=125°-90°=35°，
故答案为：30°．
【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出∠BAC，再根据AD⊥AC，利用角的和差求∠2的度数。
6．如图，直线相交于点O，平分，若，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵平分，
∴
∴
故选：C．
【分析】本题考查了邻补角，角平分线定义，由平分，得到，求得，结合，即可得到答案．
7．如图，下列条件中，能判定的有（ ）．
①；②；③；④．
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【解析】【解答】解：∵，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，故②不符合题意；
∵，
∴，故③符合题意；
∵，
∴，故④符合题意；
综上，①③④可判断，
故答案为：D．
【分析】利用同位角相等的两条直线平行、同位角相等的两条直线平行或同旁内角互补的两条直线平行的判定方法分析求解即可.
8．光线在相同介质中的传播速度是相同的，在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的．如图，， ，则的度数为（ ）
A．129° B． C． D．101°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】
根据光在水中是平行的线由平行线的性质：两直线平行时，内错角相等得；两直线平行时，同位角相等；两直线平行时，同旁内角互补，即可求解.
9．已知M，N分别是长方形纸条ABCD边AB，CD上两点（AM＞DN），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，EM交CD于点P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若∠1＝∠2，则∠CPM的度数为（ ）
A．74° B．72° C．70° D．68°
【答案】B
【解析】【解答】解：由折叠得：
∵四边形ABCD为长方形，
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
即：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得到∠AMN=∠NMP=∠1=∠2，∠CPM=∠HPM，进而得到：然后结合平行线的性质得到：进而即可求解.
10．如图，AECF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②ACBG；③与∠DBE互余的角有2个；④若，则∠BDF=180° ，其中正确的是( )
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【解析】【解答】解：∵CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，∠CBG+∠DBG=90°，
又∵∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，故①正确；
∵AECF，
∴∠ABC=∠BCG，
∵BC平分∠ACF，
∴∠ACB=∠BCG，
∵∠ABC=∠CBG，
∴∠CBG=∠ACB，
∴ACBG，故②正确，
∵AECF，
∴∠DBE=∠BDG，
∵∠ABC=∠CBG=∠ACB=∠BCG，∠DBE=∠DBG=∠BDG
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
故③错误，
∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=90°-∠BCG=90°-∠ACB，
又∵∠ACB=×（180°-α）=90°-，
∴∠BDF=180°-[90°-（90°-）]=180°-，故④正确，
综上，正确的有①②④．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，已知，，，则 度．
【答案】80
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先根据平行线的性质求得，再根据平行线的性质求得，然后利用平角的定义，求得．
12．如图，已知直线AD，BE，CF相交于点O，OG⊥AD，且∠BOC＝35°，∠FOG＝30°，则∠DOE＝ ．
【答案】25°
【解析】【解答】解：∵∠BOC与∠EOF是对顶角， ∠BOC＝35°，
∴∠EOF＝∠BOC＝35°，
∵OG⊥AD，
∴∠DOG＝90°．
∵∠FOG＝30°，
∴∠DOE＝90°－35°－30°＝25°．
故答案为：25°.
【分析】先利用对顶角的性质可得∠EOF＝∠BOC＝35°，再结合∠FOG＝30°，∠DOG＝90°，利用角的运算求出∠DOE＝90°－35°－30°＝25°即可．
13．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝36°，则∠2的度数为 度.
【答案】72
【解析】【解答】解：如图所示，
∵长方形的两条长边平行，，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1=∠4，∠4=∠5，再根据∠1=36°和折叠的性质，即可得到∠2的度数．
14．如图，，，，将沿着方向平移，得到，连接则阴影部分的周长为 ．
【答案】12
【解析】【解答】解：∵
∴由平移的性质可知：，
，
阴影部分周长，
故答案为：．
【分析】
根据平移的性质：平移不改变图形的形状和大小、经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等；即可得到，，，根据周长公式计算，得到答案．
15．如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵沿的方向平移距离得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
即图中阴影部分的面积为8．
故答案为：8．
【分析】本题考查了平移的基本性质，以及梯形的面积公式，其中平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，根据平移的性质，得到，结合阴影部分的面积梯形的面积，即可得到答案．
16．如图已知，，点为平面内一点，于，过点作于点，点，在上，连结，，，平分，平分，若，求的度数为
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，
即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
∴∠ABF=∠GBF ，
设∠DBE=m， ∠ABF=n，
则∠ABE=m，∠ABD=2m=∠CBG，∠GBF=n=∠AFB，∠BFC=4∠DBE=4m。
∴∠AFC=4m+n，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=4m+n.
在△BCF中，∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，
∴（2m+n）+4m+（4m+n）=180°，①
∵AB⊥BC，
∴n+n+2m=90°，②
由①、②联立方程组，得：
解得：m=°， n=°。
∴∠ABE=°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=°+90°=°.
