(共21张PPT)
专项突破6 构造平行四边形解决四类问题
构造平行四边形证明线段平行、相等
1.【学科特色·多解法】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥
BC于D,BG平分∠ABC且分别交AD,AC于点E,G,EF∥BC交AC
于F,求证:AE=CF.
证明 【证法一】转化法:如图所示,过E作EH∥CF交BC于H,
∴∠3=∠C,
∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠ABC+∠C=90°,∠ABD+∠BAD=9
0°,
∴∠C=∠BAD,∴∠3=∠BAD.
∵BG平分∠ABC,∴∠2=∠1.
在△ABE和△HBE中,
∴△ABE≌△HBE(AAS),∴AE=HE.
∵EF∥BC,EH∥CF,∴四边形EHCF是平行四边形,∴HE=CF,
∴AE=CF.
【证法二】全等法:过E作EN⊥AB于N,过F作FM⊥BC于M,如
图所示,∴∠ANE=∠CMF=90°,
∵BG平分∠ABC,AD⊥BC,∴EN=ED.
∵AD⊥BC,FM⊥BC,∴FM∥ED,∠C+∠2=90°.∵EF∥DM,∴
四边形EDMF是平行四边形,
∴ED=FM,∴EN=FM.
∵∠BAC=∠1+∠2=90°,∠C+∠2=90°,∴∠1=∠C.
在△ANE和△CMF中,
∴△ANE≌△CMF(AAS),∴AE=CF.
2.(2025山东菏泽郓城期末改编)如图,已知E是平行四边形
ABCD中BC边的中点,AC是对角线,连接AE并延长,交DC的延
长线于点F,连接BF.
求证:(1)AE=EF.
(2)BF∥AC.
证明 (1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥DC,∴∠ABE=∠ECF,
∵E为BC的中点,∴BE=CE,
在△ABE和△FCE中,
∴△ABE≌△FCE(ASA),∴AE=EF.
(2)由(1)可知△ABE≌△FCE,∴AB=CF,
∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CF,
∴四边形ABFC为平行四边形,∴BF∥AC.
构造平行四边形证明角相等或求角度
3.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BC>AD,∠B=∠C.求证:∠A
=∠D.
证明 过点D作DE∥AB交BC于E,如图所示,
则∠B=∠DEC,
∵∠B=∠C,∴∠DEC=∠C,∴DE=DC,∵AB=CD,∴AB=DE,
∴四边形ABED是平行四边形,
∴∠A=∠BED,AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC.
∵∠BED=∠C+∠EDC,
∴∠A=∠ADE+∠EDC=∠ADC.
构造平行四边形证明线段的和差倍分关系
4.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,D是AB上一点,AC=BD,P是CD
的中点.求证:AP= BC.
证明 延长AP至点F,使得PF=AP,连接BF,DF,CF,如图,
∵P是CD的中点,∴CP=DP,
∵PF=AP,∴四边形ACFD是平行四边形,∴DF=AC=BD,DF∥
AC,
∴∠FDB=∠BAC=60°,
∴△BDF是等边三角形,
∴BF=DF=AC,∠ABF=60°,∴∠ABF=∠BAC,
在△ABC和△BAF中,
∴△ABC≌△BAF(SAS),∴AF=BC,
∴AP= AF= BC.
5.如图, ABCD中,AB>AD,∠DAB与∠ADC的平分线交于
点E,∠ABC与∠BCD的平分线交于点F,连接EF.证明:EF=AB-
BC.
证明 延长DE交AB于M,如图,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,CD∥AB,
∴∠ADC+∠BAD=180°,∠CDM=∠AME,
∵AE,DE分别平分∠DAB,∠ADC,
∴∠ADE+∠DAE=90°,∠ADM=∠CDM,
∴∠AED=90°,∠ADM=∠AMD,
∴AD=AM=BC,∴ED=EM,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠DAB=∠BCD,
∵AE平分∠DAB,CF平分∠BCD,∴∠DAE=∠BCF,
同理可得∠ADM=∠CBF=∠ABF,
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(ASA),∴DE=BF,∴EM=BF,
∵∠AMD=∠ADM=∠ABF,∴EM∥BF,
∴四边形EFBM是平行四边形,∴EF=MB,
∵BM=AB-AM=AB-BC,∴EF=AB-BC.
构造平行四边形证明两条线段不相等
6.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为AB上一点,E为AC延长线
上一点,BD=CE,连接DE.求证:DE>BC.
证明 如图,过点D作DF∥BC,且DF=BC,连接EF,CD,CF,
则四边形DBCF是平行四边形,
∴BD=CF,∠B=∠DFC,
∵BD=CE,∴CE=CF,
∴∠CEF=∠CFE.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=∠DFC,
∵∠ACB=∠CGE+∠DEC>∠DEC,
∴∠DFE=∠DFC+∠CFE>∠DEC+∠CEF=∠DEF,
∴DE>DF,∵DF=BC,∴DE>BC.(共24张PPT)
专项突破7 构造三角形中位线的方法
连接两点构造三角形的中位线
1.(2025河北唐山期末)如图,已知四边形ABCD中,点R,P分别是
DC,BC上的点,E,F分别是AP,RP的中点,当点P在BC上从点B
向点C移动而点R不动时,线段EF的长 ( )
A.逐渐增大 B.逐渐减小
C
C.不变 D.不能确定
解析 如图,连接AR.
∵E,F分别是AP,RP的中点,
∴EF为△APR的中位线,∴EF= AR,
∵AR的长为定值,∴线段EF的长不变.故选C.
2.(2025河北保定清苑期末)如图,在四边形ABCD中,对角线AC
和BD相交于点O,分别与MN相交于点F,E,AC=BD,M,P,N分别
是边AB,BC,CD的中点,Q是MN的中点.求证:PQ⊥MN.
证明 如图,连接PM,PN.
∵M,P分别是边AB,BC的中点,∴PM= AC.∵N,P分别是边CD,
BC的中点,∴PN= BD,又∵AC=BD,∴PM=PN.∵Q是MN的中
点,∴PQ⊥MN.
3.【学科特色·多解法】如图,△ABC的中线BD,CE相交于O,点
F,G分别是BO,CO的中点,求证:EF∥DG,且EF=DG.
证明 【证法一】如图,连接DE,FG,
∵BD,CE是△ABC的中线,
∴D,E分别是AC,AB边的中点,
∴DE∥BC,DE= BC,
同理,FG∥BC,FG= BC,∴DE∥FG,DE=FG,
∴四边形DEFG是平行四边形,
∴EF∥DG,且EF=DG.
【证法二】∵BD,CE是△ABC的中线,
∴D,E分别是AC,AB边的中点,
如图,连接AO,
∵点F,G分别是BO,CO的中点,
∴EF∥AO,DG∥AO,EF= AO,DG= AO,
∴EF∥DG,且EF=DG.
利用角平分线、垂线构造三角形的中位线
4.如图,在△ABC中,AB=6,AC=4,AD,AE分别是△ABC的角平
分线和中线,过点C作CF⊥AD于点F,连接EF,则线段EF的长
为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.
A
解析 延长CF交AB于G,如图,因为AD为△ABC的角平分线,
所以∠CAF=∠GAF.因为CG⊥AD,所以∠CFA=∠GFA=90°.
又因为AF=AF,所以△AGF≌△ACF,所以AG=AC=4,FG=CF,
所以BG=AB-AG=6-4=2.因为AE为△ABC的中线,所以BE=CE,
所以EF是△BCG的中位线,所以EF= BG=1,故选A.
5.如图,已知AO是△ABC的内角∠BAC的平分线,BD⊥AO,交
AO的延长线于点D,E是BC的中点,连接DE.求证:DE= (AB-
AC).
证明 如图,延长AC,BD交于点F.∵AO平分∠BAC,∴∠BAD=
∠FAD,∵BD⊥AD,∴∠ADB=∠ADF=90°,在△ABD和△AFD
中,
∴△ABD≌△AFD(ASA),∴AB=AF,BD=DF.
又∵E是BC的中点,∴ED是△BCF的中位线,
∴DE= CF= (AF-AC)= (AB-AC).
利用倍长法构造三角形的中位线
6.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,BD⊥AC于点D,CE平
分∠ACB,交AB于点E,交BD于点F.
(1)求证:△BEF是等腰三角形.
(2)求证:BD= (BC+BF).
证明 (1)∵AB=BC,BD⊥AC于点D,∴∠ABD=∠CBD,AD=
CD,∵∠ABC=90°,∴∠ACB=45°,
∵CE平分∠ACB,∴∠ECB=∠ACE=22.5°,
∴∠BEF=∠CFD=∠BFE=67.5°,
∴BE=BF,∴△BEF是等腰三角形.
(2)如图,延长AB至M,使得BM=AB,连接CM.
∵AB=BC,BD⊥AC,∴BM=BC,AD=CD,
∴D是AC的中点,∴BD∥MC,BD= MC,
∴∠BFE=∠MCE,
由(1)得∠BEF=∠BFE,BE=BF,
∴∠BEF=∠MCE,∴ME=MC,
∴BD= MC= ME= (MB+BE)= (BC+BF).
已知中点,取其他边的中点构造三角形的中位线
7.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,E是边AC的中点,延长BC
到点D,使BC=2CD,那么DE的长是_________.
2
解析 如图,取BC的中点F,连接EF,因为点E为AC的中点,所以
EF是△ABC的中位线,所以EF= AB=2.因为BC=2CD,所以FC
=CD,因为∠ACB=90°,所以AC⊥BC,所以AC垂直平分DF,所以
DE=EF=2.
8.如图,在四边形ABCD中,AD=BC,E,F分别是边DC,AB的中点,
FE的延长线分别交AD,BC的延长线于点H,G,若∠H=28°,则∠
BGF的度数为___________.
28°
解析 如图,连接BD,取BD的中点P,连接EP,FP,因为E,F,P分
别是DC,AB,BD的中点,所以EP是△BCD的中位线,PF是△
ABD的中位线,所以EP= BC,EP∥BC,PF= AD,PF∥AD,所以
∠BGF=∠PEF,∠H=∠PFE.因为AD=BC,所以PE=PF,所以∠
PEF=∠PFE,所以∠BGF=∠H=28°.
9.(2025辽宁鞍山立山期中)如图,在四边形ABCD中,点E,F分别
是AD,BC的中点,若AB=4,CD=6,∠ABC+∠C=90°,求EF的长.
解析 如图,取BD的中点H,连接EH,HF.因为点E,F分别是AD,
BC的中点,所以EH,HF分别是三角形ABD,三角形BCD的中位
线,所以EH∥AB,HF∥CD,EH= AB=2,HF= CD=3,所以∠E-
HD=∠ABD,∠BFH=∠C.因为∠ABC+∠C=90°,所以∠ABD+
∠DBC+∠BFH=90°.又因为∠DBC+∠BFH=∠DHF,所以∠
EHD+∠DHF=90°,即∠EHF=90°,所以△EHF是直角三角形,
由勾股定理,得EF= = = .
10.(2025黑龙江龙东地区中考改编)如图,在Rt△ABC中,∠B=9
0°,点D,E分别在边AB和BC上,且AD=4,CE=3,连接DE,点M,N分
别是AC,DE的中点,连接MN,求MN的长.
解析 如图,连接CD,取CD的中点K,连接MK,NK,∵点M,N分
别是AC,DE的中点,∴MK,NK分别是△ACD和△DCE的中位
线,∴MK∥AD,NK∥BC,MK= AD,NK= CE,∵AD=4,CE=3,∴
MK=2,NK= ,∵∠B=90°,∴AB⊥BC,∴MK⊥NK,∴∠MKN=90
°,∴MN= = .
(共14张PPT)
专项突破8 正方形中的三大模型
十字模型
1.(2025江苏徐州新沂期中节选)
(1)如图1,在正方形ABCD中,如果点E,F分别在BC,CD上,且AE
⊥BF,垂足为M,那么AE与BF相等吗 请证明你的结论.
(2)如图2,在正方形ABCD中,如果点E是边AD的中点,F是CE上
的点,过点F作GH⊥CE,分别交AB,CD于点G,H,若BG=1,CH=5,
求线段AG的长.
解析 (1)AE=BF.证明如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°,∴∠
BAE=90°-∠AEB,∵AE⊥BF,∴∠BME=90°,∴∠CBF=90°-∠
AEB,∴∠BAE=∠CBF,
在△ABE与△BCF中,
∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.
(2)如图,过G作GM⊥CD于点M,则四边形GBCM为矩形,
∴MC=GB=1,GM=BC,
∵GH⊥EC,∴∠ECD+∠GHC=90°,
∵∠D=90°,∴∠ECD+∠DEC=90°,∴∠GHC=∠DEC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=CD=BC=GM,
∵∠GHC=∠DEC,∠HMG=∠D=90°,GM=CD,
∴△HMG≌△EDC(AAS),∴DE=HM=5-1=4,
∵E为AD的中点,∴AD=8,∴AB=8,
∴AG=8-1=7.
半角模型
2.在正方形ABCD中,E为射线BA上一动点(点E不与A,B重合),
作∠EDF=45°,交直线BC于点F,连接EF.
(1)如图1,当点E在线段AB上时,用等式表示线段EF,AE,CF之
间的数量关系,并说明理由.
(2)如图2,当点E在线段BA的延
长线上时.
①依题意补全图2.
②用等式表示线段EF,AE,CF之间的数量关系,并证明.
解析 (1)EF=CF+AE.理由如下:
延长BA到点G,使AG=CF,连接DG,如图所示,
∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC,∠DAE=∠C=∠ADC=90
°,∴∠DAG=180°-90°=90°,∴∠DAG=∠C,∵AG=CF,AD=CD,
∴△ADG≌△CDF(SAS),∴DG=DF,∠CDF=∠ADG,∵∠
CDF+∠ADE=90°-∠EDF=45°,∴∠ADG+∠ADE=∠CDF+∠
ADE=45°,即∠EDG=45°,∴∠EDG=∠EDF,∵DE=DE,DG=
DF,∴△GDE≌△FDE(SAS),∴GE=EF,∵GE=AG+AE=CF+
AE,∴EF=CF+AE.
(2)①补全图形如图所示.②CF=AE+EF.
证明:如图,在CB上截取CG=AE,连接DG,∵四边形ABCD为正
方形,∴AD=DC,∠DAB=∠C=∠ADC=90°,∴∠DAE=180°-90°
=90°,∴∠DAE=∠C,∵AE=CG,AD=CD,∴△ADE≌△CDG
(SAS),∴∠EDA=∠GDC,DE=DG,∴∠FDG=∠ADC-∠ADF-
∠CDG=90°-∠ADF-∠EDA=90°-∠EDF=45°=∠EDF,
∵ED=GD,DF=DF,∴△EDF≌△GDF(SAS),∴EF=GF,∴CF=
CG+GF=AE+EF,即CF=AE+EF.
手拉手模型
3.如图1,正方形ABCD中,AC为对角线,点P在线段AC上运动,
以PD为边作正方形DPFE,连接CE.
(1)AP与CE的数量关系是______,AP与CE的位置关系是_____
____.
(2)当点P在对角线AC的延长线上运动时.
①如图2,探究线段CD,CP和CE三者之间的数量关系,并说明
理由.
②如图3,连接AE,PE,若AB= ,AE= ,求四边形DCPE的面
积.
解析 (1)AP=CE;AP⊥CE.详解:∵四边形ABCD是正方形,∴
AD=DC,∠ACD=∠DAC=45°,∠ADC=90°,∵四边形DPFE是
正方形,∴DP=DE,∠PDE=90°=∠ADC,∴∠ADP=∠CDE,在
△ADP和△CDE中, ∴△ADP≌△CDE(SAS),
∴AP=CE,∠DCE=∠DAC=45°,∴∠ACE=90°,∴AP⊥CE.
(2)①CE-CP= CD.理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴AD
=DC,∠ADC=90°,∴AC= = CD,∵四边形DPFE
是正方形,∴DP=DE,∠PDE=90°=∠ADC,∴∠ADC+∠CDP=
∠PDE+∠CDP,
即∠ADP=∠CDE,
在△ADP和△CDE中,
∴△ADP≌△CDE(SAS),
∴AP=CE,∴CE-CP=AP-CP=AC= CD.
②∵△ADP≌△CDE,∴∠DCE=∠DAP=45°,
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°,
∵AB= ,∴CD=AD= ,∴AC= =2,
∴CE= = =5,
∴AP=CE=5,∴PC=AP-AC=5-2=3,∴PE= =
= ,∵PE2=DE2+DP2,DE=DP,∴DE=DP= ,∴S△PDE= ×
( )2= ,
∵S△PDC= ×3× AC= ,∴S四边形DCPE=S△PDE+S△PDC= + =10.(共26张PPT)
第二十一章 四边形
第2课时 正方形的判定
21.7 正方形
正方形的判定
1.【学科特色·教材变式】(2025河北唐山期中)如图,(1)(2)(3)
(4)处需要添加条件,则下列条件添加错误的是 ( )
A.(1)为∠A=90°
D
B.(2)为AD=AB
C.(3)为DC=CB
D.(4)为∠B=∠D
解析 选项A,有一个角是直角的平行四边形是矩形,
∴该选项正确,故该选项不符合题意.
选项B,一组邻边相等的矩形是正方形,
∴该选项正确,故该选项不符合题意.
选项C,一组邻边相等的平行四边形是菱形,
∴该选项正确,故该选项不符合题意.
选项D,有一个角是直角的菱形是正方形,
而由∠B=∠D无法判定两角是直角,故该选项不符合题意.故
选D.
2.(2024河北唐山路南二模)一个四边形顺次添加下列条件中
的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等;b.一组对边平
行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角.顺次添加的条件:
①a→c→d,②b→d→c,③a→b→c,则正确的是 ( )
A.①② B.仅③
A
C.仅① D.②③
解析 ①添加两组对边分别相等得出是平行四边形,再添加
一组邻边相等得出是菱形,最后添加一个角是直角得出是正
方形,故①正确;②添加一组对边平行且相等得出是平行四边
形,再添加一个角是直角得出是矩形,最后添加一组邻边相等
得出是正方形,故②正确;③添加两组对边分别相等得出是平
行四边形,再添加一组对边平行且相等还是平行四边形,最后
添加一组邻边相等得出是菱形,不能得到正方形,故③错误.故
选A.
