数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南京市第五十中学）
2.1 圆（1）
教学目标
1．经历圆的有关定义的形成过程，理解圆的描述定义和集合定义；
2．理解点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的三种位置关系；了解“圆是到定点距离等于定长的点的集合”，并能应用它解决相关的问题；
3．经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系，逐步学会用运动的观点及数形结合的思想去解决问题．
教学重点
探索点与圆的三种位置关系．
教学难点
用集合的观点描述圆的定义．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
引入
出示套圈游戏的图片，让学生体会到生活中圆的必要性．问题：只有一个小立柱，若全班同学沿着红线站成一横排，请问游戏对所有同学公平吗？如何使得游戏对所有人公平？
1．学生交流讨论．
2．学生交流已有的对圆的认识．
由于授课对象是九年级学生，故本课没有选择从生活中圆的形象进行引入.而是从生活中游戏的公平性入手，提出了对圆的数学思考．同时学生交流已有的圆的认识，教师帮助学生找到新旧知识的“联结点” .
实践探索一
1．形成定义．
教师展示两件物品：一段（两端已打结）的棉线、一段皮筋（两端已打结）．学生两人一小组进行合作，利用它们以及手中的笔，在练习纸上分别作出圆．
2．思考：如何确定一个圆？
1．学生交流操作过程并抽象，互相讨论，最终形成圆的描述定义：
在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A运动所形成的图形叫做圆．
2．学生先独立思考并画图，再互相讨论，得出结论：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”．
学生通过实际动手操作，体会并总结在操作中的要点，对实际操作的工具进行抽象，得到圆的描述定义，活动培养了学生的动手能力和抽象能力．圆的描述定义形成时学生操作的材料，在准备、提供和组织形式上是极具深意的，除了让学生感受“定点，定长，旋转”，也有益于促进学生的合作意识、合作能力、合作情感的自觉增长．
实践探索二
1．回归游戏．
（1）请学生思考：为什么站成圆形，游戏就公平？
（教师）设⊙O 的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有？
（2）甲、乙两人分别站在图中A、B两点处，他俩正准备参加游戏，后来丙、丁也赶来参加，并分别站在了图中所示的P、Q两点处．
如果你是甲同学，你会有怎样的看法？
（3）再后来， 小兵同学也来参加游戏，他站的位置是图中所示的M点，但他发现地上的线几乎看不清了，请问小兵同学怎样才能知道自己恰好站在圆上？
2．请你总结一下点与圆有哪些关系？如何判断？
1．小组讨论，代表回答：
（1）学生思考后回答，其他学生补充后，可得：圆上各点到圆心的距离都等于半径．
（学生将刚才的文字语言符号化）点P在⊙O上d＝r．
（2）学生从游戏的公平性出发进行思考，并得到：
圆内各点到圆心的距离都小于半径．点P在⊙O内d＜r．
圆外各点到圆心的距离都大于半径．点Q在⊙O外d＞r．
（3）学生回答：测量OM＝OA＝r即可．
于是得到：到圆心距离等于半径的点都在圆上．点M在⊙O上d＝r．
2．回归游戏，出现动画，学生归纳．
点P在⊙O内d＜r；
点P在⊙O上d＝r；
点P在⊙O外d＞r．
从情境中的游戏出发，抽象到点与圆的位置关系，进而得出点到圆心的距离与半径的数量关系．此处还体现了将文字语言符号化的过程．
利用情境，分析点与圆的其他两种位置关系，为下面得出“到圆心距离等于半径的点都在圆上”埋下伏笔．
“到圆心距离等于半径的点都在圆上” 的得出对于学生来说难以理解，特别是“都” 字．学生经历上述活动，先由点与圆的三种位置关系得出点到圆心的距离与半径间的数量关系，进而得出：不在圆上的点，到圆心的距离不等于半径．因此到圆心距离等于半径的点都只能在圆上．
用制作的动画让学生回归情境，再将情境中的脚印抽象为点，点越来越多，结合上述“纯粹性”和“完备性”进行分析，让学生感受并体会“点集”，说出“符合条件的”点集，最终形成圆的集合定义.即：圆是平面内到定点距离为定长的点的集合．
知识应用
例1 已知⊙O的半径为4 cm，如果点P到圆心O的距离为4.5 cm，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？如果点P到圆心O的距离为4 cm、3 cm呢？
2．如图，已知点A，请作出到点A的距离等于2 cm的点的集合．
（1）这个圆的外部是满足什么条件的点的集合？
（2）请用阴影表示出到点A的距离小于或等于2 cm的点的集合．
3．如图，已知点P、Q，且PQ＝4 cm．
（1）画出下列图形：到点P的距离等于2 cm的点的集合；到点Q的距离等于3 cm的点的集合；
（2）在所画图中，到点P的距离等于2 cm，且到点Q的距离等于3 cm的点有几个？请在图中将它们表示出来；
（3）在所画图中，到点P的距离小于或等于2 cm，且到点Q的距离大于或等于3 cm的点的集合是怎样的图形？把它表示出来．
4．如图，已知BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点 B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．
学生先独立完成，然后让学生展示交流．
学生先独立思考，然后小组讨论，最后让学生展示交流．
学生先独立思考，然后让学生展示交流．
（要引导学生从定义入手考虑．）
学生先独立完成，然后让学生展示交流．
可以分步点拨：（1）如何说明点在圆上？
（2）怎么证明点 B、C、D、E到点M的距离相等？
通过一个简单的实例，让学生对“判断位置，比较大小”，即由数量关系来刻画位置关系进行应用．
让学生对“位置关系”和“数量关系” 的相互转化进行应用，学生再次体会集合思想，并自然地将新知识内化，同已有的知识形成知识体系．
在该活动中，引导学生用集合的观点理解图形．此外，这里还渗透了一种常用的数学思想方法——交集法．所谓交集法，就是先由部分条件构成一个集合，然后再由剩余的条件构成另一个集合，两个集合的交集就是问题的解．
通过本题让学生进一步理解点与圆的位置关系．
总结
通过今天的学习，你能谈谈你对圆有什么新的认识吗？
讨论后共同小结．
让学生谈谈对圆新的认识，教师再对学生的观点进行总结．
课后作业
课本P40第1、2、3．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.1 圆（2）
教学目标
1．通过画图，了解圆的弦、弧、优弧与劣弧、半径、直径及其有关概念；
2．了解同心圆、等圆、等弧的概念；
3．了解“同圆或等圆的半径相等”，并能应用它解决有关的问题．
教学重点
圆中的基本概念的认识．
教学难点
圆与直线形的联系与运用．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
引入
问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有的同学步行上学，有的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式，并说说你是如何做的？
1．学生画图．
2．学生交流自己的做法．
从学生熟悉的问题入手，同时也加深学生对圆的认识，教师帮助学生找到新旧知识的“联结点” .
实践探索一
1．圆中的相关概念．
（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．线段AB、BC、AC都是圆O中的弦．
（2）直径：经过圆心的弦叫做直径．线段AB为直径．
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧．
半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧：大于半圆的弧叫做优弧．
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧．
曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为、，其中像弧这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧．
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角．
（5）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．
（6）等圆：能够重合的两个圆叫做等圆（圆心不同）．
（7）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧（在大小不等的两个圆中，不存在等弧）．
2．同圆与等圆的联系：同圆与等圆的半径相等．
1．学生先预习课本，然后学生交流讨论．
2．概念巩固：
如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？
3．概念辨析：判断下列说法是否正确？
（1）直径是弦； （ ）
（2）弦是直径； （ ）
（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （ ）
（4）半径相等的两个半圆是等弧； （ ）
（5）长度相等的两条弧是等弧； （ ）
（6）半圆是弧； （ ）
（7）弧是半圆． （ ）
4．讨论：同圆与等圆有何联系？
概念的学习以学生自学为主，教师进行恰当的点拨，有益于培养学生的自学能力，同时也能促进学生的合作意识、合作能力、合作情感的自觉增长．
在辨析中加深对圆的相关概念的理解．
这两个概念学生容易混淆，通过讨论，加深对同圆与等圆的理解．
实践探索二
1．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC与∠BOC有怎样的数量关系？
2．拓展总结：连接圆心和半径，构造等腰三角形是常用的辅助线．
1．先测量∠BAC与∠BOC的大小，猜测它们之间的关系？
2．思考在一般情况下是否都成立？学生先独立思考，然后展示交流自己的想法．
通过本题的研讨，让学生了解圆中一种常用辅助线，连接圆心和半径，构造了等腰三角形．
知识应用
例1 已知：如图，点A、B和点C、D分别在同心圆上，且∠AOB＝∠COD．∠C与
∠D相等吗？为什么？
学生先独立完成，然后让学生板演、展示、交流．
（引导学生从定理的本质入手考虑．）
让学生理解同心圆中半径之间的等量关系和角之间等量关系的转化，并自然地将新知识内化，同已有的知识形成知识体系．
例2 （1）在图中，画出⊙O的两条直径；
（2）依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．
学生先动手画图，然后让学生展示交流．
通过学生画图，感知直径的特点，同时也对四边形的知识进行巩固．
例3 如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度，若不存在，请说明理由．
学生先独立思考，然后小组讨论交流，最后让学生展示交流．
第2课有难度，引导学生可以进行如下思考：
（1）令点C在弧AB上运动一下，观察哪些在变，哪些不变？帮助学生去探究．
（2）点C在弧AB上运动的过程中，寻找不变的量（利用矩形的对角线相等进行转化）．
本题是拓展提升，扇形是小学时已经熟悉的图形，将扇形和圆联系起来，将扇形的问题转化为圆中的问题，同时也强化了圆中半径的性质．
总结
通过今天的学习，你能谈谈你的收获和困惑，对圆有什么新的认识吗？
讨论后共同小结．
让学生谈谈对圆中新的概念的认识，教师再对学生的观点进行总结．
课后作业
课本P41-42第1、2、3．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.2 圆的对称性（1）
教学目标
1．经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程；
2．理解圆的中心对称性及有关性质；
3．会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.
教学重点
利用圆的旋转不变性探索圆的有关性质．
教学难点
运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题.
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境创设
1．观察转动的摩天轮，你发现了什么？
积极思考，跃跃欲试．发现“摩天轮绕固定轴心旋转，不论转到什么位置，它都与初始位置重合” .
展示摩天轮和车轮旋转，让学生感受到“一个圆绕圆心旋转任何角度后，与它自身重合”.
通过圆的旋转不变性揭示圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．
2．你知道车轮为什么设计成圆形？设计成三角形、四边形又会怎样？从中你发现了什么？
积极思考，互相讨论交流，可以得到“车轮绕固定轴心旋转时是不变的”．
第2个实际情境可以逐步递进式提问，最大限度的激发学生探究新知的欲望．
实践探索一
1．操作与探究：
(1)在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O'．
(2)在⊙O和⊙O'中，分别作相等的圆心角∠AOB、∠A'O'B'，连接AB、A'B'．
(3)将两张纸片叠在一起，使⊙O与⊙O'重合.
(4)固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与OA'重合．你发现了什么？请与同学交流．
2．思考与探索：
(1)在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？为什么？
(2)如果圆心角所对的弦相等呢？
1．操作．
2．观察．
3．猜想：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
4．说理：
当OA与O'A'重合时，
∵∠AOB＝∠A'O'B'，
∴OB与O'B'重合．
又∵OA＝O'A'，OB＝O'B'，
∴点A与点A’重合，点B与点B’重合．
∴＝重合，AB与A'B'重合，即＝，AB＝A'B'.
5．继续探索发现．
6．归纳：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
引导学生经历“操作——观察——猜想——说理”的过程，旨在学生通过自主探究和合作交流的途径探索圆心角、弧、弦之间的关系．
采用了“叠合法”说明两条弧相等．
鼓励学生用多种方法和手段进行探究．通过思考、探索，得出相应的结论并尝试说理．
为探索圆心角、弧、弦之间的关系，共提出三个问题，学生在解决第一个问题后，将积累一定的经验与方法，为后面两个问题的解决提供了帮助．
实践探索二
相关概念
1．一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角．
2．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等．
观察，运用探索出的结论来理解有关概念与性质．
思考交流：
1. 在同圆或等圆中，如果一个圆心角是另一个圆心角的k倍，那么所对的弧之间有怎样的关系？
2. 在同圆或等圆中，如果一条弧长是另一条弧长的k倍，那么所对的圆心角之间有怎样的关系？
对探究出的性质及时进行巩固和内化．
例题精讲
例1 如图，AB、AC、BC是⊙O的弦，∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
例2 如图，在△ABC中，∠C＝90°， ∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．求、的度数．
1．解：∠ABC＝∠BAC，
∵∠AOC＝∠BOC，
∴AC＝BC．（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）
∴∠ABC＝∠BAC．
2．先独立思考，然后小组合作交流，弄清解决问题的思路．
可以引导学生分步思考：
（1）由∠AOC＝∠BOC，你得到哪些结论？
（2）∠ABC与∠BAC是什么角？与什么有关？
3．先独立思考，然后请学生交流自己是如何思考的？
运用“在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等”这个结论解决问题，巩固所学知识，同时也引导学生再次体验圆与直线形的联系，要把直线形的有关知识与圆的有关知识结合起来加以运用．
引导学生审题，学会分析问题，可以从已知条件出发，也可以从结论或要求解的未知量出发，将已知与未知联系起来．
知识应用
1．如图1，在⊙O中＝，∠AOB＝50o，求∠COD的度数．
2．如图2，在⊙O中，＝，∠A＝40o，求∠ABC的度数.
1．先思考：由＝，你可以得到哪些结论？（引导学生进行发散性思维）
2．学生先自主完成，然后板演交流.
