(共23张PPT)
第十八章 平面直角坐标系
第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征
18.2 平面直角坐标系
平面直角坐标系中点的坐标特征
1.(2025河北秦皇岛第七中学期中)在平面直角坐标系中,与点
(3,-2)在同一象限的点为 ( )
A.(-1,2) B.(0,-3) C.(1,-4) D.(-2,1)
C
解析 点(3,-2)在第四象限,点(-1,2)在第二象限,点(0,-3)在y轴
上,点(1,-4)在第四象限,点(-2,1)在第二象限,故选C.
2.(2024四川成都中考)在平面直角坐标系xOy中,点P(1,-4)关
于原点对称的点的坐标是 ( )
A.(-1,-4) B.(-1,4) C.(1,4) D.(1,-4)
B
解析 两个点关于原点对称时,它们的横、纵坐标都互为相
反数,所以点P(1,-4)关于原点对称的点的坐标是(-1,4).故选B.
3.(2025河北石家庄期末)已知点A(m-1,m-2)在第三象限,则m的
取值范围是 ( )
A.m<0 B.m<1 C.m<2 D.1
B
解析 ∵点A在第三象限,∴其横坐标m-1<0,纵坐标m-2<0,解
得m<1,m<2,故m的取值范围是m<1,故选B.
4.若点A(a+1,b-2)在第二象限,则点B(-a,b+1)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
A
解析 由A(a+1,b-2)在第二象限,得a+1<0,b-2>0,解得a<-1,b>
2.∴-a>1,b+1>3,故点B(-a,b+1)在第一象限,故选A.
5.(2025河北石家庄赵县期中)在平面直角坐标系中,点P(a+1,
+1)在第______象限.
一
解析 ∵ 有意义,∴a≥0,∴a+1>0, +1>0,
∴点P(a+1, +1)在第一象限,故答案为一.
6.【新考向·结论开放题】(2025四川德阳中考)△ABC在平面
直角坐标系中,已知A(1,0),B(3,0),如果△ABC的面积为1,那么
点C的坐标可以是____________________.(只需写出一个即
可)
(2,1)(答案不唯一)
解析 ∵A(1,0),B(3,0),∴AB=2,
∵△ABC的面积为1,∴ AB×|yC|=1,
∴|yC|=1,∴yC=±1,∴点C的坐标可以是(2,1),
故答案为(2,1).(答案不唯一,纵坐标绝对值为1即可)
7.(2025河北邯郸育华中学期中)在平面直角坐标系中,已知点
M(m,2m+3).
(1)若点M在x轴上,求点M的坐标.
(2)已知点N的坐标为(-3,2),且直线MN∥y轴,求点M的坐标.
解析 (1)∵点M(m,2m+3)在x轴上,
∴2m+3=0,∴m=- ,∴点M的坐标为 .
(2)∵点N的坐标为(-3,2),且直线MN∥y轴,
∴点M的横坐标为-3,即m=-3,
∴2m+3=-3×2+3=-3,
∴点M的坐标为(-3,-3).
8.【学科特色·方程思想】在平面直角坐标系中,点A(-1,a+4),B
(b,2a-3).
(1)当点A在第二象限的角平分线上时,求a的值.
(2)当点A和点B关于y轴对称时,求点B所在的象限位置.
解析 (1)∵点A(-1,a+4)在第二象限的角平分线上,∴-1+a+4=
0,解得a=-3.
(2)由题意得 解得
∴B点的坐标为(1,11),故点B在第一象限.
9.(2025河北唐山路南月考,★★☆)如图,在平面直角坐标系
中,点A(-6,0),点B(0,8),以点A为圆心,AB的长为半径画弧,交x轴
正半轴于点C,则点C的坐标为 ( )
A.(0,4) B.(4,0) C.(0,10) D.(10,0)
B
解析 ∵点A(-6,0),点B(0,8),∴OA=6,OB=8,
在Rt△AOB中,由勾股定理得AB= = =10,∴
AC=AB=10,∴OC=10-6=4,
∴点C的坐标为(4,0),故选B.
10.(2025河北秦皇岛抚宁期中,★★☆)在平面直角坐标系中,
点A的坐标是(-2,-3),点B是第四象限内一点,且点B到x轴的距
离是3,到y轴的距离是1,则下列说法错误的是 ( )
A.AB⊥y轴
B.点B的坐标是(3,1)
C.点A到y轴的距离是2
D.点B到原点的距离大于3
B
解析 根据点B到x轴的距离是3,到y轴的距离是1,且在第四象
限,可得B(1,-3),因为点A的坐标为(-2,-3),所以AB⊥y轴,选项A
说法正确,选项B说法错误;
因为点A的坐标是(-2,-3),所以点A到y轴的距离是2,选项C说法
正确;
D.点B到原点的距离为 = >3,选项D说法正确.故选B.
11.【新考向·新定义题】(2024河北中考,★★☆)在平面直角
坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点
的“特征值”.如图,长方形ABCD位于第一象限,其四条边分
别与坐标轴平行,则该长方形四个顶点中“特征值”最小的
是 ( )
B
A.点A B.点B C.点C D.点D
解析 因为“特征值”为一个点的纵坐标与横坐标的比值,
所以要使“特征值”最小,则纵坐标取最小值,横坐标取最大
值,根据图形可知长方形四个顶点中“特征值”最小的是
点B.故选B.
12.【新考向·新定义题】(★★☆)在平面直角坐标系中,对于
点P(x,y),若点Q的坐标为(ax+y,x+ay),则称点Q是点P的“a阶
智慧点”(a为常数,且a≠0).例如,点P(1,4)的“2阶智慧点”为
点Q(2×1+4,1+2×4),即点Q(6,9).
(1)点A(-1,-2)的“3阶智慧点”的坐标为______.
(2)若点B(2,-3)的“a阶智慧点”在第三象限,求a的整数解.
(3)若点C(m+2,1-3m)的“-5阶智慧点”到x轴的距离为1,求m
的值.
解析 (1)(-5,-7).
(2)∵点B的坐标为(2,-3),
∴点B的“a阶智慧点”为(2a-3,2-3a).
