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2026年中考数学一模模拟试卷02
九年级数学
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分；
2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号；
3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交；
4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应．
试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：A．
【分析】利用只有符号不同的两个数互为相反数解题．
2．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：各选项主视图、左视图、俯视图如下：
A. ，满足题意；
B. ，不满足题意；
C. ，不满足题意；
D. ，不满足题意；
故答案为：A.
【分析】根据题意分别画出各项三视图即可判断.
3．如图，已知∠1=∠2，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B． C．∠B=∠ADE D．∠C=∠E
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠BAC，
A、添加，无法判定△ABC∽△ADE，故本选项正确；
B、添加，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
C、添加∠B=∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
D、添加∠C=∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误；
故选：A.
【分析】证出∠DAE=∠BAC，由相似三角形的判定方法即可得出结果．
4．我国古代数学专著《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何 译文：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，求人的数量和物品价格.若设物品的价格为x元，根据题意可列出方程为( )
A．8x-3=7x+4 B．
C．8(x-3)=7(x+4) D．
【答案】D
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设物品价格为x元，由题意得
故答案为：D
【分析】根据两种出钱方式下人数不变的等量关系，分别用物品价格表示人数建立方程。
5．一个口袋里装有4个白球，5个黑球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同，随意从中抽出一个球，抽到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：随意从中抽出一个球，抽到白球的概率是 ，
故答案为：A
【分析】利用已知条件可知一共有9种结果数，抽到白球的情况只有4种，再利用概率公式可求解.
6．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：根据题意得
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
的取值范围是，
故答案为：B．
【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出关于x的不等式组，解不等式组并结合“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”即可求解．
7．已知二次函数 的图象与一次函数y=2x+1 (0≤x≤3)的图象只有一个交点，则c的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令x2-2x+c=2x+1，
整理得：x2-4x+(c-1)=0，
Δ=(-4)2-4(c-1)=20-4c，
∴①当Δ=20-4c=0时，即c=5时，方程的解为，满足0≤x≤3，且两函数图象只有一个交点，
②当Δ=20-4c>0时，即c<5时，方程的解为，只需满足一个解在0≤x≤3内，
若，即
∴， 即1<5-c≤4，
解得1≤c<4；
若，即
故此情况不存在，
∴当1≤c<4时和当c=5时，两函数图象只有一个交点
∴c的最大值与最小值的差为5-1=4.
故选：D.
【分析】联立二次函数与一次函数方程，得到关于x的二次方程，根据判别式及根在0≤x≤3内的条件，分情况讨论确定c的取值范围，从而求出c的最大值与最小值的差.
8．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图①，P是一个固定观测点，运动点 Q 从 A 处出发，沿笔直公路AB 向目的地 B 处运动.设AQ 为x(单位： km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2).如图②，y关于x的函数图象与 y 轴交于点 C，最低点 D(m，81)，且经过 E(1，225)和 F(n，225)两点.下列选项正确的是( )
A．m=12 B．n=24
C．点 C 的纵坐标为240 D．点(15，85)在该函数图象上
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设二次函数的表达式为y=a(x-m)2+81(a>0)（因存在最低点）．函数图象经过E(1，225)和F(n，225)，两点纵坐标相同，故对称轴为，且a(n-m)2+81=225，a(1-m)2+81=225．因1≠n，故n-m=-(1-m)，即1+n=2m．
AB、仅根据现有条件无法确定m、n的具体值，AB错误；
C、点C是x=0时的函数值，代入得y=am2+81，无法得出其值为240，C错误；
D、设点(15，85)在函数图象上，代入得85=a(15-m)2+81，即a(15-m)2=4．结合a(n-m)2=144，不妨设n-m=6，a=4，若15-m=1，则a(15-m)2=4×12=4，满足条件．举例验证：设m=9，函数为y=4(x-9)2+81，当x=15时，y=4×(15-9)2+81=85，故点(15，85)在该函数图象上，D正确.
故答案为： D.