3．先独立思考并完成，然后板演交流，并说出自己的想法．
运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题，同时也培养学生分析问题的能力．
拓展延伸
如图，在同圆中，若＝2，则AB与2CD的大小关系是( ) ．
A. AB＞2CD B. AB＜2CD
C. AB＝2CD D. 不能确定
1．每人先独立思考，然后小组交流讨论，最后请学生展示．
2．引导学生可以通过多种途径来尝试解决问题.（例如特殊值或特殊位置）
3．变式拓展：在同圆中，若＞，那么AB与CD的大小关系如何？
运用所学的知识解决较灵活的问题，关注解决问题的策略——添加辅助线，构造基本图形．
小结与反思
通过本节课的学习，你对圆的对称性有哪些认识？
1．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；
2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组都分别相等；
3．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等．
引导学生总结本节课的学习内容，在知识与方法这两方面加以反思，使所学的知识更系统，活动经验更丰富．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.2 圆的对称性（2）
教学目标
1．会利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理；
2．能利用垂径定理进行相关的计算和证明；
3．在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法，明白圆的问题依旧要化归为直线形问题解决．
教学重点
垂径定理的证明定理及其简单应用．
教学难点
垂径定理的证明定理．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境引入
圆是什么对称图形？你是如何验证的？
学生先思考并操作验证，然后请学生交流．
学生可以得到：（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴．
通过本题既复习圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，同时又为学习轴对称性奠定基础．
实践探索一
圆的轴对称性．
1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是如何验证的？
2．如何确定圆形纸片的圆心？动手试一试！
1．思考并操作；
2．总结并交流，可以得到：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．
3．学生先思考，再交流．
在引入的基础上进一步探究、归纳、总结，也为下面进一步探究奠定基础．
既是上面探究的结论运用，同时也是为下面垂径定理作好铺垫．
实践探索二
垂径定理．
1．操作、探索
学生拿出事先准备好的透明的纸片，在上面画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图1）．沿着直径将圆对折（如图2），你有什么发现？
图1 图2
2．请你用文字语言概括你对垂直于弦的直径的研究过程中发现的结论，其中条件和结论分别是什么？请用几何语言表示．
3．请证明你的发现．
1．操作；
2．观察；
3．猜想并交流：主要是从相等的线段和相等的弧入手考虑；
4．归纳：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
5．垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个条件，(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧．
6．几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB， ∴AM＝BM，＝，＝．
7．引导学生利用对称性和全等等方法证明．
鼓励学生自己动手实践探究．通过思考、探索，得出相应的结论并尝试说理．
让学生自己试着书写几何语言，培养学生严谨、规范的几何书写．
定理巩固训练
1．下列图形中，哪些能使用垂径定理，为什么？
1．学生先独立思考，然后请同学说说自己的判断和依据，并请另外一名同学进行点评．
强化定理使用的条件，同时也对基本图形加深印象．
2．如图，⊙O直径CD与弦AB（非直径）交于点M，
添加一个条件：____________，就可得到点M是AB的中点．
2．学生先独立完成，然后请同学交流自己的想法．
（多让几个学生发言，培养学生的发散性思维．）
强化定理使用的条件．
例题精讲
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．
1．先独立思考，然后小组合作交流，弄清解决问题的思路．
可以引导学生分步思考：
（1）怎样求线段长？
（2）圆心O到AB的距离、半径、弦之间有什么关系？
强化垂径定理的基本图形和常用辅助线——过圆心作弦的垂线．引导学生审题，学会分析问题，可以从已知条件出发，也可以从结论或要求解的未知量出发，将已知与未知联系起来．
例2 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD相等吗？为什么？
2．先独立思考，然后板演展示，最后小组合作交流自己是如何思考的？
证明：过O作OP⊥AB，垂足为P，则 AP＝BP，CP＝DP．
AP－CP＝BP－DP，
即 AC＝BD．
例2是例1的拓展和延伸，要引导学生如何分析．
知识应用
1．“圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长．”根据题意可得CD的长为________．
2．已知⊙O的直径50cm，弦AB∥CD，且AB＝40cm，CD＝48cm，求AB、CD之间的距离．
1．先独立思考并完成，然后板演交流，并说出自己的想法；
2．谈谈自己做完此类型的问题有什么策略和方法；
3．学生自己画图并解题，然后请学生说说自己的想法，最后小组讨论总结．
对垂径定理的基本图形进行强化，同时也培养学生分析问题和归纳总结的能力．
向学生渗透分类思想，培养学生分析问题的能力．
拓展延伸
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，与相等吗？为什么？
1．每人先独立思考，然后小组交流讨论，最后请学生展示．
2．引导学生通过转化为熟悉的基本图形来尝试解决问题．
运用所学的知识解决较灵活的问题，关注解决问题的策略——添加辅助线，构造基本图形．
小结与反思
通过本节课的学习，你对圆的对称性有哪些认识？
1．圆既是中心对称图形，圆心是它的对称中心；圆也是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴．
2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
引导学生总结本节课的学习内容，在知识与方法这两方面加以反思，使所学的知识更系统，活动经验更丰富．
课后作业
课本P49第5、6、7、8．
学生独立完成．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.3 确定圆的条件
教学目标
1．经历不在一条直线上的三点确定一个圆的探索过程；
2．能够利用尺规，过不在同一直线上的三点画出一个圆；
3．了解不在一条直线上的三点确定一个圆，了解三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念，会过不在一条直线上的三点作圆；
4．在探究过程中培养学生归纳探索的精神，渗透类比化归的思想．
教学重点
了解不在一条直线上的三点确定一个圆．
教学难点
通过类比，经历确定圆的条件的探索过程，说明过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境引入
考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？
先让学生独立思考，然后小组讨论交流．
可以引导学生逐步思考．
（1）画一个圆需要什么条件：圆心和半径；
（2）如何找圆心？
利用学生身边的问题创设情境，激发学生的学习兴趣，促进其对“确定圆的条件”的思考．
复习回顾
（1）过一点可作几条直线？
（2）过几点可确定一条直线？
（3）过几个点可以确定一个圆呢？
过一点有无数条直线．
过两点可确定一条直线．
通过对已经学过的知识的回顾，在原有的认知结构基础之上，建立探究新知的桥梁．
实践探索一：确定圆的条件
1．经过已知点A作圆，可以作多少个？
（师：请你动手画出猜想）
1．学生先思考，然后动手画图，最后总结．
总结：经过已知点A作圆，这样的圆有无数多个．
引导学生自主探究，渗透分类的数学思想方法．
让学生明白确定一个圆，需要知道圆心和半径，已知圆上的一个点，就是需要确定圆心的位置．
2．经过已知点A、B作圆，可以作多少个？圆心在什么图形上？
（师：请你动手画出的猜想，你有什么发现？）
2．学生先思考，然后动手画图，最后讨论总结．
总结：过两点能作无数多个圆．圆心在两点连线的垂直平分线上．
一定要让学生发现并得到“到两个点距离相等的点在这条线段的中垂线上”．
3．经过A、B、C三点，能不能作圆？如果能，可以作多少个？圆心在什么位置？如果不能，请说明理由．
（教师进行分步引导：
A、B、C三点有怎样的位置关系？
①如果过三个点，圆心与这三个点有什么关系？
②经过A、B的圆心有什么特征？经过B、C的圆心有什么特征？
③请你动手画画，你有什么发现？）
4．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
3．学生先思考，然后动手画图，最后讨论交流．
过三点：
若三点不共线，则能唯一确定一个圆．
若三点共线，则不能作圆．
因为DE∥FG，所以没有交点，即没有过这三点的圆心．
要让学生先思考，教师不要一开始提醒学生进行分类，要让学生明白“为什么三点不共线”．
让学生自己归纳．
实践探索二：相关概念
由定理可知：
经过三角形三个顶点可以作一个圆， 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
1．让学生说说对“外”的理解．
2．如图，点 A，B，C 都在⊙O上，
△ABC 是⊙O的_________三角形；
⊙O 是△ABC 的_________圆．
结合图形，让学生理解外接圆等概念．
实践探索三：三角形的外接圆
1．已知△ABC，用直尺和圆规作三角形ABC的外接圆．
2．想一想：
（1）三角形有多少个外接圆？
（2）三角形的外心如何确定？它到三角形三个顶点的距离有何关系？
圆有几个内接三角形？
3．三角形的外接圆有什么性质？
1．学生先自己作图，然后交流展示．
作法：
（1）作线段AB的垂直平分线MN；
（2）作线段AC的垂直平分线EF，交MN于点O；
（3）连接OB．
（4）以O为圆心，OB为半径作圆．
⊙O就是所求作的圆．
2．学生先独立思考，然后小组讨论，最后交流总结．
3．判断题：
（1）经过三点一定可以作圆；（?? ）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（? ? ）
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（?? ）
（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（? ? ）
（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（?? ）
巩固“不在同一直线上的三点确定一个圆”，同时也是定理的直接应用，三角形的外接圆有的性质是定理的总结升华．
知识应用
如何解决“圆形瓷器碎片重圆”的问题？
学生独立思考并画图．
利用所学知识解决实际问题，提高学生解决问题的能力．
典型例题
例1 如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置．（不写做法，尺规作图，保留作图痕迹）
1．学生先独立思考并完成，然后小组交流，最后班级展示．
巩固所学知识和领悟思想方法．
例2 如图，在四边形ABCD中，∠A＝
∠C＝90o，
（1）经过点A、B、D三点作⊙O；
（2）⊙O是否经过点C？请说明理由．
2．学生先独立思考，有困难的同学可以讨论交流，最后全班展示．
本题既巩固本节课的知识，同时又运用到前面点与圆的相关知识，有一定的综合性．
课堂训练
1．请用直尺和圆规分别作出直角三角形和钝角三角形的外接圆；观察所画图形，你发现三角形的外心和三角形有何位置关系？
1．学生先画图，然后总结交流．
得到：
（1）当△ABC是锐角三角形时，外心O在△ABC的内部；
（2）当△ABC是直角三角形时，外心O在Rt△ABC的斜边上；
（3）当△ABC是钝角三角形时，外心O在△ABC的外部．
在巩固三角形的外接圆相关知识的同时，又探究三角形的外心和三角形之间的关系．
2．选择题：
（1）三角形的外心具有的性质是（ ）．
A．到三顶点的距离相等
B．到三边的距离相等
C．外心必在三角形的内部
D．到顶点的距离等于它到对边中点的距离
（2）等腰三角形的外心（ ）．
A．在三角形内
B．在三角形外
C．在三角形的边上
D．在形外、形内或一边上都有可能
（3）钝角三角形的外心在三角（ ）．
A．内部 B．一边上
C．外部 D．可能在内部也可能在外部
2．学生思考后口答，并让学生之间进行点评．
巩固本节课的一些基本知识和重要结论．
小结
1．作直线．
过一点-------可以作无数条直线．
过两个点-----确定一条直线．
2．作圆．
过一个点——可以作无数个圆．
过两个点——可以作无数个圆．
过三个点——不在同一直线上的三个点确定一个圆；在同一直线上的三个点不能作圆．
3．三角形的外接圆、圆的内接三角形．
学生自己归纳总结．
整理本节课的知识点．
课后作业
课本P52第1、2、3．
独立完成．
复习回顾本节课的内容．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.4 圆周角（1）
教学目标
1．了解圆周角的概念；
2．让学生经历圆周角与圆心角关系的探索过程，培养学生的动手操作、自主探索和合作交流的能力；
3．能用圆周角与圆心角的关系进行简单的说理，培养学生合情推理的意识，掌握说理的基本方法，从而提高数学素养．
教学重点
探索圆周角与圆心角的关系．
教学难点
通过分类讨论，推理、验证“圆周角与圆心角的关系”．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境引入
足球训练场上教练在球门前画了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，甲、乙两名运动员分别在C、D两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大．如果你是教练，请评一评他们两个人，谁的位置对球门AB的张角大．
1．先让学生积极思考，然后全班交流，各抒己见．
2．思考：如果在⊙O上再任取一点Q，看看对球门AB的张角的大小是否变化？
激发学生的兴趣，导入新课．
为下面探究圆周角的性质奠定基础．
实践探索一：圆周角的概念
教师：在上面的角有什么特征？如果请你命名，你叫它什么？
顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
1．让学生自由的说，并说出命名的理由．
2．口答：判断下列各图中的角是否是圆周角？并说明理由．
让学生加深对圆周角概念的理解．
巩固给出圆周角的概念．
实践探索二：圆周角的性质
1．操作猜想：
画弧BC所对的圆心角，然后再画同弧BC所对的圆周角．你发现了什么？
2．验证猜想：
请同学们验证自己的猜想．
合作探究，小组讨论交流．
通过量一量、想一想，提出猜想：同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．
第一步：特殊情况．
AB为⊙O直径，点C在⊙O上．∵∠BOC是△AOC的外角，∴∠BOC＝∠BAC＋∠OCA．∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠BAC．∴∠BOC＝2∠BAC，即∠BAC＝∠BOC．
第二步：转化成特殊情况．
定理：在同圆或等圆中，
同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于该弧所对的圆心角的一半．
让学生自己操作、交流，提出猜想，从而进一步激发探究意识，同时渗透分类的数学思想．
体现了转化的数学思想．
例题讲解
例1 如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝150°，为70°．求∠ABD、∠AED的度数．
1．先让学生独立思考，然后让学生板演，最后学生点评．
（引导学生从已知条件入手，逐一进行分析，得到哪些结论？）
知识点的综合运用，进行适当的变式，进一步内化所学的知识．
例2 如图，P是△ABC的外接圆上的一点，∠APC＝∠CPB＝60°．
求证：△ABC是等边三角形．
2．先让学生独立思考，然后请学生讲评．
练一练
如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠BAC＝35° ．
（1）∠BDC＝ °，
理由是 ；
（2）∠BOC＝ °，
理由是 ．
独立思考，集体反馈．
巩固所学知识．
拓展提升
如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由．
变式：移动点D到圆内，其它条件不变，此时∠BAC与∠BDC的大小又如何？并说明理由．
解：连接CF，
∵ ∠BFC是△DFC的一个外角，
∴ ∠BFC ＞ ∠BDC ．
∵ ∠BAC ＝∠BFC（同弧所对的圆周角相等）．
∴ ∠BAC ＞ ∠BDC．
总结
这节课你有哪些收获和困惑？开始的问题情境，你解决了吗？
各抒己见．
培养学生归纳、口头表达能力．
课后作业
课本P55-56第1、2、3．
独立完成．
进一步复习巩固所学知识．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.4 圆周角（2）
教学目标
1．进一步巩固圆周角的概念、圆周角定理，并能运用定理解决有关问题；
2．掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；
3．经历圆周角性质的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力；
4．用联系的观点思考问题、转化问题．
教学重点
掌握直径和所对圆周角是直角之间的相互确定关系，灵活运用同弧所对的圆周角和圆心角的关系解决问题．
教学难点
用联系的观点看问题中的条件，注重隐藏条件的发现．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境引入
有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心．
先让学生积极思考，然后全班交流，各抒己见．
本实际问题只设问，不需要解答，目的是激发学生的兴趣，导入新课．
实践探索一
问题1 如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?
1．先让学生动手量一量，然后讨论交流，最后让学生自己归纳发现的结论．
方法一：学生从圆周角、圆心角和弧的关系入手考虑；
方法二：连接OA，从三角形内角和考虑．
让学生自己探究并说明理由，加深对圆周角、圆心角和弧的关系的理解．
问题2 如图2，圆周角∠BAC ＝90o，弦BC经过圆心O吗？为什么？
2．让学生先独立思考，然后小组讨论交流，最后全班展示交流，并让学生自己归纳发现的结论．
培养学生逆向思维的能力和自主探究的能力．
请你对上面的结论进行归纳总结．
3．圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
一定让学生自己归纳，培养学生纳总结的能力．
例题讲解
例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，
求∠CEB的度数．
1．先让学生独立思考，然后让学生板演，最后学生点评．（引导学生看到直径，想到构造圆周角）
2．先让学生独立思考，然后请学生板演并讲评．
3．让学生自主探究，自由交流．
通过本例题的学习，让学生掌握圆中一种常用辅助线：已知直径，构造所对圆周角；已知圆周角是直角，连接直径．
知识点的综合运用，进行适当的变式，进一步内化所学的知识．
培养学生的发散性思维，学会用运动的眼光学习几何．
例2 已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，＝，BE交AD于点F．
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？
（2）判断△FAB的形状，并说明理由．
拓展
1．（追问）图中是否存在与FB相等的其他线段？
2．在例2中，若点E与点A在直径BC的两侧，BE交AD的延长线于点F，其余条件不变（如下图），例2中的结论还成立吗？
解决情境引入问题
“有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心”．你现在能解决吗？
让学生先独立思考，然后小组讨论，最后请学生展示交流．
1．先引导学生确定圆心就是找直径，需要找几条直径，如何找出直径．
2．引导学生思考直角三角板的作用．
既是所学知识的应用，同时也是能力的提升，并且也能激发学生的兴趣．
练一练
1．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°，
则∠ABC＝________．
2．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A、B重合），延长BD到点C，使DC＝BD，判断ΔABC的形状： ．
3．如图，AE是⊙O的直径，△ABC的顶点都在⊙O上,AD是△ABC的高，△ABE和 △ADC相似吗？为什么？
独立完成，并请学生展示、点评，集体反馈．
学生口答，并说明理由．
学生思考后可以小组讨论，强化常用辅助线．
3．让学生谈谈自己是如何思考的．
巩固所学知识．第1题是知识的直接应用，第2题主要是强化常用辅助线，第3题是综合运用．
拓展提升
一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠C＝45°，求这个人工湖的直径．
教师追问：你还有哪些方法？从中你得到什么启发？
1．学生先独立思考，然后小组讨论，最后班级交流．
2．对方法和辅助线进行归纳总结．
本题既能培养学生发散性思维的能力，同时也能总结常用的方法和辅助线．
总结
这节课你有哪些收获和困惑？
今天我们学习了圆中有哪些常用辅助线？
各抒己见．
培养学生归纳、口头表达能力．
课后作业
课本P58第1、2、3．
独立完成．
进一步复习巩固所学知识．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.4 圆周角（3）
教学目标
1．了解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；
2．让学生经历“圆内接四边形的对角互补”的探索过程，培养学生的动手操作、自主探索和合作交流的能力；
3．能用“圆内接四边形的对角互补”进行简单的说理，培养学生合情推理的意识，掌握说理的基本方法，从而提高数学素养．
教学重点
探索“圆内接四边形的性质——对角互补”．
教学难点
圆内接四边形性质的应用．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境引入
1．过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？
2．过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？
1．先让每个学生独立思考，然后全班交流，各抒己见．
2．如果学生回答能，请他画一个；如果不能，请他举反例说明，同时让其他同学补充说明．
通过学生熟悉的问题入手，既能复习旧知，同时也通过类比，激发学生的兴趣，导入新课．
实践探索一：圆内接四边形的概念
教师：1．过三角形的三个顶点画的这个圆叫什么？这个三角形又称为什么？
2．类比上面的概念，过四边形的四个顶点画的这个圆叫什么？这个四边形又称为什么？
3．一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．
1．让学生回答，其余同学补充．
2．让学生自由的说，并说出命名的理由．
3．对照图形，让学生口述概念．
通过类比圆内接三角形的概念，让学生加深对圆内接四边形概念的理解．
实践探索二：圆内接四边形的性质
1．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？
1．每个学生先独立思考，然后请同学展示交流．
学生很容易发现：∠A＝∠C＝90°，再根据四边形内角和等于180°，得到∠ABC＋∠ADC＝360°．
让学生自己思考，既巩固了前面所学的圆周角相关知识，同时也告诉学生是用圆周角的知识解决问题，向学生渗透化归的数学思想．
2．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？为什么？
验证猜想：
请同学们验证自己的猜想．
2．学生先独立思考，然后小组讨论交流，最后全班交流展示．
第一步：可以先量一量、想一想，提出猜想：对角互补．
第二步：能否转化成上面的特殊情况来解决．
体现了转化的数学思想．
3．请你归纳总结上面的发现，你能否将结论表述出来？
3．让学生自己说．
圆的内接四边形的对角互补．
培养学生的归纳总结能力．
例题讲解
例1 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若点E在上，求∠E的度数．
1．先让学生独立思考，然后让学生板演，最后学生点评．
（引导学生如何分析已知条件，培养学生的分析问题的能力）
知识点的综合运用，进一步培养学生分析问题的能力．
例2 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABC D的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？
2．先让学生独立思考，然后请学生讲评．
本题难度不大，主要是让学生学会如何寻找角之间的关系．
拓展
与∠DAE相等的角还有哪些？你能从中得到怎样的结论？
让学生说说得到怎样的结论？为什么？
拓展学生的思维和知识面．
练一练
1．已知：图中，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，且∠AOC＝80 °，则 ∠D＝ ，∠ CBE＝ ．
2．圆内接四边形ABCD中， ∠ A： ∠B： ∠C：∠D ＝ 2 ： 4：7 ：m，则 m＝ ， ∠D＝ ．
3．60页练习1、2、3．
独立思考，集体反馈．
巩固所学知识．
总结
这节课你有哪些收获？
开始的问题情境，你解决了吗？
各抒己见，情境问题让学生自由讲解自己的理解和看法．
培养学生归纳、口头表达能力．
课后作业
课本P62第9、10、11．
独立完成．
进一步复习巩固所学知识．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.5 直线与圆的位置关系（1）
教学目标
1．经历探索直线与圆的位置关系的过程；
2．理解直线与圆的三种位置关系——相交、相切、相离；
3．能利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系判别直线与圆的位置关系．
教学重点
用“圆心到直线的距离与圆半径之间的数量关系”来描述“直线与圆的位置关系”的方法．
教学难点
直线和圆相切：“直线和圆有唯一公共点”的含义.
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境引入
1．我们已经学习过点和圆的位置关系，请同学们回忆：
（1）点和圆有哪几种位置关系？
（2）怎样判定点和圆的位置关系？（数量关系——位置关系）
2．观察三幅太阳升起的照片，地平线与太阳经历了哪些位置关系？
通过这个自然现象，你猜想直线和圆的位置关系有哪几种?
1．先让每个学生回忆思考，然后全班交流．
2．引导学生将整个日出过程演示一下，从而猜想直线和圆的位置关系有哪几种？如果学生回答不完整，让其他同学补充说明，并带着疑问和兴趣探究今天的知识．
通过学生熟悉的问题入手，既能复习旧知，同时也通过类比，激发学生的兴趣，导入新课．
实践探索一：直线和圆的位置关系
操作交流：
在纸上画一个圆，上下移动直尺．把直尺看作直线，在移动的过程中观察直线与圆的位置关系发生了怎样的变化？
（对照图形，让学生口述概念．）
直线与圆的三种不同位置关系与直线与圆的公共点个数有关．
(1)直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交．
(2)直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点．
直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
类比点与圆的位置关系，引导学生观察、体会直线与圆有三种不同的位置关系．
实践探索二：探究直线与圆的位置关系的数量特征
1．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样，也可以用数量关系来刻画它们的三种位置关系呢？
1．学生自己画图探究，并进行全班交流研讨.
(1)直线与圆相交 d＜r；
(2)直线与圆相切 d＝r；
(3)直线与圆相离 d＞r．
引导学生观察，自主探究位置关系与数量关系之间的联系.
2．直线与圆的位置关系中的d与点和圆的位置关系中的d，它们表示的含义相同吗？谈谈你的理解．
2．让学生自由讲述，并由学生自己点评．
强化直线与圆的位置关系中的d必须是垂线段，在以后学习中学生易错.
