课件21张PPT。义务教育教科书（人教版）九年级数学下册 结束语成功，往往住在失败的隔壁！课件11张PPT。义务教育教科书（人教版）九年级数学下册 结束语 人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！课件19张PPT。义务教育教科书（人教版）九年级数学下册 结束语心灵激情不在，就可能被打败．课件21张PPT。义务教育教科书（人教版）九年级数学下册 结束语 在你内心深处，还有无穷的潜力，有一天当你回首看时，你就会知道这绝对是真的．课件19张PPT。义务教育教科书（人教版）九年级数学下册 结束语生命不是要超越别人，而是要超越自己．课件20张PPT。义务教育教科书（人教版）九年级数学下册 结束语只要有斗志，不怕没战场．课件19张PPT。义务教育教科书（人教版）九年级数学下册 结束语 不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力．课件22张PPT。义务教育教科书（人教版）九年级数学下册 结束语 人没有选择出生环境的权利，却有改变生活环境的权利．课件19张PPT。义务教育教科书（人教版）九年级数学下册 结束语当你停止尝试时，就是失败的时候．课件19张PPT。义务教育教科书（人教版）九年级数学下册 结束语最困难的时候，就是距离成功不远了．课件20张PPT。义务教育教科书（人教版）九年级数学下册 结束语再多一点努力，就多一点成功．课件20张PPT。义务教育教科书（人教版）九年级数学下册 结束语 凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！第二十八章章末复习
【学习目标】
1．进一步理解并掌握锐角三角形函数的意义，能用定义进行相关的计算．
2．熟记特殊角的三角函数值，能用计算器求任意锐角的三角函数值或利用锐角的三角函数值求相应角的度数．
3．能用解角直角三角形知识解决实际应用问题．
【学习重点】
能熟练运用所学知识解决具体问题．
【学习难点】
运用锐角三角函数解决实际应用问题．
情景导入 生成问题
知识结构我能建：
自学互研 生成能力
【自主探究】
1．请用计算器探索出锐角函数的函数值随自变量锐角从小到大的变化的情况，你有什么发现？
答：对于锐角A，它的正弦函数(sinA)的函数值随自变量锐角A的增大而增大，且sinA必须满足0
0.
2．试一试：若锐角A的余弦值cosA＝，则锐角A的取值范围是( C )
A．60°C．30°【合作探究】
1．利用锐角三角函数定义及勾股定理，你能证明sin2A＋cos2A＝1吗？你有何发现？
答：能，对于任意锐角A，总有sin2A＋cos2A＝1.
2．若∠A＋∠B＝90°，你能探索出tanA与tanB之间有什么关系吗？
答：若∠A＋∠B＝90°，则必有tanA·tanB＝1.
3．试一试：化简：＋－tan1°·tan11°·tan21°·tan31°·tan89°·tan79°·tan69°·tan59°.
解：原式＝＋－tan1°·tan89°·tan11°·tan79°·tan21°·tan69°·tan31°·tan59°＝1－sin23°＋sin23°－1＝0.
【自主探究】
如图，在半径为6cm的⊙O中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且∠D＝30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC＝6cm；③sin∠AOB＝；④四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是( B )
A．①③ B．①②③④ C．②③④ D．①③④
【合作探究】
如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点C，E是⊙O上一点，且∠BEC＝45°.
(1)试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BE＝8cm，sin∠BCE＝，求⊙O的半径．
解：(1)连接OC.∵∠BEC＝45°，∴∠BOC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠OCD＝∠BOC＝90°.∴OC⊥CD.又∵OC为半径，∴CD为⊙O的切线；
(2)连接AE.∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°.∵∠EAB＝∠BCE，sin∠BCE＝，∴sin∠EAB＝，∴＝，∵BE＝8，∴AB＝10，∴AO＝AB＝5.∴⊙O的半径为5m.
【自主探究】
九(1)班数学兴趣小组为了测量河对岸的两座古塔A，B的距离，他们在河这边沿着与AB平行的直线l取相距20m的C，D两点，测得∠ACB＝15°，∠BCD＝120°，∠ADC＝30°.如图所示，求古塔A，B的距离．
解：过点A作AE⊥l于点E，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F.设AE＝xm.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝15°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACE＝30°.在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，∴EC＝AE＝x，在Rt△ADE中，∵∠ADC＝30°，∴ED＝＝x.由题意得x－x＝20，解得x＝10(＋1)，∴AE＝CF＝10(＋1)．在Rt△ACF中，∵∠BCF＝30°，∴BF＝CF·tan30°＝10＋.∴AB＝AF－BF＝(m)．∴古塔A，B的距离为m.