3.(2025河北廊坊月考)已知四边形ABCD的对角线AC和BD相
交于点O.设有以下条件:①AB=AD;②AC=BD;③AO=CO,BO=
DO;④四边形ABCD是矩形;⑤四边形ABCD是菱形;⑥四边形
ABCD是正方形.那么,下列推理不成立的是 ( )
A.①④ ⑥ B.①③ ⑤
C.①② ⑥ D.②③ ④
C
解析 选项A,一组邻边相等的矩形是正方形,故正确,不符合
题意;
选项B,由③得四边形是平行四边形,结合①,一组邻边相等的
平行四边形是菱形,故正确,不符合题意;
选项C,由①②不能判定四边形是正方形,故符合题意;
选项D,由③得四边形是平行四边形,结合②,对角线相等的平
行四边形是矩形,故正确,不符合题意.故选C.
4.【新考向·条件开放题】(2025福建福州一模)如图,在四边形
ABCD中,∠ABC=90°,AC与BD互相平分且交点为O.要使得四
边形ABCD是正方形,则还需增加的一个条件是___________
____________(只填一个条件即可).
案不唯一)
AB=BC(答
解析 添加AB=BC,理由如下:
∵AC与BD互相平分且交点为O,
∴AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形,
∵AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.
故答案为AB=BC(答案不唯一).
5.(2025广东珠海期末)如图,已知菱形ABCD的对角线交于
点O,若E,F是对角线BD所在直线上的两点,且∠AED=45°,DF
=BE,连接AE,CE,AF,CF,得四边形AECF.求证:四边形AECF是
正方形.
证明 ∵四边形ABCD是菱形,
∴BO=DO,AO=CO,AC⊥BD,
∵BE=DF,∴BE+BO=DF+DO,
∴FO=EO,∴EF与AC互相垂直平分,
∴四边形AECF是菱形,∴∠AEF=∠CEF,
又∵∠AED=45°,∴∠AEC=90°,
∴菱形AECF是正方形.
6.(2025安徽宿州期末,★★☆)如图, ABCD的对角线AC,BD
相交于点O,给出四个条件:①AB=BC;②∠ABC=90°;③OA=
OB;④AC⊥BD.从所给的四个条件中任意选择两个为一组,能
判定 ABCD是正方形的有 ( )
A.3组 B.4组 C.5组 D.6组
B
解析 ∵AB=BC,∠ABC=90°,∴ ABCD是正方形,故①②为
一组,能判定 ABCD是正方形;∵∠ABC=90°,∴ ABCD是矩
形,∵AC⊥BD,∴矩形ABCD是正方形,故②④为一组,能判定
ABCD是正方形;在 ABCD中,AC=2OA,BD=2OB,∵OA=
OB,∴AC=BD,∴ ABCD是矩形,∵AC⊥BD,∴矩形ABCD是
正方形,故③④为一组,能判定 ABCD是正方形;∵OA=OB,∴
AC=BD,∴ ABCD是矩形,∵AB=BC,∴矩形ABCD是正方形,
故①③为一组,能判定 ABCD是正方形.故选B.
7.(★★☆)如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中
点,E,F分别是边BM,CM的中点,当AB∶AD=_________时,四边
形MENF是正方形.
1∶2
解析 当AB∶AD=1∶2时,四边形MENF是正方形.理由:∵
AB∶AD=1∶2,AB=CD,∴AB=CD= AD,
∵M是AD的中点,∴AM=DM= AD,
∴AB=AM=CD=DM,
∵∠A=∠D=90°,∴∠AMB=∠DMC=45°,BM=CM,∴∠BMC=9
0°,
∵N,E,F分别是BC,BM,CM的中点,
∴NE∥CM,NF∥BM,NE= CM,NF= BM,∴NE=NF,∴四边形
MENF是正方形,
∴当AB∶AD=1∶2时,四边形MENF是正方形.
故答案为1∶2.
8.(2024河北衡水安平月考,★★☆)如图,在四边形ABCD中,点
E是线段AD上的任意一点(E与A,D不重合),G,F,H分别是BE,
BC,CE的中点.
(1)求证:四边形EGFH是平行四边形.
(2)若EF⊥BC,且EF= BC,求证:四边形EGFH是正方形.
证明 (1)∵G,F分别是BE,BC的中点,
∴GF∥EC且GF= EC.
∵H是EC的中点,∴EH= EC,∴GF=EH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)连接GH(图略),
∵G,H分别是BE,EC的中点,
∴GH∥BC且GH= BC.
又∵EF⊥BC且EF= BC,∴EF⊥GH且EF=GH,
由(1)知四边形EGFH是平行四边形,
∴四边形EGFH是正方形.
9.【新课标·推理能力】如图①,在正方形ABCD的边AB上任
取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连接EG,CG,易
证EG=CG,且EG⊥CG.
(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°,如图②,则线段EG和CG有
怎样的数量关系和位置关系 请直接写出你的猜想.
(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°,如图③,则线段EG和CG有
怎样的数量关系和位置关系 请写出你的猜想并加以证明.
解析 (1)猜想:EG=CG,EG⊥CG.
(2)猜想:EG=CG,EG⊥CG.
证明:易知F,B,G,D在同一直线上,如图,延长FE交DC的延长线
于点M,连接GM,
易得△DMF为等腰直角三角形,四边形BEMC为矩形,
∵点G是FD的中点,
∴GM=GF,∠FGM=90°,∠F=∠GMC=45°,
∵四边形BEMC是矩形,∴BE=CM,
易知BE=EF,∴EF=CM,∴△GFE≌△GMC,
∴EG=CG,∠FGE=∠MGC,
∵∠FGM=90°,即∠FGE+∠EGM=90°,
∴∠MGC+∠EGM=90°,即∠EGC=90°,∴EG⊥CG.
中点四边形的形状与原四边形的两条对角线的数量关系
和位置关系有关:(1)两条对角线互相垂直的四边形的中点四
边形为矩形,如图1所示;(2)两条对角线相等的四边形的中点
四边形为菱形,如图2所示;(3)两条对角线相等且互相垂直的
四边形的中点四边形为正方形,如图3所示.
微专题 中点四边形
例题 如图,点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,
DA的中点.则下列说法:①若AC⊥BD,则四边形EFGH为矩形;
②若AC=BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边形EFGH是平行
四边形,则AC与BD互相平分;④若四边形EFGH是正方形,则
AC与BD互相垂直且相等.其中正确说法的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
例题
解析 ∵点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的
中点,∴EF∥AC,EF= AC,GH∥AC,GH= AC,EH∥BD,EH=
BD,∴EF∥GH,EF=GH,∴四边形EFGH为平行四边形.①当
AC⊥BD时,EF⊥EH,则四边形EFGH为矩形,说法正确;②当
AC=BD时,EF=EH,则四边形EFGH为菱形,说法正确;③四边形
EFGH一定是平行四边形,AC与BD不一定互相平分,原说法错
误;④当四边形EFGH是正方形时,EF⊥EH,EF=EH,则AC⊥
BD,AC=BD,即AC与BD互相垂直且相等,说法正确.故选C.(共27张PPT)
第二十一章 四边形
第2课时 多边形的内角和与外角和
21.1 多边形
多边形的内角和
1.(2025陕西渭南富平期末)已知一个多边形的内角和为2 160
°,则这个多边形的边数是 ( )
A.12 B.13 C.14 D.15
C
解析 设这个多边形的边数为n,则(n-2)×180°=2 160°,解得n=
14,∴这个多边形的边数为14,故选C.
2.(2025河北石家庄二模)将一个正八边形与一个正六边形按
如图所示的方式放置,顶点A,B,C,D在同一条直线上,E为公共
顶点,则∠FEG的度数为 ( )
A.40° B.35° C.30° D.25°
C
解析 由题意可得∠ABE=∠BEF=(8-2)×180°÷8=135°,∠DCE
=∠CEG=(6-2)×180°÷6=120°,
∴∠CBE=180°-135°=45°,∠BCE=180°-120°=60°,
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠BCE=180°-45°-60°=75°,∴∠FEG=3
60°-(135°+120°+75°)=30°.故选C.
3.【新课标·中华优秀传统文化】(2025广东深圳罗湖期末)冰
裂纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一,被广泛应用于建
筑装饰和瓷器,图②是从图①中提取的多边形,则这个多边形
的内角和是____________.
720°
解析 观察题图可知多边形为六边形,所以这个多边形的内
角和是(6-2)×180°=720°,故答案为720°.
4.(2025湖南长沙中考)如图,五边形ABCDE中,∠B=120°,∠C=
110°,∠D=105°,则∠A+∠E=___________°.
205
解析 ∵五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,∴∠A+∠B+∠
C+∠D+∠E=540°,
∵∠B=120°,∠C=110°,∠D=105°,
∴∠A+∠E=540°-120°-110°-105°=205°.故答案为205.
5.(2025河北保定期末)如图,在七边形ABCDEFG中,AB,ED的
延长线交于点O,若∠1,∠2,∠3,∠4的邻补角和等于220°,求∠
BOD的度数.
解析 ∵∠1,∠2,∠3,∠4的邻补角的和等于220°,∴∠1+∠2+
∠3+∠4=180°×4-220°=500°.
在五边形OAGFE中,∠BOD+∠1+∠2+∠3+∠4=(5-2)×180°=5
40°,所以∠BOD=540°-500°=40°.
多边形的外角和
6.(2025河北廊坊期末)若一个多边形的每个外角都是40°,则
这个多边形的内角和是 ( )
A.140° B.1 260° C.1 620° D.3 240°
B
解析 ∵一个多边形的每一个外角都是40°,多边形的外角和
等于360°,∴这个多边形的边数为360°÷40°=9,
∴这个多边形的内角和为(9-2)×180°=1 260°,故选B.
7.(2025河北唐山三模)如图,将五边形ABCDE沿虚线裁去一个
角,得到六边形ABCDGF,则下列说法正确的是 ( )
A.外角和减少180° B.外角和增加180°
C.周长变大 D.周长变小
D
解析 ∵任意多边形的外角和都为360°,
∴将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角,外角和不变,
∵EF+EG>FG,∴周长变小.故选D.
8.(2025河北石家庄期末)一个多边形的外角和是内角和的 ,
则这个多边形的边数为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
D
解析 设这个多边形的边数为n,根据题意得 (n-2)×180°=360
°,所以n=10.故选D.
9.【学科特色·方程思想】【学科特色·教材变式】(2025湖南
永州祁阳期中)若一个多边形的内角和与外角和的度数之比
是5∶2,则这个多边形的边数是_________.
7
解析 设这个多边形的边数为n,由题意得 = ,解
得n=7.故答案为7.
10.(2025河北石家庄月考改编)已知一个多边形的内角和比外
角和多720°.
(1)求这个多边形的边数.
(2)将此多边形裁去一个角,直接写出裁剪后的多边形的边数
与外角和.
解析 (1)设这个多边形的边数为n,
根据题意得(n-2)×180°=360°+720°,解得n=8.
答:这个多边形的边数是8.
(2)八边形裁去一个角,它的边数是7或8或9,外角和仍然是360
°.
11.(2024河北保定月考,★★☆)小明同学在用计算器计算某n
边形的内角和时,不小心多输入了一个内角,得到的结果为2 0
18°,则n等于 ( )
A.11 B.12 C.13 D.14
C
解析 设多输入的内角的度数为x(0°
由题意得(n-2)×180°=2 018°-x,解得n= ,
∵n为正整数,∴x=38°,∴n=13,故选C.
12.【学科特色·教材变式】(2025广西来宾期中,★★☆)如图,
机器人从点A0出发朝正东方向走了2 m到达点A1,记为第1次行
走;接着,在点A1处沿逆时针方向旋转30°后向前走2 m到达A2,
记为第2次行走;再在点A2处沿逆时针方向旋转30°后向前走2
m到达点A3,记为第3次行走;…….以此类推,该机器人从出发
到第一次回到出发点A0时所走过的路程为 ( )
D
A.16 m B.20 m
C.22 m D.24 m
解析 由题意知该机器人走过的路线是个n边形,∵这个n边
形的外角和为360°,∴n×30°=360°,∴n=12,∴该机器人走过的
路程为12×2=24(m),故选D.
13.【学科特色·转化思想】(2025河北邯郸沙名中学月考,★
★☆)如图,已知∠E=∠F=∠G=108°,∠C=∠D=72°,则∠A+∠
B的度数为___________.
72°
解析 如图,连接CD,
∵五边形CDEFG的内角和为(5-2)×180°=540°,∠E=∠F=∠G
=108°,∴∠CDE+∠DCG=540°-(∠E+∠F+∠G)=540°-108°×3
=216°,又∠BCG=∠ADE=72°,∴∠ADC+∠BCD=∠CDE+∠
DCG-(∠BCG+∠ADE)=216°-72°×2=72°,∴∠A+∠B=∠ADC
+∠BCD=72°.故答案为72°.
14.(2024河北邢台期中,★★☆)已知n边形的内角和θ=(n-2)×1
80°.
(1)嘉嘉同学认为θ能取900°,琪琪同学认为θ能取600°.嘉嘉、
琪琪的说法对吗 若对,求出边数n;若不对,请说明理由.
(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了540°,用列方程
的方法确定x.
解析 (1)嘉嘉的说法对,琪琪的说法不对.理由:当θ取900°时,
900°=(n-2)×180°,解得n=7.当θ取600°时,600°=(n-2)×180°,解得
n= ,此时n不是整数,∴θ不能取600°,∴嘉嘉的说法对,琪琪的
说法不对.
(2)依题意得(n-2)×180°+540°=(n+x-2)×180°,解得x=3,∴x的值
为3.
15.【新课标·推理能力】发现:
如图①,在有一个“凹角∠A1A2A3”的n边形A1A2A3A4…An中,
∠A1A2A3=∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+…+∠An-(n-4)×180°.
验证:
(1)如图②,在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中,证明:
∠ABC=∠A+∠C+∠D.
(2)如图③,在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中,证
明:∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F-360°.
延伸:
(3)如图④,在有两个连续“凹角∠A1A2A3和∠A2A3A4”的n边
形A1A2A3A4…An中,∠A1A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠A4+∠A5+∠A6+
…+∠An-(n-______)×180°.
解析 (1)证明:如图(1),延长AB交CD于E,则∠ABC=∠BEC+
∠C,∠BEC=∠A+∠D,
∴∠ABC=∠A+∠C+∠D.
(2)证明:如图(2),延长AB交CD于G,
则∠ABC=∠BGC+∠C.∵五边形AFEDG的内角和为(5-2)×18
0°=540°,∴∠BGD=540°-(∠A+∠D+∠E+∠F),∴∠BGC=180
°-∠BGD=∠A+∠D+∠E+∠F-360°,∴∠ABC=∠A+∠C+∠D
+∠E+∠F-360°.
(3)6.
详解:如图(3),延长A2A3交A5A4于C1,延长A3A2交A1An于B,则∠A1
A2A3+∠A2A3A4=∠A1+∠2+∠A4+∠4.∵∠1+∠3=(n-2-2)×180°-
(∠A5+∠A6+…+∠An),∴∠2+∠4=360°-(∠1+∠3)=360°-[(n-2-
2)×180°-(∠A5+∠A6+…+∠An)],∴∠A1A2A3
+∠A2A3A4=∠A1+∠A4+∠A5+∠A6+…+∠An
-(n-6)×180°.故答案为6.(共17张PPT)
第二十一章 四边形
第1课时 正方形的性质
21.7 正方形
正方形的定义
1.下列条件可以利用定义说明平行四边形ABCD是正方形的
是 ( )
A.AB=CD,∠A=90° B.AB=AD,∠A=90°
C.AB∥CD,∠A=90° D.以上均错
B
解析 正方形定义中需要平行四边形满足的条件是有一组邻
边相等,且有一个角是直角,符合的只有B.
正方形的性质
2.(2025河北沧州任丘期末)下列性质中,正方形具有而矩形不
一定具有的是 ( )
A.有一个角是直角 B.对边相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
D
解析 正方形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定互相
垂直,故选项D符合题意.故选D.
3.(2025吉林长春期末)如图,延长正方形ABCD的边BA至点E,
使AE=BD,则∠E的度数为 ( )
A.22.5° B.25° C.30° D.40°
A
解析 如图,连接AC,
∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,且∠CAB=45°,
∵AE=BD,∴AE=AC,∴∠E=∠ACE,
∵∠CAB=∠ACE+∠E,∴2∠E=45°,
∴∠E=22.5°.故选A.
4.(2025河北唐山月考)如图,在正方形ABCD中,点G在BC边上,
连接AG,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F,若BF=4,DE=9,则EF的
长为 ( )
A.5 B.8 C.12 D.2
A
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=DA,∠BAD=90°,
∵DE⊥AG,BF⊥AG,∴∠AFB=∠DEA=90°,
∴∠BAF=∠ADE=90°-∠DAE,
在△BAF和△ADE中,
∴△BAF≌△ADE(AAS),∴BF=AE=4,AF=DE=9,
∴EF=AF-AE=9-4=5,故选A.
5.【学科特色·十字模型】如图,在正方形ABCD中,点E,M,N分
别在AB,BC,AD边上,CE=MN,求证:CE⊥MN.
证明 过N点作NF⊥BC于F,如图所示,
则∠NFM=90°,四边形CDNF是矩形,∴NF=CD,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠ABC=90°,∴BC=NF,
在Rt△BCE和Rt△FNM中,
∴Rt△BCE≌Rt△FNM(HL),∴∠1=∠2,
∵∠2+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°,
∴∠4=90°,∴CE⊥MN.
6.【学科特色·半角模型】(2025河南洛阳期末,★★☆)如图,
在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点
F,连接EF.若AB=5,DF=2,则BE的长为 ( )
A. B.
C. D.2
A
解析 如图所示,将△ADF绕A顺时针旋转90°得到△ABG,∴
△ABG≌△ADF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADF=∠ABE=90°,∴∠ABG=90°,
∴∠ABG+∠ABE=180°,∴G,B,E三点共线,
∵△ABG≌△ADF,
∴AG=AF,BG=DF=2,∠BAG=∠DAF,
∵∠DAB=90°,∠EAF=45°,∴∠DAF+∠EAB=45°,∴∠BAG+
∠EAB=45°,∴∠EAF=∠EAG,
在△EAG和△EAF中,
∴△EAG≌△EAF(SAS),∴GE=EF,
∵CD=AB=5,DF=2,∴CF=3,
设BE=x,则GE=2+x,CE=5-x,∴FE=2+x,
∵∠C=90°,∴CE2+CF2=EF2,
即(5-x)2+32=(2+x)2,解得x= ,
∴BE的长为 .故选A.
