数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南京市高淳区第一中学）
1.1 一元二次方程
教学目标
1．了解一元二次方程的一般形式，会写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项；
2．通过探索实际问题中的数量关系及其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，感受方程是刻画现实世界的有
效的数学模型；
3．通过观察，归纳一元二次方程的概念；
4．通过对问题的分析，培养学生对数学的兴趣，增进应用数学的信心．
教学重点
一元二次方程的概念．
教学难点
从具体问题抽象出一元二次方程的过程．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题情境
正方形桌面的面积是2m2，问：正方形的边长与面积之间有何数量关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？
设正方形桌面的边长是xm，可得：x2＝2．
通过一个简单的实际问题，引导学生用一元二次方程来解决问题，让学生自己提出问题，可激发学生的学习积极性，自觉地去分析题意，并体会方程是解决问题的一种有效的数学模型．
数学活动
问题1：如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2．
问：矩形花圃的宽与面积之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？
设花圃的宽是xm，则花圃的长是（19－2x）m，可得：
x（19－2x）＝24．
给出一个稍难的实际问题，让学生体会方程模型的有效性．
问题2：某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册．
问：图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？
先独立思考，后小组交流．
设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，图书馆的藏书一年后为5（1＋x）万册，两年后为[5（1＋x）]（1＋x）万册，
可得：5（1＋x）2 ＝9.8．
“求平均每年增长的百分率是多少？”是较难的一个问题，学生不易理解，教学中要让学生有充分的交流和理解的时间．
思考与探索
如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1m．设梯子的底端到墙面的距离是xm，怎样用方程来描述其中的数量关系？
先独立思考，后小组交流．
x 2＋（x－1）2＝25．
通过对前面问题的思考，学生用方程的意识不断增强，本题让学生思考完成，进一步感受方程思想．
尝试与交流
方程 x2＝2、x(19－2x)＝24、
5（1＋x）2 ＝9.8、x2＋（x－1）2 ＝25有哪些共同的特征？
它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2．
概念形成
①观察所得到的方程（化简后），通过比较，找到它们的异同点．归纳得出一元二次方程的概念，注意文字语言的表述与符号语言的表达，并明确每一项及每一项的系数．
②你还能写一些与它们类似的方程吗？
它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．
关于x的一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0 （a、b、c是常数，a≠0）．其中，ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数、一次项系数．
它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．
概念的形成要有归纳的过程，要会判断一个方程是否是一元二次方程，还要知道任何一个关于x的方程都可化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0
（a、b、c是常数，a≠0）．
练习
课本练习．
学生课内完成．
通过练习，明晰概念，巩固方程思想的应用．
总结
①实际问题 一元二次方程．
②一元二次方程的概念．
对本节内容进行归纳、总结，明确所学到的知识和数学思想方法．
通过总结和课后作业，巩固所学知识、技能、方法，感受数学在生活中的应用，增强应用数学的意识．
课后作业
课本习题1.1．
适当补充针对性练习．
完成作业，及时反馈．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南京市高淳区第一中学）
1.2 一元二次方程的解法（1）
教学目标
1．了解形如（x＋m）2＝n（n≥0）的一元二次方程的解法——直接开平方法；
2．会用直接开平方法解一元二次方程．
教学重点
会用直接开平方法解一元二次方程．
教学难点
理解直接开平方法与平方根的定义的关系．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题情境
如何解方程x2＝2呢？
根据平方根的意义，x是2的平方根，即x＝．此一元二次方程的根为x1＝，x2＝．
利用平方根的知识解决问题，并过渡到解方程．
概念
解方程 x2＝2．
解：
x1＝，x2＝．
这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
理解概念．
明确什么是直接开平方法．
例题精讲
例1 解下列方程：
（1）x2－4＝0；
（2）4x2－1＝0．
通过师生共同分析得出基本步骤：先移项，后用直接开平方．即：
（1）把常数项移到方程右边；
（2）利用平方根的意义解方程．
进一步明确直接开平方法解方程的基本步骤，熟练应用直接开平方法．
例2 解方程：（x＋1）2＝2．
只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解．
例2要求学生有整体思想，这种认识在之前的学习中是比较常见的．
总结反思
1．能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
2．直接开平方法解方程的一般步骤是什么？
如果一个一元二次方程具有（x＋h）2＝k（h、k是常数，k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解．
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解．
及时总结，进一步熟练应用直接开平方法．
达标练习
课本P10练习1、2．
学生课内完成．
通过练习，熟练应用直接开平方法．
总结
1．用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；
2．感受转化的数学思想．
对本节内容进行归纳、总结，明确所学到的知识和数学思想方法．
通过总结和课后作业，巩固所学知识、技能、方法．
课后作业
①课本习题1.2，P19第1题；
②适当补充针对性练习．
完成作业，及时反馈．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南京市高淳区第一中学）
1.2 一元二次方程的解法（2）
教学目标
理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；
在配方过程中体会“转化”的数学思想，掌握转化的技巧．
教学重点
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．
教学难点
把一元二次方程转化为(x＋h)2＝k的形式．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题情境
请同学们解一元二次方程：
x2＝5 ①；（x＋3）2＝5 ②．并提问：你用的是什么方法？这两个方程的解法有相似之处吗？
解方程，并指出用的是直接开平方法．如果把（x＋3）看成是一个整体，则方程②就可看成是方程①．
复习直接开平方法，并让学生体会整体的思想，为下面配方法的学习做铺垫．
数学活动
活动1：你会解方程
x2＋6x＋4＝0 ③吗？教师可引导：为什么解不出来？能否转化成别的形式来解决？
师生共同探讨转化为（ ）2＝a的形式的过程，形成解决问题的一般方法：学生经过充分思考、交流，寻找解决方法．在这个过程中，学生会出现一些错误，教师及时指导．最终发现方程③就是方程②．解决问题的方法就叫配方法．
给出一个有一定挑战性的问题，让学生去思考，这里，老师要留给学生充分的考虑时间，让学生体会转化的作用，感受数学之美．
活动2：配方练习．
填空：
(1) x2＋2x＋ ＝(x＋ )2；
(2)x2－3x＋ ＝(x－ )2．
你发现了什么规律？
把一个一元二次方程变形为(x＋h)2＝k（h、k为常数）的形式，当
k≥0时，就可以用直接开平方法求出方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
及时练习，掌握配方技巧．
活动3：如何解方程x2＋6x＋4＝0？
学生回顾以前学过的完全平方公式，解决问题，并总结配方的技巧．即：当二次项系数为1时，完全平方式中的常数项是一次项系数一半的平方．
通过解决问题情境中的问题形成一般性方法．
例题精讲
解下列方程：
（1）x2－4x＋3＝0；
（2）x2＋3x－1＝0．
通过师生共同分析得基本步骤：先移项，后配方，再直接开平方．即：（1）把常数项移到方程右边；
（2）在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1时），使左边成为完全平方式．如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法求解；如果右边是个负数，则指出原方程无实根.
说明：要注意解题格式的规范性和检验的必要性.（不要求写出检验步骤）
进一步明确配方法解方程的基本步骤，熟练掌握配方法．
达标练习
课本练习1、2．
学生课内完成．
通过练习，熟练应用配方法．
数学实验室
从拼图的角度来表示一元二次方程x2＋2x－24＝0配方的过程．
学生动手操作，边操作边理解．
理解配方法，感受数与形的联系．
总结
用配方法解一元二次方程；
② 感受转化的数学思想．
对本节内容进行归纳、总结，明确所学到的知识和数学思想方法．
通过总结和课后作业，巩固所学知识、技能、方法．
课后作业
①课本习题；
②适当补充针对性练习．
完成作业，及时反馈．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南京市高淳区第一中学）
1.2 一元二次方程的解法（3）
教学目标
会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；
在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想．
教学重点
会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程；
教学难点
在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题情境
用配方法解下列方程：
(1) x2－6x－16＝0；
(2) x2＋3x－2＝0．
解方程．
复习配方法解一元二次方程，为新课作铺垫．
例题精讲
解方程：2x2－5x＋2＝0．
通过师生共同分析得出基本步骤：先两边除以2，后用上节课学习的配方法解决问题2x2－5x＋2＝0.
解：两边都除以2，得 ．
移项，得 ．
配方，得 ，
．
解这个方程，得 ．
所以
明确用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的基本步骤．
例5 解方程－3x2＋4x＋1＝0．
通过师生共同分析得出基本步骤：先两边除以－3，后用上节课学习的配方法解决问题．
－3x2＋4x＋1＝0．
解：两边都除以－3，得
移项，得
配方，得
解这个方程，得
所以
进一步熟练用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．
总结反思
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤．
（1）系数化为1．
（2）移项．
（3）配方．
（4）开方．
（5）求解．
（6）定根．
及时总结，进一步熟练应用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．
达标练习
课本P14练习．
学生课内完成．
通过练习，熟练配方法解二次项系数不为1的一元二次方程．
总结
1．怎样解二次项系数不为1的一元二次方程？
2．感受转化的数学思想．
对本节内容进行归纳、总结，明确所学到的知识和数学思想方法．
把二次项系数转化为1．
通过总结和课后作业，巩固所学知识、技能、方法．
课后作业
①课本习题1.2，P20第3题；
②适当补充针对性练习．
完成作业，及时反馈．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南京市高淳区第一中学）
1.2 一元二次方程的解法（4）
教学目标
会用公式法解一元二次方程；
学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，并明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0；
在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，体会转化的思想方法．
教学重点
会用公式法解一元二次方程．
教学难点
学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，并明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题情境
用配方法解下列方程：x2＋2x－3＝0．
你会解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是常数，a≠0)吗？
解方程．
复习配方法解一元二次方程，为新课作铺垫．
从数学过渡到字母，引导学生去推导求根公式．
思考与探索
求根公式的推导．
因为a≠0，所以方程两边都除以a，得
．
移项，得．
配方，得，
即．
∵a≠0，∴4a2＞0．当b2－4ac≥0时，
．
教师与学生一起进行公式的推导，这个教学环节要求较高，需在教师的引导下进行．
概念
一般地，对于一元二次方程，如果b2－4ac≥0，那么方程的两个根为，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式，解一元二次方程的方法叫做公式法．
明确概念．
能记住公式，最好能推导出来．
反思
当时，方程有实数根吗？
通过公式的推导，学生解答．
本问题的设计使学生注意到方程实数解由根的判别式决定．
例题精讲
例6 解下列方程：
（1）x2＋3x＋2＝0；
（2）2(x2－2)＝7x．
利用公式法解方程．
对公式法解一元二次方程进行示范．
达标练习
课本P16练习．
学生课内完成．
通过练习，熟练应用公式法解一元二次方程．
总结
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值．
（2）求出b2－4ac的值．
（3）代入求根公式．
（4）写出方程的解．
对本节内容进行归纳、总结，明确所学到的知识和数学思想方法．
把二次项系数转化为1．
通过总结和课后作业，巩固所学知识、技能、方法．
课后作业
①课本习题1.2，P20第4题；
②适当补充针对性练习．
完成作业，及时反馈．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南京市高淳区第一中学）
1.2 一元二次方程的解法（5）
教学目标
能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况；
用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用．
教学重点
能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况．
教学难点
用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
回顾复习
用公式法解一元二次方程的一般步骤．
回顾公式法解一元二次方程的一般步骤．
复习公式法解一元二次方程，为新课作铺垫．
例题精讲
例7 解下列方程：
（1） x2＋x－1＝0；
（2） ；
（3） 2x2－2x＋1＝0．
用公式法解一元二次方程．
教师与学生一起进行公式的推导，这个教学环节要求较高，需在教师的引导下进行．
总结反思
一元二次方程
根的情况：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根．
师生共同总结．
通过总结，明确根的判别式与根的关系．
例题精讲
1．不解方程，判别下列方程根的情况．
（1）x2＋3x－1＝0；
（2）2y2－3y＋4＝0．
2．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤－1； B．k≥－1；
C．k<－1； D．k>－1．
师生共同完成．
进一步加强对根的判别式的理解．
达标练习
课本练习P17练习1、2．
学生课内完成．
通过练习，熟练根的判别式的应用．
总结
1．什么是一元二次方程根的判别式？
2．一元二次方程根有几种情况？
对本节内容进行归纳、总结．
通过总结和课后作业，巩固所学知识、技能、方法．
课后作业
①课本习题1.2，P20第7、9题；
②适当补充针对性练习．
完成作业，及时反馈．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南京市高淳区第一中学）
1.2 一元二次方程的解法（6）
教学目标
会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法；
能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性．
教学重点
会用因式分解法解一元二次方程，体会“降次”化归的思想方法．
教学难点
能根据一元二次方程的特征，选择适当的求解方法，体会解决问题的灵活性和多样性．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题情境
如何解方程 x2－x ＝0．
既可以用配方法解，也可以用公式法来解．
解法3：
将方程的左边分解因式，得
x(x－1)＝0，
此时x和x－1两个因式中必有一个为0，即
x＝0或x－1＝0，
∴ x1＝0，x2＝1．
引导学生对于特殊形式的一元二次方程可用积的意义去解决，为因式分解法的学习作铺垫．
概念
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
如果一个一元二次方程的一边为0，另一边能分解成两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可用因式分解法来求解．
明确因式分解法的概念．
突出重点．
例题精讲
例8 解下列方程：
（1）x2＝4x；
（2）x＋3－x(x＋3)＝0．
师生共同完成．
通过例题，熟练因式分解法解一元二次方程．
例题精讲
例9 解方程： (2x－1)2－x2＝0．
师生共同完成．
利用平方差公式进行因式分解，也可引导学生用直接开平方法进行．
观察与思考
解方程： (x＋2) 2＝4（x＋2）．
思考：哪种解法正确？你是怎样思考的？
解法1：原方程可变形为
(x＋2)2－4(x＋2)＝0，
(x＋2)(x－2)＝0．
x＋2＝0或x－2＝0．
所以 x1＝－2，x２＝2．
解法2：原方程两边都除以（x＋2），得
x＋2＝4．
所以 x＝2．
通过两种解法的辨析，让学生感受方程两边同除以一个式子时，要考虑这个式子不能为0．
达标练习
课本练习P19练习1、2．
学生课内完成．
通过练习，熟练用因式分解法解一元二次方程．
总结
1.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把一元二次方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次因式的积；
（3）每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
2.一元二次方程的根有几种情况？
对本节内容进行归纳、总结．
通过总结和课后作业，巩固所学知识、技能、方法．
课后作业
①课本习题1.2，P20第5题；
②适当补充针对性练习．
完成作业，及时反馈．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南京市高淳区第一中学）
1.3 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用；
能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．
教学重点
了解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用．
教学难点
能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
探索发现
观察下表，你能发现下列一元二次
方程的根与系数有什么关系吗？
x1
x2
1
2
－1
－2
2
3
－2
－3
0
3
两根的积与常数项相等；
两根的和与一次项系数互为相反数．
从简单的根与系数的关系入手，让学生进行探索，激起学生的求知欲．
解释规律
你能解释刚才的发现吗？
一般地，在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，如果b2－4ac≥0，那么它的两个根分别是x1、x2．
．
．
把公式的推导与规律的探索结合起来，提高了学生的参与度，吸引学生主动参与到公式的推导中来．
总结发现
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），如果b2－4ac≥0，它的两个根分别是x1、x2．
，．
师生共同完成．
通过总结，熟悉公式．
例题精讲
例 求下列方程两根的和与两根的积：（1）x2＋2x－5＝0； （2）2x2＋x＝1．
需要解方程吗？
师生共同完成．
引导学生直接用公式求解．
尝试与交流
小明在一本课外读物中读到如下一段文字：
“一元二次方程x2－ x ＝0的两根是和”，
你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？
师生共同完成．
通过这个环节的教学，使学生更熟练地用根与系数的关系解决问题．
达标练习
课本练习P23练习1、2．
学生课内完成．
通过练习，熟练根与系数的关系的应用．
总结
1．一元二次方程根与系数的关系是什么？
2．应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成一般形式；
3．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．
对本节内容进行归纳、总结．
通过总结和课后作业，巩固所学知识、技能、方法．
课后作业
①课本习题1.3；
②适当补充针对性练习．
完成作业，及时反馈．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南京市高淳区第一中学）
1.4 用一元二次方程解决问题（1）
教学目标
经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力；
能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．
教学重点
分析和解决问题．
教学难点
根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
回顾
解应用题的一般步骤．
第一步：设未知数（单位名称）；
第二步：列出方程；
第三步：解这个方程，求出未知数的值；
第四步：验(1)值是否符合实际意义；
(2)值是否使所列方程左右相等．
第五步：答题完整（单位名称）．
列方程解应用题是学生很熟悉的问题，老师在教学中要始终坚持解应用题的一般思路．
问题1：
用一根长22cm的铁丝：
(1) 能否围成面积是30cm2的矩形？
(2) 能否围成面积是32cm2的矩形？
解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，则矩形的宽是
（11－x）cm．
(1)根据题意，得
，
即．
解这个方程，得，．
当时，；
当时，；
答：用一根长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形。
(2)根据题意，得，
即x2－11x＋32＝0．
因为，
所以此方程没有实数解．
答：用一根长22cm的铁丝不能围成面积是32cm2的矩形．
问题1的两小题互相对应，体现数学建模的思想．
问题2：
某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率是多少？
分析：
如果设平均每月利润增长的百分率为x，那么7月份的利润是2500(1＋x)元，8月份的利润是［2500(1＋x)］(1＋x)元．
解：设平均每月利润增长的百分率是x．根据题意得
2500(1＋x)2＝3600．
解这个方程，得
x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：平均每月利润增长的百分率是20％．
本题是数学应用题里的一个典型问题，学生在理解8月份的利润表达式时有点困难，老师要注意引导，鼓励学生用不同的方法得到答案．
练习
课本练习P25练习1、2、3．
学生课内完成．
及时反馈．
总结
①用一元二次方程解决应用题的基本步骤；
②怎样去分析问题？
对本节内容进行归纳、总结，明确所学到的知识和数学思想方法．未知数 未知量 方程．
分析和解决问题的能力的培养非一夕之功，它是一个螺旋上升的过程，要对学生长期培养．
课后作业
①课本习题；
②适当补充针对性练习．
完成作业，及时反馈．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南京市高淳区第一中学）
1.4 用一元二次方程解决问题（2）
教学目标
经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力；
能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．
教学重点
分析和解决问题．
教学难点
根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
回顾
解应用题的一般步骤．
第一步：设未知数（单位名称）；
第二步：列出方程；
第三步：解这个方程，求出未知数的值；
第四步：验(1)值是否符合实际意义；
(2)值是否使所列方程左右相等．
第五步：答题完整（单位名称）．
列方程解应用题是学生很熟悉的问题，老师在教学中要始终坚持解应用题的一般思路．
问题3：
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
分析：设衬衫的单价降x元，则商场平均每天可多售出2x件衬衫．根据“售出的衬衫件数×每件衬衫的盈利＝1250元”，列出方程．
问题3关键是对盈利的理解，总盈利应是单件商品的盈利与商品的数量之积．
问题4：
根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织
一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元．你能确定参加这次旅游的人数吗？
教师适当引导学生可从未知数出发，去表示其他的量．学生上黑板板书解题过程，师生共同评价，并规范解题格式．
本题目信息量大，数量关系的获得有一定难度，课堂教学中让学生充分思考，交流，培养学生分析解决问题的能力．课件中没有显示解题过程，旨在让师生共同书写解题过程．
练习
课本P27练习1、2．
学生课内完成．
及时反馈．
总结
① 用一元二次方程解决应用题的基本步骤；
② 怎样去分析问题？
对本节内容进行归纳、总结，明确所学到的知识和数学思想方法．
未知数 未知量 方程．
分析和解决问题的能力的培养非一夕之功，它是一个螺旋上升的过程，要对学生长期培养．
课后作业
①课本习题1.4，第7、8题；
②适当补充针对性练习．
完成作业，及时反馈．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南京市高淳区第一中学）
1.4 用一元二次方程解决问题（3）
教学目标
经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力；
能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力、分析和解决问题的能力．
教学重点
分析和解决问题．
教学难点
根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
回顾
解应用题的一般步骤．
第一步：设未知数（单位名称）；
第二步：列出方程；
第三步：解这个方程，求出未知数的值；
第四步：验(1)值是否符合实际意义；
(2)值是否使所列方程左右相等．
第五步：答题完整（单位名称）．
列方程解应用题是学生很熟悉的问题，老师在教学中要始终坚持解应用题的一般思路．
问题5：
如图，海关缉私人员驾艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行．缉私艇随即以75km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？
分析：设缉私艇从C处到B处需航行xh，则AB＝60xkm，BC＝75xkm．根据题意，可知△ABC是直角三角形，利用勾股定理可以列出方程．
解：设缉私艇从C处到B处需航行xh，则AB＝60xkm，BC＝75xkm．根据题意，得△ABC是直角三角形，AC＝30km．
于是（60x)2＋302 ＝(75x) 2．
解这个方程，得x1＝，x2＝（不合题意，舍去)．
答：缉私艇从C处到B处需航行h．
几何背景与代数背景是相通的，都是用未知数表示未知量，再利用等量关系得出一个方程．解决问题的关键是怎样解读问题中蕴含的量与量的关系.