【合作探究】
如图所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东30°.在M的南偏东60°方向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东75°，已知MB＝400m，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？
解：不会穿过居民区．理由：如图，过A作AH⊥MA于点H，作BE∥MQ交MA于点F.∵∠EBN＝∠QMB＝∠FMN＝30°，∴∠NMA＝30°.设AH＝x，则BH＝x，∴MH＝AH＝x，∵MH＝BM＋BH＝x＋400，∴x＝x＋400，x＝200＋200≈546.4>500.∴不会穿过居民区．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 构建直角三角形，解答简单问题
知识模块二 锐角三角函数与圆的关系
知识模块三 构造两个直角三角形解决问题
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1.
如图，一游人由山脚A沿坡角30°的山坡AB行走600m，到达另一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测得景点B的俯角为45°，则山高CD等于(300＋100)m.
2．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10m，坡面的坡度为1∶1，为方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶，若新坡脚下需留3m的人行道，问离原坡脚10m的建筑物是否需要拆除？
解：需要拆除．根据题意得：∠CAB＝45°，BC＝10m，∴AB＝BC＝10m，∵在Rt△BCD中，i＝1∶，即＝，∴BD＝10m.∴AD＝10－10≈7.32(m)．∵7.32＋3>10，∴需要拆除．
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．这节课的学习，你的收获是：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题：与方位角坡角有关的解直角三角形的应用
【学习目标】
1．了解什么是方位角、坡角，方位角的命名特点，准确熟练解决有关方位角问题．
2．巩固用解直角三角形有关知识解决实际问题的方法．
【学习重点】
运用解直角三角形解决航行、斜坡问题．
【学习难点】
灵活运用解直角三角形，解决生活中的实际问题．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角是仰角，视线在水平线下方的角是俯角．
2.
如图，在电线杆的C处拉引线CE，CF固定电线杆．拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6m的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪AB高为1.5m，拉线CE的长是(4＋)m．(结果保留根号)
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P76例5：
1．理解北偏东65°方向、正南方向、南偏东34°方向等都属于方位角．
2．坡角、坡度的概念．
答：坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度的l的比叫做坡度．一般用i表示．
坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．坡度i与坡角α之间的关系：i＝＝tanα.
【合作探究】
1．方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角，如图所示，∠NOA，∠SOB，∠NOD，∠SOC都是方位角．
2．说出下列各角的方位．
∠NOA是北偏东55°，
∠BOS是南偏东30°，
∠COS是南偏西35°，
∠NOD是西北方向．
【自主探究】
再次阅读教材P76例5，体会利用方位角解直角三角形的过程．
【合作探究】
如图所示，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？
解：如图所示，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.在Rt△ABD中，∵tan∠BAD＝，∴BD＝AD·tan55°.在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝，∴CD＝AD·tan25°.∵BD＝BC＋CD，∴AD·tan55°＝20＋AD·tan25°.∴AD＝≈20.79>10.∴轮船继续向东行驶，不会有触礁危险．
【自主探究】
如图，拦水坝的横断面是梯形ABCD(图中i＝1∶3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，也称为坡度、坡比)，根据图中数据求：
(1)坡角α和β；
(2)斜坡AB的长．(结果保留小数点后一位)
解：(1)α＝33.69°，β＝18.43°；
(2)AB＝3m≈10.8m.
【合作探究】
同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i＝1∶3，斜坡CD的坡度i＝1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∵＝，＝，∴AE＝3BE＝3×23＝69(m)．FD＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(m)．∴AD＝AE＋EF＋FD＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.33，∴α≈18.43°，∵＝sinα，∴AB＝＝≈72.7(m)．
答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5m，斜坡AB的长约为72.7m.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 方位角、坡角的定义
知识模块二 方位角的应用
知识模块三 利用坡角解直角三角形
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12m，斜面坡度为1∶2，则斜坡AB的长为6m.
(第1题图) (第2题图)
2．如图，一个小球由地面沿着坡度i＝1∶2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为2m.