7.(2025湖南长沙中考,★★☆)如图,正方形ABCD中,点E,F分
别在AB,CD上,且BE=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,AB∥CD,
∵BE=DF,∴AB-BE=CD-DF,即AE=CF,
又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.
(2)如图,过点E作EH⊥CD于点H,
∴∠EHC=∠EHF=90°,
∵四边形ABCD是正方形,BC=12,
∴AB=CD=BC=12,∠B=∠BCD=90°,∴∠EHC=∠B=∠BCD=9
0°,∴四边形EBCH是矩形,
∴EH=BC=12,CH=BE=5,
∴DH=CD-CH=12-5=7,
∵DF=BE=5,∴HF=DH-DF=7-5=2,
在Rt△EFH中,由勾股定理得EF= = =2
.(共30张PPT)
第二十一章 四边形
第1课时 平行四边形及其边、角的性质
21.2 平行四边形的性质
平行四边形的相关概念
1.如图所示,A'B'∥AB,B'C'∥BC,C'A'∥CA,图中有_____个平行
四边形.
3
解析 ∵AB∥A'B',B'C'∥BC,C'A'∥CA,
∴四边形AC'BC、四边形ABCB'、四边形ABA'C是平行四边
形,故答案为3.
平行四边形的对称性
2.下列命题是真命题的是 ( )
A.平行四边形是轴对称图形,但不是中心对称图形
B.平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形
C.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形
D.平行四边形既不是轴对称图形,也不是中心对称图形
B
解析 平行四边形是中心对称图形,不是轴对称图形,故选B.
3.(2025河北唐山期末)如图, ABCD中有E,F,G,Q四个点,其中
是平行四边形对称中心的是( )
A.E B.F C.G D.Q
B
解析 如图,连接AC,BD,则平行四边形的对角线的交点F即为
对称中心,故选B.
平行四边形边、角的性质
4.(2025河北保定期末)如图,若四边形ABCD为平行四边形,则a
+b= ( )
A.2 B.3 C.5 D.10
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD,CD=AB,∵
AD=3,AB=2,
∴a=3,b=2,∴a+b=5,故选C.
5.(2025河北张家口期末)如图,四边形ABCD是平行四边形,若
∠B+∠D=132°,则∠A的度数为 ( )
A.38° B.48° C.58° D.114°
D
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B+∠A=180°,∠D=∠B,
∵∠B+∠D=132°,∴∠D=∠B=66°,
∴∠A=180°-∠B=180°-66°=114°,故选D.
6.(2025江苏淮安淮阴期末)如图,在平行四边形ABCD中,AB=1
3,AD=5,AC⊥BC,则平行四边形ABCD的面积为 ( )
A.12 B.30 C.60 D.65
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,AD=5,
∴BC=AD=5,∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,
在Rt△ABC中,∵AB=13,BC=5,∴AC= = =1
2,
∴S ABCD=BC·AC=5×12=60,故选C.
7.(2025北京石景山期末)如图,四边形ABCD是平行四边形,AE
⊥BC于点E.若∠C=130°,则∠BAE的度数为___________.
40°
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B+∠C=180°,∵∠
C=130°,∴∠B=50°,
∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,
∴∠BAE=90°-∠B=90°-50°=40°.故答案为40°.
8.【学科特色·教材变式】【学科特色·方程思想】(2025广东
广州荔湾期末)若平行四边形中相邻的两个内角的度数比为
1∶5,则其中较小内角的度数是___________.
30°
解析 ∵平行四边形中相邻的两个内角的度数比为1∶5,∴
设相邻两个内角度数分别为x,5x.由平行四边形的对边平行,
可得x+5x=180°,∴x=30°,∴较小内角的度数为30°.故答案为30
°.
9.(2025四川宜宾中考)如图,点E是平行四边形ABCD的边CD
的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,AD=5.求证:△
ADE≌△FCE,并求BF的长.
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,BC=AD=5,∴∠D=∠FCE,
∵E是CD的中点,∴DE=CE,
在△ADE和△FCE中,∠D=∠FCE,DE=CE,∠AED=∠FEC,
∴△ADE≌△FCE,∴FC=AD=5,
∴BF=BC+FC=5+5=10.
10.(2025河北沧州任丘模拟,★★☆)嘉淇不慎将一块平行四
边形的教学模具打碎成如图所示的四块,为配到一块与原来
相同的平行四边形模具,则她需要带的两块碎片的编号是
( )
D
A.①② B.①④ C.②③ D.②④
解析 ②和④两块玻璃的两组对边分别平行,并且中间部分
相连,角的两边的延长线的交点就是平行四边形另外两个顶
点,∴带②④两块碎片可以配到与原来相同的平行四边形模
具.故选D.
11.【新考向·尺规作图】(2025河北保定期末,★★☆)在
ABCD中,尺规作图后留下的痕迹如图所示,若AB=3 cm,AD=1
0 cm,则EF的长为 ( )
A.3 cm B.4 cm
C.6 cm D.7 cm
B
解析 由作图痕迹可知BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,
∴∠ABE=∠CBE,∠DCF=∠BCF,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,CD=AB=3 cm,
∴∠AEB=∠CBE,∠DFC=∠BCF,
∴∠AEB=∠ABE,∠DFC=∠DCF,
∴AE=AB=3 cm,DF=CD=3 cm,
∴EF=AD-AE-DF=10-3-3=4(cm),故选B.
12.(2024四川眉山中考,★★☆)如图,在 ABCD中,点O是BD
的中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=
∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF.其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AD∥BC,AB
=DC,AD=BC,∠A=∠C,故结论①③正确,∴S△ABD=S△CDB= S
ABCD,∠ODE=∠OBF.
∵点O是BD的中点,∴OD=OB,又∵∠DOE=∠BOF,∴△ODE
≌△OBF(ASA),∴S△ODE=S△OBF,EO=FO,EO与ED不一定相等,
故结论②不一定正确;∵S△ABD=S△CDB,S△ODE=S△OBF,∴S△ABD-S△ODE=
S△CDB-S△OBF,即S四边形ABOE=S四边形CDOF,故结论④正确.综上所述,正确
结论的个数为3,故选C.
13.(2025江苏苏州姑苏期末,★★☆)如图,在 ABCD中,点E在
边BC上,AB=BE,作DF⊥AE于点F,若∠ADF=54°,则∠B的度数
为____________.
108°
解析 ∵DF⊥AE,∴∠AFD=90°,
∵∠ADF=54°,∴∠DAE=90°-∠ADF=36°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC∥AD,
∴∠BEA=∠DAE=36°,
∵AB=BE,∴∠BAE=∠BEA=36°,
∴∠B=180°-∠BAE-∠BEA=108°,故答案为108°.
14.(2024河北石家庄赵县期中,★★☆)如图,在平行四边形
ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,∠BCD的平分线交AD
于点F,交BE于点G.
(1)若∠EFG=32°,求∠FEG的度数.
(2)求证:AF=DE.
解析 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,
∵BE平分∠ABC,CF平分∠BCD,
∴∠GBC+∠GCB= (∠ABC+∠BCD)= ×180°=90°,∴∠BGC
=90°,∴∠EGF=90°,
又∵∠EFG=32°,∴∠FEG=90°-32°=58°.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,
∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,
同理可得DF=CD,
∴AE=DF,即AF+EF=DE+EF,∴AF=DE.
15.【新课标·推理能力】(2025陕西渭南临渭期末)平行四边
形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B(-10,0),C
(5,0),D(0,5).
(1)求平行四边形ABCD的面积.
(2)若点E是x轴上的一点,且△AED的面积是△AEB的面积的2
倍,请求出点E的坐标.
解析 (1)∵B(-10,0),C(5,0),∴BC=5-(-10)=15,∵D(0,5),∴DO=
5,∵DO⊥BC,∴S ABCD=BC·OD=15×5=75.
(2)设点E的坐标为(m,0),则BE=|m+10|,
∴S△AEB= BE·OD= ×|m+10|×5= ×|m+10|,
∵AD=BC=15,∴S△AED= AD·OD= ×15×5= ,
∵S△AED=2S△AEB,∴ =2× ×|m+10|,解得m=-2.5或m=-17.5,∴点
E的坐标为(-2.5,0)或(-17.5,0).(共40张PPT)
第二十一章 四边形
第1课时 菱形的性质
21.6 菱形
菱形的定义
1.如图,要使平行四边形ABCD成为菱形,需添加的一个条件是
( )
A.AC=AD B.AB=BC
C.∠ABC=90° D.AC=BD
B
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,AB=BC,
∴平行四边形ABCD是菱形,故选B.
菱形的性质
2.(2024河北唐山迁安二模)已知下列选项中的图形均为菱形,
则图中所标数据有误的是( )
D
解析 由菱形的性质可知,菱形的四条边都相等,两条对角线
互相垂直,且每条对角线平分一组对角,故选项A,B,C图中所标
数据正确,不符合题意,选项D图中所标数据不正确,符合题意.
故选D.
3.(2025云南昆明八中月考)如图,菱形ABCD的顶点C在直线
MN上,若∠BCM=45°,∠DCN=25°,则∠BDC的度数为
( )
A.20° B.30° C.35° D.40°
C
解析 ∵∠BCM=45°,∠DCN=25°,
∴∠BCD=180°-∠BCM-∠DCN=180°-45°-25°=110°.∵四边形
ABCD为菱形,∴BC=CD,
∴∠BDC= ×(180°-∠BCD)=35°.故选C.
4.(2025河北邯郸期末)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=64°,对角
线AC,BD相交于点O,点E为CD的中点,连接OE,则∠AOE的度
数为( )
A.58° B.122° C.148° D.154°
B
解析 在菱形ABCD中,∠ABC=64°,
∴∠DBC= ∠ABC=32°,∠AOD=90°,O为BD的中点,
∵E为CD的中点,∴OE是△DBC的中位线,
∴OE∥BC,∴∠DOE=∠DBC=32°,
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°+32°=122°.故选B.
5.【新课标·中华优秀传统文化】(2025湖北襄阳期末)中国结
寓意团圆、美满,以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和
深厚的文化底蕴,小芳家有一个菱形中国结装饰,可抽象成如
图所示的菱形ABCD,测得BD=8 cm,AC=6 cm,则该菱形的周
长为__________cm.
20
解析 ∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA= AC=3 cm,OB= BD=4 cm,
∴AB= =5 cm,
∴菱形的周长为5×4=20(cm).
6.(2025四川泸州中考)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,
BC上的点,且AE=CF.求证:AF=CE.
证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,
∵AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF,
在△ABF和△CBE中,
∴△ABF≌△CBE(SAS),∴AF=CE.
菱形的面积
7.(2025河北沧州模拟)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交
于点O,点E,F分别是AB,OB的中点,连接EF.若EF=1,菱形
ABCD的面积为12,则BD的长为 ( )
A.3 B.4 C.6 D.8
C
解析 ∵E,F分别是AB,OB的中点,EF=1,
∴AO=2EF=2,
∵四边形ABCD是菱形,∴AC=2AO=4,
∵菱形ABCD的面积为12,
∴ AC·BD=12,∴ ×4·BD=12,
∴BD=6,故选C.
8.(2025云南中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相
交于点O.若AC=6,BD=5,则菱形ABCD的面积是__________.
15
解析 ∵四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=5,
∴菱形ABCD的面积= AC·BD= ×6×5=15.
故答案为15.
9.(2025河北沧州月考,★★☆)如图,菱形ABCD中,点E,F,G分
别是AD,AB,CD的中点,有下面两个结论:①∠FEG=90°;②EF=
EG,则这两个结论( )
A.均对 B.均错
C.①对、②错 D.①错、②对
C
解析 如图,连接AC,BD.
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∵点E,F,G分别是AD,AB,CD的中点,
∴EG∥AC,EF∥BD,EG= AC,EF= BD,
∴EF⊥EG,∴∠FEG=90°,故①对,
∵AC与BD不一定相等,∴EG与EF不一定相等,故②错.
故选C.
10.(2024山东青岛中考,★★☆)如图,菱形ABCD的面积为60,
BC=10,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BC,交边BC
于点E,连接EO,则EO=_________.
解析 ∵S菱形ABCD=BC·AE=60,BC=10,
∴AE=6,∴BE= =8,∴EC=2,
∴AC= = =2 ,
∵四边形ABCD为菱形,
∴OA=OC,∴EO= AC= .
故答案为 .
11.(2025四川凉山州中考,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,
对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD
于点F,EG⊥AC于点G,若AC=12,BD=16,则FG的长为_______.
5
解析 如图,连接OE,
∵四边形ABCD是菱形,且AC=12,BD=16,∴AC⊥BD,OC= AC
=6,OD= BD=8,∴∠COD=90°,
在Rt△COD中,CD= = =10,
∵E是边CD的中点,
∴OE是Rt△OCD斜边上的中线,
∴OE= CD=5,
∵EF⊥BD,EG⊥AC,
∴∠OGE=∠OFE=∠COD=90°,
∴四边形OGEF是矩形,
∴FG=OE=5.故答案为5.
12.(2025浙江台州二模,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,延
长AB到点F,使BF=AB,连接DF交CB于点E.
(1)请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整(保留作图痕
迹),并证明E是BC的中点.
(2)连接DB,若DF⊥BC,DB=4,求DE的长.
解析 (1)如图.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠C=∠FBE,∠CDE=∠F,
∵BF=AB,∴CD=BF,
∴△CDE≌△BFE(ASA),
∴CE=BE,∴E是BC的中点.
(2)由(1)知△CDE≌△BFE,
∴CE=BE,DE=FE,
∵DF⊥BC,∴BF=BD=4,∠DEB=90°,
∴AB=BF=4,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=AB=4,∴BE= BC=2,
∴DE= = =2 .
13.(2025河北邢台期中,★★★)如图,已知菱形ABCD的对角线
AC,BD相交于点O,且∠ABC=60°,AB=4,现有线段BO上的一个
动点E(不与端点B,O重合).
(1)求证:点E与点C间的距离为AE的长.
(2)已知点F为射线DC上一点,且∠AEF=120°,设EF=m,求整数
m的值.
解析 (1)证明:连接CE,如图,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD垂直平分线段AC,
又∵点E在线段BO上(不与端点B,O重合),
∴EC=AE,
∴点E与点C间的距离为AE的长.
(2)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,AB=4,
∴∠CDO=∠ABO= ∠ABC=30°,AB=AD=CD=4,∠ADC=∠
ABC=60°,BD⊥AC,AB∥CD,
在Rt△AOB中,∠ABO=30°,∴OA= AB=2,
∵点E在线段BO上(不与端点B,O重合),
∴OA设∠EAO=α,
在Rt△OAE中,∠AEO=90°-∠EAO=90°-α,
∵∠AEF=120°,
∴∠DEF=∠AEF-∠AEO=120°-(90°-α)=30°+α,
∵AD=CD=4,∠ADC=60°,
∴△ADC是等边三角形,
∴∠ACD=60°,
由(1)可知EC=AE,
∴∠ECO=∠EAO=α,
∴∠ECF=∠ACD+∠ECO=60°+α,
∵∠EFC是△EFD的外角,
∴∠EFC=∠ODC+∠DEF=30°+30°+α=60°+α,
∴∠ECF=∠EFC,∴EF=EC=AE,
∴2∵EF=m,∴2又∵m是整数,∴m=3.
14.【新课标·推理能力】(2025广东阳江阳东期中)综合实践
课上,创新小组的同学对含60°角的菱形进行了探究.
【问题情境】
如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,E,F分别是边AB,BC上的点,且
∠EDF=60°.
【初步感知】
(1)若点E是AB的中点,则DE与DF的数量关系为______.
【深入探究】
(2)若点E,F分别为AB,BC上任意一点,则DE与DF的数量关系
是什么 并说明理由.
【问题解决】
(3)若AB=4,求△DEF周长的最小值.
解析 (1)DE=DF.
详解:如图,连接BD,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC=CD=AD,∠C=∠A=60°,∠ABD=∠CBD,
∴△ABD为等边三角形,∴∠ADB=60°,
∵点E是AB的中点,
∴∠ADE=∠BDE= ∠ADB=30°,
∵∠EDF=60°,∴∠BDF=60°-30°=30°,
∴∠BDE=∠BDF,
∵BD=BD,∴△BDE≌△BDF(ASA),∴DE=DF.
(2)DE=DF.
理由:如图,连接DB,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC=CD=AD,
∵∠A=60°,
∴△ABD和△CBD均为等边三角形,
∴∠ADB=∠DBF=∠A=60°,AD=BD,
又∵∠EDF=60°,
∴∠ADE+∠EDB=∠BDF+∠EDB,
∴∠ADE=∠BDF,
在△ADE和△BDF中,
∴△ADE≌△BDF(ASA),∴DE=DF.
(3)由(2)可知DE=DF,
∵∠EDF=60°,∴△DEF为等边三角形,
要求等边三角形周长的最小值,只需求出边长的最小值即可,
∵点E为边AB上的一点,
∴当DE⊥AB时,DE取得最小值,
此时∠ADE=30°,∴AE= AD= AB=2,
∴DE的最小值为 = =2 ,
∴△DEF周长的最小值为3×2 =6 .(共36张PPT)
第二十一章 四边形
第2课时 平行四边形对角线的性质
21.2 平行四边形的性质
平行四边形对角线的性质
1.(2024贵州中考)如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,
则下列结论一定正确的是 ( )
A.AB=BC B.AD=BC C.OA=OB D.AC⊥BD
B
解析 因为平行四边形的邻边不一定相等,所以AB不一定等
于BC,故A选项不合题意;因为平行四边形的对边相等,所以
AD=BC,故B选项符合题意;因为平行四边形的对角线不一定
相等,所以AO不一定等于BO,故C选项不合题意;因为平行四
边形的对角线不一定垂直,所以AC⊥BD不一定成立,故D选项
不合题意.故选B.