例题讲解
例1 在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r＝2；（2）r＝2；（3）r＝3．
1．先让学生独立思考，然后让学生板演，最后学生点评．
（强调：过点C作AB的垂线．）
知识点的综合运用，进一步培养学生分析问题的能力．
例2 已知：如图示，∠AOB＝300，M为OB上一点，以M为圆心，5cm长为半径作圆，若M在OB上运动，问：
①当OM满足 时，⊙M与OA相离？
②当OM满足 时，⊙M与OA相切？
③当OM满足 时，⊙M与OA相交？
2．先让学生独立思考，然后让学生板演，最后学生点评．
本题难度不大，主要是让学生学会如何判断直线与圆的位置关系，寻找d与r的大小关系．
练一练
1．已知⊙O的直径为10cm，点O到直线的距离为d：
(1)若直线与⊙O相切，则d＝____；
(2)若d＝4cm，则直线与⊙O有_____个公共点；
(3)若d＝6cm，则直线与⊙O的位置关系是________．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
(1)r＝2cm；(2)r＝2.4cm；(3)r＝3cm．
学生先独立思考并完成，然后集体反馈．
巩固所学知识．
拓展提升
在平面直角坐标系中有一点A(－3，－4)，以点A为圆心，r长为半径时，思考：随着r的变化，⊙A与坐标轴交点的变化情况．
学生先独立思考，然后自己完成，最后小组交流．
拓展学生思维，渗透分类思想．
总结
1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．直线与圆的位置关系中的d与点和圆的位置关系中的d，两者有何区别与联系？
各抒己见．
培养学生归纳、口头表达能力．
课后作业
课本P65第1、2．
独立完成．
进一步复习巩固所学知识．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.5 直线与圆的位置关系（2）
教学目标
1．探索切线判定，能判定一条直线是否为圆的切线；
2．理解“圆的切线垂直于过切点的半径”的性质；
3．通过探索切线的判定和性质的过程，培养学生的逆向思维能力，渗透反证法思想．
教学重点
直线与圆相切的判定方法与圆的切线的性质的应用．
教学难点
对用“反证法”推理切线性质的理解．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
复习引入
1．已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米．直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系．
2．你有哪些方法可以判定直线与圆相切？
1．先让每个学生独立完成，然后全班交流．
2．学生口答，其余学生补充和点评．
通过复习旧知引出新知，同时也激发学生的兴趣，导入新课．
实践探索一：切线的判定
操作交流：
1．过圆上一点画一条圆的切线，并与你的同学交流你的想法．
1．每个学生先独立思考，然后小组讨论，最后全班讨论交流．
让学生自己先画，然后探究在什么条件下是切线，从而理解切线的判定定理．
2．请你将上面发现的结论进行归纳总结．
3．请你总结一下：切线的判定有哪些方法？
2．学生各抒己见，互相补充．
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
判定定理的2个条件：
①直线与圆有公共点；②直线与过公共点的半径垂直．
3．（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
（2）与圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
让学生说，培养学生的观察、总结能力．
例题讲解
例1 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．
1．学生先独立完成，然后全班交流展示，最后总结解题方法．
（学生板演、展示）
知识点的综合运用，进一步培养学生分析问题的能力．
拓展：如果AB不是直径，其余条件不变，上面的结论还成立吗？
2．放手让学生讨论交流，最后班级展示．
拓展学生的思维，让学生学会发散性思维.
实践探索二：切线的性质
1．如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？
1．让学生自由讨论．
引导学生进行反证法．
让学生自己先画，然后互相讨论，渗透学生以反证法思想.
2．请你将上面发现的结论进行归纳总结．
2．学生各抒己见，互相补充．
定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
让学生说，培养学生的观察、总结能力．
例题讲解
例2 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠ABC，过点D的切线交AC于点E，DE与AC有怎样的位置关系？为什么？
从中你有什么启发？
1．先让学生独立思考，然后让学生板演，最后学生点评．
（强调：切线的常用辅助线）
2．让学生总结．
知识点的综合运用，进一步培养学生分许问题的能力．
练一练
1．如图，O是∠ABC的平分线上的一点，OD⊥BC于D，以O为圆心、OD为半径的圆与AB相切吗？为什么？
1．学生先独立思考并完成，然后集体反馈．
让学生说说自己是如何思考的？
巩固所学知识，将性质和判定综合起来．
2．如图，AB是⊙O的直径， ∠ABC＝45°，AB＝AC．判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由．
2．让学生说说你有哪些方法？为什么？
本题难度较小，主要是巩固判定方法的使用．
拓展提升
如图：在△ABC中AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．
求证：直线DE是⊙O的切线．
学生先独立完成，然后小组讨论交流．
拓展学生思维，培养学生分析问题的能力．
总结
1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．切线的判定有哪些方法？
各抒己见（切线的判定方法让多个学生说说，加深理解）．
培养学生归纳、口头表达能力．
课后作业
课本P73第4、5、6、7．
独立完成．
进一步复习巩固所学知识．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.5 直线与圆的位置关系（3）
教学目标
1．会过圆上一点画圆的切线；
2．会作三角形的内切圆；
3．理解三角形内切圆的有关概念；
4．通过探究作三角形的内切圆的过程，归纳内心的性质，进一步提高学生的归纳和作图的能力．
教学重点
掌握三角形内切圆的画法、理解三角形内切圆的有关概念．
教学难点
作已知三角形的内切圆．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
复习引入
1．如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下来的圆的面积尽可能大？
1．先让每个学生独立思考，然后小组讨论，最后全班交流．
通过身边的事例引出新知，激发学生的兴趣，导入新课．
2．你发现这个圆有什么特征？
2．学生口答，其余学生补充和点评．
实践探索一：三角形的内切圆的概念
1．三角形内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形．
1．学生归纳，其余学生补充．
让学生加深对概念的理解．
2．对照上图，说说其中的内切圆和外切三角形．
2．学生口答：⊙O叫做△ABC的内切圆，△ABC叫做⊙O的外切三角形．
实践探索二：三角形的内切圆性质
操作探究：
1．作三角形的内切圆：
已知：△ABC．
求作：⊙O，使它与△ABC的3边
都相切．
作法：1．作∠ABC、∠ACB的平分线BM和CN，交点为I．
2．过点I作ID⊥BC，垂足为D．
3．以I为圆心，ID为半径作⊙I，
⊙I就是所求的圆．
1．每个学生先独立思考如何画，然后小组讨论，最后全班讨论交流．
可以引导学生分步思考：
①作圆的关键是什么？（确定圆心和半径）
②怎样确定圆心的位置？（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）
③圆心的位置确定后，怎样确定圆的半径？（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）
让学生自己先画，然后逐步探究还需要什么条件，从而进一步理解内切圆的概念和性质．
2．内心的概念：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．
2．比较三角形的内心和外心有什么区别与联系？
加深对内心和外心的理解．
3．请你思考一下：内心有哪些性质？
3．学生各抒己见，互相补充．
①三角形的内心是三角形角平分线的交点；
②三角形的内心到三边的距离相等；
③三角形的内心一定在三角形的内部．
让学生说，培养学生的观察、总结能力．
例题讲解
例1 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的度数．
1．学生先独立完成，然后全班交流展示，最后总结解题方法及常用的辅助线．
（学生板演、展示．）
知识点的综合运用，进一步培养学生分析问题的能力．
2．拓展：∠A与∠EDF有什么关系？
2．放手让学生讨论交流，最后班级展示．
拓展学生的思维，让学生学会发散性思维.
例2 已知：点I是△ABC的内心，AI的延长线交外接圆于D．则DB与DI相等吗？为什么？
3．学生先独立完成，然后全班交流展示．
强化内心的意义与作用.
练一练
1．下列说法中，正确的是（ ）．
A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线；
B．圆有且只有一个外切三角形；
C．三角形有且只有一个内切圆；
D．三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等．
1．学生先独立思考并完成，然后集体反馈．
让学生说说自己是如何思考的？
巩固所学知识，将性质和判定综合起来．
2．如图，⊙I切△ABC的边分别为D、E、F，∠B＝80°，∠C＝60°，M是上的动点（与D、E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．
2．让学生说说自己是如何思考的？
本题难度适中，主要是巩固常用辅助线的作法．
总结
1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．三角形的内心和外心有什么区别与联系？
各抒己见（让多个学生说说，加深对内心和外心理解）．
培养学生归纳、口头表达能力．
课后作业
课本P70第1、2．
独立完成．
进一步复习巩固所学知识．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.5 直线与圆的位置关系（4）
教学目标
1．了解切线长的概念；
2．经历探索切线长性质的过程，并运用这个性质解决问题．
教学重点
掌握切线长的性质．
教学难点
运用切线长的性质解决问题．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
复习引入
经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？
1．点在圆内；
2．点在圆上；
3．点在圆外．
先让每个学生独立思考，然后小组讨论，最后全班交流．
（可以引导学生分类：点的位置．）
让学生自由讨论，各抒己见．
1．不存在切线；
2．只能画一条切线；
3．可以画两条切线．
通过复习旧知引出新知，激发学生的兴趣，导入新课，同时也渗透分类思想．
实践探索一：切线长的概念
1．在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
1．学生思考：切线与切线长的区别与联系．
让学生加深对概念的理解．
2．让学生说说：切线与切线长的区别与联系．
2．先让每个学生独立思考，然后小组讨论，最后全班交流，学生口答．
（1）切线是一条与圆相切的直线；
（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长．
实践探索二：切线长的性质
操作探究：
1．如图，若从⊙O外的一点引两条切线PA、PB，切点分别是A、B，连接OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论．
1．每个学生先独立思考，然后小组讨论，最后全班讨论交流．
结论：PA ＝PB，∠OPA＝∠OPB．
证明：∵PA、PB与⊙O相切，点A、B是切点．
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵ OA＝OB，OP＝OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA ＝PB， ∠OPA＝∠OPB．
让学生自己先画，然后探究有什么性质，从而进一步理解切线长的性质．
2．请你思考一下：切线长有哪些性质？试用文字语言叙述你所发现的结论．
2．先让每个学生独立思考，然后小组讨论，最后全班交流，学生各抒己见，互相补充．
性质：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
让学生说，培养学生的观察、总结能力．
例题讲解
例1 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E．AB与AC相等吗？为什么？
1．学生先独立完成，然后全班交流展示，最后总结解题方法及常用的辅助线．
（学生板演、展示．）
知识点的综合运用，进一步培养学生分析问题的能力．
拓展：如果AB、AC是任意两条与小圆相切的弦，那么AB与AC相等吗？
2．放手让学生讨论交流，最后班级展示．
拓展学生的思维，让学生学会发散性思维.
例2 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为Ｃ，交PA、PB于点E、F．
①已知PA＝12cm，求△PEF的周长；
②已知∠P＝40°，求∠EOF的度数．
3．学生先独立完成，然后全班交流展示．
让学生说说：△PEF的周长与PA的关系．
练一练
1．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D．如果AB＝5，AC＝3．则BD的长为 ．
1．学生先独立思考并完成，然后集体反馈．
让学生说说自己是如何思考的？
巩固所学知识，将性质和判定综合起来．
2．如图，P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，PC＝OC，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B．如果⊙O的半径为5，则切线长为 ，两条切线的夹角为 °．
2．学生先独立思考并完成，然后集体反馈．
本题难度适中，主要是巩固切线的常用辅助线．
3．如图，如图AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q，则∠POQ的度数为____°； 若AP＝2，BQ＝5，则⊙O的半径为 ．
3．让学生说说你是如何思考的？
拓展提升
如图，△ABC中，∠C ＝90o ，且AC＝6，BC＝8，它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，求⊙O的半径r．
学生先独立完成，然后全班交流展示，最后总结解题方法及常用的辅助线．
（提醒学生进行一题多解发散性思维：
①利用切线长定理求解；
②利用等积法求解．）
本题难度适中，主要是让学生知道求内切圆的半径的常用方法和有关内切圆的半径的结论．
总结
1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．切线与切线长的区别与联系？
各抒己见（让多个学生说说，加深对内心和外心的理解）．
培养学生归纳、口头表达能力．
课后作业
1．课本P72第1、2．
2．阅读课本P75～76．
独立完成．
进一步复习巩固所学知识．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.6 正多边形与圆（1）
教学目标
1．了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；
2．会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形．
教学重点
正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
教学难点
利用直尺与量角器等作特殊的正多边形．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
复习引入
1．观察身边的图案，说说有哪些你熟悉的图形？
1．先观察身边的图案，寻找有哪些平面图形？然后小组讨论，最后全班交流．
通过身边熟悉的图形引出新知，激发学生的兴趣，导入新课，同时也渗透分类思想．
2．观察下列图形，你能说出这些图形的名称和特征吗？
2．让学生自由回答，并由其他同学补充和点评．
实践探索一：正多边形的概念
1．观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念：
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．
1．你能说说什么是正多边形吗？
（学生自由回答，并由其他同学补充．）
让学生加深对概念的理解．
2．概念理解：
①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，……）
②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
2．先让每个学生独立思考，然后小组讨论，最后全班交流，学生口答．
3．能否说各边相等的多边形是正多边形？
能否说各角相等的多边形是正多边形？
3．各抒己见（让多个学生说说），全班交流讨论，并让学生点评．
例题讲解
例1 在等边三角形ABC中，E、F、G、H、L、K分别是各边三等分点，试说明六边形EFGHLK是正六边形．
每个学生先独立思考并完成，有困难的可以在小组内交流，最后全班讨论交流．
让学生加深对正多边形概念的理解，提升应用能力．
实践探索二：正多边形与圆的关系
操作探究：利用圆画正多边形．
1．如图，已知⊙O．
（1）用量角器把⊙O五等份，依次连接各等分点，得五边形ABCDE；
（2）五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？
1．每个学生先画图再独立思考，然后小组讨论，最后全班讨论交流．
（引导学生抓住正多边形的概念进行判定．）
让学生自己先画，然后探究为什么是正五边形，在巩固正多边形的概念的同时，理解正多边形与圆的关系．
2．思考：如何利用圆来画正多边形？
2．每个学生先画图再探究特征．
（可以追问：为什么旋转60°，还可以旋转多少度？）
让学生说，培养学生的观察、总结能力．
数学实验室：
3．如图，点A、B、C、D、E、F六等分⊙O．
（1）在一张透明纸上画与下图形状、大小相同的图形，并把它们叠合在一起；
（2）把所画图形绕点O旋转60°，你发现了什么？再旋转60°呢？
你能从图形运动的角度说明六边形ABCDEF是正六边形吗？
4．请你思考一下：正六边形与圆有何关系？
3．先独立思考后小组讨论，各抒己见．（让多个学生说说，加深正六边形与圆关系的理解．）
多让学生说，培养学生的观察、总结能力．
相关概念：
一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形．正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径．
例题讲解
例2 如图，正六边形ABCDEF的半径为4．求这个正六边形的周长和面积．
学生先独立完成，然后全班交流展示，最后总结解题方法及常用的辅助线．
（学生板演、展示．）
知识点的综合运用，进一步培养学生分析问题的能力．
练一练
1．下列说法中正确的是( )．
A．平行四边形是正多边形；
B．矩形是正四边形；
C．菱形是正四边形；
D．正方形是正四边形；
2．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数为 ．
3．已知正四边形的外接圆的半径为R，则正四边形的周长是 ．
学生先独立思考并完成，然后集体反馈．
让学生说说自己是如何思考的？
巩固所学知识，将正多边形的概念与性质综合起来．
总结
1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．如何画一个正多边形？
各抒己见．
培养学生归纳、口头表达能力．
课后作业
1．课本P81第1、2、3、4．
2．阅读课本P81：判定正多边形的条件．
独立完成．
进一步复习巩固所学知识．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.6 正多边形与圆（2）
教学目标
1．了解正多边形和圆的关系，会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形；
2．能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．
教学重点
正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
教学难点
利用直尺与圆规作特殊的正多边形．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
复习引入
1．菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？它们是怎样的对称图形？
1．让学生自由回答，并由其他同学补充和点评．
通过复习旧知引出新知，激发学生的兴趣，导入新课．
2．下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心．
2．先让学生观察正多边形，然后请学生画图，最后请其他同学进行点评．
3．通过上面的图形，你能发现正多边形有怎样的对称性？
3．让学生各抒己见，相互补充．
培养学生的归纳总结能力．
实践探索一：正多边形的对称性
1．正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．
1．你能说说正多边形有怎样的对称性？
（学生自由回答，并由其他同学补充）
让学生加深对正多边形对称性的理解．
2．思考：在什么情况下，正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形？
结论：一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心．
2．先让每个学生独立思考，然后小组讨论，最后全班交流，学生口答．
性质巩固练习
1．下列命题中，正确的说法有_________________（填序号）．①正多边形的各边相等；②各边相等的多边形是正多边形；③正多边形的各角相等；④各角相等的多边形是正多边形；⑤既是轴对称图形，又是中心对称的多边形是正多边形．
2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )．
A．多边形；
B．边数为奇数的正多边形；
C．正多边形；
D．边数为偶数的正多边形．
3．将一个正十边形绕它的中心至少旋转多少度，就能与它本身重合？正五边形呢？
1．学生先独立思考并完成，然后集体反馈．
让学生说说自己是如何思考的？
2．让学生先思考，后交流展示．
巩固所学知识，将正多边形的概念与性质综合起来，同时也为下面进一步探究正多边形的作图奠定基础．
实践探索二：用圆规和直尺作正多边形
1．请你想一想：如何画一个正方形？
如果改为用直尺和圆规，如何作一个正方形？
拓展思考：如何作正八边形？十六边形？
1．放手让学生讨论交流．
作法：（1）在⊙O中作两条互相垂直的直径AC、BD．
（2）依次连接A、B、C、D．
四边形ABCD就是所求作的正方形．
2．让学生讨论，得到怎样的规律和结论？
既复习巩固前面的画图知识，同时也引出新知，激发学生学习的兴趣．
2．请你想一想：如何画一个正六边形？
如果改为用直尺和圆规，如何作一个正六边形？
拓展思考：如何作三角形？正十二边形？
3．作法：
（1）在⊙O中任意作一条直径AD．
（2）分别以点A、D为圆心，⊙O的半径为半径作弧，与⊙O相交于点B、F和点C、E．
（3）依次连接A、B、C、D、E、F各点．
正六边形ABCDEF就是所求作的正六边形．
让学生得到一类问题的作图方法．
例题讲解
例1 如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD、CE分别平分∠EBC、∠ACD ．
求证：五边形AEBCD是正五边形．
1．每个学生先独立思考并完成，有困难的可以在小组内交流，最后全班讨论交流．
2．各抒己见（让多个学生说说），全班交流讨论，并让学生点评．
让学生加深对正多边形与圆的关系的理解，提升应用能力．
练一练
1．正十二边形的每一个外角为___°， 每一个内角是 °，该图形绕其中心至少旋转 °和本身重合．
2．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，求阴影部分的面积．
3．用直尺和圆规作一个等边三角形．
学生先独立思考并完成，然后集体反馈．
让学生说说自己是如何思考的？
巩固所学知识，将正多边形的概念与性质综合起来．
总结
1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．用直尺和圆规你能作哪些特殊的正多边形？如何作？
各抒己见．
培养学生归纳、口头表达能力．
课后作业
课本P82第5、6．
独立完成．
进一步复习巩固所学知识．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.7 弧长及扇形的面积
教学目标
在小学学习圆的周长和面积公式的基础上，通过整体与局部的关系，探索弧长计算公式及扇形面积计算方法，从而得出
弧长及扇形面积的计算公式；
2．了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决问题．
教学重点
弧长与扇形的计算公式的推导与应用．
教学难点
弧长与扇形的计算公式的应用．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