【分析】先设二次函数表达式，并用待定系数法求出解析式；再根据二次函数的对称性，求出对称轴；最后逐一验证选项，确定正确选项即可.
9． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°， AC=4， BC=3， 分别以AC， AB为边向外作正方形ACDE， 正方形 ABMN， 连结NE， 则NE的长为( )
A．10 B．9 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点N作NG⊥AC于点G，交NE于点H，如图所示，
∵ABMNO正方形
∴∠BAN=90°，AB=AN
∴∠BAC+∠NAG=90°
又∵∠BAC+∠ABC=90°
∴∠ABC=∠NAG
又∵∠G=∠ACB
∴△ABC≌△NAG(SAS)
∴GN=AC=4，GA=BC=3
∵ACDE为正方形
∴AC=AE
∴NG=AE
∵∠NHG=∠FHE，∠HAE=∠NGH
∴△AEH≌△GNH(AAS)
∴NH=EH，GH=AH=
∴NH=
∴NE=.
故答案：C.
【分析】过点N作NG⊥AC于点G，交NE于点H，易证△ABC≌△NAG得GN=AC，得GN=AE，由此可得△AEH≌△GNH，得NH=EH，GH=AH，求出NH的值，即得NE的长.
10． 为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：）（），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图象如图所示．下列选项正确的是（ ）
A．正方形的对角线长为
B．当时，重叠面积
C．当时，重叠面积
D．函数图象的最高点的坐标为
【答案】B
【知识点】正方形的性质；平行四边形的面积；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵四边形与四边形是两个相同的正方形，与是对角线，
∴，，，，
∴，
由图及图知：当（即点与点重合）时，，
当（即）时，，
此时，
∴，故选项A不正确；
∴，
∴，即正方形与正方形的边长为，
当时，此时点为的中点，如图，设交于点，交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴重叠面积，故选项B正确；
当时，如图，设交于点，交于点，
∴，四边形是正方形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴重叠面积，故选项C不正确；
由图及图知：当（即点与点重合）时，取得最大值，
此时正方形与正方形重合，
∵正方形的边长为，
∴此时重叠面积，
∴函数图象的最高点的坐标为，故选项D不正确。
故答案为：B.
【分析】根据题意结合图2可得判断A；当时，设交于点，交于点，即可得到，根据重叠部分为正方形，根据面积公式计算判断B；当时，设交于点，交于点，即可得到，利用重叠面积计算判断C；根据函数的对称性可知（即点与点重合）时，取得最大值，根据重叠面积计算判断D解答即可.
填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．已知点在反比例函数（是常数）的图象上，当时，，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵点M（m，y1），N（m+1，y2）在反比例函数（k是常数）的图象上，m＞0，
∴0＜m＜m+1，
∵y1＜y2，
∴反比例函数图象上分布在第二、四象限，
∴k＜0．
故答案为：k＜0．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．
12． 如图 ，△ABC 内接于⊙O，∠B=65°，∠C= 70°，若 BC = 则 的 长 为
【答案】π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠ABC=65°，∠ACB=70°
∴∠A=180°-65°-70°=45°
由圆周角定理得：
∠BOC=2∠A=90°
∴
∴的长为：
故答案为：π.
【分析】连接OB、OC，根据三角形内角和定理求出∠A，根据圆周角定理求出∠BOC，根据等腰直角三角形的性质求出OC，再根据弧长公式计算即可.
13．已知f（x）＝x2－3a2，g（x）＝(2a＋1)x，若f（x）＜g（x）有且只有一个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令h(x)=f(x)-g(x)=x2-3a2-(2a+1)x=x2-(2a+1)x-3a2，
当a＝0时，h(x)=x2-x，
令h(x)<0，则x2-x<0，解得0当a≠0时，
当x=0时，h(0)=-3a2<0，
∵h(x)<0时，只有一个正数解，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】令h(x)=f(x)-g(x)，分为a＝0或a≠0时两种情况，根据题意列不等式组求出a的取值范围即可.