问题6：
如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？
分析：设xs后△DPQ的面积等于28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度分别可用含x的代数式表示，从而Rt △DAP 、 Rt △PBQ、Rt △QCD的面积也都可以用含x的代数式表示，于是可以列出方程．
解：设xs后△DPQ的面积等于28cm2，则 △DAP 、△PBQ、△QCD的面积分别为．
根据题意，得，
即x2－6x＋8＝0．
解这个方程，得x1＝2，x2＝4．
答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm2 ．
问题6与问题5都是几何背景的问题，同样体现数学建模的思想．
练习
课本练习P29练习．
学生课内完成．
及时反馈．
总结
① 用一元二次方程解决应用题的基本步骤；
② 怎样去分析问题？
对本节内容进行归纳、总结，明确所学到的知识和数学思想方法．
未知数 未知量 方程．
分析和解决问题的能力的培养非一夕之功，它是一个螺旋上升的过程，要对学生长期培养．
课后作业
①课本习题1.4，第9、10、11题；
②适当补充针对性练习．
完成作业，及时反馈．
课件10张PPT。1.1 一元二次方程九年级(上册)初中数学1.1 一元二次方程正方形桌面的面积是2m2 ． 问：正方形的边长与面积之间有何数量关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？设正方形桌面的边长是xm，可得：x2＝2．【问题情境】 问题1：如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2. 问：矩形花圃的宽与面积之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？1.1 一元二次方程 设花圃的宽是xm，则花圃的长是（19－2x）m，可得：x(19－2x)＝24．【数学活动】 问题2：某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册．
问：图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量之间有何关系？你用什么样的数学式子来描述它们之间的关系？1.1 一元二次方程 设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，图书馆的藏书一年后为5（1＋x）万册，两年后为
［5（1＋x）］（1 ＋x）万册，
可得：5（1＋x）2 ＝9.8．【数学活动】1.1 一元二次方程 如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离比梯子的顶端与地面的距离多1m ．
设梯子的底端与墙的距离是xm，怎样用方程来描述其中的数量关系？ x 2＋（x －1）2 ＝25．【思考与探索】 方程 x2＝2、x(19－2x)＝24、5（1 ＋x ）2 ＝9.8、x 2 ＋（x －1 ）2 ＝25有哪些共同的特征？1.1 一元二次方程 它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．【尝试与交流】1.1 一元二次方程 关于x的一元二次方程的一般形式是
ax2＋bx＋c＝0 （a、b、c是常数，a≠0）. 其中，ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数和一次项系数． 它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．为什么？【概念】【练习】课本P7练习1、2．1.1 一元二次方程① 实际问题 一元二次方程．② 一元二次方程的概念．课本习题1.1.【小结】1.1 一元二次方程【课后作业】谢 谢!1.1 一元二次方程课件9张PPT。1.2 一元二次方程的解法（1）九年级(上册)初中数学1.2 一元二次方程的解法（1）【问题情境】如何解方程 x2＝2 呢？ 根据平方根的意义，x是2的平方根，即 x＝ . 此一元二次方程的根为 x1＝ ， x2= .1.2 一元二次方程的解法（1）【概念】解：
x1 ＝ ，x2= . 这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．解方程x2＝2．1.2 一元二次方程的解法（1）【例题精讲】例1 解下列方程：
（1）x2－4＝0； （2）4x2－1＝0 ．解：（1）移项，得 x2＝4，∵x是4的平方根，∴x＝±2．即 x1＝2，x2＝－2．（2）移项，得4x2＝1，两边都除以4，得∵x是 的平方根，∴x＝ ． 即x1＝ ，x2＝ ．x2＝ ．1.2 一元二次方程的解法（1）【例题精讲】例2 解方程：（x＋1）2＝ 2 .
分析：只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.解：∵x＋1是2的平方根，∴x＋1＝ ， 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解 . 1．能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特
点？ 如果一个一元二次方程具有（x＋h）2＝k（h、k是常数，k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2．直接开平方法解方程的一般步骤是什么？1.2 一元二次方程的解法（1）【总结反思】1.2 一元二次方程的解法（1）
课本练习P10练习1、2．【练习】【小结】1.2 一元二次方程的解法（1）【课后作业】1．用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；
2．感受转化的数学思想．（x＋h）2＝ k（h、k是常数，k≥0）．课本习题1.2， P19第1题．谢 谢!1.2 一元二次方程的解法（1）课件10张PPT。1.2 一元二次方程的解法（2）九年级(上册)初中数学1.2 一元二次方程的解法（2） 解一元二次方程：
x2＝5 ； (x＋3)2＝5. 你用的是什么方法？
这两个方程的解法有相似之处吗？ 你会解方程x2＋6x＋4＝0 吗？ 【问题情境】1.2 一元二次方程的解法（2）怎样解方程x2＋6x＋4＝0 ？ 比较：方程x2＋6x＋4＝0 与(x＋3)2＝5．解方程x2＋6x＋4＝0 的关键是什么？ 【数学活动1】1.2 一元二次方程的解法（2）填空：
(1) x2＋2x＋ ＝(x＋ )2；
(2) x2－3x＋ ＝(x－ )2．
你发现了什么规律？ 【数学活动2】1.2 一元二次方程的解法（2）解方程x2＋6x＋4＝0 的步骤是什么？ 把一个一元二次方程变形为（x＋h）2 ＝k (h、k为常数)的形式，当k ≥0时，就可以用直接开平方法求出方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法.【概念】1.2 一元二次方程的解法（2）解下列方程：
（1）x2－4x＋3＝0；
（2）x2＋3x－1＝0． 【例题精讲】【数学实验室】1.2 一元二次方程的解法（2）【练习】1.2 一元二次方程的解法（2）
课本练习P13练习1、2．【小结】1.2 一元二次方程的解法（2）① 用配方法解一元二次方程； ② 感受转化的数学思想．【课后作业】课本习题1.2， P19第2题．谢 谢!1.2 一元二次方程的解法（2）课件8张PPT。1.2 一元二次方程的解法（3）九年级(上册)初中数学1.2 一元二次方程的解法（3）【问题情境】用配方法解下列方程：(1) x2－6x－16＝0；
(2) x2＋3x－2＝0． 1.2 一元二次方程的解法（3）【例题精讲】例4 解方程2x2－5x＋2＝0. 解：两边都除以2，得移项，得配方，得
解这个方程，得
∴ ， ． 1.2 一元二次方程的解法（3）【例题精讲】例5 解方程－3x2＋4x＋1＝0．解：两边都除以－3，得 移项，得 配方，得 解这个方程，得∴ ．1.2 一元二次方程的解法（3）【总结反思】 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1．
（2）移项．
（3）配方．
（4）开方．
（5）求解．
（6）定根． 【练习】
课本练习P14练习．1.2 一元二次方程的解法（3）【小结】1.2 一元二次方程的解法（3）2．感受转化的数学思想．【课后作业】课本习题1.2，P20第3题．1．怎样解二次项系数不为1的一元二次方程？谢 谢!1.2 一元二次方程的解法（3）课件9张PPT。1.2 一元二次方程的解法（4）九年级(上册)初中数学1.2 一元二次方程的解法（4） 你会解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是常数，a≠0)吗？ 【问题情境】用配方法解下列一元二次方程：x2＋2x －3＝0．1.2 一元二次方程的解法（4）【思考与探索】 因为a≠0，所以方程两边都除以a，得 解：移项，得配方，得即1.2 一元二次方程的解法（4）【思考与探索】即∵a≠0，∴4a2＞0，当b2－4ac≥0时，1.2 一元二次方程的解法（4）【概念】 一般地，对于一元二次方程 ，
如果 那么方程的两个根为 ，
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式，解一元
二次方程的方法叫做公式法.b2－4ac≥0，1.2 一元二次方程的解法（4）【反思】当 时，方程有实数根吗？ 【练习】1.2 一元二次方程的解法（4）
课本练习P16练习．【例题精讲】例6 解下列方程：
（1）x2 ＋3x ＋2 ＝0； （2）2(x2－2)＝7x.
【小结】1.2 一元二次方程的解法（4）【课后作业】课本习题1.2，P20第4题．用公式法解一元二次方程的一般步骤：2．求出 的值，1．把方程化成一般形式，并写出 a、b、c 的值.4．写出方程的解：特别注意:当 时没有实数根．3．代入求根公式： ．谢 谢!1.2 一元二次方程的解法（4）课件8张PPT。1.2 一元二次方程的解法（5）九年级(上册)初中数学1.2 一元二次方程的解法（5）【回顾复习】用公式法解一元二次方程的一般步骤：2．求出b2 －4ac 的值，1．把方程化成一般形式，并写出a、b、c 的值.4．写出方程的解：x1、x2． 特别注意：当 b2 －4ac＜0 时没有实数根．3．代入求根公式： ．1.2 一元二次方程的解法（5）【例题精讲】 (1) x2＋x－1＝0；
(2) ；
(3) 2x2－2x＋1＝0．
例7 解下列方程：1.2 一元二次方程的解法（5）【总结反思】当b2－4ac ＜ 0 时，方程没有实数根.当b2－4ac ＞ 0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac ＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；一元二次方程 根的情况：根的判别式1.2 一元二次方程的解法（5）【例题精讲】1．不解方程，判别下列方程根的情况．
(1) x2＋3x－1＝0；
(2)2y2－3y＋4＝0．
2．已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有
实数根，则k的取值范围是 ( )．
A．k≤－1； B．k≥－1；C．k＜－1； D．k＞－1．B【练习】1.2 一元二次方程的解法（5）
课本练习P17练习1、2．【小结】1.2 一元二次方程的解法（5）【课后作业】课本习题1.2，P20第7、9题．1．什么是一元二次方程根的判别式？2．一元二次方程根有几种情况？谢 谢!1.2 一元二次方程的解法（5）课件10张PPT。1.2 一元二次方程的解法（6）九年级(上册)初中数学1.2 一元二次方程的解法（6）【问题情境】如何解方程 x2－x＝0? 既可以用配方法解，也可以用公式法来解.解法3：
将方程的左边分解因式，得
x(x － 1)＝0，
此时x和x － 1两个因式中必有一个为0，即
x＝0或x － 1＝0，
∴ x1＝0，x2＝1．【概念】1.2 一元二次方程的解法（6）这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 如果一个一元二次方程的一边为0 ，另一边能
分解成两个一次因式的乘积 ，那么这样的一元
二次方程就可用因式分解法来求解．解法3：
将方程的左边分解因式，得
x(x － 1)＝0，
此时x和x － 1两个因式中必有一个为0，即
x＝0或x － 1＝0，
∴ x1＝0，x2＝1．1.2 一元二次方程的解法（6）例8 解下列方程：
（1）x2＝4x；
（2）x＋3－x(x＋3)＝0． 【例题精讲】1.2 一元二次方程的解法（6）【例题精讲】例9 解方程 (2x－1)2－x2＝0.【 观察与思考】1.2 一元二次方程的解法（6）解方程 (x＋2)2 ＝ 4（ x＋ 2）.解法1：原方程可变形为
（x＋2）2－4(x＋2) ＝0，(x＋2)(x－2)＝0．x＋2＝0或x－2＝0．所以 x1＝－2, x2＝2．解法2：原方程两边都
除以（x＋2），得x＋2＝4．所以 x＝2．思考：哪种解法正确？你是怎样思考的？【练习】
课本练习P19练习1、2．1.2 一元二次方程的解法（6）【小结】1.2 一元二次方程的解法（6）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）把一元二次方程右边化为0；
（2）将方程左边分解为两个一次因式的积；
（3）每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．1.2 一元二次方程的解法（6）【课后作业】课本习题1.2，P20第5题．谢 谢!1.2 一元二次方程的解法（6）课件12张PPT。1.3 一元二次方程的根与系数的关系九年级(上册)初中数学1.3 一元二次方程的根与系数的关系【探索发现】 观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？两根的积与 常数项相等，两根的和与 一次项系数 互为相反数．【解释规律】你能解释刚才的发现吗？1.3 一元二次方程的根与系数的关系则 一般地，在一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）中，如果b2－4ac≥0，那么它的两个根分别是x1、x2．
1.3 一元二次方程的根与系数的关系1.3 一元二次方程的根与系数的关系【总结发现】 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0），
的两个根分别x1、x2，那么：1.3 一元二次方程的根与系数的关系，．1.3 一元二次方程的根与系数的关系【例题精讲】例 求下列方程两根的和与两根的积：
（1）x2＋2x－5＝0； （2）2x2＋x＝1.需要解方程吗？【尝试与交流】1.3 一元二次方程的根与系数的关系 你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？【练习】
课本练习P23练习1、2．1.3 一元二次方程的根与系数的关系【小结】 2．应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成一般形式； 3．应用一元二次方程的根与系数关系时，
要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当
b2－4ac≥0 时，才能应用根与系数的关系. 1．一元二次方程根与系数的关系是什么?1.3 一元二次方程的根与系数的关系【课后作业】课本习题1.3．1.3 一元二次方程的根与系数的关系谢 谢!1.3 一元二次方程的根与系数的关系课件8张PPT。1.4 用一元二次方解决问题(1)九年级(上册)初中数学1.4 用一元二次方程解决问题（1）【回顾】解应用题的一般步骤第一步：设未知数(单位名称)；第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：验(1)值是否符合实际意义；
(2)值是否使所列方程左右相等．第五步：答题完整（单位名称）．1.4 用一元二次方程解决问题（1）【问题1】 用一根长22cm的铁丝： (1) 能否围成面积是30cm2的矩形？ (2) 能否围成面积是32cm2的矩形?