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．这节课的学习，你的收获是：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题：与视角有关的解直角三角形的应用
【学习目标】
1．进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形．
2．能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题．
【学习重点】
学会将实际问题转化为解直角三角形的问题．
【学习难点】
将实际问题抽象为数学模型．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
要想使人安全地攀上斜靠在墙上的梯子的顶端，梯子与地面所成角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长5m的梯子．试问：当梯子的底端距离墙角2.4m，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？
解：大约61°；这时人能安全使用这个梯子．
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P74，思考：
什么是仰角，什么是俯角？
答： 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．
【合作探究】
探讨教材P74例3，完成下列内容：
1．从组合体中能直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相切时的切点．
2．本例可以抽象为以地球中心为圆心，地球半径为半径的⊙O的有关问题．
3．其中点F是组合体的位置，FQ是⊙O的切线，切线Q是从组合体中观测地球时的最远点．
【自主探究】
如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从A点测得D点的俯角α为35°12′，测得C点俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高．(精确到0.1m)
解：过D作DE⊥AB于点E，则∠ACB＝β＝43°24′，∠ADE＝α＝35°12′，DE＝BC＝32.6m.在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴AB＝BC·tan∠ACB＝32.6×tan43°24′≈30.83(m)．在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝DE·tan∠ADE＝32.6×tan35°12′≈23.00(m)．∴DC＝BE＝AB－AE＝30.83－23.00≈7.8(m)．
答：两个建筑物的高分别约为30.8m，23.0m.
【合作探究】
如图所示，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°.1s后，火箭到达B点，此时测得BR的距离是6.13km，仰角为45.54°.这个火箭从A到B的平均速度是多少？(精确到 0.01km/s)
解：0.28km/s.
【自主探究】
阅读教材P75例4，完成下面练习：
1．仰角α＝30°，俯角β＝60°．
2．利用解直角三角形的知识求出BD，CD，进而求出BC.
【合作探究】
我们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园“六·一”前新增设的一台滑梯，设滑梯高度AC＝2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m.
(1)求滑梯AB的长 ；(精确到0.1m)
(2)若规定滑梯倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？
解：(1)AB＝＝＝2≈4.5(m)；
(2)tan∠ABC＝＝＝.∴∠ABC≈26.6°<45°，∴符合要求．
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 仰角、俯角的定义
知识模块二 仰角、俯角在解直角三角形中的应用
知识模块三 综合运用仰角、俯角知识
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1.
如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干米处折断倒地，B为折断点，树顶A落在离树根C的12m处，测得∠BAC＝48°，则此棵大树原长为多少米？(精确到0.1m)
解：31.3m.
2.
如图所示，在小山BD上有一座塔，塔的高度BC＝20m，在河的岸边有一点A，A，D在同一水平地面上，在A处测得塔底B的仰角为60°，塔顶C的仰角为66°.你能根据以上的数据求出小山的高BD吗？若不能，请说明理由；若能，请求出小山的高BD.(精确到0.1m)
解：BD＝67.4m.
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．这节课的学习，你的收获是：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题：特殊角的三角函数值
【学习目标】
1．掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算．
2．能够根据30°，45°，60°角的三角函数值，求出相应锐角的大小．
3．经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，并能进行有关的推理．
【学习重点】
掌握30°，45°，60°角的三角函数值，能够用它们进行计算．
【学习难点】
理解30°，45°，60°角的三角函数值的探索过程．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
在前面我们已经得到sin30°＝，sin45°＝，你能得到30°，45°角的其他三角函数值吗？不妨试试看．
解：cos30°＝，tan30°＝，cos45°＝，tan45°＝1.
自学互研 生成能力
知识模块一 30°，45°，60°角的三角函数值
【自主探究】
如图，你能否根据前面的知识，求出各锐角的函数值．
【合作探究】
进一步探讨上面的问题．
∵sin30°＝＝，∴设BC＝x，则AB＝2x.
由勾股定理得AC＝x，于是：cos30°＝＝＝，tan30°＝＝＝.又∵∠A＝30°，∠C＝90°，∴∠B＝60°，
∴sin60°＝＝＝，cos60°＝＝＝，tan60°＝＝＝.
∵sin45°＝，∴设BC＝x，则AC＝x，由勾股定理得AB＝x，
于是：cos45°＝＝＝，tan45°＝＝＝1.