14．定义max{a，b }＝，已知函数f（x）＝max{│2x－1│，ax2＋b}，其中a＜0，若f（x）的最小值为1，则a＋b＝ ．
【答案】1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；y=|ax+ b|的图象与性质；数形结合
【解析】【解答】解：作出 与 的函数图象，如图所示：
∵f(x)的最小值为1，
恰好经过点(1，1)，
故答案为：
【分析】利用定义判断b的范围，作出两函数 与y 的函数图象，根据f(x)定义判断y=a 与点(1，1)的关系，得出a+b的值.
15． 如图，直径，弦的平分线分别交、于点D，M，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，
是圆的直径，
，
，，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据勾股定理求出，即可得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，判定是等腰直角三角形，求出，根据两脚对应相等得到，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
16．如图，CE是□ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连结AC、BE、DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF＝BE；④S△COD∶S四边形AFOE＝2∶3．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
，
∵ EC是AB的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴四边形ACBE是平行四边形，
，
∴四边形ACBE是菱形，
∴①正确；
∵四边形ACBE是菱形 ，
，
，
，
，
∴②正确；
∵四边形ACBE是菱形，
，
，
，
，
，
，
∴③错误；
设则 ，
，，
，
∴④正确；
故答案为： ①②④.
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=2AO，然后证明△AOE∽△DCE，得到EO=OC，得到四边形ACBE是菱形判断①；根据菱形的性质和平行线的性质判断②；证明△AOF∽△CDF，根据对应边成比例判断③；设表示，判断④解答即可.
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=-1+3-4
=2-4
=-2.
（2）解：原式
=-1.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）利用有理数的乘方法则，负整数指数幂，算术平方根的定义计算后再算加减即可.
（2）利用零指数幂，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算后再算加减即可.
18．先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式=
当x=-2时，
原式=.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先将分母化为相同，再利用同分母分式化简，再将x用-2代入求值.
19．某商店销售 A，B两种水果. A 水果标价14元/千克，B水果标价18元/千克.
（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了 A，B两种水果共3 千克，合计付款46元.这两种水果各买了多少千克
（2）妈妈让小明再到这家商店买 A，B两种水果(两种水果都买)，要求 B 水果比 A 水果多买1千克，合计付款不超过50元.设小明买 A水果 m 千克.
①若这两种水果按标价出售，求m 的取值范围；
②小明到这家商店后，发现 A，B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折(注：“打七五折”指按标价的75%出售).若小明合计付款48元，求m 的值.
【答案】（1）解：设甲种水果买了x千克，乙种水果买了y千克，
由题意得：
解得： ，
答：甲种水果买了2千克，乙种水果买了1千克；
（2）解：①设小明买A水果m千克，则小明买B水果(m+1)千克，
由题意得：14m+18(m+1)≤50，
解得：
又∵m>0，
∴m的取值范围为(0②设小明买A水果m千克，则小明买B水果((m+1)千克，
由题意得： (m+1-1)=48，
解得：m=1.25，
答： m的值为1.25.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设甲种水果买了x千克，乙种水果买了y千克，根据小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)①设小明买A水果m千克，则小明买B水果(m+1))千克，根据合计付款不超过50元，列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题；
②设小明买A水果m千克，则小明买B水果(m+1)千克，根据小明合计付款48元，列出一元一次方程，解方程即可.
20． 如图，在 ABCD 中，过对角线 AC的中点 O作直线 EF 交边 AB，CD于点E，F.
（1）求证：AE=CF；
（2）若EF⊥AC，AC=8，cos∠BAC=0.8，连结AF，CE，求四边形AECF 的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠EAC=∠FCA.
∵O是AC 的中点，∴AO=CO.
又∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE=CF.
（2）解：∵AE∥CF，AE=CF，
∴四边形 AECF 为平行四边形.
又∵EF⊥AC，
∴四边形 AECF为菱形，∴OE=OF.