又∵点B(2,-3)的“a阶智慧点”在第三象限,
∴ 解得 (3)∵点C的坐标为(m+2,1-3m),
∴点C的“-5阶智慧点”的坐标为(-8m-9,16m-3).
∵点C的“-5阶智慧点”到x轴的距离为1,
∴|16m-3|=1,∴16m-3=1或16m-3=-1.
解得m= 或m= .
13.【新课标·模型观念】阅读理解:
我们知道,任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称,在
平面直角坐标系中,任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2)的对称中心的坐
标为 .
观察应用:
(1)如图,在平面直角坐标系中,若点P1(0,-1),P2(2,3)的对称中心
是点A,则点A的坐标为______.
(2)如图,在(1)的基础上,已知点B(-1.6,2.1),C(-1,0).有一电子青
蛙从点P1处开始依次关于点A,B,C做循环对称跳动,即第一次
跳到点P1关于点A的对称点P2处,第二次跳到点P2关于点B的
对称点P3处,第三次跳到点P3关于点C的对称点P4处,第四次跳
到点P4关于点A的对称点P5处,……,则点P3,P8的坐标分别为____
_____,______.
拓展延伸:
(3)在(2)的基础上,求出点P2 018的坐标,并直接写出在x轴上与点
P2 018,点C构成等腰三角形的点的坐标.
解析 (1)(1,1).
(2)(-5.2,1.2);(2,3).
(3)∵P1(0,-1)→P2(2,3)→P3(-5.2,1.2)→P4(3.2,-1.2)→P5(-1.2,3.2)
→P6(-2,1)→P7(0,-1)→P8(2,3)…,∴P7的坐标和P1的坐标相同,P
8的坐标和P2的坐标相同,即坐标以6个为一周期循环出现.
∵2 018÷6=336……2,
∴P2 018的坐标与P2的坐标相同,∴P2 018(2,3).
在x轴上与点P2 018、点C构成等腰三角形的点的坐标为(-1-3
,0)或(3 -1,0)或(2,0)或(5,0).(共26张PPT)
第十八章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.(2025福建漳州华侨中学期中)台风是破坏性很大的自然灾
害,气象台为了预报台风,首先应确定台风中心的位置.下列说
法能确定台风中心位置的是 ( )
A.在沿海地区
B.距离漳州500 km
C.台湾省以南的洋面上
D.北纬14.3°,东经126.5°
D
解析 A.在沿海地区,表示一个区域,不能确定台风中心位置,
则此项不符合题意;
B.距离漳州500 km,没有方向,不能确定台风中心位置,则此项
不符合题意;
C.台湾省以南的洋面上,表示一个区域,不能确定台风中心位
置,则此项不符合题意;
D.北纬14.3°,东经126.5°,表示一个点,能确定台风中心位置,则
此项符合题意.故选D.
2.(2025河南商丘夏邑期中)三角形ABC中,点A和点C的位置如
图所示,则点B的位置正确的是 ( )
A.(-2,3) B.(1,3)
C.(-3,1) D.(-3,-1)
D
解析 结合点A和点C的坐标,得AC=2-(-3)=5,
即每个小方格的边长为1,
故AB=3,∵2-3=-1,
∴点B的纵坐标为-1,
∵点B与点A在同一条竖直的直线上,
∴A,B的横坐标相同,即点B的横坐标为-3,
故点B的位置为(-3,-1),故选D.
3.(2025河北秦皇岛抚宁期中)在平面直角坐标系中,点A(4-t,t-
2)在坐标轴上.甲、乙、丙的判断如下:
甲:t可能是4;乙:t可能是2;丙:点A距离原点2个单位长度.其中
判断正确的是 ( )
A.甲和丙 B.乙和丙
C.甲和乙 D.甲、乙、丙
D
解析 当点A在x轴上时,纵坐标t-2=0,解得t=2,此时点A的坐标
为(2,0),到原点的距离为2个单位长度,乙正确;
当点A在y轴上时,横坐标4-t=0,解得t=4,此时点A的坐标为(0,
2),到原点的距离为2个单位长度,
甲正确,丙正确.
综上,甲、乙、丙的判断均正确.故选D.
4.(2025河北石家庄新华校级月考)如图,三架飞机A,B,C保持
编队飞行(即在同一平面内,三架飞机相对位置保持不变).某
时刻在坐标系中的坐标分别为(1,-1),(3,-1),(2,-3).不久后,飞机
A飞到A'(-3,4)位置,则飞机B对应的位置B'的坐标为 ( )
C
A.(2,-2) B.(-2,2)
C.(-1,4) D.(4,-1)
解析 ∵A(1,-1),A'(-3,4),
∴飞机A飞到A'位置向左平移4个单位长度,向上平移5个单位
长度,
∵B(3,-1),∴B'(-1,4),故选C.
5.【新考向·生活实际】(2025山东威海中考)某广场计划用如
图①所示的A,B两种瓷砖铺成如图②所示的图案.第一行、第
一列瓷砖的位置记为(1,1),与其相邻的右边瓷砖的位置记为
(2,1),与其相邻的上面瓷砖的位置记为(1,2),按照这样的规律,
下列说法正确的是 ( )
B
A.(2 024,2 025)位置是B种瓷砖
B.(2 025,2 025)位置是B种瓷砖
C.(2 026,2 026)位置是A种瓷砖
D.(2 025,2 026)位置是B种瓷砖
解析 A种瓷砖的位置:(1,2),(1,4),(1,6)…,(2,1),(2,3),(2,5)…,
B种瓷砖的位置:(1,1),(1,3),(1,5)…,(2,2),(2,4),(2,6)…,
由此可得A种瓷砖的坐标规律为(单数,双数),(双数,单数);B种
瓷砖的坐标规律为(单数,单数),(双数,双数),
∴(2 024,2 025)位置是A种瓷砖,(2 025,2 025)位置是B种瓷砖,
(2 026,2 026)位置是B种瓷砖,(2 025,2 026)位置是A种瓷砖,故
只有B选项符合题意.故选B.
6.(2025四川绵阳涪城区三模)如图,在平面直角坐标系中,原点
O是等边三角形ABC的中心(即OA=OB=OC).若点A的坐标为
(0,3),将△ABC绕着点O逆时针旋转120°,使点A落在点A'处,则
点A'的坐标为 ( )
A.(0,3) B.