创设情境
在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗？
让学生积极思考，然后小组讨论交流．
本题并不要求知道怎么做，只是激发学生探究兴趣．
探索一：弧长计算公式
问题1 如果圆形跑道的半径是36米，圆心角是180°，那么半圆形跑道长是多少呢？
1．让学生自己先做，然后交流解题的思路和方法．
所设计的三个问题逐步加深，渗透由特殊到一般，让学生学会如何思考问题．
问题2 如果将1中的圆心角变成是90°，60°，那么所对应的弧长分别是多少呢？
2．让学生自己先做，然后交流解题的思路和方法．
（可以追问，变成其他的角度，又该如何计算？）
问题3 已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长．
结论：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：
l＝ ．
3．让学生自己先做，然后交流解题的思路和方法．有以下两种思考方式：
解法一：因为360°的圆心角所对弧长就是圆周长C＝2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．
在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝．
解法二：利用所占圆周的比例来算．
练习1
（1）已知圆弧的半径为24，所对的圆心角60°，它的弧长为 ．
（2）已知一弧长为12πcm，此弧所对的圆心角为240°，则此弧所在圆的半径为 ．
每位同学先独立完成，然后请同学交流展示．
通过具体题目加深对公式的理解．
引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算公式，它揭示了l、n、R这3个量之间的一种相等关系．
探索二：扇形面积计算公式
1．回忆扇形的相关概念．
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形．
1．学生对照图形自己概述扇形的概念．
类比弧长的计算公式．
2．已知⊙O半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积．
圆心角是1°的扇形面积
是多少？
圆心角为n°的扇形面
积是多少？
2．让学生自己先计算，有困难的可以小组交流．
圆心角是1°的扇形面积是圆面积的．
圆心角是n°的扇形面积是圆面积的．
如果用字母 S 表示扇形的面积，n表示圆心角的度数，r 表示圆半径，那么扇形面积的计算公式是：
S＝ S＝πR2．
3．扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？
3．如果用字母 S 表示扇形的面积，n表示圆心角的度数，r 表示圆半径，那么扇形面积的计算公式是：
S＝πR2＝×＝lR．
练习2
(1) 一个扇形的弧长为20πcm，半径为24cm，则该扇形的面积为__________．
(2)扇形的圆心角为60°，半径为5cm，则这个扇形的弧长为_______， 这个扇形的面积为______．
(3)已知扇形的圆心角为120°,弧长为20π，扇形的面积为 ．
每位同学先独立完成，然后请同学交流展示，有困难的同学相互讨论交流．
通过具体题目加深对公式的理解．
引导学生用“方程的观点”去认识扇形面积计算的两个公式，它揭示了S、 l、n、R这几个量之间的一种相等关系．
例题分析
例1 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求的长．
1．先独立思考，然后小组合作交流，弄清解决问题的思路．
涉及的知识较多，先组织学生对相关知识进行回忆、反思．
例2 如图，折扇完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm，求图中阴影部分的面积S．
2．先独立思考，然后小组合作交流，弄清解决问题的思路．
引导学生读图，对图形进行分析，首先明白如何计算阴影面积，然后讨论有哪些计算方法．
拓展提升
如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆的3等分点．求弦AC、AD与围成的阴影部分的面积．
1．先独立思考，然后小组合作交流，弄清解决问题的思路．
2．引导学生进行分步思考：
（1）如何转化为熟悉的图形？
（2）转化后如何计算？
让学生独立思考，培养学生的分析、思维能力，同时也渗透常用的辅助线的作法．
总结
1．弧长、扇形面积公式；
2．不规则图形的面积的求法：用规则的图形的面积来表示；
3．数学思想转化的应用：
①转化思想；②整体思想．
尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识， 内化数学的方法和经验．
试对所学知识进行反思，归纳和总结．会对知识进行提炼，体会数学的思想和应用，将感性的认识升华为理性的认识．
课后作业
课本P85习题1、2、3、4．
独立完成．
应用所学知识解决问题．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：（南师附中江宁分校）
2.8 圆锥的侧面积
教学目标
1．了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题；
2．经历探索圆锥侧面积计算公式的过程，发展学生的实践探索能力；
3．让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．
教学重点
了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决问题．
教学难点
经历探索圆锥侧面积计算公式过程．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境引入
童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，高h＝15cm，底面半径r＝5cm，生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？（不计接缝用料和余料，π取3.14．）
先回忆思考，圆锥的侧面是什么形状？怎么求？然后小组讨论，最后全班交流．
通过身边熟悉的图形引出新知，激发学生的兴趣，导入新课，同时也渗透转化的数学思想．
实践探索一：圆锥的侧面积
1．圆锥的概念回顾．
（1） 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面．
（2）把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．
（3）连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．
（4）圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系：a2＝h2＋r2．
1．你能说说什么是圆锥？它是怎么构成的吗？
（学生自由回答，并由其他同学补充）
让学生加深对圆锥的认识．
2．圆锥的侧面展开：
（1）圆锥中的各元素与它的侧面展
开图是一个扇形；
（2）扇形的各元素之间的关系：
将圆锥的侧面沿母线l剪开，展开成平面图形，可以得到一个扇形，设圆锥的底面半径为r，这个扇形的半径等于什么？扇形弧长等于什么？
（3）圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样：
S圆锥侧＝S扇形=·2πr · l＝πrl．
（4）圆锥全面积计算公式：
S圆锥全＝S圆锥侧＋S圆锥底面
= πrl＋πr 2＝πr（l＋r）．
2．如何求圆锥的侧面积和表面积？
（学生自由回答，并由其他同学补充）
3．请归纳圆锥的侧面积和表面积计算公式．
各抒己见（让多个学生说说），全班交流讨论，并让学生点评．
渗透将空间立体图形转化成平面图形来研究的思想方法．
培养学生的归纳总结能力．
例题讲解
例1 用铁皮制作的圆锥形容器盖如图所示，求这个容器盖铁皮的面积（精确到1cm2）．
1．每个学生先独立思考并完成，有困难的可以在小组内交流，最后全班讨论交流．
让学生加深对圆锥侧面展开图与原来之间关系的理解，提升应用能力．
例2 已知Rt △ ABC中，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，求（1）以BC所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全面积；
（2）以AB所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全面积．
2．可以让学生先动手做一做，然后再独立完成，最后交流讨论．
对学生的空间想象能力要求较高，可以采取小组讨论交流的形式进行．
课堂练习
1．圆锥的底面半径为3，高为4，则母线长为 ，底面的周长为 ，侧面展开图的扇形的弧长为 ，侧面积为 ．
2．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ．
3．一个圆锥形零件的高30cm，底面半径40cm，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．
学生先独立思考并完成，然后集体反馈．
让学生说说自己是如何思考的？
巩固所学知识，特别是公式的灵活选用．
拓展提升
在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（如图中的阴影部分）．
（1）求这个扇形的面积（结果保留π）；
（2）用所剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆半径；
（3）在被剪掉的3块余料中，能否从中选取一块剪出一个圆作为“（2）”中所围成的圆锥的底面？
每位学生先独立思考，然后小组交流讨论，最后全班展示交流．
难度较大，主要是提升学生的应用能力．
总结
这节课你有哪些收获和困惑？
各抒己见．
培养学生归纳、口头表达能力．
课后作业
1．课本P87第1、2、3．
2．阅读课本P88图形的密铺．
独立完成．
进一步复习巩固所学知识．
课件17张PPT。2.1 圆九年级(上册)初中数学套圈游戏生活·活动2.1 圆（1） 只有一个小立柱，若全班同学沿着红线站成一横排，请问游戏对所有同学公平吗？谈谈你的想法.小立柱生活·活动2.1 圆（1）交流你的作法和体会．1．一段（两端已打结）的棉线．2．一段（两端已打结）的皮筋． 你能和你的同桌合作，利用它们，以及手中的笔，
在练习纸上分别作出圆吗？试一试．究竟圆有什么特点呢？我为大家提供了两件物品：数学·思考2.1 圆（1） 要确定一个圆,必须确定
圆的 和 ． 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”．圆心半径圆是一条封闭的曲线.通过刚才的操作，你认为什么是圆呢？数学·思考2.1 圆（1）圆上各点到圆心的距离都等于半径． 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离
为d，那么___________________________. P思考：为什么围成圆形游戏就公平？数学·思考2.1 圆（1）圆内各点到圆心的距离都小于半径．圆外各点到圆心的距离都大于半径． 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，那么 . OA(甲)P(丙)Q(丁) 甲、乙两人分别站在图中⊙O上的A、B两点处，他俩正准备参加游戏，后来丙、丁也赶来参加，并分别站在了图中所示的P、Q两点处．
如果你是甲同学，你会有怎样的看法？B(乙)数学·思考2.1 圆（1）到圆心距离等于半径的点都在圆上． 再后来，小兵同学也来参加游戏，他站的位置是图中所示的M点，但他发现地上的线几乎看不清了.
请问小兵同学怎样才能知道自己恰好站在圆上？ 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离
为d，那么 .
到圆心距离小于半径的点都在 ．到圆心距离大于半径的点都在 ．圆内圆外数学·思考2.1 圆（1）回到游戏圆是 点的集合.平面内到定点的距离等于定长的圆的内部是 点的集合.圆的外部是 点的集合.平面内到圆心的距离小于半径的平面内到圆心的距离大于半径的数学·思考2.1 圆（1）例1 已知⊙O的半径为4cm，如果点P到圆心O的距离为4.5cm，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？如果点P到圆心O的距离为4cm、3cm呢？如何判断点与圆的位置关系？
只需要比较点到圆心的距离d与半径r的大小关系.解：设⊙O的半径为rcm，点P到圆心O的距离为dcm．由题意得，r＝4cm．当d＝4.5cm时， ∵ d＞r，∴点P在⊙O外．当d＝4cm时， ∵ d＝r，∴点P在⊙O上．当d＝3cm时， ∵ d＜r，∴点P在⊙O内．知识运用2.1 圆（1）如图，已知点A，请作出到点A的距离等于2cm的点的集合．
（1）这个圆的外部是满足什么条件的点的集合？
（2）请用阴影表示出到点A的距离小于或等于2cm的点的集合．
A知识运用2.1 圆（1）如图，已知点A、B，且AB＝4cm.
（1）画出下列图形：
到点A的距离等于2cm的点的集合；
到点B的距离等于3cm的点的集合．
（2）在所画图中，到点A的距离等于2cm，且到点B的距离等于
3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．
（3）在所画图中，到点A的距离小于或等于2cm，且到点B的距
离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？把它表示出来． 知识运用2.1 圆（1）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点 B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．解题的依据： 要说明几点在同一个圆上，即说明这几个点到定点（圆心）的距离等于定长（半径）． 到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．巩固练习2.1 圆（1）解：连接MD、ME．∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°．
在Rt△BEC中，M为BC的中点，同理，∴MB＝ME＝MD＝MC，又∵已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．
试说明点 B、C、D、E在以点M为圆心的同一圆上．2.1 圆（1） 通过今天的学习，你能谈谈你对圆有什么新的认识吗？课本P40第1、2、3题.课后作业小结与思考2.1 圆（1） 红日、满月、飞轮、硬币……圆的形象处处可见.
平面图形中，圆象征着完美、和谐．2.1 圆（1）2.1 圆（1）课件19张PPT。2.1 圆（2）九年级(上册)初中数学2.1 圆（2） 据统计，某个学校的同学上学方式是，有50%的同学步行上学，有20%的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有30%，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式． 活动一 说说你是如何做的？ 2.1 圆（2）活动二圆的相关概念． 连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB). 经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).AB2.1 圆（2）活动二圆的相关概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧. 以A、B两点为端点的弧，记作 ,读作“弧AB”.2.1 圆（2）活动二圆的相关概念 直径将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆(如弧 ). 小于半圆的弧叫做劣弧,如记作
(用两个字母). 大于半圆的弧叫做优弧,如记作
(用三个字母).2.1 圆（2） 概念巩固：
如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？活动二圆的相关概念2.1 圆（2）圆心角 顶点在圆心的角(如∠AOB)．活动二圆的相关概念2.1 圆（2）活动二圆的相关概念圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆.O2.1 圆（2）活动二圆的相关概念能够互相重合的两个圆叫做等圆.2.1 圆（2）活动二圆的相关概念概念辨析：判断下列说法是否正确？
（1）直径是弦； （ ）
（2）弦是直径； （ ）
（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆； （ ）
（4）半径相等的两个半圆是等弧； （ ）
（5）长度相等的两条弧是等弧； （ ）
（6）半圆是弧； （ ）
（7）弧是半圆． （ ） 2.1 圆（2）活动二圆的相关概念同圆或等圆的半径相等.OA＝OB2.1 圆（2）活动三 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC与∠BOC有怎样的数量关系？2.1 圆（2）知识应用 例1 已知：如图，点A、B和点C、D分别在同心圆上.且∠AOB＝∠COD．∠C与∠D相等吗？为什么？2.1 圆（2）知识应用 例2 (1)在图中，画出⊙O的两条直径；
(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形.判断这个四边形的形状，并说明理由．2.1 圆（2）知识应用 例3 如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；2.1 圆（2）知识应用 （2）当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度，若不存在，请说明理由． 2.1 圆（2）总结 通过今天的学习，你能谈谈你的收获和困惑，对圆有什么新的认识吗？ 2.1 圆（2）课后作业 课本P41-42第1、2、3． 2.1 圆（2）课件17张PPT。2.2 圆的对称性 （1）九年级(上册)初中数学看一看2.2 圆的对称性（1） 你知道车轮为什么设计成圆形？设计成三角形、四边形又会怎样？从中你发现了什么？ 想一想2.2 圆的对称性（1） 圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O和⊙O′. (2)在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB ,
∠A′OB′，连接AB、 A′B′ .(3)将两张纸片叠在一起,使⊙O与⊙O′重合. (4)固定圆心,将其中一个圆旋转某个角度,使得OA与OA′重合.你发现了什么?请与同学交流.OAB想一想2.2 圆的对称性（1）议一议2.2 圆的对称性（1）当OA与O′A′重合时，
∵∠AOB＝∠A′O′B′，
∴OB与O′B′重合.
又∵OA＝O′A′，OB＝O′B′，
∴点A与点A′重合，点B与点B′重合.
∴ ＝ 重合，AB与A′B′重合，即
＝ ，AB＝A′B′ . 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等．议一议2.2 圆的对称性（1） 在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弧相等,那么它们所对的弦相等吗?这两个圆心角相等吗?为什么?AB＝A′B′∠AOB ＝∠ A′O ′B ′议一议2.2 圆的对称性（1） 在同圆或等圆中,如果圆心角所对的弦相等,那么圆心角所对的弧相等吗？它们圆心角相等吗？为什么？AB＝A′B′∠AOB ＝∠ A′O ′ B ′议一议2.2 圆的对称性（1） 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组都分别相等.AB＝A′B′.1．因为∠AOB＝∠ A′O ′B ′，所以AB＝A′B′; ∠AOB＝∠ A′O′ B′.3．因为AB＝A′B′,所以议一议2.2 圆的对称性（1）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.观察思考2.2 圆的对称性（1）典型例题2.2 圆的对称性（1） 例1 如图, AB、AC、BC都是⊙O的弦,∠AOC＝∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？ 典型例题2.2 圆的对称性（1） 例2 如图,在△ABC中, ∠C＝90°, ∠B＝28°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,交BC与点E．求AD、DE的度数. 1．如图1,在⊙O中,AC＝BD,∠AOB＝50o,求∠COD的度数. 2．如图2,在⊙O中, AB＝ AC ,∠A＝40o，求∠ABC的度数.课堂练习2.2 圆的对称性（1） 如图,在同圆中,若AB＝2CD,则AB与2CD的大小
关系是( )． A．AB＞2CD B．AB＜2CD
C． AB＝2CD D．不能确定B拓展练习2.2 圆的对称性（1） 拓展：在同圆中，若AB ＞ CD ，那么AB与CD的大小关系关系如何？ 1．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 2．在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组都分别相等.通过本节课的学习,你对圆的对称性有哪些认识？ 3．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.课堂总结2.2 圆的对称性（1）课本P48第2、3、4.作业2.2 圆的对称性（1）2.2 圆的对称性（1）课件19张PPT。2.2 圆的对称性 （2）九年级(上册)初中数学想一想2.2 圆的对称性（2）1．圆是什么对称图形？你是如何验证的？ （1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；
（2）圆是轴对称图形，经过圆心的直线是它的对称轴．2.2 圆的对称性（2） 2．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？你是如何验证的？想一想想一想2.2 圆的对称性（2）1 .圆既是中心对称图形，又是轴对称图形. 2 .圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.3 .可利用折叠的方法即可解决上述问题.做一做2.2 圆的对称性（2） 2．如何确定圆形纸片的圆心？动手试一试！ 做一做2.2 圆的对称性（2） 请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？想一想2.2 圆的对称性（2）③AM＝BM,AB是⊙O的一条弦.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.下图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?由①CD是直径②CD⊥AB条件结论想一想2.2 圆的对称性（2）垂径定理如图,小明的理由是:连接OA,OB,则OA＝OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA＝OB，OM＝OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM＝BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合,想一想2.2 圆的对称性（2） 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.CD⊥AB,如图∵ CD是直径,∴AM=BM,做一做2.2 圆的对称性（2） 1．下来图形中，哪些能使用垂径定理，为什么？做一做2.2 圆的对称性（2） 2．如图，⊙O直径CD与弦AB（非直径）交于点M，添加一个条件：____________，就可得到点M是AB的中点．典型例题2.2 圆的对称性（2） 例1． 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．典型例题2.2 圆的对称性（2） 例2．如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD相等吗？为什么？知识应用 2.2 圆的对称性（2） 1． “圆材埋壁”是我国古代著名数学家著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长．”根据题意可得CD的长为________．2.2 圆的对称性（2） 2． 已知⊙O的直径是50cm，弦AB∥CD，且AB＝40 cm，CD＝48 cm，求AB、CD之间的距离． 知识应用 拓展延伸 2.2 圆的对称性（2） 如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，弧 AB与弧CD相等吗？为什么？ 通过本节课的学习,你对圆的对称性有哪些认识？ 课堂总结2.2 圆的对称性（2）课本P49 的5，6，7, 8.课后作业2.2 圆的对称性（2）谢 谢!2.2 圆的对称性（2）课件26张PPT。2.3 确定圆的条件九年级(上册)初中数学2.3 确定圆的条件请你想办法 考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时，发现一圆形瓷器碎片，你能帮助考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？想一想 要确定一个圆必须满足几个条件?2.3 确定圆的条件复习回顾回忆：过一点可以作几条直线？
过两点可确定一条直线． 思考：过几个点可以确定一个圆呢？过几点可确定一条直线？过一点可以作无数条直线．2.3 确定圆的条件探索· 经过一个已知点A能确定一个圆吗?A···· 经过一个已知点能作无数个圆
你怎样画这个圆?2.3 确定圆的条件探索···· 经过两个已知点A、B能确定一个圆吗?AB 经过两个已知点A、B能作无数个圆 经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的一条直线上?
