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实数 单元模拟演练卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列四个实数中，位于 3 和4之间的是（ ）
A． B． C．π D．
2．下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．比较4，，的大小，正确的是（ ）
A．4＜＜ B．4＜＜ C．＜4＜ D．＜＜4
4．平方根等于它本身的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．
5．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为，，且，则点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
6．一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（ ）．
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．9倍
7．下列说法错误的是（ ）
A．0.4的算术平方根是0.02 B．-4是16的一个平方根
C．5是(－5)2的算术平方根 D．的算术平方根是
8．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是（ ）
A． B． C． D．
9．求的最小值（ ）
A．12 B．6 C． D．3
10．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．设n为正整数，且，则n的值为 ．
12．比较大小： （填“>”、“<”或“=”）.
13．一个数的平方等于49，则这个数是 ．
14．如果，则 ．
15． 已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为a，则 ．
16．已知正数m的两个平方根是2a-1与2-a，则m的值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中：
①②③④⑤0 ⑥⑦
正实数集合{_____________________________________________…}；
无理数集合{_____________________________________________…}；
整数集合{_______________________________________________…}；
分数集合{_______________________________________________…}．
18．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分；
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
19．我们知道当时，也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）已知互为相反数，求的值．
20．（1）求出下列各数：
①﹣27的立方根 ；
②5的平方根 ；
③4的算术平方根 ．
（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上（可通过构造相应的直角三角形准确地找到无理数所对应的点），并用＜连接大小．
21．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请回答：
（1）的整数部分是______，小数部分是______．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
22．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的值．
23． 观察表格，回答问题：
… 0.01 1 100 10000 …
… 1 100 …
（1）表格中 ， ；
（2）从表格中探究与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则
②已知，若，用含的代数式表示，则
（3）试比较与的大小.
当 时，；当 时，；当 时，.
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实数 单元模拟演练卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列四个实数中，位于 3 和4之间的是（ ）
A． B． C．π D．
【答案】C
【解析】【解答】解：因为，，，，
∴位于3和4之间的数是．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的估算解答即可．
2．下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A．因为，则A选项符合题意；
B．因为，则B选项不符合题意；
C．因为，则C选项不符合题意；
D．因为，则D选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用立方根的性质，可对A作出判断；利用正数的算术平方根有两个，它们互为相反数，可对B作出判断；利用算术平方根的性质，可对C、D作出判断.
3．比较4，，的大小，正确的是（ ）
A．4＜＜ B．4＜＜ C．＜4＜ D．＜＜4
【答案】C
【解析】【解答】解：易得：4=＜且4=＞，
所以＜4＜
故答案为：C.
【分析】利用估算无理数的大小，可得到＜且＞进行比较，即可求解.
4．平方根等于它本身的数是（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵（-1）2=1，∴-1没有平方根，即此选项不符合题意；
B、∵02=0，∴0的平方根是0，即此选项符合题意；
C、∵（±1）2=1，∴1的平方根为±1，即此选项不符合题意；
D、∵（-1）2=1，∴-1没有平方根，即此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根，根据平方根定义可判断求解；
B、如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根，根据平方根定义可判断求解；
C、如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根，根据平方根定义可判断求解；
D、如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根，根据平方根定义可判断求解.
5．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为，，且，则点C所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 数轴上A，B两点表示的数分别为 -1，.
∴AB=-（-1）=+1.
∵AC=AB，
∴AC=+1，
又∵A点表示的数是-1，
∴C点表示的数是：-1-（+1）=-1--1=-2-.
故答案为：C.
【分析】先根据A、B表示的数，可以求出AB的距离，再根据AC=AB，点A表示的数是-1，点C在A点的左侧，可知点C比点A表示的数小（+1），也就是-1-（+1）=-1-.
6．一个正方体的体积扩大为原来的64倍，则它的棱长变为原来的（ ）．
A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．9倍
【答案】B
【解析】【解答】解：设原来的棱长为x，则体积为，
由题意可知，现在正方形的体积为，则棱长为，
∴棱长变为原来的4倍.
故答案为：B.
【分析】设原来的棱长为x，则体积为，根据正方体体积的计算公式以及立方根的定义求解，即可得到答案.
7．下列说法错误的是（ ）
A．0.4的算术平方根是0.02 B．-4是16的一个平方根
C．5是(－5)2的算术平方根 D．的算术平方根是
【答案】A
【解析】【解答】解：A、∵，∴ 0.4的算术平方根不是0.02，故此选项错误，符合题意；
B、∵(-4)2=16，∴-4是16的一个平方根，故此选项正确，不符合题意；
C、∵52=25，∴5是25的算术平方根，又∵(-5)2=25，∴5是(－5)2的算术平方根，故此选项正确，不符合题意；
D、∵，∴的算术平方根是，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据平方根、算术平方根的定义逐项分析即可得到答案.
8．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为25，则最后输出的y值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵25的算术平方根是5，5是有理数，
∴5的平方根是±，±是无理数，
∴输出y的值为，
故答案为：A.
【分析】利用算术平方根和平方根的计算方法及无理数的定义分析求解即可.
9．求的最小值（ ）
A．12 B．6 C． D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：当x＜2时，原式，
∵x＜2，
∴；
当2≤x≤6时，原式，
∵2≤x≤6，
∴；
当6＜x≤12时，原式=，
∵6＜x≤12，
∴；
当x＞12时，原式，
∵x＞12，
∴，
综上所述：当x=6时， 的最小值是，
故答案为：C.