故答案为：.
【分析】过点B作BH∥AM(点G在点B的右侧)， 设∠EBD=α， ∠ABF =β， 根据角平分线性质得∠EBA=∠EBD=α，∠ABD=2α，∠FBC=∠FBD=2α+β， 再根据三角形内角和定理及平行线性质求出∠CBH =2α，∠AFB =∠FBH =β， 根据AB⊥BC可得β=45°-α， 进而得到∠AFC=4α+β，证明∠FCB=∠AFC=4α+β， 由三角形内角和定理可得β+5α=90°， 由此得出 的度数，然后根据∠EBC =∠EBA+∠ABC即可得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．如图，已知EF∥CD，∠1＋∠2＝180°．
（1）试说明：DG∥AC；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠BDC，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）证明：∵ EF∥CD，
∴ ∠1＋∠ECD＝180°
又∵ ∠1＋∠2＝180°
∴ ∠2＝∠ECD
∴ DG∥AC；
（2）解：由（1）得：DG∥AC
∴∠BDG＝∠A，
∵DG平分∠CDB
∴∠2＝∠BDG＝40°，
∵AC∥DG，
∴∠ACD＝∠2＝40°
∵CD平分∠CAB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝80°.
【解析】【分析】（1）由二直线平行，同旁内角互补得到∠1＋∠ECD＝180°，结合已知，由同角的补角相等得出∠2＝∠ECD，再根据内错角相等，两直线平行即可得出GD∥AC；
（2）由二直线平行，同位角相等∠A＝∠BDG＝40°，由角平分线的定义得由∠2＝∠BDG＝40°，再由二直线平行，内错角相等得∠ACD＝∠2＝40°，最后角平分线的定义可求得∠ACB的度数．
18．如图，直线，相交于点，．
（1）若，判断与的位置关系；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：．理由如下：
因为，所以，
所以．
又因为，所以，
即，所以；
（2）解：由（1）知，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
【解析】【分析】（1）根据垂直定义，得到∠AOM=∠1+∠AOC=90°，结合已知，由等量代换及交的构成得∠CON=∠2+∠AOC=90°，进而根据垂直的定义即可求解；
（2）根据垂直定义，得到∠AOM=∠1+∠AOC=90°，结合已知可求出∠1=30°，进而可得，再根据平角定义求解即可.
（1）解：．
理由如下：因为，所以，
所以．
又因为，所以，
即，所以；
（2）解：由（1）知，
因为，所以，
所以，
所以，
所以．
19． 如图，直线与相交于点O，为射线．
（1）写出与的邻补角；
（2）若，，求和的度数．
【答案】（1）解：依题意，结合图形，的邻补角是和，
的邻补角是；
（2）解：，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义即可求出答案.
（2）根据对顶角性质可得，可得∠DOE=146°，再根据邻补角可得∠COE=34°，再根据即可求出答案.
20．如图，平分．
（1）判断与是否平行，并说明理由．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠CAE＝∠AEC，
∴∠BAE＝∠AEC，
∴AB∥CD.
（2）解：设∠F＝x，则∠BAC＝4∠F＝4x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝2x，
∵CD∥GF，
∴∠FED＝∠F＝x，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEF＋∠FED＝180°，即2x＋90°+x=180°，
∴x＝30°，
∴∠FED＝30°.
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE=∠CAE，结合已知推得∠BAE=∠CEA，根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（2）设∠F＝x，根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE＝2x，根据两直线平行，内错角相等可得∠FED＝∠F＝x，根据两直线平行，同旁内角互补可列出方程，解方程即可求解.
21．如图，，交于点F，，垂足为E．
（1）若，求的度数；
（2）直接写出图中与互余的所有角．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴都与互余．
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质求出，再利用直角三角形两锐角互余求出；
（2）根据（1）及对顶角相等的性质，得到，，即可得出结论．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，
即都与互余．
22．如图，，，，点，，在同一条直线上．
（1）判断，的位置关系，并说明理由．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解，理由如下：
，，
（2）解：
．
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据垂直定义可得，然后根据同位角相等得到结论即可；
（2）根据两直线平行，内错角相等得到，再利用垂直解答即可．
23．某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，且a，b满足．假定这一带江堤是平行的，即，且．
（1）求a，b的值．
（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作，交于点D，则在转动过程中，的值是否发生变化？若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围．
【答案】（1）解：，，，．
（2）解：设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当时，，解得：，
②当时，，解得：，
③当时，，解得：，则舍去．
综上所述，灯A转动15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行．
（3）解：不变．设灯A转动t秒，
，，
，，
，，．
【解析】【分析】(1)利用绝对值和完全平方式的非负性即可解决问题.
(2)分三种情况，利用平行线的性质列出方程即可解决.
(3)将∠BAC和∠BCD分别用t的代数式表示，然后在进行运算即可．
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