它们的圆心都在线段AB的中垂线上．2.3 确定圆的条件探索 经过A、B、C 三个点能不能作圆？如果能，可以作多少个？圆心在什么位置？如果不能，请说明理由． 2.3 确定圆的条件探索 1．如果三点A、B、C 不在同一条直线上，能否作圆？ 如果A、B、C 三点不在同一条直线上，可以作一个圆．圆心是线段AB、AC的垂直平分线的交点． 2.3 确定圆的条件探索 经过三个已知点A、B、C能确定一个圆吗？ 假设经过A、B、C三点的⊙O存在．（1）圆心O到A、B、C三点距离 （填“相等”或”不相等”） ．（2）连结AB、AC，过O点 分别作直线MN⊥AB，EF⊥AC，则MN是AB的 ；EF是AC的 ．（3）AB、AC的中垂线的交点O到B、C的距离 ．NMFE相等垂直平分线垂直平分线相等2.3 确定圆的条件探索 2．如果三点 A、B、C 在同一条直线上，能否作圆？ABC 如果三点 A、B、C 在同一条直线上，不能作出经过这三点的圆．2.3 确定圆的条件总结 不在同一条直线上的三点确定一个圆．结论2.3 确定圆的条件活动一 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形． 如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心．2.3 确定圆的条件画一画 已知△ABC，用直尺和圆规作三角形ABC的
外接圆． ABC2.3 确定圆的条件画一画ONMFEABC作法：
1．作线段AB的
垂直平分线MN；
2．作线段AC的
垂直平分线EF，交MN
于点O；
3．连接OB．
4．以O为圆心，OB
为半径作圆．
⊙O就是所求作的圆．2.3 确定圆的条件想一想 1．三角形有多少个外接圆?
2．三角形的外心如何确定？它到三角形三个顶点的距离有何关系?
3．圆有几个内接三角形?2.3 确定圆的条件 1．三角形有一个外接圆．
2．三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等．
3．圆有无数个内接三角形．想一想2.3 确定圆的条件做一做 判断题：
（1）经过三点一定可以作圆；（?? ）
（2）任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；（? ? ）
（3）任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；（?? ）
（4）三角形的外心是三角形三边中线的交点；（? ? ）
（5）三角形的外心到三角形各项点距离相等．（?? ）2.3 确定圆的条件想一想 现在你知道了怎样要将一个如图所示的破碎的瓷器复原了吗？方法：1．在圆弧上任取三点A、B、C．
2．作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心．
3．以点O为圆心，OC长为半径作圆．
⊙O即为所求．ABCO2.3 确定圆的条件典型例题 例1 如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置．（不写做法，尺规作图，保留作图痕迹）2.3 确定圆的条件典型例题例2 如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°；
（1）经过点A、B、D三点作⊙O；
（2）⊙O是否经过点C？请说明理由．2.3 确定圆的条件课堂练习 请用直尺和圆规分别作出直角三角形和钝角三角形的外接圆；观察所画图形，你发现三角形的外心和三角形有何位置关系？2.3 确定圆的条件 当△ABC是锐角三角形时，外心O在△ABC的内部；
当△ABC是直角三角形时，外心O在Rt△ABC的斜边上；
当△ABC是钝角三角形时，外心O在△ABC的外部．(图三)ABAA (图一)(图二)C●OBCCB●O●O课堂练习2.3 确定圆的条件课堂练习 选择题：
（1）三角形的外心具有的性质是（ ）
A．到三顶点的距离相等
B．到三边的距离相等
C．外心必在三角形的内部
D．到顶点的距离等于它到对边中点的距离
（2）等腰三角形的外心（ ）
A．在三角形内 B．在三角形外
C．在三角形的边上
D．在形外、形内或一边上都有可能2.3 确定圆的条件课堂练习 选择题：
（3）钝角三角形的外心在三角形（ ）
A．内部
B．一边上
C．外部
D．可能在内部也可能在外部总结 通过今天的学习，你能谈谈你的收获和困惑，对圆有什么新的认识吗？ 2.3 确定圆的条件课后作业 课本P52第1、2、3． 2.3 确定圆的条件2.3 确定圆的条件课件19张PPT。2.4 圆周角（1）九年级(上册)初中数学2.4 圆周角（1）请你评一评 足球训练场上教练在球门前画了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，甲、乙两名运动员分别在C、D 两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB 的张角大．如果你是教练，请评一评他们两个人，谁的位置对球门AB的张角大．思考：如果在⊙O上再任取一点Q，看看对球门AB的张角的大小是否变化． 2.4 圆周角（1）请你说一说定义：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.在上面的角有什么特征？如果请你命名，你叫它什么？ 判断下列各图中的角是否是圆周角?
并说明理由． 2.4 圆周角（1）请你说一说 1．请在⊙O中画出 所对的圆心角
和圆周角，你能画出多少个符合条件的
圆心角和圆周角?2.4 圆周角（1）思考与探索 2．BC所对的圆周角有无数个，观察你所画的图形，它们与圆心O有哪几种位置关系?O在∠BAC内O在∠BAC边上O在∠BAC外2.4 圆周角（1）思考与探索 3．当圆心O在∠BAC的一边上时，
圆周角∠BAC与圆心角∠BOC之间有怎
样的数量关系?你能证明你的发现吗?2.4 圆周角（1）思考与探索2.4 圆周角（1）思考与探索5．当圆心O在∠BAC的内部或外部时， 的关系还成立吗?2.4 圆周角（1）思考与探索2.4 圆周角（1）思考与探索2.4 圆周角（1）思考与探索2.4 圆周角（1）议一议 同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半.2.4 圆周角（1）典型例题 例1．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝150°，弧BC为70°，求∠ABD、∠AED的度数． 2.4 圆周角（1）典型例题 例2. 如图，P是△ABC的外接圆上的一点，∠APC＝∠CPB＝60°．
求证：△ABC是等边三角形．2.4 圆周角（1）练一练 1. 如图，点A、B、C、
D在⊙O上，点A与点D在
点B、C所在直线的同侧，
∠A＝35°.
(1)∠D＝_____°，理由是_______________________；
(2)∠BOC＝_____°，理由是_____________________________
___________________________.同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角等于该弧所对
的圆心角的一半.35702.4 圆周角（1）拓展提升 如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，
CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由．解：连接CF．
∵ ∠BFC是△BFC的一个外角，
∴ ∠BFC >∠BDC ．
∵ ∠BAC＝∠BFC ．（同弧
所对的圆周角相等）
∴ ∠BAC >∠BDC．2.4 圆周角（1）请你议一议这节课你有哪些收获和困惑？
开始的问题情境，你解决了吗？ 课后作业 课本P55，1、2、3． 2.4 圆周角（1）谢 谢!2.4 圆周角（1）课件16张PPT。2.4 圆周角（2）九年级(上册)初中数学2.4 圆周角（2）请你画一画 有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心． 问题1 如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?图1 问题2 如图2，圆周角∠BAC＝90o，弦BC经过圆心O吗？为什么？2.4 圆周角（2）请你想一想2.4 圆周角（2）请你议一议圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；用于判断某个圆周角是否是直角用于判断某条弦是否是直径90°的圆周角所对的弦是直径．2.4 圆周角（2）典型例题 例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．60°50°2.4 圆周角（2） 例2 已知：BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，AD⊥BC，垂足为D，AE＝AB，BE交AD于点F．
（1）∠ACB与∠BAD相等吗？为什么？
（2）判断△FAB的形状，并说明理由． ((典型例题2.4 圆周角（2）典型例题拓展：1．图中是否存在与FB相等的其他线段？2.4 圆周角（2）典型例题 拓展：2．在例2中，若点E与点A在直径BC的两侧，BE交AD的延长线于点F，其余条件不变（如下图），例2中的结论还成立吗？ 2.4 圆周角（2）现在你会了吗？ “有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心”．你现在能解决吗？2.4 圆周角（2）巩固练习 1．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°，
则∠ABC＝________．2.4 圆周角（2）巩固练习 2．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A、B重合），延长BD到点C，使DC＝BD，判断△ABC的形状： ． 2.4 圆周角（2）巩固练习 3．如图，AE是⊙O的直径，△ABC的顶点都在⊙O上，AD是△ABC的高，△ABE和 △ADC相似吗？为什么？2.4 圆周角（2）拓展提升 一个圆形人工湖，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角∠C＝45°，求这个人工湖的直径．2.4 圆周角（2）请你议一议这节课你有哪些收获？
今天我们学习了圆中有哪些常用辅助线？ 课后作业 课本P58第1、2、3． 2.4 圆周角（2）2.4 圆周角（2）课件14张PPT。2.4 圆周角（3）九年级(上册)初中数学2.4 圆周角（3）请你画一画 1．过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？2.4 圆周角（3）请你画一画 2．过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？2.4 圆周角（3）请你说一说 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．2.4 圆周角（3）请你想一想 1．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？2.4 圆周角（3）请你想一想 2．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？为什么？2.4 圆周角（3）请你想一想 3．请你归纳总结上面的发现，你能否将结论表述出来？定理：圆的内接四边形的对角互补．2.4 圆周角（3） 拓展：与∠DAE相等的角还有哪些？你能从中得到怎样的结论？ 例1 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若点E在AD上，求∠E的度数． 典型例题2.4 圆周角（3）典型例题 例2 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？ 2.4 圆周角（3）巩固练习 1．已知：图中，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，且∠AOC＝80 °，则 ∠D＝ ，∠CBE＝ ． 2.4 圆周角（3）巩固练习 2．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：4：7：m ，则m＝ ，∠D＝ ．3．课本60页练习1、2、3 ．2.4 圆周角（3）请你议一议这节课你有哪些收获？
开始的问题情境，你解决了吗？ 课后作业 课本P62第9、10、11． 2.4 圆周角（3）2.4 圆周角（3）课件21张PPT。2.5 直线与圆的位置关系（1）九年级(上册)初中数学2.5 直线与圆的位置关系（1）请你想一想 1．我们已经学习过点和圆的位置关系，请同学们回忆：
（1）点和圆有哪几种位置关系？
（2）怎样判定点和圆的位置关系？（数量关系——位置关系）2.5 直线与圆的位置关系（1）请你看一看 2．观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳经历了哪些位置关系? 通过这个自然现象，你猜想直线和圆的位置关系有哪几种? 通过这个自然现象，你猜想直线和圆的位置关系有哪几种?2.5 直线与圆的位置关系（1）请你看一看2.5 直线与圆的位置关系（1）请你画一画(1)直线和圆有两个公共点.2.5 直线与圆的位置关系（1）请你画一画(2)直线和圆有一个公共点．2.5 直线与圆的位置关系（1）请你画一画(3)直线和圆没有公共点.2.5 直线与圆的位置关系（1）(2)直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点.(1)直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交.(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.（1）（2）（3）请你想一想2.5 直线与圆的位置关系（1）请你想一想前面复习知道：
点和圆的位置关系可以用圆心到点之间的距离，这一数量关系来刻画它们的位置关系；
那么直线和圆的位置关系是否也可以用数量关系来刻画它们的三种位置关系呢?2.5 直线与圆的位置关系（1）请你想一想 3．直线与圆相离 <=> d＞r2．直线与圆相切 <=> d＝r1．直线与圆相交 <=> d＜r当直线与圆相交、相切、相离时，d与r有何关系？(3)相离
dO(2)相切rdO(1)相交r2.5 直线与圆的位置关系（1）请你想一想 直线与圆的位置关系中的d与点和圆的位置关系中的d，它们表示的含义相同吗？谈谈你的理解． 2.5 直线与圆的位置关系（1）典型例题 例1 在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r＝2；（2）r＝2 ；（3）r＝3．2.5 直线与圆的位置关系（1） 例2 已知：如图示，∠AOB＝30°，M为OB上
一点，以M为圆心，5cm长为半径作圆，若M在OB上
运动，问：
①当OM满足 时，⊙M与OA相离？
②当OM满足 时，⊙M与OA相切？
③当OM满足 时，⊙M与OA相交？典型例题2.5 直线与圆的位置关系（1）课堂练习 1．已知⊙O的直径为10cm，点O到直线的距离为d：
(1)若直线与⊙O相切，则d＝____；
(2)若d＝4cm，则直线与⊙O有_____个公共点；
(3)若d＝6cm，则直线与⊙O的位置关系是____．2.5 直线与圆的位置关系（1）课堂练习 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
(1)r＝2cm；(2)r＝2.4cm；(3)r＝3cm．2.5 直线与圆的位置关系（1）拓展提升 在平面直角坐标系中有一点A(－3，－4)，以点A为圆心，r长为半径时，思考：随着r的变化，⊙A与坐标轴交点的变化情况．2.5 直线与圆的位置关系（1）请你说一说 1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．直线与圆的位置关系中的d与点和圆的位置关系中的d，两者有何区别与联系？ 2.5 直线与圆的位置关系（1）0d＞r1d＝r切点切线2d＜rＯd┐┐rd相离 相切 相交 2.5 直线与圆的位置关系（1）课堂总结判定直线 与圆的位置关系的方法有____种：（1）根据定义，由________________的个数来判断；（2）根据性质，由___________________________
的关系来判断．在实际应用中，常采用第二种方法判定．两直线与圆的公共点圆心到直线的距离d与半径r2.5 直线与圆的位置关系（1）课后作业课本P65第1、2． 2.5 直线与圆的位置关系（1）课件16张PPT。2.5 直线与圆的位置关系（2）九年级(上册)初中数学2.5 直线与圆的位置关系（2）复习引入 1．已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米．直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系．2.5 直线与圆的位置关系（2）复习引入 2．你有哪些方法可以判定直线与圆相切？2.5 直线与圆的位置关系（2）请你画一画 １．过圆上一点画一条圆的切线，并说明理由，与你的同学交流你的想法.2.5 直线与圆的位置关系（2）请你议一议2．请你将上面发现的结论进行归纳总结． 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
判定定理的2个条件：
①直线与圆有公共点；
②直线与过公共点的半径垂直． 2.5 直线与圆的位置关系（2）请你议一议l（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线.
（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线.