归纳：将上述所有结论整理，制成下表：
锐角A
锐角三角函数
30°
45°
60°
sinα
cosα
tanα
1
【自主探究】
阅读教材P66例3、例4，完成下列的内容：
1．cos230°＋sin230°＝1．
2.－tan60°＝1－．
【合作探究】
如图所示，斜坡面与地平面夹角为α的楼梯表面铺地毯，楼梯宽2m，共需地毯的面积为(4＋4)m2，则α为多少度？
解：由题意可得，BC＋AC＝＝2＋2，∴AC＝2＋2－2＝2.在Rt△ABC中，∵tanα＝＝＝，∴∠α＝30°.
答：α为30°.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 30°，45°，60°角的三角函数值
知识模块二 利用三角函数值求值
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1．若4cos2α－(2＋2)cosα＋＝0，则锐角α＝30°或60°．
2．sin245°＋cos30°·tan60°＝2．
3.
如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长．
解：AB＝3＋.
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．这节课的学习，你的收获是：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题：用计算器求三角函数值和锐角度数
【学习目标】
掌握用计算器求锐角三角函数值以及已知一个锐角的某一三角函数值，利用计算器求出这个锐角的度数的方法．
【学习重点】
运用计算器求锐角三角函数值或锐角．
【学习难点】
用计算器进行有关直角三角形的计算．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．计算：cos30°·sin30°＝，tan60°＝，cos245°＋tan30°·sin60°＝1．
2．当锐角A是30°，45°，60°时，可以求出这些角的正弦、余弦、正切值，当锐角A不是这些特殊值时，怎样得到它的三角函数值？
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P67，思考：
1．锐角是整数度的怎么按键？
2．锐角是度、分形式怎么办？
3．锐角是度、分、秒形式怎么办？
【合作探究】
利用计算器求下列函数值．
(1)sin52°36′＝0.7944；(2)sin27°36′53″＝0.4635；(3)cos43°57′19″＝0.7199；(4)tan60°24′36″＝1.7610．
【自主探究】
阅读教材P68，思考：
已知三角函数值求角度时，怎样按键？
【合作探究】
已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角．
(1)sinA＝0.3333；(2)cosA＝0.6252；(3)tanA＝3.7416.
解：(1)∠A≈19.4692°；(2)∠A≈51.30°；(3)∠A≈75°2′12″．
【自主探究】
升国旗时，某同学站在离国旗20m处行注目礼，当国旗升至顶端时，该同学视线的仰角为42°，若双眼离地面1.6m，试求出旗杆AB的高度．(精确到0.01m)
解：过D作DC⊥AB于C，DC＝EB＝20(m)．∵tan∠ADC＝，∴AC＝DC·tan∠ADC＝20×tan42°≈18(m)，∴AB＝AC＋CB＝18＋1.6＝19.6(m)．即旗杆AB的高度为19.6m.
【合作探究】
如图所示，一名患者体内某器官后面有一肿瘤，在接受放射性治疗时， 为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤，已知肿瘤在皮下6.3cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求∠CBA的度数．
解：在Rt△ABC中，AC＝6.3cm，BC＝9.8cm，∴tan∠CBA＝＝≈0.6429，∴∠CBA＝32°44′13″.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 利用计算器求锐角的三角函数值
知识模块二 利用计算器求锐角度数
知识模块三 实际应用
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1．用计算器求值：
(1)cos38°≈0.7880；
(2)tan23°30′40″≈0.4350；
(3)若cosα＝0.2042，则α≈78.22°；若tanβ＝3.54, 则β≈74.23°．
2．(陕西中考)
如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3m，铅直高度BC为2.8m，则∠A的度数约为27.8°．(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．这节课的学习，你的收获是：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题：解直角三角形
【学习目标】
1．理解直角三角形中三条边及两个锐角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2．掌握用数形结合和转化的思想方法解决有关问题．
【学习重点】
利用三角函数解决有关实际问题．
【学习难点】
灵活运用三角函数解直角三角形．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．在△ABC中，∠C＝90°，三边长为a，b，c，∠A的正弦、余弦、正切分别是什么？
解：sinA＝，cosA＝，tanA＝.
2．在Rt△ABC中，除直角外，还有三边和两个锐角5个元素，知道哪几个元素可以求出其他的元素呢？
答：知道一边一锐角或知道两边可以求出其他未知元素．
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P72：
1．理解解直角三角形的定义．
2．交流对引例(比萨斜塔倾斜的问题)的学习体会．
【合作探究】
教材P72探究：
(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？
(2)知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？
答：(1)①三边关系；②锐角关系；③边角关系；
(2)已知Rt△中除直角外的五个元素中的两个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的三个未知元素．
归纳：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．
【自主探究】
阅读教材P72～P73，理解解直角三角形需要哪些条件．
【合作探究】
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，那么除直角C外的5个元素之间有什么关系？
答：(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝.
【自主探究】
阅读教材P73例1、例2，体会解直角三角形的过程：
【合作探究】
在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝0.8328，b＝0.2954，解这个直角三角形．
解：∵sinB＝＝≈0.3547，∴∠B≈20°46′，∠A＝90°－∠B＝90°－20°46′＝69°14′.∵tanA＝，∴a＝b·tanA＝0.2954×tan69°14′≈0.779.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 解直角三角形的概念
知识模块二 解直角三角形的依据
知识模块三 新知应用
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1．在△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，则a＝( C )
A. B．6 C. D.
2．如图，在△ABC中，cosB＝，sinC＝，AC＝5，则△ABC的面积是,.)
(第2题图) (第3题图)
3．(南通中考)如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝2，AC＝3，则sinB的值是,.)
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．这节课的学习，你的收获是：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题：锐角三角函数与圆
【学习目标】
1．借助单位圆理解任意角三角函数．
2．会运用圆的概念及性质解题．
【学习重点】
任意角三角函数的定义．
【学习难点】
用单位圆上点的坐标刻画三角函数．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．(衢州中考)如图所示，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°，则sin∠AOB的值是( C )
A. B. C. D.
(第1题图) (第2题图)
2．(黔西南中考)如图，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝,.)
自学互研 生成能力
【自主探究】
(2016·福州中考)
如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点(不与A，B重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P的坐标是( C )
A．(sinα，sinα) B．(cosα，cosα)
C．(cosα，sinα) D．(sinα，cosα)
练习：(武汉中考)如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB.
(1)求证：AT是⊙O的切线；
(2)连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．
解：(1)∵AB＝AT，∴∠ABT＝∠ATB＝45°，∴∠BAT＝90°，即AT为⊙O的切线；
(2)如图，过点C作CD⊥AB于D点．则∠TAC＝∠ACD，tan∠TOA＝＝＝2，设OD＝x，则CD＝2x，OC＝OA＝x，∵AD＝AO－OD＝(－1)x，∴tan∠TAC＝tan∠ACD＝＝＝.
【合作探究】
1．(2016·福州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，tanB＝，半径为2的⊙C，分别交AC，BC于点D，E，得到.
(1)求证：AB为⊙C的切线；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)过点C作CF⊥AB于点F，在Rt△ABC中，tanB＝＝，∴BC＝2AC＝2.∴AB＝＝＝5，∴CF＝＝＝2.∴AB为⊙C的切线；
(2)S阴影＝S△ABC－S扇形CDE＝AC·BC－＝××2－＝5－π.
2．(乌鲁木齐中考)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E.
(1)求证：DC＝DE；
(2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的长．
解：(1)连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°，又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∴∠EAD＋∠E＝90°，∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，故∠DCE＝∠E，∴DC＝DE；
(2)设BD＝x，则AD＝AB＋BD＝3＋x，OD＝OB＋BD＝1.5＋x，在Rt△EAD中，∵tan∠CAB＝，∴ED＝AD＝(3＋x)，由(1)知，DC＝(3＋x)，在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝DO2，则1.52＋[(3＋x)]2＝(1.5＋x)2，解得x1＝－3(舍去)，x2＝1，故BD＝1.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1．(乐山中考)在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，⊙O过B，C两点，且⊙O的半径r＝，则OA的长为( A )
A．3或5 B．5 C．4或5 D．4
2．(荆州中考)
如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA，OC，BC相切于点E，D，B，与AB交于点F，已知A(2，0)，B(1，2)，则tan∠FDE＝,.)