解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，则矩形
的宽是（11－x）cm．(1)根据题意，得即解这个方程，得 ． 当 时，当 时，答：用一根长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形.即所以此方程没有实数解. 答：用一根长22cm的铁丝不能围成面积是32cm2的矩形.1.4 用一元二次方程解决问题（1） 用一根长22cm的铁丝： (1) 能否围成面积是30cm2的矩形？ (2) 能否围成面积是32cm2的矩形？因为【问题2】 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月利润增长的百分率是多少？ 那么：7月份的利润是 元，
8月份的利润是 元．分析：2500(1＋x)［2500(1＋x)］(1＋ x)如果设平均每月利润增长的百分率为x，解：设平均每月利润增长的百分率是x．根据题意得
2500(1＋x)2 ＝3600．解这个方程，得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2．(不合题意,舍去) 答：平均每月利润增长的百分率是20％.1.4 用一元二次方程解决问题（1）【练习】1.4 用一元二次方程解决问题（1）
课本练习P25练习．① 用一元二次方程解决应用题的基本步骤；
② 怎样去分析问题？课本习题1.4第1、2、3、4、5、6题．未知数 未知量 方程
【小结】【课后作业】1.4 用一元二次方程解决问题（1）谢 谢!1.4 用一元二次方程解决问题（1）课件7张PPT。1.4 用一元二次方程解决问题(2)九年级(上册)初中数学1.4 用一元二次方程解决问题（2）【回顾】解应用题的一般步骤．第一步：设未知数(单位名称)；第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：验(1)值是否符合实际意义；
(2)值是否使所列方程左右相等．第五步：答题完整（单位名称）．1.4 用一元二次方程解决问题（2）【问题3】 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？ 分析：设衬衫的单价降x元，则商场平均每天可多售出2 x件衬衫．根据“售出的衬衫件数×每件衬衫的盈利＝1250元”，列出方程． 根据龙湾风景区的旅游信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社28000元，你能确定参加这次旅游的人数吗？ 1.4 用一元二次方程解决问题（2）【问题4】【练习】1.4 用一元二次方程解决问题（2）
课本练习P27练习．① 用一元二次方程解决应用题的基本步骤；
② 怎样去分析问题？课本习题1.4第7、8题．未知数 未知量 方程
【小结】1.4 用一元二次方程解决问题【课后作业】1.4 用一元二次方程解决问题（2）谢 谢!1.4 用一元二次方程解决问题（2）课件9张PPT。1.4 用一元二次方程解决问题(3)九年级(上册)初中数学1.4 用一元二次方程解决问题（3）【回顾】解应用题的一般步骤．第一步：设未知数(单位名称)；第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：验(1)值是否符合实际意义；
(2)值是否使所列方程左右相等．第五步：答题完整（单位名称）．【问题5】1.4 用一元二次方程解决问题（3） 如图，海关缉私人员驾艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行．缉私艇随即以75km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？ 分析：设缉私艇从C处到B处需航行xh，则AB＝60xkm，BC＝75xkm．根据题意，可知△ABC是直角三角形，利用勾股定理可以列出方程．
1.4 用一元二次方程解决问题（3） 解：设缉私艇从C处到B处需航行xh，则AB＝60xkm，BC＝75xkm．
根据题意，得△ABC是直角三角形，
AC＝30km.
于是（60x)2 ＋ 302 ＝(75x)2．
解得x1＝ ，x2＝－ （舍去）．
答：缉私艇从C处到B处需航行 h.1.4 用一元二次方程解决问题（3） 如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．几秒钟后△DPQ的面积等于28cm2？ 分析：设xs后△DPQ的面积等于28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度分别可用含x的代数式表示，从而Rt △DAP 、 Rt △PBQ、
Rt △QCD的面积也都可以用含x的代数式表示，于是可以列出方程．
【问题6】1.4 用一元二次方程解决问题（3） 解：设xs后△DPQ的面积等于28cm2，则 △DAP 、 △PBQ、 △QCD的面积分别为根据题意，得答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm2 .【练习】1.4 用一元二次方程解决问题（3）
课本练习P29练习．① 用一元二次方程解决应用题的基本步骤；
② 怎样去分析问题？课本习题1.4，第9、10、11题．未知数 未知量 方程
【小结】1.4 用一元二次方程解决问题【课后作业】1.4 用一元二次方程解决问题（3）谢 谢!1.4 用一元二次方程解决问题（3）代数学习困难的心理学分析及解决措施
数量关系的符号表示是代数的灵魂，它能使复杂的数量关系变化规律得到简明表示，而且符号和表达式还能够在探索解决问题的途径中提供线索．代数学习中，学生通过式、方程、函数、不等式、数列等学习内容，接触到语言的、数字的、符号的和图像的等各种数学表示，在学习这些表示的过程中，体会和理解用符号语言、构造方程或函数的手段来表述各种关系、描述各种变化的方法．
一、代数学习困难的心理学分析
代数学习是在算术学习基础上进行的．从心理学角度看，代数学习要以学生抽象逻辑思维的发展为基础．学生在小学阶段已经接触过某些代数思想，例如用“设未知量为x”建立方程的方法解数学应用题，当然，对“未知量x”含义的了解是非常肤浅的．进入初中后，学生要学习比较系统的代数内容，学习中会产生许多困难．
1．学生思维发展水平方面的原因．
字母代数是由常量数学到变量数学转变的开端．通过有关数、式、方程、函数等内容的学习，学生不但要掌握各种概念、运算法则，而且要学习各种代数变形的思想方法．通过代数学习，使学生的归纳、演绎、抽象、概括等思维形式都获得发展．从运算的角度说，代数运算（特别是式的运算和函数运算）主要是一种形式化的符号变换，其抽象程度较高，不像小学数学的运算那样，有现实背景作为思维的强有力依托．因此，代数学习在促进学生逻辑思维发展的同时，又要以形式逻辑思维能力的发展作为基础．
心理学家曾经从（1）数学概念形成水平的发展；（2）数学命题演算水平的发展和（3）数学推理能力水平的发展等三个方面研究了中学生形式逻辑思维水平的发展情况，研究表明：
在概念形成水平的发展上，要经历了解与认识概念、理解与掌握概念和灵活运用概念等阶段．当前，学生（特别是初中学生）对概念的认识较多停留在感性的、初步的水平上，而对概念的发生发展过程、概念的内涵与外延，特别是对概念间的内在联系的认识水平普遍较低．
在数学命题演算水平的发展上，要经历能对带有全称量词的简单命题进行演算但不能理解命题演算过程中逻辑连接词含义、能进行简单命题的合并和否定演算、能进行符合命题的否定演算等三级水平．通过循序渐进的命题形式的演算，学生的命题演算水平获得了发展，而且呈现年龄特征．初二学生大都集中在第一级水平上，初三学生虽然在同一级水平层次上有所发展，但仍以第一级水平上的人数为多．进入高中后，第一级水平的发展似乎停止，后两级有一个飞速发展．这与学生的思维水平趋向成熟有关，也与高中数学课程中直接学习集合、简易逻辑等与命题演算直接相关的内容有关．所以，大多数初中学生的逻辑思维能力发展的水平较低．另外，学生掌握命题结构的能力普遍较低．
数学推理可以分为似真推理和逻辑推理两个方面．在解决问题的过程中，分析问题、选择解法往往以似真推理为主，而解题方法的具体实施则多与逻辑推理相关．逻辑推理的发展要经历四级水平：直接推理水平，即套用公式直接推出结论；间接推理水平，即需要进行条件转化、寻找依据、经过多个步骤得出结论；迂回推理水平，即需要深入分析条件及相互关系，提出假设，反复验证后才得出结论；综合性推理水平，即要按照一定的数理逻辑规则、格式进行推理，追求推理过程的简练、合理．研究表明，中学生逻辑推理水平普遍较低，初一学生有一半以上不能套公式做题，高中学生还有人不能按公式进行一步推理，多步推理成为普遍难题，综合性推理更是困难重重．
由上所述可知，学生形式逻辑思维发展水平不够是造成代数学习困难的主要原因之一．由于学生的思维发展有其自身的规律性，数学学习受到这种发展规律的制约，因此，在数学课程、教材和教学中，对学生提出恰当的要求是非常重要的．
以下三条更加直接针对了代数学习．
2．自然语言、数学语言的理解能力以及转换能力方面的原因．
数学知识使用专门的数学语言来表述，数学思维必须借助于数学语言才能进行．因此，数学语言既是数学思维的产物，又是数学思维的工具．数学学习的目的之一就是要学会一套具有一定系统性的数学语言符号体系，并能在遇到问题时采用恰当的数学符号对问题作出表示．这种学习是建立在自然语言能力基础上的．研究表明，数学语言及自然语言理解能力低、数学语言与自然语言的相互转换困难等都会导致代数学习的困难．
首先，自然语言常常是模糊的，有不确定性．将自然语言不加限定而直接应用到数学中来，就有可能造成错误．有人举过这样一个例子：“一粒麦子构不成一堆，对于任何一个数字n来说，如果n粒麦子构不成一堆的话，那么，n＋1粒麦子也构不成一堆．因此，任意多的麦粒都不能形成堆．”造成这个悖论的原因就是因为用了自然语言中“堆”这个模糊概念．因为n粒麦子与n＋1粒麦子是否构成“堆”的界限是模糊的．
为了克服这种模糊性，数学中常常对自然语言进行改造，加以限定、修饰，使其精确化，从而形成了数学语言简练、明白、准确、形式化的特点．例如，“a＋b＝b＋a”表示交换律，“y＝f（x）”表示一元函数，等等．这些内容如果用自然语言来叙述的话，不仅复杂，而且还不一定准确．
对数学语言表述的理解，学生之间有差异性．例如，有人以“2元纸币的数目是5角纸币数目的7倍，5角纸币的总值比2元纸币的总值多3.60元，列方程求解2元、5角纸币的数目”为题，要求学生列出方程，结果出现三种情况：
（1）设x为5角纸币的数目，方程为：5x＝20×7x＋36；
（2）设x为5角纸币的数目，方程为：20×7x＝5x＋36；
（3）题目错误，不能求解．
分析显示，得出（1）的学生是根据语言表述的结构直接列方程；得出（2）的学生考虑了语言表述的实际内容，从符合实际的角度列出方程；得出（3）的学生综合考虑了上述两种情况．
因此，心理学家认为，理解数学语言表述的句子，应从三方面进行：数学语言的句法结构、数学语言表达的实际内容（称为语义内容）、句法与语义的关系．从学生代数学习的表现看，他们在上述三个方面都存在困难．
3．数字运算不过关的原因．
小学学习的数字运算，即正有理数的加、减、乘、除等，是代数学习的必备基础．所谓“数字运算过关”主要有三方面含义，一是能够在一定算理的指导下，根据算法正确地完成运算任务；二是能够根据题目特点，选择恰当的算法，合理、迅速地进行运算；三是能够对运算结果进行评估．这里特别强调正确前提下的运算速度问题，因为它不仅反映了学生对运算原理、法则理解的程度差异，而且还反映了运算习惯、思维概括能力等方面的差异．数字运算速度、运算习惯主要应当在小学阶段培养．显然，数字运算中内涵的这些关于运算的正确性、合理性、敏捷性、灵活性等品质，对于中学代数学习是至关重要的．调查表明，由于小学数学教学中培养措施不当，导致许多学生错过了养成良好运算习惯、形成必备运算技能的机会，致使后续的代数运算出现困难．
4．数字记忆广度方面的原因．
数字记忆广度是指在一定的时间内所能够记忆的数字容量，它反映了一个人对数字材料进行加工和处理、储存和检索的能力．数学学习要求学生能够迅速而稳定地记忆学习材料．这里不仅需要他们能够记住以往学过的定理、公式、法则等“结果”，而且还能够对“结果”的来龙去脉、作用等有良好的记忆．做到这些的前提是在学习过程中对数学学习材料进行充分的加工．通过对数学语言的句法结构、语义及其两者之间联系的分析、对解题方案的深加工、挖掘数学思想方法等认知活动，尽量将学习材料中各种信息组合成“信息组块”，从而增加记忆容量、扩大记忆范围、延长记忆时间．研究表明，代数学习困难的学生普遍存在记忆容量少、记忆线索模糊、记忆层次不清、记忆顺序混乱、记忆时间短等问题．造成这些问题的原因，主要是对数学学习材料中各种信息的组织、加工处理能力不足，长时记忆处于内容无序、结构混乱、提取线索不清晰的状态等．
二、解决代数学习困难的措施
1．加强中小学数学的衔接．
小学算术教学已经渗透了一些代数的基础知识，不过，学生对这些知识的认识还非常肤浅．例如，许多学生认为，2x＝7与2y＝7的意义不同，因为它们所含的“未知数”不同．因此，初中代数入门教学，既要强调在学生已有代数知识基础上开展新的代数教学，又要注意纠正学生在以往学习中形成的不恰当概念．
负数的引入是代数学习的第一个难点．解决这个难点的措施，一是让学生从自己的生活经验出发，充分认识到客观世界中存在着许多具有相反意义的量，为了使它们在数学上得到准确的表示，就需要在已有正数的基础上引进表示相反意义的量——负数；二是通过一定的数学运算，使学生感觉到只在正数的范围内就不足以完成新的运算，从而产生引进负数的需要．在具体教学中，可以利用“数轴”这一有力工具，通过“顺序”解决有理数的大小比较问题，在此基础上，再解决“减去一个数等于加上这个数的相反数”这个难点．例如：计算2－（－5），由于2在
（－5）的右边，比（－5）大7，因此计算结果为7，相当于2＋5．
用字母表示数是从算术到代数的重要转折点，但是，它的学习是建立在算术学习基础上的．教师应当通过具体数字运算，让学生观察，总结规律，形成对“用字母表示数”的必要性的认识．实际上，过去学过的运算律（交换律、结合律、分配律等）、简单几何图形的面积、行程问题等知识，都能说明用字母表示数的重要意义：普遍性、应用的广泛性等．
初一教师还应当注意研究小学的教学方法．从思维发展角度看，初一学生的思维仍然处于直观形象思维水平，与小学生基本上处于同一阶段．教师应当充分注意这一特点，使教学符合学生的思维发展水平．教学中应充分利用学生已有的生活经验，通过对典型的、数量足够的实际事例的观察、分析、概括等来理解抽象的数学内容，并让学生有充分的反复练习机会．
教学中还要注意数学思想方法的衔接．例如，代数中的列方程解应用题是从小学的算术方法解应用题过渡而来的，它们的一个共同特点是寻找等量关系．这样，本着比较两种思想方法的目的，可以在开始阶段让学生用“算术法”和“代数法”解同一个问题．在教师的引导下逐渐使学生认识到，在“算术法”中，未知数处于特殊地位，解题时一般由已知数为先导，逐渐向前探索，在解题基本结束时才确立已知数与未知数之间的关系，这使题目的条件无法得到充分利用，导致解题困难．而“代数法”解题中，先用字母代替未知数，等于增加了一个条件，这个字母成为后续的分析和解决问题的有力“拐杖”．在寻找等量关系时，未知数始终和已知数处于同等地位，学生就可以在解题过程中从整体出发，全面考虑情况，这为等量关系的建立提供了极大方便．另外，未知数介入运算，在列式、计算上都比较简捷．
2．重视不同语言相互转换的训练．
首先，教师应当注意学生在日常生活和语文学习中形成的自然语言对数学学习的影响．实际上，代数学习需要学生有较强的阅读能力，代数知识的学习，首先是从对定义、定理、公式、法则等中的字词含义的理解开始的，因此词汇理解能力是代数学习的基础（实际上也是整个数学学习的基础）．教学中要注意让学生辨析相同的文字、符号在自然语言和数学语言中语义上的差异．例如，代数中的主要概念“变量”，它不是用来表示某个具体的量，而是用来表示任意“可能的”量，字母“x”可以理解为任意实数．但在自然语言中，一个词是否表示变量则与具体语言背景有关．例如，“学生都学数学”这句话中的“学生”是一个变量，它是泛指在学校里学习的任意一个人的，但在“这个学生没上数学课”这句话中的“学生”就不是变量了．
其次，应当丰富学生的数学语言，培养学生理解数学语言的内涵和外延的能力，并逐渐使学生学会用数学语言表述思想．这里，数学概念的理解和掌握是丰富学生数学语言的主要途径，教师应当要求学生不但记住数学概念的名称，而且要掌握概念的产生背景和约束条件．数学原理、公式和法则等的学习则是建立数学语言句法结构的关键，因为数学是从数或形的角度对客观事物进行研究的，形式化、符号化、模型化是数学研究的主要特征，这就使得数学日益成为形式系统，包括规定数学词汇，建立数学概念系统；规定数学词汇如何构成公理的形成规则、公式变形的逻辑规则、以及作为推理的命题演算规则等，这些规则形成了数学语言的句法结构规则．而建立数学语言的语义与句法的逻辑联系则主要通过数学知识的应用来完成，其中包含感知问题的视觉语言、将视觉语言转化为数学文字符号或图形、将数学文字符号依据一定的数学原理整合成数学语句、建立数学语句与数学定理、公式、法则等之间的联系，从而找到解决问题的关键等不同层次的认知活动．
再次，要加强自然语言、数学符号语言、图形语言相互转换的实践．例如，在代数入门阶段，既可以让学生由文字语言写出代数式，也可以让他们说出代数式所表达的意义；在应用题教学中，可以让学生先用自然语言、图表语言列式，然后引进代数符号建立等量关系，还可以让学生用自己的语言（自然语言）叙述某个方程所表示的等量关系等．将抽象的数学语言转化为自然语言（即用学生自己的语言阐述数学问题），把用符号或图形、表格形式表示的关系转化为自然语言的形式，把自然语言表述的关系转化为数学符号、图形、表格的表述形式，等等，都是非常重要的数学活动，也是解决代数学习困难的重要措施．
最后，为学生提供数学交流的机会．让学生“出声想”，说出自己对数学知识的理解过程，说出自己的解题思路、对问题的分析过程．通过在“学习共同体”中个体思维的外化，来锻炼学生的数学语言理解力和表达能力，纠正“词不达意”的现象，提高数学语言水平，从而促使学生建立起良好的数学语言系统．
3．养成代数学习的良好习惯．
代数是由常量数学向变量数学过渡的内容，在这个阶段养成良好的学习习惯，对后续的学习意义重大．为此，在代数概念教学中，应要求学生对概念达到全面准确的理解；对公式、定理、法则的学习要达到在理解它们的来龙去脉、适用范围等基础上的准确记忆；在运算训练中，要强调细致、周密，正确前提下的快速．
数学学习过程与数学教学策略
??? 在中学数学教学实践中，存在的一个问题是：数学教学只重视教而相对地忽视学，只重视教学方法、教学手段等的改革，而相对地忽视对学生学习规律、学习方法等的探索．这样，造成了目前数学教学虽费时较多，但教学效果并不太佳．总结上述教训，笔者认为，提高数学教学质量的关键在于根据学生学习数学的心理机制和教学内容进行数学教学．为此，本文在对学生数学认知结构、数学学习过程进行较为系统的分析和探讨的基础上，提出了一些相应的数学教学策略．
一、数学认知结构
（一）所谓数学认知结构，笔者认为，它是数学知识结构与学生个体心理结构相互作用的产物，是学生头脑中的数学知识、技能按照自己的感知、记忆、表象、想像、思维等认知操作，组成的一个具有内部规律的整体结构，是数学知识结构“内化而来”的．
??? 数学知识经验系统是学生头脑中已有的数学知识、经验及其组织，它包括数学基础知识和数学技能两个要素．
??? 数学基础知识是学生头脑中已有的数学事实、结论性知识及其组织特征．它是学生经过数学学习后所形成的经验系统，包括数学概念，数学语言，数学公式、符号，数学命题，数学方法以及它们的组织网络．
??? 数学技能是相应于数学基础知识发生、发展和应用过程中而产生的，顺利完成数学活动任务的复杂的动作系统．它包括数学操作技能、心智技能等．
事实上，学生的数学知识经验越丰富，知识的组织越合理，就越容易内化外界输入的信息，并吸收它为自己的数学认识结构中的一部分．比如，学生对于二元一次方程组、一元二次方程的解法掌握得比较牢固，对解方程或方程组的“消元、降次”思想理解得比较好，那么就很容易掌握二元二次方程组、简单的高次方程的解法．