B
C. D.(-3,3 )
解析 如图,连接OB,过点B作BH⊥x轴,
∵点A的坐标为(0,3),∴AO=BO=3,
易得∠BAO=30°,则∠OBA=30°,∴∠AOB=120°,
∴A',B重合,∠HOB=120°-90°=30°,
∴BH= OB= ,∴OH= = ,
∴B ,∴A' ,故选B.
二、填空题(每小题6分,共24分)
7.(2025山东烟台一模)如图,线段OA,OB,OC的长度分别是2,3,
4,∠AOD=25°,且OB平分∠AOC.若将点A表示为(2,25°),点C表
示为(4,105°),则点B可表示为_______________.
(3,65°)
解析 ∵∠AOD=25°,OA=2,将点A表示为(2,25°),点C表示为
(4,105°),∴∠COD=105°,
∴∠AOC=105°-25°=80°,
∵OB平分∠AOC,∴∠AOB= ∠AOC=40°,
∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=40°+25°=65°,
∵OB=3,∴点B可表示为(3,65°).
8.(2024山西太原二模)“计里画方”是中国古代一种按比例
尺绘制地图的传统方法,绘图时先在图上布满方格,然后按方
格绘制地图内容.小华按照“计里画方”的方法,绘制了蒙山
大佛旅游区的局部示意图(如图).若该图中“开化寺”与“蒙
山晓月”两处景点的坐标分别为(-1,-2)、(1,-2),则景点“蒙
山氧吧”的坐标为______________.
(-2,2)
解析 由题意建立如图所示的平面直角坐标系.
∴“蒙山氧吧”的坐标为(-2,2).
9.(2025河北唐山路北期中改编)在平面直角坐标系中,点P(2m
-1,3)在第二象限,且点P到x轴和y轴的距离相等,则m=_______.
-1
解析 ∵在平面直角坐标系中,点P(2m-1,3)在第二象限,∴2m
-1<0,
∵点P到x轴和y轴的距离相等,
∴|2m-1|=|3|,
∴-(2m-1)=3,∴m=-1.
10.(2025河北唐山玉田期中节选)在平面直角坐标系中,点A的
坐标为(2a-4,3+a).若点B的坐标为(2,b+1),直线AB∥y轴,线段
AB的长为8,则b的值为_____________.
13或-3
解析 ∵AB∥y轴,点A的坐标为(2a-4,3+a),点B的坐标为(2,b+
1),
∴2a-4=2,∴a=3,∴A(2,6),
∵线段AB的长为8,
∴B(2,6+8)或B(2,6-8),
即B(2,14)或B(2,-2),
∴b+1=14或b+1=-2,∴b=13或b=-3.
三、解答题(共40分)
11.(2025湖北荆州沙市期中)(20分)在平面直角坐标系中,已知
A(2,4),B(3,1),C(-2,-1).
(1)在图中作出△ABC.
(2)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1,并写出△A
1B1C1各顶点的坐标.
解析 (1)如图,△ABC即为所求.
(2)如图,△A1B1C1即为所求.
A1(2,-4),B1(3,-1),C1(-2,1).
12.【新考向·新定义题】(2025河北张家口张北第三中学期
中)(20分)在平面直角坐标系中,对于点A(x,y),若点B的坐标为
(x+ay,ax+y),则对称点B是点A的a级亲密点.例如:点A(-2,6)的
级亲密点为B ,即点B的坐标为(1,5).
(1)已知点C(-1,5)的3级亲密点是点D,求点D的坐标.
(2)已知点M(m,2m)的-3级亲密点M1位于第三象限,且到x轴的
距离为2,求点M1的坐标.
(3)若点E在x轴正半轴上,点E的a级亲密点为点F,且EF的长度
为OE长度的 倍,求a的值.
解析 (1)∵点C(-1,5)的3级亲密点是点D,
∴点D的横坐标为-1+3×5=14,点D的纵坐标为3×(-1)+5=2,∴
点D的坐标为(14,2).
(2)∵点M(m,2m)的-3级亲密点为点M1,
∴点M1的横坐标为m+(-3)×2m=-5m,点M1的纵坐标为-3m+2m=
-m,
∴点M1的坐标为(-5m,-m),
∵点M1位于第三象限,且到x轴的距离为2,
∴-m<0,|-m|=2,∴m=2,
∴点M1的坐标为(-10,-2).
(3)设E(x,0)(x>0),则点E的a级亲密点为点F(x,ax),∴OE=x,EF=|
a|x,
∵EF的长度为OE长度的 倍,
∴|a|x= x,∴|a|= ,解得a=± .(共14张PPT)
专项突破1 平面直角坐标系中的规律探究问题
点的坐标规律
(一)沿“V”字运动的点的坐标规律
1.(2025河北唐山玉田期中)如图,动点P按图中箭头所示方向
运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次运动到点(2,0),第3次
运动到点(3,2),……,按这样的运动规律,则第2 025次运动到点
( )
A.(2 024,0) B.(2 025,0)
C
C.(2 025,1) D.(2 025,2)
解析 第一次运动后的坐标为(1,1),
第二次运动后的坐标为(2,0),
第三次运动后的坐标为(3,2),
第四次运动后的坐标为(4,0),
第五次运动后的坐标为(5,1),
……
∴可以得出规律:点P的横坐标即为运动的次数,纵坐标以1,0,
2,0为循环组依次循环,
∵2 025÷4=506……1,
∴动点P第2 025次运动到点(2 025,1),故选C.
(二)沿“口”字运动的点的坐标规律
2.(2025河北石家庄第四十八中月考)如图,在平面直角坐标系
中,已知点P1(-1,0),P2(-1,-1),P3(1,-1),P4(1,1),P5(-2,1),P6(-2,-2),…
…,按此规律依次扩展下去,则P2 025的坐标为______________.
(-507,506)
解析 分析各点可发现,下标为4的整倍数的点在第一象限,被
4除余1的点在第二象限,被4除余2的点在第三象限,被4除余3
的点在第四象限,
∵2 025÷4=506……1,
∴点P2 025在第二象限,
又∵第二象限的点P5(-2,1),点P9(-3,2),点P13(-4,3),……,P4n+1(-n-
1,n),
∴点P2 025(-507,506).
