安徽省六安第二中学2025-2026学年3月高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

2025-2026 学年高一数学下学期第一次质量检测
(考试时间:120 分钟，分值:150 分)
注意事项:
1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分 (选择题共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 化简后等于 ( )
A. B. C. D.
2. 已知 为 所在平面内一点, ,则()
A. B.
C. D.
3. 已知 ，且 在 上的投影向量的模为 ，则 与 的夹角为( )
A. B. C. D. 或
4. 已知 是两个不共线的向量,向量 共线,则实数 的值为 ( )
A. B. C. D.
5. 已知三角形 满足 ，则三角形 的形状一定是( )
A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
6. 设 为平面上四点, ,且 ,则( )
A. 点 在线段 上 B. 点 在线段 上
C. 点 在线段 上 D. 四点共线
7. 已知 ,且关于 的方程 有实根,则 与 的夹角 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 设 为 所在平面内一点,满足 ,则 的面积与 的面积的比值为( )
A. 6 B. C. D. 5
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法错误的是( )
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 对任意向量 都有
D. ,则 与 中至少有一个为
10. 下列说法中正确的说法为( )
A. 若 ,则
B. 若 分别表示 ， 的面积，则
C. 两个非零向量 ,若 ,则 与 共线且反向
D. 若 ，则存在唯一实数 使得
11. 下列说法正确的是( )
A. 已知 ， ，则 的最小值为 6
B. 在 中，若 ，则 为钝角三角形
C. 在 中,若点 满足 ,则 为 的垂心
D. 若 与 的夹角为 ,则 在 方向上的投影向量为
第二部分 (非选择题共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知向量 满足 ，且 ，则 _____.
13. 为圆 的一条弦，且 ，则 的值为_____.
14. 已知 是边长为 1 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. (1)化简
(2)设向量 ，求 .
16. 已知 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 的夹角为 ，求 ；
(3)若 ，求 与 的夹角为 .
17. 如图，在平行四边形 中， .
(1)用向量 ， 表示 ， ；
(2)若 ，证明: ， ， 三点共线.
18. 已知两个单位向量 与 的夹角为 ，设 ， .
(1)求 最小值；
(2)若 与 的夹角为钝角，求 的取值范围.
19. 如图所示, 是 的一条中线,点 满足 ,过点 的直线分别与射线 ,射线 交于 两点.
(1) 用 和 表示 ；
(2)设 ,实数 ,求 的值;
(3)如果 是边长为 的等边三角形，求 的取值范围.
1. C
应用向量加减法的运算律化简即可得.
.
故选:
2. A
利用向量线性运算求解.
.
3. D
根据题意, ,再求夹角即可.
在 上的投影向量的模等于 ,
又 ,所以 ,
因为 ,
所以 或 .
故选: D.
4. D
根据向量共线,可得 ,列方程即可求得答案.
因为向量 共线,
所以存在实数 ,使得 ,
所以 ,解得 ,则 .
故选: D.
5. B
根据单位向量的定义及加法的几何意义有 对应向量在 的角平分线上,进而有 的角平分线与边 垂直,结合等腰三角形的性质即可得.
由几何意义知, 对应向量在 的角平分线上,
由 ,即 的角平分线与边 垂直,
所以三角形 的形状一定是等腰三角形.
故选: B
6. B
通过已知条件求得 ,由此判断出正确结论.
,所以 ,由 可知, 三点共线,且 在线段 上.
故选: B
7. B
根据方程有实根及向量的数量积求解即可.
因为关于 的方程 有实根,
所以 ,
因为 ,所以 ,所以 ,
即 与 的夹角 的取值范围是 .
故选: B
8. D
延长 到 ,使 ,延长 到 ,使 ,连接 ,则由已知条件可得 为 的重心,由重心的性质可得 ,再结合中点可求出 的面积,进而可求得答案
解: 延长 到 ,使 ,延长 到 ,使 ,连接 , 因为 ,所以 ,
所以 为 的重心,
所以设 ,则 ,
所以 ，
所以 ，
故选: D
9. BCD
由题意, 根据向量的基本概念, 结合数量积的运算, 逐项判断即可.