（二）数学认知操作系统是指学生在已有的数学知识经验系统的基础上，运用感知、想象、数学思维等对数学信息（新知识）进行操作，处理的较稳定的个性认知特征，它可进一步概括为数学能力，其核心是数学思维能力，而表现和衡量的标准则是数学认知品质（如认知的目的性、敏捷性、全面性、准确性、深刻性等）．
认知操作系统是由一定年龄阶段学生的认知发展（即智力发展）水平和特征所决定的，它反映了学生的认知（智力）发展状况，具有相对稳定性，但又表现出较大的个体差异，因此，它是教师进行因材施教的根据．
??? （三）数学元认知系统就是个体对自己数学认知活动的监控、调节系统，是学生进行数学认知活动的中枢指挥系统．表现在学生主体根据数学活动的要求，选择适宜的认知操作方法进行认知活动，并监控认知活动进行的过程；同时，还不断地分析反馈信息，及时调节自己的认知过程和策略．
数学元认知的实质就是学生的数学观念或数学素养，是学生用数学思维方式去考虑问题、处理问题的自觉意识和习惯．
从上面对数学认知结构要素的分析可以看出，数学认知结构具有下列的功能：1．选择．当数学信息（新知识）刺激时，数学认知结构必须对已有的数学知识
经验进行过滤，分化，以找出与新知识有所联系的已有的知识经验．
2．同化，即用已有的数学知识经验去说明、解释并容纳数学新知识．
3．顺应．由于主体数学认知结构具有自我意识和自我调节能力，当原有数学认知结构不能容纳数学新知识时，则主体对原数学认知结构进行改造，以便同化新知识．
4．预见．个体通过数学认知结构能从整体上把握数学事实或结论，从而产生数学直觉，显然，直觉带有一定的预见性质．
5．迁移与运用，即数学认知结构中的知识经验、认知操作系统或元认知系统都可以影响后继数学学习、其他学科学习和解决实际问题．
正因为数学认知结构具有上述功能，可以说数学认知结构是数学认知活动赖以进行的心理结构，同时，形成良好的数学认知结构又是数学认知活动的总目标．
二、数学学习过程的模式
对于数学学习过程，我们认为是在特定的学习情境中，在数学教师的主导下，学生主体对数学知识的认知活动过程，在这个过程中，学生的数学认知结构在学习数学的情感系统的参与和影响下，不断地对数学新知识进行认知操作，结果导致学生的数学认知结构和学习数学的情感系统不断地变化和发展，从而达到数学学习目标的要求．
（一）数学学习的新内容是数学学习的客体，它是数学教材所叙述的数学事实（如数学语言、符号、公理、原始概念等），数学概念、数学原理（如数学定理、命题、定律、公式等）、数学技能（包括操作技能、心智技能）等知识组成的，是在一定时间限度内学生所要掌握的知识．因此，它可指一节课的内容、一节或一章的内容，也可指一门数学分支等．
数学情境是指学生学习数学新知识的外部环境，包括教师创设的数学教学情境，课堂学习气氛等，它伴随着教师教学活动的深入而直接地、持续地与整个数学学习活动发生相互作用，甚至决定数学学习效果．
（二）数学学习的准备可以分为认知准备和情感准备两个方面．认知准备指学生原数学认知结构，是学生进行数学学习的必要条件（先决认知条件），情感准备是学生能否专心于数学学习过程中的心理条件，它一般由先前数学学习效果、先前其他学习、对数学学习价值的认识和数学学习动机、学习态度、情绪、意志等情感因素所决定的．
（三）学生有了适当的学习准备后，当数学信息（数学新知识）刺激大脑时，大脑就通过学习情景与数学信息发生相互作用，从而进入了学习的内化阶段．
内化阶段包括定向、联想、同化或顺应等几个心理过程．
1．在学习的定向阶段，首先，学生从对学习情境所提供的背景关系的俯瞰全貌式的概览开始，不断的探究、领悟新知识的价值和特点，从而使原数学认知结构与新知识发生认知冲突，这种冲突使得他们在心理上产生学习新知识的认知需要和学习动机，从而促使他们调用原认知结构去处理新知识，进行认知活动．其次，学生通过感官的作用，辨别数学新知识的特征（如数学符号、术语、公式、图象等），并把它和已有的数学知识经验联系起来，从而分化出数学新知识的本质特征和非本质特征．最后，通过对本质特征和非本质特征的区分，概括出新知识的有意义的东西，获得了数学新知识的表象和结构，即潜在意义．
2．知觉到新知识的潜在意义后，要达到对新知识的理解，还需要新旧知识相互作用，这一思维过程从联想开始．
联想即把原数学认知结构中与数学新知识有联系的知识经验（如概念、命题、术语、思想方法等）分化出来，以提供内化新知识的衔接点和组织者．它包括选取原数学认知结构中与新知识有关的知识经验，区分新旧知识的异同，分化与新知识有本质联系的知识经验等几个环节．对于复杂的数学学习（如问题解决），联想是创造性思维的第一步，即它能综合已有的知识，在对问题情景的整体把握基础上，构造出新问题的基本结构和模型，从而对问题的解决提出假设．
例如，中学生在学习矩形概念时，他们从日常生活和小学学过的长方形概念中取得了潜在意义；然后，通过联想，从原数学认知结构中分化出内化新知识的衔接点——平行四边形概念和性质．
联想的结果，使新旧知识建立了实质的、非人为的联系．接着，学生可以运用已分化出的知识经验来内化新知识，并且以同化和顺应两种形式来进行．
3．同化是利用原数学认知结构的数学知识经验去说明、解释并容纳数学新知识．例如，学生学习矩形的概念就是利用平行四边形概念进行同化的过程．
顺应是指当原数学认知结构不能有效地容纳数学新知识时，主体将对原数学认知结构进行改造，以适应新知识的学习．顺应的过程是：对新知识进行归纳、概括，对原数学认知结构进行改造和整理，从而使新旧知识建立密切联系，新知识被纳入到学生的数学认知结构中，原数学认知结构得到改造并扩大．例如，初一学生学习代数初步知识，就是通过顺应来进行的．尽管他们在小学学过算术，但算术与代数的不一致性，使他们只能改造头脑中已有的算术知识结构，通过字母代表数的学习，才逐渐掌握代数知识．
如果说同化的作用是改造新数学知识使之与数学认知结构相吻合的话，那么顺应则是改造原认知结构以适应学习新知识的需要，因而同化只能从量上丰富原数学认知结构，顺应则能从质上改变数学认知结构，不过，同化和顺应往往存在于同一个认知活动中，在同化中有顺应，而在顺应中，尽可能先同化．例如，数系的一系列扩张，就是旧数系顺应新数系，而新数系则尽可能保持旧数系的原有法则，这是一个实质上顺应，形式上同化的过程．
值得指出的是，不管同化或顺应，总要对原有数学知识经验和新知识作出重新评价．即使新知识可作为原数学知识经验的补充和完善，原数学知识经验的某些部分也应重新分类、重新形成概念，并且这一过程还特别需要元认知系统的监控、调节．
经过同化和顺应后，新数学知识纳入了学生数学认知结构中，原数学认知结构发生了变化．但是新旧知识的相互作用并未停止，新知识的保持和遗忘就是同一相互作用的继续．因此，只有采用一定的强化措施，才能巩固所获得的新知识．
（四）强化阶段是数学新知识的进一步理解和巩固阶段，它是通过练习、形成性评价、小结（概括）、灵活运用等方式而实现的．
1．练习过程是学生把数学新知识初步运用于具体情境中的过程．通过练习，可以使自己对新知识的理解程度有明确的认识，从而起反馈作用；可以使自己对新知识的理解更完整化、具体化，从而进一步保持和长时间巩固新知识，并形成技能；同时，还有助于提高学生的学习兴趣，维持良好的学习动机．有时，练习还可以使学生产生整体感受，从而为领悟数学整体的突出性质——数学思想打下基础．
课堂例题、课堂练习、课外作业等都可看作是练习．
2．应当说，形成性评价是以检验学生对学习内容的领会程度为标准的，因而它应贯穿于数学新知识意义的获得和保持过程的始终．它又包括教师课内诊断和学生自我评价两个方面．教师对学生的课内诊断一般通过观察、提问和形成性测试等手段进行．学生的自我评价一般是从教师的评价、原数学认知结构中元认知的监控和调节作用以及练习中得出的，它也包括认知和情感两方面内容．
通过形成性评价后，学生对于自己掌握新知识的情况有所了解，从而调节自己进一步努力的方向；同时，教师可对症下药，采取补救措施．
3．小结是指在获得新知识的意义并通过练习（通过变式和具体运用，抓住本质特征）后，用最简单、最经济、概括性最强的术语对新知识加以组织，使数学新知识变为具有概括性，能融合于已有知识经验中的基本概念、基本命题、公式甚至思想等，从而使新知识更加巩固．通过小结，新知识由于其概括性而具有更大的迁移价值，即还能影响后继学习和运用它们解决问题．
4．新知识的灵活运用过程是指创造性地利用新知识去解决数学问题及其他问题的过程．实际上，解决问题是在对问题情景和题目条件的整体把握的情况下，利用原数学认知结构从整体的角度把握问题的实质，再结合数学知识经验调动各种数学思维成分（如逻辑思维、直觉思维、发散思维和复合思维等）的参与，从而提出尝试性模型（假设），并检验假设以达到目的 ．
灵活运用是检查学生数学学习效果的综合性指标，也是数学学习的最高目标．
（五）数学学习效果包括认知成果和情感变化两个方面．
经过学习的内化和强化阶段后，在认知方面的成果是：新知识被纳入到学生的数学认知结构中，形成了新的数学认知结构，并且新知识被概括化、整体化，具有迁移作用，另外，形成了较强的技能，发展了能力．对于具体的学习，情感变化不会太大，但对于一单元，一门分支的数学学习，学生对于数学价值的认识、学习动机、学习积极性等均会有一些变化，具体讨论略．
（六）以等腰三角形概念的学习为例，说明概念学习的过程．
1．学习的内容：等腰三角形的概念；学习的准备：原数学认知结构中三角形的概念、三角形全等的性质和判定．
2．内化阶段：首先（由教师根据图形）给出“有两条边相等的三角形是等腰三角形”这一定义和本质属性，并给出相应的腰、顶角、底角的定义，这样学生可以分化为等腰三角形概念的本质特征和非本质特征；其次，学生将新概念（等腰三角形）与原认知结构中的知识经验（三角形、全等三角形）联系起来，把新概念纳入原有概念（三角形）中，并认识到新概念是原有三角形概念的限制；最后，运用变式和肯定、否定例证进一步突出概念（等腰三角形）的本质属性，并对概念的各种属性进行分类，如辨别图式，可得出等腰三角形能分为等边三角形和腰与底边不相等的等腰三角形，同时还可得出等腰三角形两底角相等，等等．
3．强化阶段：通过练习和小结，学生既能利用定义去判定等腰三角形，还能利用等腰三角形两腰相等的性质去解题；同时，等腰三角形的概念还可纳入三角形的概念系统中．
三、从数学学习过程看数学教学策略
所谓数学教学策略是指数学教师对数学课堂教学所作的系统决策和设计．它包括设置数学学习情景的策略，呈现数学教学内容的策略，选择数学教学方法与教学辅助手段的策略，教学效果的检查和评价的策略等．
从对数学学习过程的分析可知，数学教师的作用在于促使学生数学学习过程中的几个阶段顺利地进行，以达到良好的数学学习效果为目标．相应地，数学教学策略就应当围绕着促使学生形成良好的数学认知结构和学习数学的情感系统来制定．下面我们根据学生数学学习过程的模式来讨论数学教学策略．
（一）选择和分析数学教学内容（备课）的策略．
数学认知结构是内化的数学知识结构，而数学知识结构又是通过数学教材反映出来的 ，故选择和分析数学教学内容，必须立足于教材，但又不能照本宣科，还要对教材进行居高临下的剖析和重新组织，使它成为促进学生数学认知结构发展的相对完善的知识结构．具体地说：
1．分析和领会单元数学知识结构，并按事实（术语、符号等）、技能、概念、原理等几方面对教学内容进行分类，以弄清教材中的知识分布情况；在此基础上，以整体观点为指导，瞻前顾后，随时把本单元的知识与其他内容联系起来考虑，以此克服知识的离散性，使学生学习时容易形成经纬交织，融会贯通的知识网络，同时有助于内化和保持新知识．
2．在分类的基础上，分析本单元教学的重点和难点．所谓重点，就是知识的中心点，即单元或学科领域中核心的基本的知识点，它在抽象性、包容性、概括性程度上高于其他知识，理解了中心点的知识，其他知识的掌握就顺理成章了．然后考虑以突破重点、难点为核心，并参照教学大纲和教学方案分配的教学时数，安排课时和教学顺序．
3．根据各类知识学习的特点和学生的认知特点确定教学方法以及相应的教学辅助手段和各种教学材料．
事实上，教学方法的选择和组合，同教学内容的特点、学生的认知发展水平及差异是紧密联系在一起的．虽然现在数学教育书刊上所提的数学教学方法很多，但适合所有类型知识学习的方法是没有的，不同知识的学习只能采用不同的教学方法，这就是所谓“教无定法”的实质．
?? 4．备课时，还应考虑如何设置学习情景，如何进行形成性测试，如何进行小结，以及例、习题（包括练习题）的配备等．
（二）实施教学的策略．
数学教学过程是教师的教和学生的学的双边统一的活动过程，是教师通过数学教学活动促使学生顺利地进行数学学习活动的过程，是学生的数学认知结构的形成和发展的过程．相应于学习过程，实施教学的策略有：
1．设置学习情境，激发学习兴趣——具体讨论略．
2．课前评价和弥补的策略．
从对数学学习过程的分析中我们看到，学生的原数学认知结构中已有的数学知识经验对数学新知识学习的影响极大，关系到是否能内化新知识．为此，在讲解新课前，必须进行诊断性评价，以查明学生的认知准备状况．
诊断性评价一般是通过复习提问、诊断性测试和观察等方式进行的．
?? 如果学生具有了内化新知识的知识经验，则教师可通过练习、小结等来巩固已有的知识经验 （常与诊断性测试同时进行）．
?? 如果学生不具有同化新知识的知识经验，则应采取补救措施——提供先行组织者．先行组织者是先于学习任务本身而呈现给学生的引导性知识，它常比学习任务有更高的抽象、概括和综合水平，或能清晰地使学习任务与原数学认知结构的知识经验之间相联系．因此，先行组织者的最大作用是能提高数学认知结构中适当的知识经验的可利用性，即在新旧知识之间架起一座桥梁．
在教学中，教师可运用类属的先行组织者和比较的先行组织者等两种形式．
类属的先行组织者是介绍给学生一种他们不熟悉的、比新知识有更大包容性、概括性的材料，学生可利用这个材料作为框架来内化较具体的新知识，这种例子在数学教材中常可见到．如要学习平行四边形，先介绍四边形这一概括性较强的材料，再用它来内化平行四边形的有关概念及性质．
比较的先行组织者是把学生比较熟悉的材料介绍给他们，以帮助学生把新概念和原理与以前学过的概念和原理结合在一起．如若把正弦函数和余弦函数定义为单位圆上的函数，这时把代数函数作为一个比较的先行组织者，就可运用代数函数概念把熟悉的代数概念和原理与不熟悉的三角函数概念和原理结合起来．
3．数学新知识呈现的策略．
（1）在新知识呈现之前，教师可对单元知识结构作概括性介绍，即用具体、形象的语言，用最基本的常识性概念来勾勒单元整体的轮廓（包括新知识的大致特点，学习的目标和要求等），从而使学生发现单元整体的特点，对新知识获得总的印象，并明确学习的目的和价值，产生学习的动机．同时，还有利于学生对新知识的潜在意义的认识，促使内化过程中定向和联想阶段的顺利进行．
（2）教师呈现或讲述新知识应遵循下列几条准则：
①应尽可能保证学习材料本身的意义性，即使学习内容具有潜在意义——对于特定的名词、概念或原理可通过联想来获得，对于抽象的材料，则尽可能以直观材料和形象为背景，即按具体与抽象相结合的原则进行．
②应以有意义讲授法和指导发现法为基本教学方法，辅以其他教学方法（如讨论法、自学法、探究法等）进行教学，并且启发式教学思想应贯穿于教学过程的始终．
采用有意义讲授法教学时，教师应将学习内容以优化的形式直接呈现给学生，以促进学生快速有效地把新知识内化和巩固．优化的形式反映了知识本身的逻辑结构，知识的整体结构和学生的认知规律，一般地，不同类型知识的学习有不同的优化形式（具体讨论见下面）．
?? 事实上，接受学习不但可以是有意义的（新旧知识可建立起实质的、非人为联系是有意义的标准）和积极主动的，而且还省时、经济和高效（即在短时期内可掌握单元或学科的基本结构），故大量的数学知识可通过有意义讲授法教学．
?? 指导发现法就是教师对新学习的内容不是直接呈现给学生，而是只给学生一些提示性线索或问题，由学生进行探索、发现新知识的意义，然后加以内化、巩固的教学方法．如概念的形成、问题解决等的教学均用此法．
?? 实施指导发现法时，应创设问题情境，引起学生认知冲突，激发探索欲望；应帮助、指导学生理解和领会课题结构以保证学生在有意义的思考路线上进行判断、选择和探索，避免盲目瞎猜的无效活动．总之，发现法的指导要掌握分寸，恰到好处，使学生经过一系列的思维活动能发现材料的意义并加以内化．
?? 由于每一数学教学单元中常要采用不同的教学方法，因而教学中多种方法的衔接也很重要．另外，不管采用什么教学方法，都应把启发式教学思想贯穿于其中．具体地，应把握：在新旧知识的结合点，应强调新旧知识的联系，特别是难点和疑难问题，要给学生思考的部分线索，这样有利于学生同化或顺应新知识；对于数学知识经验，解题的思想和方法，要启发学生进行概括，以使学生容易从整体上把握数学知识结构；要通过启发，使学生掌握自我评价方法，从而提高对思维活动、认知能力的自我意识水平．
③呈现教材的优化形式是以“渐进分化”“逐次抽象”和“综合贯通”等三种方式进行．
“渐进分化”是指按概括性和包容性大小的顺序呈现教材，即首先呈现最一般的、概括性的知识，然后呈现较特殊、较具体的知识，最后呈现具体的、特殊的事实、概念或细节，这种 从金字塔的顶到底的呈现方式有助于学生同化新的知识，获得材料的意义．例如，现行初中课本中“四边形”一章内容即是按此方法呈现的．
即：多边形→四边形→平行四边形→矩形菱形→正方形．
“综合贯通”要求组织和呈现内容时，应注意学科中处于同一包容水平上的概念、原理和章节知识的异同——联系和区别，以消除数学认知结构中知识间的矛盾和混淆，从而有利于同化或顺应新知识．
事实上，学生学习困难的重要原因之一就是，看不到数学知识间的联系和区别，从而不能进行有效的知识间的转换或迁移．
“逐次抽象”是指按从具体到抽象，从零散的、个别的事实逐步地循序渐进地提炼出一般概念和原理的方式来呈现教材．这样呈现的方式比较符合学生的认知发展水平和思维规律，适合教材的演绎规则，特别适应于处于具体思维年龄阶段的小学生的学习．
（三）从上述的论述和对数学学习过程的论述中，可知数学教学过程中应注意下列几个问题．
1．注意思维过程．
学生数学认知结构的形成和发展，是经过一系列数学认知（思维）活动过程而得到的．因此，教师在讲授数学知识的同时，也要注意让学生在数学知识的建立和发展过程（如概念的提出、解题思路的探索、解题方法和规律的概括与归纳过程等），数学知识的运用过程中进行思维．同时，数学知识的潜在思维价值和智力价值也有赖于教师的挖掘和揭示，使学生能感受、体验到数学知识所包含的深刻的思维和丰富的智慧，从而提高学生的学习兴趣，发展学生的思维能力．
2．注意数学知识间的比较和转化过程．
数学学习过程中的每个环节或阶段，几乎都要使用比较．如果没有比较，就没有抽象概括，感性认识也不能上升到理性认识．因此，教师教学时恰当地应用比较，就能为新旧知识的联系和新知识的内化打下基础．
例如，学习解二元二次方程组时，教师通过把它与一元二次方程，二元一次方程组进行比较就能使学生掌握解二元二次方程组的基本思想——消元与降次．
如果说比较可使新旧知识建立联系，那么转化则可把新问题化归为旧问题（利用比较），然后利用已有的知识进行突破．因此，如果教师能恰当地运用比较，把新知识转化或化归，则有利于内化新知识．
3．注意数学思想方法的有机渗透．
数学知识蕴含着数学思想方法，数学思想方法又影响数学知识的学习．因此，教师如能在进行数学知识教学的同时，注重数学思想方法的有机渗透和统帅作用，则有助于学生形成一个既有肉体又有灵魂的活的数学认知结构，有助于促进学生数学能力的发展和运用数学知识解决实际问题能力的提高．
4．注重数学知识的抽象和概括过程．
在数学学习中，抽象概括过程是认清数学对象的本质，从感性上升到理性的桥梁，它应贯穿于数学学习与数学教学过程的始终．事实上，概念是对一类事物的属性的概括，数学技能是对一系列数学活动方式的概括，数学思想则是数学知识结构的概括特征．而只有概括了的一般概念和原理才具有较大的迁移力，故在数学教学中要注重抽象和概括（归纳和小结均可看作是概括）．
5．注意学生自我评价、自我意识能力的培养．
学生的数学学习过程是在元认知系统的监控和调节下进行的，同时，学生的自我形成性评价、终结性评价等也需要学生自我评价能力的调节，因此，教师教学时注重学生自我评价能力、自我意识能力的培养，有利于学生维持学习的积极性，有利于学生采用正确的认知策略和方式进行数学学习活动．
进行数学思想方法教学应注意的问题
1992年制定的义务教育数学新大纲指出：“初中数学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法.”2001年全日制义务教育《数学课程标准》（实验稿）明确指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.”