(三)沿平行于坐标轴方向运动的点的坐标规律
3.【学科特色·数形结合思想】(2025河北廊坊固安期中)如图,
在平面直角坐标系中有一点P(1,0),点P第1次向上跳动1个单
位长度至点P1(1,1),紧接着第2次向左跳动2个单位长度至点P2
(-1,1),第3次向上跳动1个单位长度,第4次向右跳动3个单位长
度,第5次又向上跳动1个单位长度,第6次向左跳动4个单位长
度,……,依此规律跳动下去,点P第2 025次跳动至P2 025,则P2 025
的坐标是___________________.
(507,1 013)
解析 设第n次跳动至点Pn(n为自然数),
将P(1,0)看作P0(1,0),由题意知P1(1,1),P2(-1,1),P3(-1,2),P4(2,2),P
5(2,3),P6(-2,3),P7(-2,4),P8(3,4),P9(3,5),…,
观察发现,P4n(n+1,2n),P4n+1(n+1,2n+1),P4n+2(-n-1,2n+1),P4n+3(-n-1,
2n+2),
∵2 025=506×4+1,
∴P2 025(507,1 013),故答案为(507,1 013).
4.(2025河北唐山丰润期中)如图,在平面直角坐标系中,长方形
ABCD的四条边与两条坐标轴平行,已知点A(-1,2),点C(1,-1);
点P从点A出发,沿长方形的边顺时针运动,速度为每秒2个单
位长度;点Q从点A出发,沿长方形的边逆时针运动,速度为每
秒3个单位长度.记P,Q在长方形边上第一次相遇时的点为M1,
第二次相遇时的点为M2,第三次相遇时的点为M3,……,则M1的
坐标为_________,第2 025次相遇时的点为M2 025,则M2 025的坐标
为______________.
(-1,2)
(1,0)
解析 由题意得长方形ABCD的周长为(3+2)×2=10,设运动时
间为t秒,
则P点走的路程为2t,Q点走的路程为3t,易知当P,Q第一次相遇
时,2t+3t=10,解得t=2,
∴当t=2时,P,Q第一次相遇,此时相遇点M1的坐标为(1,0),
易知当t=4时,P,Q第二次相遇,此时相遇点M2的坐标为(-1,0),
当t=6时,P,Q第三次相遇,此时相遇点M3的坐标为(1,2),
当t=8时,P,Q第四次相遇,此时相遇点M4的坐标为(0,-1),
当t=10时,P,Q第五次相遇,此时相遇点M5的坐标为(-1,2),
当t=12时,P,Q第六次相遇,此时相遇点M6的坐标为(1,0),
∴五次相遇一循环,
∵2 025÷5=405,∴M2 025的坐标为(-1,2).
图形的坐标规律
5.(2025河北邯郸武安三模)如图,在平面直角坐标系中,对△
ABC进行循环往复的轴对称变化,若原来点A的坐标是(m,n),
经过2 025次变化后点A的对应点的坐标是 ( )
A
A.(-m,n) B.(-m,-n) C.(m,-n) D.(m,n)
解析 由题意可知,
第1次轴对称变化后,点A的对应点的坐标是(-m,n),
第2次轴对称变化后,点A的对应点的坐标是(-m,-n),
第3次轴对称变化后,点A的对应点的坐标是(m,-n),
第4次轴对称变化后,点A的对应点的坐标是(m,n),
第5次轴对称变化后,点A的对应点的坐标是(-m,n),
……
∴点A的对应点的坐标以(-m,n),(-m,-n),(m,-n),(m,n)为循环组
依次循环,
∵2 025÷4=506……1,
∴经过2 025次变化后所得的点A的对应点的坐标是(-m,n).
故选A.(共23张PPT)
第十八章 平面直角坐标系
第2课时 图形的对称、放缩与坐标变化
18.4 图形的运动与坐标
图形的轴对称与坐标变化
1.【新课标·中华优秀传统文化】春节是中华民族的传统节
日,现在人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来庆
祝新年.如图,在平面直角坐标系中,A,B两处的灯笼关于y轴对
称,若点A的坐标为(-2,4),则点B的坐标为 ( )
A.(4,2) B.(2,4)
B
C.(-2,4) D.(-2,-4)
解析 关于y轴对称的两个图形,各对应点的横坐标互为相反
数,纵坐标相同,所以点B的坐标为(2,4).故选B.
2.(2025四川绵阳三台一模)如图,△AOB关于x轴的对称图形
为△A'OB,若△AOB内任意一点P的坐标是(a,b),则△A'OB内
的对应点Q的坐标是 ( )
A.(a,b) B.(-a,b) C.(-a,-b) D.(a,-b)
D
解析 ∵△AOB与△A'OB关于x轴对称,
∴点P(a,b)与点Q关于x轴对称,
∵点P的坐标为(a,b),
∴点Q的坐标是(a,-b).
故选D.
3.(2025广东清远阳山期末)如图,△ABC的顶点都在边长为1
的小正方形的顶点上.
(1)画出△ABC关于y轴对称的△DEC(点E与点B对应).
(2)求△DEC的面积.
解析 (1)如图.
(2)S△DEC=4×5- ×1×5- ×1×4- ×3×4= .
图形的放缩与坐标变化
4.在平面直角坐标系中,某个图形经过一定的变化,图形上点A
(3,2)的对应点为A',则下列说法不正确的是 ( )
A.将图形向右平移2个单位,再向下平移2个单位,则A'的坐标
为(5,0)
B.作该图形关于y轴对称的图形,则A'的坐标为(3,-2)
C.将图形绕原点逆时针旋转90°,则A'的坐标为(-2,3)
D.将图形横向和纵向都拉伸为原来的3倍,则A'的坐标为(9,6)
B
解析 将图形向右平移2个单位,再向下平移2个单位,则A的
横坐标加2,纵坐标减2,得到A'的坐标为(5,0),故A中说法正确,
不符合题意;
作该图形关于y轴对称的图形,得到的对应点A'的坐标为(-3,2),
故B中说法不正确,符合题意;
将图形绕原点逆时针旋转90°,则A'的坐标为(-2,3),故C中说法
正确,不符合题意;
将图形横向和纵向都拉伸为原来的3倍,则A'的坐标为(9,6),故
D中说法正确,不符合题意.