对于 A 选项, 根据向量相等的概念, 两向量相等, 则其方向和大小都相同, 故 A 正确;
对于 选项,向量是既有大小又有方向的量,而方向是不能比较大小的,不能得出 , 故 B 错误;
对于 选项,根据向量数量积和数乘的运算, 表示与 共线的向量,
而 表示与 共线的向量,但 与 不一定共线,故 错误;
对于 选项,当 均不为 ,且 夹角为 时,满足 ,故 错误.
10.
直接利用向量的传递性和向量的线性运算及三角形的面积特点以及向量共线的充要条件的应用判断 的结论.
对于 ,若 为零向量,则 成立,但 可以不共线,故 错误; 对于 ,若 ,则点 为三角形 的重心,
即 ,故 B 正确;
对于 C: 两个非零向量 ,若 ,则 与 共线且反向,故 C 正确;
对于 : 若 ,则 ,此时不存在 使得 成立,故 错误;
故选: BC.
11. ACD
对于选项 ,根据向量数量积的运算律将 展开,再结合向量夹角的范围即可求其最小值;
对于选项 B，根据向量数量积的定义，可判断 为锐角，进而判断 的形状；
对于选项 ,根据向量数量积的运算律对已知条件进行变形,即可推出 点的性质;
对于选项 ,根据向量投影向量的定义,即可求解.
对于 选项,因为 ,所以
又 ,所以 ,所以 ,
当 ,即 反向共线时等号成立,故 正确;
对于 选项,由 ,
又 ,所以 ,即 为钝角,所以 为锐角, 故不能判断 为钝角三角形，故 B 错误；
对于 选项,因为 ,即 ,所以 ,所以 ,即 ,
同理,由 ,得 ,即 ,
由 ,得 ,即 ,
所以 为 的垂心,故 正确;
对于 选项,因为 与 的夹角为 ,
所以 在 方向上的投影向量为 ,故 正确. 综上所述, 选项 ACD 都正确.
12.
由 可得 ,结合 及题中条件即可求解.
: .
,
.
故答案为: .
13. 2
根据向量的数量积的几何意义直接可得.
取弦 的中点 ,连接 ,根据圆的垂径定理,可得 ,如图.
因为 ,所以 .
根据向量数量积的几何意义:
14.
建立直角坐标系, 结合向量数量积求解即可.
以线段 的中点 为坐标原点, 所在直线为 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ,
设点 ,则 ,
所以 ,
则 ,
当且仅当 时, 取最小值 .
15. (1)
利用向量的线性运算法则与运算律化简计算即可.
(1)原式
.
(2)原式
,
因为 ,
所以原式
.
16. (1) 或
(2)
(3)
(1)根据向量平行得到夹角, 根据向量数量积的公式即可得;
(2)根据向量模的求法及数量积计算可得;
(3)根据向量垂直性质，及数量积可得夹角余弦值，进一步得到夹角.
(1)若 ，则 与 的夹角为0或 .
所以 或 .
(2)因为
,
所以 .
(3)若 ，则 ，即 ，
所以 ，
即 ,所以 ,
又 ,所以 .
17.(1)由平行四边形 ,可得 ;
,
,即 .
(2)由(1) ，又 ，
所以 ,
所以 三点共线.
18.
(2)
(1) 首先得 ,然后利用模长公式将所求转换为关于 的函数的最小值即可;
(2)由题意得 且 不共线，由此可列出关于 的不等式组， 从而求解.
(1) 由题意 ,
因为 ,所以
所以 ,
所以 ,等号成立当且仅当 ,
所以 最小值是 ;
(2)因为 ，
所以 ，
设 共线,即设 ,
因为向量 与 不共线,
所以 ,解得 ,
若 与 的夹角为钝角,
则 ,且 ,
解得 的取值范围是 .
19. (1)
(2)
(3)
(1)利用平面向量的线性运算可得出 、 关于 的表达式；
(2)由 三点共线并结合系数和为 1 的结论即可求解;
(3)由向量数量积的运算律求出 的表达式，利用基本不等式求最值即可.
(1)因 ，所以 ，又因 为 的中点，所以 所以 .
(2)因 ，所以 ，
又因 ,所以 ,
又因 三点共线,所以 ,即 .
(3)设 ，由(1)(2)可知 ， 即 .
因 ,
所以
,
又因 是边长为 的等边三角形，所以 ，
所以化简得 ,
令 ,因 ,即 ,
当且仅当 时,等号成立,所以 .
因此 ,
又因为 ,所以 ,
所以 .