2.【学科特色·教材变式】(2025河北石家庄裕华期中)如图所
示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AC⊥AB,
若AB=4,AC=6,则BD的长为 ( )
A.10 B.5 C.2 D.2
A
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=6,
∴AO=CO= AC=3,BO=DO,
∵AC⊥AB,∴三角形ABO是直角三角形,
在直角三角形ABO中,由勾股定理得BO= =
=5,∴BD=2BO=10,故选A.
3.(2025河北邯郸期末)平行四边形ABCD的两条对角线长分别
为8和10,则边长AB的取值范围是______________.
1解析 如图,AC=8,BD=10.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴OA= AC=4,OB= BD=5,
∴5-44.(2025山东济宁邹城期中)如图, ABCD的对角线AC,BD相
交于点O,若S△AOB=2,则 ABCD的面积为_________.
8
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD,
∴S△AOD=S△DOC=S△COB=S△AOB=2,
∴S ABCD=4S△AOB=8,故答案为8.
5.(2025河南信阳期中)如图,四边形ABCD与四边形EBFD为平
行四边形,点A,E,F,C在同一条直线上.求证:AE=CF.
证明 如图,连接BD交AC于点O,
∵四边形ABCD与四边形EBFD都是平行四边形,∴AO=CO,
EO=FO,
∴AO-EO=CO-FO,∴AE=CF.
6.(2025河北石家庄期末,★★☆)如图, ABCD的周长是36,其
对角线AC和BD交于点O,AB>BC,△AOD和△AOB的周长差是
4,则AD的长是 ( )
A.7 B.9 C.10 D.11
A
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,其对角线AC和BD交于
点O,AB>BC,
∴AB=DC,AD=BC,OA=OC,OB=OD,
∵ ABCD的周长是36,
∴AB+DC+AD+BC=36,∴AB+AD=18①,
∵△AOD和△AOB的周长差是4,AB>BC,
∴OA+OB+AB-(OA+OD+AD)=4,∴AB-AD=4②,
①-②,得AB+AD-(AB-AD)=18-4,
∴AD=7,即AD的长为7.故选A.
7.(2025河北邯郸二模,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,已
知点A在x轴正半轴上,且OA=1,点B在y轴负半轴上,且OB=2.若
点C的坐标为(-1,3),点D是象限内的一点,则使得以A,B,C,D为
顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标为 ( )
A.(0,5) B.(2,-5)
C.(-2,1)或(0,5) D.(2,-5)或(-2,1)
D
解析 ∵OA=1,OB=2,∴A(1,0),B(0,-2).如图,当AB是平行四边
形的边时,CD∥AB且CD=AB.
∵点B可以看作是由点A先向左平移1个单位长度,再向下平移
2个单位长度得到的,∴点D可以看作是由点C按同样的平移
方式得到的,或者点C是由点D按同样的平移方式得到的,∴点
D的坐标为(-1-1,3-2)或(-1+1,3+2),即点D的坐标为(-2,1)或(0,
5);
当AB是平行四边形的对角线时,AB的中点与CD的中点重合,
同理可得点D的坐标为(2,-5).
又∵点D在象限内,∴点D的坐标为(-2,1)或(2,-5).故选D.
8.【学科特色·多解法】(2025河南洛阳洛宁期末,★★☆)如
图,EF过平行四边形ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC
于点F,若平行四边形ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形E-
FCD的周长为 ( )
A.12 B.10
A
C.13 D.14
解析 【解法一】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,
BC=AD,OA=OC,AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,在△AEO与△
CFO中,∠OAE=∠OCF,OA=OC,∠AOE=∠COF,∴△AEO≌
△CFO,∴OE=OF=1.5,AE=CF,∴EF=OE+OF=3.∵平行四边
形ABCD的周长为18,∴CD+AD=9,∴四边形EFCD的周长=ED
+CD+CF+EF=AD+CD+EF=9+3=12,故选A.
【解法二】∵平行四边形ABCD是中心对称图形,O为对称中
心,∴OE=OF=1.5,四边形EFCD的周长=四边形EABF的周长=
平行四边形ABCD的周长+EF=9+EF,∵EF=OE+OF=3,∴四
边形EFCD的周长为9+3=12.故选A.
9.(2025广东江门一中期中,★★☆)如图,在 ABCD中,AB⊥
AC,点E是AD的中点,作EF⊥BD于点F,已知AB=4,AC=6,则EF
的长为_________.
解析 如图,连接OE,∵四边形ABCD是平行四边形,AC=6,∴
OA= AC=3,OB=OD,
∴S△OAD=S△OAB,∵AB⊥AC,∴∠OAB=90°,
∴S△OAD=S△OAB= AB·OA= ×4×3=6,OB= = =
5,∴OD=5,
∵点E是AD的中点,∴S△OAE=S△ODE= S△OAD= ×6=3,
∵EF⊥BD,∴S△ODE= OD·EF=3,
∴OD·EF=6,即5EF=6,∴EF= .
10.(2025河南商丘夏邑期末改编,★★☆)如果一个平行四边
形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍,那么称这
个平行四边形为“倍线平行四边形”.如图, ABCD为“倍
线平行四边形”(BD>AC),对角线AC,BD相交于点O,AC⊥AB,
AB=2 ,求BC的长.
解析 ∵ ABCD是“倍线平行四边形”,∴BD=3AC,OB=
BD,OA= AC,∴BO=3AO,∵AC⊥AB,∴∠BAO=90°,
∴OB2-AO2=AB2,∴9AO2-AO2=(2 )2,
∴OA=1(舍负),∴AC=2,∴BC= =2 .
11.【新课标·应用意识】如图①所示, ABCD是某公园的平
面示意图,A,B,C,D分别是该公园的四个入口,两条主干道AC,
BD交于点O,经测量AB=0.5 km,AC=1.2 km,BD=1 km,请你帮
助公园的管理人员解决以下问题:
(1)公园的面积为______km2.
(2)如图②,公园管理人员为提升游客游览的体验感,准备修建
两条通道AN,CM,其中点M在OB上,点N在OD上,且BM=ON(点
M与点O、点B不重合),并计划在△AON与△COM两块区域种
植郁金香,求种植郁金香区域的面积.
解析 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,AC=1.2 km,BD=1
km,
∴OA=OC= AC=0.6 km,OB=OD= BD=0.5 km.
过点B作BE⊥AO于点E,如图a.
∵AB=OB=0.5 km,OA=0.6 km,BE⊥OA,
∴AE= OA=0.3 km,∴BE= =0.4 km,
∴S△AOB= OA·BE= ×0.6×0.4=0.12(km2),
∴S ABCD=4S△AOB=4×0.12=0.48(km2),
即公园的面积为0.48 km2.故答案为0.48.
(2)连接AM,如图b.
∵OA=OC,∴S△COM=S△AOM,
∴S△AON+S△COM=S△AON+S△AOM=S△AMN.
∵OB=BM+MO,BM=ON,
∴MN=MO+ON=MO+BM=OB,
∴S△AMN=S△ABO=0.12 km2.
故种植郁金香区域的面积为0.12 km2.
微专题 平行四边形的面积问题
方法指引
图 示
条 件 O为平行
四边形
ABCD对
角线的交
点 P在平行四
边形ABCD的边AD上,
且不与端
点重合 P为平行四
边形
ABCD内
任意一点 EF经过平
行四边形
ABCD对
角线的交
点O
结 论 S1=S2=S3=
S4= S ABCD S1+S3=S2=
S ABCD S1+S3=S2+
S4= S ABCD S四边形ABFE=S
四边形CDEF
1.(2024上海崇明期中)如图,平行四边形ABCD内有一点P,已
知△APB,△BPC,△CPD的面积分别为4,3,1,则△APD的面积
为_________.
2
解析 由题图可知,S△APB+S△CPD=S△BPC+S△APD,∵△APB,△BPC,
△CPD的面积分别为4,3,1,∴4+1=3+S△APD,∴S△APD=2.
2.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,线段
EF经过点O,AH⊥BC于点H.若AH=2,BC=3,则图中阴影部分的
面积是___________.
1.5
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AO=CO,∴
∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC,∴△AEO≌△CFO(AAS),∴S
△AEO=S△CFO,∴S阴影=S△BFO+S△AOE=S△BFO+S△COF=S△BOC= S ABCD= BC·
AH= ×3×2=1.5.
3.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E为BC边上一
点,且CE=2BE.若四边形ABEO的面积为3,则 ABCD的面积为
_________.
9
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,O为对角线的交点,∴S△
AOB=S△BOC=S△AOD=S△DOC= S ABCD.在△BOC中,CE=2BE,∴S△BOE=
S△BOC= S ABCD.∴S四边形ABEO=S△AOB+S△BOE= S ABCD.又四边形ABEO
的面积为3,∴ ABCD的面积为9.(共39张PPT)
第二十一章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2025甘肃酒泉期末)如图,在四边形ABCD中,∠1+∠2+∠3=
320°,则∠D的度数为 ( )
A.160° B.150° C.140° D.130°
C
解析 ∵四边形ABCD的外角和为360°,且∠1+∠2+∠3=320
°,∴与∠D相邻的外角度数为360°-320°=40°,∴∠D=180°-40°
=140°.故选C.
2.(2024四川乐山中考)如图,下列条件中不能判定四边形
ABCD为平行四边形的是 ( )
A.AB∥DC,AD∥BC B.AB=DC,AD=BC
C.AO=CO,BO=DO D.AB∥DC,AD=BC
D
解析 ∵AB∥DC,AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形(两
组对边分别平行的四边形是平行四边形),故选项A不符合题
意.∵AB=DC,AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形(两组对
边分别相等的四边形是平行四边形),故选项B不符合题意.∵
AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD为平行四边形(对角线互相
平分的四边形是平行四边形),故选项C不符合题意.根据AB∥
DC,AD=BC不能判定四边形ABCD为平行四边形,故选项D符
合题意.故选D.
3.(2025山西中考)如图,在 ABCD中,点O是对角线AC的中点,
点E是边AD的中点,连接OE.下列两条线段的数量关系中一定
成立的是( )
A.OE= AD B.OE= BC
C.OE= AB D.OE= AC
C
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,点O是对角线AC的中
点,∴AB=CD,AD=BC,OA=OC,∵点E是边AD的中点,∴OE是
△ACD的中位线,∴OE= CD= AB,故选项C正确.故选C.
4.【学科特色·多解法】(2025广东佛山华英学校期中)如图,四
边形ABED是梯形,DA⊥AB,AD∥BE,AD=AC,BE=BC,连接CD,
CE,若AC·BC=5,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.8
B
解析 【解法一】因为DA⊥AB,所以∠DAB=90°,因为AD∥
BE,所以∠DAB+∠EBA=180°,所以∠EBA=90°,因为AD=AC,
BE=BC,所以∠ADC=∠ACD=45°,∠BCE=∠BEC=45°,DC=
= AC,CE= = BC,所以∠DCE=90°,
所以S阴影部分= DC·CE=AC·BC=5,故选B.
【解法二】因为四边形ABED是梯形,DA⊥AB,AD∥BE,所以
∠A=∠B=90°.因为AD=AC,BE=BC,AC·BC=5,所以S阴影部分=S梯形
DABE-S△DAC-S△EBC= (BE+AD)·(BC+AC)- AD·AC- BE·BC= (BC2
+2BC·AC+AC2)- AC2- BC2=BC·AC=5,故选B.
5.(2025浙江金华永康期末)如图,在 ABCD中,E,F分别是AD,
BC的中点,P是AB上的一个动点,从点A运动到点B.在点P运动
的过程中,△PED与△PFC的面积之和 ( )
A.不变 B.变小
C.变大 D.先变大再变小
A
解析 ∵E,F分别是AD,BC的中点,
∴S△PED= S△PAD,S△PFC= S△PBC,
∴S△PED+S△PFC= (S△PAD+S△PBC),
∵S△PCD= S ABCD,∴S△PAD+S△PBC= S ABCD,
∴S△PED+S△PFC= S ABCD,∵ ABCD的面积不变,∴△PED与△
PFC的面积之和不变.故选A.
6.(2025福建泉州期末)如图,已知在矩形ABCD中,AE⊥BD于
点E,∠ABD=36°,则∠CAE的度数是( )
A.18° B.20°
C.36° D.54°
A
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∠ABD=36°,
∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABD=36°,
∵∠AOE是△OAB的外角,
∴∠AOE=∠OAB+∠ABD=72°,
∵AE⊥BD于点E,∴∠AEO=90°,
∴∠CAE=90°-∠AOE=18°.故选A.
7.如图,P为AB上任意一点,分别以AP,PB为边在AB同侧作正方
形APCD,正方形PBEF,设∠CBE=α,则∠AFP= ( )
A.2α B.90°-α
C.45°+α D.90°- α
B
解析 ∵四边形PBEF为正方形,∴∠PBE=90°,PF=PB,∵∠
CBE=α,∴∠PBC=90°-α,∵四边形APCD是正方形,∴∠APF=9
0°=∠CPB,AP=CP.
在△APF和△CPB中,
∴△APF≌△CPB(SAS),∴∠AFP=∠PBC=90°-α.故选B.
8.(2025河北中考)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A落
在A'处,A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠,点C落在△BDE内
的C'处,下列结论一定正确的是 ( )
A.∠1=45°-α B.∠1=α
C.∠2=90°-α D.∠2=2α
D
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°,∴∠ADB
=∠1.由折叠的性质可得∠ADB=∠A'DB,∴∠1=∠A’DB,
∵∠DEC=90°-α,∠DEC=∠1+∠A’DB,
∴2∠1=90°-α,∴∠1=45°- α,A错误;
由两次折叠可知∠BDE≠∠CDE,∴∠1≠α,B错误;
∵∠2=180°-2∠CED=180°-2(90°-α)=2α,∴C错误,D正确.故选D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2024河北张家口期末)一个正n边形的内角和是外角和的2
倍,则n的值为_________.
6
解析 由题意得180°(n-2)=360°×2,解得n=6.
故答案为6.
10.如图,在菱形ABCD中,∠B=45°,E,F分别是边CD,BC上的动
点,连接AE,EF,若G,H分别为AE,EF的中点,连接GH.若GH的最
小值为3,则BC的长为__________.
6
解析 连接AF(图略),∵G,H分别为AE,EF的中点,∴GH∥AF,
且GH= AF,要使GH的值最小,只要使AF的值最小即可,当AF
⊥BC时,AF的值最小,此时,GH=3,∴AF=6,∵∠B=45°,
∴∠BAF=45°,∴BF=AF=6,∴AB= =6 ,
∵四边形ABCD是菱形,∴BC=AB=6 .
11.(2024江苏无锡二模)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A
=90°,BD=BC,点E为CD的中点,射线BE交AD的延长线于点F,
连接CF.若AD=1,CF=2,则BF的长为__________.
2
解析 ∵AD∥BC,∴∠FDE=∠BCE,
∵点E为CD的中点,∴DE=EC,
在△BCE与△FDE中,
∴△BCE≌△FDE(ASA),∴BC=FD,
∵AD∥BC,∴四边形BCFD为平行四边形,
又∵BD=BC,∴平行四边形BCFD是菱形,
∴BD=DF=CF=2,∴AF=AD+DF=3,
∵∠A=90°,∴AB= = = ,
∴BF= = =2 .
12.(2025陕西西安期末)如图,点E和点F分别是正方形ABCD边
BC和CD上的动点,在运动过程中始终保持∠EAF=45°,已知正
方形ABCD的边长是3,下列结论:①BE+DF=EF;②当BE=1时,
DF= ;③BE+DF≤3;④AG的长度随E,F的运动而变化.其中正
确的是___________(只填序号).
①②③
解析 ①如图,过点A作AH⊥AF交CB的延长线于点H,∴∠
HAF=90°,
在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠ABC=∠D=90°,∴∠
ABH=∠D=90°,
∵∠HAF=∠BAD=90°,∴∠BAH+∠BAF=∠BAF+∠DAF,∴
∠BAH=∠DAF,
在△BAH和△DAF中,
∴△BAH≌△DAF(ASA),∴AH=AF,BH=DF,
∴EH=BE+BH=BE+DF,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠BAE+∠BAH=45°,即∠EAH=∠EAF=45°,
在△EAH和△EAF中,
∴△EAH≌△EAF(SAS),∴EH=EF,
∴BE+DF=EF,故结论①正确;
②∵四边形ABCD是正方形,且边长为3,
∴BC=CD=3,∠C=90°,
设DF=x,则CF=CD-DF=3-x,
∵BE=1,∴CE=BC-BE=2,EF=BE+DF=1+x,
在Rt△CEF中,由勾股定理得EF2=CE2+CF2,
∴(1+x)2=22+(3-x)2,解得x= ,
∴当BE=1时,DF= ,故结论②正确;
③设DF=a,BE=b,
∴CF=3-a,CE=3-b,EF=a+b,
在△CEF中,根据三角形三边关系得CF+CE>EF,∴3-a+3-b>a
+b,∴2(a+b)<6,∴a+b<3,
即BE+DF<3,
∵点E和点F分别是正方形ABCD边BC和CD上的动点,且∠
EAF=45°,
∴当点E和点C重合时,点F和点D重合,
此时BE=BC=3,DF=0,∴BE+DF=3,
当点E和点B重合时,点F和点C重合,
此时BE=0,DF=CD=3,∴BE+DF=3,
∴BE+DF≤3,故结论③正确;
④∵∠ABC=90°,AG⊥EF,
∴S△EAH= EH·AB,S△EAF= EF·AG,
∵△EAH≌△EAF,∴S△EAH=S△EAF,
∴ EH·AB= EF·AG,
又∵EH=EF,∴AG=AB=3,∴AG的长度不随E,F的运动而变化,
始终等于3,故结论④不正确.
综上所述,正确的结论是①②③.
三、解答题(共40分)
13.(2025河北保定竞秀期末)(12分)如图,四边形ABCD为平行
四边形,线段AC为对角线,点E,F分别为线段BC,AD的中点,连
接EF交AC于点O,连接AE,CF.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形.
(2)若OF=3,求CD的长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,AD
∥BC,
∵点E,F分别为线段BC,AD的中点,
∴AF= AD,CE= BC,∴AF=CE,
∵AF∥CE,∴四边形AECF为平行四边形.
(2)∵四边形AECF为平行四边形,
∴OA=OC,∵AF=DF,∴OF为△ACD的中位线,
∴CD=2OF=2×3=6.
14.(2025天津滨海新区期末)(13分)如图,在平行四边形ABCD
中,对角线AC,BD交于点O,过点D作DM⊥AB于点M,延长AB到
点N,使BN=AM,连接CN.
(1)求证:四边形DMNC是矩形.
(2)连接ON,若CD=12,MB=8,∠DAM=60°,求线段ON的长度.
解析 (1)证明:∵DM⊥AB,∴∠AMD=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC且AD=BC,∴∠DAM=∠CBN.
又∵AM=BN,∴△ADM≌△BCN(SAS),
∴DM=CN,∠BNC=∠AMD=90°.
∴DM∥CN,∴四边形DMNC是矩形.
(2)由(1)知DM=CN,四边形DMNC是矩形,
∴MN=DC=12,
∵MB=8,∴BN=AM=MN-MB=12-8=4,
∴AN=AM+MN=4+12=16.
∵在Rt△AMD中,∠DAM=60°,∠AMD=90°,
∴∠ADM=30°,∴AD=2AM=8,
根据勾股定理,得DM= = =4 .
∴CN=DM=4 .
在Rt△ACN中,∠ANC=90°,根据勾股定理,得AC= =
=4 .
∵O是AC的中点,∴ON= AC=2 .
15.(2025湖北孝感期中)(15分)
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,
DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证:四边形CEDF是正方形.
(2)如图2,在△ABC中,∠ACB=60°,CD平分∠ACB,过点D作DE
⊥BC于点E,DF⊥AC于点F,点H是CD的中点,连接HE,FH,EF.
①判断四边形DFHE的形状,并证明.
②已知CD=4 ,求FE的长.
解析 (1)证明:∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,∴DE=
DF,∠DFC=90°,∠DEC=90°,
∵∠ACB=90°,∴四边形CEDF是正方形.
(2)①四边形DFHE为菱形.
证明:∵CD平分∠ACB,∠ACB=60°,∴∠FCD=∠ECD=30°,∵
DE⊥BC,DF⊥AC,∴DF=DE= CD,∵点H是CD的中点,∴FH
= CD,HE= CD,∴DF=DE=HF=HE,∴四边形DFHE为菱形.
②设DH与EF的交点为O(图略).∵CD=4 ,点H是CD的中点,
∴HD=2 ,∵四边形DFHE为菱形,∴EF⊥DH,HO= DH=
,∵HF= CD=2 ,∴FE=2OF=2 =2
=2 .(共13张PPT)
第二十一章 四边形
第2课时 利用对角线判定平行四边形
21.3 平行四边形的判定
利用对角线判定平行四边形
1.(2025河北石家庄长安一模)根据所标数据,不能判定下列四
边形是平行四边形的是 ( )
C
解析 选项A,∵AO=CO,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,故不符合题意;
选项B,∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故不符合题意;
选项C,∵∠ACD=∠BAC=40°,∴AB∥CD,
∵AD=CB,∴不能判定四边形ABCD是平行四边形,故符合题意;
选项D,∵∠ACD=∠CAB=40°,∴AB∥CD,
∵∠CBD=∠BDA=35°,∴AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,故不符合题意.故选C.
2.(2025河北石家庄新华期中)在四边形ABCD中,对角线AC,
BD交于点O,OB=OD.添加下列条件中的一个,可使四边形
ABCD是平行四边形的有 ( )
①OA=OC;②AB=CD;③AD∥BC.
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
B
解析 添加①OA=OC,∵OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边
形;添加②AB=CD,无法判定四边形ABCD是平行四边形;添加
③AD∥BC,∴∠ADO=∠OBC,∵OB=OD,∠AOD=∠BOC,∴
△AOD≌△COB,∴AD=BC,又∵AD∥BC,∴四边形ABCD是
平行四边形.故选B.
3.【学科特色·多解法】如图,在四边形ABCD中,点E,F为对角
线BD上的两点,且DE=BF,连接AE,CF,且AE∥CF,AE=CF.求
证:四边形ABCD为平行四边形.
证明 【证法一】平行四边形的判定定理3:
如图,连接AF,CE,AC,设AC与BD交于点O,
∵AE∥CF,AE=CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,∴OA=OC,OF=OE,
∵BF=DE,∴BF+OF=DE+OE,∴OB=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
【证法二】平行四边形的判定定理1:
∵AE∥CF,
∴∠AEF=∠CFE,∴∠AED=∠CFB.
在△AED和△CFB中,
∴△AED≌△CFB(SAS),
∴∠ADE=∠CBF,AD=CB,∴AD∥CB,
∴四边形ABCD为平行四边形.
4.(2024河北中考,★★☆)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及
解答过程:
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,
点M是AC的中点,连接BM并延长交AE于点D,连接CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴ ① .
又∵∠4=∠5,MA=MC,
∴△MAD≌△MCB( ② ),
∴MD=MB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确,则①②应分别为 ( )
A.∠1=∠3,AAS B.∠1=∠3,ASA
C.∠2=∠3,AAS D.∠2=∠3,ASA
D
解析 ∵AB=AC,∴∠ABC=∠3,∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠
CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,∴∠2=∠3,∵点M是AC的中点,∴MA
=MC,在△MAD和△MCB中, ∴△MAD≌△MCB
(ASA),∴MD=MB,∴四边形ABCD是平行四边形.∴①②对应
的内容分别为∠2=∠3,ASA,故选D.
5.(2025陕西榆林横山期末,★★☆)如图,四边形ABCD是平行
四边形,线段MF在 ABCD的左侧,连接MA,MD,FB,FC,四边形
MABF的对角线AF和BM交于点O,且OA=OF,OM=OB.求证:四
边形DMFC是平行四边形.
证明 ∵OA=OF,OM=OB,
∴四边形MABF是平行四边形,
∴FM∥AB,FM=AB,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,CD=AB,∴FM∥CD,FM=CD,
∴四边形DMFC是平行四边形.(共28张PPT)
第二十一章 四边形
第1课时 利用边判定平行四边形
21.3 平行四边形的判定
利用边判定平行四边形
1.(2024河北邯郸广平一模)如图,若增加“某条线段的长度为
5”这个条件后,可证明四边形ABCD为平行四边形,则这条线
段为 ( )
A.a B.b C.c D.d
A
解析 ∵∠DAC=∠ACB=55°,∴AD∥BC,当a=5时,AD=BC,∴
四边形ABCD为平行四边形,故选A.
2.(2024河北石家庄模拟)如图,已知△ABD,用尺规进行如下操
作:①以点B为圆心,AD长为半径画弧;②以点D为圆心,AB长为
半径画弧;③两弧在BD上方交于点C,连接BC,DC.可直接判定
四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A.两组对边分别平行
B.两组对边分别相等
B
C.两组对角分别相等
D.一组对边平行且相等
解析 由作图可知AB=CD,BC=AD,故选B.
3.(2025河北石家庄新华期中)如图,在 ABCD中,E,F分别在边
AB,CD上,BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.下面是打
乱顺序的证明过程,则正确的步骤排序应为 ( )
D
①又∵AE∥CF;②∵BE=DF,∴AB-BE=CD-DF,即AE=CF;③
∴四边形AECF是平行四边形;④∴AB=CD,AB∥CD;⑤∵四
边形ABCD是平行四边形.
A.④①③⑤② B.②④⑤①③
C.⑤④①②③ D.⑤④②①③
解析 ⑤∵四边形ABCD是平行四边形,
④∴AB=CD,AB∥CD,
②∵BE=DF,∴AB-BE=CD-DF,即AE=CF,
①又∵AE∥CF,
③∴四边形AECF是平行四边形.故选D.
4.(2025北京实验学校期中)如图,四边形ABCD中,∠B=∠D,EF
交CD于点G,交AD于点E,交BC的延长线于点F,∠DEF=∠
CFG.求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明 ∵∠DEF=∠CFG,
∴AD∥BC,∴∠D=∠DCF,
∵∠B=∠D,∴∠B=∠DCF,∴AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.【新考向·开放探究题】(2024湖北武汉中考)如图,在
ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是
平行四边形.(不需要说明理由)
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.
∵AF=CE,∴AD-AF=BC-CE,∴DF=BE,
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)添加BE=CE(答案不唯一).
详解:∵AF=CE,BE=CE,∴AF=BE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,即AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形.
平行线间的距离
6.(2025浙江金华东阳期末)如图,直线m∥n,则下列选项中能
表示直线m,n之间的距离的是 ( )
A.线段AB的长 B.线段AC的长
C.线段AD的长 D.线段DE的长
B
解析 ∵直线m∥n,AC⊥n,∴线段AC的长是直线m,n之间的
距离.故选B.
7.【新考向·尺规作图】(2025河北石家庄模拟,★★☆)现有一
张平行四边形ABCD纸片,AD>AB,要求用尺规作图的方法在
边BC,AD上分别找点M,N,使得四边形AMCN为平行四边形,
甲、乙两位同学的作法如图所示,下列判断正确的是
( )
C
A.甲对、乙不对
B.甲不对、乙对
C.甲、乙都对
D.甲、乙都不对
解析 甲同学:由作图可知BM=BA,DN=DC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,AD∥BC,∴BM=DN,
∴CM=AN,又∵CM∥AN,
∴四边形AMCN是平行四边形.
乙同学:由作图可知AM平分∠BAD,CN平分∠BCD,
∴∠BAM=∠DAM,∠BCN=∠DCN,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,AD∥BC,
∴∠DAM=∠BMA,∠DNC=∠BCN,
∴∠BAM=∠BMA,∠DNC=∠DCN,
∴AB=BM,CD=DN,∴BM=DN,
∴AN=CM,又∵AN∥CM,
∴四边形AMCN是平行四边形.
综上,甲、乙都对,故选C.
8.(2025陕西西安铁路一中模拟,★★☆)如图,在腰长为8的等
腰△ABC中,AB=AC,E,M,F分别是AB,BC,AC上的点,并且ME∥
AC,MF∥AB,则四边形MEAF的周长是 ( )
A.8 B.10 C.12 D.16
D
解析 ∵ME∥AC,MF∥AB,∴四边形MEAF是平行四边形,∴
FM=AE,EM=AF,∵ME∥AC,∴∠EMB=∠C,∵AB=AC,∴∠B=
∠C,∴∠B=∠EMB,∴EM=EB,∴AF=BE,∴AE+AF=AE+BE=
AB,
∵AB=AC=8,∴平行四边形MEAF的周长=2(AE+AF)=2AB=2×
8=16.故选D.
9.(2025广东珠海期中,★★☆)如图,平行四边形ABCD中,E,F
分别为边AB,DC的中点,则图中平行四边形的个数是
( )
A.3 B.4 C.5 D.6
D
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵E,
F分别为AB,CD的中点,∴AE=EB=DF=FC,∴四边形AEFD,四
边形EFCB,四边形AFCE,四边形EDFB都是平行四边形,∴ED
∥BF,AF∥CE,∴四边形GEHF是平行四边形,∴平行四边形
的个数是6.故选D.
10.(2024河北张家口万全一模,★★☆)如图,已知点P,Q分别是
四边形ABCD的边AB,CD上的点,有如下条件:①AP=CQ;②∠
APD=∠CQB;③AB∥CD;④四边形ABCD是平行四边形.添加
下列各组条件后不能得到四边形BQDP是平行四边形的是
( )
B
A.①和④ B.①和③
C.②和③ D.②和④
解析 添加的条件为①和④时,∵四边形ABCD是平行四边
形,∴AB∥CD,AB=CD,∵AP=CQ,∴AB-AP=DC-CQ,即PB=
DQ,又∵PB∥DQ,∴四边形BQDP是平行四边形,故A选项不
符合题意;添加的条件为①和③时,不能证明四边形BQDP是
平行四边形,故B选项符合题意;添加的条件为②和③时,∵AB
∥CD,∴∠CQB=∠ABQ,∵∠APD=∠CQB,∴∠ABQ=∠APD,
∴DP∥QB,又∵PB∥DQ,∴四边形BQDP是平行四边形,故C
选项不符合题意;添加的条件为②和④时,∵四边形ABCD是
平行四边形,∴AB∥CD,∴∠CQB=∠ABQ,∵∠APD=∠CQB,
∴∠ABQ=∠APD,∴DP∥QB,又∵PB∥DQ,∴四边形BQDP
是平行四边形,故D选项不符合题意.故选B.
11.【新课标·创新意识】(2025广西中考节选)
【平行六边形】如图1,在凸六边形ABCDEF中,AB∥DE,BC∥
EF,CD∥FA,这样的凸六边形叫作“平行六边形”.其中AB与
DE,BC与EF,CD与FA叫作“主对边”.∠BAF和∠CDE,∠
ABC和∠DEF,∠BCD和∠EFA叫作“主对角”.AD,BE,CF叫
作“主对角线”.
(1)类比平行四边形性质,有如下猜想,请判断正误并在横线上
填写“正确”或“错误”.
猜想 判断正误
平行六边形的三组主对边分
别相等
平行六边形的三组主对角分
别相等
平行六边形的三条主对角线
互相平分
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫作“菱六边
形”.
(2)如图2,已知平行六边形OPQRST满足OP=PQ=QR=RS.求证:
平行六边形OPQRST是菱六边形.
解析 (1)错误;正确;错误.
(2)证明:如图,过点Q作QH∥PO,且QH=PO,连接OH,HS,
则四边形PQHO是平行四边形,
∴PQ∥OH,PQ=OH,
在平行六边形OPQRST中,PO∥RS,PO=RS,
∴QH∥RS,QH=RS,
∴四边形QRSH为平行四边形,∴QR∥HS,QR=HS,
在平行六边形OPQRST中,PQ∥ST,QR∥OT,
∴OH∥ST,HS∥OT,
∴四边形HSTO为平行四边形,
∴HS=OT,OH=ST,∴QR=OT,PQ=ST,
∵OP=PQ=QR=RS,∴PQ=QR=RS=ST=OT=PO,
∴平行六边形OPQRST是菱六边形.(共30张PPT)
专项突破10 四边形中的动点问题
平行四边形中的动点问题
1.(2025河北石家庄元氏期中)已知,在 ABCD中,动点P在AD
边上,以每秒0.5 cm的速度从点A向点D运动.
(1)如图1,在运动过程中,若CP平分∠BCD,且满足CD=CP,求
∠B的度数.
(2)如图2,另一动点Q在BC边上,以每秒2 cm的速度从点C出发,
在B,C间往返运动,P,Q两点同时出发,当点P到达点D时停止运
动(同时点Q也停止运动),若AD=6 cm,则当运动时间为多少秒
时,以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形
解析 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠B=∠D,∴∠DPC=∠PCB,
∵CP平分∠BCD,∴∠PCD=∠PCB,
∴∠DPC=∠DCP,∴DP=CD,
∵CD=CP,∴CP=CD=DP,
∴△PDC是等边三角形,∴∠D=60°,∴∠B=60°.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,BC=AD=6 cm,
若以P,D,Q,B为顶点的四边形是平行四边形,则PD=BQ,设运
动时间为t秒,
①当0≤t≤3时,PD=(6-0.5t)cm,BQ=(6-2t)cm,
∴6-0.5t=6-2t,解得t=0;
②当3∴6-0.5t=2t-6,解得t=4.8;
③当6∴6-0.5t=18-2t,解得t=8;
④当9解得t=9.6.
综上所述,当运动时间为0秒或4.8秒或8秒或9.6秒时,以P,D,Q,
B为顶点的四边形是平行四边形.
矩形中的动点问题
2.(2025湖北孝感孝昌期中)如图1,在矩形ABCD中,AB=4 cm,
AD=2AB,AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,垂足为O,连
接AF,CE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形.
(2)求AF的长.
(3)如图2,动点P,Q分别从A,C两点同时出发,沿△AFB和△
CDE各边匀速运动一周后停止,即点P沿A→F→B→A运动,点
Q沿C→D→E→C运动,在运动过程中,已知点P的速度为5 cm/
s,点Q的速度为4 cm/s,运动时间为t s,当以A,C,P,Q为顶点的四
边形是平行四边形时,求t的值.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠OAE=
∠OCF,∠OEA=∠OFC,∵EF垂直平分AC,∴OA=OC,EF⊥
AC,∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF,∴四边形AFCE是平行四边
形,∵EF⊥AC,∴四边形AFCE是菱形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,AB=4 cm,AD=2AB,∴∠B=90°,BC=
AD=2×4=8(cm),∵四边形AFCE是菱形,∴AF=CF,设AF=CF=x
cm,则BF=BC-CF=(8-x)cm,∵AF2=BF2+AB2,∴x2=(8-x)2+42,解
得x=5,即AF=5 cm.
(3)由题意知,只有当点P在BF上,点Q在DE上,且AQ=PC时,
以A,C,P,Q为顶点的四边形才是平行四边形,此时AD-AQ=BC-
CP,即DQ=BP,由(2)得BF=3 cm,AF=5 cm,易得DQ=(4t-4)cm,
BP=3-(5t-5)=(8-5t)cm,∴4t-4=8-5t,解得t= .
故当以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时,t= .
菱形中的动点问题
3.(2025江西南昌期末)已知点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,
CD上滑动(点P不与B,C重合),且∠PAQ=∠B,
(1)如图1,若AP⊥BC,求证:AP=AQ.
(2)如图2,若AP与BC不垂直,(1)中的结论还成立吗 若成立,请
证明;若不成立,请说明理由.
(3)如图3,若AB=4,∠B=60°,请直接写出四边形APCQ的面积.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴∠B+∠C=180°,∠B=∠D,AB=AD,
∵∠PAQ=∠B,∴∠PAQ+∠C=180°,
∴∠APC+∠AQC=180°,
∵AP⊥BC,∴∠APC=90°,∴∠AQC=90°,
在△APB和△AQD中,
∴△APB≌△AQD(AAS),∴AP=AQ.
(2)成立.
证明:如图,过点A作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.
由(1)可得,∠PAQ=∠EAF=∠B,AE=AF,
∴∠EAP=∠FAQ,
在△AEP和△AFQ中,
∴△AEP≌△AFQ(ASA),∴AP=AQ.
(3)4 .
详解:如图,连接AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC,AF⊥CD,垂
足分别为E,F.
∵∠ABC=60°,BA=BC,∴△ABC为等边三角形,
∵AE⊥BC,∴BE=EC,同理可得,CF=FD,
∴四边形AECF的面积= ×四边形ABCD的面积,
由(2)得,四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积,
∵∠ABC=60°,∴∠ABO=30°,∵AB=4,
∴OA= AB=2,∴OB=2 ,
∴四边形ABCD的面积= ×2×2 ×4=8 ,
∴四边形APCQ的面积=4 .
4.如图1,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC=6 cm,
BD=8 cm,分别过点B,C作AC与BD的平行线相交于点E.
(1)判断四边形BOCE的形状,并证明.
(2)点G从点A沿线段AC的方向以2 cm/s的速度移动了t s,连接
BG,当S△ABG=2S△OBG时,求t的值.
(3)如图2,点G在直线AC上运动,求BG+EG的最小值.
解析 (1)四边形BOCE是矩形.
证明:∵BE∥OC,EC∥OB,
∴四边形BOCE是平行四边形,
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,∴四边形BOCE是矩形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=6 cm,
∴OA=OC=3 cm,∵S△ABG=2S△OBG,∴AG=2OG,
∴2t=2(3-2t)或2t=2(2t-3),
解得t=1或t=3,∴满足条件的t的值为1或3.
(3)∵四边形ABCD是菱形,∴OB=OD,AC⊥BD,
∵四边形BOCE是矩形,
∴BE=OC=3 cm,∠EBO=90°,
连接ED,交AC于点H,连接DG,如图,
则BG=DG,∴BG+EG=DG+EG≥DE,
∴当E,G,D三点共线,即点G与点H重合时,BG+EG有最小值,最
小值为线段DE的长,
在Rt△EBD中,DE= = = (cm),
∴BG+EG的最小值为 cm.
正方形中的动点问题
5.点O为正方形ABCD对角线AC与BD的交点,点E为直线BD上
一点(点E与点B,点D,点O不重合),连接AE.
(1)如图1,若点E为OD的中点,AB= ,求△ABE的面积.
(2)如图2,若点E在线段OD上,过点E作EF⊥AE交直线BC于点
F,交直线AC于点H,过点F作FG∥AE交直线BD于点G.求证:
FG+FH=AE.
(3)若点E为直线BD上一动点,其他条件与第(2)问条件相同,请
写出线段DE,BG,CH之间的数量关系.
解析 (1)∵四边形ABCD为正方形,AB= ,
∴OA=OB=OD=1,AO⊥BD,
∵点E为OD的中点,
∴OE= OD= ,∴BE=BO+OE= ,
∴S△ABE= BE·AO= × ×1= .
(2)证明:过点E作直线EN⊥BC于点N,交AD于M,如图,
易知四边形AMNB为矩形,
∴AM=BN,∠AME=∠AEF=∠FNE=90°,
∵在正方形ABCD中,∠EBN=45°,∴EN=BN=AM,
∵∠MAE+∠1=∠FEN+∠1=90°,
∴∠MAE=∠FEN,∴△AME≌△ENF(ASA),
∴AE=EF,同理可得,△AHE≌△EGF,∴FG=EH,
∵EH+FH=EF=AE,∴FG+FH=AE.
(3)①当点E在线段OD上时,
由(2)得△AHE≌△EGF,∴AH=EG,
∵AH=AC-CH,EG=BD-BG-DE,AC=BD,
∴AC-CH=BD-BG-DE,即CH=BG+DE;
②当点E在线段DB的延长线上时,如图,连接CE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BD垂直平分AC,∠BAO=∠BCO=45°,
∴AE=CE,∴∠EAO=∠ECO,
∴∠EAO-∠BAO=∠ECO-∠BCO,
∴∠EAB=∠ECB,
在Rt△FME和Rt△AMB中,易知∠MAB=∠MFE,∴∠MFE=∠
ECB,∴FE=CE,∴FE=AE,
在Rt△FGE和Rt△OHE中,易知∠FGE=∠OHE,
又∵∠EFG=∠AEH=90°,
∴△EFG≌△AEH(AAS),∴EG=AH,
∵EG=BG-BE,AH=AC+CH=BD+CH,
∴BG-BE=BD+CH,∴BG=BE+BD+CH=DE+CH,
即BG=DE+CH;
③当点E在线段BD的延长线上时,如图,过点E作EN⊥BA交BA
的延长线于点N,作EH'⊥BF于点H',
∵∠NBE=∠H'BE=45°,∠NEH'=∠AEF=90°,
∴EN=EH',∠NEH'-∠AEH'=∠AEF-∠AEH',即∠NEA=∠H'
EF,∵∠ENA=∠EH'F=90°,
∴△NEA≌△H'EF,∴AE=EF,
在Rt△GOM和Rt△HFM中,易知∠G=∠H,
∵∠AEH=∠EFG=90°,
∴△AEH≌△EFG(AAS),∴AH=EG,
∵AH=AC+CH,EG=DE+DB+BG,AC=BD,
∴CH=DE+BG;
④当点E在线段OB上时,如图,连接CE,
同理得∠1=∠3=∠2,AE=EC=EF,
易知∠EGF=∠AHE,
∵∠EFG=∠AEH=90°,
∴△EFG≌△AEH(AAS),∴EG=AH,
∵EG=BG+BE=BG+BD-DE,AH=AC-CH,BD=AC,
∴BG+BD-DE=AC-CH,∴DE=BG+CH.
综上所述,线段DE,BG,CH之间的数量关系为CH=BG+DE或
BG=DE+CH或DE=BG+CH.(共30张PPT)
第二十一章 四边形
第2课时 矩形的判定
21.5 矩形
矩形的判定
1.(2025河北承德一模)下列四边形中,不一定是矩形的是
( )
A
解析 选项A,根据AD=BC=4,AB=CD=3,
只能判定四边形ABCD是平行四边形,不一定为矩形,故A符合
题意;
选项B,∵∠A=∠B=∠D=90°,∴四边形ABCD是矩形,故B不符
合题意;
选项C,∵∠A=∠B=90°,∴∠A+∠B=180°,
∴AD∥BC,∵AD=BC=4,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又∵∠A=90°,∴平行四边形ABCD为矩形,故C不符合题意;
选项D,∵AB=CD=3,AD=BC=4,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC=5,∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是
矩形,故D不符合题意.故选A.
2.(2025河北唐山月考)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交
于点O,根据图中所标信息,再添加一个条件,使四边形ABCD
为矩形,添加的条件可以是 ( )
A.OB=5 B.OD=5
B
C.AB=5 D.BC=8
解析 添加OD=5.
理由:∵∠ABC=90°,AO=OC=5,
∴AC=10,∴OB= AC=5,
∵OD=5,∴OA=OC=OB=OD=5,
∴四边形ABCD是平行四边形,且AC=BD=10,
∴四边形ABCD为矩形.故选B.
3.(2024四川泸州中考)已知四边形ABCD是平行四边形,下列
条件中,不能判定 ABCD为矩形的是( )
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
D
解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当∠A=90°时,平行四边形ABCD是矩形,
∴选项A可以判定 ABCD为矩形;
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠B+∠C=180°,
当∠B=∠C时,∠B=∠C=90°,此时 ABCD为矩形,故选项B可
以判定 ABCD为矩形;
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴当AC=BD时,平行四边形ABCD是矩形,故选项C可以判定
ABCD为矩形;
当AC⊥BD时,平行四边形ABCD不一定是矩形,故选项D不能
判定 ABCD为矩形.故选D.
4.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,F为OC上一点,E
为AO上一点,且AF=CE,EF=2BO,连接BE,DF,DE,BF,求证:四
边形EBFD是矩形.
证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB=OD,OA=OC,
∵AF=CE,∴AF-AO=CE-CO,即OF=OE,
又∵OB=OD,∴四边形EBFD为平行四边形,
∵EF=2BO,∴EF=BD,∴四边形EBFD是矩形.
5.【新考向·条件开放题】(2024贵州中考)如图,四边形ABCD
的对角线AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列条
件:①AB∥CD,②AD=BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件,求证:四边形ABCD是矩
形.
(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.
解析 (1)选择①,证明:
∵AD∥BC,AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形.
选择②,证明:∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD是矩形.
(2)∵AB=3,AC=5,∠ABC=90°,
∴BC= =4,
∴矩形ABCD的面积=AB·BC=3×4=12.
6.(2024甘肃兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中
点,CE∥AD,AE⊥AD,EF⊥AC.
(1)求证:四边形ADCE是矩形.
(2)若BC=4,CE=3,求EF的长.
解析 (1)证明:∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥
BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,
∵CE∥AD,∴∠ECD=∠ADB=90°,
∵AE⊥AD,∴∠EAD=90°,
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
(2)∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,BC=4,∴BD=CD=
BC=2,
由(1)可知,四边形ADCE是矩形,
∴AE=CD=2,∠AEC=90°.
在Rt△AEC中,AE=2,CE=3,
∴AC= = ,
∵EF⊥AC,∴S△AEC= AC·EF= AE·CE,
∴EF= = = .
7.(2025河北秦皇岛青龙一模,★★☆)学完矩形的判定以后,张
老师想让同学们通过测量来判定一个四边形纸片是不是矩
形.嘉嘉准备了一把刻度尺,淇淇准备了一个量角器,他俩谁的
工具能判断这张纸片是不是矩形 ( )
A.嘉嘉能,淇淇不能 B.淇淇能,嘉嘉不能
C.他俩都能 D.他俩都不能
C
解析 嘉嘉用刻度尺可以分别测量四边形的四条边长和两条
对角线的长度,如果四边形的两组对边分别相等且两条对角
线相等,那么可判定这张纸片是矩形;淇淇用量角器测量四边
形的四个内角的度数,如果有3个角是直角,那么可判定这张纸
片是矩形,所以他俩都能判断这张纸片是不是矩形,故选C.
8.(2025湖北武汉期中,★★☆)如图,E,F,G,H分别是四边形
ABCD四条边的中点,要使四边形EFGH为矩形,则四边形
ABCD应具备的条件是( )
A.一组对边平行而另一组对边不平行
B.对角线相等
C
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分
解析 要使四边形EFGH是矩形,四边形ABCD应具备的条件
是对角线互相垂直.理由:如图,连接AC,BD,
∵E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点,∴EH∥BD,EH
= BD,FG∥BD,FG= BD,EF∥AC,∴EH∥FG,EH=FG,∴四
边形EFGH是平行四边形,
∵EF∥AC,EH∥BD,AC⊥BD,
∴EF⊥EH,∴四边形EFGH是矩形.
9.【新考向·尺规作图】(2024河北廊坊安次期中,★★☆)如图
所示的是甲、乙两名同学作矩形的作业(题中△ABC为等腰
三角形,AB=AC).甲:①过点A作AD⊥BC,垂足为D;②延长BA到
N,作∠CAN的平分线AE;③过点C作CE⊥AE,垂足为E.四边形
ADCE为矩形.乙:①过点A作AD⊥BC,垂足为D;②以A为圆心,
BD长为半径画弧;以B为圆心,AD长为半径画弧;③两弧交AD
上方于点E,连接BE,AE.四边形ADBE为矩形.
对于两人的作业,下列说法正确的是 ( )
A
A.两人都对 B.两人都不对
C.甲对,乙不对 D.甲不对,乙对
解析 甲的作业:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠CAD= ∠BAC,∠
ADC=90°,∵AE平分∠CAN,∴∠CAE= ∠CAN,∴∠CAD+∠
CAE= (∠BAC+∠CAN),∴∠DAE= ∠BAN= ×180°=90°,∵
CE⊥AE,∴∠E=90°,∴四边形ADCE是矩形,故甲的作业正确.
乙的作业:由题意知AD=BE,AE=BD,∴四边形ADBE是平行四
边形,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴四边形ADBE是矩形,故乙
的作业正确.故选A.
10.【学科特色·最值问题】(2025河南驻马店期末,★★☆)如
图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点P为斜边BC上的
一个动点,过P分别作PE⊥AB于点E,作PF⊥AC于点F,连接EF,
则线段EF的最小值为_________.
解析 如图,连接AP,
∵∠BAC=90°,PE⊥AB,PF⊥AC,
∴四边形AEPF是矩形,∴EF=AP,
∴线段AP的最小值就是线段EF的最小值,
∵点P为斜边BC上的一个动点,
∴当AP⊥BC时,AP的值最小.
在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,则BC= =5,
由等面积法可得AP的最小值为 = .
∴线段EF的最小值为 .
11.【新课标·推理能力】【新考向·动点探究题】(2025山东
东营期末)如图,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作
直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠
ACD的平分线于点F.
(1)求证:OE=OF.
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长.
(3)连接AE,AF,当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形
AECF是矩形 请说明理由.
解析 (1)证明:∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE,
∵MN∥BC,∴∠BCE=∠OEC,
∴∠ACE=∠OEC,∴OE=OC,
同理可得OF=OC,∴OE=OF.
(2)∵CE,CF分别平分∠ACB和∠ACD,
∴∠ACE= ∠ACB,∠ACF= ∠ACD,
∵∠ACB+∠ACD=180°,
∴∠ECF=∠ACE+∠ACF= ×180°=90°,
∴EF= = =13,
∴OC= EF=6.5.
(3)当点O为边AC的中点时,四边形AECF是矩形.
理由如下:当点O为AC中点时,OA=OC,
由(1)可知,OC=OE=OF,∴OA=OC=OE=OF,
∴四边形AECF为平行四边形,且AC=EF,
∴四边形AECF为矩形.(共32张PPT)
第二十一章 四边形
21.8 梯形
梯形
1.【新考向·操作实践题】在如图所示的点图(横、竖相邻两
点之间的距离为1 cm)中有一个矩形,沿虚线将矩形剪成两部
分,这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成三角形和梯形的
是 ( )
D
解析 A.不能拼成三角形和梯形,不符合题意;B.不能拼成梯
形,不符合题意;C.不能拼成三角形,不符合题意;D.既能拼成平
行四边形,又能拼成三角形和梯形,符合题意.故选D.
2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,CE恰好平分
∠BCD,若AD=3,BC=4,则CD的长是 ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
C
解析 如图,延长CE交DA的延长线于F,
∵AD∥BC,∴∠1=∠3,∵E是AB的中点,∴AE=EB,又∠AEF=
∠BEC,∴△AEF≌△BEC,∴AF=BC,
∵CE平分∠BCD,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴CD=DF=AD+AF=
AD+BC=7.故选C.
3.(2025重庆大渡口月考)如图,在点图(横、竖相邻两点之间的
距离为1 cm)中,要选一个点D,使四边形ABCD成为一个梯形,
点D共有_________种选法.
4
解析 如图所示,分两种情况考虑:①若BC,AD为平行边,则D1,
D2即为所求;②若AB,CD为平行边,则D3,D4即为所求.所以点D
共有4种选法.
4.(2025上海黄浦期末)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,连接AC,
BD,已知梯形ABCD的面积为17,△BDC的面积为12,那么△
ADC的面积为_________.
5
解析 ∵梯形ABCD的面积为17,△BDC的面积为12,∴△
ADB的面积为17-12=5,
∵AD∥BC,∴S△ADC=S△ADB=5,故答案为5.
特殊的梯形
5.如图,等腰梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,AC平分∠DAB,∠
DCA=30°,DC=3 cm,则∠BCA的度数为_______,梯形ABCD的
周长为__________cm.
15
90°
解析 ∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB,∵DC∥AB,∴∠
DCA=∠CAB=30°,∴∠DAC=∠DCA=30°,所以AD=DC=3 cm,
∵四边形ABCD是等腰梯形,DC∥AB,∴BC=AD=3 cm,∠B=∠
DAB=60°,∴∠ACB=90°,∴AB=2BC=6 cm,∴梯形ABCD的周
长为3+3+3+6=15(cm).
6.【学科特色·多解法】求证:等腰梯形同一底上的两个角相等.
解析 已知:如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD.
求证:∠B=∠C,∠A=∠D.
证明:【证法一】作腰的平行线:如图1,过D作DE∥AB,交BC
于点E,所以∠B=∠DEC.因为AD∥BC,所以四边形ABED是平
行四边形,所以DE=AB.因为AB=DC,所以DE=DC,所以∠DEC
=∠C,所以∠B=∠C,因为AD∥BC,所以∠ADC+∠C=180°,∠A
+∠B=180°,所以∠A=∠ADC,所以等腰梯形同一底上的两个
角相等.
【证法二】作同一底上的高:如图2,过A作AM⊥BC,过D作DN
⊥BC,垂足分别为M,N,所以∠AMB=∠DNB=∠DNC=90°,所以
AM∥DN,因为AD∥BC,所以四边形AMND是平行四边形,所以
AM=DN.
因为AB=DC,所以Rt△ABM≌Rt△DCN,所以∠B=∠C,因为
AD∥BC,所以∠ADC+∠C=180°,∠DAB+∠B=180°,所以∠
DAB=∠ADC,所以等腰梯形同一底上的两个角相等.
7.如图,在直角梯形ABDC中,∠ACD=90°,BD∥AC,CD=6,∠A=
30°,求AB的长.
解析 过点B作BE⊥AC于点E(图略),
因为四边形ABDC是直角梯形,∠ACD=90°,BD∥AC,所以四边
形ECDB是矩形,所以CD=BE=6,∠AEB=90°,
因为∠A=30°,所以AB=2BE=12.
8.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,AB⊥AC,求∠B
的度数.
解析 设∠CAD=x°,∵四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,∴
AB=CD,∠B=∠BCD,∴∠CAD=∠ACB=x°,又AB=AD,∴AD=
CD,∴∠ACD=∠CAD=x°,∴∠B=∠BCD=2x°.在△ABC中,AB
⊥AC,∴∠ACB+∠B=90°,∴x+2x=90,解得x=30,∴∠B=2×30°=
60°.
9.(★★☆)等腰梯形两底的差是4,两腰的长也是4,则这个等腰
梯形的两锐角都是 ( )
A.75° B.60° C.45° D.30°
B
解析 如图,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,过点A作AE∥
CD交BC于E,
因为AD∥BC,所以四边形AECD是平行四边形,
所以AE=CD,AD=EC,因为等腰梯形两底的差是4,
所以BC-AD=4,所以BE=BC-CE=4,因为两腰的长是4,所以AB=
CD=4,所以AE=4,所以△ABE是等边三角形,所以∠B=60°,故
这个等腰梯形的锐角为60°.故选B.
10.(★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=8,AB=3,OC=5,
如果在梯形OABC内有一点D(x,y),使得S△OAD=S△BCD,S△ABD=S△
OCD,那么xy的值为 ( )
A. B. C. D.
D
解析 如图,过点D作DE⊥OA于点E,则OE=x,DE=y.由题意可
得梯形OABC的面积为 (AB+OC)·OA= ×(3+5)×8=32,因为S△
ABD=S△OCD,所以 AB·AE= OC·OE,即 AB·(OA-OE)= OC·OE,
所以 ×3×(8-x)= ×5x,解得x=3,所以OE=3,所以AE=5,所以S△
ABD=S△OCD= ×5×3= ,所以S△OAD=S△BCD= × = ,因为
S△OAD= OA·DE,所以 ×8y= ,解得y= ,所以xy=3× = ,故
选D.
11.(★★☆)如图,梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,
DE平分∠ADC,以下说法:①∠CDE=60°;②DE⊥AE;③AD<
CD+AB;④S△ADE= S梯形ABCD.其中正确的是 ( )
A.①②④ B.③④ C.①②③ D.②④
D
解析 如图,过点E作EF⊥AD于点F,则∠DFE=∠AFE=90°,因
为∠B=∠C=90°,所以∠DFE=∠C,因为DE平分∠ADC,所以
∠FDE=∠CDE,又因为DE=DE,所以△DEF≌△DEC,所以EF
=EC,∠FED=∠CED,DF=CD,因为E是BC的中点,所以EB=EC,
所以EF=EC=EB,因为∠AFE=∠B=90°,AE=AE,所以Rt△AEF
≌Rt△AEB,所以AF=AB,∠AEF=∠AEB,所以AD=DF+AF=CD
+AB,故③错误;因为∠FED+∠CED+∠AEF+∠AEB=180°,所
以∠FED+∠AEF=90°,即∠AED=90°,所以DE⊥AE,故②正确;
因为S△DEF=S△DEC,S△AEF=S△AEB,S△DEF+S△DEC+S△AEF+S△AEB=S梯形ABCD,所
以S△DEF+S△AEF= S梯形ABCD,即S△ADE= S梯形ABCD,故④正确;根据已知
条件不能证明∠CDE=60°,故①错误.综上,正确的是②④,故选
D.
12.(2025上海浦东建平中学月考,★★☆)在梯形ABCD中,AD
∥BC,DE⊥BC,垂足为E,BE= (AD+BC).求证:AB=CD.
证明 如图,过点D作DF∥AB,交BC于F,∵AD∥BC,DF∥AB,
∴四边形ABFD为平行四边形,∴BF=AD,AB=DF,∵BE= (AD
+BC),BE=BF+EF,∴BF+EF= (BF+BF+EF+EC),∴EF=EC,∵
DE⊥BC,∴DF=DC,∴AB=CD.
13.【新课标·几何直观】观察图1,直线l1∥l2,点A,B在直线l2上,
点C1,C2,C3,C4在直线l1上,△ABC1,△ABC2,△ABC3,△ABC4的面
积有怎样的关系 请说明理由.
现在我们来探讨以下问题:
(1)若把图2中的四边形ABCD改成一个三角形,并保持面积不
变,可怎样改 请画图说明.
(2)若把图3中的四边形ABCD改成一个以AB为一条底边的梯
形或平行四边形,并保持面积不变,可怎样改 请画图说明.
解析 △ABC1,△ABC2,△ABC3,△ABC4的面积相等.
理由:∵直线l1∥l2,∴△ABC1,△ABC2,△ABC3,△ABC4的底边
AB上的高相等,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3,△ABC4这4个三角形同底等高,∴
△ABC1,△ABC2,△ABC3,△ABC4这些三角形的面积相等.
(1)答案不唯一,如图.
作图过程:①连接AC,②过点D作AC的平行线,与BC的延长线
交于点E,③连接AE,则△ABE就是符合条件的三角形.
(2)答案不唯一.将四边形ABCD改成一个以AB为一条边的平
行四边形,作图过程:如图,第一步:把四边形ABCD等积变成以
AB为一条边的△ABE(连接BD,过C作CE∥BD交AD的延长线
于E,连接BE);
第二步:把△ABE等积变成以AB为底边的平行四边形ABFG
(作出△ABE的高EH,作EH的垂直平分线MN,交AE于点G,交
EH于点O,过B作BF∥AE,交MN于F).
将四边形ABCD改成一个以AB为一条底边的梯形,作图过程:
如图,连接BD,过C作BD的平行线,过D作AB的平行线,两直线
交于点E,连接BE,则梯形ABED与四边形ABCD等积.
(共29张PPT)
第二十一章 四边形
第1课时 矩形的性质
21.5 矩形
矩形的定义
1.【新考向·条件开放题】如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,
AD∥BC,在不添加任何辅助线的前提下,要使四边形ABCD成
为一个矩形,只需添加的一个条件是_____________________
____.
∠A=90°(答案不唯一)
解析 添加的条件可以是∠A=90°(答案不唯一).理由:∵AB∥
DC,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠A=90°,∴
平行四边形ABCD是矩形.
矩形的性质
2.(2025重庆丰都期末)下列选项中,不属于矩形性质的是
( )
A.两组对边分别相等 B.两条对角线相等
C.两条对角线互相垂直 D.邻边互相垂直
C
解析 矩形的两条对角线不一定互相垂直,故选C.
3.(2025河北唐山路北期末)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD
交于点O,若OA=2,则AC+BD=( )
A.4 B.8 C.12 D.16
B
解析 ∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,OA=
2,∴AC=BD=4,∴AC+BD=8,故选B.
4.(2025河北承德兴隆期末)如图,在矩形ABCD中,以BC为边作
等边△BCE,点E恰好在AD边上,若△BCE的边长为4,则△ABE
的面积为( )
A.4 B.2 C.4 D.6
B
解析 ∵△BCE是等边三角形,且边长为4,
∴∠EBC=60°,BE=4,
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠ABC=90°,∴∠ABE=90°-60°=30°,
∴AE= BE=2,∴AB= =2 ,
∴S△ABE= AE·AB= ×2×2 =2 ,故选B.
5.(2024江苏南通中考)如图,直线a∥b,矩形ABCD的顶点A在
直线b上,若∠2=41°,则∠1的度数为 ( )
A.41° B.51° C.49° D.59°
C
解析 如图,延长CB与直线b交于点M,
∵a∥b,∠2=41°,∴∠BMA=∠2=41°.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,
∴∠1+∠BMA=90°,
∴∠1=90°-41°=49°.故选C.
6.(2024陕西中考)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC
上,且BE=CF,求证:AF=DE.
证明 ∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,∠B=∠C=90°,
∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(SAS),∴AF=DE.
7.(2025福建泉州五中模拟)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,
BD相交于点O,AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F.求证:BE=CF.
证明 ∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OC=OB=OD,
∵AE⊥BD,DF⊥AC,∴∠AEO=∠DFO=90°,
在△AOE和△DOF中,
∴△AOE≌△DOF(AAS),∴OE=OF,
∴BO-OE=OC-OF,即BE=CF.
8.(2024河北唐山路南期中)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,
且EC平分∠BED.
(1)判断△BEC的形状,并说明理由.
(2)若AB=1,∠ABE=45°,求DE的长.
解析 (1)△BEC是等腰三角形.理由如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠BCE=∠DEC,
∵EC平分∠BED,∴∠BEC=∠DEC,
∴∠BEC=∠BCE,
∴BE=BC,∴△BEC是等腰三角形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=90°,AB=CD=1,BC=AD,
∵∠ABE=45°,∴∠AEB=45°,
∴AE=AB=1,∴BE= ,
由(1)知BE=BC,∴AD=BC=BE= ,
∴DE=AD-AE= -1.
9.(2025河北保定清苑期末,★★☆)如图,矩形ABCD的两条对
角线相交于点O,E为边BC的中点,连接OE,AE.若∠BDC=60°,
CD=2,则下列结论错误的是 ( )
A.OC=2 B.AD=2 C.OE=1 D.AE=
D
解析 ∵四边形ABCD是矩形,CD=2,
∴AC=BD,OC= AC,OD= BD,AB=CD=2,∠ADC=∠ABC=90
°,AD=BC,∴OC=OD,
∵∠BDC=60°,∴△OCD是等边三角形,
∴OC=OD=2,∴AC=4,
∴AD= =2 ,故选项A,B结论正确,
∵O,E分别为AC,BC的中点,
∴OE为△ABC的中位线,
∴OE= AB=1,故选项C结论正确,
∵E是BC的中点,AD=BC,∴BE= BC= AD= ,
在Rt△ABE中,AE= = = ,故选项D结论
错误,故选D.
10.(2025河北石家庄期末,★★★)如图,在平面直角坐标系中,
矩形ABCD的边AB=6,BC=3.若不改变矩形ABCD的形状和大
小,当矩形顶点A在y轴的正半轴上上下移动时,矩形的另一个
顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动,已知M是边AB的
中点,连接OM,DM.下列判断正确的是 ( )
结论Ⅰ:在移动过程中,OM的长度不变;
结论Ⅱ:当∠OAB=45°时,四边形OMDA是平行四边形.
A
A.结论Ⅰ、Ⅱ都正确 B.结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
C.只有结论Ⅰ正确 D.只有结论Ⅱ正确
解析 ∵M是边AB的中点,AO⊥OB,
∴OM= AB=3,故结论Ⅰ正确.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=3,∠DAM=90°,
∴AD=AM=BM=3,
∴∠AMD=45°,DM= AD=3 ,
当∠OAB=45°时,∠AMD=∠OAB,∴DM∥OA,
∵∠OAB=45°,∴∠OBA=45°,在Rt△AOB中,AB=6,∴OA=OB=
3 ,∴OA=DM.
∴四边形OMDA是平行四边形,故结论Ⅱ正确.故结论Ⅰ、Ⅱ
均正确,故选A.
11.【学科特色·最值问题】(2025四川内江中考,★★☆)如图,
在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E,F分别是边AD,CD上的动点,
连接BE,EF,点G为BE的中点,点H为EF的中点,连接GH,则GH
的最大值是_________.
5
解析 如图,连接BD,BF,
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,
∵AB=8,AD=6,∴BD= =10,
∵点G为BE的中点,点H为EF的中点,
∴BF=2GH,∴当BF的值最大时,GH的值最大,
∵点F是边CD上的点,
∴当点F与点D重合时,BF的值最大,为10,
∴GH的最大值为5.
12.【新课标·推理能力】【新考向·操作探究题】【问题提出】
(1)如图①,在矩形ABCD中,E为BC上一点,将△ABE沿AE折叠
得到△AFE,点F恰好在AD上,则∠BAE的度数为______.
【问题拓展】如图②,在(1)的基础上,将△DCG沿DG折叠,使
得点C恰好落在EF上的点H处.
(2)若AB=5,AD=8,求FH的长.
(3)若AE∥HG,求边AB与BC之
间的数量关系.
解析 (1)45°.详解:由折叠的性质可知∠BAE=∠FAE,∵四边
形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,
∴∠BAE=∠FAE=45°.
(2)∵在矩形ABCD中,AB=5,∴CD=AB=5,
由折叠的性质可知DH=CD=5,
由(1)知∠AFE=∠DFE=90°,∠BAE=∠FAE=45°,
∴AF=EF=AB=5,∴DF=AD-AF=8-5=3,
∴FH= =4.
(3)设HE=a,AB=BE=x,
∵AE∥HG,∴∠BEA=∠EGH=45°,∠EHG=∠AEF=45°,
∴EG=HE=a,∴HG= = a,
由折叠的性质可知,GC=HG= a,HD=CD=AB=x,∠DHG=∠
C=90°,∴∠FDH=∠FHD=45°,
∴HF=FD=x-a,∴x-a=a+ a,
则x=(2+ )a,即AB=(2+ )a,
∵BC=BE+EG+GC,
∴BC=x+a+ a=(2+ )a+a+ a=(3+2 )a,
∴ = =2- ,即AB=(2- )BC.(共11张PPT)
第二十一章 四边形
第1课时 四边形的内角和与外角和
21.1 多边形
多边形及其相关概念
1.如图所示的图形中,多边形的个数为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
A
解析 在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形
叫作多边形.题图中,多边形有三角形、四边形和六边形,共3
个.
2.(2024河北沧州月考)将一个多边形剪去一个角后得到七边
形,则原多边形的边数不可能是( )
A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形
D
解析 ∵将一个多边形剪去一个角后边数增加1或减少1或不
变,∴原多边形的边数为6或7或8.故选D.
3.(2025河北保定期末)从一个八边形的某个顶点出发,分别连
接这个点与其余各顶点,可以分割成_________个三角形.
6
解析 分割成的三角形的个数=多边形的边数-2.∴从一个八
边形的某个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,可以分
割成6个三角形.
四边形的内角与外角的性质
4.【跨化学·酒精灯】(2025广东揭阳普宁期末)图1是化学实
验中利用酒精灯给试管中液体加热的实验装置图,图2是其简
化示意图.若∠1=45°,AB⊥BC,则∠2的度数为 ( )
A.140° B.135° C.130° D.145°
B
解析 由条件可知∠ABC=∠ADC=90°,
∵∠1=45°,∠1+∠ABC+∠2+∠ADC=360°,
∴∠2=360°-90°-90°-45°=135°,故选B.
5.(2025广西南宁邕宁期中)如图所示的是某学校的电动伸缩
门,电动门能伸缩的几何原理是____________________.
四边形的不稳定性
解析 电动门能伸缩的几何原理是四边形的不稳定性.
6.(2025河北廊坊一模,★★☆)如图,学校有一块四边形试验田
被分割成A,B两块,则x-y=__________.
0°
解析 如图所示.
∵∠EDG+∠DGF+∠GFE+∠DEF=360°,∠EDG=180°-75°=1
05°,∠DGF=180°-x,∠GFE=75°,
∴105°+180°-x+75°+y=360°,
∴y-x=360°-105°-180°-75°=0°,
即x-y=0°.
7.(★★☆)在四边形ABCD中,∠A+∠D=160°.
(1)如图,有一块直角三角尺XYZ放置在四边形ABCD的边BC上,
三角尺XYZ的两条直角边XY,XZ分别经过点B,C.若三角尺XYZ的直角顶点X在四边形ABCD的内部,则∠XBC+∠XCB=______.
(2)若改变直角三角尺XYZ的位置,使三角尺XYZ的两条直角
边XY,XZ仍然分别经过点B,C,直角顶点X还在四边形ABCD的
内部,那么∠ABX+∠DCX的大小是否变化 若变化,请举例说
明;若不变,请求出∠ABX+∠DCX的大小.
解析 (1)90°.
(2)不会变化.
在△XBC中,∵∠X=90°,∴∠XBC+∠XCB=90°.在四边形
ABCD中,∵∠A+∠D+∠ABC+∠DCB=360°,∠A+∠D=160°,
∴∠ABC+∠DCB=360°-160°=200°,∴∠ABX+∠DCX=∠ABC
+∠DCB-(∠XBC+∠XCB)=200°-90°=110°.(共33张PPT)
第二十一章 四边形
第2课时 菱形的判定
21.6 菱形
菱形的判定
1.(2025河北邢台期中)依据所标数据,下列四边形不一定为菱
形的是 ( )
C
解析 选项A,∵四边形的对角线互相平分,∴四边形是平行
四边形,∵32+42=52,∴由勾股定理的逆定理推出四边形的对角
线互相垂直,∴四边形是菱形,故A不符合题意;
选项B,∵四边形的四条边相等,∴四边形是菱形,故B不符合
题意;
选项C,四边形的对角线互相平分,只能判定四边形是平行四
边形,不能判定四边形是菱形,故C符合题意;
选项D,由同旁内角互补,得到四边形的两组对边平行,∴四边
形是平行四边形,又∵四边形的邻边相等,∴四边形是菱形,故
D不符合题意.故选C.
2.(2025河北廊坊期末)四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,
BD相交于点O.下列条件中,不能判定 ABCD为菱形的是
( )
A.AB=AD B.AC⊥BD
C.∠BAD=90° D.∠ADB=∠CDB
C
解析 选项A,邻边相等的平行四边形是菱形,故选项A不符合
题意;
选项B,对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故选项B不符合
题意;
选项C,有一个角是直角的平行四边形是矩形,
不能判定 ABCD为菱形,故选项C符合题意;
选项D,如图,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
又∵∠ADB=∠CDB,∴∠CDB=∠CBD,∴BC=DC,
∴平行四边形ABCD是菱形,故选项D不符合题意.
故选C.
3.【新考向·条件开放题】(2025河北廊坊月考)如图,在
ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在不添加辅助线的情况下,
请你添加一个条件:______________________,使 ABCD是菱
形.
AB=AD(答案不唯一)
解析 答案不唯一,若添加条件:AB=AD,则根据有一组邻边相
等的平行四边形是菱形,可得 ABCD为菱形.
4.(2025河南郑州模拟)将一张矩形纸片对折再对折(如图),然
后沿着图中的虚线剪下,得到①②两部分,将①展开后得到的
平面图形是_______.
菱形
解析 动手操作可知,将①展开后的平面图形是四边形,且四
边形的对角线互相垂直平分,故将①展开后得到的平面图形
是菱形.故答案为菱形.
5.(2025江苏扬州中考)如图,在 ABCD中,对角线AC的垂直平
分线与边AD,BC分别相交于点E,F.求证:四边形AFCE是菱形.
证明 ∵EF垂直平分AC,
∴EA=EC,FA=FC,OA=OC,∠AOE=∠COF=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,
在△OAE和△OCF中,
∴△OAE≌△OCF(ASA),
∴EA=FC,∴EA=EC=FA=FC,
∴四边形AFCE是菱形.
6.【学科特色·多解法】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O,D分
别是边AC,AB的中点,过点C作CE∥AB交DO的延长线于点E,
连接AE.求证:四边形AECD是菱形.
证明 【证法一】∵O是AC的中点,∴OA=OC,
∵CE∥AB,∴∠DAO=∠ECO.
在△AOD和△COE中,
∴△AOD≌△COE(ASA),∴AD=CE.
又∵CE∥AB,∴四边形AECD是平行四边形.
∵D是AB的中点,∠ACB=90°,
∴CD= AB=AD,∴四边形AECD是菱形.
【证法二】∵O是AC的中点,∴OA=OC,
∵CE∥AB,∴∠DAO=∠ECO,
在△AOD和△COE中,
∴△AOD≌△COE(ASA),∴AD=CE.