无论是老教学大纲，还是新《数学课程标准》，都把数学知识的“精灵”（或深层知识）——数学思想和方法纳入基础知识范畴，这充分体现了我国数学教育工作者对于数学课程发展的一个共识.这不仅是加强对学生数学素养培养的一项举措，也是加快数学基础教育现代化进程的必然要求.
数学基础教育的现代化并不就是要进行“现代数学的教学”，而是要进行“数学的现代教学”，要把数学基础教育“建立在现代数学的思想基础上，并使用现代数学的方法和语言.”
因此，探讨数学思想方法教学的一系列问题，已成为数学现代教育研究中的一项重要课题.目前，各级各类学校已不同程度地在关注数学思想方法的教学．笔者以为如下的几个问题更应引起注意：
（一）明了数学思想方法教学的心理学意义
1．从心理发展规律看，进行数学思想方法教学是发展青少年思维的重要途径.在心理学中，把婴儿、青少年的思维发展分为四个阶段：动作思维（0～3岁）、形象思维（3～7岁）、形式思维（7～13岁）、辩证思维（13～19岁）.初中学生的思维是处于以形式思维为主向辩证思维逐步过渡的时期．
而所谓思想方法，就是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果.它是从大量的思维活动中获得的产物，经过反复提炼和实践，一再被证明为正确、可以反复被应用到新的思维活动中，并产生出新的结果．或者说思想方法就是那些颠扑不破、屡试不爽的思维产物．
所谓数学思想方法，就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则等）的本质认识．
例如：
（1）在初一教材第3章《代数式》中的“数学活动”中，教师应引导学生通过观察、分析、归纳等手段，运用符号、结构等数学思想方法进行问题的“探索规律”，就是在教学的过程中进行了数学思想方法的教学．
（2）在初一教材第4章《一元一次方程》中，应用列方程解决实际问题时，教师要结合具体问题中的数量关系，让学生经历形成方程模型、运用方程解实际问题的过程，从而使学生体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学的应用价值．
在这一章的教学中，教师不仅着眼于学生对方程解法的理解与掌握，还要关注学生参与活动的程度和在活动中表现出来的思维水平．尤其特别关注的是学生在建立方程模型过程中的多角度思考问题，并适时给予肯定和鼓励．
再如，通过观察、比较、归纳等手段，运用符号化、结构、系统等数学思想审视实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式，就看到了它展现的数学美，以及启引的新认识．无疑地，进行数学思想方法教学，不仅有助于学生从形式思维向辩证思维过渡，而且是形成和发展学生辩证思维的重要途径．
2．从学习的认知结构理论来看，进行数学思想方法教学对数学认识结构发展起着重要作用．
学习的认识结构理论告诉我们，数学学习过程是一个数学认知结构的发展变化过程；在数学认知结构中，存在数学基础知识、数学思想方法、心理成份三种主要因素．这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的．
所谓同化，就是主体把新的数学学习内容纳入到自身原有的认知结构中去，这种纳入不是机械的囫囵吞枣式地摄入，而是把新的数学材料进行加工改造，使之与原数学学习认知结构相适应．
所谓顺应，是指主体原有的数学认识结构不能有效地同化新的学习材料时，主体调整或改造原来的数学认知结构去适应新的学习材料．
在同化中，数学基础知识显然不具备思维特点和能动性，不能指导“加工”过程的进行，就象材料本身不能自己变成产品一个道理．而心理成份只给主体提供愿望和动机，提供主体认知特点，仅凭它也不能实现“加工”过程，也就象人们只有生产愿望和生产工具而没有生产产品的设计思想和技术照样生产不出产品一样．因而数学思想方法担当起指导“加工”的重担，它不仅提供思维策略（设计思想），而且还提供实施目标的具体手段（解题方法）．实际上数学中的转化、化归就是实现新旧知识的同化．与同化一样，顺应也必须在数学思想方法的指导下进行，离开了数学思想方法的顺应是不可理解的，也是不可能实现的．
例如，应用平行四边形知识进一步研究矩形、菱形和正方形知识及解决相关问题时，就是运用转化思想、结构思想等调整、改造来进行加工的．
再如，运用《统计与概率》知识解决实际生活中的问题时，就是运用样本估计统计的思想的；同时让学生能够认识到统计与概率知识在社会生活及科学领域中的应用，并学会解决一些简单的实际问题．
近年来，南京市每一年的中考中都涉及到利用统计知识解决实际问题的考题，其目的有两个：一是考察学生是否会运用所学知识解决实际问题，二是考察学生是否会运用统计思想．
由此可见，积极进行数学思想方法教学，将极大地促进学生的数学认知结构的发展与完善．
3．加强进行数学思想方法教学，使学习者极大地提高学习质量和数学能力，使其受益终生．
曹才翰先生曾指出：“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，则对于新学习是有利的”，“只有概括的、巩固和清晰的知识才能实现迁移”．心理学家贾德通过实验证明“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需掌握原理，形成类比，才能让迁移到具体的类似学习中.”学生学习了数学思想方法就有利于学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以极大地提高学习质量和数学能力．
例如：
（1）学生学习了类比，并对类比的思想方法有所认识时，那么他在学习因式分解时，就很容易联想到小学学习的因数分解问题，从而产生知识的正迁移，进而能够正确地辨认出数、式分解的异同点，从而真正理解因式分解的内涵．
（2）学生在学习利用一元一次方解决解决实际问题的过程中，就让学生学到了许多的、甚至于一生都用得着的知识．无论是“我变胖了”、还是“打折销售” “希望工程义演” “教育储蓄”等等，都带给学生许许多多的生活知识和生活经验，让他们从中学到了许多，会处理生活中遇到的问题，也学会了做人．
（3）学生在认识分类讨论的数学思想时，教师应不失时机地利用教材中相应的问题，对学生进行启发、引导，使他们更好地理解和学会应用分类的数学思想方法来解决数学问题——实际上也就是生活问题．
如：①等腰三角形按角的大小可分为锐角等腰三角形、直角等腰三角形和钝角等腰三角形；按边的大小可分为腰与底边不相等的等腰三角形和腰与底边相等的等腰三角形（等边三角形）．
②点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的分类都是借助于圆心到点、直线、另一圆心的距离和该圆的半径的大小来分的．
③函数中涉及点与坐标轴的位置关系：点在正半轴上、点在负半轴上、点与原点重合等等．点与象限之间的分类关系也时有涉及．
初中教材中与分类的数学思想紧密联系的内容确实很多，素材也不难寻找．关键是我们的教师在教材准备的时候要多关注、多思考，包括：教学例题的选择，知识的传授方法，结合学生的生活实际等等均要兼顾．譬如：把人按性别分为男、女，按年龄分为老、中、青、少、幼，按知识层次分为本科以上、大中专、高中、初中、小学等等．这样介绍知识可能使学生的接受更好一些．
布鲁纳认为：“除非把一件件事情放进构造好的模型里面，否则很快就会忘记.”“学习基本原理的目的，就在于促进记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来．高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具.”
由此可见，数学思想方法作为数学学科的“一般原理”，在教学中是至关重要的．因此，对于中学生，不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学思想方法将随时随地发生作用，使他们受益终生．
（二）提高数学思想方法教学的意识性
对数学思想方法教学缺乏意识性是一个较普遍的问题．主要表现在：制定教学目的时对具体知识、技能训练的教学要求比较明确，而忽视数学思想方法的教学要求；教学时，往往注重知识的结论，而削弱知识形成过程中思想方法的训练；知识应用时，又偏重于就题论题，忽视数学思想方法的揭示与提炼；小结复习时，只注意知识的系统整理，忽视思想方法的归纳提高，致使数学教学停留在较低的层次上．
1．在确定教学目的、实施教学过程、落实教学效果中，有意识地体现数学思想方法．
教师要进行并加强数学思想方法的教学，首先要有意识地从教学目的的确定、教学过程的实施，教学效果的落实等各个方面来体现，使每节课的教学目的和教育目的获得和谐的统一．因而在备课时就必须把数学思想方法的教学从钻研教材中加以挖掘．
例如，在准备《一元一次方程》中的列方程解应用题的内容时，就要充分挖掘方程的思想方法和化归的思想方法的教学目标．虽然学生可能在一开始的时候不能很快接受，但老师的备课和上课应意识到这一点，通过算术方法和列方程来解决应用性问题进行比较，让学生进一步体会列方程解应用题的优越性．同时在每个问题的分析过程中应让学生去理解问题情境，让他们主动探究情境中包含的数量关系，教师给予适当的引导．在问题解决后，教师应特别注意引导学生进行归纳和总结，从而达到会解一类题的目的．
2．在掌握重点、突破难点中，有意识地运用数学思想方法．
数学教学中的重点，往往就是需要有意识地运用或揭示数学思想方法之处．数学教学中的难点，往往与数学思想方法的更新交替、综合运用、跳跃性较大有关．因此，掌握重点，突破难点，教师更要有意识地运用数学思想方法组织教学．
例如，函数概念的理解是教学中的一个难点．教师应根据新教材在小学阶段有所渗透函数的思想和学生接受函数概念也有一个逐步发展的过程的特点，在教学安排和内容处理上都要注意逐步吸引学生，使他们对这个概念有进一步的认识和理解.在授课时，应多列举与学生生活实际相联系的问题：如打的收费问题、手机话费、温度变化等等，这样学生的理解会更深刻一些，兴趣会更浓厚一些，能力会提高一些，对函数思想方法的运用会更好一些．
3．在小结、复习中，有意识地画龙点晴，适度点拨在课堂小结、单元复习时，适时地对某种数学思想方法进行揭示概括和强化，对它的名称、内容、规律、运用等有意识地点拨，不仅可以使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律，而且可使学生逐步体会数学思想方法的精神实质．
（三）弄清中学数学思想方法的主要内容
1．中学数学中的基本数学思想．
（1）两大“基石”思想：换元思想、方程思想、函数思想，分类思想．
（2）两大“支柱”思想：函数思想、变换思想、数形结合思想，公理化思想．
（3）两大“主梁”思想：整体思想、运动变化思想、最优化思想，统计思想．
（4）化归思想（纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归思想），辩证思想（对立统一、互变、一分为二思想）．
2．中学数学中的基本数学方法．
3．数学中的几种重要科学认识方法．
（1）观察与实验；
（2）比较与分类；
（3）归纳与类比；
（4）想象；
（5）直觉与顿悟．
4．数学中的几种重要推理方法．
（1）综合法与分析法；
（2）完全归纳法与数学归纳法；
（3）演绎法；
（4）反证法与同一法．
5．数学中的几种重要求解方法．
（1）数学模型法；
（2）关系映射反演方法；
（3）构造法．
（四）探索数学思想方法教学的原则(规律)
进行数学思想方法的教学，必须在实践中探索规律，以构成数学思想方法教学的指导原则．
1．揭示、渗透，“潜”“显”结合．
数学教学内容是由教材中的概念、法则、性质、公式、公理、定理、例题等（或称表层知识）以及由其内容所反映出的数学思想和方法（或称深层知识）组成的．教材中，除个别思想方法外，大量的、较高层次的思想方法是蕴含于表层知识之中，处于潜形态．作为教师，应该将深层知识揭示出来，将这些深层知识由潜形态转变为显形态，由对数学思想方法的朦胧感受转变为明晰、理解和掌握．这样才能根据学生实际，采取适当措施去体现思想方法的教学．
由于数学表层知识与深层知识是有机的整体，它们相互联系、相互依存、协同发展，总是以表层知识教学为载体，在表层知识教学过程中实现深层知识教学的，因而数学思想方法的教学，应当通过精心设计的教学过程，有意识潜移默化地引导学生领会蕴含的数学思想方法，即应以贯彻渗透性原则组织教学．又由于数学思想方法是表层知识本质和内在联系的反映，它具有更大的抽象性和概括性．如果说数学方法还具有某种形式的话，那么数学思想就难找到固定的形式，而体现为一种意识或观念．因此，它的教学不能一朝一夕、一招一式可以完成，而是要“潜”“显”结合，长期渗透，日积月累，才能水到渠成．
反复系统，螺旋推进．
数学思想方法属于逻辑思维的范畴，学生对它的领会和掌握具有一个“从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级”的认识过程．在教学中，学生对某一思想方法首先是产生感性的认识，再经过多次反复，在比较丰富的感性认识的基础上，然后逐渐概括上升成理性认识，最后在应用中．对形成的数学思想方法进行验证和发展，进一步加深理性认识．因而只有反复渗透，才能螺旋上升．
数学思想方法的教学与表层知识教学一样，只有成为系统，建立起自己的结构，才能充分发挥它的整体效益．每一思想方法，每一学习阶段都有其系统．例如化归思想方法系统，如果从思维角度考虑，又可表现为四种形式组成它的分支系统：纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归．又如整个基本思想方法系统，又可分为两大“基石”（符号与变元表示和集合思想方法）、两大“支柱”（对应和公理化与结构思想方法）、两大“主梁”（系统与统计和化归与辩证思想方法）等支系统．只有进行系统性研究与教学，掌握它们的内在结构，才能制定出各阶段教学的目的要求，也才能逐渐提高学生的认识层次，从低级到高级螺旋上升．
（五）把握数学思想方法教学的有效途径
在进行数学思想方法教学的各种途径探讨中，如下的几条重要途径是值得我们把握的．
1．在表层知识发生教学过程中，适时渗透数学思想方法在教学中，表层知识的发生过程实际上也是思想方法的发生过程．表象概念的形成过程，结论的推导过程，问题的发现过程，规律的被揭示过程，解法的思考过程等都蕴藏着向学生渗透数学思想方法、训练思维的极好机会．
（1）展开概念——不要简单给定义概念是思维的细胞，是感性认识飞跃到理性认识的结果．而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工，需依据数学思想方法的指导．因而概念教学应当完整地体现这一过程，引导学生揭示隐藏于概念之中的思维内核．
（2）延迟判断——不要过早地下结论判断可视为压缩了的知识链，数学定理、性质、法则、公式、规律等都是一个个具体的判断．教学中要引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导的过程，并弄清每个结论的因果关系，最后再引导学生归纳得出结论．
（3）激活推理——不要呆板地找关联．
激活推理就是要使已有判断上下贯通，前后迁移，左右逢源，尽可能从已有判断发生众多的思维触角，促进思维链条的高效运转，不断在数学思想方法指导下推出一个个新的判断、新的思维结果．
及时小结复习，揭示、提炼概括数学思想方法．
由于同一内容可蕴含几种不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的表层知识之中，及时小结、复习以进行强化刺激，让学生在脑海中留下深刻的印象，这样有意识、有目的地结合数学表层知识，揭示、提炼概括数学思想方法，既可避免单纯追求数学思想方法使教学欲速则不达的问题，又明快地促使学生认识从感性到理性的飞跃．
抓好运用，不断巩固和深化数学思想方法．
在抓住学习重点、突破学习难点及解决具体数学问题中，数学思想方法是处理这些问题的精灵，这些问题的解决过程，无一不是数学思想方法反复运用的过程．因此，时时注意数学思想方法的运用既有条件又有可能，这是进行数学思想方法教学行之有效的普遍途径．数学思想方法也只有在反复运用中，得到巩固与深化．
方程之先祖
方程是一个庞大的家族，具有悠久的历史，它的发展由来已久．人类最古老的方程是在古埃及的《兰特纸草书》里面用古体象形文字写成的，用现代代数语言来叙述是：“有一个未知数，它的和它的本身一共是37，问该未知数是多少？”这个方程现在看起来很简单，而实际上这是一道三千多年前的一元一次方程，可以说是目前已知的人类最原始、最古老的方程了．当然这道题很容易解：设该未知数为x，则根据题目条件可得到＝37 ，即：＝37 ；
∴．
?1893年俄国收藏家哥连尼雪夫从埃及又得到一本古埃及的纸草书，起名叫做《莫斯科纸草书》，书中有两道一元二次方程题．
【例1】某长方形的面积为12，其宽是长的，求其长和宽．
?解：设长方形的长是x，则宽是x．根据长方形的面积公式，可得：，即x2＝12，∴x＝4(x＞0)．
故其长和宽分别为4和3.