直线与圆相切的判定方法：2.5 直线与圆的位置关系（2）典型例题 例1 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．2.5 直线与圆的位置关系（2）典型例题 拓展：如果AB不是直径，其余条件不变，上面的结论还成立吗？ 2.5 直线与圆的位置关系（2）请你想一想O直线l与⊙O相切于点A，你能得到哪些结论？圆的切线垂直于经过切点的半径.切线的性质：反证法：（1）假设直线l与OA不垂直．（2）作OB⊥ l，垂足为点B．（4）直线l与圆相交，与“直线l与圆相切”矛盾．（3）OB＜OA，即d ＜ r．2.5 直线与圆的位置关系（2）典型例题 例2 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠ABC，过点D的切线交AC于点E，DE与AC有怎样的位置关系？为什么？2.5 直线与圆的位置关系（2）课堂练习 1．如图，O是∠ABC的平分线上的一点，OD⊥BC于D，以O为圆心、OD为半径的圆与AB相切吗？为什么？2.5 直线与圆的位置关系（2）课堂练习 2．如图，AB是⊙O的直径，∠ABC＝45°，
AB＝AC．判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明
理由． 2.5 直线与圆的位置关系（2）拓展提升 如图：在△ABC中AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC，交AB的延长线于E，垂足为F．
求证：直线DE是⊙O的切线．2.5 直线与圆的位置关系（2）课堂总结1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．切线的判定有哪些方法？ 2.5 直线与圆的位置关系（2）课后作业课本P73第4、5、6、7． 2.5 直线与圆的位置关系（2）课件15张PPT。2.5 直线与圆的位置关系（3）九年级(上册)初中数学2.5 直线与圆的位置关系（3）请你想一想 如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？2.5 直线与圆的位置关系（3）请你说一说 三角形的内切圆的定义： 如图，⊙O叫做△ABC的内切圆，△ABC叫做⊙O的外切三角形． 2.5 直线与圆的位置关系（3）请你说一说 2.5 直线与圆的位置关系（3）请你画一画
问题１：作圆的关键是什么？问题２：怎样确定圆心的位置？问题３：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？（确定圆心和半径．）（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置．）（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径．） 作圆，使它和已知三角形的各边都相切． 已知： △ABC（如图）．
求作：⊙O，使它与△ABC的3边都相切． 2.5 直线与圆的位置关系（3）3．以I为圆心，ID为半径作⊙I，
⊙I就是所求的圆. 已知：△ABC（如图）．
求作：⊙O，使它与△ABC的3边都相切． ABC作法：1．作∠ABC、∠ACB的平分线BM、CN，
交点为I.2．过点I作ID⊥BC，垂足为D.请你画一画 2.5 直线与圆的位置关系（3）概念探究 三角形内切圆的圆心叫三角形的内心．②三角形的内心到三边的距离相等．①三角形的内心是三角形角平
分线的交点．③三角形的内心一定在三角形
的内部．想一想：内心有什么性质？2.5 直线与圆的位置关系（3）典型例题 例1 如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，
求∠EDF的度数．拓展：∠A与∠EDF有什么关系？ 2.5 直线与圆的位置关系（3）典型例题 例2 已知：点I是△ABC的内心，AI的延长线交外接圆于D．则DB与DI相等吗？为什么？2.5 直线与圆的位置关系（3）练一练 1．下列说法中，正确的是（ ）．
A．垂直于半径的直线一定是这个圆的切线 ；
B．圆有且只有一个外切三角形；
C．三角形有且只有一个内切圆；
D．三角形的内心到三角形的3个顶点的距离相等．2.5 直线与圆的位置关系（3）练一练 2．如图，⊙I切△ABC的边分别为D、E、F，∠B＝70°，∠C＝60°，M是DEF上的动点（与D、E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由． (2.5 直线与圆的位置关系（3）课堂总结1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．三角形的内心和外心有什么区别与联系？ 2.5 直线与圆的位置关系（3） 内 心（三角形内切圆的圆心）
三角形三边中垂线的交点．
三角形三条
角平分线的
交点．
(1)OA＝OB＝OC；
(2)外心不一定在三角形的内部．
(1)到三边的距离相等；
(2)OA、OB、OC分别
平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
(3)内心在三角形内部．
外 心
(三角形
外接圆的
圆心)2.5 直线与圆的位置关系（3）课后作业课本P70第1、2． 2.5 直线与圆的位置关系（3）课件17张PPT。2.5 直线与圆的位置关系（4）九年级(上册)初中数学2.5 直线与圆的位置关系（4）请你画一画 问题1．经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？点在哪里呢？2.5 直线与圆的位置关系（4）请你画一画点在圆内时，不存在切线． 2.5 直线与圆的位置关系（4）请你画一画点在圆上时． 点在圆上时，只能画一条切线 ． 2.5 直线与圆的位置关系（4）请你画一画点在圆外时． 点在圆外时，可以画两条切线． 2.5 直线与圆的位置关系（4）请你说一说 在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长． ·OPAB切线与切线长的区别与联系：（1）切线是一条与圆相切的直线；（2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长． 2.5 直线与圆的位置关系（4）请你想一想 若从⊙O外的一点引两条切线PA 、PB，切点分别是A、B，连接OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论．PA ＝ PB，∠OPA＝∠OPB．证明：∵PA、PB与⊙O相切，点A、B是切点．
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP＝∠OBP＝90°．
∵ OA＝OB，OP＝OP．
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ．
∴ PA ＝ PB， ∠OPA＝∠OPB ．试用文字语言叙述你所发现的结论．
2.5 直线与圆的位置关系（4）请你说一说 PA、PB分别切⊙O于A、B．PA ＝ PB．∠OPA＝∠OPB． 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 切线长定理B几何语言：反思： 切线长定理为证明线段相等、角
相等提供了新的方法．2.5 直线与圆的位置关系（4）典型例题 例1 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB、AC分别与小圆相切于点D、E．AB与AC相等吗？为什么？ 2.5 直线与圆的位置关系（4）典型例题 例2 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为C，交PA、PB于点E、F．
①已知PA＝12cm，求△PEF的周长；
②已知∠P＝40°，求∠EOF的度数．2.5 直线与圆的位置关系（4）课堂练习 1．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别为P、C、D．如果AB＝5，AC＝3．则BD的长为 .22.5 直线与圆的位置关系（4）课堂练习 2．如图，P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，PC＝OC，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B．如果⊙O的半径为5，则切线长为 ，两条切线的夹角为 °.602.5 直线与圆的位置关系（4）课堂练习 3．如图，如图AB是⊙O的直径，C为圆上任意一点，过C的切线分别与过A、B两点的切线交于P、Q，则∠POQ的度数为 °.若AP＝2，BQ＝5，则⊙O的半径为 .902.5 直线与圆的位置关系（4）拓展提升 如图，△ABC中,∠C＝90o，且AC＝6，BC＝8，
它的内切圆O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F，
求⊙O的半径r.68r6-r6-r8-rr8-r2.5 直线与圆的位置关系（4）课堂总结1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．切线与切线长的区别与联系？2.5 直线与圆的位置关系（4）课后作业1．课本P72第1、2．
2．阅读课本P75～76．2.5 直线与圆的位置关系（4）课件17张PPT。2.6 正多边形与圆(1)九年级(上册)初中数学2.6 正多边形与圆(1)请你看一看说说有哪些你熟悉的图形？2.6 正多边形与圆(1)请你说一说 观察下列图形，你能说出这些图形的名称和特征吗？2.6 正多边形与圆(1)请你说一说你能说说什么是正多边形吗？ 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．2.6 正多边形与圆(1) ①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形．（正三角形、正方形、正六边形，……） ②矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？请你说一说2.6 正多边形与圆(1) ①能否说各边相等的多边形是正多边形？ ②能否说各角相等的多边形是正多边形？ 大家议一议2.6 正多边形与圆(1)典型例题 例1 在等边三角形ABC中，E、F、G、H、L、K分别是各边三等分点，试说明六边形EFGHLK是正六边形． AECBFGHKL思考：如何利用圆来画正多边形？ 2.6 正多边形与圆(1)总结拓展2.6 正多边形与圆(1)请你画一画1．如图，已知⊙O．
（1）用量角器把⊙O五等份，依次连接各等分点，得五边形ABCDE；
（2）五边形ABCDE是正五边形吗？为什么？2.6 正多边形与圆(1)数学实验室 如图，点A、B、C、D、E、F六等分⊙O．
（1）在一张透明纸上画与下图形状、大小相同的图形，并把它们叠合在一起；
（2）把所画图形绕点O旋转60°，你发现了什么？再旋转60°呢？
你能从图形运动的角度说明六边形ABCDEF是正六边形吗？2.6 正多边形与圆(1)请你想一想正六边形与圆有何关系？ 一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形．正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径．2.6 正多边形与圆(1)请你想一想 例2 如图，正六边形ABCDEF的半径为4．求这个正六边形的周长和面积．2.6 正多边形与圆(1)请你练一练1．下列说法中正确的是( )．
A．平行四边形是正多边形；
B．矩形是正四边形；
C．菱形是正四边形；
D．正方形是正四边形．2.6 正多边形与圆(1)请你练一练 2．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数为 ． 3．已知正四边形的外接圆的半径为R，则正四边形的周长是 ． 课堂总结1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．如何画一个正多边形？ 2.6 正多边形与圆(1)课后作业1．课本P81第1、2、3、4．
2．阅读课本P81：判定正多边形的条件 ．2.6 正多边形与圆(1)2.6 正多边形与圆(1)课件22张PPT。2.6 正多边形与圆(2)九年级(上册)初中数学2.6 正多边形与圆(2)请你想一想 1．菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？它们是怎样的对称图形？2.6 正多边形与圆(2)请你画一画 2．下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如是轴对称图形，画出它的对称轴；如是中心对称图形，找出它的对称中心．2.6 正多边形与圆(2)请你说一说 3．通过上面的图形，你能发现正多边形有怎样的对称性？2.6 正多边形与圆(2)请你说一说 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心． 2.6 正多边形与圆(2)请你想一想 思考：在什么情况下，正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形？ 一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形．对称中心就是这个正多边的中心． 2.6 正多边形与圆(2)请你做一做2.6 正多边形与圆(2)请你做一做 1．下列命题中，正确的说法有_________________（填序号）．①正多边形的各边相等；②各边相等的多边形是正多边形；③正多边形的各角相等；④各角相等的多边形是正多边形；⑤既是轴对称图形，又是中心对称的多边形是正多边形．2.6 正多边形与圆(2)请你做一做2．下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )．
A．多边形；
B．边数为奇数的正多边形；
C．正多边形；
D．边数为偶数的正多边形．2.6 正多边形与圆(2)请你说一说 3．将一个正十边形绕它的中心至少旋转多少度，就能与它本身重合？正五边形呢？ 2.6 正多边形与圆(2)请你想一想请你想一想：如何画一个正方形？ 如果改为用直尺和圆规，如何作一个正方形？2.6 正多边形与圆(2)请你画一画作法：（1）在⊙O中作两条互相垂直的直径AC、BD．（2）依次连接A、B、C、D．四边形ABCD就是所求作的正方形． 拓展思考：如何做正八边形？十六边形？DABC2.6 正多边形与圆(2)请你想一想请你想一想：如何画一个正六边形？ 如果改为用直尺和圆规，如何作一个正六边形？2.6 正多边形与圆(2)请你画一画作法：
（1）在⊙O中任意作一条直径AD． OABCFDE（2）分别以点A、D为圆心，⊙O的半径为半径作弧，与⊙O相交于点B、F和点C、E．（3）依次连接A、B、C、D、E、F各点．正六边形ABCDEF就是所求作的正六边形． 2.6 正多边形与圆(2)请你想一想拓展思考：如何作三角形？正十二边形？2.6 正多边形与圆(2) 如图，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，顶角∠BAC＝36°，弦BD、CE分别平分∠EBC、∠ACD．
求证：五边形AEBCD是正五边形．典型例题2.6 正多边形与圆(2)课堂练习 1．正十二边形的每一个外角为 °，每一个内角是 °，该图形绕其中心至少旋转 °和本身重合．2.6 正多边形与圆(2)课堂练习 2．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，求阴影部分的面积． 2.6 正多边形与圆(2)3．用直尺和圆规作一个等边三角形． 课堂练习课堂总结 1．这节课你有哪些收获和困惑？
2．用直尺和圆规你能作哪些特殊的正多边形？如何作？ 2.6 正多边形与圆(2)课后作业1．课本P82第5、6．2.6 正多边形与圆(2)2.6 正多边形与圆(2)课件15张PPT。2.7 弧长及扇形的面积 九年级(上册)初中数学2.7 弧长及扇形的面积 请你想一想 在田径二百米跑比赛中，每位运动员的起跑位置相同吗？每位运动员弯路的展直长度相同吗？2.7 弧长及扇形的面积 请你算一算 1．如果圆形跑道的半径是36米，圆心角是180°，那么半圆形跑道长是多少呢？ 2．如果将1中的圆心角变成是90°、60°，那么所对应的弧长分别是多少呢？2.7 弧长及扇形的面积 请你算一算3．已知⊙O半径为R，求n°圆心角所对弧长． 2.7 弧长及扇形的面积 请你练一练 （1）已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为60°，它的弧长为__________.
（2）已知一弧长为12πcm，此弧所对的圆心角为240°，则此弧所在圆的半径为_________． 2.7 弧长及扇形的面积 请你想一想什么是扇形？请画图说明. 如下图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形．OBA圆心角2.7 弧长及扇形的面积 请你想一想圆心角是1°的扇形面积是多少？圆心角为n°的扇形面积是多少?结 论 ：如果用字母S表示扇形的面积，n表示圆心角的度数，r 表示圆半径，那么扇形面积的计算公式是：2.7 弧长及扇形的面积 请你想一想扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？ 类似于哪个公式呢？l比较这两个公式，
你能用l和R来表示S扇吗？2.7 弧长及扇形的面积 请你想一想 （2）扇形的圆心角为60°，半径为5cm,则这个扇形的弧长为_______, 这个扇形的面积为______. （1）一个扇形的弧长为20πcm，半径为24cm，则该扇形的面积为_______. （3）已知扇形的圆心角为120°,弧长为20π，扇形的面积为 ． 2.7 弧长及扇形的面积 典型例题 例1 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求 的长． 2.7 弧长及扇形的面积 典型例题 例2 如图，折扇完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm，求图中阴影部分的面积S．2.7 弧长及扇形的面积 拓展提升 如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆的3等分点．求弦AC、AD与 围成的阴影部分的面积．课堂总结 1．弧长、扇形面积公式；
2．不规则图形的面积的求法：用规则的图形的面积来表示；
3．数学思想转化的应用：
①转化思想；②整体思想．2.7 弧长及扇形的面积 课后作业课本P85第1、2、3、4．2.7 弧长及扇形的面积 2.7 弧长及扇形的面积 课件16张PPT。2.8 圆锥的侧面积 九年级(上册)初中数学2.8 圆锥的侧面积 请你帮帮忙 童心玩具厂欲生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，高h＝15cm，底面半径r＝5cm，生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？（不计接缝用料和余料,π取3.14．）请你想一想2.8 圆锥的侧面积 1．圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，它的底面是一个圆，侧面是一个曲面. 2．把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线． 圆锥的再认识A1A2问题：圆锥的母线有几条？ 2.8 圆锥的侧面积 3．连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高． 如图中l是圆锥的一条母线，而h就是圆锥的高． 4．圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系：请你想一想圆锥侧面展开图2.8 圆锥的侧面积 1．圆锥的侧面展开图是一个扇形. 2．圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径. 3．圆锥的底面圆周长＝侧面展开后扇形的弧长．2.8 圆锥的侧面积 圆锥的母线长为a，底面的半径为r，求这个圆锥的侧面积和全面积． 圆锥的侧面积公式为： 全面积公式为：圆锥侧面展开图典型例题2.8 圆锥的侧面积 例1 用铁皮制作的圆锥形容器盖如图所示，求这个容器盖铁皮的面积（精确到1cm2 ） ． 典型例题2.8 圆锥的侧面积 例2 已知Rt △ABC中，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，求（1）以BC所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全面积；
（2）以AB所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全面积． 课堂练习2.8 圆锥的侧面积 1．圆锥的底面半径为3，高为4，则母线长为 ，底面的周长为 ，侧面展开图的扇形的弧长为 ，侧面积为 ．课堂练习2.8 圆锥的侧面积 2．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ．课堂练习2.8 圆锥的侧面积 3．一个圆锥形零件的高30cm，底面半径40cm，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．拓展提升2.8 圆锥的侧面积 在半径为 的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的扇形（如图中的阴影部分）．
（1）求这个扇形的面积（结果保留π）；拓展提升2.8 圆锥的侧面积 （2）用所剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求这个圆锥的底面圆半径；
（3）在被剪掉的3块余料中，能否从中选取一块剪出一个圆作为“（2）”中所围成的圆锥的底面？课堂总结2.8 圆锥的侧面积 本节课我们有什么收获? 本节课我们认识了圆锥的侧面展开图，学会计算圆锥的侧面积和全面积，在认识圆锥的侧面展开图时，应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确.课后作业1．课本P87第1、2、3．2．阅读P88图形的密铺．2.8 圆锥的侧面积 2.8 圆锥的侧面积 当一回设计师
在大型剧场和体育馆的建筑中，为了不妨碍观众的视线，建筑的中间部分是不能有柱子的．这种面积非常大的大厅的顶部，其设计还要便于施工，因此最好是在地面整块造好后再被吊装上去．屋顶既大又重，一般在制作时也不宜占用附近大面积的场地，更不能造好后作较长距离的搬运，而且屋顶的面积一定要大于所有圆周的柱子所围成的面积．21世纪教育网版权所有
现在要造一座圆形的体育馆，体育馆一周的柱子也排成圆周形，如下图，请你设计一种方案，让大屋顶在什么地方制作，如何制作，又如何安装？
事实上，为了克服场地和搬运问题，因地制宜，就在体育馆的地基上进行，先造好所有柱子．由于屋顶比柱基围圆要大，则先把每根柱基所占的位置空出来，即屋顶是一个有排列和柱基相同的圆孔的大圆盘，制作成功后，把这个大圆盘起吊到顶部，再利用圆形所固有的性质，将大圆盖绕圆心旋转任意的角度与原来的位置相重合．因此圆盖只需稍作旋转，圆盖就盖住了四周的柱顶而成为比地基大的圆形大屋顶了．21教育网
?比萨斜塔
比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼．
比萨斜塔于1174年动工兴建，1350年完工，为8层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成，塔高54.5米，塔身墙壁底部厚约4米，顶部厚约2米，塔体总重量达1.42万吨．在底层有圆柱15根，中间六层各31根，顶层12根，这些圆形石柱自下而上一起构成了八重213个拱形券门．整个建筑，造型古朴而灵巧，为罗马式建筑艺术之典范．钟置于斜塔顶层．塔内有螺旋式阶梯294级，游人由此登上塔顶或各层环廊，可尽览比萨城区风光．21教育网
建塔之初，塔体还是笔直向上的．但兴建至第三层时，发现塔体开始倾斜，工程被迫停工．塔体出现倾斜的主要原因是土层强度差，塔基的基础深度不够（只有3米深），再加上用大理石砌筑的塔身非常重，因而造成塔身不均衡下沉所致．这种情况的发生，完全是由于建筑师对当地地质构造缺乏全面、缜密的调查和勘测，使其设计有误、奠基不慎造成的．塔停建96年后，又开始继续施工．为了防止塔身再度倾斜，工程师们采取了一系列补救措施．如，采用不同长度的横粱和增加塔身倾斜相反方向的重量等来设法转移塔的重心．但由于建成的三层倾斜已成事实，所以，全塔建成后，塔顶中心点还是偏离塔体中心垂直线2米左右．600多年来，因松散的地基难以承受塔身的重压，仍然继续而缓慢地向南倾斜．塔基南面已开始下沉．特别是近一个世纪以来，塔已向南倾斜了大约30厘米，斜度达到8度，塔身超过垂直平面5.1米．1972年10月，意大利发生的一次大地震使斜塔受到了强大的冲击，整个塔身大幅度摇晃达22分钟之久，极其危险．幸运的是，该塔仍巍然屹立．这种“斜而不倾”的现象，堪称世界建筑史上的奇迹，使比萨斜塔闻名遐迩．据说，1590年意大利伟大的科学家伽利略，曾在斜塔上做过著名的自由落体运动实验．他使两个重量不等的铁球从塔顶垂直自由落下，结果同时着地，从而一举推翻了古希腊著名学者亚里士多德关于重量不同的物体，其下落的速度也不同的定理．由此，比萨斜塔更加名噪全球．
