上海市华东师范大学第二附属中学2025-2026学年高二上学期数学月考试卷（含答案）

华东师大二附中2025-2026学年第一学期高二年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．用符号表示平面经过直线：__________．
2．若圆的半径为，则__________．
3．若平面平面，，，则直线与的位置关系不可能是__________．（填“相交”、“平行”、“异面”中的一个）
4．“直线与平面无公共点”是“直线不在平面上”的__________条件．（填“充分非必要” “必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）
5．在正方体中，分别是线段的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．
6．设四边形是一个正方形，平面，，则二面角的大小为__________．
7．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则__________．
8．如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，__________．
9．如图，在直角三角形中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是__________．
10．已知正方体的棱长为，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且平面，则动点的轨迹（包含）所围成图形面积
为__________．
11．已知点，点为抛物线的焦点．若以点，为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为__________．
12．如图，在正方体中，为棱的中点，若正四面体绕直线旋转一周，在旋转过程中，直线与平面所成的角为，则的最小值为__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（ ）
A． B．
C． D．
14．若直线与圆相离，则点（ ）
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．与圆的位置关系不确定
15．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，，则
D．若，，，，则
16．如图，正方体中，点分别为线段上的动点（不含端点），给出下列命题：
①存在点，使三角形为直角三角形；
②存在点，使三角形为等边三角形．则（ ）
A．①、②均为真命题 B．①、②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
三、解答题（本大题共有4題，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，四边形是正方形，平面，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点且倾斜角为的直线交于，两点，求线段的长．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，为的中点，分别是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，等腰直角三角形中，，为中点，分别为边上的动点，且，将三角形沿折起，使点折至点的位置，二面角大小为，联结．
（1）求证：平面；
（2）若点为中点，求异面直线与所成的角的大小；
（3）试判断直线与平面所成的角的大小是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，短轴长为，点是上位于第一象限内的一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，，三角形的面积为，三角形的面积为，若，求点的坐标；
（3）设直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，为直线上一点，问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由．
华东师大二附中2025-2026学年第一学期高二年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．用符号表示平面经过直线：__________．
【答案】
2．若圆的半径为，则__________．
【答案】
【详解】由经配方，可得：，
圆的半径为，故，解得．
3．若平面平面，，，则直线与的位置关系不可能是__________．（填“相交”、“平行”、“异面”中的一个）
【答案】相交
【详解】若两个平面平行，则两个平面没有公共点，
所以分别在两个平面内的直线可能平行，可能异面，不可能相交．
4．“直线与平面无公共点”是“直线不在平面上”的__________条件．（填“充分非必要” “必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一个）
【答案】充分非必要
【详解】直线与平面无公共点，则，因此有直线不在平面内，满足充分性，
但直线不在平面上包含与平行和相交，因此必要性不满足，
“直线与平面无公共点”是“直线不在平面上”的充分非必要条件．
5．在正方体中，分别是线段的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．
【答案】
【详解】是线段的中点，连接交于，
由正方体的性质知，知直线，所成角即为直线，所成角，故是直线与所成角或其补角，
不妨设正方体边长为，在直角中，，，，故．
6．设四边形是一个正方形，平面，，则二面角的大小为__________．
【答案】
【详解】因为是正方形，所以，
因为 平面，平面，所以，
是二面角的平面角，
在直角三角形中，，则，二面角的大小为．
7．设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则__________．
【答案】
【详解】由，得，，所以，，
由余弦定理得，
即，
所以．
8．如图，已知点在平行四边形所在平面外，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，__________．
【答案】
【详解】联结，交于点，连结，
因为，且，所以，
因为平面，且平面，平面平面，
所以，则．
9．如图，在直角三角形中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点、在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点到平面的最大距离是__________．
【答案】
【详解】过作，交于，过作，交于，
因为在直角三角形中，，，，则，设，
，整理得，