故选B.
5.如图,在平面直角坐标系中,△AOB的各顶点坐标分别为A(2,
5),O(0,0),B(4,0).将△AOB各顶点的坐标都除以2得到△A'OB',
写出△A'OB'的各顶点坐标,并在该平面直角坐标系中画出图
形.
解析 如图所示,△A'OB'即为所求,A'(1,2.5),O(0,0),B'(2,0).
6.(2025河北沧州期中,★★☆)在平面直角坐标系中,有一个五
边形经过了一定的变化,大小和形状没有改变,那么这个五边
形各顶点的坐标可能发生的变化是 ( )
A.横、纵坐标都分别乘2
B.横坐标不变,纵坐标分别加2
C.横坐标分别乘 ,纵坐标分别乘2
D.横坐标分别加2,纵坐标分别乘2
B
解析 A.横、纵坐标都分别乘2,这种变化会使五边形变大,此
选项不符合题意;
B.横坐标不变,纵坐标分别加2,这表示五边形在垂直方向向上
平移了2个单位长度,这个过程中,五边形的大小和形状都不发
生改变,此选项符合题意;
C.横坐标分别乘 ,纵坐标分别乘2,这种变化会使五边形形状
改变,此选项不符合题意;
D.横坐标分别加2表示五边形在水平方向向右平移2个单位长
度,纵坐标分别乘2会使五边形的大小改变,此选项不符合题
意.
故选B.
7.【学科特色·方程思想】(2025河北秦皇岛昌黎期中,★★☆)
如图,在平面直角坐标系中,对正方形ABCD及其内部的每个
点进行如下操作:把每个点的横、纵坐标都乘 ,将得到的点
先向右平移m个单位长度,再向上平移n个单位长度(m>0,n>0),
得到正方形A'B'C'D'及其内部的点,其中点A,B的对应点分别
为A',B'.已知正方形ABCD内部的一点F经过上述操作后得到
的对应点F'与点F重合,则点F
的坐标是_____________.
(1,4)
解析 由点A到A'可得方程组
解得
设F点的坐标为(x,y),
由点F'与点F重合得到方程组
解得
∴点F的坐标为(1,4).故答案为(1,4).
8.【新考向·开放性问题】(★★☆)已知三角形ABC为等腰直
角三角形,其中∠BAC=90°,BC=6.
(1)建立适当的平面直角坐标系,并写出△ABC各顶点的坐标.
(2)将(1)中各顶点的横坐标都加2,纵坐标保持不变,与原图形
相比,所得的图形有什么变化
(3)将(1)中各顶点的横坐标保持不变,纵坐标都乘-1,与原图形
相比,所得的图形有什么变化
(4)将(1)中各顶点的横坐标都乘-2,纵坐标保持不变,与原图形
相比,所得的图形有什么变化
解析 (1)如图,以BC边所在的直线为x轴,BC的中垂线(垂足为
O)为y轴,建立平面直角坐标系.
因为BC=6,所以AO= BC=3,
所以A(0,3),B(-3,0),C(3,0).(答案不唯一)
(2)整个图形向右平移了2个单位长度,如图中的△A2B2C2.
(3)所得的图形与原图形关于x轴对称,如图中的△A1BC.
(4)与原图形相比,所得的图形仍关于y轴对称,横向被拉长为
原来的2倍,如图中的△AB3C3.
9.【新课标·几何直观】(2025河南平顶山鲁山期中)如图,在平
面直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),等边△AOC经过平移或
轴对称或旋转都可以得到△OBD.
(1)△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,则平移的距离是______
个单位长度;△AOC与△BOD关于直线对称,则对称轴是_____
____;△AOC绕原点O顺时针旋转360°以内得到△DOB,则旋转
角度是______度.
(2)连接AD,交OC于点E,求AD的长.
解析 (1)2;y轴;120.
详解:△AOC沿x轴向右平移得到△OBD,根据点A的坐标为(-
2,0)可知AO=2,则平移的距离是2个单位长度;
△AOC与△BOD关于直线对称,根据线段AB被y轴垂直平分,
点C,D关于y轴对称可知,对称轴是y轴;
△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB,根据∠BOC=180°-60
°=120°可知,旋转角度是120°.
(2)如图,
由AO=DO,∠BOD=60°可得,∠OAD=∠ODA=30°,
∴∠ADB=30°+60°=90°,
∴在直角三角形ADB中,AD= = =2 .
(共13张PPT)
第十八章 平面直角坐标系
第1课时 图形的平移与坐标
18.4 图形的运动与坐标
图形的平移与坐标变化
1.(2024河北承德兴隆期中)点P向上平移2个单位后到达原点,
则点P的坐标为 ( )
A.(0,-2) B.(0,2) C.(2,0) D.(-2,0)
A
解析 点P向上平移两个单位后达到原点,则原点向下平移两
个单位后得到点P,故点P的坐标为(0,-2).
2.(2025河北秦皇岛昌黎期中)如图,线段AB经过平移得到线段
A'B',其中A,B,A',B'这四个点都在格点上.若线段AB上有一个点
P(a,b),则点P在线段A'B'上的对应点P'的坐标为 ( )
A.(a-2,b+3) B.(a-2,b-3)
C.(a+2,b+3) D.(a+2,b-3)
A
解析 ∵线段AB经过平移得到线段A'B',A(1,-1),A'(-1,2),
∴平移方式为向左平移1-(-1)=2个单位长度,向上平移2-(-1)=3
个单位长度,
∵点P的坐标为(a,b),∴点P在线段A'B'上的对应点P'的坐标为
(a-2,b+3),
故选A.
3.【学科特色·教材变式】(2025河北邯郸武安期中)在平面直
角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别是A(-1,4),B(-4,-1),C
(1,0).
(1)在图中画出△ABC.
(2)将图中的△ABC平移后,点A,B,C的对应点分别是A1,B1,C1.
已知点A1的坐标是(3,2).
①点B1的坐标是______,点C1的坐标是______.
②写出一种将△ABC平移到△A1B1C1的方法.
解析 (1)如图,△ABC为所求作的三角形.