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．这节课的学习，你的收获是：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
课题：锐角的余弦和正切
【学习目标】
1．理解余弦、正切的概念，了解锐角三角函数的定义．
2．能运用余弦、正切的定义解决问题．
【学习重点】
理解锐角三角函数的意义，用它们进行简单的计算．
【学习难点】
以函数的角度理解正弦、余弦、正切．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．sin30°＝，sin45°＝．
2．在Rt△ABC中，各边的长度都扩大为原来的3倍，那么锐角∠A的正弦值不变．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sinA＝，则AC的长为．
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P64探究：
理解：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．
【合作探究】
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′.求证：
(1)＝；＝；
(2)当∠A确定后，∠A的邻边与斜边的比确定吗？它的对边与邻边的比呢？
解：(1)在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′.∴＝，＝；
(2)设＝k1，＝k2.由(1)知＝，＝，∴＝＝k1，＝＝k2.
即当A确定后，∠A的邻边与斜边的比是一个定值．它的对边与邻边的比也是一个定值，我们把∠A的邻边与斜边比的叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即cosA＝＝；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即tanA＝＝.
【自主探究】
阅读教材P65例2，完成下列内容：
如图，sinA＝，cosA＝，tanA＝．
【合作探究】
在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝30，试求tanB，sinC的值．
解：过A作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，BC＝30，∴BD＝DC＝BC＝15.又∵AB＝AC＝20，∴由勾股定理得AD＝5，∴tanB＝＝＝，sinC＝＝＝.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 余弦、正切的定义
知识模块二 典例精析 掌握新知
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC上一点，AC＝2，CD＝1，设∠CAD＝α.
(1)试写出α的三个三角函数值；
(2)若∠B＝α，求BD的长．
解：(1)∵CD＝1，AC＝2，∴AD＝＝，∴sinα＝，cosα＝，tanα＝；(2)∵∠B＝α，∴tanB＝tanα＝，∵tanB＝，∴BC＝＝＝4.∵CD＝1，∴BD＝BC－CD＝3.
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．这节课的学习，你的收获是：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
第二十八章
锐角三角函数
课题：锐角的正弦
【学习目标】
1．理解锐角正弦函数的概念，能够运用sinA表示直角三角形两边的比值及进行简单的计算．
2．体验数形结合思想在解决数学问题中的广泛应用．
【学习重点】
理解锐角正弦sinA的意义，能用它进行简单的计算．
【学习难点】
领悟正弦的概念．
情景导入 生成问题
投影展示教材P61引例(扬水站建设中的问题)．
提出：你能将实际问题归结为数学问题吗？
自学互研 生成能力
【自主探究】
阅读教材P61问题：
想一想：你能用数学语言来表述这个实际问题吗？(在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB)
解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即＝＝.
【合作探究】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边BC与斜边AB的比值，你能得出什么结论？
解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝45°，∴AC＝BC.由勾股定理得AB＝BC，即＝.
2.
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′＝α，且＝k，你能求出的值吗？从中你又能得出什么结论？说说你的理由．
解：＝k，∵∠C＝∠C′，∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴＝＝k.
归纳：在一个Rt△中，如果一个锐角A的度数一定时，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都是一个定值．
于是我们有：在Rt△ABC中，①当∠A＝30°时，＝；②当∠A＝45°时，＝.
我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA.当∠A＝30°时，sinA＝sin30°＝；当∠A＝45°时，sinA＝sin45°＝.
【自主探究】
阅读教材P63例1，注意解题过程，理解正弦值的计算方法．
【合作探究】
如图，AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，⊙O的直径为4，AB＝8.
(1)求OB的长；
(2)求sinA的值．
解：(1)由已知，得OC＝2，BC＝4，在Rt△OBC中，由勾股定理，得OB＝2；
(2)在Rt△OAC中，∵OA＝OB＝2，OC＝2，∴sinA＝＝＝.
交流展示 生成新知
【交流预展】
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
【展示提升】
知识模块一 正弦定义
知识模块二 运用新知
检测反馈 达成目标
【当堂检测】
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且sinA＝，则sinB＝．
2.
(临沂中考)如图，在?ABCD中，连接BD，AD⊥BD，AB＝4，sinA＝，则?ABCD的面积是3．
3．在△ABC中，AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，则sinA＋sinB＝．
【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．这节课的学习，你的收获是：________________________________________________________________________
2．存在困惑：________________________________________________________________________