因为，所以，
当且仅当四点共面时，等号成立，点到的距离最大，
，即点到的最大距离为．
10．已知正方体的棱长为，分别为的中点，点在正方体表面上运动，且平面，则动点的轨迹（包含）所围成图形面积
为__________．
【答案】
【详解】如图，分别取的中点，
联结，
因为，又平面，平面，
所以平面，同理平面，
又，平面，所以平面平面，
在正方体中，有平面，则平面，
又点在正方体表面上运动，故点的轨迹为正六边形，
因为正方体的棱长为，所以，，
故正六边形的面积为．
11．已知点，点为抛物线的焦点．若以点，为焦点的椭圆与抛物线有公共点，则椭圆的离心率的最大值为__________．
【答案】
【详解】由抛物线方程得，准线方程为，又点，则，
在抛物线上取点，过作垂直直线，交直线于点，
过作垂直直线，交直线于点，
由椭圆和抛物线定义得，
故椭圆离心率．
12．如图，在正方体中，为棱的中点，若正四面体绕直线旋转一周，在旋转过程中，直线与平面所成的角为，则的最小值为__________．
【答案】
【详解】根据运动的相对性，让正四面体保持静止，直线绕着直线旋转，在旋转过程中，直线始终在平面上，
且与平面上任意直线平行或重合，取最小值即取最大值，
直线与平面所成的角的最大值即为平面与平面所成锐二面角，得．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】选项A中，平面内的两直线异面，则与异面；
选项B中，平面内的两直线异面，则与异面；
选项C中，平面内的两直线相交，两条相交直线确定一个平面，则与可能平行；
选项D中，平面内的两直线异面，则与异面．
14．若直线与圆相离，则点（ ）
A．在圆外 B．在圆内
C．在圆上 D．与圆的位置关系不确定
【答案】B
【详解】由题意，圆的圆心为，半径，
直线到圆心的距离为，
根据相离条件，即，整理得，
这表明点到原点的距离的平方小于，即点在圆内部．
15．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，，则
D．若，，，，则
【答案】B
【详解】若，，，则或异面，故A错误；
若，，，由线面平行性质定理可知，故B正确；
若，，，，当时，可以相交，故C错误；
若，，，，当时，可以相交，故D错误．
16．如图，正方体中，点分别为线段上的动点（不含端点），给出下列命题：
①存在点，使三角形为直角三角形；
②存在点，使三角形为等边三角形．则（ ）
A．①、②均为真命题 B．①、②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【答案】A
【详解】设点在平面上的射影，正方体棱长为，
若三角形为直角三角形，，
，，
因为，所以，不为斜边，
设，，，，
若斜边为，有，
，无实数解，
若斜边为，有，
，
可取，，①为真命题；
若三角形为等边三角形，因为，所以，
设，，
令，
因为，，
所以由零点定理知，存在使，则有解，
有解，②为真命题．
三、解答题（本大题共有4題，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，四边形是正方形，平面，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）因为平面，平面，所以，因为，所以，
因为四边形是正方形，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）过点作于点，
因为，，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
，故点到平面的距离为．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点且倾斜角为的直线交于，两点，求线段的长．
【答案】（1） （2）3
【详解】（1）因为点在上，所以，
又为的右焦点，轴，则，故，所以，，
因此的方程为．
（2）由题意，直线的方程为，联立，
整理得，设，，此时，
由韦达定理得，，
所以．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在《九章算术》中，四个面都是直角三角形的三棱锥被称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，，为的中点，分别是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）证明：联结，因为分别是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）过点作于点，过点作于点，
因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为，平面，所以，
为二面角的平面角，设，
因为，所以，因为，所以，
因为为的中点，所以，，
，，则，
故二面角的大小为．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
如图，等腰直角三角形中，，为中点，分别为边上的动点，且，将三角形沿折起，使点折至点的位置，二面角大小为，联结．
（1）求证：平面；
（2）若点为中点，求异面直线与所成的角的大小；
（3）试判断直线与平面所成的角的大小是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，最大值为．
【详解】（1）因为，，所以，
因为，所以，，
因为，平面，所以平面．
（2）联结，因为是平行四边形，所以，
是异面直线与所成的角或其补角，
设，因为，所以，，
因为，，所以，
异面直线与所成的角的大小为．
（3）作于点，
因为平面，所以点到平面距离点到平面距离，
设，，直线与平面所成的角为
则，，，
因为，所以，
设，，
，，
当且仅当，即时，等号成立，
直线与平面所成的角的大小最大值为．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，短轴长为，点是上位于第一象限内的一点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，，三角形的面积为，三角形的面积为，若，求点的坐标；
（3）设直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，为直线上一点，问是否存在实数满足，使得为定值？若存在，求出和定值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） （2） （3）存在，，定值为．
【详解】（1）由椭圆的短轴长为，得，由离心率为，得，
又，所以，，椭圆的方程为．
（2）设，则……①，且，，
，
因为，，所以直线的方程为，即，
故点到直线的距离，
，
因为，所以，即……②，
联立①②，且，，解得，，故点的坐标为．
（3）设，
直线的方程为，
由，得，
有，解得，，
所以，
当时，直线的方程为，
由，得，
所以，解得，，
所以，经检验，当时，结论也成立，
由，得，
，
令，解得，，
故，定值为．