【分析】利用分类讨论的思想和绝对值的意义化简求解即可。
10．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】A
【解析】【解答】∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，
b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016-（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，
c= = = = = ＜681，
∴b＜c＜a．
故答案为：A．
【分析】根据乘法分配律求出a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差和算术平方根可求c，再比较大小即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．设n为正整数，且，则n的值为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∵ n为正整数，且，
∴.
故答案为：3.
【分析】由，可得，结合题意即可确定n的值．
12．比较大小： （填“>”、“<”或“=”）.
【答案】＜
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ＜-2，
故答案为：＜.
【分析】根据估算无理数大小的方法估算出的范围，进而根据不等式的性质得出-的大小，据此进行比较.
13．一个数的平方等于49，则这个数是 ．
【答案】±7
【解析】【解答】解：
∴这个数是±7．
故答案为：±7．
【分析】本题考查了平方根。根据平方根的定义进行计算，注意一个非负数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数，计算即可。
14．如果，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】根据题意移项，进而直接开平方即可求解.
15． 已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为a，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴.
∴.
故答案为：.
【分析】估算出的范围，再得到a即可．
16．已知正数m的两个平方根是2a-1与2-a，则m的值为 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：∵正数m的两个平方根是与，
∴2a-1+2-a=0，
解得：a=-1，
∴2a-1=2×（-1）-1=-3，
∵，
∴m=9，
故答案为：9.
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，然后求出m的值即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．判定下列各数，并把下列各数前面的序号写入相应的集合中：
①②③④⑤0 ⑥⑦
正实数集合{_____________________________________________…}；
无理数集合{_____________________________________________…}；
整数集合{_______________________________________________…}；
分数集合{_______________________________________________…}．
【答案】②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥
【解析】【解答】解：，，
∴正实数集合{②，④，…}；
无理数集合{③，④，…}；
整数集合{②，⑤，⑦，…}；
分数集合{①，⑥，…}．
故答案为：②，④；③，④；②，⑤，⑦；①，⑥．
【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无限不循环小数称为无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．据此进行分类即可.
18．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分；
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴的平方根为
【解析】【分析】（1）根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小分别求出a、b、c的值即可；
（2）先将a、b、c的值代入计算，再根据平方根的定义求解即可．
（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∴的平方根为。
19．我们知道当时，也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）已知互为相反数，求的值．
【答案】（1）解：，
而且，，有，
结论成立；
即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．
（2）解：由验证的结果知，，
，
．
【解析】【分析】（1）用2与-2来验证即可．
（2）根据题的结论计算。
20．（1）求出下列各数：
①﹣27的立方根 ；
②5的平方根 ；
③4的算术平方根 ．
（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上（可通过构造相应的直角三角形准确地找到无理数所对应的点），并用＜连接大小．
【答案】（1）-3；；2
（2）解：如图所示
∴﹣3＜＜2＜．
【解析】【解答】解：（1）．
5的平方根：．
4的算术平方根：．
故答案为：，，2；
【分析】（1）根据立方根、平方根和算术平方根的定义直接写出即可；
（2）根据，故在数轴上作出直角△OAB，使直角边OA=2，AB=1， 根据勾股定理可得OB=，最后根据距离找到点，作好标注，并在标注上写出该点所表示的数，最后根据数轴上的点所表示的数，右边的数总是比左边的大即可比较大小得出答案.
21．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：
∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请回答：
（1）的整数部分是______，小数部分是______．
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知：，其中x是整数，且，求的相反数．
【答案】（1），；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，
∵，即，
∴的整数部分为，
∴
.
（3）解：，
∴的整数部分为，小数部分是，
∴，
∵，x是整数，且，
∴，，
∴，
∴，
∴的相反数为．
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，.
【分析】（1）参照题干中的计算方法分析求解即可；
（2）先参照题干中的计算方法求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）先参照题干中的计算方法求出x、y的值，再利用相反数的定义分析求解即可.
（1）解：∵，即，
∴的整数部分是，小数部分是，
故答案为：，；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，
∵，即，
∴的整数部分为，
∴
；
（3）解：，
∴的整数部分为，小数部分是，
∴，
∵，x是整数，且，
∴，，
∴，
∴，
∴的相反数为．
22．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，
则，
∴；
答：的值为2．
（3）解：∵与互为相反数，
∴，
∴，且，
解得：，
∴．
∴．
【解析】【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式计算即可；
（2）先判断m+1，m-1的符号，再去绝对值合并即可；
（3）先根据互为相反数的两数和为零，得出，再根据非负数的意义求出c、d的值，然后将c=2代入 计算即可.
23． 观察表格，回答问题：
… 0.01 1 100 10000 …
… 1 100 …
（1）表格中 ， ；
（2）从表格中探究与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则
②已知，若，用含的代数式表示，则
（3）试比较与的大小.
当 时，；当 时，；当 时，.
【答案】（1）0.1；10
（2）31.6；10000m
（3）；a=0或1；
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：0.1，10；
（2） ①；
故答案为：31.6；
②∵8.973×100=897.3，
∴，即b=10000m；
故答案为：10000m；
（3）∵ ，
∴，
∴，
即；
∵ ，
∴，
∴，
即a=0或1；
∵ ，
∴，
∴，
即.
故答案为：，a=0或1，.
【分析】（1）根据进行计算，即可得到答案；
（2） ①根据， ，即可得到答案；
② 根据8.973×100=897.3，得到，进而即可得到答案；
（3）分别计算 ， ，时a的取值范围，即可得到答案.
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