∵AC=8，∴AO=4.
∴EF=6，∴菱形 AECF 的面积=
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质，证明△AOE≌△COF(ASA)，即可得出结论；
(2)先利用平行四边形的性质证明四边形AECF为菱形，解直角三角形求出AE，再利用勾股定理求出OE，根据四边形AECF的面积=4S△AOE求解即可.
21．2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）．
甲组成绩统计表
分数 7分 8分 9分 10分
人数 10 1 2
（1）求甲组成绩统计表中的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整；
（2）求甲组学生成绩的平均分和中位数；
（3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分．
【答案】（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为，
所以乙组人数为：，则8分人数为：
所以，甲组人数也为20，，
所以，的值为7；
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为；
（3）2
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为，
所以，这名学生至少增加2分．
【分析】
平均数，中位数等知识点，解题的关键是熟练掌握以上概念．
（1）观察扇形统计图和条形统计图，可“10分”的学生数及占比求出乙组总人数，再在甲且中用总人数分别减去成绩为“7、8、9分”的人数即可；
（2）利用加权平均数的公式即可求得平均数，由于甲组成绩已按照从小到大的顺序排列且总人数是20人，则中位数是第10名和第11名的平均值，即等于；
（3）先求出乙组的中位数，再根据甲的数据进行比较即可．
（1）解：乙组成绩条形统计图如下：
由乙组图形可得，10分圆心角度数为，所以占比为，
所以乙组人数为：，则8分人数为：
所以，甲组人数也为20，，
所以，的值为7；
（2）解：甲组学生成绩的平均分为：，
甲组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
所以，甲组学生成绩的平均分为分，甲组的中位数为；
（3）解：乙组的中位数为第10位和第11位的平均数：，
甲组的中位数要超过乙组的中位数，这名学生的成绩至少提高2分，即7分有9人，8分有1人，9分有3人，10分有7人，此时甲组的中位数为，
所以，这名学生至少增加2分．
22．综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度
素材1：如图①，一种路灯由灯杆AB和灯管支架 BC两部分构成，已知灯杆AB与地面垂直，灯管支架 BC 与灯杆AB 的夹角∠ABC=127°.
素材2：如图②，在路灯正前方的点 D 处测得∠ADB=37°，∠ADC=45°，AD=400 cm.
根据以上素材解决问题：
(结果精确到 1 cm.参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80， tan 37°≈0.75)
（1）求灯杆 AB 的长度；
（2）求灯管支架 BC的长度.
【答案】（1）解：∵tan∠BDA=且AD=400，
∴AB=400×0.75=300，
AB约为 300 cm
（2）解：如图，作CM⊥AD，BN⊥CM，
∵AB⊥AD，CM⊥AD，
∴AB∥CM，
∴∠ABN=90°，∠CBN=37°，
∴CN=BC·sin∠CBN=0.6BC，BN=BC·cos∠CBN=0.8BC，
∵∠CDM=45°，
∴CM=MD，
CN+MN=AD-AM，
CN+AB=AD-BN，
0.6BC+300=400-0.8BC，
解得BC=71，
故BC约为 71 cm.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—构造直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ABD中，利用直角三角形的边角间关系得结论；（2）过点C作CM⊥AD，过点B作BN⊥CM，构造矩形AMNB和直角三角形CMD、CBN．利用直角三角形的边角间关系求出CN，BN，再利用直角三角形的边角间关系求出BC．
23． 如图，P 是正方形ABCD 的对角线BD上一动点（不与点 B，D 重合），PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别为E，F.
（1）求证：四边形 FCEP 为矩形；
（2）求证：四边形 FCEP 的周长是定值：
（3）求证：PA=EF；
（4）在点 P 的运动过程中，EF 的长也随之变化，若正方形 ABCD 的边长为2，求 EF 长的最小值.
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠C=90°.
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴四边形 FCEP 为矩形.
（2）证明：∵四边形 FCEP 为矩形，
∴PE=CF，PF=CE.
∵四边形 ABCD是正方形，
∴∠PDE=45°.
∵∠PED=90°，
∴△PDE 是等腰直角三角形，
∴PE=DE，
∴四边形 FCEP 的周长=2(PE+CE)=2(DE+CE)=2CD，
即四边形 FCEP 的周长是定值.
（3）证明：连结 PC.
∵四边形 FCEP 为矩形，∴PC=EF.
又∵四边形ABCD 是正方形，P 为BD上任意一点，
∴PA，PC关于BD 对称，∴PA=PC，∴PA=EF.
（4）解：由(3)可知 AP=EF恒成立，则EF的最小值转化为AP的最小值，
∴当AP⊥BD时，AP取得最小值，
故 EF 的最小值为
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)证出四边形FCEP有三个角为直角即可；
(2)证出△PDE是等腰直角三角形，得出PE=DE，再由矩形的性质即可得出结论；
(3)利用正方形的关于对角线成轴对称得出AP=CP，利用矩形的性质得出EF=CP，即可得出结论；
(4)由EF=AP，得出EF的最小值即为AP的值，问题得解.
24．如图，Rt．过点的直线与以BC为直径的相交于点D，H，（点在直径BC上方），与直径BC交于点．连结BD，CD．
（1）如图1，若，点与圆心重合，求AD的长；
（2）如图2，已知DH平分．
①求证：；
②若，求AD的长．
【答案】（1）为直径
（2）①
方法1（截长法）在CD上取点，使，
，
方法2（补短法或弦图法）如图与法1类似略
方法3（相似法）BC为直径
平分
在Rt中，
（其他解法，酌情给分，如下参考各种旋转法）
②方法1：连结
，又
两式相乘得：，
又Rt三边之比为
又，
方法2：连结平分
易证
不妨设
在Rt中，
方法3：连接OH，过作于点
设
易证：由方法2可得：
易证：
（其他解法，酌情给分）
方法4：连接CH，作于点，易证为等腰直角
又
方法5：作AG//CD交BC延长线于点，连结HG，
易证可得（也可四点共圆）
可得，设，
又
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出AO即可求解；
(2)①在CD上取点G，使CG=BD，易证△ABD≌△BCG（SAS)，得∠ADB=∠BGC=135°，进而得∠BGD=∠DBG=45°，即可得BD=DG=CG，即可求证；
②先证△ACH∽△CDB，得到，再根据AE·EH=8，可得AE=4，AH=6，再求，再证△ABD∽△AHB，即可得解.
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：120分
分值分布 客观题（占比） 33.0(27.5%)
主观题（占比） 87.0(72.5%)
题量分布 客观题（占比） 11(45.8%)
主观题（占比） 13(54.2%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(41.7%) 30.0(25.0%)
填空题 6(25.0%) 18.0(15.0%)
解答题 8(33.3%) 72.0(60.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (50.0%)
2 容易 (16.7%)
3 困难 (33.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 简单事件概率的计算 3.0(2.5%) 5
2 菱形的判定与性质 11.0(9.2%) 16,20
3 三角形全等的判定-SAS 3.0(2.5%) 9
4 实数的混合运算（含开方） 8.0(6.7%) 17
5 特殊角的三角函数的混合运算 8.0(6.7%) 17
6 平行四边形的面积 3.0(2.5%) 10
7 相似三角形的判定-AA 15.0(12.5%) 15,24
8 一元二次方程根的判别式及应用 3.0(2.5%) 7
9 二次函数与一次函数的综合应用 9.0(7.5%) 7,13,14
10 解直角三角形—三边关系（勾股定理） 10.0(8.3%) 22
11 等腰直角三角形 13.0(10.8%) 15,23
12 数形结合 3.0(2.5%) 14
13 三角形全等的判定-AAS 3.0(2.5%) 9
14 四边形-动点问题 3.0(2.5%) 10
15 平行四边形的性质 11.0(9.2%) 16,20
16 中位数 8.0(6.7%) 21
17 动点问题的函数图象 3.0(2.5%) 10
18 二次函数y=ax +bx+c的性质 3.0(2.5%) 13
19 二元一次方程组的实际应用-销售问题 8.0(6.7%) 19
20 负整数指数幂 8.0(6.7%) 17
21 解直角三角形—边角关系 8.0(6.7%) 20
22 相似三角形的性质-对应面积 3.0(2.5%) 16
23 一元一次不等式的应用 8.0(6.7%) 19
24 列一元一次方程 3.0(2.5%) 4
25 加权平均数及其计算 8.0(6.7%) 21
26 相似三角形的判定 3.0(2.5%) 3
27 简单组合体的三视图 3.0(2.5%) 2
28 反比例函数的性质 3.0(2.5%) 11
29 y=|ax+ b|的图象与性质 3.0(2.5%) 14
30 相似三角形的判定预备定理（利用平行） 3.0(2.5%) 16
31 二次函数与不等式（组）的综合应用 3.0(2.5%) 13
32 分式的化简求值-直接代入 8.0(6.7%) 18
33 二次函数图象上点的坐标特征 3.0(2.5%) 13
34 弧长的计算 3.0(2.5%) 12
35 轴对称的性质 10.0(8.3%) 23
36 解一元一次不等式组 6.0(5.0%) 6,7
37 解直角三角形的其他实际应用 10.0(8.3%) 22