(2)①(0,-3);(5,-2).
详解:①∵点A(-1,4)平移到点A1(3,2),
∴点A向右平移4个单位,向下平移2个单位到点A1,∴点B,C分
别向右平移4个单位,向下平移2个单位得到点B1,C1,
∴点B1的坐标是(0,-3),点C1的坐标是(5,-2).
②将△ABC先向右平移4个单位,再向下平移2个单位可得到
△A1B1C1(答案不唯一).
4.(★★☆)如图,点A,B的坐标分别为(1,2),(4,0),将△AOB沿x轴
向右平移,得到△CDE,已知DB=1,则点C的坐标为 ( )
A.(2,2) B.(4,3) C.(3,2) D.(4,2)
D
解析 ∵点B的坐标为(4,0),
∴OB=4,∵DB=1,∴OD=3,
∴△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度得到△CDE,
∴点C的坐标为(1+3,2),即(4,2),
故选D.
5.(2025河北廊坊期中,★★☆)在平面直角坐标系中,把点A向
左平移可以得到点M(2,3),把点A向上平移可以得到点N(4,5),
则点A的坐标是_____________.
(4,3)
解析 ∵将点A向左平移可得到点M(2,3),
∴点A的纵坐标为3,
∵将点A向上平移可得到点N(4,5),
∴点A的横坐标为4,
∴点A的坐标为(4,3).
6.(2025河北唐山丰润期中,★★☆)如图,在平面直角坐标系
中,四边形OABC是长方形,O为原点,点A的坐标为(a,0),点C的
坐标为(0,b),且a,b满足|a-6|+ =0,点B在第一象限内,点P从
原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O
的线路移动,再次到达点O时停止运动.
(1)a=______,b=______,点B的坐标为______.
(2)当点P移动6 s时,求出此时点P的坐标.
(3)在移动过程中,当点P到x轴的距离为5时,求点P移动的时间.
解析 (1)6;9;(6,9).
详解:∵|a-6|+ =0,
∴a-6=0,b-9=0,
解得a=6,b=9,
∵在平面直角坐标系中,四边形OABC是长方形,
∴点B的坐标为(6,9).
(2)∵点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→
B→A→O的线路移动,OA=6,OC=9,
∴当点P移动6 s时,移动的路程为6×2=12,此时点P在线段CB
上,离点C的距离为12-9=3,
∴此时点P的坐标是(3,9).
(3)由题意得,在移动过程中,当点P到x轴的距离为5时,存在两
种情况:
第一种情况,当点P在线段OC上时,点P移动的时间是5÷2=2.5
(s);
第二种情况,当点P在线段BA上时,点P移动的时间是(9+6+9-
5)÷2=9.5(s).
∴当点P到x轴的距离为5时,点P移动的时间是2.5 s或9.5 s.(共8张PPT)
第十八章 平面直角坐标系
第1课时 平面直角坐标系及其相关概念
18.2 平面直角坐标系
平面直角坐标系及其相关概念
1.下列选项中,是平面直角坐标系的为 ( )
C
2.下列命题是假命题的为 ( )
A.任意一对有序实数对都可以表示坐标平面上唯一一个点
B.坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数对来表示
C.平面直角坐标系中某一点到y轴的距离是该点横坐标的绝
对值
D.平面直角坐标系中某一点到x轴的距离是该点横坐标的绝
对值
D
解析 平面直角坐标系中某一点到x轴的距离是该点纵坐标
的绝对值,故D是假命题.
3.【学科特色·教材变式】如图所示的是某公园的几个景点的
分布示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度).请建
立以猴山为坐标原点,以水平向右为x轴正方向,以竖直向上为
y轴正方向的平面直角坐标系,并用坐标表示各景点的位置.
解析 建立平面直角坐标系如图.
瞪眼岭(-1,3),仙人堂(3,3),猴山(0,0),儿童乐园(2,-2),花窖(-2,-
3).
4.【新课标·中华优秀传统文化】(2025河北唐山丰润期中,★
★☆)“二十四节气”被誉为“中国的第五大发明”,是上古
农耕文明的产物.2022年北京冬奥会开幕式上以“二十四节
气”为主题的倒计时短片用“中国式浪漫美学”惊艳了世
界,也让全世界领略了中国古老历法的独特文化魅力.如图,我
们用坐标来表示某些节气.
例:2025年立春用A(2,3)表示(注:2025年2月3日立春).
(1)用坐标表示以下节气.
2025年惊蛰用B(______,______)表示;(注:2025年3月5日惊蛰)
2025年清明用C(______,______)表示.(注:2025年4月4日清明)
(2)在给出的坐标系中标出点B和点C,并画出三角形ABC.
(3)求三角形ABC的面积.
解析 (1)3;5;4;4.
(2)如图.
(3)三角形ABC的面积为2×2-2× ×1×2- ×1×1= .(共27张PPT)
第十八章 平面直角坐标系
18.3 图形的位置与坐标
图形的位置与坐标
1.【跨语文·诗词】(2024福建漳州模拟)“凌波仙子生尘袜,水
上轻盈步微月.”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花.如
图,将水仙花图置于正方形网格中,点A,B,C均在格点上.若点A
(-2,3),B(0,1),则点C的坐标为 ( )
A.(4,2) B.(2,2)
C.(1,2) D.(2,1)
C
解析 根据A,B两点的坐标建立如图所示的平面直角坐标系.
则点C的坐标为(1,2).故选C.
2.(2025广东广州七中教育集团期中)如图,在直角三角形ABC
中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以点B为原点,BC所在直线为y轴建
立平面直角坐标系,则点A的坐标是___________.
(3,-4)
解析 建立平面直角坐标系如图所示:
∵AC=3,BC=4,∴点A的坐标是(3,-4).
故答案为(3,-4).
3.【学科特色·教材变式】(2025河南郑州中牟期中)郑州园博
园是第十一届中国(郑州)国际园林博览会举办地.94个展园形
成了各具特色、丰富多彩的园林风格.周末,王芳和李敏两人
相约到郑州园博园游玩,一天游玩结束,她们绘制了如图所示
的几个展园的平面示意图,其中花盛轩的坐标是(1,5),荆门园
的坐标是(-4,2).
(1)请你根据上述信息,建立平面直角坐标系.