为了使这座世界闻名的历史建筑物免遭坍塌之厄运，从19世纪开始，人们就对其采取了各种挽救措施．1930年，有关部门在塔基周围施行灌浆法加以保护．意大利政府还于1965年和1973年两次出高价向各界征求合理的建设性意见．有趣的是，正当有关专家选择方案、计划动工时，经比萨大学用高精度电子仪器测定证明，1978年该塔仅倾斜0.027毫米，几乎停止了倾斜．而最近两年，更有改“斜”归正的趋势，已朝垂直方向转回3.15毫米．据专家称，这主要是由于1984年以来该地连续多场大雨，造成比萨周围地面的湿度增加，水分渗入地下，使塔基发生变化所致．21世纪教育网版权所有
水面上的圆
??? 你儿童时代可能不止一次地欣赏过，把一块石块丢到平静的水面上所造成的那个圆形的波纹．而且，你毫不怀疑对于这个自然现象的解释，你从未感到过困难，水面受到石块掷击后，激起的波浪就会以相同的速度从这一点向四周展开，因此，每一瞬间的波浪的各点都是处在波浪发生点同样距离的地方，也就是说，各个点都处在同一个圆周上．21教育网
??? 上面是说在静水中的情形．那么，在流动着的水中，事情有没有变化呢？在快速流动的河水中，由于投石所激起的波纹向四周扩展的情形，究竟仍然是圆形的，还是被流水拉长的一个椭圆呢？21世纪教育网版权所有
??? 想象中，仿佛这个波纹在流水中一定会顺着水流的方向伸长，因为波纹的展开，在沿水流的方向上是要比在逆流或两旁的方向都要快．那么在流动水面上的波浪各点，似乎要形成一个伸长的封闭曲线，在任何情况下不会是一个标准的圆形．事实到底如何？即使你把石头丢到流速最大的河水中，你看到的也一定是激起圆形的波纹——标准的圆形——和在静水中投下石块的情形完全相同，这是为什么呢？21·cn·jy·com
??? 假如河水没有流动，波纹一定是圆形的．那么流动的水流对于这个波纹的影响，是把这个圆形波纹上的所有各点都沿着互相平行的方向，用相等的速度就是同时移动同样的距离，进行“平行移动”．所以一个圆周在平行移动之后，也必然得到一个全等的圆周．21cnjy.com
??? 因此在平静的水面上和流动的水面上丢下的石块所击起的波纹只不过是：一个是不动的圆周；另一个是以水流的速度移动的圆周．它们都是标准的圆周，是没有疑问的．www.21-cn-jy.com
学校的位置
??? 远郊新建三个大型住宅新村，房屋结构合理，物业管理齐全，环境幽雅，空气清新，花园式的建筑让人心旷神怡．安居后才发现，有孩子上学的家庭面临着一个极大的问题：上学的路途太远，给家长们带来了莫大的烦恼，每天上班、上学常常是车上人满为患，路上交通堵塞．这种情况你和你周围的家长或同学有过相同的感受吗？21世纪教育网版权所有
??? 好了，政府决定就近建立一所小学，而就学校的位置距离哪一个新村的远近问题迟迟未定，请你帮助找出学校的位置，让三个新村的学生到达学校的距离相等．如果你做的不公平，学生会因为路程不等而埋怨你哟！
??? 通过画图，可以清楚地看到，三村不在同一条直线上时，学校就建立在这三村能确定的圆的圆心附近，三个新村的学生到学校的路程大致相等．
??? 如果再建新村，你建议在什么位置，才能让新住宅的孩子不比别的新村孩子上学的路途更远呢？这个问题的答案一定难不倒你了！21教育网
水塔的位置
??? 三个村庄共建一座水塔，以解决三个村庄的用水问题．水塔建在什么位置合适呢？
??? 因为水流既不像人走，也不同于车行，所以首先要考虑的是节省，铺设地下管道既要使管道最短，也能使铺设的过程省劳力，减少管道占地，因此水塔的地点P必须距三个村庄A、B、C的路程之和PA＋PB＋PC最短．
??? 上述问题被称为“三村短路”问题．据史料记载，“三村短路”问题是瑞士数学家施泰纳在19世纪提出的．施泰纳就是首次证明出莱默斯提出的命题：“若21·cn·jy·com
△ABC的∠B和∠C的平分线相等，则AB＝AC”，而以施泰纳－莱默斯定理闻名于世的几何学家．也有史料说是法国数学家费马向伽利略的高足意大利物理学家托里拆利提出这样的一个问题的．www.21-cn-jy.com
??? 如果A、B、C三点顺序共线，那么水塔建立在线段AC上任意一点（包括端点）路程都一样．
??? 对于已知的不共线三点A、B、C，使PA＋PB＋PC最小的点P称为三角形ABC的最小点，也有的称为费马点．2·1·c·n·j·y
??? 容易证明，点P不可能在△ABC的形外，而只可能在△ABC的形内或形上．
??? 我们在这里长话短说．点P在哪里，如何找出点P，至于什么原因，还是留给读者以后思考，原因还是很复杂的．如果△ABC的各角都小于120°，则有满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P是△ABC的最小点．
??? 以△ABC的任意一边为一边（比如以BC边为例）作等边△BCD，连结AD交△BCD的外接圆于点P，点P一定使得∠BPC＝120°，而∠BPD＝∠BCD＝60°．21世纪教育网版权所有
∠CPD＝∠CBD＝60°，所以有∠APB＝∠APC＝120°．
??? 若△ABC中，有一个角如∠A≥120°，则当点P与点A重合时，PA＋PB＋PC最小．
??? 水塔的位置确定了，最后还告诉你一个小秘密，水管至少要多长呢？也就是PA＋PB＋PC的最小值是：．21教育网
??? 当然，这些都是理论上的数据，在实际操作中可供参考，是先算好了再买水管，还是现买现用，只能由你自己了．21cnjy.com
加油站的位置
现代汽车客运、货运繁忙，公路纵横交错、四通八达、为了方便，公路两旁的加油站形成了一道美丽的风景．现有三条公路的交会位置如下图所示，请你设计一下在交会附近的什么地方建立一座加油站，使得在这三条公路上运行的汽车到加油站的路程相等？21世纪教育网版权所有
聪明的朋友一看便知三分，三条公路交会成三个交点，组成一个三角形，三角形的内心到三边的距离是相等的．因而，加油站就建立在内心的位置．
这个位置是满足我们的条件的，但满足条件的位置不仅仅这一处！
如果作△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点O1 ，那么O1到△ABC的三边所在的直线的距离也是相等的吗？（下图）O1也在△ABC的∠A的平分线上，我们把一个三角形一个内角的平分线与其余两角的外角平分线的交点称为这个三角形的旁心．以这点为圆心与三边所在直线都相切的圆称为这个三角形的旁切圆．每一个三角形有几个旁切圆呢？有几个旁切圆就有几个旁心．旁心和内心的位置到三条公路的距离都相等，所以我们的答案是共有四处可以建立满足条件的加油站．请你用尺规在我们的图上找出这些位置的点．21教育网
?赤道上的钢丝绳
假定一根钢丝绳紧紧地捆在地球赤道这个大圆周上，这根钢丝绳长大约为
40 000 000米．夜晚气温降低，钢丝绳遇冷收缩．你想会发生什么情况呢？如果气温仅仅降低1°，钢丝绳的长度要缩短十万分之一，它的全长因此要缩短400米，那么钢丝绳的半径就要缩小米．这就是说，钢丝绳冷却后，由于缩短而要切入地面的深度竟有64米之多．21世纪教育网版权所有
作为生活小常识，生活中使用铁丝时，是不是首先要考虑这样的问题？铁路的铁轨为什么有间隙？电线电缆为什么途中打一个圈？明白它们的重要之处吧！
蜜蜂与数学
蜜蜂们依靠某种几何学上的预见，知道六边形大于正方形和三角形，可以用同样的材料储存更多的蜜．
蜜蜂没有学过有关的几何知识，但它们所建筑的蜂房结构却符合了极大极小的数学原则．对于正方形、正三角形和正六边形来说，如果面积都相等，那么正六边形的周长最小．这意味着蜜蜂选择建筑六角柱巢室，比建正方形或正三角形为底的棱柱巢室，可用较少的蜂蜡和做较少的工作围出尽可能大的空间，从而储存更多的蜜． 21世纪教育网版权所有
现在我们来证明：面积一定的正三角形、正方形和正六边形中，以正六边形的周长为最小．
证明：设给定面积为S．
面积为S的正三角形、正方形、正六边形的边长分别为a3、a4、a6．则
，
∴ 、、．
∴正三角形周长；正方形周长；
正六边形周长．
∵．所以六边形的周长为最小．
“数学中的人类基因组计划”E8结构图绘制完成
E8的根系统图之一，由8维空间里的240个向量组成．（图片提供：MIT）
自从挪威数学家Sophus Lie于1887年发现E8数学结构群后，研究人员就一直试图彻底了解这个由40多万个行和列组成的数字矩阵表达的超级复杂结构．21cnjy.com
现在，一个由18位数学家组成的国际专家组利用功能强大的超级计算机和编程技术，绘制出了E8的结构图．这一成果可谓“数学中的人类基因组计划”，有望促使几何学、数论和弦理论等众多领域产生突破性进展．该小组成员之一、美国麻省理工学院(MIT)数学教授David Vogan于3月19日在MIT正式宣布了这一发现．
领导该项目的美国马里兰大学数学家Jeffrey Adams表示：“与人类基因组计划对生物学具有重要的基础性意义但是却不能立即研制出治疗癌症的药物一样，E8结构图也是至关重要的基础研究，但它的影响和意义可能要过许多年才能真正为人所知．”21·cn·jy·com
绘制E8结构图是一个更大项目——Lie群Atlas计划的一部分．Lie群是对连续对称物体的数学描述，这些物体包括圆锥、球体和它们在更高维度上的形式．数学家们很好地了解了Lie群中的许多形式，但E8是其中最复杂的一种．21教育网
正方形的对称很容易理解，沿着对角线或者对边中点连线都能实现正方形的对称．这些对称形成了一个Lie群，它仅包括拥有2个自由维度的成员．相应地，球体的表面是2维连续对称的，因为它只有两个方向的坐标(如地球的经度和纬度)．但对于空间来说，它能沿着3个轴(x轴、y轴、z轴)旋转，因此Lie群是3维的．然而，我们无法继续这样用大脑想象出E8的结构，因为这种对称代表的是57维的物体．而相应的Lie群则是异常庞大的248维．21世纪教育网版权所有
正是由于这种超常的规模和复杂程度，完成计算E8的工作最终花费了超级计算机塞奇(Sage)77个小时，产生的文件数据有60G，而人类基因组计划还不到1G．如果把计算结果以小字体写在纸上，将能铺满美国纽约的曼哈顿岛．似乎一般家庭电脑的硬盘能够存储这些数据，但是要获得这些数据，电脑的内存要有几十个G，这远远超出了一般家用电脑的配置．www.21-cn-jy.com
该运算过程非常复杂，需要计算机专家们拥有广泛的经验，既能够开发新的数学技术，又能够开发新的编程方法．尽管在运算过程中出现了无数的软件和硬件问题，整个计算过程最终还是于2007年1月8日早上9点完成．2·1·c·n·j·y
Atlas研究小组由来自欧洲和美国的18位科学家组成．美国国家科学基金会(NSF)通过美国数学协会资助了整个Atlas研究计划，该计划的目的在于确定所有Lie群的统一表达，其中E8的计算是重要的一步，它的完成表明Atlas小组的研究方向是正确的．【来源：21·世纪·教育·网】
头比脚多移动了
人类生活在地球这个大球面上，而我们的身体始终要保持垂直于地平面，也就是说，人的头、脚、地心要保持在同一条直线上．有部小说中的一位主人公仿佛曾经做过这样的计算：当你环球旅行的时候，究竟身体的哪一部分走了更多的路呢——头顶、还是脚底？假如我们用适当的方式提出这个问题来，倒还是一道很有意味的几何题呢！21世纪教育网版权所有
假设地球的半径为R，则你的脚在赤道上环绕地球一周一共走了2πR的路程，同时你的头顶走过了2π（R＋h）的路程，h是你的身高，因此，头和脚所走距离的差等于2π（R＋h）－2πR＝2πh．21cnjy.com
如果你的身高大约1.7米，则头比脚多走了10.7米．
有趣的是，答案里并不包括地球半径的值，无论你环绕地球一周，还是环绕一个小球一周，头比脚多走的是一样的结果．总之，两个同心圆周长之差并不决定于它们的半径，而决定于两个圆周间的距离．沿地球赤道一圈堆上1分米高的土堆环，所增加的圆周长，和一个小篮球滚上1分米厚的泥土后所增加的大圆周长完全一样．假定把一根铁丝捆到地球赤道上，然后把这根铁丝放长1米，那么一周都松下来的铁丝和地球之间的间隙，能不能通过一只老鼠呢？看起来这个间隙一定很小，1米同地球赤道的40 000 000米相比，简直相差太大了，可以忽略不计，而事实上这个间隙的大小竟有厘米≈16厘米，这个高度，别说是小老鼠，一只大猫也可以大摇大摆地走过去．21教育网
机灵狡猾的老鼠
猫是老鼠的天敌．
却说有一只老鼠在庄稼地里为非作歹，碰上了猫，左躲右闪．想回自己的鼠洞，已不可能，猫断了它的退路，身边只有一个圆湖．唯一的出路只有跳入水中，它知道猫不会游水，否则必死无疑；而猫也不愿意放弃这顿即将到嘴的美餐，于是死死盯住老鼠在圆湖边奔跑，打算在老鼠盲目上岸时抓住它．已知猫的速度是老鼠游水速度的2倍，老鼠有没有办法逃脱“虎”口呢？21教育网
如上图，如果老鼠跳入水中径直向前游向对岸，这样老鼠的游程就是圆湖的直径2R（R是圆湖的半径），而猫的路程是半圆弧πR，猫的路程是老鼠游程的 倍．显然，老鼠这样盲目上岸，猫已在那儿等候着了！狡猾的老鼠游到湖心时侧脸看到了猫，知道了自己的处境，它想要让猫跑得路程更多，自己才有脱险的可能，于是它连忙背转猫游向岸边，这一下猫弄得左右为难，好半天才回过神来，刚知道左跑右跑都一样，都要绕过半圆周长，这时老鼠上岸的游程仅为半径长，猫的路程是老鼠游程的倍，所以当猫绕过半圆到达老鼠上岸地点时，老鼠早已逃之夭夭了．21cnjy.com
多么惊险的一幕啊！老鼠回到洞里还在心惊肉跳，没有脱险之前，心情不比这还要紧张吗？假如真是这样，老鼠也该松口气了！但事实是怎样的呢？
当老鼠跳入水中，当时并没有立即想出脱身的方法，等到渐渐地冷静下来时已气力不支了，游速也渐渐地慢了下来．这时猫的速度已是老鼠游速的4倍．即使按上述方法，显然猫赶在老鼠的前头，老鼠无法脱身，似乎处于绝境．然而，机灵的老鼠还是开动脑筋想出了一条妙计，他不能立即上岸，便在圆湖里以湖心O为圆心，在圆湖半径R的0.25倍为半径的圆周上，放慢速度游动，猫紧紧地盯住老鼠，绕圆湖这个大圆周奔跑，老鼠设法消耗猫的体力，同时再设法让猫和自己隔着湖心相望，一旦处于这种位置，老鼠再背转猫向岸边游去，猫料到老鼠向岸边点P，连忙向着目标追赶，它跑过的路程仍是半圆周长πR；而这样老鼠的游程则为R－0.25R＝0.75R，猫的路程是老鼠游程的倍．这样老鼠乘猫精疲力竭之时也能脱险．21·cn·jy·com
这只不过是利用数学知识来杜撰的一个奇妙的童话而已，老鼠再聪明也不会有这样的数学能力．少年朋友读了这则故事后从中受到什么启发呢？当遇到困难时，要正视现实，充分发挥自己的聪明才智，运用数学知识来研究对策，上面这个例子就是“对策论”的妙用．逃脱“虎”口的关键在于发现这个半径为的圆与圆湖为同心圆，在这样一个极有意思的小区域里，可以求得老鼠逃生的最优策略．21世纪教育网版权所有
贪婪的巴霍姆
著名的俄国作家列夫·托尔斯泰在他的著作《一个人需要很多的土地吗？》里，叙述了一个发人深省又意味深长的故事：有一个名叫巴霍姆的，到草原上去购买土地．卖地的人提出了一个非常奇怪的地价：“每天1000卢布”．这是什么意思呢？巴霍姆没有听懂这是什么面积单位呀？一天等于多大面积？原来，那个卖地的人是论天出卖土地的，你一天从日出到日落所走的路围成的土地就是你的了，而价钱是1000卢布．不过如果在日落之前买地的人赶不及回到你的出发点，你就白花了一千卢布，一点土地也得不到．21教育网
巴霍姆觉得这个价钱很不错，一天之内是可以走出很大的一块地面来的，于是他付了钱，第二天天还没亮就来到了约定地点，他把狐皮帽子脱下放在地上，作为出发点的记号．太阳还只刚从地平线上稍一露面，巴霍姆就向草原大踏步走去．www.21-cn-jy.com
大约走了5俄里（1俄里＝1.0668千米）后觉得很早——只是吃早饭的时候，所以又继续向前走了5俄里，才向左拐去，又笔直地向前走了许久许久，觉得又走了不少了，才再次向左拐弯，又朝出发点望了望，觉得这两边走得太多了，又望了望太阳，已经将近中午了，决定第三边要少走一些，走出了2俄里，看看天色不早而距离出发点还有15俄里，不能按原先想的那样走出一块方地，这时，他只好朝着出发点沿直线走去．2·1·c·n·j·y
巴霍姆就这样一直走着，已是疲惫不堪了，他想休息一会儿，但他看了看太阳，却还得逐渐加快脚步，最后他不得不大步跑了起来．他的衬衣、衬裤已经被汗水湿透，贴到身体上了，嘴里干得冒出火，胸膛里仿佛有一只铁匠用的风箱在抽着，心像铁锤般在砰砰乱敲，巴霍姆用尽了最后一丝力量，终于赶在太阳还剩一点弓形没落到地平线以下，两腿一软，急忙扑倒在地，两手刚好抓到了狐皮帽子．人们急忙赶去想把他扶起来，却见巴霍姆口吐鲜血，已经死了．
托尔斯泰撰写这个故事的目的，是讽刺那些贪婪成性的家伙，但在这个故事里蕴涵着一个有趣而且并不一般的几何问题，才是我们关心这个故事的真正目的．21世纪教育网版权所有
巴霍姆这天共走了多少路？他走过的路所围成的土地有多大面积？他走这些路应该围成什么样的图形才能得到最大的面积？根据托尔斯泰的描述，巴霍姆这一天行走的路程构成如图所示的梯形ABCD．他所走的路程为AB＋BC＋CD＋DA，只需求BC即可，而很显然（俄里）．因此，巴霍姆这天共走了：10＋12.65＋2＋15＝39.65（俄里）．
根据梯形面积公式可得，巴霍姆这天走过的路所围成的土地面积是： （平方俄里）．如果巴霍姆知道他一天里能走过39.65俄里的路，那么他设计一下走成正方形，那么他围成的土地面积就是 平方俄里．21cnjy.com
如果巴霍姆用39.65俄里的路程围成一个圆形．这个圆形的半径是 俄里，那么他围成的土地面积就是平方俄里．
用生命买下的土地，还不是自己所想得到的最大面积，如果贪婪的巴霍姆知道后，他在九泉之下也不会瞑目的！21·cn·jy·com
圆内角与圆外角
基本概念
圆内角：圆的两条弦在圆内相交所成的角叫做圆内角．如图1，在⊙O中，弦AB、CD交于一点P，则∠APC、∠APD、∠BPD、∠BPC就是圆内角；圆外角：圆的两条弦在圆外相交所成的角叫做圆外角．如图2，在⊙O中，弦AB、CD交于一点P，则∠APC就是圆外角；21世纪教育网版权所有
基本性质
定理1：圆内角的度数等于它（及其对顶角）所对的两条弧的度数和的一半．定理2： 圆外角的度数等于它所对的两条弧的度数差的一半．
证明
如图，过C作CE//AB，交圆于E，则有∠P＝∠DCE，＝，而∠DCE的度数等于的一半，＝－＝－．所以∠DCE的度数等于“－”的一半．即“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”．另外也可以连接BC，则∠P＝∠BCD－∠B．∠BCD的度数等于的度数的一半，∠B的度数等于的度数的一半，同样得“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”．21教育网
圆内角的证明完全类似．
过C作CE//AB，交圆于E，则有∠APC＝∠C，＝．而∠C的度数等于的一半，＝＋＝＋ ．所以∠APC的度数等于“＋”的一半．即“顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数和的一半”．
另外也可以连接BC进行证明．
四点共圆
圆内接四边形的四个顶点在同一个圆上，可以称这四点共圆．四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．21cnjy.com
四点共圆的性质：（1）同弧所对的圆周角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角．以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明．21教育网
证明四点共圆有下述一些基本方法．方法1：从被证共圆的四点中先选出三点作一个圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．方法2：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两个三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两个顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径．）方法3：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．方法4：把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（根据托勒密定理的逆定理）上述基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种条件，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这几种基本方法中选择一种证法，给予证明． 21世纪教育网版权所有
怎样判定一条直线是圆的切线
答：利用切线的定义和判定定理可判定一条直线是圆的切线．
由直线和圆的位置关系可以知道，当直线和圆相切时，直线和圆心的距离等于半径，这就是切线判定的一个定理． 21教育网
切线的判定定理：经过半径外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．
应该注意，这个定理包含了两个条件．
(1)直线经过半径的外端点；
(2)直线垂直于这条半径．
这两个条件缺一不可．
应该说，判定直线和圆相切的方法有三种：
(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
(3)过半径外端和半径垂直的直线是圆的切线．
下面举例说明怎样证明一条直线是圆的切线．
例1 已知：如图1所示，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，C是AB延长线上一点，∠A＝30°，AD＝DC．21cnjy.com
求证：CD是⊙O的切线．
证明：连结OD．
∵AD＝DC，∠A＝30°，
∴∠C＝∠A＝30°．
∠ADC＝180°－30°－30°＝120°．
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠A＝30°．
∴∠CDO＝120°－30°＝90°．
DC经过半径OD的外端，并且垂直于半径OD，因此，CD是⊙O的切线．
此例告诉我们，已知点在⊙O上时，则连结这条半径，再证半径和过端点的直线垂直．简言之“连半径，证垂直”．21·cn·jy·com
例2 已知：如图2所示，在△AOB中，OC⊥AB于C，∠AOC＝∠B，AC＝16，BC＝4，⊙O半径等于8．求证：AB是⊙O的切线．
证明：∵OC⊥AB于C，
∴∠ACO＝∠OCB＝90°．
∵∠AOC＝∠B，
∴△AOC∽△OBC．
．
AC·BC＝OC2．
∵AC＝16，BC＝4，
∴OC＝8＝⊙O半径．
AB经过半径OC的外端，并且垂直于这条半径，所以AB是⊙O的切线．
当已知直线和圆的公共点没有确定，则应过圆心作垂线垂直于已知直线，证明圆心到直线的距离等于半径．简言之，“作垂直，证半径”．
总之，要证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．一定要根据已知条件中的两种不同情况，有两种不同的证明思路，产生两种不同的作辅助线的方法．这两种方法都是利用切线判定定理来达到证明结论的目的．21世纪教育网版权所有
圆的切线有哪些性质
答：圆的切线的性质包括切线的性质定理和它的两个推论．
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
切线的性质主要有五个：
(1)切线和圆只有一个公共点；
(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；
(3)切线垂直于经过切点的半径；
(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．
其中(1)是由切线的定义得到的，(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的．
切线的判定定理和性质定理容易混淆，应该分清判定定理和性质定理的题设和结论，注意在什么情况下可以用切线的判定，在什么情况下可以用切线的性质．
圆的切线性质歌诀
与圆相切一直线，只有一个公共点．
切点圆心相连结，垂直切线是必然．
切线上面取一点，此点圆心相互联．
如若垂直圆切线，此点切点零相间．
此句指此点与切点之间距离为零．
怎样测得公路的弯道的半径
无论铁路或公路，在转弯的时候，都是用弯度不大的曲线缓缓地转，而不是成一个急剧的角度突然改变方向的.这转弯处的曲线，一般恰好是和这段路两端直线部分相切的圆的一段弧线.道路转弯处的半径，一般都很大，铁路上的弯路的半径不小于600米；在主要铁路干线，最常见的弯路半径是1000甚至2000米．那么我们能否测得这些弯道的半径呢？21世纪教育网版权所有
要测得这些弯道的半径，不像求那画在纸上的弧线半径那么方便．在图上做起来很简单：只要作出两条任意的弦，从它们的中点各作一条垂线；两条垂线的交点就是这段圆弧的中心；从这点到曲线上任何一点的长度就是所求的半径长度了.??? 21教育网
但是，在实地上想要这样来作图当然很不方便，因为道路曲线的中心远在这个转弯处1-2公里以外，常常无法到达．当然，我们也可以把题目画到纸上，然后求解，但是要把这段弯路的曲线绘到图上，也并不是一件简单的工作.