38 条形统计图 8.0(6.7%) 21
39 矩形的判定与性质 10.0(8.3%) 23
40 一元一次方程的实际应用-销售问题 8.0(6.7%) 19
41 垂线段最短及其应用 10.0(8.3%) 23
42 圆周角定理的推论 3.0(2.5%) 15
43 圆周角定理 15.0(12.5%) 12,24
44 勾股定理 18.0(15.0%) 9,15,24
45 求有理数的相反数的方法 3.0(2.5%) 1
46 正方形的性质 16.0(13.3%) 9,10,23
47 解直角三角形—构造直角三角形 10.0(8.3%) 22
48 扇形统计图 8.0(6.7%) 21
49 三角形全等的判定-ASA 8.0(6.7%) 20
50 相似三角形的性质-对应边 18.0(15.0%) 15,16,24
51 二次函数的实际应用-行程问题 3.0(2.5%) 8
52 全等三角形中对应边的关系 11.0(9.2%) 9,20
53 零指数幂 8.0(6.7%) 17
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2026年中考数学一模模拟试卷02
九年级数学
考生须知：
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分；
2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号；
3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交；
4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应．
试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，已知∠1=∠2，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B． C．∠B=∠ADE D．∠C=∠E
4．我国古代数学专著《九章算术》中有一道“盈不足术”的问题，原文：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何 译文：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，求人的数量和物品价格.若设物品的价格为x元，根据题意可列出方程为( )
A．8x-3=7x+4 B．
C．8(x-3)=7(x+4) D．
5．一个口袋里装有4个白球，5个黑球，除颜色外，其余如材料、大小、质量等完全相同，随意从中抽出一个球，抽到白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知二次函数 的图象与一次函数y=2x+1 (0≤x≤3)的图象只有一个交点，则c的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图①，P是一个固定观测点，运动点 Q 从 A 处出发，沿笔直公路AB 向目的地 B 处运动.设AQ 为x(单位： km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2).如图②，y关于x的函数图象与 y 轴交于点 C，最低点 D(m，81)，且经过 E(1，225)和 F(n，225)两点.下列选项正确的是( )
A．m=12 B．n=24
C．点 C 的纵坐标为240 D．点(15，85)在该函数图象上
9． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°， AC=4， BC=3， 分别以AC， AB为边向外作正方形ACDE， 正方形 ABMN， 连结NE， 则NE的长为( )
A．10 B．9 C． D．
10． 为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：）（），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图象如图所示．下列选项正确的是（ ）
A．正方形的对角线长为
B．当时，重叠面积
C．当时，重叠面积
D．函数图象的最高点的坐标为
填空题：（本大题有6个小题，每小题3分，共18分．）
11．已知点在反比例函数（是常数）的图象上，当时，，则的取值范围是 ．
12． 如图 ，△ABC 内接于⊙O，∠B=65°，∠C= 70°，若 BC = 则 的 长 为
13．已知f（x）＝x2－3a2，g（x）＝(2a＋1)x，若f（x）＜g（x）有且只有一个整数解，则a的取值范围是 ．
14．定义max{a，b }＝，已知函数f（x）＝max{│2x－1│，ax2＋b}，其中a＜0，若f（x）的最小值为1，则a＋b＝ ．
15． 如图，直径，弦的平分线分别交、于点D，M，则线段的长为 ．
16．如图，CE是□ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E．连结AC、BE、DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF＝BE；④S△COD∶S四边形AFOE＝2∶3．其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：（本大题有8个小题，共72分．其中第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题每题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．计算：
（1）
（2）
18．先化简，再求值：，其中.