(2)写出示意图中民俗文化园、南京园的坐标.
(3)如果某展园位置坐标是(-4,-2),请你在图中用字母P标出这
个展园的位置.
解析 (1)建立平面直角坐标系如图.
(2)民俗文化园的坐标为(-4,0),南京园的坐标为(3,-2).
(3)如图.
4.(2025广东阳江阳东期中)如图所示的是某中学校园的部分
平面示意图,每个网格都是边长为1的正方形.请建立适当的平
面直角坐标系,使校门在x轴负半轴上,花坛在y轴负半轴上,并
写出图书馆和实验楼的坐标.
解析 建立平面直角坐标系,如图:
所以图书馆的坐标为(-5,4),实验楼的坐标为(2,-2).
5.(2025河北沧州盐山期中)某台阶的一部分如图,每级台阶的
宽与高都相等.
(1)若图1中点C的坐标为(0,0),点D的坐标为(2,2),请建立适当
的平面直角坐标系,并写出点B,E,F的坐标.
(2)若图2中点E的坐标为(0,2),点D的坐标为(-2,0),请建立适当
的平面直角坐标系,并写出点B,C,G的坐标.
解析 (1)建立平面直角坐标系如图1所示.
∵每级台阶的宽等于高,点C的坐标为(0,0),点D的坐标为(2,2),
∴B(-2,-2),E(4,4),F(6,6).
(2)建立平面直角坐标系如图2所示.
∵每级台阶的宽等于高,点E的坐标为(0,2),点D的坐标为(-2,
0),
∴B(-6,-4),C(-4,-2),G(4,6).
6.(2025北京丰台期末,★★☆)五子棋的比赛规则是:率先在棋
盘上形成横、竖或斜向连续的五颗同色棋子记为胜方.如图
所示的一盘棋中,若①的位置是(1,-1), 的位置是(2,0),现轮到
黑棋落子,小红认为黑棋放在(2,4)位置胜利;小刚认为黑棋放
在(7,-1)位置胜利.下列说法正确的是 ( )
A
A.小红、小刚均正确
B.小红、小刚均错误
C.小红正确,小刚错误
D.小红错误,小刚正确
解析 建立如图所示的平面直角坐标系,由图可知,黑棋放在
(2,4)或(7,-1)的位置就胜利了.故选A.
7.(2025河北秦皇岛抚宁一模,★★☆)如图,在平面直角坐标系
中,点O为原点,点A位于第一象限内,OA=10,并且点A到x轴的
距离为6,点B对应的坐标为(a,0).若△AOB为钝角三角形,则a
的取值范围是 ( )
A.a>12.5
D
B.0C.a<8且a≠0或a≥12
D.a<8且a≠0或a>12.5
解析 如图,过A作AC⊥x轴于点C,过A作AD⊥OA交x轴于点
D,
则AC=6,∠OCA=∠OAD=90°,
∵OA=10,∴由勾股定理得OC=8,
设CD=x,则OD=x+8,
由AC2+CD2=AD2=OD2-OA2,得62+x2=(x+8)2-102,解得x=4.5,∴
OD=4.5+8=12.5,
易得当a<8且a≠0或a>12.5时,△AOB为钝角三角形,故选D.
8.(★★☆)蝴蝶广泛分布于全球,南至赤道,北至北纬83°均有
其身影.如图所示的是一只蝴蝶标本,将其放在适当的平面直
角坐标系中,若翅膀两端B,C两点的坐标分别为(-1,3),(3,0),则
蝴蝶“尾部”点A的坐标为______________.
(0,-2)
解析 如图,建立平面直角坐标系.蝴蝶“尾部”点A的坐标
为(0,-2).
9.(2024河北邯郸月考,★★☆)如图,在长方形ABCD中,AB=6,
AD=4,在长方形ABCD外画△ABE,使AE=BE=5.请建立适当的
平面直角坐标系,并求出各顶点的坐标.
解析 以D为坐标原点,DC所在直线为x轴,DA所在直线为y
轴,建立平面直角坐标系如图所示,则A(0,4),B(6,4),C(6,0),D(0,
0).作EG⊥CD交AB于点F,交CD于点G.
∵AE=BE,∴AF= AB= ×6=3.在Rt△AEF中,EF= =
=4,则EG=4+4=8,∴点E的坐标是(3,8).(答案不唯一)
10.【新课标·几何直观】【新课标·中华优秀传统文化】(202
5北京人大附中期中)为进一步体会宋代的文化,某班来到清
明上河园分组开展研学活动,其中A组在开封市弋古堂文房博
物馆,B组在九龙桥,约定时间到大宋校场集合观看经典节目.
为描述集合地点,同学们想出不同的方法.
(1)小文同学想到用平面直角坐标系,如图1,网格中小方格的
边长均为1,若开封市弋古堂文房博物馆的坐标为(-2,2),九龙
桥的坐标为(-1,-3).请在图1中画出平面直角坐标系,并求出大
宋校场的坐标.
(2)小化同学想到用方位角和距离,如图2,以开封市弋古堂文
房博物馆为基准点,九龙桥在开封市弋古堂文房博物馆的南
偏东11°,距离1.9 cm处,记为(南偏东11°,1.9 cm),进一步使用工
具测量并换算,可将大宋校场的位置记为_________.
解析 (1)如图,建立平面直角坐标系,大宋校场的坐标为(3,3).
(2)以文房博物馆为基准点,大宋校场的位置记为(北偏东79°,
1.9 cm).(共23张PPT)
第十八章 平面直角坐标系
18.1 位置的确定
用有序数对确定位置
1.(2025广西玉林期中)如果剧院里“5排2号”记作(5,2),那么
(8,9)表示 ( )
A.“8排9号” B.“9排8号”
C.“8排7号” D.“9排9号”
A
解析 ∵“5排2号”记作(5,2),
∴(8,9)表示“8排9号”,故选A.
2.(2025河北唐山滦南期中)如图,“★”的位置用数对(3,5)表
示,则数对(4,3)表示的是 ( )
A.▲ B. C.● D.
A
解析 由“★”的位置用数对(3,5)表示,可知括号内第一个
数表示列,第二个数表示行,那么数对(4,3)表示▲,故选A.