又∵CE∥AB,∴四边形AECD是平行四边形.
∵O,D分别是边AC,AB的中点,∴OD∥CB,
∴∠AOD=∠ACB=90°,∴AC⊥ED,
∴四边形AECD是菱形.
7.(2025天津模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AB=AD,E,F是
对角线BD上的点,且BE=DF,连接AE,CF,AF,CE.求证:四边形
AFCE是菱形.
证明 如图,连接AC交BD于点O,
∵AB=AD,四边形ABCD是平行四边形,
∴平行四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO,
∵BE=DF,∴OB-BE=OD-DF,即EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
又∵AC⊥BD,∴平行四边形AFCE是菱形.
8.(2024河北石家庄模拟,★★☆)如图,已知在 ABCD中,AD>
AB,∠ABC为锐角,将△ABC沿对角线AC向右平移,得到△A'B'
C',连接AB'和C'D,若使四边形AB'C'D是菱形,需添加一个条件,
现有三种添加方案,方案甲:AB'=DC';方案乙:B'D⊥AC';方案
丙:∠A'C'B'=∠A'C'D.其中正确的方案是 ( )
B
A.甲、乙、丙 B.乙、丙
C.甲、乙 D.只有甲
解析 根据题意可知AD=BC=B'C',AD∥BC∥B'C',∴四边形
AB'C'D是平行四边形.方案甲:由AB'=C'D不能判定四边形AB'
C'D是菱形;方案乙:由B'D⊥AC'可以判定平行四边形AB'C'D
是菱形;方案丙:∵AD∥B'C',∴∠DAC'=∠A'C'B',∵∠A'C'B'=
∠A'C'D,∴∠DAC'=∠AC'D,∴AD=C'D,∴平行四边形AB'C'D
是菱形.综上,正确的方案是乙和丙.故选B.
9.(2025北京二十中教育集团期中,★★☆)如图,在平行四边形
ABCD中,AD=2,∠D=120°,AC平分∠DAB,P是对角线AC上的
一个动点,点Q是AB边上的一个动点,则PB+PQ的最小值是___.
解析 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥CD,所以∠
DCA=∠BAC.因为AC平分∠DAB,所以∠DAC=∠BAC,所以∠
DCA=∠DAC,所以DA=DC,所以平行四边形ABCD是菱形.如
图,连接PD,DQ,过点D作DE⊥AB于点E.由菱形的性质可得B,
D关于AC对称,则PD=PB,所以PB+PQ=PD+PQ≥DQ≥DE,故
DE的长即为PB+PQ的最小值.因为∠ADC=120°,所以∠BAD=
60°.在Rt△ADE中,因为AD=2,∠ADE=90°-∠EAD=30°,所以
AE= AD=1,由勾股定理,得DE= = = ,所以
PB+PQ的最小值为 .
10.(2025北京二中期末,★★☆)如图,在△ABC中,AB=BC,过A
点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D,连接CD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)连接AC与BD交于点O,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E
点,连接EO,若EO= ,BE=4,求CE的长.
解析 (1)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,
∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,
∵AB=BC,∴AD=BC,
又∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴BO=DO,BC=CD,
∵DE⊥BE,∴∠BED=90°,
∴BD=2OE=2 ,∴DE= =2,
设CE=x,则CD=BC=BE-CE=4-x,
在Rt△CDE中,由勾股定理得CD2=CE2+DE2,即(4-x)2=x2+22,解
得x= ,∴CE的长为 .
11.(2024河北石家庄藁城期末,★★☆)如图,AE∥BF,AC平分
∠BAD,交BF于点C,BD平分∠ABC,交AE于点D,连接CD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形.
(2)若AC=12,BD=16,求平行线AE与BF间的距离.
解析 (1)证明:∵AE∥BF,
∴∠ADB=∠DBC,∠DAC=∠BCA.
∵AC,BD分别平分∠BAD,∠ABC,
∴∠DAC=∠BAC,∠ABD=∠DBC,
∴∠BAC=∠BCA,∠ABD=∠ADB,
∴AB=BC,AB=AD,∴AD=BC.∵AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)如图,过点D作DG⊥BF于点G,
∵四边形ABCD是菱形,AC=12,BD=16,
∴AC⊥BD,OC= AC=6,OB= BD=8,
由勾股定理得,BC= =10,
∵S菱形ABCD= AC·BD=DG·BC,
∴ ×12×16=10DG,解得DG= ,
∴平行线AE与BF间的距离为 .
12.【新课标·推理能力】如图,已知△ABC和△DEF都是边长
为10 cm的等边三角形,且B,D,C,E在同一直线上,连接AD,CF,
已知BD=3 cm,若△ABC沿着BE方向以1 cm/s的速度运动,设
△ABC的运动时间为t s.
(1)当t为何值时,四边形ADFC是菱形
(2)当t为何值时,四边形ADFC是矩形 并求
其面积.
解析 (1)∵△ABC和△DEF都是等边三角形,∴AC=DF,∠
ACD=∠FDE=60°,∴AC∥DF,∴四边形ADFC是平行四边形,
当t=3时,点B与点D重合,∴AD=DF,∴四边形ADFC是菱形.故
当t=3时,四边形ADFC是菱形.
(2)由(1)知四边形ADFC为平行四边形,当t=13时,点B与点E重
合,此时A,E,F三点在同一条直线上,∴AF=CD=20 cm,∴四边
形ADFC是矩形,∴∠CFD=90°,∴CF= =10 (cm),
∴S矩形ADFC=10×10 =100 (cm2).故当t=13时,四边形ADFC是
矩形,其面积为100 cm2.(共23张PPT)
专项突破9 四边形中的折叠问题
平行四边形中的折叠问题
1.(2025河北石家庄新华期末)如图,将平行四边形ABCD沿BF
折叠,使点C恰好落在边AD上的点E处,若此时将△ABE沿BE
进行折叠,点A恰好落在点F处,则平行四边形ABCD的较小内
角为( )
A.36° B.30° C.72° D.60°
C
解析 如图,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∠C=∠A,
∴∠A+∠D=180°=∠3+∠4+∠D,
∴∠A=∠3+∠4,
由折叠得∠1=∠2=∠C=∠A,∠6=∠5=∠A,
∴∠3=180°-∠1-∠2=180°-2∠A,∠4=180°-∠5-∠6=180°-2∠
A,
∴∠A=180°-2∠A+180°-2∠A,∴∠A=72°,
∴∠ABC=∠D=180°-∠A=108°,
∴平行四边形ABCD的较小内角为72°.故选C.
2.(2025四川成都期末)如图,在平行四边形ABCD中,将△ADC
沿AC翻折后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处,若∠B=60
°,AB=2,则平行四边形ABCD的面积为__________.
4
解析 ∵将△ADC沿AC翻折后,点D恰好落在DC的延长线上
的点E处,∴∠ACE=∠ACD=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
∴∠BAC=∠ACD=90°,
∵∠B=60°,∴∠ACB=30°,∴BC=2AB=4,
在Rt△ABC中,AC= = =2 ,
∴平行四边形ABCD的面积为2×2 =4 .
矩形中的折叠问题
3.(2025江苏无锡月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的
坐标为(10,8),过点A作AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,点D在
AB上.将△CAD沿直线CD翻折,点A恰好落在x轴上的点E处,
则点D的坐标为______________.
(10,3)
解析 ∵AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,
∴∠ABO=∠ACO=90°,
又∵∠COB=90°,∴四边形ACOB是矩形,
∵A(10,8),∴OB=CA=10,OC=AB=8,
由折叠可得CE=CA=10,DE=DA,
在Rt△COE中,OE= = =6,
∴EB=10-6=4.
设DB=m,则DE=8-m,
在Rt△DBE中,DE2=DB2+EB2,
即(8-m)2=m2+42,解得m=3,
∴点D的坐标是(10,3).
4.【学科特色·方程思想】(2025湖南长沙月考)如图,将矩形
ABCD沿着对角线BD折叠,使点C落在C'处,BC'交AD于点E.
(1)若∠DBC=25°,求∠ADC'的度数.
(2)若AB=4,AD=8,求△BDE的面积.
解析 (1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=25°,
由折叠可知∠BDC'=∠BDC=90°-25°=65°,
∴∠ADC'=∠BDC'-∠ADB=65°-25°=40°.
(2)由折叠可知∠CBD=∠EBD,
∵AD∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB,
∴BE=DE,设DE=BE=x,则AE=8-x,
∵在Rt△ABE中,由勾股定理得AB2+AE2=BE2,
∴42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴DE=5,
∴S△BDE= DE·AB= ×5×4=10.
菱形中的折叠问题
5.(2025河北邢台期末)如图,在菱形纸片ABCD中,∠A=60°,点E
在BC边上,将菱形纸片ABCD沿DE折叠,点C的对应点为C',且
DC'垂直平分AB,则∠DEC的大小为___________.
75°
解析 如图,设DC'交AB于点F,
∵DC'垂直平分AB,∴∠AFD=90°,
∵四边形ABCD是菱形,∠A=60°,
∴CD∥AB,∠C=∠A=60°,∠ADF=90°-∠A=30°,
∴∠ADC=180°-∠A=120°,
∴∠CDC'=∠ADC-∠ADF=120°-30°=90°,
由折叠得∠CDE=∠C'DE= ∠CDC'=45°,
∴∠DEC=180°-∠C-∠CDE=180°-60°-45°=75°.故答案为75°.
6.【学科特色·方程思想】(2025湖北武汉江夏期中)如图,已知
菱形ABCD的边长为3,∠A=60°,点E,F分别在边AB,AD上.若将
△AEF沿直线EF翻折,使得点A恰好落在CD边的中点G处,则
AF的长为___________.
2.1
解析 过点F作FH⊥CD,交CD的延长线于点H,如图所示,∵
四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,
∴∠HDF=∠A=60°,
∵FH⊥CH,∴∠FHD=90°.
∴∠HFD=90°-60°=30°,
设HD=x,则DF=2x,∴FH= x,AF=GF=3-2x,
∵G为CD的中点,∴DG= DC=1.5,∴HG=x+1.5,
∴在Rt△FGH中,(x+1.5)2+( x)2=(3-2x)2,
解得x=0.45,∴AF=3-0.45×2=2.1.
正方形中的折叠问题
7.(2025广东茂名电白期末)如图,正方形纸片ABCD的边长为1
0,E是边CD上一点,连接AE,折叠该纸片,使点A落在AE上的G
点处,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上,若DE=4,则
GE的长为_________.
解析 如图,设AE与BF的交点为H,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=10,∠BAD=∠D=90°,
∴∠ABF+∠AFB=90°,
易知△ABF≌△GBF,BF⊥AG,AH=GH,
∴∠DAE+∠AFH=90°,∴∠ABF=∠DAE,
在△ABF和△DAE中,
∴△ABF≌△DAE,∴AF=DE=4,BF=AE,
在Rt△ABF中,BF= = =2 ,∴AE=2 ,
∵S△ABF= AB·AF= BF·AH,
∴AH= = ,
∴GE=AE-2AH=2 -2× = .
8.(2025广东中山期中改编)如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E
在边CD上,且CE=2DE,将△ADE沿AE翻折得到△AFE,延长
EF交边BC于点G,连接AG,CF,求BG的长.
解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC=DC=AB=6,∠B=
∠D=90°,由翻折得AF=AD,∠AFE=∠D=90°,∴∠AFG=90°=
∠B,AF=AB,
在Rt△ABG和Rt△AFG中,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),∴BG=GF,∵CE=2DE,∴DE=2,
CE=4,设BG=x,则CG=6-x,GE=GF+EF=BG+DE=x+2,∵在Rt△
ECG中,由勾股定理得CG2+CE2=EG2,∴(6-x)2+42=(x+2)2,解得x
=3,∴BG=3.(共24张PPT)
第二十一章 四边形
21.4 三角形的中位线
三角形的中位线
1.下列说法正确的是 ( )
A.三角形的中位线是射线
B.三角形的中位线是线段
C.三角形的中位线与三角形的中线是同一条线段
D.任意一个三角形只有一条中位线
B
解析 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线,∴
三角形的中位线是线段,而不是射线,故选项A不符合题意,选
项B符合题意;连接三角形的顶点和它对边中点的线段叫作三
角形的中线,∴三角形的中位线、中线不是同一条线段,故选
项C不符合题意;任意三角形都有三条中位线,故选项D不符合
题意.故选B.
2.(2025河北邯郸四模)如图,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是
线段AB,CD,AC,BD的中点,则四边形EGFH的周长 ( )
A.只与AB,CD的长有关
B.只与AD,BC的长有关
C.只与AC,BD的长有关
B
D.与四边形ABCD各边的长都有关
解析 ∵点E,F,G,H分别是线段AB,CD,AC,BD的中点,∴四边
形EGFH的周长=FG+GE+EH+FH= AD+ BC+ AD+ BC=
AD+BC,故选B.
3.(2025河北廊坊霸州期末)在一次实践活动课上,嘉嘉想测量
校园内假山B,C两点间的距离.如图,他先在假山的一侧选定一
点A,分别取AB,AC的中点D,E,并测得DE=6 m,则假山B,C两点
间的距离是 ( )
A.4 m B.8 m C.12 m D.16 m
C
解析 ∵点D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE是△ABC的中位线,
∴BC=2DE=2×6=12(m),故选C.
4.【学科特色·教材变式】(2025广东中考)如图,点D,E,F分别
是△ABC各边的中点,∠A=70°,则∠EDF= ( )
A.20° B.40° C.70° D.110°
C
解析 ∵点D,E分别是BC,AB的中点,∴DE是△ABC的中位
线,∴DE∥AC,∴∠DEB=∠A=70°,同理可得DF∥AB,∴∠
EDF=∠DEB=70°,故选C.
5.(2025安徽合肥四十五中期末)如图,等边三角形ABC的边长
是4,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF= BC,连接
DE,CD,EF.
(1)请判断四边形CDEF的形状,并说明理由.
(2)求EF的长.
解析 (1)四边形CDEF为平行四边形.
理由:∵D,E分别为AB,AC的中点,∴DE∥CB,DE= BC,∴DE
∥CF.∵CF= BC,∴DE=CF,
∴四边形CDEF为平行四边形.
(2)∵四边形CDEF为平行四边形,∴CD=EF.∵D为AB的中点,
三角形ABC为等边三角形,AB=BC=4,∴CD⊥AB,BD=2,∴EF=
CD= =2 .
6.(2025山东淄博沂源期末)如图,在△ABC中,ED,EF是中位线,
连接EC和DF,交于点O.
(1)求证:OE= EC.
(2)若OD=2,求AB的长.
解析 (1)证明:∵ED,EF是中位线,∴ED∥FC,EF∥DC,∴四
边形EFCD是平行四边形,∴OE= EC.
(2)由(1)得四边形EFCD是平行四边形,∴DF=2OD=4,∵ED,
EF是△ABC的中位线,∴点D,F分别是AC,BC的中点,∴DF是
△ABC的中位线,∴DF= AB,∴AB=2DF=8.
7.(2024山东中考,★★☆)如图,点E为 ABCD的对角线AC上
一点,AC=5,CE=1,连接DE并延长至点F,使得EF=DE,连接BF,
则BF的长为( )
A. B.3 C. D.4
B
解析 如图,连接BD交AC于O.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以OD=OB.因为EF=DE,所
以OE是△BFD的中位线,所以OE= BF,所以BF=2OE.因为AC
=5,CE=1,所以OE=OC-CE= AC-1= ,所以BF=2OE=3,故选B.
8.【新考向·规律探究题】(2025河北邯郸广平期末,★★☆)如
图,△A1B1C1的周长为1,点A2,B2,C2分别是边B1C1,A1C1,A1B1的中
点;点A3,B3,C3分别是边B2C2,A2C2,A2B2的中点;……,依此类推,则
△A2 025B2 025C2 025的周长是 ( )
A. B. C. D.
A
解析 ∵点A2,B2,C2分别是边B1C1,A1C1,A1B1的中点,
∴B2C2,A2C2,A2B2分别等于B1C1,A1C1,A1B1的一半,
∴△A2B2C2的周长为 ×1= ,
同理可得:△A3B3C3的周长为 × = ,
……
∴△AnBnCn的周长为 ,
∴△A2 025B2 025C2 025的周长为 = ,故选A.
9.(2025天津东丽期中,★★☆)如图,E为平行四边形ABCD的
DC边的延长线上一点,且CE=DC,连接AE,分别交BC,BD于点
F,G,连接AC交BD于点O,连接OF.判断AB与OF的关系,并证明
你的结论.
解析 AB∥OF,AB=2OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BA=DC,BA∥DC,AO=CO,∴∠BAF=∠E,∵CE=DC,∴BA=
CE,在△AFB和△EFC中,∠AFB=∠EFC,∠BAF=∠E,BA=CE,
∴△AFB≌△EFC,∴BF=CF,∵O,F分别是AC,BC的中点,∴
OF是△ACB的中位线,∴AB∥OF,AB=2OF.
10.【新课标·推理能力】(2025河北衡水期末)【三角形中位
线定理】如图1,已知在△ABC中,点D,E分别是边AB,AC的中
点,直接写出DE和BC的关系.
【应用】
如图2,在四边形ABCD中,点E,F分别是边AB,AD的中点,若BC=
5,CD=3,EF=2,∠AFE=45°,求∠ADC的度数.
【拓展】
如图3,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点E,点M,N分别为
AD,BC的中点,MN分别交AC,BD于点F,G,EF=EG.求证:BD=
AC.
解析 【三角形中位线定理】DE∥BC,DE= BC.
【应用】如图,连接BD,
∵E,F分别是边AB,AD的中点,
∴EF∥BD,BD=2EF=4,∴∠ADB=∠AFE=45°.
∵BC=5,CD=3,∴BD2+CD2=25,BC2=25,
∴BD2+CD2=BC2,∴∠BDC=90°,
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°.
【拓展】证明:如图,取DC的中点H,连接MH,NH.
∵M,H分别是AD,DC的中点,
∴MH是△ADC的中位线,∴MH∥AC,MH= AC,
同理可得NH∥BD,NH= BD.
∵EF=EG,∴∠EFG=∠EGF,
∵MH∥AC,NH∥BD,
∴∠EFG=∠HMN,∠EGF=∠HNM,
∴∠HMN=∠HNM,∴NH=MH,∴BD=AC.