【例2】? 某直角三角形的一条直角边是另一条直角边的倍，其面积为20，求其两个直角边之长．
?解：设一条直角边长为x，则另一条直角边长为x，根据直角三角形面积公式，可得×x·x＝20，∴x2＝20，∴x＝4(x＞0)，以下略．
这两道题实际上都是非常简单的一元二次方程，但它们是最原始、最古老的一元二次方程，是一元二次方程的先祖．
如何从反面提出问题推导一元二次方程根与系数的关系？
答：可以这样进行．
已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，变形为；
依求根公式得它的两根为x1，x2＝.
可见，一元二次方程的根是由它的系数确定的．
反过来，如果已知一元二次方程的两个根x1、x2，能否确定它的系数呢？回答是肯定的．
∵x1、x2是方程的两个根；
∴(x－x1)(x－x2)＝0；
∴x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0；
∴ .
比较两式可得：x1＋x2＝－，x1x2＝．
解答提示：这是用逆向思维的方式从反面提问题，是符合人们的思维规律的．当一个定理得到证明后，人们立即会想到它的逆命题是否是真命题？一元二次方程根的判别式，根与系数的关系都是可逆的．
二次项系数是1的一元二次方程的一般式为x2＋px＋q＝0；
它的两根为x1、x2；
那么x1＋x2＝－p ，x1x2＝q这是经常被用到的．
农妇卖蛋
瑞士大数学家欧拉一生非常重视方程，在他写的《代数学原理》一书中有许多关于方程的重要论述.其中有一个关于农妇卖蛋的题目：两个农妇一共带有100个鸡蛋上市，两人所带蛋数不同，但是卖得的钱数一样．于是第一个农妇对第二农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板.”第二个农妇答道：“但是你的鸡蛋换给我，我就只能卖得个铜板.”试问，这两个农妇各有多少个鸡蛋？如果设第一个农妇有x个鸡蛋，则第二个农妇就有(100－x) 个鸡蛋，根据第一个农妇的话可以知道，第一个农妇卖鸡蛋的价格是每个个铜板；同理，根据第二个农妇的话，我们知道，第二个农妇卖鸡蛋的价格是÷x＝ 个铜板．根据题意，第一个农妇卖鸡蛋得款是 个铜板，第二个农妇卖鸡蛋得款是个铜板，于是有＝，对此方程进行化简可得：x2＋160x＝8000．解这个方程得：x＝40，或x＝－200 （不合题意，故舍去）．因此第二个农妇带有
100－x＝60 （个），即第一个农妇带有40个鸡蛋，第二个农妇带有60个鸡蛋．
韦达介绍
弗朗索瓦·韦达1540年生于法国的普瓦图，1603年12月13日卒于巴黎．年轻时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码．韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步．
韦达在欧洲被尊称为“现代数学之父”．韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他却完成了代数和三角学方面的巨著．他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作．他被称为现代代数符号之父．韦达还专门写了一篇关于“截角术”的论文，初步讨论了正弦、余弦、正切的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中．他考虑含有倍角的方程，具体给出了将cosnx表示成cos（x）的函数，并给出当n≤11时任意正整数的倍角表达式．
他的《分析方法入门》一书（1591年），集中了他以前在代数方面的大成，使代数学真正成为数学中的一个优秀分支．他对方程论的贡献是在《论方程的整理和修正》一书中提出了二次、三次和四次方程的解法．
代数著作：
《分析方法入门》是韦达最重要的代数著作，也是最早的符号代数专著，书中第1章应用了两种希腊文献：帕波斯的《数学文集》第7篇和丢番图著作中的解题步骤结合起来，认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧，并自信希腊数学家已经应用了这种分析术，他只不过将这种分析方法重新组织．韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想，试图创立一般的符号代数．他引入字母来表示量，用辅音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（后来用过N）等表示未知量x，而用A quadratus，A cubus表示x2、x3 ，并将这种代数称为本“类的运算”以此区别于用来确定数目的“数的运算”．当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定了代数与算术的分界．这样，代数就成为研究一般的数和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达被西方称为“代数学之父”．1593年，韦达又出版了另一部代数学专著——《分析五篇》（5卷，约1591年完成）；《论方程的识别与订正》是韦达逝世后由他的朋友A·安德森在巴黎出版的，但早在1591年业已完成．其中得到一系列有关方程变换的公式，给出了G·卡尔达诺三次方程和L·费拉里四次方程解法改进后的求解公式．而另一成就是记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式．韦达还探讨了代数方程数值解的问题，1600年以《幂的数值解法》为题出版．
1593年韦达在《分析五篇》中曾说明怎样用直尺和圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解．同年他的《几何补篇》在图尔出版了，其中给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识．此外，韦达最早明确给出有关圆周率π值的无穷运算式，而且创造了一套10进分数表示法，促进了记数法的改革．之后，韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承，发展成为解析几何学．韦达从某个方面讲，又是几何学方面的权威，他通过393415个边的多边形计算出圆周率，精确到小数点后9位，在相当长的时间里处于世界领先地位．
主要贡献：
韦达最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展．韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法．他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系，给出三次方程不可约情形的三角解法，著有《分析方法入门》《论方程的识别与订正》等多部著作．
由于韦达做出了许多重要贡献，后成为十六世纪法国最杰出的数学家之一．
一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容．这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用．
函数与方程思想：若＝与轴有交点()＝0，
若＝()与＝()有交点(，)＝有解．
下面我们将主要结合二次函数图像的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用．
一、一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系．比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧．
设一元二次方程（）的两个实根为，，且．
【定理1】，（两个正根），
推论：，或，
上述推论结合二次函数图像不难得到．
【定理2】，，
推论：，或，
由二次函数图像易知它的正确性．
【定理3】．
【定理4】 ，且；
，且．
二、一元二次方程的非零分布——k分布
设一元二次方程（）的两实根为，，且，
k为常数，则一元二次方程根的k分布（即，相对于k的位置）有以下若干定理．
【定理1】．
【定理2】．
【定理3】．
推论1 ．
推论2 ．
【定理4】有且仅有（或）．
【定理5】或．
此定理可直接由定理4推出，请读者自证．
【定理6】或．
有关一元二次方程的习题二则
1．设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2－3m＋3＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若x12＋x22＝0，求m的值；（2）求的最大值．
分析：方程有两个不相等的实根，
∴△＝4（m－2）2－4（m2－3m＋3）＝－4m＋4＞0，∴－1≤m＜1．
∵x1＋x2＝－2（m－2），x1x2＝m2－3m＋3．
∴（1）x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝4（m－2）2－2（m2－3m＋3）＝2m2－10m＋10，
∴m2－5m＋5＝0．
解得m＝．∵－1≤m＜1，∴m＝．
（2）＝．
∵x1＋x2＝－2（m－2），x1x2＝m2－3m＋3．
∴上式可化为＝2（m2－3m＋1）＝2（m－）2－．
∵－1≤m＜1，当m＝－1时，最大值为10．
点拨：本题是一道综合性较强的综合题，考查了根的情况、根与系数的关系以及以配方法求最值的问题．
2．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程＝3x＋k的解，求实数k的取值范围．
解：原方程可化为2x2－3x－(k＋3)＝0 ①
(1)当△＝0时，k＝－，x1＝x2＝；
(2)当x＝1时，由①得k＝－4，这时另一根为x＝；
(3)当方程①中两根异号时，x1x2＝＜0，
得k＞－3，此时也有一个正实根；
(4)当方程①中有一根为0时，k＝－3，另一根为x＝．
综上，满足条件的k的取值范围是：k＝－或k＝－4或k≥－3．
与一元二次方程有关的阅读理解题
近几年来，阅读理解题频频出现在全国各地的中考试题中，成为试卷中一个耀眼的亮点，关于解阅读理解题，我总结了三句精要：“阅读是重点，理解是难点，应用是关键”．本文结合同学们学习的一元二次方程，精选近几年的中考题，谈谈阅读理解题的求解要领，旨在对同学们的学习和中考都能有所帮助．
例1 （福建省三明市05年中考模拟题）阅读并解答下列问题：
（1）如下表，方程1、方程2、方程3、……是按一定规律排列的一列方程，解方程1，并把它的解填在表中的空白处：
序号
方程
方程的解
1
2
3
……
……
……
……
（2）若方程的解是x1＝6，x2＝10，求a、b的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？如果是，它是第几个方程？
（3）请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程．
简析：本例是可化为一元二次方程的分式方程，好在八（下）第10章我们有“分式方程”（可化为一元一次方程的分式方程）垫底，其难度就降低多了．作为阅读理解题，重点是阅读，阅读可分两轮：（1）疏通性阅读，即读懂题意；（2）要领性阅读，即有的放矢地抓住要领．难点是理解，理解可分两层：（1）给定一列方程的排列规律；（2）分式方程的两个正根与参变数a、b之间的内在联系．关键是应用，应用体现两步：（1）第（2）小题求解中的求a、b（视a、b为未知数）值和对方程位序的判断；（2）把这列方程按规律从特殊拓广到一般．
略解：（1）x1＝3，x2＝4；（2）a＝12，b＝5，是第四个方程；
（3），．验证略．
例2 （厦门市03年中考题）阅读下面的例题：
解方程．
解：（1）当x≥0时，原方程化为，解得（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为，解得（不合题意，舍去），．
所以原方程的根是．
参照例题解方程，得到此方程的根是_________．
简析：本例是含有绝对值符号的一元二次方程，且为填空题，这类题目在竞赛中亦频频出现，求解时请效仿例题，注意分类讨论．
略解：应填写（具体求解过程留给读者仿阅读材料自行完成）．
评注：该例属于方法模拟型阅读理解题，解题过程中请注意以下几点：
（1）理解阅读材料中的因果关系；（2）注意阅读材料中隐含的数学思想方法；（3）重视阅读材料中与新知识伴随的方法；（4）除模仿阅读材料中的方法外，还要注意迁移发展，探索有创造性的解题方法．
作为练习与巩固，请同学们完成以下两道练习题．
练习1 方程1：；方程2：；
方程3：；……方程k．
（1）解方程1；
（2）先根据方程1、2、3中所反映的某种规律写出方程k，再根据方程1的结果，提出对方程k的解的情况的猜想，并说明你猜想的理由．
练习2：先阅读下面的例题及解答过程，然后解答后面的问题．
例题：若方程与有相同的根，求k的值及相同的根．
解：设相同的根为α，则有
．
所以，即．
（1）当k≠6时，α＝1，代入原方程可求得；
（2）当k＝6时，代入原方程中，两方程均为，解得．
故当k≠6时，有一个相同的根是α＝1；当k＝6时，它们两根都相同，是－1和7．
请你依照上面的解答，完成下题：
已知m为非负实数，当m取什么值时，关于x的方程与仅有一个相同的实根？
（为了便于读者阅读，这里附上参考答案．练习1（1）方程1：解得，经检验是原方程的增根，舍去，故方程1无解；（2）方程k为，根据方程1的结果，可猜想方程k无解，这是因为解方程k得，而当时，公分母，故方程k无解．练习2，设相同的根为α，则由题意我们有．所以．即．（1）当m≠1时，α＝1，代入原方程求得m＝0；（2）当m＝1时，代入原方程，两方程均为，解得，即它们的两根都相同，不合题意，舍去，故只有当m＝0时，两方程仅有一个相同的实根．）
找夫妻
在智力游戏和智力竞赛中，经常会考我们如何找夫妻这一类题目，而且它们都很有趣.例如有这样一道题：“有三对夫妻一同上商店买东西，男的分别姓孙、姓陈、姓金，女的分别姓李、姓赵、姓尹.他们每人只买一种商品，并且每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价（元数）.现在知道每一个丈夫都比他的妻子多花63元，并且老孙所买的商品比小赵多23件，老金所买的商品比小李多11件，问老孙、老陈、老金的爱人各是谁？”
现在我们可以用方程组的方法把各对夫妻解算出来.设丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，根据每人所买商品的件数正好等于那种商品的单价（元数），可以知道丈夫总共花去x2 元，妻子花去y2元．再根据每一个丈夫都比他的妻子多花去63元，可得不定方程：x2－y2＝63 .由于x，y 代表商品件数，只能取自然数，而左端又能因式分解，因此下列方程(x＋y)(x－y)＝63 的右端也应能分解，有三种可能：63×1，21×3，9×7.可得三组联立方程：
解得：
以上三组解就是三对夫妻所买商品的件数.
根据条件“老孙所买的商品比小赵多23件”，后确定x1为老孙买的商品件数，y2为小赵买的商品件数；再根据条件，老金所买的商品比小李多11件，可确定x2为老金所买的商品件数，y3为小李买的商品件数.
由此可以定出老孙和小尹为夫妻，老金和小赵是夫妻，老陈和小李是夫妻.