19．某商店销售 A，B两种水果. A 水果标价14元/千克，B水果标价18元/千克.
（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了 A，B两种水果共3 千克，合计付款46元.这两种水果各买了多少千克
（2）妈妈让小明再到这家商店买 A，B两种水果(两种水果都买)，要求 B 水果比 A 水果多买1千克，合计付款不超过50元.设小明买 A水果 m 千克.
①若这两种水果按标价出售，求m 的取值范围；
②小明到这家商店后，发现 A，B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折(注：“打七五折”指按标价的75%出售).若小明合计付款48元，求m 的值.
20． 如图，在 ABCD 中，过对角线 AC的中点 O作直线 EF 交边 AB，CD于点E，F.
（1）求证：AE=CF；
（2）若EF⊥AC，AC=8，cos∠BAC=0.8，连结AF，CE，求四边形AECF 的面积.
21．2025年央视春晚中的《秧BOT》节目标志着我国人工智能的飞速发展．某校为了解学生对人工智能知识的掌握程度，组织相同人数的甲、乙两个科技小组进行一场人工智能知识竞赛，分别绘制了成绩不完整的甲组成绩统计表和乙组成绩统计图如下，并进行公布（满分10分，分数取整数）．
甲组成绩统计表
分数 7分 8分 9分 10分
人数 10 1 2
（1）求甲组成绩统计表中的值，并将乙组成绩条形统计图补充完整；
（2）求甲组学生成绩的平均分和中位数；
（3）成绩公布后，老师发现甲组一名学生成绩登记错误，若将该生成绩修改正确，甲组的中位数会超过乙组的中位数，直接写出这名学生至少增加多少分．
22．综合实践：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度
素材1：如图①，一种路灯由灯杆AB和灯管支架 BC两部分构成，已知灯杆AB与地面垂直，灯管支架 BC 与灯杆AB 的夹角∠ABC=127°.
素材2：如图②，在路灯正前方的点 D 处测得∠ADB=37°，∠ADC=45°，AD=400 cm.
根据以上素材解决问题：
(结果精确到 1 cm.参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80， tan 37°≈0.75)
（1）求灯杆 AB 的长度；
（2）求灯管支架 BC的长度.
23． 如图，P 是正方形ABCD 的对角线BD上一动点（不与点 B，D 重合），PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别为E，F.
（1）求证：四边形 FCEP 为矩形；
（2）求证：四边形 FCEP 的周长是定值：
（3）求证：PA=EF；
（4）在点 P 的运动过程中，EF 的长也随之变化，若正方形 ABCD 的边长为2，求 EF 长的最小值.
24．如图，Rt．过点的直线与以BC为直径的相交于点D，H，（点在直径BC上方），与直径BC交于点．连结BD，CD．
（1）如图1，若，点与圆心重合，求AD的长；
（2）如图2，已知DH平分．
①求证：；
②若，求AD的长．
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