3.【学科特色·教材变式】(2025河北秦皇岛期中)如图所示的
是中国象棋棋盘示意图,部分棋子摆在这些交叉点上,每个交
叉点的位置按照先列后行的顺序都可以用一对数来表示,如:
士(5,2).
(1)用有序数对分别表示“马”和“炮”所在的位置.
(2)有序数对(9,3)和(3,4)分别表示哪两枚棋子的位置
(3)象棋规则规定:“车”只能沿直线行走,一次可以走任意格.
请你用有序数对来描述“车”的行走路线:A→B→C.
解析 (1)马(7,7),炮(3,9).
(2)(9,3)表示象,(3,4)表示卒.
(3)(8,5)→(5,5)→(5,8).
用方位角和距离确定位置
4.【新课标·爱国教育】如图,我国一艘无人战艇A在执行巡航
任务此时它与灯塔B相距90海里.若灯塔B相对于战艇A的位
置是北偏东15°,90海里,则战艇A相对于灯塔B的位置为( )
A.南偏西75°,90海里
B
B.南偏西15°,90海里
C.北偏东15°,90海里
D.北偏东75°,90海里
解析 由题意可知,以点B为观测点,战艇A相对于灯塔B的位
置为南偏西15°,90海里.故选B.
5.(2025广东实验中学教育集团期中)如图,一艘船在A处遇险
后向相距100海里的救生船B报警.用方向和距离描述遇险船
相对于救生船B的位置,下列描述最准确的是( )
A.南偏西65°方向上的100海里处
B.北偏东65°方向上的100海里处
C
C.南偏西25°方向上的100海里处
D.北偏东25°方向上的100海里处
解析 如图,根据题意可得∠ABC=90°-65°=25°,AB=100海里,
则遇险船相对于救生船B的位置为南偏西25°方向上的100海
里处,故选C.
用经纬度确定具体位置
6.(2025湖北黄石有色中学期中)根据下列表述,能确定具体位
置的是 ( )
A.东经118°,北纬40° B.黄石市沿湖路
C.人民广场北偏东30° D.万达电影院2排
A
解析 A.东经118°,北纬40°,能确定位置,故本选项正确;B.黄
石市沿湖路,具体位置不能确定,故本选项错误;C.人民广场北
偏东30°,没有距离,具体位置不能确定,故本选项错误;D.万达
电影院2排,具体位置不能确定,故本选项错误.故选A.
7.(2025河南平顶山汝州期中)A地在地球仪上的位置如图所
示,则A地的位置用经纬度可表示为( )
A.东经130°,北纬50° B.东经130°,北纬60°
C.东经150°,北纬50° D.东经40°,北纬50°
C
解析 由题图可得A的位置所在的经线是东经150°,所在的纬
线是北纬50°.故选C.
8.(2025河北廊坊霸州期中,★★☆)如图,雷达探测器测得六个
目标A,B,C,D,E,F,按照规定的目标表示方法,目标C,F的位置
分别表示为(5,120°),(6,210°),按照此方法在表示目标A,B,D,E
的位置时,其中表示不正确的是( )
D
A.A(6,30°) B.B(2,90°)
C.D(5,240°) D.E(4,60°)
解析 由C(5,120°),F(6,210°)可得A(6,30°),B(2,90°),D(5,240°),
E(4,300°),
∴四个选项中,只有D选项表示不正确,符合题意,故选D.
9.【新考向·数学文化】(2025河北沧州南皮月考,★★☆)我国
古代数学家杨辉所著的《详解九章算法》中记录了如图所示
的三角形数表,我们称之为“杨辉三角”.若用有序数对(m,n)
表示第m排从左到右第n个数,如(3,2)表示正整数2,(4,3)表示正
整数3,则(8,5)表示的正整数是( )
D
A.7 B.21
C.23 D.35
解析 由题意知,“杨辉三角”中除了1以外的数都是它上方
两个数的和,因此第7行的数字从左到右依次为1,6,15,20,15,6,
1,第8行的数字从左到右依次为1,7,21,35,35,21,7,1,∴(8,5)表
示的正整数是35,故选D.
10.(★★☆)如图,若点A(2,1)表示放置2个胡萝卜,1棵青菜;点B
(4,2)表示放置4个胡萝卜,2棵青菜.
(1)请写出点C,D,E,F所表示的意义.
(2)若一只小兔子从A到达B(顺着网格线走)有以下几种路径
可选择:
①A→C→D→B;②A→E→D→B;③A→E→F→B.
问:走哪条路径吃到的胡萝卜最多 走哪条路径吃到的青菜最
多
解析 (1)点C(2,2)表示放置2个胡萝卜,2棵青菜;点D(3,2)表示
放置3个胡萝卜,2棵青菜;点E(3,1)表示放置3个胡萝卜,1棵青
菜;点F(4,1)表示放置4个胡萝卜,1棵青菜.
(2)走①A→C→D→B可以吃到2+2+3+4=11个胡萝卜,1+2+2+2
=7棵青菜;
走②A→E→D→B可以吃到2+3+3+4=12个胡萝卜,1+1+2+2=6
棵青菜;
走③A→E→F→B可以吃到2+3+4+4=13个胡萝卜,1+1+1+2=5
棵青菜.
因此走③吃到的胡萝卜最多,走①吃到的青菜最多.
11.【新课标·抽象能力】国际象棋中的“皇后”不仅能控制
她所在的行与列中的每一个小方格,而且还能控制“斜”方
向的两条直线上的每一个小方格.如图甲所示的是一个4×4的
小方格棋盘,图中的“皇后Q”能控制虚线所经过的每一个小
方格.
(1)在图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q”,它所在的位置可
用“(2,3)”来表示,请说明“皇后Q”所在的位置是第几列第
几行,并用这种表示方法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q”
所控制的四个位置.
(2)图丙也是一个4×4的小方格棋盘,请在这个棋盘中放入四个
“皇后Q”,使这四个“皇后Q”之间互不受对方控制(在图丙
中的某四个小方格中标出字母Q即可).
解析 (1)题图乙中,“皇后Q”所在的位置是第2列第3行.棋
盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置为(1,1),(3,1),(4,
2),(4,4).
(2)答案不唯一,如图:
