数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：郑隽（南师附中新城初中）
3.1 平均数（1）
教学目标
1．知道算术平均数的意义，会求一组数据的算术平均数；
2．理解平均数的简化计算方法，并会简单应用；
3．通过平均数的不同计算方法解决实际问题，进一步增强统计意识和数学应用的能力．
教学重点
掌握算术平均数的概念．
教学难点
理解算术平均数的概念，会求一组数据的算术平均数．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境创设
投影展示一组篮球比赛画面．
在篮球比赛中，队员的身高是反映球队实力的一个重要因素，如何衡量两个球队队员的身高？要比较两个球队队员的身高，需要收集哪些数据呢？
同学认真观看，积极思考.
以生活中的生动例子表达数学在我们的身边，激发学生学习数学的热情.
探索活动
活动一：
小明和小丽所在的A、B两个篮球队的同学身高如下：
A组(12人)/cm
B组(10人)/cm
164，168，171，166，170，168，166，164，169，170，166，168
166，172，170，162，164，169，170，165，167，168
问题：
1．你能从直观上判断出哪个组同学的身高吗？
2．能否借助各组同学的身高之和作出判断？为什么？
3．哪个小组的同学平均身高较高？
4．你是如何判断的？
分组讨论后，学生回答.
A组：
= 167.5(cm) ．
B组：
=167.3(cm)．
将算术平均数的计算方法和要素融入在一组问题串中，让学生在小学学习的基础上，计算出A组和B组数据的算术平均数，使学生对算术平均数的计算方法有了进一步的感性认识.
自主归纳
在学生发言的基础上，教师归纳总结，给出算术平均数的定义．
一般地，如果有n个数，x1 ，x2 ，…，xn ，我们把
＝ ．
叫做这n个数的算术平均数，简称为平均数．“ ”读作“x拔” ．
学生理解记忆，与小学学过内容比较，会书写记法和并会读.
在小学的基础上学习相关的知识.
活动二：
5．你是如何计算A、B两组同学的身高的？ 并说说你这样做的理由？
引导学生回答：
当一组数据中的某些数据重复出现时，可用学生一的方法计算．
当一组数据中的每个数据都较大，并且都接近于某一个数时，可用学生二的方法计算．
独立思考，积极发言，体会各种算法的好处.
学生一：A组同学平均身高计算方法．
＝
＝167.5(cm)．
学生二：B组同学平均身高计算方法．
＝(1+7+5－3－1＋4＋5＋0＋2＋3)＝2.3．
＝＋165＝167.3(cm)．
针对不同的学生创设不同的问题情境．若学生层次较高，可提出开放性问题，给学生充分的时间和空间思考，让学生说出自己的算法和理由．若学生层次较低，可以呈现课本中思考的内容，组织学生讨论、交流、解释计算的依据.
例题精讲
体操比赛7位裁判给某选手的打分如下：
9.8 ，9.5， 9.5 ，9.5，9.3，9.2，8.5．
算一算这位选手的平均得分．
如果去掉最高分和最低分，那么余下的5个得分的平均分是多少？
教师板书，规范书写.
（教学过程中可让学生采用不同的方法计算平均分．）
并让学生体会平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动.
因此，有些竞赛规定：去掉一个最高分，再去掉一个最低分，用其余数据的平均作为最后得分.这种求平均数的方法在现实生活中有着广泛的应用.
注意做题的规范书写，并让学生进一步感受到数学在实际生活中的应用，激发学生学习数学的热情.
练一练
1．小丽某周每天的睡眠时间如下（单位：h） ：8，9，7，9，7，8，8，则小丽这周每天的平均睡眠时间是_________ 小时．
2．一组数据85，80，x，90，它的平均数是85，则x＝_________．
3．一组人出去采集标本，其中每人采6件的有2人，每人采3件的有4人，每人采4件的有5人，求平均每人采集标本数．
分组练习，回答问题.
检查学生对于新的知识掌握的情况，对课堂的问题及时反馈，使学生熟练掌握新知识．
拓展延伸
在学校开展的“数学文化”知识竞赛中，我班派了6位同学参加比赛，共有三种得分：85分，80分，90分，你能求出这6位同学的平均分吗？
分组讨论，积极发言.
这是一个开放性问题，为下节课的学习内容“激疑”，引起兴趣，激发思考．
畅所欲言
1．谈谈你对平均数的认识；
2．用“平均数”写一段关于自己的描述.
在学习内容上、方式方法上、心得上，谈谈每个人的收获.
培养学生养成善于总结思考的学习习惯．
课后作业
习题3.1第1，2题.
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：郑隽（南师附中新城初中）
3.1 平均数（2）
教学目标
1．会求一组数据的加权平均数，能结合实例说明“权”的含义；
2．了解“权”的差异对平均数的影响，算术平均数和加权平均数的联系与区别；
3．通过教学进一步发展统计观念、增强统计意识和数学应用的能力．
教学重点
感受“权”的差异对平均数的影响，理解并会计算加权平均数．
教学难点
理解“权”的意义，运用加权平均数解决一些实际问题．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境创设
在学校开展的“数学文化”知识竞赛中，我班派了15位同学参加比赛，共有三种得分：85分，80分，90分，你能求出这15位同学的平均分吗？
积极思考，回答问题．
让学生感受还需知道每种得分的人数才能求出这15位同学的平均分，体会数据赋予“权”的必要性．
探究新知
1．请学生自己分配每种得分的具体人数，并列式求出平均分．
学生列式：．
根据数据出现的次数不同，分别给每个数据一个“权”．
我们把w1、w2、w3分别叫做85、80、90在这组数据中的“权”，把用这种方法求得的平均数叫做这组数据的加权平均数．
板书：3.1 加权平均数．
2．再请两位同学重新给每个数据分配权，并求出结果，发现：权不同，结果不一定相同．
3．如果三个小组的人数相同，发现：算术平均数就是权相等时的加权平均数．
分组讨论，互相交流，学生回答问题．
通过学生的计算概括加权平均数的公式，体会“权”的差异对“加权平均数”结果的影响，“算术平均数” 可以看作是权相等的“加权平均数”．
给学生一个反思自悟的过程．
4．本学期李明的数学平时成绩、期中成绩、期末成绩分别是92分、94分和87分，请你计算李明本学期的数学总评成绩.
（学校将平时成绩、期中成绩、期末成绩按照30%、30%、40%计算总评成绩．）
学生独立思考，回答问题．
模仿刚才的计算求学期总评成绩，进一步加深对加权平均数的求法的理解．
归纳总结
在实际生活中，各个数据在一组数据中的“重要程度”并不总是相同的，有时有些数据比其他的更重要．所以，我们在计算这组数据的平均数时，往往根据其重要程度，分别给每个数据一个“权”(weight)．
一般地，设x1，x2，…，xn为n个数据，w1 、w2，…，wn依次为这n个数据的权数，则称为这组数据的加权平均数．
学生归纳概括公式．
进一步完善书本的内容，有助于对“加权平均数”概念的理解和应用．
“权” 的古代含义为秤砣，就是秤上可以滑动以观察质量的那个铁疙瘩．《孟子·梁惠王上》曰：“权”，然后知轻重，就是这意思．
渗透数学文化，激发学生学习数学的热情．
知识运用
1．学校广播站要招聘一名记者，小明、小亮和小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下：
采访写作
计算机
创意设计
小明
70分
60分
86分
小亮
90分
75分
51分
小丽
60分
84分
78分
(1)如果分别计算3个人的各项成绩的算术平均数，那么谁会胜出？你觉得在这个问题中，用算术平均分作为选拔的标准，合理吗？
(2)如果把采访写作、计算机和创意设计成绩按5∶2∶3的比例计算3个人的素质测试平均成绩，谁将被录取？
(3)如果学校广播站需要一个对计算机操作相对熟练的人员，请你设计一个比例方案，使之有利于学校的招聘．
学生分组练习，回答问题．
(1)小丽，不合理．
(2)小明的得分＝＝72．8 (分)．
小亮的得分＝＝75．3 (分)．
小丽的得分＝＝70．2 (分)．
根据这样计算得到的结果，小亮应被录取．
(3)方案设计合理即可．
巩固所学．
体会“权”的结果的影响，进一步理解“权”，并让学生体会到，在实际问题中，不同的背景，对某一方面的侧重应该是不同的，所以对应的权重也是不同的．
从加权平均数的多种形式计算巩固所学知识，并为下面生活中的加权平均例子提供素材．
2．为了解某市九年级学生参与“综合与实践” 活动的开展情况，抽样调查了该市200名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，绘制条形统计图如下：
求这200名学生平均参加“综合与实践” 活动的天数．
2． ＝4.5(天)．
拓展延伸
1．运用所学知识分析社会现象：
招工启事：因公司扩大规模，现需招若干名员工．我公司员工收入很高，月平均工资3400元．有意者到我处面试．
总经理
工程师
技工
普工
杂工
6000元
5500元
4000元
1000元
500元
（6000＋5500＋4000＋1000＋500）÷5＝3400．
应聘者范先生有点心动，假如你是范先生你怎么办？
经过了解，实际情况如下：
职务
总经理
工程师
技工
普工
杂工
月工资/元
6000
5500
4000
1000
500
员工人数
1
1
2
14
2
平均工资：1725元，远低于3400元．
分组讨论，回答问题．
用形象的语言，幽默的漫画，营造了轻松的氛围，让学生在快乐中学习，在快乐中收获．
2．感受生活中加权平均数的应用．
学生举例说明身边的加权平均数的应用．
（如公务员考试等单位的招聘，学校的卫生、纪律等检查，先进集体、个人的评比，国民幸福指数等等）
学生举例．
感受加权平均数在生活中应用的广泛，体会数学的价值．
总结提高
1．说说算术平均数与加权平均数有哪些联系与区别？
2．说说你还有哪些收获和困惑？
讨论后共同小结．
师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力．
课后作业
习题3.1 第4，5，6，7题．
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：郑隽（南师附中新城初中）
3.2 中位数与众数(1)
教学目标
1．掌握中位数、众数的概念，体会其生活的价值；
2．能根据所给的信息求出一组数据的中位数与众数；
3．通过教学进一步发展统计观念、增强统计意识和数学应用的能力．
教学重点
会求一组数的中位数与众数.
教学难点
求一组数的中位数.
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境创设
问题1 在“献爱心”的捐款活动中，某校九年级（1）班第3小组11名同学的捐款数如下（单位：元）：
1，1，2，2，3，4，1，5，8，10，80.
计算可得，这个小组平均每名同学捐款约10.6元，你认为数据
“10.6”能准确反映该组同学捐款数的实际情况吗？
问题2 第28届奥运会男子50m步枪3×40决赛中，甲、乙两位运动员10次射击的成绩如下（单位：环）：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
9.4
10.4
9.3
10.4
9.5
10.1
9.9
9.4
10.0
0
乙
9.4
10.1
10.4
8.4
8.7
9.9
9.9
8.8
7.8
10.1
计算可得，甲运动员10次射击的平均成绩（8.84环）小于乙运
动员10次射击的平均成绩（9.35环）. 你认为数据“8.84”能准确反映甲运动员的实际水平吗？
积极思考，回答问题.
一是复习平均数的概念与计算，同时说明有些数据利用平均数是反应不出问题的，为引入新的数据代表奠定基础.
二是根据学生的心理特征和认识规律，力求创设一种引人入胜的教学情景，引起学生对“平均水平”的认知冲突，挖掘出趣味因素，最大限度地吸引学生积极投入新知识的学习.
探索活动
活动一：
上面问题中的两组数据的集中趋势，平均数都不能准确地加以描述，我们还可以用什么方法来描述这两组数据的集中趋势呢？
定义：将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数.
分组讨论，互相交流，学生回答问题.
将“问题1” 中11名同学的捐款数按从小到大的顺序排列：
1，1，1，2，2，3，4，5，8，10，80．
在这组数据中，比3小的数有5个，比3大的数有5个，处于中间位置的数是3，这个数可以用来描述这组数据的集中趋势.
类似地，将“问题2”中甲运动员10次射击的环数按从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是9.5和9.9，这2个数的平均数9.7可以用来描述这组数据的集中趋势.
及时巩固中位数概念，并强调从小到大排列.
练一练：
1．数据1，2，4，5，3的中位数是_________.
2．数据1，3，4，5，2，6的中位数是_________.
3．设计一组数据，使它的中位数是8.
独立思考，回答问题.
活动二：
问题3 小明在校内抽样调查了30名男同学的衬衫尺码，数据如下：
领口大小/cm
37
38
39
40
41
42
人数
3
6
14
5
1
1
你认为学校商店应多进哪种尺码的男衬衫？说说你的理由.
定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
分组讨论，互相交流，学生回答问题.
及时巩固众数概念，并提醒学生一组数据可以有不止一个的众数，也可以没有众数.
练一练：
1．数据1，2，4，5，2的众数是_________.
2．数据2，1，1，2，5的中位数是_________.
3．设计一组数据，使它的众数是8.
独立思考，回答问题.
巩固练习
1．某校九年级8个班级向“希望工程”捐献图书的册数情
况如下：
班级
一班
二班
三班
四班
五班
六班
七班
八班
册数
50
96
100
90
90
120
500
90
（1）求平均每个班级所捐图书的册数．
（2）求所捐图书册数的中位数和众数．
2．某射击小组有20人，某次射击的成绩如下：
（1）求该小组这次射击的平均成绩；
（2）求这组数据的中位数和众数.
独立思考，回答问题.
进一步巩固所学新知.
让学生进一步体会以表格和统计图给出的数据，弄懂表格和统计图中的各数列的含义，即哪些数据的个数，不能混为一谈.
拓展延伸
某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
每人销售件数
1800
510
250
210
150
120
人数
1
1
3
5
3
2
（1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位数和众数；
（2）假设销售部负责人把销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较合理的定额，并说明理由.
第一问学生独立完成，第二问分组讨论后回答．
根据具体情境选择适当的数据代表作出自己的评判，对平均数、中位数和众数的实际应用，为下节课的学习内容“激疑”，引起兴趣，激发思考．
总结提高
通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家.
讨论后共同小结．
师生互动，锻炼学生的口头表达能力，培养学生勇于发表自己看法的能力.
课后作业
习题3.2 第1、2题.
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：郑隽（南师附中新城初中）
3.2 中位数与众数(2)
教学目标
1．进一步认识平均数、中位数、众数都是数据的代表；
2．能结合具体的情境理解平均数、中位数和众数的区别与联系，并能根据具体问题，选择合适的统计量表示数据的集中程度；
3．能对生活中的有关问题与现象做出一定的评判．
教学重点
了解平均数、中位数和众数之间的差异.
教学难点
合适的选择统计量进行分析，做出科学准确的判断.
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境创设
某公司全体职工的月工资如下：
月工资
20000
12000
8000
6000
3000
2000
1800
1500
1200
人 数
1（总经理）
2（副总经理）
5（部门经理）
10
17
23
28
10
4
你认为该公司总经理、工会主席、普通职工将分别关注职工月工资数据的平均数、中位数和众数中的哪一位？说说你的理由．
分组讨论，互相交流，回答问题.
让学生从表格中获取信息，培养学生敏锐的洞察力和科学的判断力.
探究新知
观察表格中数据，获取有用的信息．
引导学生分别分析总经理、工会主席、普通职工的关注的重
点．
分别计算这组数据的平均数、中位数、众数．
分析极端值对一组数据的影响，能从不同的角度来分析问
题，提出解决问题的策略．
分组讨论，互相交流，学生回答问题.
复习平均数、中位数与众数的概念与计算，让学生初步体会平均数、中位数和众数从不同角度描述了一组数据的集中程度，刻画了一组数据的“平均水平”．它们都有一定的优缺点，都有各自的使用范围．
数学概念
反映数据集中程度的三个特征数：平均数、中位数、众数．
（平均数需要全组所有数据来计算，易受极端值的影响；中位数需把数据从小到大排列，不易受极端值的影响；众数需通过计数得到，不易受极端值的影响．）
进行小组讨论，在教师的启发下，从三种数据在日常生活中的使用场合来分析该数据的优点，并用类比的方法，分析其弊端．经归纳总结后，派代表说明.
鼓励学生有条理地表达，并让学生理解三种数据都是数据的代表，都刻画了一组数据的平均水平.
数学实验室
将一根绳子拉直．
（1）每位同学目测、估计这根绳子的长度；
（2）将全班同学的估计值绘制成统计表和统计图，并计算平均数、中位数和众数；
（3）参照“（2）”中计算的结果，每人重新估计这根绳子的长度；
（4）测出这根绳子的实际长度，与你的估计值相比较．
学生活动，回答问题.
教师引导学生将估计值制成统计表和统计图.
让学生经历收集数据、整理数据、分析数据的过程，增强学生的统计意识，并通过小组合作的活动，培养学生的合作意识和能力.
巩固练习
1．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）：
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；
乙：4，6，6，6，8，9，12，13；
丙：3，3，4，7，9，10，11，12．
（1）根据调查结果，三个厂家在广告中都称自己产品的使用寿
命是8年，请分析他们各自的理由；
（2）你认为哪个厂家的寿命更长一些？说说你的理由．
2．某公司职工的月工资情况如下：
职务
经理
副经理
职员
人数
1
1
18
月工资/元
12000
8000
2000
（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数和众数；
（2）你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个描述该公司职工月工资的“集中趋势”较为合适？说说你的理由．
学生独立完成练习，回答问题.
进一步巩固所学知识，让学生结合具体情境体会平均数、中位数、众数三者的差别，并选择恰当的数据作出自己的判断．
小结
通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来告诉大家.
学生归纳总结本节课内容．
养成良好的学习习惯.
课后作业
习题3.2 第3，4题.
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：郑隽（南师附中新城初中）
3.3 用计算器求平均数
教学目标
1．熟练掌握利用计算器求一组数据的平均数；
2．经历数据的收集、加工、整理和描述的统计过程，提高数据处理的能力，发展统计意识．
教学重点
计算器求平均数步骤．
教学难点
按键顺序的选择.
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境创设
估计黑板的长度，记录全班每位同学的估计值，并计算这些估计值的平均值．
独立思考，动笔计算．
让学生迫切地感受到利用计算器求平均数的必要性．
探究新知
1．认识计算器．
2．用计算器计算一组数据的平均数的操作顺序如下：
(1)按开机键ON/C，打开计算器；
(2)按MODE键选择1，进入statx模式，即单变量统计模式；
(3)按第三功能键ALPHA及M+键进入统计数据的录入
模式；
(4)输入的值；
(5)按光标键▼，确认；
(6)输入x1值的频数（FRQ），其中FRQ的默认值＝1；
(7)重复步骤4、5和6，直到输入所有数据为止；
(8)按第三功能键ALPHA及M+健退出统计数据的录入模式，再按第三功能键ALPHA、平均值键4和=得到结果.
学生根据演示的内容动手操作，熟悉利用计算器求平均数的按键顺序．
先思考按键顺序，同桌之间比较结果，相互交流．
通过学生动手按键，亲身感受计算器对数据处理的优越性.
3．用计算器计算全班同学对黑板长度估计值的平均值，再用尺子量出黑板的长度.这个测量值与全班同学的估计值接近吗？
派两名代表进行测量.
注意测量结果的正确性和读数的正确性．
例题精讲
某中学九年级（1）班学生上学路上所花时间如图所示（单位：min）．
用计算器计算该班学生上学路上的平均用时数（精确到1min）．
学生独立思考，并说明由图上所能了解到的信息，然后解决问题．
学生识图，从图中获取正确的信息，培养学生“数形结合”的思想．
教师个别辅导．
知识运用
1．某足球队在去年比赛中的进球数如下：
进球数
0
1
2
3
4
5
6
场次
6
1
5
10
12
5
1
用计算器求该队平均每场比赛进球数．
2．抽样调查了10名同学文字录入的速度（字/分）如下：
38，41，43，62，63，70，74，90，69，72．
用计算器求这组数据的平均数．
学生独立完成练习.
规范学生按键，养成良好的习惯，培养学生应用意识和能力，进一步感受计算器对数据处理的优越性．
总结提高
1．用计算器进行统计运算的步骤；
2．交流用计算器计算的体验．
回忆使用计算器求平均数的方法，并交流使用计算器的过程中的注意点.
进行回顾总结，进一步加深印象．
课后作业
习题3.3 第1、2题.
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：郑隽（南师附中新城初中）
3.4 方差
教学目标
1．经历刻画数据离散程度的探索过程，感受表示数据离散程度的必要性；
2．掌握极差和方差概念，会计算极差和方差，并理解其统计意义；
3．了解极差和方差是刻画数据离散程度的一个统计量，并在具体情境中加以应用．
教学重点
理解极差和方差概念，并在具体情境中加以应用．
教学难点
应用极差和方差概念解释实际问题中数据的离散程度，并形成相应的数学经验．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境创设：
2015年世乒赛将在苏州举行，在使用乒乓球的大小时，其尺寸有严格的要求，乒乓球的标准直径为40mm．质检部门对A、B两厂生产的乒乓球的直径进行检测，从A、B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，测量结果如下（单位：mm）：
A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1．
B厂：40.0，40.2，39.8，40.1，39.9，40.1，39.9，40.2，39.8，40.0．
1．你能从哪些角度认识这些数据？
极差的概念：一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变
化范围，我们就把这样的差叫做极差，即极差＝最大值－最小值．
通常，一组数据的极差越小，这组数据的波动幅度也越小．
2．通过计算发现，A、B两厂生产的乒乓球的直径的平均数都是40mm，
极差都是0.4 mm．怎样更精确地比较这两组数据的离散程度呢？
教师指导学生进行数据计算．
学生观察数据，并通过计算进行比
较，发现问题，产生疑问，从而解决问题，产生解决问题的欲望．
通过问题1复习巩固前面所学知识，并为引出新课内容作铺垫．
通过问题2让学生体会到极差只能反映一组数据中两个极端值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不敏感，易受特殊值的影响．因此，有必要探寻对整组数据波动情况更敏感的指标，感受寻找方差的必要性．
探索活动：
1．将上面的两组数据绘制成下图：
2．填一填：
A厂
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
数据
40.0
39.9
40.0
40.1
40.2
39.8
40.0
39.9
40.0
40.1
与平均数差
B厂
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
数据
40.0
40.2
39.8
40.1
39.9
40.1
39.9
40.2
39.8
40.0
与平均数差
3．怎样用数量来描述上述两组数据的离散程度呢？
学生动手画图观察体验，归纳总结．
学生计算填表．
按照：由实际问题中的误差大小
数学上的各数据与平均数的差
解决作差有正负 求绝对值或平方
形成方差概念这一思路引导学生探索．
学生可以从与平均数的差的平均数、与平均数的差的绝对值的平均数、与平均数的差的平方的平均数等方面分析．
培养学生画图识图的能力，激发学生求知欲望．
借助统计图、表格等启发学生思考，教师引路，通过一系列观察、思考、讨论活动，提出解决问题的途径，探索如何表示一组数据的离散程度，引导学生自主形成概念．
归纳总结：
1．在一组数据x1 ，x2 ，…，xn中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是，，…，，我们用它们的平均数，即用
来表示这组数据的离散程度，并把它们叫做这组数据的方差．
从方差计算公式可以看出：一组数据的方差越大，这组数据的离散程度就越大；一组数据的方差越小，这组数据的离散程度就越小．
2. 在有些情况下，需要用方差的算术平方根，即
来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差．
小组合作交流，分析公式特征进行记忆．
引导学生在探索的基础上，观察计算公式的特征，从而便于学生掌握．
例题精讲：
在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员身高（单位：cm）如下表所示：
甲
163
164
164
165
165
166
166
167
乙
163
165
165
166
166
167
168
168
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
学生思考，举手发言，教师板书．
例题总结求方差的步骤，注意做题的规范书写，并让学生进一步感受到数学在实际生活中的应用，激发学生学习数学的热情．
巩固练习：
1．某地某日最高气温为12℃，最低气温为－7℃，该日气温的极差是 ．
2.一组数据1，2，3，4，5的平均数是3，则方差是 ．
一组数据3，6，9，12，15的方差是 ．
一组数据4，7，10，13，16的方差是 ，标准差是 ．
3．在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶．下图是其中的甲、乙段台阶路的示意图（图中的数字表示每一级台阶的高度）．请你回答下列问题（单位：cm）：
（1）哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
（2）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路．对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．
4．请你列举出方差、标准差的生活实例，并说给你的同桌听一听．
学生独立完成练习后，集体交流，总结规律，获得成功体验．
检查学生对于新的知识掌握的情况，对课堂的问题及时反馈，使学生熟练掌握新知识．
通过实际问题，让学生进一步感受生活中方差的应用，体现数学的应用价值．
总结提高：
谈谈你的收获．
总结概念，公式识记方法，学生总结发言．
加强反思，善于梳理知识．
课后作业：
习题3.4第1，2，3题.
数学教学设计
教 材：义务教育教科书·数学（九年级上册）
作 者：郑隽（南师附中新城初中）
3.5 用计算器求方差
教学目标
1．熟练掌握利用计算器求一组数据的方差；
2．进一步体会用计算器进行计算的优越性．
教学重点
掌握利用计算器求一组数据的方差．
教学难点
在掌握计算器处理数据的基本技能的基础上解决实际问题.
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
情境创设
为了从甲、乙两人中选拔一个参加学校射击比赛，对他们进行了测试，10次打靶命中的环数如下：
甲：10，7，8，8，8，8，8，8，9，6；
乙：8，8，8，8，5，8，8，9，9，9.
计算甲、乙两人命中环数的方差，比较他们射击成绩的稳定性.
学生先进行计算，再尝试思考简便方法.
通过较复杂的计算，类比计算器提高运算速度，让学生感受科学发展给人类带来的进步.
探究新知
1．方法一：
(1)按开机键ON/C后，首先将计算器功能模式设定为统计模式；
(2)依次按键：MODE 1 ALPHA M+ 1 0 ▼▼ 7 ▼▼ 8 ▼ 6 ▼ 9 ▼ ▼ 6 ▼ ALPHA M+；
(3) ALPHA 4 = 显示结果为8；
(4) ALPHA × = 显示结果为1；
即甲射击成绩的平均数＝8，方差s2＝1.
(5)依次按键：MODE 1 ALPHA M+ 8 ▼ 4 ▼ 5 ▼▼ 8 ▼ 2 ▼ 9 ▼ 3▼ ALPHA M+；
(6) ALPHA 4 = 显示结果为8；
(7) ALPHA × = 显示结果为1.2.
即乙射击成绩的平均数＝8，方差s2 ＝ 1.2.
这两组数据的平均数虽然相同，但是第二组数据的方差大于第一组数据的方差，说明第二组数据的离散程度较大，甲射击成绩比乙稳定.
2.方法二：见P119中“方法二”.
3.总结计算器进行统计运算的步骤.
学生尝试按键，要求掌握键的顺序，能熟练处理数据.
小组合作，分析总结、交流．
通过学生动手按键，亲身感受计算器对数据处理的优越性.
巩固练习
1.甲、乙两家水果店1～6月份某种水果的销售情况如下（单位：kg）：
1月
2月
3月
4月
5月
6月
甲店
520
490
530
470
630
600
乙店
530
510
520
540
570
570
分别计算这两家水果店1～6月份该种水果月销售量的平均数、方差．
2．从甲、乙两台包装机包装的质量为 400g 的袋装食品中各抽取10袋，测得其实际质量如下（单位：g）：
甲：401，400，408，406，410，409，400，393，394，394；
乙：403，404，402，396，399，401，405，397，402，399．
（1）分别计算这两个样本的平均数、方差；
（2）比较这两台包装机包装质量的稳定性.
3．甲、乙两人在相同条件下各掷铁饼5次，距离如下 (单位：米)：
甲：46.0，48.5，41.6，46.4，45.5；
乙：47.1，40.8，48.9，48.6，41.6.
(1)试判定谁投的远一些？
(2)说明谁的技术较稳定？
学生独立完成练习，教师适当辅导.
规范学生按键，养成良好的习惯，培养学生应用意识和能力.
总结提高
1．用计算器进行统计运算的步骤；
2．交流用计算器计算的体验．
归纳、总结、体会、反思.
培养学生条理性．
加深认识，形成体系．
课后作业
习题3.5 第1、2题.
教材第121页阅读.
课件12张PPT。3.1 平均数（1）九年级(上册)作 者：郑隽（南师附中新城初中） 初中数学3.1 平均数（1） 在篮球比赛中，队员的身高是反映球队实力的一个重要因素，如何衡量两个球队队员的身高？要比较两个球队队员的身高，需要收集哪些数据呢？小明和小丽所在的A、B两个小组同学身高如下：哪个小组同学的平均身高较高？你是如何判断的？3.1 平均数（1）通常，平均数可以用来表示一组数据的“平均水平”．一般地，如果有n 个数那么叫做这 n 个数的算术平均数，简称平均数，读作“x 拔”.3.1 平均数（1）． 以上计算平均身高的计算过程还可以进一步简化吗？说一说你的想法.3.1 平均数（1）小明用下面的办法计算A组的平均身高：说说小明这样做的理由.3.1 平均数（1） 先将各个数据同时减去165，得到的一组新数据是：1，7，5，－3，－1，4，5，0，2，3，再计算这组数据的平均数，得：说说小丽这样做的理由.小丽用下面的办法计算B组的平均身高：3.1 平均数（1） 体操比赛7位裁判给某选手的打分如下：
9.8，9.5，9.5 ，9.5，9.3，9.2，8.5.
计算这位选手的平均得分.
例题3.1 平均数（1） 1.小丽某周每天的睡眠时间如下（单位：h）： 8，9，7，9，7，8，8 ，则小丽这周每天的平均睡眠时间是＿＿小时.
2.一组数据85，80，x，90，它的平均数是85,则x ＝ ＿＿.
3.一组人出去采集标本,其中每人采6件的有2人，每人采3件的有4人，每人采4件的有5人，求平均每人采集标本数.
练一练3.1 平均数（1） 在学校开展的“数学文化”知识竞赛中，我班派了6位同学参加比赛，共有三种得分：85分，80分，90分，你能求出这6位同学的平均分吗？ 想一想3.1 平均数（1） 谈谈你对平均数的认识. 用“平均数”写一段关于自己的描述.畅所欲言3.1 平均数（1）3.1 平均数（1）课件14张PPT。3.1 平均数（2）九年级(上册)作 者：郑隽（南师附中新城初中） 初中数学3.1 平均数（2） 在学校开展的“数学文化”知识竞赛中，我班派了15位同学参加比赛，共有三种得分：85分，80分，90分，你能求出这15位同学的平均分吗？ 问题1 本学期李明的数学平时成绩、期中成绩、期末成绩分别是92分、94分和87分，请你计算李明本学期的数学总评成绩？
(学校将平时成绩、期中成绩、期末成绩按照30%、30%、40%计算总评成绩．) 3.1 平均数（2）问题23.1 平均数（2）新知探索为这组数
依次为这 n 个数据的权数， 1.学校广播站要招聘一名记者，小明、小亮和小
丽报名参加了3项素质测试，成绩如下：
(1)如果分别计算3个人的各项成绩的算术平均数，
那么谁会胜出？你觉得在这个问题中，用算术平均分
作为选拔的标准，合理吗？3.1 平均数（2）练习 1.学校广播站要招聘一名记者，小明、小亮和小
丽报名参加了3项素质测试，成绩如下：
(2) 如果把采访写作、计算机和创意设计成绩按
5∶2∶3的比例计算3个人的素质测试平均成绩，谁将
被录取？3.1 平均数（2）练习 1.学校广播站要招聘一名记者，小明、小亮和小
丽报名参加了3项素质测试，成绩如下：
(3)如果学校广播站需要一个对计算机操作相对熟
练的人员，请你设计一个比例方案，使之有利于学校
的招聘．3.1 平均数（2）练习 2.为了解某市九年级学生参与“综合与实践”活动的开展情况，抽样调查了该市200名九年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，绘制条形统计图如下：
求这200名学生平均参加“综合与实践”活动的天数． 3.1 平均数（2）练习（6000＋5500＋4000＋1000＋500）÷5＝3400． 我公司员工收入很高，月平均工资3400元．3.1 平均数（2）运用所学知识解释社会现象(6000＋5500＋4000＋1000＋500)÷5＝3400． 3.1 平均数（2）运用所学知识解释社会现象好像还不错嘛，有点心动．（6000＋5500＋4000＋1000＋500）÷5＝3400． 经过了解，实际情况如下：3.1 平均数（2）运用所学知识解释社会现象3.1 平均数（2）说一说请你举例说说身边的加权平均数的应用．1.说说算术平均数与加权平均数有哪些联系与区别？2.说说你还有哪些收获与困惑？3.1 平均数（2）小结3.1 平均数（2）课件12张PPT。3.2 中位数与众数（1）九年级(上册)作 者：郑隽（南师附中新城初中） 初中数学3.2 中位数与众数（1） 在“献爱心”的捐款活动中，某校九年级（1）班第3小组11名同学的捐款数如下（单位：元）：
1，1，2，2，3，4，1，5，8，10，80．问题13.2 中位数与众数（1） 第28届奥运会男子50m步枪3×40决赛中，甲、乙
两位运动员10次射击的成绩如下（单位：环）：问题23.2 中位数与众数（1） 将一组数据按大小顺序排列，如果数据
的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做
这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，
那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这
组数据的中位数. 上面问题中的两组数据的集中趋势，平均数都不能准确地加以描述，我们还可以用什么方法来描述这两组数据的集中趋势呢？归纳3.2 中位数与众数（1）
1．数据1，2，4，5，3的中位数是_________.试一试2．数据1，3，4，5，2，6的中位数是_________.3．设计一组数据，使它的中位数是8.3.2 中位数与众数（1） 小明在校内抽样调查了30名男同学的衬衫尺码，
数据如下：
你认为学校商店应多进哪种尺码的男衬衫？说说你的理由．问题33.2 中位数与众数（1）1．数据1，2，4，5，2的众数是______．试一试2．数据2，1，1，2，5的中位数是______．3．设计一组数据，使它的众数是8．一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．3.2 中位数与众数（1）1．某校九年级8个班级向“希望工程”捐献图书的册数情
况如下：（1）求平均每个班级所捐图书的册数．
（2）求所捐图书册数的中位数和众数．
练习3.2 中位数与众数（1）2．某射击小组有20人，某次射击的成绩如下：
（1）求该小组这次射击的平均成绩；
（2）求这组数据的中位数和众数. 练习3.2 中位数与众数（1） 某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种
商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下： （1）求这15位营销人员该月销售量的平均数、中位
数和众数；拓展 （2）假设销售部负责人把销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？ 如不合理，请你制定一个较合理的定额，并说明理由. 小结 通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来
告诉大家． 3.2 中位数与众数（1）3.2 中位数与众数（1）课件8张PPT。3.2 中位数与众数（2）九年级(上册)作 者：郑隽（南师附中新城初中） 初中数学3.2 中位数与众数（2）某公司职工的月工资情况如下：尝试与交流 你认为该公司总经理、工会主席、普通职工将分别
关注职工月工资数据的平均数、中位数和众数中的哪一
位？说说你的理由． 3.2 中位数与众数（2）畅所欲言平均数、中位数和众数它们都有什么各自的优缺点？ 1.平均数需要全组所有数据来计算，易受极端值的影响；
2.中位数需把数据从小到大排列，不易受极端值的影响；
3.众数需通过计数得到，不易受极端值的影响．3.2 中位数与众数（2）数学实验室 将一根绳子拉直．
（1）每位同学目测、估计这根绳子的长度；
（2）将全班同学的估计值绘制成统计表和统计
图，并计算平均数、中位数和众数；
（3）参照“（2）”中计算的结果，每人重新
估计这根绳子的长度；
（4）测出这根绳子的实际长度，与你的估计值相
比较． 3.2 中位数与众数（2）练习 1.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，
各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果
如下（单位：年）：
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；
乙：4，6，6，6，8，9，12，13；
丙：3，3，4，7，9，10，11，12．
（1）根据调查结果，三个厂家在广告中都称自己
产品的使用寿命是8年，请分析他们各自的理由；
（2）你认为哪个厂家的寿命更长一些？说说你的
理由．3.2 中位数与众数（2）2．某公司职工的月工资情况如下： （1）求该公司职工月工资的平均数、中位数和众数；
（2）你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个
描述该公司职工月工资的“集中趋势”较为合适？
说说你的理由． 练习 通过这节课的学习，你有什么感受呢，说出来
告诉大家． 小结3.2 中位数与众数（2）3.2 中位数与众数（2）课件8张PPT。3.3 用计算器求平均数九年级(上册)作 者：郑隽（南师附中新城初中） 初中数学3.3 用计算器求平均数 请大家通过目测把我们班级黑板的长度估计出来，比一比，哪个同学估计的数据最接近准确值！ 现在我们有这么多的数据，它们的平均数值是多少呢？ 如何快速计算平均值呢？试一试探索活动3.3 用计算器求平均数用计算器计算一组数据的平均数按键顺序如下： 某中学九年级（1）班学生上学路上所花时间如图所示（单位：min)：例题3.3 用计算器求平均数时间/min0102030405060 用计算器计算该班学生上学路上的平均用时数
（精确到1min）．1．某足球队在去年比赛中的进球数如下：用计算器求该队去年平均每场比赛进球数.练习3.3 用计算器求平均数 2．抽样调查了10名同学文字录入的速度（字/分）
如下：
38，41，43，62，63，70，74，90，69，72．
用计算器求这组数据的平均数． 练习3.3 用计算器求平均数1.用计算器进行统计运算的步骤；
2.交流用计算器计算的体验． 小结3.3 用计算器求平均数谢 谢!3.3 用计算器求平均数课件14张PPT。3.4 方差九年级(上册)作 者：郑隽（南师附中新城初中） 初中数学3.4 方差生活数学A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，
39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；
你能从哪些角度认识这些数据？ 乒乓球的标准直径为40mm．质检部门对A、B两厂
生产的乒乓球的直径进行检测，从A、B两厂生产的乒
乓球中各抽取了10只，测量结果如下（单位：mm）： B厂：40.0，40.2，39.8，40.1，39.9，
40.1，39.9，40.2，39.8，40.0．3.4 方差问题A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，
39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；
B厂：40.0，40.2，39.8，40.1，39.9，
40.1，39.9，40.2，39.8，40.0．极差＝最大值－最小值．怎样更精确地比较这两组数据的离散程度呢？ 极差在一定程度上描述了一组数据的离散（波动）
程度．3.4 方差A厂B厂直径/mm直径/mm怎样用数量来描述这两组数据的离散程度呢？A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，
39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；B厂：40.0，40.2，39.8，40.1，39.9，
40.1，39.9，40.2，39.8，40.0．3.4 方差A厂 0 －0.1 0 0.1 0.2 －0.2 0 －0.1 0 0.1 0 0.2 －0.2 0.1 －0.1 0.1 －0.1 0.2 －0.2 0B厂3.4 方差归纳A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，
39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；
B厂：40.0，40.2，39.8，40.1，39.9，
40.1，39.9，40.2，39.8，40.0． 由 ，可知A厂生产的乒乓球直径的离散程度较小，说明A厂生产的乒乓球质量比较稳定． 3.4 方差例题 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了
舞剧《天鹅湖》，参加表演的女演员身高（单位：cm）如
下表所示： 哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？3.4 方差3.4 方差归纳 在有些情况下，需要用方差的算术平方根，
即
来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组
数据的标准差．练习1.某地某日最高气温为12℃，最低气温为－7 ℃，该日
气温的极差是 ． 3.4 方差 2.一组数据1，2，3，4，5的平均数是3，则方差是 ．
一组数据3，6，9，12，15的方差是 ．
一组数据4，7，10，13，16的方差是 ，
标准差是 ．19℃21818练习3.4 方差3.在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶．
下图是其中的甲、乙段台阶路的示意图（图中的数字表示每
一级台阶的高度）．请你回答下列问题（单位：cm）：乙路段（1）哪段台阶路走起来更舒服？
为什么？（2）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路．对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修建议．说一说3.4 方差 请你列举出方差、标准差的生活实例，
并说给你的同桌听一听． 小结3.4 方差谈谈你的收获.课本P116-117页习题第1、2、3题.课后作业谢 谢!3.4 方差课件8张PPT。3.5 用计算器求方差九年级(上册)作 者：郑隽（南师附中新城初中） 初中数学3.5 用计算器求方差 为了从甲、乙两人中选拔一个参加学校射击比赛，对他们进行了测试，10次打靶命中的环数如下：
甲：10，7，8，8，8，8，8，8，9，6；
乙：8，8，8，8，5，8，8，9，9，9．
计算甲、乙两人命中环数的方差，比较他们射击成绩的稳定性． 情境引入3.5 用计算器求方差 方法一：
(1)按开机键 ON 后，首先将计算器功能模式设定为为统计模式；
(2)依次按键：MODE 1 ALPHA M+ 1 0 ▼▼ 7 ▼▼ 8 ▼ 6 ▼ 9
▼ ▼ 6 ▼ ALPHA M+；
(3)ALPHA 4 ＝显示结果为8；
(4)ALPHA ×＝显示结果为1；
即甲射击成绩的平均数 ＝8，方差s2 ＝1 .
(5)依次按键：MODE 1 ALPHA M+ 8 ▼ 4 ▼ 5 ▼▼ 8 ▼ 2 ▼ 9
▼ 3▼ ALPHA M+；
(6) ALPHA 4 ＝显示结果为8；
(7) ALPHA × ＝显示结果为1.2.
自主探究方法二：见书119页中“方法二”．3.5 用计算器求方差 1．甲、乙两家水果店1～6月份某种水果的销售情况
如下（单位：kg）：
练习分别计算这两家水果店1～6月份该种水果月销售量的平均数、方差．3.5 用计算器求方差2．从甲、乙两台包装机包装的质量为 400g 的袋装食品
中各抽取10袋，测得其实际质量如下（单位：g）：
甲：401，400，408，406，410，409，400，393，
394，394；
乙：403，404，402，396，399，401，405，397，
402，399．
（1）分别计算这两个样本的平均数、方差；
（2）比较这两台包装机包装质量的稳定性. 练习3.5 用计算器求方差 ３．甲、乙两人在相同条件下各掷铁饼5次，
距离如下 (单位：米)：
甲：46.0，48.5，41.6，46.4，45.5；
乙：47.1，40.8，48.9，48.6，41.6．
（1）试判定谁投的远一些?
（2）说明谁的技术较稳定?练习3.5 用计算器求方差1．用计算器进行统计运算的步骤；
2．交流用计算器计算的体验． 小结谢 谢!3.5 用计算器求方差“统计初步”简介
统计学是一门研究如何收集、整理、计算、分析数据，并在此基础上作出推断的科学．由于社会、生产和科技的发展，统计学获得了空前广泛的应用，渗透到整个社会生活的各个方面．这是因为对产品质量和工作质量要求的提高势必导致“用数据说话”，这样就需要用到统计工具．我们看到，现在各门科学和各个部门都建立了自己相应的统计学，如卫生统计学、农业统计学等等．正因为这样，统计知识及作为其理论基础的概率知识在义务教育初中数学教学大纲和与之相衔接的新高中数学教学大纲里均占有一定的地位．
在中学数学里，统计及概率知识是分成三段介绍的．本章“统计初步”是首先介绍统计知识，从数据处理的角度，较为直观、具体地介绍一些统计的最基本的知识，为以后继续学习概率统计知识打下基础．第二段是要在高中数学必修课里介绍“概论”，第三段是要在高中数学限定选修课里继续介绍统计及概率，从概率的角度来认识统计问题，把对统计的学习上升到一个新的档次．可见，在整个中学数学的统计与概率知识里，本章处于一个知识启蒙和为后续学习打好基础的地位，十分重要，那种认为本章可有可无、一旦需要再学也不迟的想法，或轻率地将本章从必学内容改为选学内容的做法都是不可取的．
一、关于教学内容与教学要求
（一）教学内容
本章内容涉及描述性统计和推断统计两个方面．描述性统计主要介绍一组数据的平均数、众数、中位数、方差、标准差及频率分布；推断统计主要介绍总体、样本、总体平均数，并以样本平均数估计总体平均数为例，介绍用样本估计总体的统计思想方法．
此外，作为选学内容的“读一读”材料，介绍了“怎样从总体中抽取样本”．事实上，统计涉及两大类问题：一是如何从总体中抽取样本；二是对于所抽取的样本，如何进行有关的计算和整理，并在此基础上作出对总体的相应估计．应该说，这篇“读一读”材料是本章必学内容的重要补充，只是因为受课时限制才列入选学内容，所以教学中鼓励学有余力的学生阅读这篇材料．
在内容安排上，由于本章在所研究的问题及其方法上与前面各章有所不同，而这些内容的教学又只限于12课时，所以教材将这些内容集中编排，单独成章，放在整个初中代数教材的最后．
（二）教学要求
1．了解总体、个体、样本、样本容量的意义，能够指出简单问题中的总体、个体、样本、样本容量各指什么，了解用样本估计总体的统计思想方法．
2．了解平均数、加权平均数、样本平均数与总体平均数的意义，会计算（包括运用公式简化计算）一组数据的平均数，会用样本平均数去估计总体平均数．
3．了解众数与中位数的意义，会求一组数据的众数与中位数．
4．了解方差（标准差）、样本方差（样本标准差）、总体方差（总体标准差）的意义，会计算一组数据的方差（标准差），会根据同类问题中两组数据的方差（或标准差）比较两组数据的波动情况．
5．了解频率分布和总体分布的意义，会对一组数据进行整理，列出频率分布表和画出频率分布直方图．
6．如果学生备有计算器，应会用计算器计算一组数据的平均数、标准差与方差．
7．安排时间认真做好实习作业，写出实习作业报告．
二、关于教材的特点
1．计算较繁．统计的特点是与数据打交道，要对一组数据进行整理和计算，因此学生一开始学习统计时显得不太适应，往往满足于会算而不愿意动手去练习，缺乏认真仔细、一丝不苟的学习习惯，在计算中容易出错．所以学习本章时，从一开始就应对学生提出明确和严格的要求，并在学习过程中有意识地培养学生认真、仔细的学习习惯．此外，为了提高学习兴趣，应尽可能要求学生用科学计算器处理复杂计算．由于在新高中数学教材里明确规定用科学计算器处理复杂计算（取消了表算），采取这种要求也有利于初、高中数学学习之间的衔接．
2．实用性较强．本章内容与现实社会、周围的生活密切相关，有着大量的直接应用，因而学习本章知识对学生了解数学的实际应用，培养运用数学知识解决实际问题的能力很有作用．为了真正落实这一功能，本章作为必学内容安排了一个实习作业，让学生走出课堂，为解决某一问题自己走到社会上去收集数据，然后对数据进行整理、计算和分析，得出某种结论．教师应对学生的这一实践活动给以足够的重视．
3．“用数据说话”“用样本估计总体”等统计思想方法贯穿全章．在描述性统计中，实际上是从数据中寻找规律．其中，平均数、众数、中位数是从不同角度描述一组数据的集中趋势．方差、标准差、极差是从不同角度描述一组数据的离散型趋势，而频率分布则描述一组数据的分布规律．在推断性统计中，用部分推断总体，是一种重要的思想方法．因此在教学中，除让学生学习一些统计知识、学会进行一些统计计算之外，还要注意让学生初步领悟其中的统计思想方法．
三、编写教材时着重考虑的几个问题
1．力求更加通俗易懂．由于学生是初次接触用样本估计总体的问题，为便于接受，不是像原教材那样一开始先提出总体和样本的概念，而是先从学生熟悉的平均数的概念与计算入手，将总体和样本的概念穿插在“平均数”这一节内容之中，逐步深化对它们的认识．具体来说，对平均数的介绍分成三步．第一步是介绍一组数据的平均数的概念及其计算；第二步是介绍总体、个体、样本、样本容量的概念；第三步是介绍样本平均数与总体平均数的概念以及用样本平均数估计总体平均数的方法．这样编排的特点是将描述统计与推断统计穿插起来，由易到难，便于理解．
2．力求联系实际的面更加广泛．统计学的应用十分广泛，为使学生理解这一点，激发他们学习统计知识的兴趣，教科书在原教材的基础上又增加了不少联系生产和生活实际的例、习题，涉及的问题包括药品疗效、汽车流量和耗油量、糖果重量、衣服尺寸、乘车人数、观众人数、温度、唱歌比赛和短跑、跳高比赛的成绩等．
3．力求使教材的表述具有启发性．为了增强教材对学生的吸引力，使学生在学习知识的基础上发展思维能力，教材的表述适当运用了启发式．例如，教材在本章一开始，提出了一个关于射击比赛的实际问题，由于这个问题是学生有兴趣解决而又不会解决的，有助于激发学生学习本章知识的愿望．而在“方差”这一节讲完后，再回过头来用所学知识解决上述问题．这种安排，可使学生带着问题学习，具有启发思维和提高效率的教学效果．
4．力求使习题的类型更加多样．为了使习题在形式上更加吸引学生，增强习题的训练效果，教材在习题类型的设计上注意适当变化，除了安排问答题、解答题之外，还安排了一定数量的判断题、填空题和选择题．
集中趋势
集中趋势（central tendency）在统计学中是指一组数据向某一中心值靠拢的程度，它反映了一组数据中心点的位置所在．
集中趋势测度就是寻找数据水平的代表值或中心值，低层数据的集中趋势测度值适用于高层次的测量数据，能够揭示总体中众多个观察值所围绕与集中的中心，反之，高层次数据的集中趋势测度值并不适用于低层次的测量数据．
1．测量方法．
取得集中趋势代表值的方法有两种：数值平均数和位置平均数．
2．数值平均数．
从总体各单位变量值中抽象出具有一般水平的量，这个量不是各个单位的具体变量值，但又要反映总体各单位的一般水平，这种平均数称为数值平均数．数值平均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数等形式．
算术平均数：算术平均数就是观察值的总和除以观察值个数的商，是集中趋势测定中最重要的一种，它是所有平均数中应用最广泛的平均数．算术平均数分为简单算术平均数和加权算术平均数．
调和平均数：调和平均数可以看成是变量的倒数的算术平均数的倒数，故有时也被称为“倒数平均数”．调和平均数分为简单调和平均数和加权调和平均数．
几何平均数：几何平均数也称几何均值，是n个变量值乘积的n次方根．根据统计资料的不同，几何平均数也有简单几何平均数和加权几何平均数之分．
3．位置平均数．
位置平均数就是根据总体中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的代表值，它对于整个总体来说，具有非常直观的代表性，因此，常用来反映分布的集中趋势，常用的有众数、中位数．
离散程度
1．概念．
所谓离散程度，即观测变量各个取值之间的差异程度．它是用以衡量风险
大小的指标．
2．离散程度的测度意义．
(1)通过对随机变量取值之间离散程度的测定，可以反映各个观测个体之间的差异大小，从而也就可以反映分布中心的指标对各个观测变量值代表性的高低．
(2)通过对随机变量取值之间离散程度的测定，可以反映随机变量次数分布密度曲线的瘦俏或矮胖程度．
3．离散程度的测度指标．
可用来测度观测变量值之间差异程度的指标有很多，在统计分析推断中最常用的主要有极差、平均差和标准差等几种．
(1)极差．
极差又称全距，是观测变量的最大取值与最小取值之间的离差，也就是观测变量的最大观测值与最小观测值之间的区间跨度．
(2)平均差．
平均差是总体各单位标志对其算术平均数的离差绝对值的算术平均数．它综合反映了总体各单位标志值的变动程度．平均差越大，则表示标志变动度越大，反之则表示标志变动度越小．
(3)标准差．
标准差是随机变量各个取值偏差平方的平均数的算术平方根，是最常用的反映随机变量分布离散程度的指标．标准差既可以根据样本数据计算，也可以根据观测变量的理论分布计算，分别称为样本标准差和总体标准差．
标准差是一组数值自平均值分散开来的程度的一种测量观念．一个较大的标准差，代表大部分的数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值．
众数、中位数和平均数之间有何关系
平均数、众数、中位数这三个统计量的各自特点是：
平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；众数则着眼于对各数据出现的次数的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量；中位数则仅与数据排列位置有关，当一组数据从小到大排列后，最中间的数据为中位数(偶数个数据的最中间两个的平均数)．因此某些数据的变动对它的中位数影响不大．
在同一组数据中，众数、中位数和平均数也各有其特性：
(1)中位数与平均数是唯一存在的，而众数是不唯一的；
(2)众数、中位数和平均数在一般情况下是各不相等，但在特殊情况下也可能相等．
如，在数据6、6、6、6、6中，其众数、中位数、平均数都是6．
平均数、中位数、众数的联系和区别
一、相同点
平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一组数据的代表．
二、不同点
它们之间的区别，主要表现在以下方面：
1．定义不同．
平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数．
中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的中位数．
众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数．
2．求法不同．
平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数，需要计算才能求出．
中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数．它的求出不需或只需简单的计算．
众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出．
3．个数不同．
在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性．在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数．
4．呈现不同．
平均数：是一个“虚拟”的数，是通过计算得到的，它不是数据中的原始数据．
中位数：是一个不完全“虚拟”的数．当一组数据有奇数个时，它就是该组数据排序后最中间的那个数据，是这组数据中真实存在的一个数据；但在数据个数为偶数的情况下，中位数是最中间两个数据的平均数，它不一定与这组数据中的某个数据相等，此时的中位数就是一个虚拟的数．
众数：是一组数据中的原数据，它是真实存在的．
5．代表不同．
平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来代表一组数据的总体“平均水平”．
中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数据的“中等水平”．
众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”．
这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平的代表．
6．特点不同．
平均数：与每一个数据都有关，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动．主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低．
中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响．
众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响，其缺点是具有不惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有．
7．作用不同．
平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据都有关，反映出来的信息最充分．平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准．因此，它在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等．
中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据．但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较合适．
众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据．在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合．
平均差
平均差（average deviation或mean deviation），平均差是总体所有单位与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数．
平均差是一种平均离差．离差是总体各单位的标志值与算术平均数之差．因离差和为零，离差的平均数不能将离差和除以离差的个数求得，而必须将离差取绝对数来消除正负号．
平均差是反应各标志值与算术平均数之间的平均差异．平均差越大，表明各标志值与算术平均数的差异程度越大，该算术平均数的代表性就越小；平均差越小，表明各标志值与算术平均数的差异程度越小，该算术平均数的代表性就越大.
最佳身高值
学校召开运动会，决定从高一年级八个班中抽调40人，组成一个彩旗方阵队．如果从高一（1）班的体检表中抽出了10份学生表格，得到10位男同学的身高（单位：米）如下：
1.63，1.60，1.68，1.66，1.66，1.70，1.75，1.66，1.58，1.65
根据这10个身高值提供的信息，试确定参加方阵队学生的最佳身高值．
分析：理想的方阵队形成组成者的身高应尽可能地接近，这样队形就整齐统一．当然我们希望挑选身材高一点的同学组成方阵队．如果我们的标准是1.75米，可能全年级也没有40人．如果挑选标准定为1.70以上，则有可能选出40人来，但身高差距较大，方阵队形就会出现参差不齐现象，所以这个标准也不行，较为可行的标准应是身高值出现次数最多的数值．
解：上面的10个数据中的众数为1.66，说明全年级身高为1.66米的同学最多，因此挑选标准为1.66米更便于选出身高比较整齐的方阵队来．
有位统计学家曾经说过：“让不懂得统计学的人来解释统计数据，有时可能是一场灾难．”
有些统计数据只表示某种可能性，不是绝对的，我们应该用“概率”的思想来理解它．在当今这个统计数据常见的信息社会里，常有一些人为了某种目的在统计数据中玩弄各种各样的“数字戏法”．因此学好数学、理解数学可以使我们对此有一个比较清醒的头脑，而减少上当的可能性．亲爱的读者，请你判断一下下面这两种药的药效哪种较好呢？
?
甲医院
乙医院
A药品
B药品
A药品
B药品
试验人数
20
10
80
990
有效人数
6
2
40
478
有效率
?
?
?
?
超产有奖
每周五天工作制实施后，某车间为了改善管理松散状况，准备采取每天任务定额、超产有奖的措施，提高工作效率．下面是该车间15名工人过去一天中各自装配机器的数量（单位：台）：
6、7、7、8、8、8、8、9、10、10、11、13、15、15、16．
管理者应确定每人标准的产量为多少台好？
分析：上面15个数据中，众数为8，中位数为9，平均值为10.07，管理者如规定众数8为标准日产量，则绝大多数工人不需要努力就可以完成任务，则不利于促进生产；如果规定平均数为标准的产量，则多数工人不可能超产，甚至还完不成定额，会挫伤生产积极性．比较合理的生产定额应确定在恰好能使多数人有可能超产的水平上．
解：选取中位数9作为标准的产量为最佳．
怎样理解方差的意义
方差这个概念是刻画波动大小的一个重要的数字．与平均数一样，仍然采用样本的波动大小去估计总体的波动大小的方法，方差越小则波动越小，稳定性也越好．
应当注意：
①方差公式S2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]中有差、方、和、均四步运算．差是减法，方是平方，和是加法，均则为除法，就是求差、方的平均值，这也是“方差”的由来．
②方差的单位是已知数据的平方单位．
在有些情况下，需要用到方差的算术平方根，即为标准差．它也是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量，其单位和已知数据的单位是一致的．
打字机或电脑键盘上的字母为何不作顺序排列
想一想
在输入这段文字时，键盘上哪些字母与手指会有较多接触的机会？指头与字母键接触的频数分布与字母在键盘上的排列有何关系？
为了提高把资料输入打字机或电脑的效率，键盘上字母位置的设计须考虑到手指移动的灵活特性．根据指头与键接触时的活动情况，可把键盘上的字母划分为八个区域，并由不同的手指负责“管辖”．从上图可见，两只灵活的食指须控制的字母键共有12个之多．
在初学打字时，小甘曾抱怨键盘字母位置为何不作顺序排列，浪费了他在幼儿园时学习26个英文字母的记忆．因此，当数学老师要求同学们作专题研习时，小甘决定以统计方法去探讨键盘字母位置的设计．
首先，小甘利用从图书馆拿回来的一份宣传道路安全的刊物作为分析的材料．然后随意地选取其中一段文字，并将组成每个字的字母频率(frequency)记录下来．为了方便显示这些频数分布的情况，小甘采用了图1的记号．
小甘统计到字母出现的总频数为531．将每一个字母本身的频数除以此数，可计算出其相对频率(relative frequency)．然后小甘再把相对频率化作百分数，并以整数表示于字母键的记号内．
小甘发现字母出现的相对频率(以百分数表示)介乎0于14(准确至最接近的整数)之间；而相对频率的平均数(mean)为4．当字母的相对频率fr≥4，小甘在频率分布图上以较大的圈表示；低于4，则以小圈显示出来．
根据图2频数分布的情况分析，小甘得到以下的结论：键盘上字母位置的排列大致上是符合以指头的不同灵活程度作为设计上的考虑．若字母以顺序排列，似乎不大适合“手指分工”的操作方式；但对于惯用“独孤一指”去接触字母键的人，也许是提供另类方便的选择．
得到数据后怎么处理
经过收集和整理，得到原始数据以后，还必须用数理统计的方法对它们进行分析和推论．经过统计分析，我们往往能从大量的数字资料中找出某一现象的特征和发展规律．
按统计的目的可以将统计分析方法分为描述性统计和推断性统计．
描述性统计是对现象的一种定量的描述，是调查类课题的研究者常用的一种对被调查对象的描述手段．而推断性统计是根据现有现象的分析去推断将来的情况．目前发表的大多数调查报告都采用描述性统计方法作为他们对某一调查对象的定量描述，而且很多调查报告也仅仅限于做到这一点，因为推断性统计是一个较复杂的工作，对条件的设定有很高的要求．对于高中生而言，我们仅仅要求做到能进行描述性统计分析．
对杂乱无章的数据进行初步整理后，可以得到最原始的统计图和统计表．这种对数据粗略的、直观的概括是很有用的，但要进一步深入分析研究，只有图表就不够了，还必须通过数据计算出一些量数，用以说明数据的全貌、集中趋势、离散程度、分布特征和相关特征等特点．这一部分工作就是描述性统计所要做的工作．它包括定类尺度、定距尺度、集中量数和差异量数．
定类尺度
如同测量距离需要用长度单位“米”等来定量描述，测量质量需要用质量单位“千克”等来定量描述一样，要对一个被统计对象进行类别描述，也必须有一个尺度，这一个尺度被称为定类尺度．通常采用的定类尺度有：比例、百分比和比率．
?比例、百分比和比率的计算，对你而言，并不陌生吧．例如，C02中碳元素的质量分数为27%，而氧元素为73%．但真正把这些定类尺度应用在你的研究报告中，可能还是第一次．这是大多数调查报告常用的一种定类方法．例如，某班女生占全班的百分比为60%，男生为40%．一看这数据，你就可以知道这一调查对象的类别情况．
定距尺度
定距尺度是用来描述考察对象的全程．不同类别的考察对象，其“全程”的含义可有不同．例如：考察年龄，其“全程”的含义就是最高年龄与最低年龄之差；计算某班级考试的平均值，那么“全程”的含义就是最高分与最低分之差．通常采用的定距尺度有：全距、频数和频率．
全距是全部数值中两端之差．它可以粗略地表示数据的离散程度，但它的缺点是受最大值与最小值的影响较大．在收入、消费、贫富等研究中，全距常被使用．例如：某地区最高收入户的年人均收入为17721元，最低收入户的年人均收入为106元，则这个地区的人均收入全距为17721－106＝17615(元)．
频数也称“次数”，是分配数列中各组出现的单位数．频率是各组单位数在总体数中的比率．例如，某工厂工人的工龄有10年以下、10～20年、20～30年、30年及以上几组情况，那么，各组的工人数就是“频数”，各组工人数与工人总数的比就称为“频率”．
集中量数
描述分布中大量数据向某点集中情况的量，被称为集中量数，又被称为数据的中心位置或集中趋势．调查研究对象的整体规模和水平，就是该对象总体的集中趋势．例如，某班某次英语考试的平均成绩为80分，这个数据就反映了这个班英语成绩的整体水平．在数据资料中，找一个数值来代表全体数值，即是集中趋势的描述．用集中量数来代表全体资料数据，是认识对象总体特征的一种基本方法．通过集中量数，你可以大致看出并认识对象全体的一个概貌．表示集中趋势的量数有：算术平均数、加权平均数、中位数、众数等．
1.算术平均数也称为算术平均值．
一般的，如果有n个数据x1，x2，x3，…，xn，那么这n个数据的算术平均数为：
．
算术平均数涵义简明，容易理解，计算起来也简便、迅速，因而应用广泛．
2.中位数：中位数是按大小顺序排列起来的变量值中处于中间位置的那个数值．在这一点的两边各有相同个数的数据．例如，某班级5个学生的语文成绩分别为56、77、85、90、96(分)，则中间位置为第三位，处于第三位置的那个数值就是中位数，其值为85(分)．
3.众数 一组数据中出现次数最多的一个数值，叫做众数．例如，一组数据为45、24、45、45、35、67、66、45、23、45，则45便为众数．
差异量数
各个变量与集中趋势的偏离程度称为离中趋势．描述这种趋势的量被称为差异量数．可通过对下列数据的分析来理解它．
甲、乙两学生的平均成绩为80分，集中趋势一样，但是他们偏离平均数的程度却不一样．从下图中，可以看见甲、乙的平均分都在平均线上起伏，但前者的波动要小于后者，显得更整齐些．这种波动性是数据的又一客观性质，它可以用一组数据离开集中量数的总趋势来反映，这种趋势就叫做离中趋势，它表示了一组数据的离散程度．表示一组数据离散程度大小的量数叫做差异量数．只有既掌握了集中量数，又掌握了差异量数，才能更全面、更深刻地了解一组数据的数字特征．差异量数越大，数据的离散程度就越大，也就是波动性越大．在调查报告中，常用标准差对调查对象离散程度进行描述．
如果一组数据包含着n个数值，x1，x2，x3，…，xn，那么它的标准差为：
标准差直接地、平均地描述了一组数据差异的大小，是最重要、最常用，也是比较精确的一种差异量数．在同一个指标下，标准差越大，表明这组数据的差异程度越大，数据分布越分散，平均数的代表性就越差；标准差越小，表明这组数据的差异程度越小，数据分布越集中，平均数的代表性越大．
?? 统计分析的方法远远不止这些，还有一些用于解释现象的统计分析，如相关分析和回归分析等；用于推断事物发展的统计分析，如平均数差异的显著性检验、计数资料差异的显著性检验等，在此就不一一列举了．
承包获利
某人承包水库养鱼1万条，为了了解鱼的生长情况，第一次网出25条，平均每条重2.2千克；第二次网出40条，平均每条重2.4千克；第三次网出35条，平均每条重2.6千克．问：（1）该水库中鱼的总重量约是多少千克？（2）若不论大小，全部按每千克7.5元出售，他能收入多少元？（3）若把鱼分类出售，大鱼每千克10元，小鱼每千克6元，则水库中大鱼总重量不低于多少时，承包人卖鱼所得收入才能不低于按每千克7.5元出售所得收入？
分析：本题是应用统计知识对生活中的问题进行观察、评估与决策，生活气息浓．本题主要检查学生对加权平均数公式，（f1＋f2＋…＋fk＝n）的意义的理解和应用．有利于培养学生运用所学知识解决实际问题的能力．其具体的思路是：
（1）由于已知水库中有1万条鱼，要想知道这些鱼的总重量，只要知道平均每条鱼的重量即可．因此，可以运用统计方法，通过抽查水库中部分鱼的重量，来估计水库中每条鱼的重量．所以水库中鱼的总重量＝平均每条鱼的重量×鱼的条数，即，也即 ．
（2）用水库中鱼的总重量乘售鱼单价．
（3）思路一：把问题转化为“水库中大鱼总重量为多少时，承包人卖鱼所得收入与按每千克7.5元出售所得收入相等”，通过列方程解决问题．
思路二：先列出承包人收入与水库中大鱼总重量之间的函数关系式，列出不等式来解．
解：（1） （千克）．
答：该水库中鱼的总重量约为24200千克．
（2） （元）．
答：不论大小，全部按每千克7.5元出售，水库承包人能收入181500元．
（3）解法一：设水库中大鱼质量为x千克时，承包人分类售鱼收入与（2）中收入相同，根据题意，得
．
解这个方程，得 ．
答：水库中大鱼总重量不低于9075千克时，承包人分类售鱼收入才能不低于按每千克7.5元出售的收入．
解法二：设水库中大鱼重量为q千克，承包人售鱼收入为y元，则有
．
要使承包人分类售鱼收入不低于（2）中收入，必须有 ．
解这个不等式，得q≥9075 ．
答：水库中大鱼总重量不低于9075千克时，承包人卖鱼收入才能不低于每千克7.5元出售的收入．
我们学习统计，还为了利用有关知识和统计思想方法来解决现实生活中的问题．
谁家的砖结实
当今商场竞争激烈，产品质量是企业生存的命根子．永安厂和天星厂为争取鼓楼南路扩建用砖的市场，展开了竞争．工程队以质量择优为宗旨，对两家产品的抗断强度进行了测定．下面是一次检测中的一组数据（单位：千克/厘米2）：
永安厂：32.50，29.66，31.64，30.00，31.77，31.01，30.76，31.24，32.87，31.05；
天星厂：31.00，29.56，32.02，33.00，29.32，30.37，29.98，31.35，32.86，32.04；
试评定两个厂家质量的优劣，若你是工程队的领导，你选择哪家工厂的产品？
解：首先计算两家的平均抗断强度．
永安厂：（32.50＋29.66＋31.64＋…＋31.05）＝31.15；
天星厂：（31.00＋29.56＋32.02＋…＋32.04）＝31.15．
平均抗断强度都是31.15（千克/厘米2）．单就这一项指标无法判断谁优谁劣．
下面我们再计算上面两组数据的方差．
永安厂：
S2＝[（32.50－31.15）2＋（29.66－31.15）2＋…＋（31.05－31.15）2]＝6.70．
天星厂：
S2＝[（31.00－31.15）2＋（29.56－31.15）2＋…＋（32.04－31.15）2]＝15.81．
因为 ．
所以永安厂产品的抗断强度的波动性较小，永安厂产品的质量优于天星厂的产品质量，应选择永安厂的产品．
谁升任工长
某厂为甲、乙两位优秀工人进行为期100天的技术考核，从而升任技术最好者为工长，考核结果如图所示，问应确定谁升任工长？
分析：只需求出每位工人平均每天出的次品数就可以比较他们两人谁的技术好．
解：
．
．
由于工人乙平均每天出次品0.5件，低于甲，按题意要求，确定乙升任工长．
国民幸福指数的计算方法
国民幸福指数＝生产总值指数×a %＋社会健康指数×b%＋社会福利指数×c%＋社会文明指数×d %＋生态环境指数×e%．其中a，b，c，d，e分别表示生产总值指数、社会健康指数、社会福利指数、社会文明指数和生态环境指数所占的权数，具体权重的大小取决于各政府所要实现的经济和社会目标．
戒烟
10个人在戒烟前和戒烟五星期后的体重记录如下（单位：kg）
人员：a，b，c，d，e，f，g，h，i，j．
戒烟前：67，80，69，52，52，60，55，54，64，60．
戒烟后：70，81，68，55，57，62，54，52，67，58．
（1）求这10人在戒烟前和戒烟后的体重的平均数和中位数；
（2）求这10人在戒烟前和戒烟后的体重的方差．
解：因涉及中位数，故需要将数据按从小到大的顺序重排：
戒烟前：52，52，55，55，60，60，64，67，69，80．
戒烟后：52，54，55，57，58，62，67，68，70，81．
戒烟前：（kg）．
戒烟后：（kg）．
中位数分别为：
戒烟前中位数 ．
戒烟后中位数 ．
方差分别为：
戒烟前 ．
戒烟后 ．
说明：从戒烟前后两组数据的统计量进行对比可知，戒烟后，这10人的平均体重增加了1kg，中位数没有变化，说明这两组数据集中趋势变化不大．从方差可知，戒烟后数据的波动比戒烟前数据的波动大，说明戒烟对不同的人所发生的变化程度不同．通过对这两组数据的统计分析，可以得出戒烟对身体健康有益的结论，从而为实现方便决策服务．
统计与音乐的交融
声音是由物体的振动产生的，不论是音乐，还是噪声；不论是嘹亮悦耳，富有穿透力的抒情男高音，还是摇头晃脑，五音不太全的通俗女杂音，都是从振动源，如嗓子、胸腔等，在三维空间上向外行进．当这些振动到达我们的耳膜时，耳膜的振动就把信息传递到我们的脑中，于是造成了听觉．通俗地讲，音乐就是高于20赫兹，我们的耳朵能感受到的那种美好的动静．
为什么音乐有高音和低音呢，一般来讲，这和发声体的振动频率有关．如何描述音乐中声音的高度呢，最开始用的是由七个阿拉伯数字组成的简谱，后来发展成由小蛤蟆骨朵组成的五线谱．简谱是一位法国修道士苏埃蒂于1665年首先使用的，上世纪初我国留学生沈心工、李叔同等从日本引入我国．
七个阿拉伯数字加上休止符、节拍等音乐符号，进行各种排列组合便形成了乐谱．十个阿拉伯数字加上各种数学符号便可组成数学和统计学的研究内容．但音乐与统计学不仅仅是形似．若干世纪以来，音乐与数学、统计学一直被联系在一起．所不同的是，从理论上讲十个音符比七个音符能组合出更丰富的乐章．
声乐的奠基人、德国物理学家亥姆霍兹说：“音调、响度和音色是音乐的三个主观量．”关于音乐这三大要素的研究与统计学有着不解之缘．
音调与频率有密切的关系，但他们又不是按严格的比例对应的．早在古希腊、毕达哥拉斯学派就发现，频率每提高一倍，音调又回到同一个调，但提高了八度，略有偏低，还要把频率再提高一点，以适应人的听觉．同理，低音部分则听感偏高，又需要将频率调低一点．
两个相差八度的音之间可再划分若干个音，它们按顺序排列起来形成音阶．有七个音的叫七声音阶，有十二个音的叫半音阶，还有五个音的叫五声音阶．五声音阶比七声音阶少了4和7两个半音．五声音阶现已不常用，它在我国公元前21世纪就产生了．所以现在形容一个人唱歌音不准时，常称他五音不全．
从一个音出发，如何生出音阶中的各个音，称为“生律方法”．“生律方法”有多种，不同的“生律方法”成为不同的“律制”．用不同的“律制”构成音阶，便形成不同的“音律”．“音律”中的每个音称为“律”．常用的“音律”有十二平均律，五度相生律和纯律．钢琴的键盘就是按十二平均律的原理制作的．五度相生律现已不多见，有时在弦乐独奏时还能用到．纯律主要用于无伴奏合唱．
在不同“律制”中，两个音之间的距离称为音程．由于音调与频率有大体上对应的比例关系，因而，音程可以用频率比来表示．不同的“生律方法”就是用不同的方法确定频率比．确定频率比要用到统计技术．古希腊，人们就发现可以把音乐归结为数与数之间的比例关系．他们发现弦所发出的声音取决于弦的长度，两根绷得一样紧的弦，若一根是另一根的两倍，就会产生谐音，即两个音相差八度．如果两根弦长的比是3∶2，则发出另一种谐音，两个音相差五度，等等．也就是说，产生每一种谐音的多根弦的长度都成整数比．因而，他们提出了音乐的基本原理是数量比的原理．音乐的和谐，如多声部合唱等各种不同的音调按一定数量上的比例所组成．在此基础上，后人研究并提出了美的比例关系．设有两个正整数p、q，其算术平均值A＝，几何平均值G＝，调和平均数H＝，它们之间在音乐中的关系为：A∶G＝G∶H，p∶A＝H∶q，前者被称为完全比例，后者被称为音乐比例．
中国是崇尚礼乐的国家，历朝历代对乐律的研究久盛不衰，而且自觉或不自觉地将乐律研究与数量研究联系在一起．远古时代，人们创造出一种像排箫的编管乐器，不同长度的管发出不同的音，其外形与直方图非常接近．这种乐器最初能奏出含有三个音组成的五声音阶．到了商代，在一个近似的八度中确定十二个律，并在十二个律中选取五个或七个音组成的音阶体制才确定下来．到了春秋时期，经过计算，我国创造了一种“三分损益法”的生律方法，使音乐变得更加感人悦耳．
但是，在这种律制中，任意两律制间的距离或大或小，例如，以黄种为基音，则比它高八度的清黄钟的音只能约略的比基音高一倍，总存在着一个音差．由于音差的存在，在转调时就比较困难．按这种律制制造的乐器只能奏出某种调式，如需转调就要换乐器，很麻烦．为了消除音差，使乐器便于转调，古代的中外音乐家都没有什么办法．1584年，我国明代科学家、算学家朱载堉在其《律学新说》中，提出了十二平均律的计算方法，才解决了这个难题．
十二平均律运用的统计学中几何平均的思想，首先假定高低八度之间的十二音，每相邻两个音的频率比基本相等，设这十二个音的频率依次为a0 ，a1……a12，朱载堉发现它们基本上构成一个等比数列，如图所示：
公比q＝，(i＝1，2，12)．
朱载堉算得q＝．事实上，这时a12＝a0q12＝a0()12＝2a0．
或者，设第i个音的弦长为Ti，则
＝(i＝1，3，……，12)，T12＝T0()12＝T0()12＝．
即a12的弦长为a0的弦长的．十二平均律解决了音差的问题，使转调变得非常方便．
声音是物体振动的频率造成的，因而十二平均律平均的对象是比率．对比率进行平均最适合的方法是几何平均，如平均利率，平均速度都要用几何平均法，现在看来这已是统计学的一个常识，但在1500年前，我国的数学家已经在音律的研究中能正确使用这种方法，仍令笔者惊讶．
18世纪以后，随着数学、统计学的发展，除了制定音律用到数学和统计学的知识以外，存在于音乐中的数量规律得到了更深刻的认识．瑞士数学家、物理学家、最大概似原则的最初提出者，丹尼尔·贝努里，1739年用概率技术进行数学的讨论并用于空气运动发生的乐器研究，在对弦乐器的研究中得出了二阶常微方程．而后来他又与大数学家欧拉等人对各种管乐器进行研究，设计了多变量的、高阶的偏微分方程．
对音调、音量（响度）和音色三大音乐要素进行全面考察和研究，19世纪法国大数学家傅立叶作出了辉煌贡献．他证明了所有的乐音，包括器乐和声乐，都能用曲线来描述．音调与曲线的频率有关，音量与曲线的振幅有关，音色与周期函数的形状有关．由于管弦乐器的管长或弦长与频率有对应关系，频率的变化则会呈现出某种曲线．例如，平台钢琴的键的外形轮廓呈现出指数曲线形状，而风琴的管呈现的是地道的直方图和近似的正态分布．
随着计算机进入音乐世界，音乐、数学、统计学的融合达到了空前的完美．许多乐器的设计和制作、作曲、歌手的包装等，大都使用统计技术将他们产生的实际声音用图像显示出来，有点像医学中的心电图等．而后，再与用数学描述的理论的或理想的声音图像进行对比，最后，尽可能消除偏差，以达到更接近理论值的艺术效果．
数学与音乐杂谈
“多情的”“自由的”音乐与“冷酷的”“严谨的”数学也有关系吗？回答是肯定的．
我国孔子说的六艺“礼、乐、射、御、书、数”，把音乐与数学并列在一起，他还整理过古代的音乐书籍《乐记》；大数学家欧拉1731年写成专著《建立在确切的谐振原理基础上的音乐理论的新颖研究》，它对数学家“太音乐了”，对音乐家“太数学了”；古希腊毕达哥拉斯学派曾将音乐、天文等归属于数学的分支，并断论：音乐的基本原则是一定的数量的关系，是对立因素的和谐的统一，把杂多导致统一，把不协调导致协调．
我们知道，对于两个数p和q有三种平均数，即算术平均数A＝，几何平均数G＝，调和平均数H＝．其中“调和”二字来自音乐，即协调、和谐之意．毕达哥拉斯学派曾研究过许多音乐理论，如音阶、弦长与频率的关系；对一个有同样张力的弦，要使音高八度，弦长要由2变成1，音高五度，弦长要由3变成2，音高四度，弦长要由4变成3．并有如下规律：
例如音乐上有所谓三和弦，即三音和声．若三个音对应的弦长之比为调和比，或频率之比为算术（等差）比，则声音和谐，悦耳．如1(do)3(mi)5(so)或1(do)5(so) i (do′)，分别对应的弦长为1，，或1，，，频率为1，，或1，，2．弦长之比分别为1∶∶＝15∶12∶10，1∶∶＝6∶4∶3，频率之比分别为1∶∶＝4∶5∶6，1∶∶2＝2∶3∶4．所以1（do)3(mi)5(so)或1(do)5(so) i (do′)成为美妙的和声．
有人称音乐为感情的数学，数学为心智的音乐．音乐家可以用直觉、乐感、天赋来创作，但数学家却从声音的波长、频率的数量关系揭示了音乐的奥秘和规律．“贝多芬＋高斯”式的人物，将会出现在艺术科学的舞台上．
统计学与法律
过去10年中，统计概念和统计方法，在民事诉讼中解决复杂的问题时扮演了重要角色．典型的例子是：有争议的父权之认定；在雇佣和住房均等上对少数民族的歧视的申述；环境和安全的规则；反对不实广告，保护消费者等等．所有这些诉讼中，辩论都是基于统计数字以及对这些数字的解释．一个法官不得不决定所提出证据的可信程度，并做出适当赔偿的合法裁定．这个过程要求所有与案件有关的当事人、辩论的双方以及双方的律师，或许最重要的是那些做出裁定的法官，在某种程度上了解统计学，以及应用统计学经常面对的困难．
让我们来看艾松(Eison)的诺维尔(Knoxville)市的例子．这里，一个女学生抱怨诺维尔警官学校在进行强力和耐力测验时，对女性有歧视．她提出的证据是表9中她所在班级的测验结果．
她说，因为比率0.666/0.919＝0.725小于4/5＝0.8，学校违反了雇佣均等条例（EEOC，Equal employment Opportunity Commission)第45条.法官要求学校提交学校测验结果的整体报告，其结果为表10．
表9 原告班级的合格率
?
合格
不合格
合格率
女性
6
3
0.666
男性
34
3
0.919
总计
40
6
0.870
表10 警官学校全体学生的合格率
?
合格
不合格
合格率
女性
16
3
0.842
男性
64
3
0.955
总计
80
6
0.930
在这种情况下，比率0.842/0.955＝0.882大于0.8．法官当然有权说参加测验的是“全体人”而不是一个特殊的“子集合”．这是一个典型的例子，即当事人所选择的进行诉讼的部分数据，与整体数据结果不同．
通常，在一个特殊的量度或概念之下，基于对总体中个体一小部分人的调查所产生的定量的证据是以平均值或比率的形式出现的．所引用的数字能代表总体作为一个整体的特征吗？这在很大程度上是依赖于所包含人数的充分性．同时，选择这些人时要不带偏差．
在应用总体的样本估计值时，要求对所组织的调查过程进行详细的检验，如所抽取样本的代表性的保证，以及为了保证估计值一定的精度所抽取的足够的样本量．如果法官能对抽样调查方法有一定的了解，则他们能够在各个诉讼案情中，决定是否采用或者拒绝样本估计值，从而做出更公平的裁判．这里并没有提议一个法官必须是一个有资格的统计学家，但是对统计推断以及在做出决策时对所包含的不确定性的知识的了解，是一个法官的财富，使他能够在提出的有关统计数据的辩论中形成自己独立的判定．
在任何裁决中，当给出所有的证据时，都需要对一个事件为真的证据或可能性的程度进行评价，而且在做出决策的同时，必须考虑把有罪的人误判为无罪、无罪的人误判为有罪的影响．涉及证据的各种程度的标准用语可表示如下：
（1）占优势的证据；
（2）清楚和使人信服的证据；
（3）清楚，无任何暧昧和使人信服的证据；
（4）无任何怀疑的证据．
为了验证法官一般如何解释这些证据的标准，维因斯坦法官向他所在地方法院里工作的同行们进行了调查，各种证据标准的概率可表示为百分数在表11中给出．
从表11中可以看到，法官对4个标准给出的概率是一致单调增加的．然而，对较高的证据标准程度的概率分配，法官之间存在着一些差异．
实际上，统计学中存在一种称为贝叶斯过程的巧妙的统计方法，一个法官判定某人有罪的先验概率能够由给定信赖程度的新的证据进行修订．这个在新政据给定条件下修订后的概率称为后验概率，是做出决策时主要信息的来源，统计学中贝叶斯决策理论的发展似乎对公正执法提供了一个客观基础．
表11 纽约东部地区法院法官对各种证据标准的概率表示
法官
优势(%)
清楚、使人
信服(%)
清楚、无暧昧
使人信服(%)
无任何怀疑(%)
1
50＋
60～70
65～75
80
2
50＋
67
70
76
3
50＋
60
70
85
4
51
65
67
90
5
50＋
标准不易理解
不起作用
90
6
50＋
70＋
70＋
85
7
50＋
70＋
80＋
95
8
50.1
75
75
85
9
50＋
60
90
85
10
51
?
不能用数值估计
?
EQ综合度量与发展的均值——方差模型
一、EQ的一般概念与度量
EQ，常译为情商，全称为Emotional Intelligence Quotient，可译为情绪智力商数．它和智商（IQ，Intelligence Quotient）相比较而存在，用作测定人的情绪智力水平的指标．其实更加规范的术语应为“情绪智力（Emotional Intelligence）”．EQ理论一般认为由美国的两位心理学家——耶鲁大学的彼得·塞拉维和新罕布什尔大学的约翰·梅耶创立的．
西方学者认为情绪智力应该包括如下5个方面：（1）对情绪的自我认知感受能力；（2）妥善管理自己的情绪，及时摆脱焦虑、忧郁、烦躁不安的能力；（3）自我激励，克制冲动，延迟满足，保持热忱的能力；（4）认知他人情绪的能力；（5）调整人际关系的能力．
其实EQ理论不是一朝一夕形成的．早在1986年，中国的科学出版社出版了一本《科学创造心理学》．作者在全书12章里用5章研究智力因素对于科学创造的贡献，而用了7章研究非智力因素对于科学创造的贡献．该书认为智力因素可以分为5类25种，它们是（1）观察力（观察敏锐性、观察准确性）；（2）记忆力（记忆速度、记忆准确性、联想能力）；（3）思维能力（思维深度、思维广度、独立思考、思维灵活性、思维分析能力、思维综合能力、思维比较能力、思维抽象能力、思维概括能力、判断能力）；（4）想象力（想象丰富性、想象新颖性）；（5）操作能力（操作准确性、操作速度、操作协调性）．非智力因素也可以分为5种25类，它们是（1）情绪（情绪稳定性、控制情绪水平、激情、热情）；（2）心境（事业心、责任心、自信心、好奇心、怀疑感、进取心）；（3）兴趣（求知欲、兴趣广度、兴趣深度、兴趣持久性）；（4）意志（意志顽强性、意志果断性、意志自制力）；（5）性格（勤奋、谦逊、献身精神）．该书还用一半的篇幅对上述25种智力因素和25种非智力因素进行了定量分析．毫无疑问，这是中国学者对于EQ理论的早期研究，比西方正式的EQ理论提出约早10年．（原作分为4类25种，且归属关系不明显，本文作者为了指标分类对称，现改为5类，且明确指标归属关系.）
我们看到，西方学者和中国学者都已经提出了非智力因素的度量指标体系．这些度量指标都是随机变量，因而应该有它们的均值和方差．本文将讨论EQ的均值与方差的实际意义，建立EQ均值与方差的统计模型，并寻找EQ指标的优化组合．
二、EQ度量的均值、方差意义
一个人的情绪应该维持在适当的高度之上．由于现代社会激烈的竞争，人们承受着越来越大的心理压力，情绪容易低落．情绪过于低落，轻则有害健康，重则可能出现心理偏差，造成严重后果．在情绪这个指标里，我们最容易看到情商概念的“商”．
一个人的情绪多少有些波动，波动水平可以用方差来度量．在西方EQ理论里，EQ包括“妥善管理自己的情绪，及时摆脱焦虑、忧郁、烦躁不安的能力”和“自我激励，克制冲动，延迟满足，保持热忱的能力”．这种提法隐约有了情绪方差的概念，并且认为情绪方差越小越好，不过西方EQ理论的度量指标较为粗糙模糊．中国学者对非智力因素的指标体系较为精细，易于度量，其中情绪水平应该属于情绪均值概念，情绪稳定性应该属于情绪方差的概念．所不同的是，中国学者1986年的工作中，情绪稳定性作为一项独立指标，由被测试者独立评估；而我们提出的情绪方差概念，是对多个样本的情绪水平进行计算，客观求出测试者的情绪方差．
类似的分析可以推广至情商的其他因素，如“心境（事业心、责任心、自信心、好奇心、怀疑感、进取心）”“兴趣（求知欲、兴趣广度、兴趣深度、兴趣持久性）”“意志（意志顽强性、意志果断性、意志自制力）”“性格（勤奋、谦逊、献身精神）”等．这些指标都可能有多个样本的度量，都含有样本均值与方差的概念．这些指标的均值与方差概念又都有其明确的心理学含义．
如果在直角坐标系取横轴为标准差，纵轴为均值，那么可以用来描绘EQ的状态．某一个人或者某一个单位在不同时期的EQ指标度量的均值与标准差就在该直角坐标系上标出一个点．点的位置就显示其EQ的状态．我们有共同的希望：在EQ均值相同的情况下，EQ方差越小越好；在EQ方差相同的情况下，EQ均值越高越好．
三、EQ指标综合度量的均值——方差模型
EQ有多个指标，存在着综合度量的问题．按照上述中西方学者对EQ的一般要求，都有5项指标．我们可以取5个加权系数，对5项指标进行加权求和，得出每一个人的综合EQ指数．我们先讨论2个指标的综合度量问题．
设有两个EQ指标分别为A与B，其指标度量值分别为rA与rB，两个指标的均值分别为E(rA)与E(rB)，方差分别为σ2A与σ2B，又设二者的加权系数分别为xA与xB，且xA＋xB＝1．设EQ的综合指标为r，则r = xA rA＋xB rB ，并且有E(r)＝xA E(rA )＋xB E(rB)，σ2＝x2Aσ2A＋x2Bσ2B＋2xAxBρABσAσB．当rA与rB完全正相关（ρAB＝1）或完全负相关（ρAB＝－1）时，σ＝|xAσA ± xBσB|．一般情况下，EQ指标之间是相关的，相关系数0＜|ρAB |＜1．
平面直角坐标系（σ，E(r)）上，A，B是两个固定的点，令参数θ＝xA，则xB＝1－θ．
从图中可见，B点状态表现的是EQ均值较小，方差也较小；A点状态表现的是EQ均值较高，方差也较高．当加权系数变化时，可以达到一个新的心理状态C．C点比B点的EQ均值较高，但是比B点的EQ方差要低．这种心理状态显然比B点要好．??
如果考虑一种EQ方差为0的状态，即图中F点位置，然后再考虑将F状态与任何一种状态组合起来，则任何一个明智的组合位置都将位于F点到曲线ACB的切线FM上．该切线上的点（如P1）表现的心理状态比其他任何割线FC上的点（如P2）所表现的心理状态，在相同的EQ方差情况下，有较高的EQ均值．
四、EQ的控制与优化发展
世界数学大师陈省身
1994年6月8日，在中国科学院第7次院士大会上，陈省身教授作为对中国科学技术做出重要贡献、在国际上具有很高学术地位的美籍华人学者，被选为中国科学院首批外籍院士．这是中国学术界的最高荣誉．陈省身获此殊荣，是当之无愧的．
陈省身1911年10月26日出生于浙江嘉兴．年少时没上学，在家里由家人教他．他从小喜欢数学，把家里的3本《笔算数学》中的习题全做过了，打下良好的数学基础．9岁时以优异的数学成绩考入高小一年级．12岁时随父亲去天津，进入当地中学，15岁时中学毕业，考进南开大学数学系．
大学二年级课程由姜立夫博士讲授．姜先生课讲得非常好，专业知识广博，基础知识扎实，一人讲了七、八门课程，在师生中享有极高声誉，对陈省身影响极深，姜先生不但教给他高等数学基础，也培养了他的数学兴趣和良好的学习习惯．南开大学图书馆数学藏书全国第一，他读了许多名著，得益匪浅．19岁时他大学毕业，得到理学学土学位，并能阅读德、法、英文书籍．
他20岁时考入清华大学研究院，在孙光远博士指导下，从事数学研究并初获成果，发表了第一篇论文．他受到孙光远等人的影响，确立微分几何学为终生研究方向．他23岁时毕业于清华大学研究院，获硕士学位．在北京大学数学系主任江泽涵教授的教导启发下，他潜心研究拓扑学并把它引入微分几何学．
他由清华大学资助，赴德国汉堡大学留学2年，跟随著名几何学权威布拉希克教授研究微分几何学，24岁时获博士学位，进入世界数学家行列，接着他又获中华文化基金会资助，去法国师从当代最伟大数学家嘉当一年，获益极大，对其一生的研究工作有特别深远的影响．
他26岁时回国在昆明西南联合大学教书6年．时值抗日战争期间，生活条件极其困苦，图书馆的书都装了箱，以备敌人一来就随时运走，没有书可读，只好认真苦读自己从德国、法国带回来的数学书复印本，研讨很多没有人想过的数学问题，不断发表论文，硕果累累．
他31岁时应美国普林斯顿高级研究院邀请去美国从事研究．他和那里一些杰出的数学家一起研究，十分勤奋．在这里他取得有生以来最丰硕、最重要的成果．
35岁时他重返祖国担任中央研究院数学研究所研究员，主持该所实际工作，不但本身做研究，而且还培养了一批优秀数学人才．
由于当时国内环境问题，37岁时他又去美国，担任芝加哥大学教授11年．除了教学和研究外，他还应邀到许多国家的大学和研究所讲学和访问．49岁时他被聘为美国加州大学教授，50岁时当选为美国国家科学院院士，52-54岁担任美国数学会副会长，1981年出任美国数学研究所所长．
陈省身对微分几何学作出了伟大的贡献．他的研究工作范围极广，遍及几何学各分支，影响很深．他奠基了“纤维丛理论”这个理论物理学场论的基础．他证明了十分重要的高斯-波耐公式．他的“示性类”是近代数学的基本理论，对当代数学、物理有重大影响．他把拓扑学和微分几何学引入新境界，著名物理学家杨振宁称这些成果是划时代的贡献和十分美妙的构思，推动了物理学的发展．
陈省身在世界数学界享有极高的荣誉．他是美国、法国、意大利、巴西等国科学院的院士，英国皇家学会会员，世界几十个大学、研究所的名誉教授、研究员和博士．他荣获了美国数学会乔文夫特奖、斯蒂尔奖、德国的洪堡特奖和世界最高数学奖——以色列的沃尔夫奖．美国数学界推崇他是“最有影响的第一号权威人物”“世界数学大师”，他是本世纪伟大的几何学家．
陈省身千方百计地支持祖国的数学事业．他应我国政府聘请，担任南开大学数学研究所所长，并把所得的沃尔夫奖金全部捐给南开大学．他的办所宗旨是“立足南开，面向全国，着眼世界”．多年来他邀请几十位世界一流的数学大师来中国讲学，组织多次国际微分几何、微分方程、偏微分方程会议，从全国各地选拔几百名优秀青年学者和教师来听课，通过扎实的训练，培养出成批高水平的青年数学家．他还组织中国数学研究生赴美国留学以培养高级人才．著名数学家吴文俊教授称他为“中国数学界青年学子的总教练”．这并非虚泛的溢美之词，而是千真万确的．
陈省身说：“我把最后一番心血献给祖国，我的最后事业也在祖国．我要为中国数学的发展鞠躬尽瘁，死而后已．”他认为，中国是有数学天才的．他寄希望于青年一代，愿几十年后的中国数学家夺得世界现代数学的“金牌”．我们相信，在他的帮助、关怀和鼓舞下，经过全国青少年和全体数学工作者的努力奋斗，他的最大心愿——中国在21世纪成为世界数学大国——一定会实现！