一元三次方程的故事
很久以前，人们就解决了一元一次方程与一元二次方程的求解问题．然而对一元三次方程的求解却使众多的数学家们陷入了困境，许多人的努力都以失败而告终．1494年，意大利数学家帕西奥利对三次方程进行过艰辛的探索后作出极其悲观的结论．他认为在当时的数学中，求解三次方程，犹如化圆为方问题一样，是根本不可能的．这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪意大利数学家迎接挑战的号角．以此为序曲引出了我们要讲述的关于三次方程求解的故事．
故事中第一个出场的人物是一位大学教授，名字叫费罗(Scipione del Ferro，1465-1526)．他在帕西奥利作出悲观结论不久，大约在1500年左右，得到了x3＋mx＝n这样一类缺项三次方程的求解公式．在求解三次方程的道路上，这是一个不小的成功．但出乎我们意料的是，他并没有马上发表自己的成果以广为传播自己的成功．相反，他对自己的解法绝对保密！这在“不发表即发霉”的今天，真是不可思议之事！在当时却有其原因．那时一个人若想要保住自己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败．因此，一个重要的新发现就成了一件论争中处于不败之地的有力武器．最后直到其临终前，大约1510年左右，他才将自己的这一“杀手锏”传给两个人：他的女婿和他的一个学生．他那不学无术的女婿不久就将此抛之脑后了，这样他的学生菲奥尔以这一“杀手锏”唯一传人的角色在我们的故事中作为第二个人物露面了．菲奥尔本人的数学才能并不突出，但他却因独得费罗秘技而以之炫耀于世．只不过他“独此一家，别无分店”的招牌却没有挂太长的时间，一个厉害的挑战者塔塔利亚 (Niccolo Tartaglia of Brescia，1499-1557)出现在他的面前．
这是我们故事中出场的第三个人物，其原名丰塔纳．1512年，在一次战乱中他被一法国兵用刀砍伤脸部，头部口舌多处受伤，其后虽侥幸活命，却留下了口吃的后遗症．于是就得了“塔塔利亚”的绰号，意大利语就是“口吃者”的意思．那时他还只有13岁．然而这并没有妨碍这位有才能的顽强的少年主要通过自学的方式在数学上达到极高的成就．1534年他宣称自己已得到了形如
x3＋mx＝n这类没有一次项的三次方程的解的方法．不久，菲奥尔就听到了挑战者的叫板声，于是我们故事中的两位人物开始碰面了．
两人相约在米兰进行公开比赛．双方各出三十个三次方程的问题，约定谁解出的题目多就获胜．塔塔利亚在1535年2月13日，在参加比赛前夕经过多日的苦思冥想后终于找到了多种类型三次方程的解法．于是在比赛中，他只用了两个小时的时间就轻而易举地解出了对方的所有题目，而对方对他的题目却一题都做不出来．这样他以30:0的战绩大获全胜．这次辉煌的胜利为塔塔利亚带来了轰动一时的荣誉，同时也意味着菲奥尔可以在我们的故事中以不体面的方式先行退场了．塔塔利亚为这次胜利所激励，更加热心于研究一般三次方程的解法．1541年，终于完全解决了三次方程的求解问题．或许是出于与费罗同样的考虑，或许是想在进一步酝酿后写一本关于三次方程解法的书的缘故，塔塔利亚没有将自己的成果很快发表．于是，风波骤起，本应进入尾声的故事，由于又一个重要人物的出场而被引入了一个完全不同的方向．
这位半路杀出来的“程咬金”叫卡尔达诺(Girolamo Cardano, 1501-1576)，一位或许是数学史中最奇特的人物．他的本行是医生，并且是一个颇受欢迎的医生．但其才能并没有局限于此，他在各种知识领域里显示出自己的天赋．除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和数学家，同时是一个占星术家，并在这些知识领域里都获得了重要成果．他行为有些怪异，好赌博，人品看来也不太佳．在他去世后一百年，伟大的莱布尼兹概括了他的一生：“卡尔达诺是一个有许多缺点的伟人；没有这些缺点，他将举世无双．”在我们故事中卡尔达诺所要扮演的正是一个将才能与不佳的人品集于一身的不太光彩的角色．
在塔塔利亚与菲尔奥的竞赛后不久，卡尔达诺听说了这一故事．在此之前他对三次方程求解问题已进行过长时间的研究，却没有得到结果．于是可以想象得到他是多么急于想知道塔塔利亚这位解三次方程大师的奇妙技巧．为此他多次向塔塔利亚求教三次方程的解法，开始都被塔塔利亚拒绝了．但最终在卡尔达诺立下永不泄密的誓言后，他于1539年3月25日向卡尔达诺公开了自己的秘密．故事的转折就这样开始了．
卡尔达诺并没有遵守自己的诺言，1545年他出版《大术》一书，将三次方程解法公诸于众，从而使自己在数学界名声鹊起．当然，如果说句公道的话，卡尔达诺的《大术》一书并非完全抄袭之作，其中也包含着他自己独特的创造．然而，这种失信毕竟大大激怒了塔塔利亚．1546年他在《各式各样的问题与发明》一书中严斥卡尔达诺的失信行为，于是一场争吵无可避免地发生了．一时间，充满火药味的信件在双方之间飞来飞去．1548年8月10日在米兰的公开辩论使这场冲突达到白热化．卡尔达诺在这场公开辩论中自己避不出席而是派遣了一位学生出马．这个学生的名字叫费拉里(Ludovico Ferrari,1522-1565)，是我们故事中出场的最后一个人物．
费拉里15岁时充当卡尔达诺的家仆．主人发现了他的出众才能，接受他为学生和助手．18岁时接替卡尔达诺在米兰讲学．其最大的贡献是发现四次方程的一般解法．现在这位以脾气暴躁著称且又忠诚的学生要报答老师的知育之恩了．在这场公开的辩论中，塔塔利亚先以三次方程的迅速解答取得优势，而费拉里则指摘对方不能解四次方程．于是一场数学论争逐渐演变成一场无聊的谩骂．最后客场作战的塔塔利亚以失败而告终，后者宣称了自己胜利．由于卡尔达诺最早发表了求解三次方程的方法，因而数学上三次方程的解法至今仍被称为“卡尔达诺公式”，塔塔利亚之名反而湮没无闻了．这对塔塔利亚来说似乎是太不公平了．不过，这又怎么样呢？在历史上，这类争夺优先权的论战又何止这一桩呢？随着时间的推移，多少年过去后，在当时对于个人如此重要的事，对后人而言却不过是“古今多少事，都付笑谈中”而已．
塔塔利亚发现的一元三次方程的解法
一元三次方程的一般形式是x3＋sx2＋tx＋u＝0，如果作一个横坐标平移y＝x＋，那么我们就可以把方程的二次项消去．所以我们只要考虑形如x3＝px＋q 的三次方程．
假设方程的解x可以写成x＝a－b的形式，这里a和b是待定的参数．代入方程，我们就有a3－3a2b＋3ab2－b3＝p(a－b)＋q；整理得到
a3－b3＝(a－b)(p＋3ab)＋q；由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和
b，使得在x＝a－b的同时，3ab＋p＝0．这样上式就成为a3－b3＝q；两边各乘
以27a3，就得到27a6－27a3b3＝27qa3；由p＝－3ab可知27a6 ＋p＝27qa3；
这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a，进而可解出b和根x．
一元三次方程的解法
先把三次方程化为的形式：
令，则原式变成
，
，
，
，
．
如此一来二次项就不见了，化成，其中，.
对方程直接利用卡尔丹诺公式：
，
，
．
其中.
是根的判别式：Δ＞0时，有一个实根两个虚根；Δ＝0时，有三个实根，且其中至少有两个根相等；Δ＜0时，有三个不等实根．
一元三次方程根与系数的关系
设方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0（a≠0）的三个根分别为x1、x2、x3．
原方程化为．
∵ x1、x2、x3是方程的三个根，
∴．
整理，得
，
比较左右同类项的系数，得一元三次方程根与系数的关系是：
．
近代科学的始祖——笛卡尔
笛卡尔1596年3月31日生于法国土伦省莱耳市的一个贵族之家，1650年2月11日卒于瑞典的斯德哥尔摩．
笛卡尔生平
??? 笛卡尔的父亲是布列塔尼地方议会的议员，同时也是地方法院的法官，笛卡尔在豪华的生活中无忧无虑地度过了童年．他幼年体弱多病，母亲病故后就一直由一位保姆照看．他对周围的事物充满了好奇，父亲见他颇有哲学家的气质，亲昵地称他为“小哲学家”．父亲希望笛卡尔将来能够成为一名神学家，于是在笛卡尔八岁时，便将他送入拉弗莱什的耶酥会学校，接受古典教育．校方为照顾他的孱弱的身体，特许他可以不必受校规的约束，早晨不必到学校上课，可以在床上读书．因此，他从小养成了喜欢安静，善于思考的习惯．
??? 笛卡尔1612年到普瓦捷大学攻读法学，四年后获博士学位．1616年笛卡尔结束学业后，便背离家庭的职业传统，开始探索人生之路．他投笔从戎，想借机游历欧洲，开阔眼界．
??? 这期间有几次经历对他产生了重大的影响．一次，笛卡尔在街上散步，偶然间看到了一张数学题悬赏的启事．两天后，笛卡尔竟然把那个问题解答出来了，引起了著名学者皮克曼的注意．皮克曼向笛卡尔介绍了数学的最新发展，给了他许多有待研究的问题．
??? 与皮克曼的交往，使笛卡尔对自己的数学和科学能力有了较充分的认识，他开始认真探寻是否存在一种类似于数学的、具有普遍使用性的方法，以期获取真正的知识．
??? 据说，笛卡尔曾在一个晚上做了三个奇特的梦．第一个梦是，笛卡尔被风暴吹到一个风力吹不到的地方；第二个梦是他得到了打开自然宝库的钥匙；第三个梦是他开辟了通向真正知识的道路．这三个奇特的梦增强了他创立新学说的信心．这一天是笛卡尔思想上的一个转折点，有些学者也把这一天定为解析几何的诞生日．
??? 然而长期的军旅生活使笛卡尔感到疲惫，他于1621年回国，时值法国内乱，于是他去荷兰、瑞士、意大利等地旅行．1625年返回巴黎，1628年移居荷兰．
??? 在荷兰长达20多年的时间里，笛卡尔对哲学、数学、天文学、物理学、化学和生理学等领域进行了深入的研究，并通过数学家梅森神父与欧洲主要学者保持密切联系．他的主要著作几乎都是在荷兰完成的．
??? 1628年，笛卡尔写出《指导哲理之原则》，1634年完成了以哥白尼学说为基础的《论世界》．书中总结了他在哲学、数学和许多自然科学问题上的一些看法．1637年，笛卡尔用法文写成三篇论文《折光学》《气象学》和《几何学》，并为此写了一篇序言《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》，哲学史上简称为《方法论》，6月8日在莱顿匿名出版．1641年出版了《形而上学的沉思》，1644年又出版了《哲学原理》等重要著作．
???? 1949年冬，笛卡尔应瑞典女王克里斯蒂安的邀请，来到了斯德哥尔摩，任宫廷哲学家，为瑞典女王授课．由于他身体孱弱，不能适应那里的气候，1650年初便患肺炎抱病不起，同年二月病逝．
解析几何的诞生
在笛卡尔所处的时代，代数还是一门比较新的科学，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位．1637年，笛卡尔发表了《几何学》，它奠定了笛卡尔在数学史上的地位．
?文艺复兴使欧洲学者继承了古希腊的几何学，也接受了东方传入的代数学．力学技术的发展，使得用数学方法描述运动成为人们关心的中心问题．笛卡尔分析了几何学与代数学的优缺点，表示要去“寻求另外一种包含这两门科学的好处，而没有它们的缺点的方法”．
??? 在《几何学》卷一中，他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间上的点．他进而创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性质，证明几何性质．
??? 笛卡尔把几何问题化成代数问题，提出了几何问题的统一作图法．为此，他引入了单位线段，以及线段的加、减、乘、除、开方等概念，从而把线段与数量联系起来，通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段间的关系作图．
??? 在卷二中，笛卡尔用这种新方法解决帕普斯问题时，在平面上以一条直线为基线，为它规定一个起点，又选定与之相交的另一条直线，它们分别相当于x轴、原点、y轴，构成一个斜坐标系．那么该平面上任一点的位置都可以用(x，y)惟一地确定．帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定方程．笛卡尔指出，方程的次数与坐标系的选择无关，因此可以根据方程的次数将曲线分类．
??? 《几何学》一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生．此后，人类进入变量数学阶段．
??? 在卷三中，笛卡尔指出，方程可能有和它的次数一样多的根，还提出了著名的笛卡尔符号法则：方程正根的最多个数等于其系数变号的次数；其负根的最多个数（他称为假根）等于符号不变的次数．笛卡尔还改进了韦达创造的符号系统，用a，b，c，……表示已知量，用x，y，z，……表示未知量．
??? 解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形”统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合．笛卡尔的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础，从而开拓了变量数学的广阔领域．
??? 正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数．有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了．”
笛卡尔在其他科学领域的成果
??? 笛卡尔靠着天才的直觉和严密的数学推理，在物理学方面做出了有益的贡献．从1619年读了开普勒的光学著作后，笛卡尔就一直关注着透镜理论；并从理论和实践两方面参与了对光的本质、反射与折射率以及磨制透镜的研究．他把光的理论视为整个知识体系中最重要的部分．
??? 笛卡尔运用他的坐标几何学从事光学研究，在《屈光学》中第一次对折射定律提出了理论上的推证．他认为光是压力在以太中的传播，他从光的发射论的观点出发，用网球打在布面上的模型来计算光在两种媒质分界面上的反射、折射和全反射，从而首次在假定平行于界面的速度分量不变的条件下导出折射定律；不过他的假定条件是错误的，他的推证得出了光由光疏媒质进入光密媒质时速度增大的错误结论．他还对人眼进行光学分析，解释了视力失常的原因是晶状体变形，设计了矫正视力的透镜．
??? 在力学上，笛卡尔发展了伽利略的运动相对性的思想，例如在《哲学原理》一书中，举出在航行中的海船上海员怀表的表轮这一类生动的例子，用以说明运动与静止需要选择参照物的道理．
??? 笛卡尔在《哲学原理》第二章中以第一和第二自然定律的形式比较完整地第一次表述了惯性定律：只要物体开始运动，就将继续以同一速度并沿着同一直线方向运动，直到遇到某种外来原因造成的阻碍或偏离为止．这里他强调了伽利略没有明确表述的惯性运动的直线性．
??? 在这一章中，他还第一次明确地提出了运动量守恒定律：物质和运动的总量永远保持不变．笛卡尔对碰撞和离心力等问题曾作过初步研究，给后来惠更斯的成功创造了条件．
??? 笛卡尔把他的机械论观点应用到天体，发展了宇宙演化论，形成了他关于宇宙发生与构造的学说．他认为，从发展的观点来看而不只是从已有的形态来观察，对事物更易于理解．他创立了漩涡说．他认为太阳的周围有巨大的漩涡，带动着行星不断运转．物质的质点处于统一的漩涡之中，在运动中分化出土、空气和火三种元素，土形成行星，火则形成太阳和恒星．
??? 他认为天体的运动来源于惯性和某种宇宙物质旋涡对天体的压力，在各种大小不同的旋涡的中心必有某一天体，以这种假说来解释天体间的相互作用．笛卡尔的太阳起源的以太旋涡模型第一次依靠力学而不是神学，解释了天体、太阳、行星、卫星、彗星等的形成过程，比康德的星云说早一个世纪，是17世纪中最有权威的宇宙论．
??? 笛卡尔的天体演化说、旋涡模型和近距作用观点，正如他的整个思想体系一样，一方面以丰富的物理思想和严密的科学方法为特色，起着反对经院哲学、启发科学思维、推动当时自然科学前进的作用，对许多自然科学家的思想产生深远的影响；而另一方面又经常停留在直观和定性阶段，不是从定量的实验事实出发，因而一些具体结论往往有很多缺陷，成为后来牛顿物理学的主要对立面，导致了广泛的争论．
笛卡尔在其他的科学领域还有不少值得称道的创见．他还提出了刺激反应说，为生理学做出了一定的贡献．
近代科学的始祖
笛卡尔是欧洲近代哲学的奠基人之一，黑格尔称他为“现代哲学之父”．他自成体系，熔唯物主义与唯心主义于一炉，在哲学史上产生了深远的影响．
??? 笛卡尔在哲学上是二元论者，并把上帝看作造物主．但笛卡尔在自然科学范围内却是一个机械论者，这在当时是有进步意义的．
??? 笛卡尔认为：物质由微粒构成，物质微粒是唯一的实体；物质的本性是其空间广延性，机械运动即位置变动是物质唯一的运动形式；一切自然现象，一切物质性质（包括色、香、硬度、热等）都是由于物质粒子的机械相互作用产生的；有了物质（空间）和（机械）运动，就能按照物质运动本身的自然规律，构造出全部世界，无须上帝照管．
??? 这类机械论的自然观以后曾统治自然科学两个多世纪．笛卡尔不但承认物质世界的客观存在，而且承认物质运动是绝对的观点．他宣称：“给我物质和运动，我将造出这个世界．”因此笛卡尔又是辩证法的卓越代表人物之一．
笛卡尔强调科学的目的在于造福人类，使人成为自然界的主人和统治者．他反对经院哲学和神学，认为那是“虚伪的科学”，主张重审知识，提出了怀疑一切的系统怀疑方法．但他又提出了“我思故我在”这一哲学命题，他说：对任何事物都可怀疑，唯独对“我在怀疑”不能怀疑，这说明有一个怀疑的我（即心灵）独立存在．他更进一步指出了心灵与物质的相互差异：心灵能思维而不占空间；物质占空间而不思维；二者互不决定，互不派生．这就是笛卡尔二元论哲学的精髓．他还企图证明上帝的存在，他认为物质与心灵皆受上帝的支配，而上帝是尽善尽美的．他将物质与精神截然分开，将哲学划分为“行而上学”与“物理学”两部分．
笛卡尔是一位机械论者，他认为宇宙中无论天上还是地上，到处充满着的物质和运动，他将运动定义为位移运动（即力学运动）．他提出，运动守恒原理使宇宙处在永恒的力学运动之中．人造的机器与自然界中的物体没有本质的差别，两者所不同的是，人造机器的每一部分都是我们很明确地看到的．他相信，人体本质上是一架机器，他的机能均可以用力学加以解释．
笛卡尔的方法论对于后来物理学的发展有重要的影响．他在古代演绎方法的基础上创立了一种以数学为基础的演绎法：以唯理论为根据，从自明的直观公理出发，运用数学的逻辑演绎，推出结论．这种方法和培根所提倡的实验归纳法结合起来，经过惠更斯和牛顿等人的综合运用，成为物理学特别是理论物理学的重要方法．作为他的普遍方法的一个最成功的例子，是笛卡尔运用代数的方法来解决几何问题，确立了坐标几何学即解析几何学的基础．