假如我们不用制图的方法，而直接计算半径，这一切困难就都迎刃而解了．这可以采用下面的方法．设想把这段AB圆弧绘成一个完全的圆形（如图）；把这弧线上任何两点C和D连接起来，量出弦CD的长度，以及弓形CED的高，利用垂径定理和勾股定理，就不难算出所求的半径的长度．我们把CD和圆的直径看成相交的两条弦，a表示CD弦的长度，用h表示弓形CED的高，用R表示半径，由直角三角形CFO得出：21cnjy.com
，解得：．
半径的长度计算出来之后，再知道弯路曲线的圆心是位于通过弦的中点的垂线上，你就可以大约地找出这段弯路曲线的圆心的所在地．
“三等分角仪”的制作原理是什么?
“三等分任意角”属于几何作图三大名题（也是难题）之一．
数学上已经证明，仅用圆规、直尺三等分任意角是不可能的．使用量角器三等分任意角的方法简便易行，但准确性太差．21世纪教育网版权所有
在工程作图中，为了提高工作效率，适应施工的需要，制图的工具不受圆规、直尺的限制．利用圆的切线的有关性质，可以制作一个三等分任意角的工具——三等分角仪，能把任意一个角分成三等分．21cnjy.com
把板材（纸板、木板、金属板、塑料板等）制成图中阴影部分的形状，使AB与半圆的半径CB、CD相等，PB垂直于AD（即PB与半圆相切，切点为B）．这便做成了一个“三等分角仪”．21·cn·jy·com
如果要把∠MPN三等分时，可将三等分角仪放在∠MPN上，适当调整它的位置，使PB通过角的顶点P，使A点落在角的PM边上，使角的另一边与半圆相切于E点．最后通过B、C两点分别作两条射线PB、PC，则∠MPB＝∠BPC＝∠CPN．www.21-cn-jy.com
证明：连结CE，则CE⊥PN．
∵Rt△PAB≌Rt△PCB≌Rt△PCE，
∴∠APB＝∠BPC＝∠CPE＝∠MPN．
注：在“三等分角仪”的制作和应用过程中，涉及了圆的切线的下列性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心；（6）从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．21教育网
“盲行转圈”的奥秘是什么
举世闻名的意大利水城威尼斯有一个马尔克广场．一千多年来，无数好奇者在这个广场上重复着一个非常简单而有趣的试验：实验者蒙着眼睛，从广场的南边线中点出发，面对正前方的一座教堂走去（如图1）．虽然这段路程仅有175米，可是在这无法统计总数的实验者中，竟无一个人能够到达宽82米的教堂前台阶，全部偏斜到一边，走成了曲线，一直碰到两旁的石柱上．
原苏联有人做过类似实验：在宽阔平整的飞行场地中央,整齐地排列着100名未来的飞行员．把他们的眼睛全部蒙起来后，让他们一直朝正前方走，起初，一些人走得还算直；接着，有一部分渐渐偏向右方，另一部分人偏向了左方．走着，走着，全部转了圈子，而这些怪圈都近似于一个圆．21世纪教育网版权所有
在我国民间，也有夜间行路兜圈子，俗称“鬼打墙”的传说．托尔斯泰的作品《主人和工人》中，有一段互西科赶着马在风雪交加的荒原上兜圈子的描写．
为什么人在蒙上眼睛或在昏暗、浓雾的恶劣天气下，就不能走成直线呢？怎样计算这个怪圈的半径呢？下面就让我们来共同探索这怪圈的奥秘吧！
前者是生理学问题．人和动物的身体构造并不完全对称．由于两腿的长短、肌肉发达的程度等不会绝对相同，这就造成左、右两腿的步幅并不相等．如果左腿步幅小，则向左走成曲线；反之，右腿步幅小，则向右走成曲线．通常情况下，多数步行者向左偏，这是因为多数人右腿较左脚有力，步幅略大的缘故．人们在向可见目标前进时，会自动调整方向，因此不会有转圈问题发生．
现在，让我们来估算一下怪圈的半径R．
假设人的左、右两腿的步幅和为0.7米（即通常所说的“步长”）；步幅之差为0.4毫米（要知道，这是一个很小很小的长度，绝大多数人的步幅之差都会大于这个数字），即0.0004米．左、右腿走路时踏脚线间的距离为10厘米（如图2）．21教育网
显然，走完一圈的步数为，其中左腿和右腿迈出的步数都是．
左、右腿行走的两个同心圆的周长之差为（米）．
走完一圈时，左、右腿所走的路程分别为2πR、2π（R＋0.1）．
两个同心圆周长之差为2π（R＋0.1）－2πR＝2π×0.1．
最后，请同学们根据图3所示，验证一下为什么马尔克广场上的所有实验者均不能走到教堂前的台阶．
?
∴ AB≈164．因164＜175，故实验者不能到达台阶．
曲线的包络
在数学上，“包络”(envelope)是指一系列的直线(或曲线)包围出一个形状的情形．如图1中的直线组成一个圈，然而实际上我们并没有“画”这个圆，这时就把这个圆称作是包络线．21教育网
要想画出类似的包络线，首先要画出一个大圆(例如直径10cm)，并把圆周分成36等分，用量角器每10°作一点即可．21世纪教育网版权所有
把第n点与第n＋10点连线，就可画出如图1的圆形包络线．如果n＋10大于36，则须减去36．例如当n＝29时，n＋10＝39，减去36之后得到3，所以第29点是与第3点连线．21cnjy.com
如果以n与n＋5，n与n＋15，n与n＋25等方式连线，会得到怎样的包络线？
以其他方式连线会得到更多有趣的包络线．
连接1与2、2与4、3与6、4与8、5与10、…n与2n(图2)，所形成的包络线称作“心脏线”(cardioid)．21·cn·jy·com
连接1与3、2与6、3与9、4与12、5与15、…n与3n(图3)，所形成的包络线称为“肾脏线”(nephroid)．www.21-cn-jy.com
试试以其他规则所能产生的效果．
探究活动
问题：已知点A在⊙O上，⊙A与⊙O相交于B、C两点，点D是⊙A上（不与B、C重合）一点，直线BD与⊙O相交于点E．试问：当点D在⊙A上运动时，能否判定△CED的形状？说明理由．21cnjy.com
分析：要判定△CED的形状，当运动到BD经过⊙A的圆心A时，此时点E与点A重合，可以发现△CED是等腰三角形，从而猜想对一般情况是否也能成立，进一步观察可发现在运动过程中∠D及∠CED的大小保持不变，△CED的形状保持不变．21·cn·jy·com
提示：分两种情况
（1）当点D在⊙O外时，证明△CDE∽△CAD′即可；
（2）当点D在⊙O内时，利用圆内接四边形外角等于内对角，可证明△CDE∽△CAD′即可.
说明：（1）本题应用同弧所对的圆周角相等，及圆内接四边形外角等于内对角，改变圆周角顶点位置，进行角的转换；21世纪教育网版权所有
（2）本题为图形形状判定型的探索题，结论的探索同样运用图形运动思想，证明结论将一般位置转化成特殊位置，同时获得添辅助线的方法，这也是添辅助线的常用的思想方法；21教育网
（3）一般地，有时对几种不同位置图形探索得到相同结论，但不同位置的证明方法不同时，也要进行分类讨论．本题中，如果将直线BD运动到使点E在BD的反向延长线上时，△CDE仍然是等腰三角形．www.21-cn-jy.com
谁剪得多
??? 玩具厂生产长毛绒玩具，在裁剪这道工序中，常常遇到圆形的零部件，工人们常常为所发给的原料多少而发愁．21教育网
??? 这天，供料科发起“充分用料，节约用料，降低成本”的号召，进行“排料”预算比赛．要求每块一米见方的正方形长毛绒布料裁剪出直径为10cm的圆形部件．赛出剪的最多的为优胜．【来源：21·世纪·教育·网】
??? 请你加入他们的比赛，试试看能否帮助他们出谋划策，赛出好水平，获得优胜奖．第一组率先给出了“每排10个，共10排”的方案，100个圆整齐地排列在1米见方的正方形布料里，纵横每两个都相切（如下图），布一点也没浪费，充分利用了材料．2·1·c·n·j·y
??? 这种方案最佳吗？第二组提出了疑问，你不妨试试：用绳子去捆小圆棍，看一看几个小圆棍捆在一起捆得最紧．另一方面，三个圆相切所剩下的余料要比四个圆相切所剩下的余料少一些，如下图中的阴影部分．同时这样三个圆两两相切两排圆的高度比纵横两圆相切的高度要低．21·世纪*教育网
??? 鉴于以上分析，剪裁排料时，不仅要使圆与圆相切，圆与布边（直线）相切，而且还要使圆与圆之间的空隙越少，余料才能越少，就是说这些圆形“挤的”越紧越好，这样就有了第二种排料方法．21·cn·jy·com
??? 让第一排排10个，第二排排9个，虽然比第一种方案的第2排10个少了一个，但是这样的两排的高度比前一种低，你不要小看这么一点儿高度哟！排了10排你就可以看到它的作用了．第3排仍然是10个，第4排又是9个．这样依次排列下去．如下图，共可以排11排．这时共10×6＋9×5＝105个，而它的总高度为5＋100·sin60°＋5＝96.6（cm）．www.21-cn-jy.com
??? 这就是说，第二组排了11排共105个圆形部件，还剩有宽约100－96.6＝3.4cm的布条．21cnjy.com
??? 第三组正在紧张地思考，有了前面两组的前车之鉴，开展了讨论，能否排出更多的圆形部件呢？所剩的布条虽然不能再排一排，倒是可以由第一组的排列方法把其中9个一排的排成10个一排，所以先试一排，然后，根据所剩余料的情况再作安排，如果允许再把9个一排的改为10个一排．这样的排列高度为（5＋80·sin60°＋25＝99.28cm），结果说明到此为止，不能再作其他排列了，共4排9个，7排10个，有10×7＋9×4＝106个，比第二组又多了一个，如下图．
??? 工农业生产中，节约用料，降低成本，提高工效是企业的生存之本，实践中问题的答案比我们学习中的答案多得多，因此无论什么时候都要善于思考，找出最佳答案．21世纪教育网版权所有
几何世界的惊奇
数学世界是令人惊奇的世界，几何世界更常让人拍案叫绝，本文仅列举数例以飨读者，为节省篇幅多数例子只作介绍而不证明．21教育网
我们一开头可以随意画出两个大小不一的圆，从每个圆心向另一个圆作两条切线(图1)．如果这时把切线与圆的交点(不是切点)连接起来，竟然能得出一个矩形！这真有点意外，但对它的证明并不难．可是至今弄不清是谁首先发现了这件奇事．www.21-cn-jy.com
接着再看著名的阿基米德所发现的一个事实：在一个大的半圆中有两个互切的内切半圆，于是在大的半圆内形成一个由圆弧围成的曲边三角形(图2)．同时这两个内切半圆的公切线又把这区域分隔成两块．阿基米德发现这两块的内切圆竟然也是同样大小的！他称此为《皮匠刀定理》，因为这个曲边三角形很像当时皮匠用来切割皮料的刀子．21世纪教育网版权所有
在日本神庙里的塔壁上常会供上一些木牌，这是数学家们把自己的发现贡献给神的一种方式．公元1800年左右的一块木牌上记录着以下事实：在圆内接多边形中，如果从某个顶点向其他顶点作对角线，那么多边形将被分隔成若干三角形．接着在每个三角形内都作出它们的内切圆(图3左)，那么这些内切圆半径的和居然是个常数，与顶点的选择无关！人们进一步还发现，即使从好几个顶点同时作出对角线，只要多边形也是被分割成若干个三角形的话，那么上述结论依然能成立(图3右)．可惜这优美定理的作者已佚其名．21cnjy.com
人们对圆内接四边形并不陌生，然而对这种四边形的性质却知之不多．但是，早在公元二世纪时，希腊天文学家托勒密却已经知道了以下事实，在圆内接四边形中，两条对角线长度的积等于它的两组对边乘积的和(图4)！这条定理现在被称为托勒密定理，托勒密本人当年曾利用它解决了不少天文学上的计算．
无独有偶，伟大的牛顿爵士却对圆外接四边形也有非常有趣的发现．他注意到如果在任意圆外作出它的外接四边形，那么这个圆的圆心将永远落在四边形的两条对角线中点的连线上.(图5)21·cn·jy·com
迄今为止对圆的谈论较多，我们不妨把话题转到三角形上面去．
一代枭雄，法国的拿破仑也是一位非常喜爱几何的人，他甚至还在巴黎科学院报告过他所发现的一个有趣的定理．拿破仑所描述的定理如下：如果从任意ΔABC的各边朝外侧分别作三个等边三角形(图6)，然后标出三角形的中心O1，O2及O3，结果每次都能发现：ΔO1O2O3同样地是等边三角形．
拿破仑对这个定理的证明既简单又优美．他把O1，O2及O3与离它们较近的
ΔABC顶点连接起来，然后以O1及O3为旋转中心，把所得的二个三角形像图7那样旋转上去直至重合，这时所得的新三角形各边仍与ΔO1O2O3是一样的，但它的每个角都不难算出等于60°，所以它和ΔO1O2O3都是等边三角形．现在大家都把这个三角形叫做拿破仑三角形，以纪念它的发现者．2·1·c·n·j·y
最后我们介绍近年来莫斯科数学家发现的一个几何定理：有两条平行线，如果以平行线的距离作为正方形的边长，那么当这个正方形任意放在平行线上时，正方形的四边与平行线能产生四个交点，交叉连接这些交点，每次都会形成一个45度的夹角(图8)！你能自己去证明一下吗？【来源：21·世纪·教育·网】
几何世界中能令人惊喜的事情举不胜举，本文不过是挂一漏万罢了．
?古希腊三大几何问题
传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将它神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行．人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力．这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方问题．用数学语言表达这就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的2倍．另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方的问题．
古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难．问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵．它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规．但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点．某个图形是可作的就是指从有限个点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到．这一过程中隐含了近代代数学的思想．经过两千多年的艰苦探索， 数学家们终于弄清楚了这三个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题”．认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃．
然而，一旦改变了作图的条件，问题则会变成另外一个样子．比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了．数学家们在这些问题上又演绎出很多故事．直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”（即半径固定的圆规）的两个作图问题，为尺规作图增添了精彩的一笔．21世纪教育网版权所有
欧拉其人及其名
欧拉是18世纪最伟大的数学家之一．他生于瑞士的巴塞尔，早年受教于著名的数学家伯努利，后离开瑞士去俄国彼得堡，并在那里成为数学和物理学教授，20岁时便成了彼得堡科学院院士．1736年，年仅29岁的欧拉由于工作的过度疲劳，一只眼睛丧失了视力，1766年双目失明．但他并没有因此而停止研究工作，失明后还口述了几百篇论文和十部数学巨著．21世纪教育网版权所有
欧拉一生的著作和论文共有886种之多，几乎涉及到数学的每一个门类．他在微积分、微分方程、解析几何方面进行了卓有成效的工作；在代数、微分几何、球面几何方面也有建树．他开创了一些新的数学分支，如变分学、复变函数论等．今天国际通用的某些数学符号也是他首创的，比如我们初中学生熟悉并使用的有、sin、cos、tan、f(x) 等．21cnjy.com
欧拉对初等数学的研究和普及也作出了很大的贡献，欧拉的《代数基础》对一些国家的数学教育发展产生巨大的推动作用．这部著作是他在离开人世前几年里，口授他女儿写成的．该书具有严密的系统、丰富的内容、清晰而简洁的叙述，还附有生动的例题和习题．著名的《哥德巴赫猜想》就是数学家哥德巴赫写给自己的朋友数学家欧拉的信中提出的一个命题．在初等几何方面欧拉发表过《各种几何的证明》的研究报告，编著过《专门中学通用的几何学》，有不少几何概念是用欧拉的名字来命名的，如前面介绍的“欧拉不等式”，还有“欧拉点”“欧拉线”“欧拉圆”等等．21·cn·jy·com
三角形三条高交于一点——三角形的垂心，如下图（1），△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，AH、BH、CH的中点分别为P、Q、R——欧拉点．三角形的三条中线交于一点——三角形的重心，如下图（2），AD、BE、CF是△ABC的三条中线，故重心是G，且有AG＝2GD，BG＝2GE，CG＝2FG．三角形的外接圆的圆心O、三角形的重心G和三角形的垂心H三点共线——欧拉线．（下图（2））．www.21-cn-jy.com
（1） （2）
△ABC的三条高的垂足D、E、F，△ABC三边的中点L、M、N，三个欧拉点P、Q、R九点共圆——欧拉圆，如下图． 21教育网
九点圆是几何史上的一个名题，费尔巴赫也曾研究九点圆，并发现了许多重要的性质，也有的书中称九点圆为“费尔巴赫圆”．九点圆的有趣的性质：
（1）九点圆的半径等于三角形外接圆半径之半；
（2）九点圆的圆心在欧拉线上，是垂心与外心连线的中点；
（3）一个三角形的九点圆与这个三角形的一个内切圆及三个旁切圆都相切．