??? 笛卡尔的方法论中还有两点值得注意．第一，他善于运用直观“模型”来说明物理现象．例如利用“网球”模型说明光的折射；用“盲人的手杖”来形象地比喻光信息沿物质作瞬时传输；用盛水的玻璃球来模拟并成功地解释了虹霓现象等．第二，他提倡运用假设和假说的方法，如宇宙结构论中的旋涡说．此外他还提出“普 遍怀疑”原则．这一原则在当时的历史条件下对于反对教会统治、反对崇尚权威、提倡理性、提倡科学起过很大作用．
??? 笛卡尔堪称17世纪及其后的欧洲哲学界和科学界最有影响的巨匠之一，被誉为“近代科学的始祖”．
经典物理学大师——牛顿
我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来，我不过就像是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现．
? ——牛顿
少年牛顿
1643年1月4日，在英格兰林肯郡小镇沃尔索浦的一个自耕农家庭里，牛顿诞生了．牛顿是一个早产儿，出生时只有三磅重，接生婆和他的亲人都担心他能否活下来．谁也没有料到这个看起来微不足道的小东西会成为了一位震古烁今的科学巨人，并且竟活到了85岁的高龄．
牛顿出生前三个月父亲便去世了．在他两岁时，母亲改嫁给一个牧师，把牛顿留在外祖母身边抚养．11岁时，母亲的后夫去世，母亲带着和后夫所生的一子二女回到牛顿身边．牛顿自幼沉默寡言，性格倔强，这种习性可能来自他的家庭处境．
大约从五岁开始，牛顿被送到公立学校读书．少年时的牛顿并不是神童，他资质平常，成绩一般，但他喜欢读书，喜欢看一些介绍各种简单机械模型制作方法的读物，并从中受到启发，自己动手制作些奇奇怪怪的小玩意，如风车、木钟、折叠式提灯等等．
传说小牛顿把风车的机械原理摸透后，自己制造了一架磨坊的模型，他将老鼠绑在一架有轮子的踏车上，然后在轮子的前面放上一粒玉米，刚好那地方是老鼠可望不可及的位置．老鼠想吃玉米，就不断地跑动，于是轮子不停的转动；又一次他放风筝时，在绳子上悬挂着小灯，夜间村人看去惊疑是彗星出现；他还制造了一个小水钟．每天早晨，小水钟会自动滴水到他的脸上，催他起床．他还喜欢绘画、雕刻，尤其喜欢刻日晷，家里墙角、窗台上到处安放着他刻画的日晷，用以验看日影的移动．
牛顿12岁时进了离家不远的格兰瑟姆中学．牛顿的母亲原希望他成为一个农民，但牛顿本人却无意于此，而酷爱读书．随着年岁的增大，牛顿越发爱好读书，喜欢沉思，做科学小实验．他在格兰瑟姆中学读书时，曾经寄宿在一位药剂师家里，使他受到了化学试验的熏陶．
牛顿在中学时代学习成绩并不出众，只是爱好读书，对自然现象有好奇心，例如颜色、日影四季的移动，尤其是几何学、哥白尼的日心说等等．他还分门别类的记读书笔记，又喜欢别出心裁的做些小工具、小技巧、小发明、小试验．
当时英国社会渗透基督教新思想，牛顿家里有两位都以神父为职业的亲戚，这可能影响牛顿晚年的宗教生活．从这些平凡的环境和活动中，还看不出幼年的牛顿是个才能出众异于常人的儿童．
后来迫于生活，母亲让牛顿停学在家务农，赡养家庭．但牛顿一有机会便埋首书卷，以至经常忘了干活．每次，母亲叫他同佣人一道上市场，熟悉做交易的生意经时，他便恳求佣人一个人上街，自己则躲在树丛后看书．有一次，牛顿的舅父起了疑心，就跟踪牛顿上市镇去，发现他的外甥伸着腿，躺在草地上，正在聚精会神地钻研一个数学问题．牛顿的好学精神感动了舅父，于是舅父劝服了母亲让牛顿复学，并鼓励牛顿上大学读书．牛顿又重新回到了学校，如饥似渴地汲取着书本上的营养．
求学岁月
1661年，19岁的牛顿以减费生的身份进入剑桥大学三一学院，靠为学院做杂务的收入支付学费，1664年成为奖学金获得者，1665年获学士学位．
?? 17世纪中叶，剑桥大学的教育制度还渗透着浓厚的中世纪经院哲学的气味，当牛顿进入剑桥时，那里还在传授一些经院式课程，如逻辑、古文、语法、古代史、神学等等．两年后三一学院出现了新气象，卢卡斯创设了一个独辟蹊径的讲座，规定讲授自然科学知识，如地理、物理、天文和数学课程．
讲座的第一任教授伊萨克·巴罗是个博学的科学家．这位学者独具慧眼，看出了牛顿具有深邃的观察力、敏锐的理解力．于是将自己的数学知识，包括计算曲线图形面积的方法，全部传授给牛顿，并把牛顿引向了近代自然科学的研究领域．
在这段学习过程中，牛顿掌握了算术、三角，读了开普勒的《光学》，笛卡尔的《几何学》和《哲学原理》，伽利略的《两大世界体系的对话》，胡克的《显微图集》，还有皇家学会的历史和早期的哲学学报等．
牛顿在巴罗门下的这段时间，是他学习的关键时期．巴罗比牛顿大12岁，精于数学和光学，他对牛顿的才华极为赞赏，认为牛顿的数学才能超过自己．后来，牛顿在回忆时说道：“巴罗博士当时讲授关于运动学的课程，也许正是这些课程促使我去研究这方面的问题．”
当时，牛顿在数学上很大程度是依靠自学．他学习了欧几里得的《几何原本》、笛卡尔的《几何学》、沃利斯的《无穷算术》、巴罗的《数学讲义》及韦达等许多数学家的著作．其中，对牛顿具有决定性影响的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，它们将牛顿迅速引导到当时数学最前沿——解析几何与微积分．1664年，牛顿被选为巴罗的助手，第二年，剑桥大学评议会通过了授予牛顿大学学士学位的决定．
1665～1666年严重的鼠疫席卷了伦敦，剑桥离伦敦不远，为恐波及，学校因此而停课，牛顿于1665年6月离校返乡．
由于牛顿在剑桥受到数学和自然科学的熏陶和培养，对探索自然现象产生浓厚的兴趣，家乡安静的环境又使得他的思想展翅飞翔．1665～1666年这段短暂的时光成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，他在自然科学领域内思潮奔腾，才华迸发，思考前人从未思考过的问题，踏进了前人没有涉及的领域，创建了前所未有的惊人业绩．
1665年初，牛顿创立级数近似法,以及把任意幂的二项式化为一个级数的规则；同年11月，创立正流数法(微分)；次年1月，用三棱镜研究颜色理论；5月，开始研究反流数法（积分）．这一年内，牛顿开始想到研究重力问题，并想把重力理论推广到月球的运动轨道上去．他还从开普勒定律中推导出使行星保持在它们的轨道上的力必定与它们到旋转中心的距离平方成反比．牛顿见苹果落地而悟出地球引力的传说，说的也是此时发生的轶事．
总之，在家乡居住的两年中，牛顿以比此后任何时候更为旺盛的精力从事科学创造，并关心自然哲学问题．他的三大成就：微积分、万有引力、光学分析的思想都是在这时孕育成形的．可以说此时的牛顿已经开始着手描绘他一生大多数科学创造的蓝图．
1667年复活节后不久，牛顿返回到剑桥大学，10月1日被选为三一学院的仲院侣（初级院委），翌年3月16日获得硕士学位，同时成为正院侣（高级院委）．1669年10月27日，巴罗为了提携牛顿而辞去了教授之职，26岁的牛顿晋升为数学教授，并担任卢卡斯讲座的教授．巴罗为牛顿的科学生涯打通了道路，如果没有牛顿的舅父和巴罗的帮助，牛顿这匹千里马可能就不会驰骋在科学的大道上．巴罗让贤，这在科学史上一直被传为佳话．
伟大的成就——建立微积分
在牛顿的全部科学贡献中，数学成就占有突出的地位．他数学生涯中的第一项创造性成果就是发现了二项式定理．据牛顿本人回忆，他是在1664年和1665年间的冬天，在研读沃利斯博士的《无穷算术》时，试图修改他的求圆面积的级数时发现这一定理的．
笛卡尔的解析几何把描述运动的函数关系和几何曲线相对应．牛顿在老师巴罗的指导下，在钻研笛卡尔的解析几何的基础上，找到了新的出路．可以把任意时刻的速度看成是在微小的时间范围里的速度的平均值，这就是一个微小的路程和时间间隔的比值，当这个微小的时间间隔缩小到无穷小的时候，就是这一点的准确值．这就是微分的概念．
求微分相当于求时间和路程关系的在某点的切线斜率．一个变速的运动物体在一定时间范围里走过的路程，可以看作是在微小时间间隔里所走路程的和，这就是积分的概念．求积分相当于求时间和速度关系的曲线下面的面积．牛顿从这些基本概念出发，建立了微积分．
微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就．牛顿为解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的，牛顿称之为“流数术”．它所处理的一些具体问题，如切线问题、求积问题、瞬时速度问题以及函数的极大和极小值问题等，在牛顿之前已经得到人们的研究了．但牛顿超越了前人，他站在了更高的角度，对以往分散的努力加以综合，将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法——微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元．
牛顿没有及时发表微积分的研究成果，他研究微积分可能比莱布尼茨早一些，但是莱布尼茨所采取的表达形式更加合理，而且关于微积分的著作出版时间也比牛顿早．
在牛顿和莱布尼茨之间，为争论谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，这种争吵在各自的学生、支持者和数学家中持续了相当长的一段时间，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立．英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年．
应该说，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，它必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的．微积分也是这样，是牛顿和莱布尼茨在前人的基础上各自独立的建立起来的．
1707年，牛顿的代数讲义经整理后出版，定名为《普遍算术》．他主要讨论了代数基础及其(通过解方程)在解决各类问题中的应用．书中陈述了代数基本概念与基本运算，用大量实例说明了如何将各类问题化为代数方程，同时对方程的根及其性质进行了深入探讨，引出了方程论方面的丰硕成果，如，他得出了方程的根与其判别式之间的关系，指出可以利用方程系数确定方程根之幂的和数，即“牛顿幂和公式”．
牛顿对解析几何与综合几何都有贡献．他在1736年出版的《解析几何》中引入了曲率中心，给出密切线圆（或称曲线圆）概念，提出曲率公式及计算曲线的曲率方法．并将自己的许多研究成果总结成专论《三次曲线枚举》，于1704年发表．此外，他的数学工作还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多领域．
伟大的成就——对光学的三大贡献
在牛顿以前，墨子、培根、达·芬奇等人都研究过光学现象．反射定律是人们很早就认识的光学定律之一．近代科学兴起的时候，伽利略靠望远镜发现了“新宇宙”，震惊了世界．荷兰数学家斯涅尔首先发现了光的折射定律．笛卡尔提出了光的微粒说……
牛顿以及跟他差不多同时代的胡克、惠更斯等人，也象伽利略、笛卡尔等前辈一样，用极大的兴趣和热情对光学进行研究．1666年，牛顿在家休假期间，得到了三棱镜，他用来进行了著名的色散试验．一束太阳光通过三棱镜后，分解成几种颜色的光谱带，牛顿再用一块带狭缝的挡板把其他颜色的光挡住，只让一种颜色的光通过第二个三棱镜，结果出来的只是同样颜色的光．这样，他就发现了白光是由各种不同颜色的光组成的，这是第一大贡献．
牛顿为了验证这个发现，设法把几种不同的单色光合成白光，并且计算出不同颜色光的折射率，精确地说明了色散现象．揭开了物质的颜色之谜，原来物质的色彩是不同颜色的光在物体上有不同的反射率和折射率造成的．公元1672年，牛顿把自己的研究成果发表在《皇家学会哲学杂志》上，这是他第一次公开发表的论文．
许多人研究光学是为了改进折射望远镜．牛顿由于发现了白光的组成，认为折射望远镜透镜的色散现象是无法消除的（后来有人用具有不同折射率的玻璃组成的透镜消除了色散现象），就设计和制造了反射望远镜．
牛顿不但擅长数学计算，而且能够自己动手制造各种试验设备并且作精细实验．为了制造望远镜，他自己设计了研磨抛光机，实验各种研磨材料．公元1668年，他制成了第一架反射望远镜样机，这是第二大贡献．公元1671年，牛顿把经过改进的反射望远镜献给了皇家学会，牛顿名声大震，并被选为皇家学会会员．反射望远镜的发明奠定了现代大型光学天文望远镜的基础．
同时，牛顿还进行了大量的观察实验和数学计算，比如研究惠更斯发现的冰川石的异常折射现象，胡克发现的肥皂泡的色彩现象，“牛顿环”的光学现象等等．
牛顿还提出了光的“微粒说”，认为光是由微粒形成的，并且走的是最快速的直线运动路径．他的“微粒说”与后来惠更斯的“波动说”构成了关于光的两大基本理论．此外，他还制作了牛顿色盘等多种光学仪器．
伟大的成就——构筑力学大厦
牛顿是经典力学理论的集大成者．他系统地总结了伽利略、开普勒和惠更斯等人的工作，得到了著名的万有引力定律和牛顿运动三定律．
在牛顿以前，天文学是最显赫的学科．但是为什么行星一定按照一定规律围绕太阳运行？天文学家无法圆满解释这个问题．万有引力的发现说明，天上星体运动和地面上物体运动都受到同样的规律——力学规律的支配．
早在牛顿发现万有引力定律以前，已经有许多科学家严肃认真的考虑过这个问题．比如开普勒就认识到，要维持行星沿椭圆轨道运动必定有一种力在起作用，他认为这种力类似磁力，就像磁石吸铁一样．1659年，惠更斯从研究摆的运动中发现，保持物体沿圆周轨道运动需要一种向心力．胡克等人认为是引力，并且试图推导引力和距离的关系．
1664年，胡克发现彗星靠近太阳时轨道弯曲是因为太阳引力作用的结果；1673年，惠更斯推导出向心力定律；1679年，胡克和哈雷从向心力定律和开普勒第三定律，推导出维持行星运动的万有引力和距离的平方成反比．
牛顿自己回忆，1666年前后，他在老家居住的时候已经考虑过万有引力的问题．最有名的一个说法是：在假期里，牛顿常常在花园里小坐片刻．有一次，象以往屡次发生的那样，一个苹果从树上掉了下来……
一个苹果的偶然落地，却是人类思想史的一个转折点，它使那个坐在花园里的人的头脑开了窍，引起他的沉思：究竟是什么原因使一切物体都受到差不多总是朝向地心的吸引呢？牛顿思索着．终于，他发现了对人类具有划时代意义的万有引力．
牛顿高明的地方就在于他解决了胡克等人没有能够解决的数学论证问题．1679年，胡克曾经写信问牛顿，能不能根据向心力定律和引力同距离的平方成反比的定律，来证明行星沿椭圆轨道运动．牛顿没有回答这个问题．1685年，哈雷登门拜访牛顿时，牛顿已经发现了万有引力定律：两个物体之间有引力，引力和距离的平方成反比，和两个物体质量的乘积成正比．
当时已经有了地球半径、日地距离等精确的数据可以供计算使用．牛顿向哈雷证明地球的引力是使月亮围绕地球运动的向心力，也证明了在太阳引力作用下，行星运动符合开普勒运动三定律．
在哈雷的敦促下，1686年底，牛顿写成划时代的伟大著作《自然哲学的数学原理》一书．皇家学会经费不足，出不了这本书，后来靠了哈雷的资助，这部科学史上最伟大的著作之一才能够在1687年出版．
牛顿在这部书中，从力学的基本概念（质量、动量、惯性、力）和基本定律（运动三定律）出发，运用他所发明的微积分这一锐利的数学工具，不但从数学上论证了万有引力定律，而且把经典力学确立为完整而严密的体系，把天体力学和地面上的物体力学统一起来，实现了物理学史上第一次大的综合．
站在巨人的肩上????
牛顿的研究领域非常广泛，他除了在数学、光学、力学等方面做出卓越贡献外，他还花费大量精力进行化学实验．他常常六个星期一直留在实验室里，不分昼夜的工作．他在化学上花费的时间并不少，却几乎没有取得什么显著的成就．为什么同样一个伟大的牛顿，在不同的领域取得的成就竟那么不一样呢？
其中一个原因就是各个学科处在不同的发展阶段．在力学和天文学方面，有伽利略、开普勒、胡克、惠更斯等人的努力，牛顿有可能用已经准备好的材料，建立起一座宏伟壮丽的力学大厦．正象他自己所说的那样“如果说我看得远，那是因为我站在巨人的肩上”．而在化学方面，因为正确的道路还没有开辟出来，牛顿没法走到可以砍伐材料的地方．
牛顿在临终前对自己的生活道路是这样总结的：“我不知道在别人看来，我是什么样的人；但在我自己看来，我不过就象是一个在海滨玩耍的小孩，为不时发现比寻常更为光滑的一块卵石或比寻常更为美丽的一片贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的真理的海洋，却全然没有发现．”
这当然是牛顿的谦逊．
怪异的牛顿
牛顿并不善于教学，他在讲授新近发现的微积分时，学生都接受不了．但在解决疑难问题方面的能力，他却远远超过了常人．还是学生时，牛顿就发现了一种计算无限量的方法．他用这个秘密的方法，算出了双曲面积到二百五十位数．他曾经高价买下了一个棱镜，并把它作为科学研究的工具，用它试验了白光分解为有颜色的光．
开始，他并不愿意发表他的观察所得，他的发现都只是一种个人的消遣，为的是使自己在寂静的书斋中解闷，他独自遨游于自己所创造的超级世界里．后来，在好友哈雷的竭力劝说下，才勉强同意出版他的手稿，才有划时代巨著《自然哲学的数学原理》的问世．
作为大学教授，牛顿常常忙得不修边幅，往往领带不结，袜带不系好，马裤也不纽扣，就走进了大学餐厅．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海了只剩下了无穷量的二项式定理．他抓住姑娘的手指，错误的把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去．牛顿也因此终生未娶．
牛顿从容不迫地观察日常生活中的小事，结果作出了科学史上一个个重要的发现．他马虎拖沓，曾经闹过许多的笑话．一次，他边读书，边煮鸡蛋，等他揭开锅想吃鸡蛋时，却发现锅里是一只怀表．还有一次，他请朋友吃饭，当饭菜准备好时，牛顿突然想到一个问题，便独自进了内室，朋友等了他好久还是不见他出来，于是朋友就自己动手把那份鸡全吃了，鸡骨头留在盘子，不告而别了．等牛顿想起，出来后，发现了盘子里的骨头，以为自己已经吃过了，便转身又进了内室，继续研究他的问题．
牛顿晚年
但是由于受时代的限制，牛顿基本上是一个形而上学的机械唯物主义者．他认为运动只是机械力学的运动，是空间位置的变化；宇宙和太阳一样是没有发展变化的；靠了万有引力的作用，恒星永远在一个固定不变的位置上……
随着科学声誉的提高，牛顿的政治地位也得到了提升．1689年，他被当选为国会中的大学代表．作为国会议员，牛顿逐渐开始疏远给他带来巨大成就的科学．他不时表示出对以他为代表的领域的厌恶．同时，他的大量的时间花费在了和同时代的著名科学家如胡克、莱布尼兹等进行科学优先权的争论上．
晚年的牛顿在伦敦过着堂皇的生活，1705年他被安妮女王封为贵族．此时的牛顿非常富有，被普遍认为是生存着的最伟大的科学家．他担任英国皇家学会会长，在他任职的二十四年时间里，他以铁拳统治着学会．没有他的同意，任何人都不能被选举．
晚年的牛顿开始致力于对神学的研究，他否定哲学的指导作用，虔诚地相信上帝，埋头于写以神学为题材的著作．当他遇到难以解释的天体运动时，竟提出了“神的第一推动力”的谬论．他说“上帝统治万物，我们是他的仆人而敬畏他、崇拜他”．
1727年3月20日，伟大艾萨克·牛顿逝世．同其他很多杰出的英国人一样，他被埋葬在了威斯敏斯特教堂．他的墓碑上镌刻着：让人们欢呼这样一位多么伟大的人类荣耀曾经在世界上存在．
